定积分的概念与性质

第五章 定积分

第一节 定积分的概念与性质

教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理. 教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质. 教学难点：连续变量的累积，中值定理. 教学内容：

一、定积分的定义 １．曲边梯形的面积

设)(x f y =在[]b a ,上非负，连续，由直线x a =，x b =，0y =及曲线)(x f y = 所围成的图形，称为曲边梯形．

求面积：

在区间[]b a ,中任意插入若干个分点

b x x x x x a n n =<<<<=-1210 ，

把[]b a ,分成n 个小区间[10,x x ],[21,x x ], … [n n x x ,1-]，它们的长度依次为：

1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形，在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ，以[i i x x ,1-]为底，)(i f ξ为高的窄边矩形近似替代第i 个窄边梯形(1,2,,)i n = ，把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值，即

n n i x f x f x f A ∆++∆+∆≈)()()(221ξξξ =∑=∆n

i i i x f 1

)(ξ．

设{}0,,,max 21→∆∆∆=λλn x x x 时，可得曲边梯形的面积

∑=→∆=n

i i i A x f A 1

)(lim ξ．

2．变速直线运动的路程

设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔[21,T T ]上t 的连续函数，且0v ≥，计算在这段时间内物体所经过的路程S

在[21,T T ]内任意插入若干个分点

212101T t t t t t T n n =<<<<=- ，

把[21,T T ]分成n 个小段

[10,t t ]，[21,t t ]，…， [n n t t ,1-]，

各小段时间长依次为：

,,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t

相应各段的路程为：

n S S S ∆∆∆,,,21 ，

在[i i t t ,1-]上任取一个时刻)(1i i i i t T t T ≤≤-，以i T 时的速度)(i T v 来代替[i i t t ,1-]上各个时刻的速度，则得：

i i i t T v S ∆≈∆)( ),,2,1(n i =，

进一步得到：

n n t T v t T v t T v S ∆++∆+∆≈)()()(2211 =∑=∆n

i t T v 1

11)(

设{}0,,,,max 21→∆∆∆=λλ当n t t t 时，得：

∑=→∆=n

i i t T v S 1

)(lim λ.

3．定积分的定义

由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即

面积∑=→∆=n

i i

i

x

f A 10

)(lim

ξλ，

路程∑=→∆=n

i i

i

t

T v S 1

)(lim

λ.

将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义

定义 设函数],[)(b a x f 在上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点

b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，

把区间[,]a b 分成n 个小区间

],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x -

各个小区间的长度依次为

1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x .

在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i i i i x x ≤≤-εε1(),作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积),,,2,1()(n i x f i i =∆ε并作出和

∑=∆=n

i i i x f S 1

)(ε.

记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[,]a b 怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点

i ε怎样取法,只要当0λ→时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数

)(x f 在区间[,]a b 上的定积分(简称积分)，记作

⎰

b

a

dx x f )(．即

⎰

b

a

dx x f )(=I =∑=→∆n i i i x f 1

)(lim ελ,

其中)(x f 叫做被积函数，dx x f )(叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间.

注意 积分与积分变量无关，即：

⎰

⎰⎰==b

a

b a

b

a

du u f dt t f dx x f )()()(.

函数可积的两个充分条件：

定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[,]a b 上可积．

定理2 设],[)(b a x f 在上有界，且只有有限个间断点，则],[)(b a x f 在上可积． 例 利用定积分定义计算

⎰

1

2dx x .