高阶谱分析chapter01

高阶谱分析
Higher-Order Spectra Analysis
第一章 绪论
在过去的30多年中，由于系统理论、统计学、数值分析、计算机科学和集成电路技术等领域思想与方法的结合使信号处理特别是数字信号处理有了巨大的发展。

传统信号处理的主要特点是研究线性的（Linear）、因果的(Causal)、最小相位的(Minimum phase)、高斯分布的(Gaussian)、平稳的(Stationary)和整数维(Integer dimensional)的信号分析与综合。

现代信号处理的特点是注重研究非线性的(Non-linear)、非因果的(Non-causal)、非最小相位(Non-minimum phase)信号与系统，以及非高斯的(Non-Gaussian)、非平稳的(Non-stationary)和分形(Fractional)（非整数维）信号和非白色(Color)的加性(Additive)噪声。

信号处理的目的：处理有限个数据样本，并从中提取隐藏在这些数据中的重要信息。

研究途径：通常是通过研究和建立描述数据特性的数学模型（算法实现：软件和硬件）并应用于真实数据的处理。

图1-1 信号处理流程图
评价信号处理技术（算法）考虑的主要因素包括：
1．估计质量（quality of the estimate）
2．计算复杂度（computational complexity）
3．数据吞吐率（data throughput rate）
4．实现成本（cost of implementation）
5．有线字长效应（finite word-length effects）
6．结构特性（structural properties）
实际应用中，常需要在这些因素之间进行折中考虑。

1.1 功率谱（Power Spectrum ）
功率谱密度（PSD: Power Spectrum Density ）是数字信号处理中的一种常用技术。

功率谱估计方法可分为：常规（Fourier 型）方法、Capon 的最大似然法及其改进方法、最大熵和最小互熵法、基于AR 、MA 和ARMA 模型的最小能量法、谐波分解法（如Prony 、Pisarenko 、MUSIC 、ESPRINT 和奇异值分解SVD ）。

这些方法各有优缺点，应视具体应用而定。

在功率谱估计中，所考虑的随机过程用统计互不相关的谐波分量的叠加来构成，然后估计这些频率分量上功率分布。

这样就抑制了这些频率分量间的相位关系。

功率谱中包含的信息，实际上在自相关序列中也存在（因为有Wiener-Khintchine 定理()()FT R G τω⇔）。

用功率谱足以完全描述已知均值的高斯过程统计特性。

然而，实际中有许多场合需要研究高于2阶谱（自相关域）的统计特征，以获得由于偏离高斯性和存在非线性所带来的信息。

用高阶统计量定义的高阶谱（大于2阶）（也称为多谱Polyspectra ）确能获得这些信息。

研究对象
分析工具 缺点 高斯过程（已知均值）
功率谱（自相关域） 抑止相位信息 非高斯过程，非线性
高阶谱（多谱） 计算量大
多谱特例：
n=2 功率谱
n=3 三阶谱或双谱
Bispectrum
n=4 四阶谱（三谱）Trispectrum
高阶统计量包括：高阶矩、高阶累积量、高阶矩谱和累积量谱。

1.2 信号处理中为什么要用多谱？
多谱（polyspectra ）由高阶矩谱（higher-order moment spectra ）和高阶累积量谱(higher-order cumulant spectra)组成，可对确定性信号和随机信号定义。

图1-2 多谱分类图
信号处理中应用多谱分析有以下几个原因：
1) 在信号检测、参数估计和分类问题中可以抑制具有未知谱特征的高斯噪声过程；双谱还可以抑制具有对称概率密度函数pdf 的非高斯噪声。

由于仅对高斯过程所有高于2阶的累积量（谱）均为零。

因此，如果一个非高斯过程与加性高斯噪声同时被接收，当变换到高阶累积量域时，理论上可以消除该噪声。

所以，在这类信号处理中，从观察信号的累积量谱中检测和/或估计信号参数将是有利的。

累积量谱域是高信噪比（SNR ）域，可进行信号检测、参数估计，甚至全信号重构。

非零多谱可表明过程对正态性的偏离程度。

2) 重构信号或系统的相位和幅度响应；提取信号偏离高斯性的信息，估计非高斯参量信号的相位。

多谱（矩和累计量）保留了信号的真实相位特征。

对于信号处理中时间序列数据的建模，过去几乎仅利用二阶统计量，他们通常是最小二乘优化准则的结果。

然而，自相关域抑制了信号的相位信息。

在自相关域（或功率谱）仅对最小相位信号才能精确重构相位。

而由于多谱同时保留了幅度和非最小相位信息，因此在高阶谱域可进行非最小相位信号重构或系统辨识。

3) 通过谐波分量间的相位关系，可检测和表征时间序列中的非线性，以及辨识非线性系统。

当我们试图分析随机输入情况下的系统的非线性时，自然会引入高阶谱。

因为对于任意平稳随机信号通过任意线性系统的一般关系已研究了许多年，其中大部分关系是基于功率谱匹配准则的。

如线性时不变系统随机输入与输出信号自相关函数间的关系为)()()()(ττττ−∗∗=h h R R x y ，其中)(τh 为系统冲击响应。

然而，对于任意平稳随机信号通过任意非线性系统的一般关系目前还没有。

每一种非线性都必须作为特例来处理。

多谱在利用系统输出信号检测和表征系统中的非线性类型时起关键作用。

4) 检测和表征信号中的循环平稳性以及分析和处理循环平稳信号。

高阶循环统计量能自动抑制任何平稳（高斯与非高斯）噪声的影响。

1.3 应用
1) 领域：海洋学、地球物理学、声纳、雷达、通讯、生物医学、语音处理、射电天文学、图像处理、流体力学、经济时间序列、地震物理学、太阳斑点数据等。

2) 功能：解卷积和信号检测；非线性、非最小相位辩识；参数估计、二次相位耦合检测；离散时间统计信号中混叠的检测。