自同构群的次单性分析及计算机实现

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网络与信息安全管理员(4级)题库(附参考答案)

网络与信息安全管理员（4级）题库（附参考答案）一、单选题（共65题，每题1分，共65分）1、在数据库管理系统中，数据对象的存取权限DR表示（）。

A、更新数据B、读数据C、删除关系D、删除关系里面的记录正确答案：C2、根据《信息安全等级保护管理办法》的规定，涉密信息系统按照所处理信息的最高密级，分为三个等级，其中不包括（）。

A、商密B、秘密C、机密D、绝密正确答案：A3、（）是在使用不同协议的网络区域间做协议转换。

A、应用网关B、接入网关C、安全网关D、中继网关正确答案：A4、（）应当建立互联网上网服务营业场所经营单位的经营活动信用监管制度，建立健全信用约束机制，并及时公布行政处罚信息。

A、公安网监部门B、工商行政管理部门C、文化行政部门D、电信管理部门正确答案：C5、IPv6的地址长度是O。

A、64bitB、32bitC、128bitD、256bit正确答案：C6、互联网上网服务营业场所落实相关的()措施，是对落实安全管理制度的进一步深化，是互联网上网服务营业场所的网络安全管理和保护网络安全必要的技术保障。

A、经营管理技术B、系统冗余技术C、信息安全管理技术D、服务器备份技术正确答案：C7、()负责全国互联网论坛社区服务的监督管理执法工作。

A、国家互联网信息办公室B、省互联网信息办公室C、直辖市互联网信息办公室D、自治区互联网信息办公室正确答案：A8、违反国家规定，对计算机信息系统中存储、处理或者传输的数据和应用程序进行删除、修改、增加的操作，后果严重的，构成()。

A、非法侵入计算机信息系统罪B、破坏计算机信息系统罪C、删除、修改、增加计算机信息系统数据和应用程序罪D、扰乱无线电通讯管理秩序罪正确答案：B9、红外传输的优点不包括()。

A、能贯穿墙壁B、频率分配简单C、抗干扰D、安全正确答案：A10、条件允许的情况下，恶意软件分析平台中0。

A、宿主机与虚拟机使用同构平台。

B、宿主机与虚拟机使用同构平台。

四元数群的自同构群-概述说明以及解释

四元数群的自同构群-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：四元数是一种数学结构，它扩展了复数的概念。

与复数类似，四元数可以用方式a + bi + cj + dk进行表示，其中a、b、c和d分别是实数，而i、j和k是特定的虚数单位。

四元数群是指由四元数构成的数学群，其中群的运算是四元数的乘法。

本文主要研究四元数群的自同构群。

自同构群是指一个数学结构自己到其自身的同构映射所构成的群。

在本文中，我们将探讨四元数群的自同构群的概念和性质，并研究其特点、应用和意义。

了解四元数群的自同构群对于理解四元数的结构和性质具有重要意义。

自同构群可以帮助我们发现四元数群中的对称性质和关系，从而推导出关于四元数的重要性质和结论。

此外，研究四元数群的自同构群还能够为解决一些实际问题提供有力的工具和方法。

因此，深入研究四元数群的自同构群对于数学和工程领域的学者都具有重要的参考价值。

在接下来的正文中，我们将首先介绍四元数群的定义和性质，包括四元数的乘法运算和群的封闭性等。

然后，我们会详细讨论自同构群的概念和性质，并给出一些自同构群的例子和结论。

最后，我们将总结四元数群的自同构群的特点，并探讨其在实际应用中的意义和潜在的发展方向。

希望通过本文的研究，读者能够对四元数群的自同构群有一个清晰的认识，并能够将其应用于相关领域的研究和解决问题中。

1.2文章结构文章结构部分将描述文章的整体结构和各个章节的内容安排。

文章按照以下的结构进行组织和撰写：1. 引言：引言部分主要包括以下内容：1.1 概述：对四元数群和自同构群的基本概念进行简单介绍，强调自同构群对于四元数群的重要性和研究意义。

1.2 文章结构：详细阐述文章的整体结构，即各个章节的内容和组织方式。

1.3 目的：明确本文的研究目的和研究方法，指出本文的创新点和科学价值。

2. 正文：正文部分分为以下几个章节：2.1 四元数群的定义和性质：介绍四元数群的基本定义，包括四元数的表示方法以及群运算的性质，如结合律、单位元等。

第2讲导数选择压轴题(解析版)

