关于平面图的3-选色
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第 ｌ ６卷第 ５期
２０ ０ ７年 ｌ ０月
淮 阴
工
学
院
学
报
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ ５ １１ ． ０ ｔ２ ０ ｃ． ０ ７
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａｙｎ Ｉ ｓｉ ｔ ｆＴ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＨｕ ｉｉ ｎ ｔ ｕｅ ｏ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｔ
Ａ ｓ ａｔＴ ｅｃｏｃ ｕ ｅ ｏ ｇａ ｈＧ， ｅ ｏ ｄｂ ｈ Ｇ） ｉ ｔｅｍ ｎｍ ｍ ｎ ｍ ｅ ｆ ｓｃ ａ ｉｗ ｖ ｂ ｔ ｃ ：ｈ ｈｉ ｎ ｍｂｒ ｆ ｒｐ ｄｎ ｔ ｙｃ （ ，ｓ ｈ ｉｉ ｕ ｕ ｂ ｒ ｕ ｈｔ ｔｆ ｅｇ ｅ ｒ ｅ ａ ｅ ｏｋ ｈ ｉ
关 于平 面图的 ３一 色 选
吴桂 月 ， 雪梅 王
（ ５矿业 大学 理 学院 ， 中１ １ 江苏 徐州 ２ １０ ） ２０ ８ 摘 要 ： Ｇ的选色数记为 ｃ （ ） 定义为最小 的 自然数 Ｋ， 图 ｈＧ ， 使得满足 ： 对于任意顶点给定的 Ｋ种颜色列表 ， 色时每个顶 染
点 的颜 色只能从 自身的颜色列表 中选择时 ， Ｇ的顶点总存在一个正常着色 。我们证明了每个围长至少 为 ４且不含 ５一， 图
Ｏ ｎ ３ —Ｃｈｏ ｓ ｂ ｌ ｙ ｏ ａ ｅ Ｇｒ ｐ ． ｏ ａ ｉｉ ｆＰｌ ｎ ａ ｈｓ ｔ
Ｗ Ｕ ｉ—ｙ ｅ．Ｗ ＡＮＧ ｅ—ｍｅ Ｇｕ ｕ Ｘｕ ｉ
（ ｏ ｅｅｏ ｃｅ ｃ ，Ｃ ｉ ｎｖｒ ｔ ｏ ｎ ｎ ｅｈ ｏｏｙ Ｘ ｚｏ ｉ ｇｕ２ １０ ， ｈ ａ Ｃ ｌ ｇ ｆ ｉ ｅ ｈｎ Ｕ ｉ ｓｙ ｆ ｇａ ｄＴ ｃｎ ｌ ， ｕｈ ｕＪ ｎｓ ２ ０ ８ Ｃ ｉ ） ｌ Ｓ ｎ ａ ｅ ｉ Ｍｉ ｇ ａ ｎ
选 色数 ， 为 ｃ （ ） 记 ｈＧ 。 定 义 ： 一个 ｈ一面相关联 的所有 的顶 点 ３ 一均 为点 ， 若 一 则称这 个 ｈ面 为 ｌ ｈ ｉｔ ｇ ｈ一面 ， 则称 为是一个 否 ｎ ｎ—ｌ ｈ ｏ ｉ ｔ ｇ ｈ一面 。 若 是一个 ｎ ｎ—ｌ ’ ｏ ｉｈ ｈ一面 ， ６ 上除一 个 ４一点 外 ， 余均 为 ３一点 ， ｇｔ 且 （ 其 则称这个
ｌ ｔ ｆ ｏ ｏ ａ ｈ ｖ ￣ ｘｏ ， ｈ ｒ ｅ ｅ ｏｏ ｉ ｇ ｏ ｅ ｅ ｅ ｃ ｅ ｅ ｅ ｅｖ ｓａ ｃ ｌｒｆ ｍ ｔ ｏ ｎ ｉ ｓｏ ｋ ｃ ｌｒ ｔ ｅ ｃ ｅ ｅ ｆ ｓ ｓ ｏ Ｇ ｔ ｅ ｅ ｉ ａ ｖ ￣ ｘ ｃ ｌｒ ｆＧ ｗｈ ｒ ａ ｈ ｖ ￣ ｘ ｒ ｃ ｉｅ ｏｏ ｏ ｉ ｗ ｓ ｎ ｒ ｓ
ｈ一面为 ｍ ｎｍ ｌ ｉｉ ａ ｈ一面 ， 否则 称为 ｎ ｎ—ｍｉｉ ａ ｏ ｎｍ ｌ ｈ一面 。
ห้องสมุดไป่ตู้
