【6份】2016江苏专用理科高考数学二轮专题复习：填空题限时练

【6份】2016江苏专用理科高考数学二轮专题复习：填空题限时练目录限时练(一) (1)限时练(二) (5)限时练(三) (9)限时练(四) (13)限时练(五) (18)限时练(六) (22)限时练(一)(建议用时：40分钟)1．设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝______．【详细分析】因为N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，所以M∩N＝{0，1}．答案{0，1}2．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．【详细分析】设应抽取的女运动员人数是x，则x98－56＝2898，易得x＝12.答案123．复数11＋i＝________．【详细分析】11＋i＝1－i（1＋i）（1－i）＝1－i2＝12－12i.答案12－12i4．某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是________．【详细分析】逐次写出运行结果．该伪代码运行5次，各次S 和I 的值分别是1和2；2和3；6和4；24和5；120和6，所以该算法输出的I ＝6.答案 65．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是________．【详细分析】利用古典概型的概率公式求解．将一颗骰子先后抛掷两次，向上的点数共有36种不同的结果，其中点数相同的有6个，故所求概率为636＝16.答案 166．已知等比数列{a n }满足a 5a 6a 7＝8，则其前11项之积为________．【详细分析】利用等比数列的性质求解．由a 5a 6a 7＝a 36＝8得，a 6＝2，所以，其前11项之积为a 1a 2…a 11＝a 116＝211.答案 2117．对于任意x ∈[1，2]，都有(ax ＋1)2≤4成立，则实数a 的取值范围为________．【详细分析】由不等式(ax ＋1)2≤4在x ∈[1，2]恒成立，得－2≤ax ＋1≤2在x ∈[1，2]恒成立，利用分离参数的方法得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x min，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x max ，利用反比例函数的单调性得－32≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，128．若α是锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－33，则sin α的值等于________．【详细分析】∵α是锐角，∴π3＜α＋π3＜5π6， 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝63. ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝63×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×32＝6＋36.答案6＋369．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．【详细分析】由题知令BD ＝BC ＝AD ＝AC ＝1，AB ＝a ，则DC ＝2，分别取DC ，AB 的中点E ，F ，连接AE 、BE 、EF .由于EF ⊥DC ，EF ⊥AB .而BE ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 1－12＝22，BF ＜BE ，AB ＝2BF ＜2BE ＝ 2.答案 (0，2)10．过点P (1，1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分成两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．【详细分析】当OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝011．两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．【详细分析】在△ACD 中，容易求得AD ＝2010，AC ＝305，又CD ＝50，由余弦定理可得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，所以∠CAD ＝45°，即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案 45°12．两个半径分别为r 1，r 2的圆M 、N ，公共弦AB 长为3，如图所示，则AM →·AB→＋AN →·AB→＝________．【详细分析】连接圆心MN 与公共弦相交于点C ，则C 为公共弦AB 的中点，且MN ⊥AB ，故AM →·AB →＝|AB →||AM →|·cos ∠MAC ＝|AB →|·|AC→|＝12|AB →|2＝92，同理AN →·AB →＝|AB →||AN →|·cos ∠NAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，故AM →·AB →＋AN →·AB→＝9.答案 913．设a ＝2 0110.1，b ＝ln 2 0122 010，c ＝12log 2 0112 010，则a ，b ，c 的大小关系是________．【详细分析】由指数函数、对数函数图象可知a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0，所以a ＞b ＞c .答案 a ＞b ＞c14．设f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a的取值范围是________．【详细分析】原问题等价于方程|ln x |＝ax 在区间(0，4)上有三个根，令h (x )＝ln x ⇒h ′(x )＝1x ， 由h (x )在(x 0，ln x 0)处切线y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)过原点得x 0＝e ，即曲线h (x )过原点的切线斜率为1e ，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e .答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e限时练(二)(建议用时：40分钟)1．已知集合M ＝{1，2，3}，N ＝{2，3，4}，则M ∩N ＝________． 【详细分析】{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}．答案 {2，3}2．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．【详细分析】平均数x －＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18，故方差s 2＝16(42＋12＋02＋02＋22＋32)＝5.