压轴题入门篇1教师版因动点产生的等腰三角形
2020年中考数学压轴解答题01 因动点产生的等腰三角形问题(教师版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题01 因动点产生的等腰三角形问题【类型综述】数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈,动态几何问题是近年来中考的热点问题,以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题,动态问题的解答,一般要将动态问题转化为静态问题,抓住运动过程中的不变量,利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题,将几何问题转化为代数问题。
在动态问题中,动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型,可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合,也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合,从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C．已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB＝AC,②BA＝BC,③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法．①如图1,如果AB＝AC,直接列方程；②如图2,如果BA＝BC,那么1cos2AC AB A=∠；③如图3,如果CA＝CB,那么1cos2AB AC A=∠．代数法一般也分三步：罗列三边长,分类列方程,解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3【典例分析】【例1】抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于1,05,0A B （-），（）两点,顶点为C ,对称轴交x 轴于点D ,点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与,C D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ,交x轴于点F ．()1求抛物线的解析式；()2当PCF V 的面积为5时,求点P 的坐标；()3当△PCF 为等腰三角形时,请直接写出点P 的坐标．思路点拨()1把1,05,0AB （-），（）代入函数,利用交点式求解即可. ()2先求出点C ,设点2P m （，），然后得函数PB 的表达式为：1533my mx =-+⋯①，,根据CE PE ⊥,得故直线CE 表达式中的k 值为3m ,求出直线CE 的表达式为362y x m m ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭②,联立①②并解得：223m x =-,求出22,03m F ⎛⎫- ⎪⎝⎭,利用PCF V 的面积为5,求出m 即可；()3由点F 的坐标得：22222222224,33m m CP m CF PF m -++＝（），＝（）＝（），分别算出CP CF ＝,CP PF ＝,CF PF ＝时的m 即可.满分解答()1将抛物线化为交点式：()222=h 99y x bx c x x k =-++-++（）将1,05,0A B （-），（）代入可得()21-59y x x =-+（）()2222810459999x x x x =---=-++.故抛物线解析式为28210999++=-y x x . ()2抛物线的对称轴为1x =,则点22C （，）， 设点2P m （，），将点,P B 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得：函数PB 的表达式为： 1533my mx =-+⋯①，CE PE ⊥Q ，故直线CE 表达式中的k 值为3m, 将点C 的坐标代入一次函数表达式, 同理可得直线CE 的表达式为： 362y x m m ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭② 联立①②并解得： 223m x =- 故点22,03m F ⎛⎫-⎪⎝⎭1122)225223PCF m S PC DF m ⎛⎫⨯⨯---= ⎪⎝⎭V ＝＝（，解得：5m =或3-（舍去5）,故点2,3P（-）; ()332,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()2,2-． 考点伸展第（3）问的解题过程是这样的： 由()2确定的点F 的坐标得：22222222224,33m m CP m CF PF m -++＝（），＝（）＝（），①当CP CF ＝时,即： ()22243m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,解得0m =：或365（均舍去）, ②当CP PF ＝时, ()222223m m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,解得：32m =或3（舍去3）, ③当CF PF ＝时,同理可得：2m =±（舍去2）, 故点 32,2P ⎛⎫⎪⎝⎭或()2,2-． 【例2】如图1,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ,使△MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在,请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题,点P 在线段BC 上时△P AC 的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答所以点P的坐标为(1, 2)．图2（3）点M的坐标为(1, 1)、6)、(1,6-或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中,AC2＝10,MC2＝1＋(m－3)2,MA2＝4＋m2．①如图3,当MA＝MC时,MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2,得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．m=．②如图4,当AM＝AC时,AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10,得6此时点M的坐标为6或(1,6)．③如图5,当CM＝CA时,CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10,得m＝0或6．当M(1, 6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5【例3】如图1,点A在x轴上,OA＝4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类,按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点P重合在一起．满分解答（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2,设点P 的坐标为(2, y )． ①当OP ＝OB ＝4时,OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时,B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时,BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时,PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③,点P 的坐标为(2,23)-,如图2所示．图2 图3考点伸展如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D ,那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形． 由23323(4)2)y x x =-=-+得抛物线的顶点为23)D ．因此23tan DOA ∠=DOA ＝30°,∠ODA ＝120°． 【例4】在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,2)A ,动点P 在33y x =的图像上运动（不与O 重合）,连接AP ,过点P 作PQ AP ⊥,交x 轴于点Q ,连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中,QAP ∠是否问定值？如果是,求出该值；如果不是,请说明理由． （3）当OPQ ∆为等腰三角形时,求点Q 的坐标．思路点拨（1）作AH OP ⊥,由点P 在33y x =的图像上知：30HOQ ∠=︒,求出AH ,即可得解； （2）①当点P 在第三象限时,②当点P 在第一象的线段OH 上时,③当点P 在第一象限的线段OH 的延长线上时,分别证明Q 、P 、O 、A 四点共圆,即可求得QAP ∠=30°； （3）分OP OQ =,PO PQ =,QO QP =三种情况,分别求解即可．满分解答（1）作AH OP ⊥,则AP AH ≥ ∵点P 在3y x =的图像上 ∴30HOQ ∠=︒,60HOA ∠=︒ ∵(0,2)A ,∴sin 603AH AO =︒=g ∴3AP ≥（2）①当点P 在第三象限时,由90QPA QOA ∠=∠=︒,可得Q 、P 、O 、A 四点共圆, ∴30PAQ POQ ∠=∠=︒ ②当点P 在第一象的线段OH 上时,由90QPA QOA ∠=∠=︒,可得Q 、P 、O 、A 四点共圆, ∴180PAQ POQ ∠+∠=︒,又此时150POQ ∠=︒ ∴18030PAQ POQ ∠=︒-∠=︒③当点P 在第一象限的线段OH 的延长线上时,由90QPA QOA ∠=∠=︒,可得180APQ AOQ ∠+∠=︒, ∴Q 、P 、O 、A 四点共圆, ∴30PAQ POQ ∠=∠=︒（3）设(,)3P m m ,则AP l ：623y m-=+∵PQ AP ⊥,∴PQ k =∴PQ l ：)3y x m m =-+∴0)Q∴2243OP m =,2216493OQ m =+ 224493PQ m =+①当OP OQ =时,则224164393m m =+整理得：230m -+= 解得：3m =∴14,0)Q , 24,0)Q②当PO PQ =时,则22444393m m =+整理得：2230m +-=解得：m =或m =当2m =时,Q 点与O 重合,舍去,∴3m =-,∴3(23,0)Q - ③当QO QP =时, 则221616444433993993m m m m -+=-+ 整理得：230m m -= 解得：3m = ∴423(,0)3Q【例5】如图1,在矩形ABCD 中,8AB =,10AD =,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且DMN DAM ∠=∠,设AM x =,DN y =．①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使DMN V 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由．思路点拨()1由翻折可知：10.AD AF DE EF ===,设EC x =,则8.DE EF x ==-在Rt ECF V 中,利用勾股定理构建方程即可解决问题．()2①证明ADM V ∽GMN V ,可得ADAMMG GN=,由此即可解决问题．②有两种情形：如图31-中,当MN MD =时.如图32-中,当MN DN =时,作MH DG ⊥于.H 分别求解即可解决问题．满分解答（1）如图1中,∵四边形ABCD 是矩形,∴10AD BC ==,8AB CD ==, ∴90B BCD ∠=∠=︒,由翻折可知：10AD AF ==．DE EF =,设EC x =,则8DE EF x ==-．在Rt ABF V 中,226BF AF AB =-=,∴1064CF BC BF =-=-=,在Rt EFC V 中,则有：()22284x x -=+, ∴3x =, ∴3EC =． （2）①如图2中,∵AD CG ∥,∴AD DECG CE =, ∴1053CG =, ∴6CG =,∴16BG BC CG =+=,在Rt ABG V 中,2281685AG =+=在Rt DCG V 中,226810DG +=, ∵10AD DG ==, ∴DAG AGD ∠=∠,∵DMG DMN NMG DAM ADM ∠=∠+∠=∠+∠,DMN DAM ∠=∠, ∴ADM NMG ∠=∠, ∴ADM GMN V V ∽, ∴AD AMMG GN=, 1085xyx =--,∴214510105y x x =-+． 当45x =时,y 有最小值,最小值2=．②存在．有两种情形：如图3-1中,当MN MD =时,∵MDN GMD ∠=∠,DMN DGM ∠=∠, ∴DMN DGM V V ∽, ∴DM MN DG GM=, ∵MN DM =, ∴10DG GM ==, ∴8510x AM ==-．如图3-2中,当MN DN =时,作MH DG ⊥于H ．∵MN DN =, ∴MDN DMN ∠=∠, ∵DMN DGM ∠=∠, ∴MDG MGD ∠=∠, ∴MD MG =, ∵BH DG ⊥,∴5DH GH ==, 由GHM GBA V V ∽,可得GH MGGB AG=, ∴51685=, ∴55MG =, ∴551158522x AM ==-=． 综上所述,满足条件的x 的值为8510-或115． 【例6】如图1,已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝8,BC ＝6,点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动,同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动,它们到C 点后都停止运动,设点P 、Q 运动的时间为t 秒． （1）在运动过程中,求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动,求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ,Q 两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PQC 为等腰三角形．