安徽省江南十校2019届高三第二次大联考理科数学.doc

·江南十校2019届高三第二次大联考数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1z ai =+，2z z =g ，则2z =（ ）A ．2iB ．2-+或2--C ．2i 或2i -D ．22i +或22i - 2.已知集合{|ln(1)ln(1)}A x y x x ==+--，1{|ln}1x B x y x +==-，则x A ∈是x B ∈的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 3.下列四个命题中，错误的命题是（ ）A ．等比数列{}n a 的公比为q ，若1q >，则数列{}n a 为递增数列B ．“若11a b<，则0a b >>”的逆命题为真 C ．命题“x R ∀∈，均有20x ≥”的否定是：“0x R ∃∈，使得020x <”D ． ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“a b <”是“cos cos A B >”的充要条件 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈，且55S a =，8432S S =+，则n a 等于（ ） A ．25n - B ．39n - C. 412n - D ．42n -5.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（ ）A ．12π， B ．92π，92π C. 9π， 94π D ．9π，92π6.已知点(,)M a b ，0a >，0b >是圆22:1C x y +=内一点，直线1ax by +=，1ax by +=-，1ax by -=，1ax by -=-围成的四边形的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．4S >B ．4S ≥ C. 4S < D ．4S ≤7.已知)41tan cos πααα-=+，则tan()4πα+的值为（ ） A ．12- B ．2- C. 12D ．28.已知实数,x y 满足3020230x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．69.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，侧面PAB 为等边三角形，,E F 分别为,PA BC 的中点，给出以下结论：①//BE 平面PFD ②//EF 平面PCD③平面PAB 与平面PCD 交线为l ，则//CD l ④BE ⊥平面PAC 则以上结论正确的序号为（ ）A ．①③B ．②③ C. ①②③ D ．①②③④ 10.已知实数x 满足12log 1x >，则函数1821y x x =+-的最大值为（ ） A ． -4 B ．8 C. 4 D ．011.如图，已知点P 为等边三角形ABC 的外接圆上一点，点Q 是该三角形内切圆上一点，若11AP x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，22AQ x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则1212|(2)(2)|x x y y -+-的最大值为（ ）A ．53B ．2 C. 73 D ．8312.已知定义在R 上函数()f x ：满足15(()2)22x x f f x -+=，'()f x 为函数()f x 的导函数，且'()y f x =无零点，则11(())f x x dx -+⎰的值为（ ）A ．0B ．2 C. 52 D ．72第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.各项均不为0的等差数列{}n a 满足：2528102a a a --=，等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足12n n n S S b +=+，且75b a =，则27log (8)S -的值为 ．14.已知平面向量,a b r r 满足：||1b =r ，|2|2a b +=r r ，|3|a b -=r ra r 在b r 方向上的投影为 ．15.已知在直角坐标系xOy 中，(4,0)A ，3(0,)2B ，若点P 满足1OP =，PA 的中点为M ，则BM的最大值为 ．16.若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知平面向量(cos )22x xa =r ，(1,1)b =-r ，[0,2]x π∈.（1）若//a b r r，求x 的值；（2）若()f x a b =•r r，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 值.18. 已知函数2()(21)ln f x ax a x x =+--. （1）当12a =时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性.19. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，23a =，对*n N ∀∈，1n >，都有1121n n n S S S n +-+=++成立. （1）求n a ； （2）若12n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 如图，已知四边形ABCD 中，对角线6BD =，23BAD π∠=，BCD ∆为等边三角形. （1）求ABD ∆面积的最大值；（2）当ABD ∆的面积最大时，将四边形ABCD 沿BD 折起成直二面角A BD C --，在CD 上是否存在点M 使直线AM 与平面ABD 所成的角α满足：cos 10α=，若不存在，说明理由；若存在，指出点M 的位置.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，B 为其短轴的一个端点，21,F F 分别为其左右两个焦点，已知三角形12BF F ，且121cos 3F BF ∠=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线22:(0,)3l y kx m m k =+≠≠与椭圆C 交于1122(,),(,)P x y Q x y ，M 为线段PQ 的中点，且22123x x +=，求||||OM PQ g 的最大值. 22. 