答案 53．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 【详细分析】由(z －2)i ＝1＋i ，得z ＝1＋ii ＋2＝3－i ，所以|z |＝10.答案104．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S ＝________．【详细分析】这是一个典型的当型循环结构，当n ＝1，3，5，7，9，11时满足条件，执行下面的语句，S ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，当n ＝13时不满足条件，退出循环，执行输出S ＝36.答案 365．已知m ∈{－1，0，1}，n ∈{－1，1}，若随机选取m ，n ，则直线mx ＋ny ＋1＝0恰好不经过第二象限的概率是________．【详细分析】依题意，注意到可形成数组(m ，n )共有6组，其中相应直线mx ＋ny ＋1＝0恰好不经过第二象限的数组(m ，n )共有2组(它们是(0，1)与(－1，1))，因此所求的概率是26＝13.答案 136．在△ABC 中，BD →＝2DC →，若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2的值为________．【详细分析】利用向量的运算法则求解．因为AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，所以λ1＝13，λ2＝23，故λ1λ2＝29.答案 297．已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是________．【详细分析】作出函数图象可知若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a －1＝－(b 2＋2b －1)， 整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4， 设⎩⎨⎧a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4，所以ab ＋a ＋b ＝－1＋2sin 2θ∈(－1，1)．答案 (－1，1)8．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝45°，则b ＝________．【详细分析】由已知得sin A ＝sin(B ＋C )＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24，又a ＝8，∴b ＝a sin B sin A ＝8×326＋24＝1636＋2＝122－4 6.答案 122－4 69．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B两点，则弦AB 的长等于________．【详细分析】圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0，0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.答案 2 310．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2)，且当n ＝1时其图象过点(2，8)，则a 7的值为________． 【详细分析】因为y ＝a n x 2在x ＝1处的切线斜率为2a n ， 所以2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)， 即a n ＝a n －1＋12(n ≥2)， 又8＝4a 1⇒a 1＝2， 所以a 7＝a 1＋6×12＝5.答案 511．设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是________． ①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β ③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ④如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角互余 【详细分析】如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β， 即命题①正确；如果α不垂直于β， 那么α内一定不存在直线垂直于β，即命题②正确；如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ，即命题③正确； 如果α⊥β，l 与α，β都相交， 那么l 与α，β所成的角不一定互余， 即命题④不正确．答案 ④12．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2的部分图象如图，则φ的值为________．【详细分析】由三角函数图象可得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，且0＜φ≤π2， 所以φ＝π3.答案 π313．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．【详细分析】利用二次函数图象求解．由题意可得(f (x )max －f (x )min )min ≥8.f (x )min 越大，所以当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，为f (t ＋1)－f (t )＝a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案 814．已知函数f (x )＝x 33＋ax 22＋2bx ＋c 在区间(0，1)内取极大值，在区间(1，2)内取极小值，则z ＝(a ＋3)2＋b 2的取值范围为________．【详细分析】因为函数f (x )在区间(0，1)内取极大值，在区间(1，2)内取极小值，所以⎩⎨⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎨⎧b >0，1＋a ＋2b ＜0，a ＋b ＋2＞0，对应可行域如图，目标函数z ＝(a ＋3)2＋b 2的几何意义是可行域上的点(a ，b )到定点P (－3，0)的距离的平方，点P 到边界a ＋b ＋2＝0的距离的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，到点(－1，0)的距离的平方为4，因为可行域不含边界，所以z的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4限时练(三)(建议用时：40分钟)1．设集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则R ð (A ∩B )＝________． 【详细分析】由已知条件可得A ＝[－2，2]，B ＝[－4，0]， ∴R ð (A ∩B )＝(－∞，－2)∪(0，＋∞)．