第2讲导数选择压轴题一、单选题：1．（2021·湖北B4联盟）已知大于1的正数a ，b 满足22ln a nb b e a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则正整数n 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．11【答案】C【分析】22ln n a n b b e a <等价于22ln a n n b e b a <，令()2ln n x f x x =，()2xn e g x x=，分别求()f x ，()g x 的导数，判断函数的单调性，可求得()f x 有最大值2222n n f e e ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭，()g x 有最小值22n nn e g n ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据题意，即求()()maxmin f x g x ≤，代入为2222n n e n e n ⎛⎫⎪⎝⎭≤⎛⎫⎪⎝⎭，等价于2ln 22n n n +≥-，令()2ln 22x x x x ϕ+=--，即求()0x ϕ>的最大的正整数．对()x ϕ求导求单调性，可知()x ϕ单调递减，代入数值计算即可求出结果．【解析】由题干条件可知：22ln n a n b b e a <等价于22ln an n b e b a<，令()2ln n x f x x =，()1x >，则()121ln (2ln )ln (2ln )'n n n x x n x x n x f x x x-+⋅--== ()'0f x =，2n x e = ，当()'0f x >时，21,n x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()'0f x <时，2,n x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭∴()f x 在21,n e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,n e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则()f x 有最大值2222n n f e e ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭．令()2xn e g x x =，()1x >，则()()222'x ne x n g x x-=，当12n ≤时，此题无解，∴12n >，则()'0,2n g x x ==，当()'0,2n g x x >>，当()'0,12ng x x <<<， ∴()g x 在1,2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()g x 有最小值22n nn e g n ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭．若22ln a n n b e b a <成立，只需22n n f e g ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2222n n e n e n ⎛⎫⎪⎝⎭≤⎛⎫ ⎪⎝⎭，即222n n n e -+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边取对数可得：22)ln 2(n n n +≥-．2n =时，等式成立，当3n ≥时，有2ln 22n nn +≥-，令()2ln 22x xx x ϕ+=--，本题即求()0x ϕ>的最大的正整数． ()241'0(2)x x x ϕ-=-<-恒成立，则()x ϕ在[)3,+∞上单调递减，()58ln 403ϕ=->，()1199ln 1.5714 1.51072ϕ=-≈->，()310ln 502ϕ=-<，∴()0x ϕ>的最大正整数为9．故选C ．【点睛】本题考查构造函数法解决恒成立问题．方法点睛：双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为()()12f x g x <，若()()12max min f x g x <，则复合恒成立的情况．2．（2021·湖北B4联盟）已知集合1ln 1x a e a x A x x x --⎧⎫+⎪⎪=-≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，集合{}2021ln 2021B x x x =+≥，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A ．[],1e -B ．[],e e -C ．[]1,e -D ．[]1,1-【答案】A【分析】先求出集合B ，再根据包含关系可得1ln 1x a e a xxx--+-≤在[)1,+∞上恒成立即()ln ln x a x a x x e e ---≤-在[)1,+∞上恒成立，就0,01,1a a a ≤<≤>分类讨论后可得正确的选项．【解析】先考虑不等式2021ln 2021x x +≥的解，∵2021,ln y x y x ==均为()0,∞+上的增函数，故()2021ln f x x x =+为()0,∞+上的增函数，故[)1,B =+∞．故[)1,+∞为不等式1ln 1x a e a x x x --+-≤的解集的子集，即1ln 1x a e a x x x--+-≤在[)1,+∞上恒成立，故()ln ln x axax x ee ---≤-在[)1,+∞上恒成立．令()ln g t t t =-，则()111t g t tt'-=-=，故当01t <<时，()0g t '<，故()g t 在()0,1上为减函数；当1t >时，()0g t '>，故()g t 在()1,+∞上为增函数；当0a ≤时，∵1≥x ，故(]()10,1,0,axx ee --∈∈，故a x x e -≥在[)1,+∞上恒成立，即ln xa x≥-在[)1,+∞上恒成立，令()ln x S x x =-，故()2ln 1ln x S x x-'=-，当1x e ≤<时，()0S x '>，当x e >时，()0S x '<，故()S x 在[]1,e 上为增函数，在[),e +∞上为减函数，故()max ln eS x e e=-=-，故a e ≥-即0e a -≤≤．若0a >，当01a <≤时，∵1≥x ，故1a x x ≤≤，∴ln ln a a x x x x x x e --≤-≤+（注意ln x e x -≥-恒成立），故01a <≤符合题意．当1a >时，∵()ln ln x axax x e e ---≤-在[)1,+∞上恒成立，故()33333ln ln 3aa e e e ee e e e e ----≤-=+，即3333a e e e a e --≤+，设()33,1aa T e a a ->=，则()3330aT a e '->=，故()T a 在()1,+∞上为增函数，故()()33351011331231328T a T e e e e -⎛⎫>=->-=>>+>+ ⎪⎝⎭，故3333a e e e a e --≤+不成立，故1a >舍去，综上，1e a -≤≤．故选A ．【点睛】思路点睛：导数背景下的不等式恒成立问题，应该根据不等式中解析式的特点合理转化，特别是对于指数与对数同时出现的形式，可利用同构的思想进行转化．3．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知a 、b R ∈，且0ab ≠，对任意0x >均有()()()ln 0x a x b x a b ----≥，则（）A ．0a <，0b <B ．0a <，0b >C ．0a >，0b <D ．0a >，0b >【答案】B【分析】推导出ln x a -与a x e -符号相同，构造函数()()()()af x x e x b x a b =----，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项．【解析】ln ln ln lna a x x a x e e -=-=，故ln x a -与ln axe的符号相同，当ln 0ln1a x e >=时，a x e >；当ln 0ln1a xe<=时，a x e <．∴ln x a -与a x e -的符号相同．()()()()()()ln 00a x a x b x a b x e x b x a b ∴----≥⇔----≥，令()()()()af x x ex b x a b =----，∴当0x >时，()0f x ≥恒成立，令()0f x =，可得1ax e =，2x b =，3x a b =+．0ab ≠，分以下四种情况讨论：对于A 选项，当0a <，0b <时，则0a a b b e +<<<，当0a x e <<时，()0f x <，不合乎题意，A 选项错误；对于B 选项，当0a <，0b >时，则a b b +<，若0a b +>，若+a b 、b 、a e 均为正数，①若a e b =，则()()()2f x x a b x b =---，当0x a b <<+时，()0f x <，不合乎题意；②若a e a b =+，则()()()2f x x a b x b =---，当0x a b <<+时，()0f x <，不合乎题意．③若+a b 、b 、a e 都不相等，记{}min ,,at b a b e=+，则当0x t <<时，()0f x <，不合乎题意．由上可知，0a b +≤，当0x >时，若使得()0f x ≥恒成立，则0aa b e b +≤⎧⎨=>⎩，如下图所示，∴当0a <，0b >时，且0a b +≤，0a b e =>时，当0x >时，()0f x ≥恒成立；对于C 选项，当0a >，0b <时，则b a b <+，①若0a b +≤时，则当0a x e <<时，()0f x <，不合乎题意；②当0a b +>时，构造函数()ag a e a b =--，其中0a >，()10ag a e '=->，函数()g a 在()0,∞+上单调递增，则()()010g a g b >=->，a e a b ∴>+．当a a b x e +<<时，由于0x b ->，则()0f x <，不合乎题意，C 选项错误；对于D 选项，当0a >，0b >时，则b a b <+，此时b 、+a b 、a e 为正数． ①当b 、+a b 、a e 都不相等时，记{}min ,,at b a b e =+，当0x t <<时，()0f t <，不合乎题意；②若a b e =，则()()()2f x x b x a b =---，当0x b <<时，()0f x <，不合乎题意；③当a e a b =+时，()()()2f x x b x a b =---，当0x b <<时，()0f x <，不合乎题意． ∴D 选项错误．故选B ．【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）分析ln x a -与a x e -同号；（2）对b 、+a b 、a e 的大小关系进行讨论，结合穿针引线法进行验证．4．（2021·江苏省天一中学高三二模）若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．9,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围．【解析】设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，∵2()34g x x x '=-，∴()0g x '=，0x ∴=或43x =，∵403x <<时，()0g x '<，43x >或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：当0a 时，()()f x g x >至多一个整数根；当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩，3232ln 4323ln 5424a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩，∴9322ln 2ln 5a <．故选C ．【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力．5．（2021·江西八校4月联考）已知函数2ln 1()x mx f x x +-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】由题意可知2ln 1x m x +=，构造函数2ln 1()(0)x h x x x+=>，利用导数研究函数()h x 的单调性及极值，又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，()0h x →，作出函数()h x 的图像，利用数形结合思想即可求解．【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=，设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x -+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减；故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →；作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +==， ∵存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点，由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤<，故选B ．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．6．（2021·河南焦作市·高三三模）已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：ln ()()a xg x a R x=∈在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在(0,)+∞上（） A ．有唯一零点 B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定【答案】A【分析】先对函数()xf x xe =和()ln a xg x x=求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln xh x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数．【解析】∵()xf x xe =，∴()()1xf x x e '=+，又()ln a xg x x =，∴()2ln a a xg x x-'=，由题设知，()()01f g '='，即()02ln1101a a e -+=，∴1a =，则()()()ln ln x x x h x f x g x xe e x x==⋅=， ∴()()ln 1ln xx xx x ee h x e x x x+=='+，0x >，令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴()0m x >，则()0h x '>，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =．()h x 在()0,∞+上有唯一零点，故选A ．【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数．（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）7．（2021·陕西下学期质检）已知函数()()ln ,0,1,0x x x f x x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩关于x 的方程()()210f x tf x ++=（t R ∈）有8个不同的实数根，则t 的取值范围是（） A ．1e,e ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭B ．211,,e e 2e ⎛⎫⎛⎫---∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．17,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()172,,4⎛⎫+∞-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据分段函数得解析式，利用导数研究函数()f x 的性质，作出函数()f x 的图象，将方程有8个不同的实数根转化为方程210m tm ++=在11,4e ⎛⎫⎪⎝⎭存在两个不同的实数根或在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有1个根，进而得到t 的取值范围．【解析】当0x >时，()ln f x x x =．令()ln F x x x =，则()ln 1F x x '=+．令()0F x '=，则1e x =，e 1e 1F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11e ef ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故当0x >时，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,单调递增；当0x <时，易知函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．又1124f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，11e ef ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故可画出函数()f x 的大致图象如图所示，令()m f x =，则已知方程可化为210m tm ++=．观察图象可知，当1e m >时，只有2个交点；当1e m =时有3个交点；当114em <<时，有4个交点；当14m =时有5个交点；当104m <<时，有6个交点．要想满足题意，则只需使得方程210m tm ++=在11,4e ⎛⎫⎪⎝⎭存在两个不同的实数根或在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有1个根．