已知函数2()[(1)1],x f x x a x e x R =+-+∈g . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数,(,0)()()1,[0,1]x e a x g x f x x ⎧-∈-∞=⎨-∈⎩，在其定义域(,1]-∞上有且只有两个零点，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CAAAD 6-10:ABDCD 11、12：CB1.C 【解析】由已知得：2121a a +=⇒=或-1，故212z i z i =±⇒=±，故选C.2.A 【解析】依题意：(1,)A =+∞，(,1)(1,)B =-∞-+∞U ，A B ⊂，故选A.3.A 【解析】A 错，B,C,D 为真，故选A.4.A 【解析】由已知条件得：13a =-，2d =，故25n a n =-，故选A.5.D 【解析】该三棱锥的外接球即长方体的外接球由已知，长方体的三条棱长为2,1,2，故可得表面积为9π，体积为92π，故选D. 6.A 【解析】由已知221a b +<，四条直线围成的四边形面积224442S ab a b=≥>+，故选A. 7.B【解析】由)41tan tan 3cos παααα-=+⇒=，故31tan()2413πα++==--，故选B. 8.D 【解析】画出可行域如图，其中(3,0)A ，(1,2)B ，(1,2)C --，故当3,0x y ==时，max 6z =，故选D.9.C 【解析】取PD 中点M ，易知//BE FM ，//EF CM ，故①②正确，//CD AB 得//CD 平面PAB ，故//CD l ，③正确，④显然不正确，故选C.10.D 【解析】由12log 1x >，1012102x x <<⇒-<-<，11184(21)4(4(12))4440212112y x x x x x x =+=-++=--++≤-+=---，当且仅当14x =上式取等号.故选D.11.C 【解析】如图，取BC 中点M ，AM 交外接圆于P ，交内切圆于Q ，此时P 为外接圆劣弧BC 的中点，11x y +取得最大；Q 为内切圆劣弧DE 的中点，22x y +取得最小，记11x y +的最大值为λ，22x y +的最小值为μ，而43AP AM λ==，13AQ AM μ==， 故12121122|(2)(2)||2()()|x x y y x y x y -+-=+-+的最大值为41722333λμ-=⨯-=，故选C.12.B 【解析】'()y f x =无零点，故函数()f x 为单调函数，由15(()2)22x x f f x -+=知1()22xxf x -+为常数，设1()22x x f x t -+=，则可得：1()22x x f x t =-+且5()2f t =152122tt t t ⇒-+=⇒=，故1()212xx f x =-+，11111(())(21)2x x f x x dx x dx --+=-++⎰⎰11111(2)122xx x dx dx --=-++=⎰⎰（注意：122x x x -+为奇函数），故选B. 二、填空题13. -4【解析】由2528102a a a --=2554a a ⇒=54a ⇒=，故74b =，而由12n n n S S b +=+，得12n n b b +=，故761,,,b b b L 成等比数列，公比为12，77471(1)282112b S --==--，27log (8)4S -=-，故答案为-4.14. 12-【解析】由已知240a a b +=r r r g，265a a b -=r r r g 12a b ⇒=-r r g ，又||1b =r ，故向量a r 在b r 方向上的投影为12||a b b =-r rg r ，故答案为12-.15.3【解析】由(4,0)A ，3(0,)2B ，1OP =，则P 点轨迹为221x y +=，设(,)M x y ，则22(24,2)(24)(2)1P x y x y -⇒-+=221(2)4x y ⇒-+=，M 的轨迹为圆(2,0)D ，半径为12，故BM 的最大值为151||3222BD +=+=，故答案为3.16. (,2]e -∞【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )m x x mx e e x⇒≥，由()x f x xe =在[,)e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[,)e +∞恒成立，由()2ln g x x x =在[,)e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤，综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞.三、解答题17.解：（1）由//a b r r ，(cos )22x xa =r ，(1,1)b =-r ，可得cos22x x -=tan 2x ⇒=由[0,2]x π∈，[0,]2x π∈，故55263x x ππ=⇒=；（2）()cos 22x x f x a b ==r r g2cos()23x π=+， 由[0,2]x π∈4[,]2333x πππ⇒+∈， 得1cos()[1,]232x π+∈-.当233x ππ+=，即0x =时，max ()1f x =； 当23x ππ+=，即43x π=时，min ()2f x =-. 18.（1）当12a =时，21()ln (0)2f x x x x =-> 1(1)(1)'()x x f x x x x+-⇒=-= 故当(0,1)x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数； 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 为增函数， ∴1x =时，1()(1)2f x f ==极小值，无极大值； （2）由2()(21)ln (0)f x ax a x x x =+-->，可得：22(21)1(1)(21)'()ax a x x ax f x x x+--+-==①当0a ≤时，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞为减函数； ②当0a >时，1(0,)2x a ∈时，'()0f x <，故()f x 在1(0,)2a 为减函数；1(,)2x a∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在1(,)2a+∞为增函数. 19.