答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)2．某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下图的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________小时．【详细分析】一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比，即0×7＋0.5×14＋1.0×11＋1.5×11＋2.0×750＝0.97(小时)．答案0.973．若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位)，则z＝________．【详细分析】∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴z＝－3＋4i1＋2i＝（－3＋4i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝5＋10i5＝1＋2i.答案1＋2i4．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．【详细分析】由框图的顺序，s＝0，n＝1，s＝(s＋n)n＝(0＋1)×1＝1，n＝n ＋1＝2，依次循环s＝(1＋2)×2＝6，n＝3，注意此刻3＞3仍然否，所以还要循环一次s＝(6＋3)×3＝27，n＝4，此刻输出s＝27.答案275．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．【详细分析】从袋子中随机取2个小球共有10种不同的方法，其中取出的小球标注的数字之和为3或6的方法共有3种，因此所求的概率等于310.答案 3106．在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为________．【详细分析】依题意得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2＋bc ＝4≥3bc ，bc ≤43，AB →·AC→＝bc cos A ＝－12bc ≥－23，当且仅当b ＝c ＝ 43时取等号，因此AB →·AC →的最小值是－23.答案 －237．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m ，1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________． 【详细分析】依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －4|5＝4，2m ＋1≥3， 解得m ＝6.答案 68．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝________．【详细分析】由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154.答案 ±1549．已知四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且VA ＝4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是________．【详细分析】可证四个侧面都是直角三角形，其面积S ＝2×12×3×4＋2×12×3×5＝27.答案 2710．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C的方程为________．【详细分析】由焦距为10知，c ＝5，即a 2＋b 2＝25，根据双曲线方程可知，渐近线方程为y ＝±b a x ，代入点P 的坐标得，a ＝2b ，联立方程组可解得a2＝20，b 2＝5，所以双曲线方程x 220－y 25＝1.答案 x 220－y 25＝111．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－3)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为________．【详细分析】由导数的几何意义可知，f ′(x 0)＝(x 0－3)(x 0＋1)2≤0，解得x 0≤3，即该函数的单调递减区间是(－∞，3]．答案 (－∞，3]12．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________，a ＝________．【详细分析】由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以c ＝b sin Csin B ＝25×5522＝2 2.由c ＜b 得C ＜B ，故C 为锐角，所以cos C ＝255，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝31010，由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，所以a ＝b sin A sin B ＝25×3101022＝6.答案 22 613．已知函数f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)有且仅有一个零点x 0，若x 0＞0，则a 的取值范围是________．【详细分析】已知f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)，则f ′(x )＝3x 2－3a 2，①若f ′(x )≥0恒成立，则a ＝0，这与a ＞0矛盾． ②若f ′(x )≤0恒成立，显然不可能．③若f ′(x )＝0有两个根a ，－a ，而a ＞0，则f (x )在区间(－∞，－a )上单调递增，在区间(－a ，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增，故f (－a )＜0，即2a 2－6a ＋3＜0，解得3－32＜a ＜3＋32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，3＋3214．已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________．【详细分析】依题意得S n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n.当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43；当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，1.由函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上是增函数得S n －1S n 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1772，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，712，因此有A ≤－1772，B ≥712，B －A ≥712＋1772＝5972，即B －A 的最小值是5972.