若存在,求出此时的t 值,若不存在,请说明理由．（24.25≈,结果保留一位小数）图1思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ,那么BD 的长就是PQ 的最大值． 2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论,点Q 分别在AB 、BC 上． 3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论,先罗列三边长．满分解答图2 图3 图4 （2）①如图2,当点Q 在AB 上时,0＜t ≤5,S △ABD ＝15． 由△AQP ∽△ABD ,得2()AQP ABDS AP S AD=△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ．②如图3,当点Q 在BC 上时,5＜t ≤8,S △ABC ＝24． 因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -, 所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3,当点Q 在BC 上时,CQ ＝2CP ,∠C ＝90°,所以△PQC 不可能成为等腰三角形． 当点Q 在AB 上时,我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ． 如图2,由QP //BD ,得QP AP BD AD =,535t=．所以35QP =． 如图4,作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中,QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ,AH ＝85t ．在Rt △CQH 中,由勾股定理,得CQ 22QH CH +2268()(8)55t t +-图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值,可以用代数计算说理的方法： ①如图8,当点Q 在AB 上时,PQ ＝22QH PH +＝2268()()55t t t +-＝35t ． 当Q 与B 重合时,PQ 最大,此时t ＝5,PQ 的最大值为35．②如图9,当点Q 在BC 上时,PQ ＝22CQ CP +＝22(2)CP CP +＝5(8)t -． 当Q 与B 重合时,PQ 最大,此时t ＝5,PQ 的最大值为35． 综上所述,PQ 的最大值为35．图8 图9【变式训练】1．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知(23,2)B ,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合）,连接PC ,过点P 作PD PC ⊥,交x 轴于点D ．下列结论：①23OA BC ==；②当点D 运动到OA 的中点处时,227PC PD +=；③在运动过程中,CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时,点D 的坐标为23,0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【详解】解：①∵四边形OABC 是矩形,(23,2)B ,23OA BC ∴==②∵点D 为OA 的中点,132OD OA ∴==,2222222237PC PD CD OC OD ∴+++＝＝＝（）＝,故②正确；③如图,过点P 作PF OA ⊥ A 于F ,FP 的延长线交BC 于E ,PE BC ∴⊥,四边形OFEC 是矩形,2EF OC ∴＝＝,设PE a ＝,则2PF EF PE a ＝﹣＝﹣, 在Rt BEP ∆中,PE OC 3BE BC tan CBO ∠===, 33BE PE a ∴==,)CE BC BE a ∴=-==-,PD PC ⊥Q ,90CPE FPD ︒∴∠∠=, 90CPE PCE ︒∠+∠=Q ,,FPD ECP ∴∠=∠, 90CEP PFD ︒∠=∠=Q ,CEP PFD ∴∆∆∽,PE CPFD PD ∴=, a FD ∴=FD ∴=, tan PC aPDC a PD∴∠===60PDC ︒∴∠=,故③正确；④2)B Q ,四边形OABC 是矩形,2OA AB ∴==,tan AB AOB OA ∠==Q 30AOB ︒∴∠=,当ODP ∆为等腰三角形时, Ⅰ、OD PD ＝， 30DOP DPO ∴∠∠o ＝＝， 60ODP ∴∠o ＝， 60ODC ∴∠o ＝，OD ∴==Ⅱ、OP OD =75ODP OPD ∴∠∠o ＝＝,90COD CPD ∠∠o Q ＝＝，10590OCP ∴∠o o ＝＞,故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD ＝,30POD PDO ∴∠∠o ＝＝,15090OCP ∴∠o o ＝＞故不合题意舍去,∴当ODP ∆为等腰三角形时,点D 的坐标为23,03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．故④正确,故选：D ．2．如图,在正方形ABCD 中,E F 、是对角线AC 上的两个动点,P 是正方形四边上的任意一点,且42AB EF ＝，＝,设AE x ＝．当PEF V 是等腰三角形时,下列关于P 点个数的说法中,一定正确的是（ ）①当0x ＝（即E A 、两点重合）时,P 点有6个 ②当0422x ＜＜时,P 点最多有9个 ③当P 点有8个时,x ＝22④当PEF V 是等边三角形时,P 点有4个 A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③【答案】B 【详解】①当0x ＝(即E A 、两点重合)时,如图1,分别以A F 、为圆心,2为半径画圆,各2个点P , 以AF 为直径作圆,有2个P 点,共6个, 所以,①正确；②当0＜x ＜42﹣2时,如图2、图3所示,此时P 点最多有8个,故②错误；③当点P 有8个时,如图2、图3所示,此时0＜x ＜2﹣2, 故③错误；④如图4,当△PEF 是等边三角形时,有两个P 点关于BD 对称的位置,共有4个,故④正确；综上,不正确的是②③,一定正确的是①④, 故选B.3．如图,在矩形ABCD 中,3310AD AB ==,点P 是AD 的中点,点E 在BC 上,2CE BE =,点M 、N 在线段BD 上．若PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等,则MN =_____．【答案】6或158【详解】分两种情况：①MN 为等腰△PMN 的底边时,作PF MN ⊥于F ,如图所示：则90PFM PFN ∠=∠=︒,Q 四边形ABCD 是矩形,∴AB CD =,3310BC AD AB ===90A C ∠=∠=︒, ∴10AB CD ==,2210BD AB AD =+=,Q 点P 是AD 的中点,∴13102PD AD ==,Q PDF BDA ∠=∠,∴PDF BDA ∆∆:,∴PF PD AB BD=,31021010=, 解得：32PF =, Q 2CE BE =,∴3BC AD BE ==, ∴BE CD =,∴2CE CD =,Q PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等,PF MN ⊥,∴MF NF =,PNF DEC ∠=∠, Q 90PFN C ∠=∠=︒,∴PNF DEC ∆∆:, ∴2NF CEPF CD==, ∴23NF PF ==,∴26MN NF ==；②MN 为等腰△PMN 的腰时,作PF ⊥BD 于F ,如图所示,由①得：32PF =,3MF =, 设==MN PN x ,则3=-FN x ,在V Rt PNF 中,2223(3)2⎛⎫+-= ⎪⎝⎭x x , 解得：158x =,即158=MN ,综上所述,MN 的长为6或158. 4．如图,平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴,y 轴上,A 点的坐标为(8,6)-,点P 在矩形ABOC 的内部,点E 在BO 边上,满足PBE ∆∽CBO ∆,当APC ∆是等腰三角形时,P 点坐标为_____．【答案】326()55-，或(43)-，【详解】解：∵点P 在矩形ABOC 的内部,且APC ∆是等腰三角形,∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；①当P 点在AC 的垂直平分线上时,点P 同时在BC 上,AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ,如图1所示：∵PE BO ⊥,CO BO ⊥, ∴//PE CO , ∴PBE ∆∽CBO ∆,∵四边形ABOC 是矩形,A 点的坐标为(8,6)-, ∴点P 横坐标为﹣4,6OC =,8BO =,4BE =, ∵PBE ∆∽CBO ∆, ∴PE BE CO BO =,即468PE =, 解得：3PE =, ∴点(4,3)P -；②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上,圆弧与BC 的交点为P , 过点P 作PE BO ⊥于E ,如图2所示： ∵CO BO ⊥,∴//PE CO , ∴PBE ∆∽CBO ∆,∵四边形ABOC 是矩形,A 点的坐标为(-8,6), ∴8AC BO ==,8CP =,6AB OC ==, ∴222208610BC BO C =+=+=,∴2BP =,∵PBE ∆∽CBO ∆,∴PE BE BP CO BO BC ==,即：26810PE BE ==, 解得：65PE =,85BE =,∴832855OE =-=,∴点326()55P -，；综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，； 故答案为：326()55-，或(43)-，．5．在平面直角坐标系xOy 中,已知点A （0,3）,点B （5,0）,有一动点P 在直线AB 上,△APO 是等腰三角形,则满足条件的点P 共有（ ）A ﹒2个B ﹒3个C ﹒4个D ﹒5个 【答案】C 【详解】如图,（1）AP 1=AO ；（2）AP 2=AO ；（3）OA=OP 3；（4）AP 4=OP 4.因此,满足条件的点P共有4个.故选C.6．如图,点A、B、P在⊙O上,且∠APB=50°。
中考数学压轴题,动点--等腰三角形
1.2因动点产生的等腰三角形问题例1 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△P AC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BH PHBO CO=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1, 2)．图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6m=±．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例2 2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．OC=在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23所以点B的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得36a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)663y x x x x =--=-+． （3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±．当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-．综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由23323(4)2)y x x =-=-23D ． 因此23tan DOA ∠=DOA ＝30°，∠ODA ＝120°． 例3 2011年湖州市中考第24题如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2 思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备．2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB ===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 5． 考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =． 第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例4 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠P AQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =． 如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在P A 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当P A ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC 和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，35 ANAM =，所以531025tt=-．解得3031t=．此时CM60 31 =．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-．(Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些． 例6 2010年南通市中考第27题如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m =，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？ 图1思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF=，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程 218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． 例7 2009年重庆市中考第26题已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连结DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．2．过点M 作MN ⊥AB ，根据对应线段成比例可以求F A 的长．3．将∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG 与△DEF 保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点Q 的位置，再计算点Q 的坐标．满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ． （2）把56=x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DADN FA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ．（3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。