方程210m tm ++=的两根之积为1，令()21g m m tm =++，由题意只需()10,440,g g ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩解得174t <-，故选C ．【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8．（2021·天津十二区联考）已知定义在R 上的函数2ln ,1(),1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，若函数()()k x f x ax =+恰有2个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．{}1,0(1,)e ⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．{}11,0(1,)e ⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．111,{0},e e⎛⎫⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1(,1){0},1e ⎛⎫-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】函数()()k x f x ax =+恰有2个零点，转化为直线y ax =-与()y f x =的图象有两个交点，作出函数()f x 的图象及直线y ax =-观察它们交点个数，对函数()f x 要分类讨论，求在原点处或过原点的切线斜率．【解析】如图，数形结合，观察直线y ax =-与曲线()y f x =的位置关系．当2(,0],(),()21,(0)1x f x x x f x x f ''∈-∞=-=-=-，故在(0,0)处的切线方程为1y x =-．当2[0,1],()x f x x x ∈=-+，同理可得在(0,0)处的切线方程为2y x =．当1(1,),()ln ,()x f x x f x x'∈+∞==，设切点为(,ln )t t ，其中1t >，则过该点的切线方程为1ln ()y t x t t-=-，代入(0,0)，得t e =，故过(,1)e 的切线方程为31y x e=．可得当1(,1){0},1a e ⎛⎫-∈-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭时，有两个交点，即函数()y k x =恰有两个零点．此时11,{0}(1,)a e ⎛⎫∈--⋃⋃∞ ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题关键是转化为直线与函数图象交点个数，通过数形结合思想求解．9．（2021·安徽江南十校3月联考）当x >1时，函数y =(ln x )2+a ln x +1的图象在直线y =x 的下方，则实数a 的取值范围是（） A ．(-∞，e )B ．(-∞，252e -)C ．(-∞，52) D ．(-∞，e -2)【答案】D【分析】分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到a 的取值范围．【解析】由题意知，1ln ,(1),ln x a x x x -<->构造函数()1ln ,(1)ln x F x x x x-=->， ()()()2ln 11ln ,ln x x x F x x x'---=⋅令()1ln ,g x x x =--则()()()110,10,g x g x g x=>'->=故当1x e <<时()(),0,F x F x <'单调递减;当x e >时()(),0,F x F x >'单调递增，∴()()2,F x F e e =- ∴2,a e <-故选D ．10．（2021·浙江金华市·高三期末）已知函数()3f x x ax b =++，a 、b R ∈．1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，则当a 、b 取不同的值时，（）A ．12n x +与22m x -均为定值B ．12n x -与22m x +均为定值C ．12n x -与22m x -均为定值D ．12n x +与22m x +均为定值【答案】D【分析】分析得出0a <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论．【解析】当0a ≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，∴0a <．由()0f x '=可得x =，当3a x或3ax 时，()0f x '>；当33a ax时，()0f x '<．∴函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝．对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =，又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，∴1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则1x =，2x =由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x na x n -+-=，即()()221110x n x nx n a -+++=，∵1x n ≠，则22110x nx n a +++=，1x =--213a x =-，∴221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=， ∴120n x +=，同理可得220m x +=，故选D ．【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果． 11．（2021·河南驻马店市·高三期末）已知函数1ln ()e +=-x xf x x，则()f x 的最大值是（） A ．1- B ．2-C ．0D ．1e -【答案】A【分析】构造函数()e 1=--xg x x 利用导数求出最小值，然后ln e (ln )1()1x x x x f x x+-+-=--可得答案．【解析】ln 1ln e e (ln )1()1(0)x x x x x x x f x x x x++--+-==-->，设()e 1=--x g x x ，()e 1x g x '=-，当0x >时，()0g x '>，()g x 是单调递增函数，当0x <时，()0g x '<，()g x 是单调递减函数，∴min ()(0)0g x g ==，∵ln 0x x +=时有解，∴()()ln maxe ln 11101x x x x f x x+-+-=--=--=-．故选A ．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值问题，关键点是构造函数()e 1=--xg x x 利用导数求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力．12．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数21()(0)f x a x a=>+，若对任意x ∈R ，存在12,x x 使得()()()1212()f x f x f x x x -=-，则a 的最大值为（）A ．18B ．827C ．2764D ．64125【答案】C【分析】根据题意，()f x 的值域是222()()x f x x a '=-+的值域的子集，易知()f x 的值域10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，对于()'f x ，只需考虑0x <时，max 1()f x a'≥，求解即可得出结果．【解析】21()(0)f x a x a=>+，222()()x f x x a '∴=-+，当12x x ≠时，()()()()()12121212()()=f x f x f x f x f x x x f x x x --=-⇔-，若对任意x ∈R ，存在12,x x 使得()()()1212()f x f x f x x x -=-，即存在()()0f x f x '=，()f x 的值域为10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，()f x '∴的值域包含10,a ⎛⎤⎥⎝⎦，2224223+2222()=()2ax x xf x a x a x a x ax x'∴=--=-++++，根据函数性质，只需研究0x <的值域即可．令()232a g x x ax x =++，则()()()222222+332x a x a a g x x a x x -'=+-=，,x ⎛∈-∞ ⎝，()0g x '>，x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x g ⎛≤= ∴⎝0()f x '<≤1a≥，解得：6427a ≤，故a 的最大值为2764．故选C ．【点睛】思路点睛：利用导数的方法研究函数的最值问题时，一般需要先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，求出极值，结合题中条件即可求出最值（有时解析式中会含有参数，求解时，要讨论参数的不同取值范围，再判断函数的单调性，进行求解）13．（2021·天津部分区期末考试）已知函数()2xe f x x=（e 为自然对数的底数），关于x 的方程()()()2220af x a a R f x ⎡⎤⎣+-=⎦-∈恰有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．2,21e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭ D ．242,41e e ⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭【答案】D【分析】令()u f x =，由()()()2220af x a a R f x ⎡⎤⎣+-=⎦-∈，可得2220u au a -+-=，利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，作出函数()u f x =的图象，由图象可知，方程2220u au a -+-=有两根1u 、2u ，且满足12u e >，202u e <<，设()222g u u au a =-+-，利用二次函数的零点分布可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围．【解析】令()u f x =，由()()()2220af x a a R f x ⎡⎤⎣+-=⎦-∈，可得2220u au a -+-=，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，()222,0,0xx xe x e xf x x e x x⎧>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩．当0x >时，()()2221x e x f x x -'=，由()0f x '<可得102x <<，由()0f x '>可得12x >． ∴函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，()min 122f x f e ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当0x <时，()()22120x e x f x x-'=>，此时函数()f x 单调递增，且()0f x >，作出函数()u f x =的图象如下图所示：由于关于x 的方程()()()2220af x a a R f x ⎡⎤⎣+-=⎦-∈恰有四个不同的实数根，则关于u 的二次方程2220u au a -+-=恰有两个不同的实根1u 、()212u u u >，且直线1u u =与函数()u f x =的图象有三个交点，直线2u u =与函数()u f x =的图象有且只有一个交点，∴12u e >，202u e <<，设()222g u u au a =-+-，由二次函数的零点分布可得()()2020242220g a g e e a e a ⎧=->⎪⎨=-⨯+-<⎪⎩，解得24241e a e ->-．因此，实数a 的取值范围是242,41e e ⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭．故选D ．【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号．结合图象得出关于参数的不等式组求解．14．（2021·江苏扬州市·高三月考）已知函数()ln ,024,0x x x f x x e x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（）A ．12e e-B ．21e + CD ．52e 【答案】D【分析】设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线24y x e =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为4π，可得出12x x -=，于是当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，从而12x x -取到最大值．【解析】当0x >时，()ln f x x x =，求导()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1=x e当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；作分段函数图象如下所示：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线24y x e =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，12x x -=，由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，令()ln 12f x x '=+=，得x e =，切点坐标为(),e e ，此时，d ==，12max 522x x e ∴-==，故选D ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查学生的化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题．15．（2021·天水市第一中学高三月考）函数()ln f x x ax =-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】分离参数a 后将函数零点个数转化为两个函数图像的交点个数．【解析】函数定义域为()0,∞+，由()ln 0f x x ax =-=，得ln xa x=，设()()2ln 1ln ,x xg x g x x x-'==，令()0g x '=得x e =， () 0,x e ∈时，()()0,g x g x '>单调递增； () ,x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；x e =时，()g x 取极大值()1g e e=．()()0,0x x lim g x lim g x →→+∞→-∞→，∴要使函数()ln 0f x x ax =-=有两个零点即方程ln x a x=右有两个不同的根，即函数()g x 与y a =有两个不同交点即10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选 B ．【点睛】思路点睛：涉及函数零点问题时，参数可以分离的情况下优先选择分离参数，然后构建新函数，将零点个数转化为两个函数图像的交点个数．16．（2021·江苏省滨海中学高三月考）已知关于x 方程(21)(1)0xe x m x -+-=有两个不等实根，则实数m的取值范围是（）A ．()324,11,e ⎡⎫---+∞⎪⎢⎣⎭ B ．32,4e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．()324,11,0e ⎛⎫--- ⎪⎝⎭D ．()32,41,0e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】将问题转化为“方程()211x e x m x --=-有两个不等实根”，构造新函数()()211x e x f x x -=-，利用导数分析其单调性以及取值情况，由此确定出方程有两个不等实根时m 的取值范围．【解析】当1x =时，()()2110xex m x e -+-=≠，∴1x =不是方程的解，当1x ≠时，()()2110xe x m x -+-=有两个不等实根⇔()211x e x m x --=-有两个不等实根，即()211x e x y x -=-与y m =-的图象有两个交点，令()()()2111x e x f x x x -=≠-，()()()2231x x x e f x x -'=-，令()0f x '=，∴0x =或32x =，当(),0x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，()33223201,4122ef f e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()()()11lim 0,lim ,lim ,lim x x x x f x f x f x f x -+→-∞→+∞→→==-∞=+∞=+∞，∴要使()211x e x y x -=-与y m=-的图象有两个交点，则01m <-<或324m e ->，解得10m -<<或324m e <-，∴m 的取值范围是()32,41,0e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究方程根的问题，主要考查学生的转化、分析与计算能力，难度较难．方程根的数目问题可以转化为函数图象的交点个数问题，也可转化为函数的零点个数问题． 17．（2021·辽宁辽南协作区期末）已知函数()()213142x f x k x e x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，若函数()f x 的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数k 的取值范围为（） A ．323131,128e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．