答案 5972限时练(四)(建议用时：40分钟)1．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ≤0}，则A ∩B ＝________． 【详细分析】∵B ＝[0，2]，∴A ∩B ＝[0，1]．答案 [0，1]2．复数5（1＋4i ）2i （1＋2i ）＝________．【详细分析】5（1＋4i ）2i （1＋2i ）＝5（－15＋8i ）－2＋i ＝5（－15＋8i ）（－2－i ）（－2＋i ）（－2－i ）＝5（38－i ）5＝38－i.答案 38－i3．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．【详细分析】高三年级总人数为：900.05＝1 800；90～100分数段人数的频率为0.45；分数段的人数为1 800×0.45＝810.答案 8104．曲线y ＝1x 在x ＝2处的切线斜率为________．【详细分析】根据导数的几何意义，只要先求出导数以后，将x ＝2代入即可求解．因为y ′＝－1x 2，所以y ′|x ＝2＝－14，即为切线的斜率．答案 －145．将一枚骰子(一种六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )落在区域|x －2|＋|y －2|≤2的概率是________．【详细分析】利用古典概型的概率公式求解．将一枚骰子先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )共有36个，其中落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，2)，共11个，故所求概率是1136.答案 11366．已知向量a ＝(3，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，若a ＋λb 与a 垂直，则λ等于________．【详细分析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a ＋λb ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－λ，1＋12λ，所以(a ＋λb )⊥a ⇒3(3－λ)＋1＋12λ＝0⇒λ＝4.答案 47．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy 的最小值为________．【详细分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解．因为x ，y 为正数，且x ＋2y ＝2，x ＋8y xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ＝x 2y ＋8yx ＋5≥2x 2y ·8yx ＋5＝9，当且仅当x ＝4y ＝43时，等号成立，所以x ＋8y xy 的最小值为9.答案 98．给出四个命题： ①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的序号是________． 【详细分析】若α∥β，α∥γ，则β∥γ，即平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①正确； 若a ∥α，a ∥β，则α与β平行或相交，故②错误； 若α⊥γ，β⊥γ，则平面α与β平行或相交，故③错误； 若a ⊥α，a ⊥β，则α与β平行，故④正确．答案 ①④9．设某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是________．【详细分析】阅读算法中流程图知： 运算规则是S ＝S ×k 2故第一次进入循环体后S ＝1×32＝9，k ＝3；第二次进入 循环体后S ＝9×52＝225＞100，k ＝5.退出循环，其输出结果k ＝5.故答案为：5.答案 510．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为________．【详细分析】利用a 1，a 2，a 5成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以a 1，a 2，a 5成等比数列⇒a 22＝a 1a 5⇒(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )⇒d ＝2a 1，代入不等式a 1＋a 2＋a 5＞13，解得a 1＞1.答案 (1，＋∞)11．P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________．【详细分析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 3a x ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－324a ，y ＝－24b ，又PF 1垂直于x 轴，所以324a ＝c ，即离心率为e ＝c a ＝324.答案32412．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC的最大角的正切值是________．【详细分析】由S△ABC＝12ab sin C，代入数据解得sin C＝32，又C为三角形的内角，所以C＝60°或120°.若C＝60°，则在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝84，此时，最大边是b，故最大角为B，其余弦值cos B＝a2＋c2－b22ac＝3221，正弦值sin B＝53221，正切值tan B＝533；若C＝120°，此时，C为最大角，其正切值为tan 120°＝－ 3.答案533或－ 313．若存在区间M＝[a，b](a＜b)，使得{y|y＝f(x)，x∈M}＝M，则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”．给出下列四个函数：①y＝e x，x∈R；②f(x)＝x3；③f(x)＝cos πx2；④f(x)＝ln x＋1.其中存在稳定区间的函数有________(写出所有正确命题的序号)．【详细分析】根据新定义逐一判断．因为函数y＝e x，x∈R递增，且e x＞x，x∈R恒成立，函数y＝e x，x∈R不存在“稳定区间”，故①不存在“稳定区间”；函数f(x)＝x3存在稳定区间[－1，0]或[0，1]或[－1，1]，故②存在“稳定区间”；函数f(x)＝cos πx2存在稳定区间[0，1]，故③存在“稳定区间”；函数f(x)＝ln x＋1在(0，＋∞)上递增，且ln x＋1≤x，x＞0恒成立，函数f(x)＝ln x＋1在定义域上不存在“稳定区间”，故④不存在“稳定区间”．答案②③14．若关于x的方程|x|x＋2＝kx2有四个不同的实根，则实数k的取值范围是________．【详细分析】由于关于x的方程|x|x＋2＝kx2有四个不同的实根，x＝0是此方程的一个根，故关于x的方程|x|x＋2＝kx2有3个不同的非零的实数解．