中考数学压轴题精练：因动点产生的等腰三角形问题.pdf
此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以 BR＝1，t＝1．
我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ 中， cos ∠A = 3 为定值， AP = 7 − t ， AQ = OA − OQ = OA − 5 OR = 5 t − 20 ．
5
3 33
如图 5，当 AP＝AQ 时，解方程 7 − t = 5 t − 20 ，得 t = 41 ．
BO CO 所以点 P 的坐标为(1, 2)．
图2 （3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1, 6 )、(1, − 6 )或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的： 设点 M 的坐标为(1,m)． 在△MAC 中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2． ①如图 3，当 MA＝MC 时，MA2＝MC2．解方程 4＋m2＝1＋(m－3)2，得 m＝1． 此时点 M 的坐标为(1, 1)． ②如图 4，当 AM＝AC 时，AM2＝AC2．解方程 4＋m2＝10，得 m = ± 6 ．
上海中考自招备战 QQ 群 561732764
图2
图3
考点伸展
如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三 角形．
由 y = − 3 x(x − 4) = − 3 (x − 2)2 + 2 3 ，得抛物线的顶点为 D(2, 2 3 ) ．
6
6
3
3
因此 tan ∠DOA = 2 3 ．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°． 3
满分解答
（1）解方程组
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y y
= =
−x + 4 x, 3
中考数学压轴题---因动点产生的等腰三角形问题[含答案]
![中考数学压轴题---因动点产生的等腰三角形问题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/2f804b210722192e4536f69b.png)
因动点产生的等腰三角形问题例1（2011年湖州市中考第24题）如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 所经过的路径长为54π．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2（2011年盐城市中考第28题）如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8AP RA C P P O RCO R A S S SS=--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，42AB=，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠P AQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．在△APQ中，3cos5A∠=为定值，7AP t=-，5520333AQ OA OQ OA OR t=-=-=-．如图5，当AP＝AQ时，解方程520733t t-=-，得418t=．如图6，当QP＝QA时，点Q在P A的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]t t t-=---，得5t=．如7，当P A＝PQ时，那么12cosAQAAP∠=．因此2cosAQ AP A=⋅∠．解方程52032(7)335t t-=-⨯，得22643t=．综上所述，t＝1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．例3（2010年上海市闸北区中考模拟第25题）如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N 分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1满分解答(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=．(Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=．(Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况． ②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4（2010年南通市中考第27题）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m=，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．例5（2009年重庆市中考第26题）已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1 图2满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ． （2）把56=x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DA DN FA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ． （3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。
专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)
专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)在数学中，等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。
在考试中，等腰三角形常常出现在各类题目中，而三种压轴题型更是考察学生对等腰三角形的理解和运用能力。
本文将为大家介绍三种常见的等腰三角形压轴题型，并给出详细的解析，帮助大家更好地掌握解题技巧。
一、等腰三角形的性质首先，我们回顾一下等腰三角形的性质。
等腰三角形有两条边相等，可以分为底边和两条等腰边。
其性质如下：1. 等腰三角形的底边上的两个底角相等。
2. 等腰三角形的两条等腰边上的两个顶角相等。
利用这些性质，我们可以解决以下三种常见的等腰三角形压轴题型。
二、题型一：等腰三角形边长第一种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其边长。
这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度或两条等腰边的长度，并要求计算等腰三角形的其他边长。
解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边或两条等腰边的长度表示出来。
Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他边长的表达式。
Step 3：根据所得到的表达式，计算出未知边长的具体数值。
三、题型二：等腰三角形的面积第二种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其面积。
这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度和高，并要求计算面积。
解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边长度和高表示出来。
Step 2：根据面积公式 S = (1/2) ×底边 ×高，计算出面积。
Step 3：得到等腰三角形的面积。
四、题型三：等腰三角形的角度第三种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其顶角的度数。
这种题型通常会给出等腰三角形的顶角的度数，并要求计算其他角的度数。
解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的某个顶角的度数表示出来。
Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他角度的表达式。
(word完整版)2017年中考专题复习动点产生的等腰三角形问题
0319动点产生的等腰三角形问题1．如图所示，矩形ABCD中,AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A 不重合）,点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一交点A．（1)你能求出点A的坐标吗？（2）在x轴上是否存在一点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．3．如图，直线y=ax+b与双曲线y=有一个交点A（1，2)且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知△AOB的面积为3．（1)求双曲线和直线的解析式；(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP是等腰三角形?如果存在,直接写出满足条件的P点坐标；如果不存在，说明理由．4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3）,与x轴交于点B（4,0）．（1)求抛物线的解析式；（2）连接AB,点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d(d≠0）求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3)在（2）的条件下，连接AD,是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由．5．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D 沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s,设P,Q移动的时间为t（0＜t≤4）．（1)当t为何值时，△PBQ为等腰三角形?（2）△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能,说明理由．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°,AB=BC=10，AD=16．动点P、Q分别从点D、B同时出发,动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．(1）直接用含t的代数式表示:PA= ；（2）当t= 秒时,PQ∥AB；（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由．7．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合）,且保持DE∥BC,以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．(1）试求△ABC的面积；（2)当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长;（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．8．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动,并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（E不与B、C重合），且DE始终经过点A,EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长;若不能,请说明理由．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8，BC=6,CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC 向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时,两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；(2)当t为何值时,△CPQ与△ABC相似?(3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？10．