23131,84e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．323131,128e e ⎛⎤--⎥⎝⎦D ．23131,84e e ⎛⎤--⎥⎝⎦【答案】C【分析】函数()f x 的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，转化为1()e 304x f x kx x ⎛⎫'=+-≤ ⎪⎝⎭解集中恰有两个正整数，利用数形结合建立不等式求解即可．【解析】∵()()213142x f x k x e x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数， ∴1()e 304x f x kx x ⎛⎫'=+-≤ ⎪⎝⎭的解集中恰有两个正整数，由1e 304x kx x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭可得，134e x x kx +≤ ，令3()e x x g x =，则3(1)(),(,1)e xx g x x -=∈-∞'，()0g x '>，()g x 单调递增，(1,),()0x g x +'∈∞<，()g x 单调递减，作出函数()g x 与14y kx =+的图象如图，当()0f x '≤恰有两个正整数解时，即为1和2，∴232316231314e19e 12e 834e k k k ⎧+≤⎪⎪⇒-<≤-⎨⎪+>⎪⎩，故选 C ．【点睛】本题以解不等式为载体，要求考生抓住函数图象和性质的本质，建立数与形之间的联系，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，属于难题．18．（2021·湖南岳阳市·高三一模）对于函数()y f x =，若存在0x ，使00()()f x f x =--，则点00(,())x f x 与点00(,())x f x --均称为函数()f x 的“先享点”已知函数316,0(),6,0ax x f x x x x ->⎧=⎨-≤⎩且函数()f x 存在5个“先享点”，则实数a 的取值范围为（） A ．(6,)+∞ B ．(,6)-∞ C ．(0,6) D ．(3,)+∞【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，判断出“先享点”的特征，之后根据()f x 存在5个“先享点”，等价于函数32()6(0)f x x x x =-≤关于原点对称的图象恰好与函数1()16(0)f x ax x =->有两个交点，构造函数利用导数求得结果．【解析】依题意，()f x 存在5个“先享点”，原点是一个，其余还有两对，即函数32()6(0)f x x x x =-≤关于原点对称的图象恰好与函数1()16(0)f x ax x =->有两个交点，而函数32()6(0)f x x x x =-≤关于原点对称的函数为32()6(0)f x x x x =-≥，即3166ax x x -=-有两个正根，32166166x x a x x x-+==+-，令()2166(0)h x x x x =+->，322162(8)'()2x h x x x x-=-=， ∴当02x <<时，'()0h x <，当2x >时，'()0h x >，∴()h x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，且(2)4866h =+-=，并且当0x →和x →+∞时，()f x →+∞，∴实数a 的取值范围为(6,)+∞，故选A ．【点睛】该题考查的是有关新定义问题，结合题意，分析问题，利用等价结果，利用导数研究函数的性质，属于较难题目．19．（2021·安徽合肥市·高三二模）函数()()221sin 1x xf x x ++=+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先把()f x 化为()22sin 11x x f x x +=++，利用()22sin 1+=+x xg x x 为奇函数可排除C ，再结合函数值的符号可排除A D ，从而可得正确的选项．【解析】()()2221sin 2sin 111x x x x f x x x +++==+++，令()22sin 1+=+x x g x x ，则()()22sin 1x xg x g x x ---==-+，故()g x 为R 上的奇函数，故()f x 的图象关于()0,1对称，故排除C ．又当0x >时，令()2sin h x x x =+，则()2cos 0h x x '=+>，故()()00h x h >=，故当0x >时，()1f x >，故排除D ．而()sin1102f -=-<，故排除A ，故选B ．【点睛】方法点睛：已知函数解析式判断函数图象时，往往需要根据函数的奇偶性、单调性等来判断图象的性质，有时也需要根据函数值的正负来判断．20．（2021·陕西下学期质检）已知函数()e 1xa f x =-+在点()0,0O 处的切线与函数()2ln 1ax ax g x x x =--+的图象相切于点A ，则点A 的坐标为（）A ．151,ln 2482⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．111,ln 2222⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．()1,1D ．()2,52ln 2-【答案】C 【分析】根据点()0,0O 在函数()f x 的图象上，可得2a =，再由导数的几何意义可得函数()f x 的切线l 的方程，再设(),A m n ，利用导数的几何意义列出方程即可求解．【解析】由题意可知，点()0,0O 在函数()f x 的图象上，2a ∴=，()e xf x ∴'=，()01f '=，∴函数()f x 在点O 处的切线方程为0x y -=．()222ln 1x x g x x x =--+，则()43ln g x x x '=--．令点(),A m n ，则()43ln 1g m m m =--='，()222ln 1n m m g m m m ==--+．点A 在直线0x y -=上，243ln 1,22ln 1,m m m m m m n m --=⎧∴⎨--+==⎩解得1m n ==， ∴点()1,1A ，故选C ．【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积．21．（2021·漠河市高级中学高三月考）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()'f x 是函数()f x 的导函数且在[)0,+∞上()1f x '<，若(2020)()20202f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为（）A ．[]1010,1010-B ．[)1010,+∞C ．(],1010-∞-D ．(][),10101010,-∞-+∞【答案】B 【分析】构造函数()()g x f x x =-，由已知得()g x 在R 上的奇函数且单调递减，即可将不等式变形为(2020)()g m g m -≥，利用函数的单调性求解即可．【解析】设()()g x f x x =-，则()()1g x f x ''=-又[)0,x ∈+∞上，()1f x '<，则()0g x '<，即函数()g x 在[)0,x ∈+∞上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，则函数()g x 为R 上的奇函数，故()g x 在R 上单调递减，又(2020)()20202f m f m m --≥-()(2020)2020()f m m f m m ∴---≥-，即(2020)()g m g m -≥可得：2020m m -≤，解得：1010m ≥ 故选B ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是根据题目条件构造与之对应的函数，再利用函数求导，结合函数的单调性来转化解决问题，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于一般题． 22．（2021·江苏徐州市·高三二模）若ln ln ln 1a a b b c c >>=，则（） A ．ln ln ln b c c a a b e a e b e c +++>> B ．ln ln ln c a b c a b e b e a e c +++>> C ．ln ln ln a b c a b c e c e b e a +++>> D ．ln ln ln a b b c c a e c e a e b +++>>【答案】C【分析】构造函数()ln f x x x =，利用导数得出1a b c >>>，构造函数ln ()xxg x e =，利用导数证明ln ln ln a b c a b ce e e<<，从而得出ln ln ln a b c a b c e c e b e a +++>>．【解析】令()ln f x x x =，则()1ln f x x '=+，当10x e <<时，()0f x '<，当1x e >时，()0f x '>，即函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()()()1f a f b f c >>=，由图象易知，1a b c >>>，令ln ()x x g x e=，则1ln ()x xx g x e-'=，由于函数1ln y x x=-在(0,)+∞上单调递减，1ln c c =，111ln 0c c c c -=-=，则1ln 0x x-=在(0,)+∞上有唯一解c ，故在上有唯一解，即当时，，则函数在上单调递减，即，即，，，故选C ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小关系．23．（2021·四川遂宁市·高三二模）若，则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】首先对进行变形，即，由于同构，可构造函数，知在上单调递增，原不等式转化为，根据单调性的性质可得，再进行参变分离，求出函数()0g x '=(0,)+∞c x c >()0g x '<()g x (,)c +∞()()()g a g b g c <<ln ln ln a b c a b ce e e<<ln ln ,ln ln b a c b e a e b e b e c ∴<<ln ln ,ln ln ln ln ln b c a c a c b c b c a c b c e a e b e b e c e a e b e c +++++++∴<<⇒<<()()e 1ln 0,0xa x ax a x ≥-+>>a e4e 2e 2e e ln x x ax ax +≥+e ln e ln x x ax ax +≥+()()ln 0f x x x x =+>()f x ()0,∞+()()e xf f ax ≥e xax ≥e x a x ≤ex x最值，即可得解．【解析】原不等式化为，即，令，知在上单调递增，原不等式转化为，∴，即，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时取得最小值， ∴的最大值为．故选C ．【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式相关问题，考查了转化思想，有一定的计算量，属于中档题．本题关键有：（1）找到所给不等式的同构特征，同构特征是解题的关键；（2）构造函数，并求所构造函数的单调性；（3）参变分离，转为恒成立问题．24．（2021·山西名校模拟）已知函数，对于任意实数，，且，都有，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】e ln x x ax ax +≥+e ln e ln x x ax ax +≥+()()ln 0f x x x x =+>()f x ()0,∞+()()exf f ax ≥e xax ≥e xa x≤()e x u x x =()()2e 1x x u x x -'=01x <<()0u x '<()u x 1x >()0u x '>()u x 1x =()u x ()1e u =a e e 1()e 1x x f x ax -=-+1x 2x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-a 12a >1a >12a ≥1a ≥根据题意得在上恒成立，再由求函数最大值即可．【解析】由对于任意实数，，且，都有，可得在定义域上为减函数，∴在上恒成立，即，又∵， ∴．故选C ．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由分析得函数为单调递减，进而转化为在上恒成立，利用参变分离求参是解题的关键，属于中档题．25．（2021·河南新乡市·高三二模）已知函数的图象过点，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】2e ()0(e 1)2xx f x a '=-≤+R 2212e 2(e 1)e e x x x xa +≥=++1x 2x 12x x ≠()()1212f x f x x x -<-e 1()e 1x x f x ax -=-+2e ()0(e 1)2xxf x a '=-≤+R 2212e 2(e 1)e e x x x xa +≥=++212e 2e 1x x++≤=12a ≥()()12120f x f x x x -<-()0f x '≤R()2xx x mf x e++=11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭x ()()0f x a a +=∈R a (),0e -()0,e 25,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭25,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭利用导数可确定的单调性和极值，由此得到的图象，将问题转化为与有个不同交点，利用数形结合的方式可求得结果．【解析】，，．，当和时，；当时，；在上单调递增，在，上单调递减，的极大值为，极小值为，且当时，，当时，，由此可得大致图象如下图：有个不同实数根等价于与有个不同的交点，由图象可知：，的取值范围为．故选C ．【点睛】方法点睛：已知方程根的个数求参数值或取值范围常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解26．（2021·河南金太阳3月联考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，()f x ()f x ()f x y a =-3()211m f e e +==1m ∴=-()21xx x f x e +-∴=()()()()()2221121x x xxx e e x x x x f x e e +-+--+'∴==-(),1x ∈-∞-()2,+∞()0f x '<()1,2x ∈-()0f x '>()f x ∴()1,2-(),1-∞-()2,+∞∴()f x ()252f e=()1f e -=-x →-∞()f x →+∞x →+∞()0f x →()f x ()0f x a +=3()f x y a =-3250a e<-<∴a 25,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭(1)f x +R 1≥x ()cos xf x e x =+若，，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用当时，，得到在上单调递增，根据函数是定义在上的偶函数，得到函数的图象关于直线对称，之后利用函数单调性和对称性之间的关系进行比较即可得到结果．【解析】当时，， ∴在上单调递增．又∵函数是定义在上的偶函数， ∴函数的图象关于直线对称． ∴在上单调递减．∵，，，∴．故选D ．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决该题的关键．27．（2021·浙江宁波市·高三月考）已知函数，则函数的零点个数是（） A ．3B ．4C ．5D ．60.513a f -⎫⎛⎫⎛=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ln 2()c f e =a b c >>c b a >>b a c >>b c a >>1≥x ()e sin 0xf x x '=->()f x [1,)+∞(1)f x +R ()y f x =1x =1≥x ()e sin 0xf x x '=->()f x [1,)+∞(1)f x +R ()y f x =1x =()f x (,1)-∞()ln 2e(2)c f f ==0.51(2)3a f f f -⎫⎛⎫⎛==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()122log 3log 3b f f ⎫⎛==-⎪ ⎝⎭(1)(3)(2)f f f >-=>b c a >>24,0()1,0x x x x f x e x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩()()5g x f f x =-⎡⎤⎣⎦【答案】D 【分析】首先求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可画出函数的草图，从而得到的零点，则，转化为或或，数形结合即可判断；【解析】解：∵，∴，令，解得，∴在上单调递减，令，解得或，∴在和上单调递增，函数图象如下所示：当时，令，得或；又时；时，，∴使得；要使，即或，或即或，或由函数图象易知，，与都有两个交点，()f x ()()5g x f f x =-⎡⎤⎣⎦()50f x -=()54f x -=-()05f x x -=24,0()1,0x x x x f x e x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩224,0()1,0x x x f x e x x +≤⎧⎪=⎨+>'⎪⎩()0f x '<2x <-()f x (),2-∞-()0f x '>20x -<<0x >()f x ()2,0-()0,∞+0x ≤()0f x =0x =4x =-0x +→()f x →-∞x →+∞()f x →+∞()110f e =->()00,1x ∃∈()00f x =()()50g x f f x =-=⎡⎤⎣⎦()50f x -=()54f x -=-()05f x x -=()5f x =()1f x =()05f x x =+5y =1y =05y x =+()y f x =。