∴方程1k＝⎩⎨⎧x（x＋2），x＞0，－x（x＋2），x＜0有3个不同的非零的实数解，即函数y＝1k的图象和函数g (x )＝⎩⎨⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0的图象有3个交点，画出函数g (x )的图象，如图所示，故0＜1k ＜1，解得k ＞1.答案 (1，＋∞)限时练(五)(建议用时：40分钟)1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ＜0}，B ＝{x |x ＞1}，则集合A ∩∁U B ＝________． 【详细分析】∁U B ＝{x |x ≤1}，A ＝{x |0＜x ＜2}，故A ∩∁U B ＝{x |0＜x ≤1}．答案 {x |0＜x ≤1}2．复数(1＋2i)2的共轭复数是________． 【详细分析】(1＋2i)2＝1＋4i －4＝－3＋4i ，其共轭复数为－3－4i.答案 －3－4i3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________．【详细分析】利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则a 3·a 9＝2a 25⇒a 23·q 6＝2(a 3q 2)2⇒q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝22.答案224．从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为________.【详细分析】考查统计初步知识，先求平均数，x －＝110(5×3＋4×1＋3×1＋2×3＋1×2)＝3，再根据方差公式s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x －)2代入数据， s 2＝110[3×(5－3)2＋(4－3)2＋(3－3)2＋3×(2－3)2＋2×(1－3)2]＝125.答案 1255．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．【详细分析】利用三角函数图象求出解析式，再求解函数值，由三角函数图象可得A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，0<φ<π，解得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.答案 16．已知集合A ＝{2，5}，在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ，则“以a ，b ，c 为边恰好构成三角形”的概率是________．【详细分析】“在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ”的基本事件总数为23＝8，事件“以a ，b ，c 为边不能构成三角形”分别为(2，2，5)，(2，5，2)，(5，2，2)，所以P ＝1－38＝58.答案 587．设变量x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－12x －y ≤3，，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．【详细分析】不等式组对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(2，1)时取得最小值7.答案 78．下图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝________．【详细分析】当a ＝5，P ＝25＞24，S ＝25；a ＝6，P ＝24＜25，输出的S ＝25.答案 259．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________．【详细分析】建立目标函数后利用导数求解．设圆柱的底面圆半径为r ，高为l ，则表面积为2πr 2＋2πrl ＝12π，则l ＝6－r 2r ，r ∈(0，6)，体积为V ＝πr 2l＝πr 2·6－r2r ＝π(6r －r 3)，r ∈(0，6)，所以V ′＝π(6－3r 2)，由V ′＝0解得r ＝2，且r ∈(0，2)时V ′>0，r ∈(2，6)时V ′<0，所以r ＝2时，该圆柱的体积取得最大值，此时高l ＝42＝22，底面半径与高的比值为r l ＝12.答案 1210．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，△ABC的面积为53，则c ＝________，sin A ＝________．【详细分析】由三角形面积公式可以求出sin C ，得到锐角C 的值，借助余弦定理求出c 边，最后利用正弦定理求sin A ．由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又C 为锐角三角形的内角，所以C ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝21，即c ＝21.再在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝4×3221＝277.答案 2127711．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116，则a ，b ，c 的大小关系是________．【详细分析】由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a ＞b .答案 c ＞a ＞b12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）＋1，x ＞0，f (x )＝x 的根从小到大构成数列{a n }，则a 2 015＝________．【详细分析】利用函数图象得数列通项公式，再求第2 015项．作出函数f (x )的图象如图，由图象可知方程f (x )＝x 的根依次是0，1，2，3，…，所以a n ＝n －1，故a 2 015＝2 015－1＝2 014.答案 2 01413．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为________．【详细分析】利用三角形面积建立基本量的关系求解．抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1，双曲线的渐近线y ＝±ba x 与x ＝－1的交点坐标分别是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－b a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，b a .又△AOB 的面积为2，所以12×2b a ×1＝2，即b ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝4a 2，c ＝5a ，所以离心率e ＝ca ＝ 5.答案 514．如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则将有序实数对(x ，y )叫做向量OP→在坐标系xOy 中的坐标．