如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）,解答下列问题:（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值?S的最大值是多少?（2）如图乙,连接PC，将△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形？11．如图,正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP,过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为，点D的坐标为（用t表示)；（2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形?(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变,试求这个定值．12．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P 为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°(1）求ED、EC的长；(2）若BP=2，求CQ的长；(3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形,求BP的长．13．如图，已知一次函数y=﹣x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1)求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移,在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2017年03月19日马赛的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题(共1小题）1．（2010•济南）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据题意，结合图形,分情况讨论：①BP为底边;②BP为等腰三角形一腰长．【解答】解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B 为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；②BP为底边时,C为顶点时,符合点E的位置有2个,是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B 为圆心BC为半径的圆没有交点．故选：C．【点评】本题综合考查等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究．二．解答题（共12小题)2．(2016秋•黄州区校级月考）如图，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一交点A．（1）你能求出点A的坐标吗？（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在,请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．【分析】（1)利用解方程组可得到A点坐标；（2）需要分类讨论：AP=AO、OA=OP、AP=OP，根据等腰三角形的性质来求点P的坐标．【解答】解:（1)解方程组得或,所以A点坐标为（2，4）；（2)①当AP=AO时，作AB⊥x轴于B点，如图1，当PB=OB时，△AOP是以OP为底的等腰三角形，而A（2,4），所以P点坐标为（4，0）．②当OA=OP时,∵A（2，4),∴OA==2，则P（±2,0）；③当AP=OP时，如图2,过点P作PQ⊥AO于点Q．设P（t,0）．则Q（1，2）．故OA•PQ=OP×4，即×2×=t×4，解得t=5，即（5，0）．综上所述,符合条件的点P的坐标是(4,0)或（2，0）或（﹣2,0）或（5,0）．【点评】本题考查了二次函数综合题，同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时,应有规律的去找不同的解是解题关键．3．（2010秋•本溪月考）如图，直线y=ax+b与双曲线y=有一个交点A（1，2）且与x轴、y 轴分别交于B，C两点，已知△AOB的面积为3．(1）求双曲线和直线的解析式;（2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP是等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的P点坐标；如果不存在，说明理由．【分析】(1）根据双曲线y=过点A(1,2)，利用待定系数法，可得双曲线解析式，根据△AOB 的面积为3，可得B点坐标，根据直线过A、B两点,利用待定系数法，可得直线解析式；（2）根据两边相等的三角形是等腰三角形，分类讨论,AB=AP,AB=BP，AP=BP，可得答案．【解答】解：（1）∵双曲线y=过点A（1，2)，∴2=,k=2，双曲线的解析式是y=，∵△AOB的面积为3，底是OB的长,高是A点的纵坐标，×2×OB=3,∴B点坐标是（3，0），∵直线y=ax+b过点A、B，∴2=a+b ①,0=3a+b②，②﹣①得a=﹣1，b=3,∴一次函数的解析式是y=﹣x+3；（2)设P点坐标为（x，0)，AB=，当AP=PB时,,x=3（不合题意，舍)或x=﹣1，P点坐标（﹣1，0），当AB=BP时，PB=2，∴P点坐标为（3﹣2，0）或（3+2，0），当AP=BP时，，x=，P点坐标是（,0）．故P（﹣1，0）,（3﹣2,0），（3+2，0），（，0）．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，（1）利用待定系数法求解是解题关键;（2)分类讨论是解题关键．4．(2015秋•道外区期末)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A(0，3），与x轴交于点B(4,0）．(1)求抛物线的解析式；(2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D,设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）求d与m的函数关系式(不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD,是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在,求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式;（2)根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标,根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．【解答】解:（1）将A、B点坐标代入，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3；（2）如图：设AB的解析式为y=kx+b，将B、A的坐标代入，得，解得，AB的解析式为y=﹣x+3，C在直线AB上，C（m，﹣m+3）,D(m，﹣m2+m+3)．CD的长为﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+2m,即d=﹣m2+2m;(3）AC2=m2+（m）2，CD2=(﹣m2+2m）2，AD2=m2+（﹣m2+m)2,①当AC=AD时,m2+（m）2=m2+(﹣m2+m）2，化简，得（﹣m2+2m）(﹣m2+m）=0，解得m=0（不符合题意,舍)，m=4（不符合题意,舍），m=1;②当AC=CD时，m2+（m）2=(﹣m2+2m）2，化简，得（﹣m2+m）（﹣m2+m)=0，解得m=0（不符合题意，舍），m=（不符合题意,舍），m=;③当AD=CD时，m2+(﹣m2+m）2=（﹣m2+2m）2，化简，得﹣m2(m﹣）=0，解得m=．综上所述:m的值为1、或．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出函数解析式；利用等腰三角形的定义得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．5．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD,BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时,点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t（0＜t≤4）．（1)当t为何值时，△PBQ为等腰三角形?（2)△PBQ能否成为等边三角形？若能,求t的值；若不能,说明理由．【分析】（1）此题由3种情况，①从假设△BPQ是等腰三角形入手．求证△BMP∽△BCD,利用对应边成比例即可求得t的值．②在Rt△BMP中，利用cos∠DBC=，解得t．③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线,垂足为N．利用Rt△BNQ∽Rt△BCD其对应边成比例即可求得t．（2）若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．由②，知当BQ=BP时，．由①，知当BP=PQ时,．而BQ=BP与BP=PQ不能同时成【解答】解：（1）若△BPQ是等腰三角形．①如图，当PB=PQ时,自点P向BC引垂线，垂足为M,则有BM=MQ．方法一:由△BMP∽△BCD,得，∴．∴，解得．方法二：在Rt△BMP中，．∴，解得．②当BQ=BP时，有t=5﹣t，解得．③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线，垂足为N．由Rt△BNQ∽Rt△BCD,得．∴，解得．（2）不能．若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．由(2）②,知当BQ=BP时，．由（2）①，知当BP=PQ时，．∴BQ=BP与BP=PQ不能同时成立，∴△PBQ不可能为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强,是一道难题．6．（2013春•邢台期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°,AB=BC=10,AD=16．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动,当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒)．（1)直接用含t的代数式表示：PA= 16﹣2t ；(2）当t= 秒时，PQ∥AB；（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能,请求出t的值；如果不能，请说明理由．【分析】(1）根据已知求出即可；（2）根据平行四边形的性质和判定得出BQ=AP,求出即可；（3）求出CD和PN，分为三种情况:①PE=AP,②AE=AP，③PE=AE，根据勾股定理和等腰三角形的性质得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵AD=16，DP=t，∴AP=16﹣2t，故答案为：16﹣2t．（2）当BQ=AP，∵BC∥AD，∴四边形PABQ是平行四边形,∴此时PQ∥AB，即t=16﹣2t,t=，故答案为：．（3)设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能为等腰三角形，过B作BM⊥AD于M，∴∠BMA=90°,∵∠C=90°，∴∠D=∠BMA，∴CD∥BM，∴四边形CDMB是矩形，∴CD=BM，BC=DM=10，∴AM=16﹣10﹣6，在Rt△BMA中，AB=10,由勾股定理得：BM=8，分为三种情况:①当PE=AP=16﹣2t时,如图1，过P作PN⊥BC于N，则四边形CDPN是矩形,∴PN=CD=8，CN=DP=2t，∵PE=AP，∴∠A=∠E,∵BC∥AD,∴∠EBQ=∠A，∴∠E=∠EBQ,∴EQ=BQ=t，在Rt△PNQ中，由勾股定理得：82+（10﹣2t﹣t）2=(16﹣2t﹣t)2，t=；②如图1,当AE=AP时，∴∠E=∠EPA，∵BC∥AD,∴∠EPA=∠CQP,∵∠EQB=∠CQP，∴∠E=∠EQB，∴EB=QB=t，∵AE=AP,BC=10，∴10+t=16﹣2t，t=2；③如图1，当PE=AE时，∵BC∥AD，∴∠EQB=∠EPA,∠EBQ=∠A，∵AE=PE，∴∠A=∠EPA，∴∠EQB=∠EBQ，∴QE=BE，∵AE=PE,∴BC=PQ=10，在Rt△PNQ中,NQ=10﹣2t﹣t=10﹣3t，pn=8,PQ=BC=10由勾股定理得:82+(10﹣3t）2=102，t=；④当p在DA的延长线上时，若PA=AE，则2t﹣16=10﹣t，解得：t=,而点Q运动到点C所用时间是10秒，＜10，符合题意即设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能为等腰三角形，t的值是秒或2秒或秒或秒．【点评】本题考查了矩形的性质和判定，梯形的性质,等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，注意要进行分类讨论啊．7．（2012秋•宝安区期中)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）试求△ABC的面积;（2)当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．【分析】（1)作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积．（2)根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE 的长度．（3）根据△ADE∽△ABC得=，求出AD的长．【解答】解:(1）过A作AH⊥BC于H,∵AB=AC=5,BC=6，∴BH=BC=3，∴AH===4，∴S=BC•AH=×6×4=12．△ABC(2）令此时正方形的边长为a，∵DE∥BC,∴，∴a=．（3）当AD=x时,由△ADE∽△ABC得=，即=,解得DE=x,当BD=DG时，5﹣x=x，x=，当BD=BG时，=,解得x=，当BG=DG时,=，解得x=,∴当△BDG是等腰三角形时，AD=或或．