（1）由11a =，23a =，1121n n n S S S n +-+=++， 可得：34111a ++=， ∴36a =，当3n ≥时，112121211n n n n n n S S S n S S S n +---+=++⎧⎨+=+-+⎩1121n n n a a a +-⇒+=+， 即11()()1(3)n n n n a a a a n +----=≥，而3221()()1a a a a ---=. 故(1)2n n n a +=； （2）由已知11112(1)1n n b a n n n n ===-++， 由列项相消法得：1111n n T n n =-=++. 20.（1）在ABD ∆中，记AB m =，AD n =， 则由余弦定理：22363m n mn mn =++≥12mn ⇒≤，（当且仅当m n ==此时，12sin 23ABD S mn π∆==≤ ABD ∆的面积的最大值为（2）由（1）知，AB AD ==6BD =， 设存在M ，在三棱锥A BCD -中，取BD 的中点O ，连接OA ，易知OA =作ME BD ⊥于E ，由平面ABD ⊥平面BCD ME ⇒⊥平面ABD .故AM 在平面ABD 上的投影为AE .AM 与平面ABD 所成的角为MAE α∠=，由cos 10α=tan ME AEα⇒==.设DM α=，得2ME =，AE = 故2280a a +-=2a ⇒=.故存在M ，且2DM =，满足题意.（2）另解：由（1）AB AD ==6BD =，设存在M ，则在三棱锥A BCD -中，取BD 的中点O ，连接,OA OC ，易求OA = 以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量为(1,0,0)n =r ，设DM a =，得2ME a =，得,3,0)22a M a -，又A ,3,2a AM ⇒=-u u u u r . 由sin |cos ,|AM n α=<>u u u u r r==10= 22802a a a ⇒+-=⇒=.故存在M ，且2DM =，满足题意.21.（1）由22122241cos 23a c F BF a -∠==2213c a ⇒=223a c ⇒=，222b c =， 121cos 3F BF ∠=12sin 3F BF ⇒∠=，结合12212F BF S a ∆==23a ⇒=， 22b ⇒=，故椭圆C 的方程为22132x y +=；另解：依题意：12122F BF S cb bc ∆=⨯== 212121cos 2cos 123F BF F BF ∠∠=-=2223b a ⇒=， 解得：23a =，22b =，故椭圆C 的方程为22132x y +=； （2）联立22236y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 222(32)6360k x kmx m ⇒+++-=. 2224(32)0k m ⇒∆=+-> 2232k m ⇒+>.且122632km x x k -+=+，21223632m x x k -=+； 依题意，22123x x += 21212()23x x x x ⇒+-= 22222(6)6(2)3(32)32km m k k --⇒-=++ 化简得：22322k m +=（∵232k ≠）；设00(,)M x y ，由22112222236236x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 2222012121212022()3()3x y y x x y y k x x y -⇒-=--⇒==-- 又00y kx m =+ 解得：31(,)2k M m m- 222229431||42k m OM m m +-⇒==， 22212||(1)||PQ k x x =+- 222222224(32)2(21)(1)(32)k m m k k m +-+=+=+ 22221125||||(3)(2)4OM PQ m m ⇒=-+≤ 5||||2OM PQ ≤g . 当且仅当221132m m -=+，即m =时，||||OM PQ g 的最大值为52. 22.（1）由2()[(1)1]x f x x a x e =+-+g ，x R ∈， 得：'()(1)()x f x x x a e =++，①当1a =时，'()0f x ≥，()f x 在(,)-∞+∞为增函数； ②当1a <时，()f x 在(,1)-∞-和(,)a -+∞为增函数，在(1,)a --为减函数； ③当1a >时，()f x 在(,)a -∞-和(1,)-+∞为增函数，在(,1)a --为减函数；（2）对于()g x 当(,0)x ∈-∞时，()x g x e a =-，故当0a ≤时，()g x 在(,0)-∞内无零点， 当01a <<时，()g x 在(,0)-∞内有一个零点， 当1a ≥时，()g x 在(,0)-∞内无零点， 对于()g x 当[0,1]x ∈时，2()[(1)1]1x g x x a x e =+-+-g 由（1）当1a ≤-时，()g x 在[0,1]为减函数， 而(0)0g =，得()g x 在[0,1]有一个零点. 此时，()g x 在其定义域(,1]-∞上有且只有一个零点， 当111a e-<<-时，()g x 在[0,]a -为减函数，在(,1]a -为增函数， 而(0)0g =，(1)(1)10g a e =+-<得()g x 在[0,1]有一个零点， 此时()g x 其定义域(,1]-∞上有且只有一个零点， 当110a e-≤≤时，()g x 在[0,]a -为减函数，在(,1]a -为增函数， 而(0)0g =，(1)(1)10g a e =+-≥得()g x 在[0,1]有两个零点. 此时()g x 其定义域(,1]-∞上有且只有两个零点， 当01a <<时，()g x 在[0,1]为增函数， 而(0)0g =，得()g x 在[0,1]有一个零点，在(,0)-∞内有一个零点， 此时()g x 其定义域(,1]-∞上有且只有两个零点， 当1a ≥时，()g x 在[0,1]为增函数， 而(0)0g =，得()g x 在[0,1]有一个零点，在(,0)-∞内无零点， 此时()g x 其定义域(,1]-∞上有且只有一个零点，综上可得：当()g x 在其定义域内有且只有两个零点时，a 的取值范围为1[1,1)e -.。