直线的位置关系和平行条件

两直线的位置关系、直线平行的条件

【考纲传真】

1.了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.

2.了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义.

3.知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.

4.会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”.

5.弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”.

【复习建议】

在学习过程中，要带着以下问题去学习：①直线有哪些位置关系②什么是余角、补角、对顶角和邻补角③为何对顶角相等④垂直的性质是什么⑤证明步骤与格式应该注意什么⑥三线八角中，能否将角的位置关系进行分类⑦直线平行的条件是什么.

【考点梳理】

（一）相关角概念：

1.余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.

若∠1＋∠2=90°⇔∠1、∠2互余.

2.补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.

若∠A +∠B=180○⇔∠A、∠B互补.

.

3.邻补角：邻补角互补

4.对顶角：把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为

反向延长线的两个角叫做对顶角.

对顶角的性质：对顶角相等.

注意：（1）互为余角、互为补角表明的只是两个角之间的度量关系，而与这两个角的位置无关；（2）只有当两条直线相交时，才能产生对顶

角，且对顶角是成对出现的.

（二）垂直

1.垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直.记为：l ⊥m

2.垂直性质：在同一平面内，过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.

3.点到直线的距离: 垂线段的长度.

（二）探索直线平行的条件:

1.两条直线被第三条直线所截，构成同位角、内错角、同旁内角.

2.两条直线平行的条件：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.简称：同位角相等，两直线平行.

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.简称：内错角相等，两直线平行.

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互

补，那么两直线平行.简称：同旁内角互补，两

直线平行.

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行.

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.

（3）平行线的定义.

典例探究

【例1】

（1）如图，直线AB与CD相交于O，∠EOD=90°，正确填写下列两角关系的名称.∠1与∠2:______________________________

∠2与∠3:______________________________ ∠2与∠4:______ _ _________________

∠1与∠4:______________________________

（2）如图，∠AOD=∠DOB=∠COE=90º，其中共有互余的角( ） A.2对 B.3对 C.4对 D.6对

（3）若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=240º，由∠2是∠1的 （ ）

A.25

1

倍 B.5倍 C.11倍 D.无法确定倍数

（4） 如图，下列条件中，不能判断直线ｌ１∥ｌ２的是（ ）

Ａ.∠１＝∠３ Ｂ.∠４＝∠５ Ｃ.∠２＋∠４＝180° Ｄ.∠２＝∠３

（5）. 如图，ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，ＡＦ∥ＣＧ，则图中与∠Ａ（不包括∠Ａ）相等的角有

（ ）

Ａ.５个 Ｂ.４个 Ｃ.３个 Ｄ.２个

【例2】

（1）下列语句说法正确的个数是( )

①两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直 ②两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么这两条直线垂直 ③一条直线的垂线可以画无数条

④在同一平面内, 经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

（2）如图，CD ⊥OB 于D ，EF ⊥OA 于F ，则C 到OB 的距离是______，E 到OA 的距离是______，O 到CD 的距离是______，Ｏ到EF 的距离是______.

O

E

D

C

B

A

【例3】

（1）如图，∠1与∠2是同位角的个数有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

（2） 同一平面内的四条直线满足a ⊥b ，b ⊥c ，c ⊥d ，则下列式子成立的是

（ ）

A ．a ∥b

B ．b ⊥d

C ．a ⊥d

D ．b ∥c （3）、如图，直线EF 分别交CD 、AB 于M 、N ，且∠EMD=65°，∠MNB=115°，

则下列结论正确的是（ ）

（4） 如图，能判断直线AB ∥CD 的条件是（ ）

A 、∠1=∠2

B 、∠3=∠4

C 、∠1+∠3=180 o

D 、∠3+∠4=180 o （5）、下列句子中不是命题的是（ ）

A 、两直线平行，同位角相等。

B 、直线AB 垂直于CD 吗？

C 、若︱a ︱=︱b ︱，则a 2 = b 2。

D 、同角的补角相等。 【例4】

（1）如图，直线a 、b 与直线c 相交，给出下列条件：①∠1＝∠2, ②∠3＝∠

6, ③∠4＋∠7＝180°, ④∠5＋∠3＝180°，其中能判断a ∥b 的是（ ）

A.①②③④

B.①③④

C.①③

D.②④

E

M

D

C

B

N

A

F