【点评】本题考查了正方形、等腰三角形的性质,相似比等相关知识．综合性较强，解题时要仔细．8．（2013•金城江区三模)如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF,将△DEF 与△ABC重合在一起，△ABC不动,△ABC不动,△DEF运动,并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（E不与B、C重合），且DE始终经过点A,EF与AC交于M点．(1)求证:△ABE∽△ECM；(2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证出∠CEM=∠BAE，从而可证得△ABE∽△ECM；（2）首先由∠AEF=∠B=∠C,且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵△ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE,∴△ABE∽△ECM；（2）能．解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF,∴AE≠AM;当AE=EM时，则△ABE≌△ECM,∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE=，∴BE=6﹣=;∴BE=1或．【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．9．(2016秋•芦溪县期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6,CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时,△CPQ与△ABC相似?（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长,再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；（3）根据题意画出图形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三种情况进行讨论．【解答】解：(1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6,∴AB=10．∵CD⊥AB，=BC•AC=AB•CD．∴S△ABC∴CD===4。
2018年中考压轴题汇编《因动点产生的等腰三角形问题》含答案
因动点产生的等腰三角形问题例年重庆市中考第题如图，在△中，＝°，∠＝°，点是∠的平分线上一点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，点是的中点，⊥，垂足为，连接，．（）如图，若点是的中点，＝，求、的长；（）如图，求证：＝．（）如图，连接、，猜想：△是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图图例年长沙市中考第题如图，抛物线＝＋＋（、、是常数，≠）的对称轴为轴，且经过()和两点，点在该抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )．（）求、、的值；（）求证：在点运动的过程中，⊙始终与轴相交；（）设⊙与轴相交于(, )、(, )两点，当△为等腰三角形时，求圆心的纵坐标．图例年上海市虹口区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点为边的中点，⊥交边于点，点为射线上的一动点，点为边上的一动点，且∠＝°．（）求、的长；（）若＝，求的长；（）记线段与线段的交点为，若△为等腰三角形，求的长．图备用图例年扬州市中考第题如图，抛物线＝＋＋经过(－)、(, )、( )三点，直线是抛物线的对称轴．（）求抛物线的函数关系式；（）设点是直线上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；（）在直线上是否存在点，使△为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图例年临沂市中考第题如图，点在轴上，＝，将线段绕点顺时针旋转°至的位置．（）求点的坐标；（）求经过、、的抛物线的解析式；（）在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．图例年盐城市中考第题如图，已知一次函数＝－＋与正比例函数的图象交于点，且与轴交于点．（）求点和点的坐标；（）过点作⊥轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿——的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．①当为何值时，以、、为顶点的三角形的面积为？②是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．图因动点产生的等腰三角形问题答案例年重庆市中考第题如图，在△中，＝°，∠＝°，点是∠的平分线上一点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，点是的中点，⊥，垂足为，连接，．（）如图，若点是的中点，＝，求、的长；（）如图，求证：＝．（）如图，连接、，猜想：△是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图图动感体验请打开几何画板文件名“重庆”，拖动点运动，可以体验到，△与△保持全等，△与△保持全等，△保持等边三角形的形状．思路点拨．把图形中所有°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．．中点有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（）如图，在△中，∠＝°，＝，所以＝．在△中，∠＝°，＝，所以＝，＝．在△中，＝，＝，由勾股定理，得＝．（）如图，由∠＝°，∠＝°，平分∠，得∠＝°，∠＝°．在△中，＝．在△中，＝．所以＝．因为点是△的斜边上的中线，所以＝，∠＝∠．所以∠＝∠．所以△≌△．所以＝．图图图（）如图，作⊥于，联结．由，是的中点，得是的中点．因此＝，△是等边三角形．又因为＝，所以＝．又因为＝，∠＝∠＝°，所以△≌△．所以∠＝∠，＝．所以∠＝∠＝°．所以△是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图，如图，当点落在边上时，点与点重合．图图如图，图，点落在边上．如图，图，等腰梯形．图图图图例年长沙市中考第题如图，抛物线＝＋＋（、、是常数，≠）的对称轴为轴，且经过()和两点，点在该抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )．（）求、、的值；（）求证：在点运动的过程中，⊙始终与轴相交；（）设⊙与轴相交于(, )、(, )两点，当△为等腰三角形时，求圆心的纵坐标．图动感体验请打开几何画板文件名“长沙”，拖动圆心在抛物线上运动，可以体验到，圆与轴总是相交的，等腰三角形存在三种情况．思路点拨．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙在轴上截得的弦长＝是定值．．等腰三角形存在三种情况，其中＝和＝两种情况时，点的纵坐标是相等的．满分解答（）已知抛物线的顶点为()，所以＝．所以＝，＝．将代入＝，得．解得（舍去了负值）．（）抛物线的解析式为，设点的坐标为．已知(, )，所以＞．而圆心到轴的距离为，所以半径＞圆心到轴的距离．所以在点运动的过程中，⊙始终与轴相交．（）如图，设的中点为，那么垂直平分．在△中，，，所以＝．所以＝．因此＝，为定值．等腰△存在三种情况：①如图，当＝时，点为原点重合，此时点的纵坐标为．图图②如图，当＝时，在△中，＝，＝，所以＝．此时＝＝．所以点的纵坐标为．③如图，当＝时，点的纵坐标为也为．图图考点伸展如果点在抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )，那么在点运动的过程中，⊙始终与直线＝－相切．这是因为：设点的坐标为．已知(, )，所以．而圆心到直线＝－的距离也为，所以半径＝圆心到直线＝－的距离．所以在点运动的过程中，⊙始终与直线＝－相切．例年上海市虹口区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点为边的中点，⊥交边于点，点为射线上的一动点，点为边上的一动点，且∠＝°．（）求、的长；（）若＝，求的长；（）记线段与线段的交点为，若△为等腰三角形，求的长．图备用图动感体验请打开几何画板文件名“虹口”，拖动点在射线上运动，可以体验到，△与△保持相似．观察△，可以看到，、可以落在对边的垂直平分线上，不存在＝的情况．请打开超级画板文件名“虹口”，拖动点在射线上运动，可以体验到，△与△保持相似．观察△，可以看到，、可以落在对边的垂直平分线上，不存在＝的情况．思路点拨．第（）题＝分两种情况．．解第（）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．．第（）题探求等腰三角形时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形．满分解答（）在△中，＝，＝，所以＝．在△中，＝，所以，．（）如图，过点作⊥，⊥，垂足分别为、，那么、是△的两条中位线，＝，＝．由∠＝°，∠＝°，可得∠＝∠．因此△∽△．所以．所以，．图图图①如图，当＝，在上时，＝．此时．所以．②如图，当＝，在的延长线上时，＝．此时．所以．（）如图，如图，在△中，．在△中，．所以∠＝∠．由∠＝°，∠＝°，可得∠＝∠．因此△∽△．当△是等腰三角形时，△也是等腰三角形．①如图，当＝＝时，＝－＝－＝（如图所示）．此时．所以．②如图，当＝时，由，可得．所以＝－＝（如图所示）．此时．所以．③不存在＝的情况．这是因为∠≥∠＞∠（如图，图所示）．图图考点伸展如图，当△是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△也是等腰三角形，＝．在△中可以直接求解．例年扬州市中考第题如图，抛物线＝＋＋经过(－)、(, )、( )三点，直线是抛物线的对称轴．（）求抛物线的函数关系式；（）设点是直线上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；（）在直线上是否存在点，使△为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“扬州”，拖动点在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点落在线段上时，＋最小，△的周长最小．拖动点在抛物线的对称轴上运动，观察△的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点有次机会落在的垂直平分线上；点有次机会落在的垂直平分线上；点有次机会落在的垂直平分线上，但是有次、、三点共线．思路点拨．第（）题是典型的“牛喝水”问题，点在线段上时△的周长最小．．第（）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（）因为抛物线与轴交于(－)、(, )两点，设＝(＋)(－)，代入点( )，得－＝．解得＝－．所以抛物线的函数关系式是＝－(＋)(－)＝－＋＋．（）如图，抛物线的对称轴是直线＝．当点落在线段上时，＋最小，△的周长最小．设抛物线的对称轴与轴的交点为．由，＝，得＝＝．所以点的坐标为(, )．图（）点的坐标为(, )、(,)、(,)或()．考点伸展第（）题的解题过程是这样的：设点的坐标为()．在△中，＝，＝＋(－)，＝＋．①如图，当＝时，＝．解方程＋＝＋(－)，得＝．此时点的坐标为(, )．②如图，当＝时，＝．解方程＋＝，得．此时点的坐标为(,)或(,)．③如图，当＝时，＝．解方程＋(－)＝，得＝或．当(, )时，、、三点共线，所以此时符合条件的点的坐标为()．图图图例年临沂市中考第题如图，点在轴上，＝，将线段绕点顺时针旋转°至的位置．（）求点的坐标；（）求经过、、的抛物线的解析式；（）在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“临沂”，拖动点在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙和⊙以及的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点运动到⊙与对称轴的另一个交点时，、、三点共线．请打开超级画板文件名“临沂”，拖动点，发现存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点重合在一起．满分解答（）如图，过点作⊥轴，垂足为．在△中，∠＝°，＝，所以＝，．所以点的坐标为．（）因为抛物线与轴交于、(, )，设抛物线的解析式为＝(－)，代入点，．解得．所以抛物线的解析式为．（）抛物线的对称轴是直线＝，设点的坐标为(, )．①当＝＝时，＝．所以＝．解得．当在时，、、三点共线（如图）．②当＝＝时，＝．所以．解得．③当＝时，＝．所以．解得．综合①、②、③，点的坐标为，如图所示．图图考点伸展如图，在本题中，设抛物线的顶点为，那么△与△是两个相似的等腰三角形．由，得抛物线的顶点为．因此．所以∠＝°，∠＝°．例年盐城市中考第题如图，已知一次函数＝－＋与正比例函数的图象交于点，且与轴交于点．（）求点和点的坐标；（）过点作⊥轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿——的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．①当为何值时，以、、为顶点的三角形的面积为？②是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“盐城”，拖动点由向运动，从图象中可以看到，△的面积有一个时刻等于．观察△，可以体验到，在上时，只存在＝的情况；在上时，有三个时刻，△是等腰三角形．思路点拨．把图复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．．求△的面积等于，按照点的位置分两种情况讨论．事实上，在上运动时，高是定值，最大面积为，因此不存在面积为的可能．．讨论等腰三角形，按照点的位置分两种情况讨论，点的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（）解方程组得所以点的坐标是(，)．令，得．所以点的坐标是(，)．（）①如图，当在上运动时，≤＜．由，得．整理，得．解得＝或＝（舍去）．如图，当在上运动时，△的最大面积为．因此，当＝时，以、、为顶点的三角形的面积为．图图图②我们先讨论在上运动时的情形，≤＜．如图，在△中，∠＝°，∠＞°，＝，，所以＞．因此∠＞∠＞∠．如图，点由向运动的过程中，＝＝，所以轴．因此∠＝°保持不变，∠越来越大，所以只存在∠＝∠的情况．此时点在的垂直平分线上，＝＝．所以＝，＝．我们再来讨论在上运动时的情形，≤＜．在△中，为定值，，．如图，当＝时，解方程，得．如图，当＝时，点在的垂直平分线上，＝(－)．解方程，得．如，当＝时，那么．因此．解方程，得．综上所述，＝或或或时，△是等腰三角形．图图图考点伸展当在上，＝时，也可以用来求解．。