第三章正规子群和群的同态与同构

则当 G 是一个群时， G却不一定是群 .
_
_
_
G ~ G，
_
例令 G = {全体正负奇数 }，代数运算为数的普通乘法；
G = {1,−1}关于数的普通乘法作成群， _ _ 令 ϕ : 正奇数 → 1, G ~ G , G 是群，但 G不是！负奇数 → − 1.
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的代数系统，
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习二、群同态基本定理三、应用
一、复习
1、正规子群：
在 ϕ之下的所有逆象作成的集合，叫做 ϕ的核，记为 ker ϕ .
_
_
G中所有元素在 ϕ之下的象作成的集合，叫做
ϕ的象集，记为 Im ϕ .
结论：设 ϕ为群 G到群 G 的一个同态映射， K = ker ϕ ,
.
_
则 : (1) ker ϕ
<G , Im ϕ < G; ( 2) ϕ (a ) = ϕ (b ) ⇔ ∀a , b ∈ G , 有 aK = bK . (3）一个同态 ϕ 是单同态 ⇔ Kerϕ = {e } ⊆ G
设N是G的一个正规子群，任取二陪集aN与bN,有
(aN )(bN ) = a ( Nb) N = a (bN ) N = (ab) NN = (ab) N ,
即(aN )(bN ) = (ab) N , 称此为陪集的乘法.

群论中的群的自同构和外自同构

群论是数学中一个重要的研究领域，研究的是群的结构和性质。

而群的自同构和外自同构正是群论中具有重要意义的概念。

群的自同构指的是一个群与自身之间存在的一种一对一的双射映射，该映射保持了群的运算结构。

也就是说，对于一个群G，如果存在一个映射φ: G → G，满足：(1) φ(g1 * g2) = φ(g1) * φ(g2)，对于任意的g1, g2∈G；(2) φ是一对一映射。

那么称φ为群G的自同构。

群的自同构不仅仅是一种简单的映射，它同时还是保持了群的运算结构，既有映射的特点，又保持了群的性质，具有重要的意义。

群的自同构可以让我们更深入地研究一个群的结构。

通过找到群的自同构，我们可以发现群的一些性质和特征。

例如，通过研究循环群的自同构，我们可以得到其全部自同构的形式，从而推导出一些关于该循环群的重要结论。

群的自同构还可以用来研究同构群的问题，例如，如果两个群存在自同构，则它们的结构相似，这为研究群的性质和分类提供了便利。

除了群的自同构，还存在一种概念叫做群的外自同构。

群的外自同构是指一个群与另一个群之间存在的一种一对一的双射映射，该映射仅保持了群的基本运算性质，但不一定保持了具体的元素和运算结果。

也就是说，对于两个群G和H，如果存在一个映射φ: G → H，满足：(1) φ(g1 * g2) = φ(g1) * φ(g2)，对于任意的g1, g2∈G；(2) φ是一对一映射。