４ 一面为恰与 个 ４一面相邻的 ４一面。 本文证 明 了无 ５一， ８一和 １ １一圈 以及无 ６一， ９一和 １ ０一圈 的平 面图是 ３一可选色 的 。
８ 一和 １ 一圈 的平面图是 ３一 １ 可选 色的， 以及每个 围长至少为 ４且不含 ６一， ９一和 ｌ 圈 的平面图是 ３一可选 色的。 ０一
关键词 ： 面图； 平 ３一选 色 ； 围长
中图分类号 ： １７ ５ ０ ５ ．
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ ９— ９ １ ２０ ）５— ０ ２— ４ １０ ７ ６ （ ０ ７ ０ ０ ２ ０
ｔ ｎ４ｗ ｉ ｏ ｔｉ ｏ５一． ｈ ｈ ｈｃｎａ ｓｎ ａ ｃ ｎ ８一 ａ ｄ１ ｃ ｃ ｓａ ｄ ＝３ｆｒ ａｈｐ ｎ ａ ｈｏ ｒ ｏｌｓ ｔａ ｈｃ ｎ １一 ｙｌ ｎ ｅ ｃ ｌ ｅｇ ｐ ｆ ｔ ｎ ｓ ｈ ｎ４ｗ ｉｈ ｏ ｅ ａ ｒ ｉ ｇ ｈ ｅ
顶点集 、 边集 和面集 。 顶点 “是边 ｅ 若 的端 点 ， 称 ｉ与 ｅ相关联 。 两个面 和 至 少有 一条公 共边 ， 则 ｔ 若 则
称 和 相邻。 一个面 的边界记为 ６ 。 （） ∽ Ｎ 记为 的邻点集 ，（ ） ｄ 为点 的度数 ， 显然 Ｉ （ ） ＝ Ｉ Ｎ ｄ ） Ｇ的最 小度 和最 大度分 别记 为 △（ ）和 （ ） 度数 为 ｋ的点称 为 ｋ一点 。 ｒ ｋ或 １≤ ｋ≤ ｒ此 （ 。 Ｇ Ｇ。 若 ≤ ， 时 ｋ一点分别 称 为 ｒ 一点 和 ｒ 一点 。 一
ｃ ｎｔｉ ｓｎ ｏ ａ ｎ ｏ ６一 ．９ 一 ａ ０一ｃ ｃｅ ． ｎｄ １ ｙ ｌ ｓ Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ： ｌ ｎ ａ ｈ； ｐ ａ ｅ ｇ ｐ ３一ｃ ｏ ｓ ｂ ｌ ｙ； ｉ ｈ ｒ ｈ ｏ ａ ｉｉ ｇｒ ｔ ｔ
Ｏ 引 言
本 文所考 虑 的图都 是有 限的简单 平面 图 。 ＝ （ ， ）表示 一个 平面 图 ， ， Ｇ ， Ｆ ， Ｆ分别 为该 平 面 图 的
对于 Ｇ中的所有顶 点 ∈ （ ）的一 个颜 色安 排 （） 使得 每个 顶点能从 其列 表 中选色并 且 相邻 的 Ｇ ， 两个 顶点不染 相 同的颜 色 ， 为 Ｇ的一个 一着 色 。 对于 Ｇ的每个 满足 Ｌ ＝ ｛（ 称 若 Ｌ ）ｌ Ｌ ）Ｉ＝ｋ ∈ ｌ（ ， Ｖ Ｇ ｝Ｇ总 是存在 一着色 ， （）， 则称 Ｇ是 ｋ一可选 色 的。 使得 Ｇ是 ｋ一可选色 的最小 的 自然数 ｋ称为 Ｇ的
ｌｔ ｏｍａ ｅ ｈｔ ｈ ｉｓ ｒ．Ｉ ｉ ｐｐ ｒ ｗ ｈ ｗ ｔａ ｃ （ ｉ ｔ ｒ ａ ｔ ｌｔ ａｅ ｎｔ ｓ ａｅ ， ｅｓｏ ｔ ｈ Ｇ）＝３ ｆ ａｈ ｐ ｎ ａｈ ｏ ｉｈｎ ｓ ｓｎ ｔ ｗ ｅ ｓ ｈ ｈ ｒｅｃ ｌ ｅｇ ｐ ｆ ｒ ｏｌ ｓ ｏ ａ ｒ ｇｔ ｅ
第 ｌ ６卷第 ５期
２０ ０ ７年 ｌ ０月
淮 阴
工
学
院
学
报
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ ５ １１ ． ０ ｔ２ ０ ｃ． ０ ７