中考数学压轴试题复习第一部分专题二因动点产生的等腰三角形问题
§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在五种情况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MA＝MN和NA＝NM时，点P的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．将代入y＝ax2，得．解得（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为，设点P的坐标为．已知A(0, 2)，所以＞．而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．等腰△AMN存在三种情况：①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．图2 图3②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2．此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．如图5，当NA＝NM时，根据对称性，点P的纵坐标为也为．图4 图5③如图6，当NA＝NM＝4时，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以ON＝2．。
1.2 因动点产生的等腰三角形问题(含答案)
第一部分函数图象中点的存在性问题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2011年湖州市中考第24题如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC 上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P 从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2例2 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C —A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．例3 2010年上海市闸北区中考模拟第25题如图，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥D E，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM//x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径．1.2 因动点产生的等腰三角形问题 参考答案例1思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解． 3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ． 满分解答（1）因为PC//DB ，所以1CP PM MCBD DM MB ===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m)．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 所经过的路径长为54π．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =． ②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =． 第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7 例2思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)． （2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4 ②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ． 如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ//x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =． 如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP)．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQA AP ∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7 考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．例3思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP 的值要根据点N 的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似． 3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N 的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N 在AB 的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP ，N 在AB 上时，∠B 是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算． 满分解答(1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒． 在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ．在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN∶NP＝MQ ∶QO ＝5∶3． 在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN∶NP＝MQ ∶QO ＝5∶3． (2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP∽△MNA，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t=．所以85OP t=． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t=-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP=．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP=，这样计算简便一些．例4思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此DC EBCE BF=，即8m xx y-=．整理，得y关于x的函数关系为218y x xm m=-+．(2)如图2，当m＝8时，2211(4)288y x x x=-+=--+．因此当x＝4时，y取得最大值为2．(3) 若12ym=，那么21218x xm m m=-+．整理，得28120x x-+=．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入12ym=，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入12ym=，得m＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x xm m=-+221116(8)(4)x x xm m m=--=--+，那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x xm m=-+总有一个根8x m=-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．例5思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．2．过点M作MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求FA的长．3．将∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标．满分解答（1）由于OD平分∠AOC，所以点D的坐标为（2，2），因此BC＝AD＝1．由于△BCD≌△ADE，所以BD＝AE＝1，因此点E的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ．（2）把56=x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,56．如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DA DNFA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ．因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ．（3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时GQ Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。
专题一 因动点产生的等腰三角形问题
专题一因动点产生的等腰三角形问题例1、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．例2、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．第25题备用图分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB=8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．（1）若ED BE =，求∠F 的度数；（2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长．题5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP 的长．ABECAB CED第25题图（备用图）专题一 引动点产生的等腰三角形问题答案例1、【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax2＋bx ＋c ，∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）。
初三数学提优专题1(动点产生的等腰三角形问题)
第一节动点产生的等腰三角形问题讲方法一、两定点一动在平面中找点P,使得点P与已知点A、B构成等腰三角形第一类点,以AB为腰:如图,分别以A、B为圆心,AB的长为半径画圆,则两圆上的点(除去与A、B重合或共线的点)都能与A、B构成等腰三角形。
第二类点,以AB为底:如图,连接两圆的交点P1P2,可证直线P1P2是线段AB生垂直平分线,则P1P2所在直线上的点(除去与直线AB共线的点)都能与A、B构成等腰三角形。
总结:就是“两圆一中垂去五点”模型。
注:去除与直线AB共线的点的方法:求直线AB的解析式,再验证P点是否在直线AB上，在则共线,不在,则不共线;或用几何方法证。
二、动点个数不止在平面内使构成等腰三角形的三个点中,动点个数大于或等于两个解决问题的方法:让三个点轮流做顶角顶点,进行分类讨论。
三、计算点坐标的方法在具体题目中有时不仅要找出符合题意的点,还要计算出此点的坐标,计算点坐标的方参考以下几种:1.全等或相似(找相等线段或成比例线段);2.勾股定理;3.锐三角函数；4.面积法；5.方程或方程组学思路铺垫如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD，AD=DC=CB=2，AD⊥DB，AB=4,DO垂直于AB.若点P在梯形的对称轴l上,那么使APDB为等腰三角形的点P有_____个，坐标分别是________思路：①平行+等腰出角平分线②垂直要想到：1.两锐角互余；2.可用勾股定理；3.锐角三角函数③两定一动模型压轴题(重庆中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=3332332--x x 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,对称轴与x 轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上(1)直线AE 的解析式为________2)点G 是线段CE 的中点,将抛物线y=3332332--x x 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y ‘,y ’经过点D, y ’的顶点为点F.在新抛物线y ’的对称轴上,是否存在一点Q,使得△FGQ 为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由。
中考数学复习压轴题冲刺 代几综合题 第一讲 动点产生的等腰三角形
6
Байду номын сангаас
例 1．已知：抛物线 y x2 (a 2)x 2a （ a 为常数，且 a 0 ）.
2021年
7
【解析】（1）令 y 0 ，则 x2 (a 2)x 2a 0 ．△= (a 2)2 8a (a 2)2 ． ∵ a 0，∴ a 2 0．∴ △ 0 ． ∴ 抛物线与 x 轴有两个交点.