那么称φ为群G与群H之间的一个外自同构。

群的外自同构与群的自同构的不同之处在于，外自同构研究的是群与其他群之间的对应关系，而不是群内部的运算结构。

外自同构可以让我们研究不同的群之间的关系，从而更好地理解和比较不同的群。

总之，群的自同构和外自同构是群论中重要的概念。

群的自同构保持了群的完整性与结构，而群的外自同构则研究了不同群之间的对应关系。

通过研究群的自同构和外自同构，我们可以更深入地了解群的性质和结构，为群论的研究提供了基础。

第三章正规子群和群的同态与同构

则称为群G到群 G 的一个同态映射.
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抽象代数
复习回顾:
当又是满射时,则称群 G与 G同态,
记为 G ~ G.
当是一个双射时, 称为群G到G
的一个同构映射.如果群G到 G 存在同构映射,就称群 G与G同构,记为 G G.
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抽象代数
定理5 设G是一个 pn阶有限交换群,其中 p是一个素数,则 G 有 p阶元素,从而有p 阶子群.
提示:对n用数学归纳法可证.
推论 pq ( p, q为互异素数) 阶交换群必为
循环群.
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三哈密顿群和单群
定义2 设 G 是一个非交换群.如果G 的每个子群都是的正规子群,则称 G是一个哈密顿群.
C(G) G . 例2 设 H S3 , 其中H ((123)) {(1),(123),(132)}
易知 H S3 .但是 S3 的.三个子群
H1 {(1),(12)}, H2 {(1),(13)}, H3 {(1),(23)}
都不是 S3 的正规子群.
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但 G是群,故由 e 2 e 可知，e 是G的单位元.
至于(a1) (a)1 可由定理1直接得到.
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抽象代数
定理2 设是群G 到群G的一个同态映射
(不一定是满射), 则 1）当 H G时,有(H) G,且H ~ (H );
抽象代数
证 1)设 NG, H G,任取nh NH,(n N,hH), 由于hN Nh ,故 nh Nh hN HN, 从而NH HN. 同理可得 NH HN. 因此 NH HN ,从而 NH G.

循环群的自同构群

循环群的自同构群循环群是指由一个元素生成的群。

在数学中，循环群常常表示为⟨a⟨，其中a被称为生成元素。

循环群可以是有限的或无限的。

循环群的自同构群是指将循环群映射到自身的所有同构。

自同构是一种保持群运算结构不变的映射。

在循环群中，存在一种特殊的自同构映射，它将生成元映射到自身的幂次方。

这个映射被称为循环群的自同构生成元。

设循环群⟨a⟨的阶为n，即⟨a⟨={a^0, a^1, a^2, ..., a^(n-1)}。

循环群的自同构生成元可以表示为f: a^k -> a^(mk)，其中m是一个整数，0 ≤ k < n。

循环群的自同构群是由所有这样的映射构成的集合。

我们观察循环群的自同构生成元的特性。

设f: a^k -> a^(mk)和g: a^k -> a^(nk)是循环群⟨a⟨的两个自同构生成元。

我们可以证明以下结论：1.如果m和n互素，则f和g是独立的。

换句话说，f和g不是相同的映射。

2.如果m和n有公因子，则f和g是相关的。

换句话说，f和g是相同的映射。

根据这个特性，我们可以将循环群的自同构生成元进行分类。

首先考虑最简单的情况，即循环群的阶为素数p。

在这种情况下，循环群的所有元素的幂次方都不同，所以循环群的自同构生成元只有一个，即f: a^k -> a^(kp)，其中k是一个整数，0 ≤ k < p。

因此，循环群的自同构群只包含一个元素。

接下来考虑循环群的阶为合数n。

在这种情况下，循环群的自同构生成元的个数取决于n的素因子分解。

假设n=p_1^k_1 * p_2^k_2* ... * p_m^k_m，其中p_1, p_2, ..., p_m是不同的素数，k_1,k_2, ..., k_m是正整数。

循环群的自同构生成元的个数可以表示为φ(n)，其中φ是欧拉函数。

根据欧拉函数的定义，对于任意正整数n，φ(n)等于小于或等于n且与n互素的正整数的个数。

因此，循环群的自同构群的元素个数是φ(n)。

计算机系统结构自考笔记

计算机系统结构自考笔记一、计算机系统结构概述。

1. 计算机系统的层次结构。

- 从底层到高层：硬件、操作系统、系统软件、应用软件。

- 各层次的功能及相互关系。

例如，硬件为软件提供运行平台，软件控制硬件资源的使用等。

2. 计算机系统结构的定义。

- 经典定义：程序员所看到的计算机属性，即概念性结构与功能特性。

- 包括指令系统、数据类型、寻址技术、I/O机制等方面的属性。

3. 计算机系统结构的分类。

- 按指令流和数据流的多倍性分类。

- 单指令流单数据流（SISD）：传统的单处理器计算机。

- 单指令流多数据流（SIMD）：如阵列处理机，适合进行数据并行处理。

- 多指令流单数据流（MISD）：较少见的结构。

- 多指令流多数据流（MIMD）：多处理器系统，如对称多处理机（SMP）。

- 按存储程序原理分类。

- 冯·诺依曼结构：程序和数据存储在同一存储器中，按地址访问。

- 哈佛结构：程序存储器和数据存储器分开，有各自独立的地址空间。

二、数据表示与指令系统。

1. 数据表示。

- 数据类型。

- 数值型数据（整数、浮点数）：不同的表示格式，如定点数的原码、反码、补码表示；浮点数的IEEE 754标准表示。

- 非数值型数据（字符、字符串、逻辑数据等）。

- 数据的存储方式。

- 大端存储与小端存储：大端存储是高位字节存于低地址，小端存储是低位字节存于低地址。

2. 指令系统。

- 指令格式。

- 操作码：表示指令的操作类型，如加法、减法等操作。

- 地址码：指出操作数的地址或操作数本身。

有零地址、一地址、二地址、三地址等指令格式，每种格式的特点及适用场景。

- 指令类型。

- 数据传送指令：在寄存器、存储器等之间传送数据。

- 算术运算指令：加、减、乘、除等运算。

- 逻辑运算指令：与、或、非等逻辑操作。

- 控制转移指令：如无条件转移、条件转移、子程序调用与返回等，用于改变程序的执行顺序。

三、存储系统。

1. 存储器层次结构。

- 高速缓冲存储器（Cache） - 主存储器 - 辅助存储器的层次结构。

S3,S4的自同态和自同构(近世代数)

题目：S3，S4的自同态和自同构学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学姓名：学号：指导教师：时间： 2012年6月17日摘要本文讨论了三次对称群S3和四次对称群S4各自所拥有的子群，以及找出S3，S4各自的自同态，自同构，检验各自的子群在自同态和自同构下是否保持不变。

关键词: 对称群，子群，不变子群，自同态，自同构。

一、S4和S4的子群：假如对于代数运算和来说，有一个A到A的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算和来说，A与A同态。

假如对于代数运算和来说，有一个A到A的同构映射存在，我们就说，对于代数运算和来说，A与A同构。

S3={(1),(12),(13),(23),（123），（132）}，S4={(1)，(12),(34),(13),(24)，（14），(23)，(123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.其中,在S3里，(1)、(12) 、(13) 、(23)的逆元就是它们自己本身, （123）与（132）互为逆元。

在S4里，(1) 、(12) 、(34) 、(13) 、(24) 、（14）、(23) 、(12)(34) 、(13)(24) 、(14)(23) 的逆元就是它们自己本身，（123）与（132）互为逆元，(134)与(143)互为逆元, (124)与(142) 互为逆元，(234)与(243) 互为逆元，(1234)与(1432) 互为逆元，(1243)与(1342) 互为逆元，(1324)与(1423) 互为逆元。

S 3的子群有H1={（1）}，H2={（1），（12）}，H3={（1），（13）}，H4={（1），（23）} ，H5={（1），（123），（132）}，H 6=S3。

S3,S4的自同态和自同构(近世代数)

关键词: 对称群，子群，不变子群，自同态，自同构。

假如对于代数运算和来说，有一个A到A的同构映射存在，我们就说，对于代数运算和来说，A与A同构。

S 3的子群有H1={（1）}，H2={（1），（12）}，H3={（1），（13）}，H4={（1），（23）} ，H5={（1），（123），（132）}，H 6=S3。

3.5群的自同构群

§8 群的自同构群给定一个群，可以有各种方式产生新的群。

比如，给定群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。

本节要讲的自同构群也是一种产生新的群的方法。

1. 自同构群的定义：定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。

证明设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ∀∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====，即στ也是M 的一个自同构。

这表明，全体自同构关于变换的乘法封闭。

又因为x M ∀∈有11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅== 即1σ-也是M 的一个自同构。

群的定义的第3条成立。

另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元，群的定义的第1、2条也成立。

所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。

定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。

推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。

由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。

例1 求Klein 四元群{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c ==的自同构群。

解 4Aut K σ∀∈。

由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。

又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。

大数据竞赛理论题每日一测试题及答案

大数据竞赛理论题每日一测试题及答案您的姓名： [填空题] *_________________________________1.关于进一步规范数据安全工作的通知，公司内部共享数据时，应遵照数据共享（）开展。