(1)若OP →＝3e 1＋2e 2，则|OP →|＝________； (2)在坐标系xOy 中，以原点为圆心的单位圆的方程为________． 【详细分析】由题意可得e 1·e 2＝cos 120°＝－12. (1)|OP→|＝ （3e 1＋2e 2）2＝9＋4－6＝7；(2)设圆O 上任意一点Q (x ，y )， 则OQ →＝x e 1＋y e 2，|OQ →|＝1， 即x 2＋2xy ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋y 2＝1，故所求圆的方程为x 2－xy ＋y 2－1＝0.答案 (1)7 (2)x 2－xy ＋y 2－1＝0限时练(六)(建议用时：40分钟)1．集合M ＝{x |lg x ＞0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝________．【详细分析】M＝{x|lg x＞0}＝{x|x＞1}，N＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，M∩N ＝{x|1＜x≤2}．答案{x|1＜x≤2}2．高三(1)班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号5，29，41在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．【详细分析】根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题．将48人分成4组，每组12人，所以用系统抽样抽出的学生学号构成以12为公差的等差数列，所以还有一个学生的学号是17.答案173．设i为虚数单位，则复数3＋4ii＝________．【详细分析】依题意：3＋4ii＝（3＋4i）ii2＝4－3i.答案4－3i4．执行下图所示的程序框图，输出的S为________．【详细分析】根据程序框图得执行的结果是：S＝－1＋(－1)22＋(－1)33＋(－1)44＋…＋(－1)2 0142 014＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 013＋2 014)＝1 007.答案 1 0075．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率为________．【详细分析】∵试验发生的总事件数是6×6，而点P落在圆x2＋y2＝16内包括(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共8种，由古典概型公式得到P ＝86×6＝29.答案 296．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的值域为________．【详细分析】因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2⇒x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1⇒y ∈(1，2]，所以值域为(1，2]．答案 (1，2]7．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的范围________． 【详细分析】由题意：x 2＋(a －1)x ＋1＞0恒成立． 则对应方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实数根．则Δ＝(a －1)2－4＜0，即a 2－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3.答案 (－1，3)8．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a·b ＝85，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________．【详细分析】因为a·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝85，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝45.答案 459．在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝________．【详细分析】因为{a n }是正项等比数列，所以a 2a 6＝a 24＝8⇒a 4＝22＝a 1q 3⇒q＝2，所以S 8＝1－（2）81－2＝15(2＋1)．答案 15(2＋1)10．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为________．【详细分析】f (x )定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x ＞0，解得x ＞2，所以f ′(x )＞0 的解集为(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)11．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 【详细分析】y ′＝2（x ＋2）2，所以k ＝y ′|x ＝－1＝2，故切线方程为y ＝2x ＋1.答案 y ＝2x ＋112．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2＝________． 【详细分析】利用余弦定理，再变形即得答案．答案 013．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则离心率e 的取值范围为________．【详细分析】如图所示，∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则应有ba ＞2， ∴b 2a 2＞4，c 2－a 2a 2＞4，解得e 2＝c 2a 2＞5，e ＞ 5.答案 (5，＋∞)14．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立．如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎨⎧m ＞3，f （m 2－6m ＋23）＋f （n 2－8n ）＜0， 那么m 2＋n 2的取值范围是________． 【详细分析】由f (1－x )＋f (1＋x )＝0得，f (n 2－8n )＝f [(n 2－8n －1)＋1]＝－f[1－(n2－8n－1)]＝－f(－n2＋8n＋2)，所以f(m2－6m＋23)＜－f(n2－8n)＝f(－n2＋8n＋2)，又f(x)是定义在R上的增函数，所以m2－6m＋23＜－n2＋8n＋2，即为(m－3)2＋(n－4)2＜4，且m＞3，所以(m，n)在以(3，4)为圆心，半径为2的右半个圆内，当为点(3，2)时，m2＋n2＝13，圆心(3，4)到原点的距离为5，此时m2＋n2＝(5＋2)2＝49，所以m2＋n2的取值范围是(13，49)．答案(13，49)。