动点产生的等腰三角形
讲师：苏海涛
2021年
1
真题展示
2021年
2
动点产生的等腰三角形
2021年
3
动点产生的等腰三角形
2021年
4
冲刺满分
2021年
5
如何解决运动产生的等腰三角形问题：
假设形成了 等腰三角形
利用等腰三角形 的性质解决
常用知识：等角 对等边，等腰三 角形“三线合一” 等等
2021年
在 Rt△ AOC 中， AO2 CO2 (2 5 )2 ， a2 (2a)2 20 ．可得 a 2 ． ∵ a 0，∴ a 2．∴ 抛物线的解析式为 y x2 4 ．
2021年
8
例 2．（兰州）如图，抛物线 y=﹣ 1 x2 + mx + n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴 2
在 Rt△OCD 中，由勾股定理，得 CD = 5 ． 2
专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(压轴题)
《中考压轴题》专题37：动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问一、选择题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是A．2B．3C．4D．5二、填空题1.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的△是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为。
中点，点P在BC上运动，当ODP2.如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ 是等腰三角形，则符合条件的Q点有个.3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD的中点，点P在x 轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标．三、解答题1.如图，抛物线21y x mx n 2=-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．2.如图，二次函数24y x bx c 3=++的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P ，Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请判定此时四边形APDQ 的形状，并求出D 点坐标．3.已知抛物线经过A （﹣2，0），B （0，2），C （32，0）三点，一动点P 从原点出发以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线交y 轴于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=12AP 时，求t 的值；（3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线过2y ax bx c(a 0)=++≠过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，245-），以OB 为直径的⊙A 经过C 点,直线l 垂直于x 轴于点B.（1）求直线BC 的解析；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m n ⋅的值，并证明你的结论；（4）点P 从O 出发，以每秒1个单位速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t(0<t )秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值.5.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213y x x 222=-++的图像与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，过动点H （0,m ）作平行于x 轴的直线，直线与二次函数213y x x 222=-++的图像相交于点D ，E.（1）写出点A,点B 的坐标；（2）若m >0，以DE 为直径作⊙Q ，当⊙Q 与x 轴相切时，求m 的值；（3）直线上是否存在一点F ，使得△ACF 是等腰直角三角形？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.6.如图1，抛物线y=ax 2+bx ﹣1经过A （﹣1，0）、B （2，0）两点，交y 轴于点C ．点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC 的表达式．（2）如图1，当点P 的横坐标为32时，求证：△OBD ∽△ABC ．（3）如图2，若点P 在第四象限内，当OE=2PE 时，求△POD 的面积．（4）当以点O 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P 的坐标．7.如图，抛物线y=-x 2+bx+c 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，已知经过点A ，B 的直线的表达式为y=x+3．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C 的坐标；（2）如图①，点P （m ，0）是线段AO 上的一个动点，其中-3＜m ＜0，作直线DP ⊥x 轴，交直线AB 于D ，交抛物线于E ，作EF ∥x 轴，交直线AB 于点F ，四边形DEFG 为矩形．设矩形DEFG 的周长为L ，写出L 与m 的函数关系式，并求m 为何值时周长L 最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使点A ，B ，Q 构成的三角形是以AB 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的图象过点M (2,-，顶点坐标为N 1,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）在直线AC 上是否存在一点Q ，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.11.已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。
第一讲因动点形成等腰三角形(一)(教师)
第一讲“因动点形成等腰三角形”问题的讨论（一）【知识点说明】“动点”问题是中考压轴题中首选的考试内容。
出题的形式一般是：结合几何图形，以点的运动构造某个变化的量作为“自变量”，点的运动引起某些图形的变化，相关线段的长，或相关图形的周长，面积等随之变化。
“动点”问题中的动点个数一般有一个或两个；运动的途径分（1）在直线（射线或线段）上（2）在折线上（3）在曲线（双曲线或抛物线或圆弧线）上；涉及的问题有两种情况：（1）变化的问题（2）不变的问题或定值问题。
现在讨论“动点”问题中的变化问题。
基本思路是：将变化问题中的这些变量用“函数”写出相应的表达式，再根据题中相等关系列方程求解，这属于典型的“数形结合”问题，可以考察的知识点较多，思维上要求较高。
在写好函数的基础上，进行“分类讨论”，以考察学生的基本功，思考方式及解决问题的能力。
今天要讨论“动点”问题中变化问题：“一个三角形在什么条件下成为等腰三角形”，是“分类讨论”问题中很重要的一类。
一般从“边或角”两个方面着手。
（一）从“边”着手，一般可通过“两点距离公式，勾股定理，相似形”等相关知识写出三边得长度表达式，计算就可以了。
（二）从“角”着手，一般推出“平行，垂直”等关系，结合相似形等知识解决问题。
【例题讲解】例1、如图，直线AB经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，C在⊙O上且∠AOC=30°，点P是直线AB上一个动点（与点O不重合），直线PC经过⊙O的圆心Q，是否存在点P，使QP＝QO？若存在，那么这样的点P共有几个？并相应求出∠OCP的大小；若不存在，请说明理由。
例2、如图梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD=3，DC=5，AB=42，∠B=45°，动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为 t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．例3、如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的上有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G ，（1）当点P 在AB 上运动时，线段GO ，GP ，GH 中有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应线段的长度；（2）设PH=x ，GP=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (3) 若△GPH 为等腰三角形，试求出线段PH 的长。
中考数学压轴题精选-第二节因动点产生的等腰三角形问题
（1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求 m 的值； （3）设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E，过点 O 作直线 ME 的垂线， 垂足为 H（如图 2）。当点 P 从 O 向 C 运动时，点 H 也随之运动。请直接写出点 H 所经过 的路长（不必写解答过程）。
图3
图4
图5
例 2 临沂市中考第 26 题
如图 1，点 A 在 x 轴上，OA＝4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置。 （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等 腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
所以点 B 的坐标为 (2, 2 3) 。 （2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 y＝ax(x－4)，
代入点 B (2, 2
3) ， 2
3 2a (6) 。解得 a
3 6。
y
3 x(x 4)
3 x2 2
3 x
所以抛物线的解析式为
6
6
3。
（3）抛物线的对称轴是直线 x＝2，设点 P 的坐标为(2, y)。
BH PH 由 BO CO ，BO＝CO，得 PH＝BH＝2、 所以点 P 的坐标为(1, 2)。 图2 （3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1, 6 )、(1, 6 )或(1,0)。
动点等腰三角形问题
龙文教育一对一个性化辅导教案学生学校年级九年级次数第次科目数学教师罗老师日期时段课题抛物线中因动点产生的等腰三角形问题教学重点 1.压轴题抛物线中抛物线中因动点产生的等腰三角形问题教学难点1。
压轴题抛物线中抛物线中因动点产生的等腰三角形问题教学目标会解一些常见题型教学步骤及教学内容一．题型的综述:二.方法揭秘：三．典例分析：四．变式训练：五．课后作业：管理人员签字：日期：年月日作业1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差备注：布2、本次课后作业:置课堂小结讲义问题: £无错题、£无作业、£小题少、£大段概念、£量少、£无提纲、£其它（）龙文教育一对一个性化辅导教案学生学校年级九年级次数第次科数学教师日时段目期一、类型综述数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题,以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题,动态问题的解答,一般要将动态问题转化为静态问题,抓住运动过程中的不变量,利用不变的关系和几何性质建立关于方程(组)、函数关系问题,将几何问题转化为代数问题.在动态问题中,动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合,也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合。
解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.二、方法揭秘我们先回顾两个画图问题:1．已知线段AB ＝5厘米，以线段AB 为腰的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？ 2．已知线段AB ＝6厘米，以线段AB 为底边的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？ 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外，都是顶点C ． 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外． 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的,夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来,那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ,直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3,如果CA ＝CB ,那么1cos 2AB AC A =∠．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3三、典例分析例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．(1）求ED、EC的长；(2）若BP＝2，求CQ的长;（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形,求BP的长．图1 备用图例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1,0）、B(3， 0)、C(0 ，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．