[单选题] *A.负面清单(正确答案)B.其余数据C.内部共享D.敏感数据2.假设一个线性回归模型完美适合训练数据（训练误差为0）,则下列说法正确的是（）。

[单选题] *A.测试集误差一直为0B.测试集误差可能为0(正确答案)C.测试集误差不会为0D.以上都不对3.假设需要调整超参数来最⼩化代价函数（cost function），会使用下列哪项技术（）。

[单选题] *A.穷举搜索B.随机搜索C.Bayesian优化D.都可以(正确答案)4.当try子句中没有任何错误时，一定不会执行（）语句。

[单选题] *A.tryB.slseC.except(正确答案)D. finally5.下列关于数据科学的描述错误的是（）。

[单选题] *A.数据科学中的数据不仅仅是数值，也不等同于数值B.数据科学中的计算包括数据的查询、挖掘、洞见等C.数据科学强调的是跨学科视角D.数据科学不包括理论知识.只包括领域实务经验(正确答案)6. Scikit-Learn中StandardScaler是将特征数据的分布调整成（）,也就是使得数据的均值为0,方差为1。

[单选题] *A. 正态分布(正确答案)B.泊松分布C.均匀分布D.二项分布7. 下列关于Matplotlib中绘图标准流程的说法错误的是（）。

[单选题] *A. 绘制最简单的图形可以不用创建画布B. 添加图例可以在绘制图形之前(正确答案)C. 添加x轴、y轴的标签可以在绘制图形之前D. 修改x轴标签、y轴标签和绘制图形没有先后8.关于Adam算法，下列哪一个陈述是错误的（）。

[单选题] *A.Adam结合了Rmsprop和动量的优点B.Adam中的学习率超参数通常需要调整C.我们经常使用超参数的“默认”值D.Adam应该用于批梯度计算，而不是用于mini-batch(正确答案)9.线性判别分析在二分类问题上也称为（）□ [单选题] *A.线性回归B.对数几率回归C. Fisher判别分析(正确答案)D.主成分分析10.前馈型神经网络的中各个层之间是（）的，反馈型神经网络中各个层之间是（）的。

一类李代数的自同构研究

一类李代数的自同构研究【摘要】本文主要探讨了一类李代数的自同构研究。

首先介绍了研究背景、研究意义和研究对象，引出了本文的研究内容。

接着详细阐述了一类李代数的定义、自同态的概念、自同构研究方法以及自同构分类。

通过深入分析自同构对李代数结构的影响，揭示了自同构在代数领域的重要性。

在探讨了自同构研究的展望、研究的局限性以及未来研究方向。

本文对于深入理解一类李代数的自同构研究具有一定参考意义，同时也为相关领域的研究提供了新思路和方向。

【关键词】李代数, 自同构, 自同态, 结构, 研究, 分类, 展望, 局限性, 未来方向1. 引言1.1 研究背景通过深入研究一类李代数的自同态性质，不仅可以揭示其内在的代数结构规律和性质，还可以为代数学理论研究提供新的方向和挑战。

对于一类李代数的自同构研究具有重要的意义和价值。

1.2 研究意义李代数的自同构研究是现代数学研究中一个重要且有深远影响的课题。

通过对一类李代数的自同构进行深入研究，可以帮助我们更好地理解李代数结构的性质和特点。

这对于解决其他数学问题，特别是在表示论、几何代数和数学物理等领域具有重要意义。

李代数的自同态是指自身到自身的满射同态映射，它们保持了李代数的加法和李括号运算。

通过研究一类李代数的自同态，我们可以深入探讨这些映射的性质和作用，揭示李代数结构的内在规律。

这有助于我们更深入地理解李代数的代数结构和几何结构，推动李代数理论的发展进步。

李代数的自同构研究还可以为李代数结构的应用提供重要参考。

在代数学、几何学、物理学等领域，李代数都有着重要的应用价值。

研究一类李代数的自同构，可以为这些领域提供新的数学工具和方法，促进相关领域的发展和进步。

对一类李代数的自同构进行研究具有重要的理论意义和实际应用价值。

通过深入探讨自同构的性质和作用，我们可以拓展李代数理论的研究领域，推动数学领域的发展，为解决实际问题提供更强有力的数学支持。

1.3 研究对象本文的研究对象是一类特定的李代数，通过研究这类李代数的自同构，探讨其结构和特性。

西安交通大学有限元分析word版第一章

第一章引言§1-1概述１、有限元方法（The Finite Element Method, FEM ）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。

众所周知，每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。

这些方程通常称为控制方程（Governing equation ）。

针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。

人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。

有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。

有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。

然而，这种思想自古有之。

齐诺（Zeno 公元前5世纪前后古希腊埃利亚学派哲学家）曾说过：空间是有限的和无限可分的。

故，事物要存在必有大小。

亚里士多德(Aristotle 古希腊大哲学家,科学家)也讲过：连续体由可分的元素组成。

古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法：即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。

图１－２可以用来表示这一过程。

工程中的问题（力学、物理）各种方程及相应的定解条件（边界条件及初始条件）线性的、边界规则的问题数值分析法精确解近似解非线性的、边界不规则的问题解析法图1-1 工程问题的求解思路图1-2 离散逼近有限单元法有限差分法图1-3 有限元法与有限差分法比较近代，这一方法首先在航空结构分析中取得了明显的效果：一种称为框架分析法（framework method ）被用来分析平面弹性体（将平面弹性体描述为杆和梁的组合体）（1941，Hrenikoff ）；在采用三角形单元及最小势能原理研究St.Venant 扭转问题时，分片连续函数被用来在子域中近似描述未知函数（1943, Courant ）。

20阶循环群的自同构群

20阶循环群的自同构群20阶循环群的自同构群是一个非常有趣且具有重要意义的数学概念。

在本文中，我们将探讨一些关于20阶循环群及其自同构群的基础知识，并介绍它们在数学研究中的重要应用。

首先，让我们来了解一下20阶循环群。

该群也被称为乘法模20群，它由所有整数模20的乘法运算组成。

具体来说，它的元素为1、3、7、9、11、13、17、19，运算规则为取余数后的乘法，即如果a和b是20阶循环群的元素，那么a*b mod 20也是20阶循环群的元素。

那么，20阶循环群的自同构群是什么呢？简单来说，自同构群指的是一个群到自身的同构映射集合，也就是把该群的元素映射到自身并保持群结构不变的所有映射。

在20阶循环群中，它的自同构群有8个元素，分别为1、3、7、9、11、13、17、19。

这些元素都对应着一种将20阶循环群的元素重新排列的方式，不同的自同构映射可以将不同的元素映射到新的位置上。

那么，这些自同构映射具有什么重要应用呢？在数学研究中，自同构映射是一种非常重要的工具，因为它们可以帮助我们研究不同的群之间的关系。

例如，如果两个群存在相同的自同构映射，那么它们可以等同地看待，从而为我们理解它们之间的性质提供了便利。

此外，自同构映射还可以用来构造新的群，例如把两个不同的群通过自同构映射结合在一起形成一个更大的群。

除了在数学研究中的应用，20阶循环群及其自同构群在密码学中也有重要应用。

例如，在一些加密算法中，我们需要输入一个20位的密钥来加密数据。

而这个密钥可以看作是20阶循环群的一个元素，通过利用自同构映射可以将其转化为其他元素，从而增加密码的安全性。

总之，20阶循环群的自同构群是一个非常重要且有趣的数学概念，它不仅有着广泛的应用，而且也是研究群论等数学领域的核心概念之一。

对于对群论和抽象代数有兴趣的数学爱好者们，深入研究它也一定会带来无穷的乐趣。

2023年内蒙古事业单位联考C类职业能力倾向测验真题及答案解析

2023年内蒙古事业单位联考C类职业能力倾向测验真题及答案解析一、常识判断1.党的二十大报告系统总结了十八大以来党和国家事业取得的历史性成就。

对此，下列说法正确的是（）。

A、打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战B、货物贸易总额和吸引外资均高居世界第一C、我国经济总量占世界经济的比重超过30%D、全国居民人均可支配收入历史性突破6万元3.2023年3月，中共中央、国务院印发了《党和国家机构改革方案》。