图1例3 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标;(2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；(2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求t 的值；若不存在，请说明理由．例5 如图1，在△ABC中， ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB,点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝23AB、BD的长；(2）如图1，求证:HF＝EF．（3）如图2，连接CF、CE,猜想:△CEF是否是等边三角形?若是，请证明;若不是，请说明理由．图1 图2例6如图1，已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动,它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．(1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式;（3）P ,Q 两点在运动过程中，是否存在时间t,使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25 ，结果保留一位小数）图1四、变式训练如图，已知抛物线2y x bx c =-++与y 轴相交于点A （0，3），与x 正半轴相交于点B ，对称轴是直线x =1． （1）求此抛物线的解析式以及点B 的坐标．（2）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动,同时动点N 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向运动,当N 点到达A 点时，M 、N 同时停止运动．过动点M 作x 轴的垂线交线段AB 于点Q ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒． ①当t 为何值时，四边形OMPN 为矩形．②当t ＞0时，△BOQ 能否为等腰三角形?若能,求出t 的值；若不能,请说明理由．五、课后练习如图，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知A （3，0）,且M （1，83-）是抛物线上另一点． （1）求a 、b 的值；(2）连结AC ，设点P 是y 轴上任一点，若以P 、A 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标； （3)若点N 是x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O 、A 重合)，过点N 作NH ∥AC 交抛物线的对称轴于H 点．设ON =t ,△ONH 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一部分 函数图像中点的存在性问题1、掌握因动点产生的等腰三角形的解题策略：代数方法、几何方法。
2、体会等腰三角形中的分类讨论思想，解题中的方程思想。
3、运用相似三角形知识解决动点产生的等腰三角形问题。
4、培养学生独立思考，提高综合能力、解决问题的能力。
本专题探求在图形的变化过程中，可以构成等腰三角形的点的存在性问题。
这个动点可以在x 轴、y 轴上，也可以在正、反比例函数、一次函数、二次函数上；可能是一个点在运动，也有可能两个点同时运动。
所以这类题目的解答要根据运动本身的特点，写出符合这个特点的点的坐标或求出线段的长度。
等腰三角出题范围较广，题型很多。
数形结合，可以直观地找到解题的捷径；代数方法、几何方法各有千秋，灵活应用才能事半功倍。
1、怎样设动点的坐标（1）若动点在x 轴上，可设动点坐标为 ；若动点在y 轴上，可设动点坐标为 （2）若动点在函数)(x f y =上，则横坐标设为x ，纵坐标设为)(x f 。
例如，点A 在一次函数1+-=x y 上，直接设A （ ）2、等腰三角形要分类讨论如图，ABC ∆为等腰三角形时，存在三种情况：AB ＝AC ；AB ＝BC ；BC ＝AC ，所以要分类进行讨论。
CBA一、压轴题型概述 因动点产生的等腰三角形二、策略分级细述例题1如图（自己画），在直角坐标系xoy 中，反比例函数xy 8=图像上的点A 、B 的坐标分别为（2，m ）、（n ，2），点C 在x 轴上，且ABC ∆为等腰三角形，求点C 的坐标。
（C （2，0）、C （0，0））易错点：C （6，0）这个答案要舍去，因为A 、B 、C 三点在一条直线上。
3、坐标系中三角形边长的表示：两点间距离公式4、动点移动的路程：路程＝速度×时间例题2如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°,BC=12,AD=18,AB=10.动点P 、Q 分别从点D 、B 同时出发，动点P 沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 在线段BC 上以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点Q 运动到点C 时，点P 随之停止运动。
设运动的时间为t 秒。
射线PQ 与射线AB 相交于点E ，AEP ∆能否为等腰三角形？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由。
QPEDCBA分析：1、遇到直角梯形常作高，构造矩形和直角三角形，利用矩形的对边相等或勾股定理找到等量关系。
2、动点P 沿射线DA 的方向运动，所以要分点P 在线段DA 上和点P 在DA 的延长线上两种情况分别讨论。
（答案：328,929,2,38=t ）5、构造相似三角形：通过相似比，探求点的存在性。
例题3如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG 。
设AD=x ，当△ BDG 是等腰三角形时，请求出AD 的长。
（73125,720,1125）【参考教法】：(2)以提问式，和学生一起分析题目，先寻找题目中的已知条件或特殊条件： 1.题目中有哪些已知量？ 提示：从边、角归类寻找。
①边：6,5===BC AC AB ，BC DE ∥；②角:B C ∠=∠；2.题中有什么特殊的图形没？提示：ABC ∆等腰、正方形DEFG 。
3.你能求解一下题目中的其它线段吗？提示：设AD x =，让学生求解ABC ∆底边上的高，并用含x 的代数式表示DE 的长。
二．当BDG ∆是等腰三角形时：1.需要讨论吗？提示：需要，分两大情况讨论；2.怎么讨论？提示：当BDG ∆是等腰三角形时，根据点G 的位置分：点G 在ABC ∆内部和外面两大类讨论：（1）当点G 在ABC ∆内部时：因为90DGB ∠＞，所以该情况下只可能DG BG =。
但该情况下不能直接求解出，则画底边上的高（点G 作GH AB ⊥）。
（如图1） 则：HDG QAB ∠=∠，所以cos cos HDG QAB ∠=∠； （2）当点G 在ABC ∆外面时：分以下情况讨论①当DB DG =时：直接利用相等计算，即655xx =-； ②当DB DG =时：（如图2）设BC 与DG 交点为M ，则可得：BM DG ⊥且点M 为DG中点；所以：cos cos HDG QAB ∠=∠； ③当DG BG =，不成立。
3.怎么计算？你会求解吗？提示：见上面求解，可让学生自己计算。
4.通过本题的分析求解后，你觉得等腰三角形的分类讨论题目还难吗？ 6.提示学生利用好三角比。
【满分解答】：过点A 作AQ BC ⊥，垂足为点Q 。
∵6,5===BC AC AB ，则34BQ AQ ==、，4cos 5QAB ∠=； 设AD x =，则5BD x =-，65DE DG x ==。
当BDG ∆是等腰三角形时，根据点G 的位置，分以下情况讨论：（3）当点G 在ABC ∆内部时：因为90DGB ∠＞，所以该情况下只可能DG BG =。
但该情况下不能直接求解出，则画底边上的高（点G 作GH AB ⊥）。
（如图1）则：HDG QAB ∠=∠，所以cos cos HDG QAB ∠=∠，即542655xx -=，解得：12573x =；（4）当点G 在ABC ∆外面时：分以下情况讨论①当DB DG =时：则655xx =-，解得：2511x =； ②当DB DG =时：（如图2）设BC 与DG 交点为M ，则可得：BM DG ⊥且点M 为DG中点，所以：cos cos HDG QAB ∠=∠，即：34555xx =-，解得：207x =；③当DG BG =，不成立。
综合上可得：当BDG ∆是等腰三角形时720,1125,73125=AD 。
QH FGEA BCDM QFGEABCD（图1） （图2）我来试一试！1、如图，在直角三角形△ABC 中，直角边AC=6cm ，BC=8cm.设P 、Q 分别为AB 、BC 上的动点，点P 自点A 沿AB 方向向点B 作匀速移动且速度为每秒2 cm ，同时点Q 自点B 沿BC 方向向点C 作匀速移动且速度为每秒1 cm ，当P 点到达B 点时，Q 点就停止移动。
设P ，Q 移动的时间为t 秒。
当t 为何值时，PBQ ∆为等腰三角形？（2180,925,310） CBA2、如图，已知抛物线m x x y -++-=122与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，连结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E 。
（1）求m 的值；（－2） （2）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得PDC ∆是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。
（P （2，3）、P （255,253-+））1、如图，已知一次函数121+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B 。
如果点C 在一次函数的图像上，并且是等腰三角形，求出满足条件的所有点C 的坐标。
（C （1，21）、C （58,56-）C （552,55410-+）C （552,55410-）） yxOBA三、阶梯题级训练2、在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线 CM ∥x 轴．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（)4,3(,1D b =）（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标。
（2009年上海中考题）（P （5，0）、P （6，0）、P （0,625））3、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F ．AB=4，BC=6，∠B=60°． （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ，连接PN ，设EP=x ． ①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．O 11- C D M x y2 3 4 A 1 B y x b =+（2009年江西第25题）（2010•青浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，∠B=60°。
（1）求点E到BC边的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN∥AB交线段AD于点N，连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化？若不变，请求出△PMN的面积；若变化，请说明理由．4、如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5,AB DC ==AD =2，BC =8，MEN B ∠=∠．MEN ∠的顶点E 在边BC 上移动，一条边始终经过点A ，另一边与CD 交于点F ，联接AF 。
（★★★★★）（1）设y DF x BE ==,，试建立y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若AEF △为等腰三角形，求出BE 的长．N M DFECBA【参考教法】：一．题目分析，和学生一起寻找题目中的已知两或是特殊条件：（以提问式引导学生分析） 1.题目中的梯形有哪些已知？ 提示：各边已知，且为等腰三角形；2.题中有什么特殊的图形没？提示：相似基本型（一线三角）B AEF C ∠=∠=∠。
3.题目中有相似三角形吗？提示：ABE FEC ∆∆∽。
DCBA 备用图二．求解函数关系式，由相似可以直接得出，你自己求解吧！（如学生不会，提醒学生找x 与y 有关的相似三角形，用比例式求解，本题ABE FEC ∆∆∽）； 三．当AEF △为等腰三角形时： 1.需要讨论吗？提示：需要，分三类；2.怎么讨论？提示：分AE EF AE AF EF AF ===、、三类讨论；3.怎么计算？你能求解看看吗？提示：当等腰三角形不能直接利用边相等求解时，通过“画底边上的高线”辅助线，再利用三角比求解。
例如：当若AE=AF ，过点A 作AG EF ⊥,则有cos EG AEF AE ∠== cos 53=∠B ,即56=AE EF ∵ABE FEC ∆∆∽,∴56=EC AB 即5685=-x4.等腰三角形的讨论有点思路了没有？5.你能总结出等腰三角形讨论得一般解题思路吗？（让学生说说看）【满分解答】：(1) ∵AB=DC=5， ∴C B ∠=∠而FEC AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠ ∵AEF B ∠=∠ ∴FEC BAE ∠=∠ ∴△ABE ∽△FE C ∴FC EC BE AB =即yxx --=585 ∴21(825)5y x x =-+ (08)x << (3)分别过A 、D 作AG 、DH 垂直于BC 分别交于点G 、H 可推得cos 53=∠B ①若AE=AF ，过点A 作AG EF ⊥,则有cos EG AEF AE ∠== cos 53=∠B ,即56=AE EF ∵△ABE ∽△BF C,∴56=EC AB 即5685=-x 解得x =623②若AF=FE, 同理有6585=-x 解得x =2 ③若AE=EF, 同理有5=8-x 解得x =3∵08623,3,2<<， ∴当x=2,3, 623时, △AEF 为等腰△5、如图，已知在直角梯形ABCD 中，BD ∥BC ，AB BC ⊥，11AD =，13BC =，12AB =．动点P 、Q 分别在边AD 和BC 上，且2BQ DP =．线段PQ 与BD 相交于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ，射线PF 交BC 的延长线于点G ，设DP x =．（1）求CFDF的值。