关于该方案的内容，下列说法正确的是（）。

A、组建金融监督管理总局，不再保留中国人民银行B、组建中央社会工作部，作为党中央议事协调机构C、组建国家数据局，由国家发展和改革委员会管理D、按照5%的比例精减中央和地方党政机关人员编制4.近年来，随着我国经济社会发展，人力资源社会保障部公布了一些“新职业”。

下列关于新职业的说法，错误的是OoA、城市管理网格员可以受理相关群众举报B、直播销售员属于互联网营销师的工种之一C、家庭教育指导师可策划家校协同育人活动D、电子数据取证分析师的工作不包括数据恢复5.2022年中国新能源汽车产销量保持全球第一。

下列与新能源汽车有关的说法，正确的有几项？（）①可以采用非常规的车用燃料作为动力来源②氢动力车在使用中可以实现零排放③磷酸铁锂电池可用于新能源车④快速充电桩输出的是交流电A、1B、2C、3D、46,下列与识别系统相关的说法，错误的是（）。

A、戴口罩场景下可实现人脸识别B、近视眼会导致虹膜识别出现误差C、声纹识别技术适用于远程身份确认D、常见的指纹考勤机利用了光线的反射、折射7.关于我国自然资源，下列说法正确的是（）。

A、山东的金矿资源主要在胶东半岛B、西南林区是中国第一大天然林区C、我国是世界铜矿储量最多的国家D、我国人工草场主要在中东部地区8•关于海洋灾害，下列说法错误的是（）。

A、辽东湾和渤海湾在冬季可能会形成海冰B、全球的海啸发生区域大体与地震带一致C、硅藻或绿藻导致的赤潮一般不是红色的D、海雾的生成过程和原因不包括地形因素9.关于能源，下列说法错误的是（）。

循环群的自同构群

循环群的自同构群循环群是群论中一类重要而特殊的群结构。

它具有很多有趣的性质和应用，其中一个重要的性质就是它的自同构群。

首先，我们需要了解什么是循环群。

循环群是由一个元素生成的群，该元素被称为生成元。

换句话说，循环群中的每个元素都可以通过不断进行群运算（加法或乘法）与生成元相乘来得到。

例如，整数集合Z和模n剩余类集合Zn都是循环群，它们的生成元分别是1和1~(mod n)。

循环群的元素可以被表示为幂的形式，例如在整数集合Z 中，对于一个生成元g，其幂运算可以表示为g^n。

循环群的自同构群指的是将循环群映射到自身且保持群运算的双射（双向一一对应）集合。

换句话说，自同构群是循环群的一种变换，其中变换之前和之后的群运算保持不变。

循环群的自同构群在群论研究中具有重要的地位。

首先，自同构群是研究循环群内部结构的重要工具。

通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的各种性质和结构，并且可以对循环群进行分类。

其次，循环群的自同构群对密码学中的安全性有着重要的影响。

在现代密码学中，循环群被广泛应用于构建安全性强大的加密算法，例如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。

而自同构群则可以用于验证加密算法的安全性和强度。

循环群的自同构群可以分为两类：平凡自同构群和非平凡自同构群。

平凡自同构群是指将循环群的所有元素映射到它们自身的恒等映射。

换句话说，平凡自同构群保持循环群的原始结构不变。

而非平凡自同构群则是指存在一种映射，能够改变循环群的结构，例如将生成元映射到其他元素或改变群的性质。

在循环群的自同构群中，非平凡自同构群是研究的重点。

对于循环群Z，它的非平凡自同构群就是循环群Z*。

而对于循环群Zn，它的非平凡自同构群就是单位元素到自身的同余映射（自同构映射）。

这些非平凡自同构群在代数结构和密码学中有着重要的应用。

总结起来，循环群的自同构群是群论研究中的一个重要课题。

通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的内部结构和性质，并且可以将其应用于代数结构和密码学等领域。

四元数群的自同构群

四元数群的自同构群全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四元数是一种具有数学特性的数学对象，它包含了实数和虚数的性质。

四元数群是由四元数构成的数学群，具有独特的性质和结构。

在四元数群中，我们可以研究其自同构群，即保持自身结构不变的映射集合。

让我们回顾一下四元数的定义和性质。

四元数是由实数和虚数单位构成的数学对象，通常表示为q=a+bi+cj+dk，其中a、b、c、d为实数，而i、j、k为虚数单位，满足以下关系式：i² = j² = k² = ijk = -1四元数乘法运算定义如下：ij=k, ji=-kjk=i, kj=-iki=j, ik=-j四元数的性质包括结合律、分配律和单位元，使得其构成一个数学群。

四元数群是四元数集合和四元数乘法运算构成的数学群，是一个非阿贝尔群。

现在，让我们来探讨四元数群的自同构群。

自同构是指一个群保持自身结构不变的映射，即一个群映射到自身并且保持群运算不变。

四元数群的自同构群是指使得四元数群保持不变的映射集合。

我们可以考虑四元数群自身的映射。

任何一个四元数乘以一个固定的四元数都可以得到一个四元数，这个映射保持了四元数群的封闭性。

四元数群的乘法运算是满足结合律的，因此这个映射也满足结合律。

四元数乘法自身构成了四元数群的自同构群。

我们还可以考虑将四元数映射到其模长的映射，即|q|=sqrt(a²+b²+c²+d²)。

这种映射保持了四元数的加法和乘法运算的性质，因此也可以构成四元数群的自同构群。

除了上述简单的映射之外，四元数群的自同构群还包括一些复杂的映射。

将四元数映射到其转置四元数的映射，即将四元数的虚部取相反数。

这种映射可以保持四元数的结合律和分配律，因此也可以构成四元数群的自同构群。

第二篇示例：四元数群是一种特殊的群结构，它包含了所有可能的四元数，也就是具有四维的实部和三个虚部的数。

四元数群的乘法操作相对复杂，但是它却具有许多有趣的性质和应用。

群同态定义,单、满同态,同构

群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。

第6节变换群与同构

5/13
近世代数
群的自同构
设(G,∘)是一个群。a是G的一个固定元素。 x G， f(x) =axa-1，则f 是G的一个自同构(映射)。称f 是由a确定的G的一个内自同构。 G的其他自同构称为外自同构.
定理3 设(G,∘)是一个群。 G 的所有内自同构之集是 G的自同构群得一个子群。称为内自同构群.
3/13
近世代数
群的同构
定义3 设(G1,∘)和( G2,)是两个群。如果存在一个双射 f: G1 G2 ，且x, y G1 有 f(x∘y) = f(x) f(y), 则称群G1 与G2 同构，记为G1 G2 . 而称f 是G1到G2的一个同构(映射).
同构是一个等价关系。
定理1(群的Cayley定理) 任意一个群都2，3，4}，G={f，g}，其中 f(1)=f(2)=1, f(3)=3, f(4)=4; g(1)=g(2)=1, g(3)=4, g(4)=3. 则G关于变换的合成运算作成一个群. (单位元e=f，f与g均有逆元，即自身)
f与g既不是单变换也不是满变换.
定理设A和B是有限集，A=B，则f:AB是单射当且仅当f是满射.
7/13
近世代数
补充
命题2 设M是任一非空集合，G是由M的若干个变换作成的群。证明： G是M上的一个变换群当且仅当 M上的恒等变换IM G. 证必要性: 设G是变换群，则G的单位元就是M上
的恒等变换IM .
设f 是一个一一变换且f G，e是G的单位元，则 x M，有f (e(x))= f ∘ e(x)= f(x)，而 f是单变换，所以e(x)=x，即G的单位元e就是M上的恒等变换IM . M上的恒等变换IM G.
近世代数
补充

自同构群的次单性分析及计算机实现

网络与信息安全管理员(4级)题库(附参考答案)

四元数群的自同构群-概述说明以及解释

第2讲 导数选择压轴题(解析版)

第三章 正规子群和群的同态与同构

群论中的群的自同构和外自同构

第三章正规子群和群的同态与同构

循环群的自同构群

计算机系统结构自考笔记

S3,S4的自同态和自同构(近世代数)

S3,S4的自同态和自同构(近世代数)

3.5群的自同构群

大数据竞赛理论题每日一测试题及答案

一类李代数的自同构研究

西安交通大学有限元分析word版第一章

20阶循环群的自同构群

2023年内蒙古事业单位联考C类职业能力倾向测验真题及答案解析

循环群的自同构群

四元数群的自同构群

群同态定义,单、满同态,同构

第6节 变换群与同构

第2讲导数选择压轴题(解析版)

第三章正规子群和群的同态与同构

第6节变换群与同构