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关 于平 面图的 ３一 色 选
吴桂 月 ， 雪梅 王
（ ５矿业 大学 理 学院 ， 中１ １ 江苏 徐州 ２ １０ ） ２０ ８ 摘 要 ： Ｇ的选色数记为 ｃ （ ） 定义为最小 的 自然数 Ｋ， 图 ｈＧ ， 使得满足 ： 对于任意顶点给定的 Ｋ种颜色列表 ， 色时每个顶 染
点 的颜 色只能从 自身的颜色列表 中选择时 ， Ｇ的顶点总存在一个正常着色 。我们证明了每个围长至少 为 ４且不含 ５一， 图
Ｏ ｎ ３ —Ｃｈｏ ｓ ｂ ｌ ｙ ｏ ａ ｅ Ｇｒ ｐ ． ｏ ａ ｉｉ ｆＰｌ ｎ ａ ｈｓ ｔ
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（ ｏ ｅｅｏ ｃｅ ｃ ，Ｃ ｉ ｎｖｒ ｔ ｏ ｎ ｎ ｅｈ ｏｏｙ Ｘ ｚｏ ｉ ｇｕ２ １０ ， ｈ ａ Ｃ ｌ ｇ ｆ ｉ ｅ ｈｎ Ｕ ｉ ｓｙ ｆ ｇａ ｄＴ ｃｎ ｌ ， ｕｈ ｕＪ ｎｓ ２ ０ ８ Ｃ ｉ ） ｌ Ｓ ｎ ａ ｅ ｉ Ｍｉ ｇ ａ ｎ
选 色数 ， 为 ｃ （ ） 记 ｈＧ 。 定 义 ： 一个 ｈ一面相关联 的所有 的顶 点 ３ 一均 为点 ， 若 一 则称这 个 ｈ面 为 ｌ ｈ ｉｔ ｇ ｈ一面 ， 则称 为是一个 否 ｎ ｎ—ｌ ｈ ｏ ｉ ｔ ｇ ｈ一面 。 若 是一个 ｎ ｎ—ｌ ’ ｏ ｉｈ ｈ一面 ， ６ 上除一 个 ４一点 外 ， 余均 为 ３一点 ， ｇｔ 且 （ 其 则称这个
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ｈ一面为 ｍ ｎｍ ｌ ｉｉ ａ ｈ一面 ， 否则 称为 ｎ ｎ—ｍｉｉ ａ ｏ ｎｍ ｌ ｈ一面 。
ห้องสมุดไป่ตู้
４ 一面为恰与 个 ４一面相邻的 ４一面。 本文证 明 了无 ５一， ８一和 １ １一圈 以及无 ６一， ９一和 １ ０一圈 的平 面图是 ３一可选色 的 。
８ 一和 １ 一圈 的平面图是 ３一 １ 可选 色的， 以及每个 围长至少为 ４且不含 ６一， ９一和 ｌ 圈 的平面图是 ３一可选 色的。 ０一
关键词 ： 面图； 平 ３一选 色 ； 围长
中图分类号 ： １７ ５ ０ ５ ．
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ ９— ９ １ ２０ ）５— ０ ２— ４ １０ ７ ６ （ ０ ７ ０ ０ ２ ０
ｔ ｎ４ｗ ｉ ｏ ｔｉ ｏ５一． ｈ ｈ ｈｃｎａ ｓｎ ａ ｃ ｎ ８一 ａ ｄ１ ｃ ｃ ｓａ ｄ ＝３ｆｒ ａｈｐ ｎ ａ ｈｏ ｒ ｏｌｓ ｔａ ｈｃ ｎ １一 ｙｌ ｎ ｅ ｃ ｌ ｅｇ ｐ ｆ ｔ ｎ ｓ ｈ ｎ４ｗ ｉｈ ｏ ｅ ａ ｒ ｉ ｇ ｈ ｅ
顶点集 、 边集 和面集 。 顶点 “是边 ｅ 若 的端 点 ， 称 ｉ与 ｅ相关联 。 两个面 和 至 少有 一条公 共边 ， 则 ｔ 若 则
称 和 相邻。 一个面 的边界记为 ６ 。 （） ∽ Ｎ 记为 的邻点集 ，（ ） ｄ 为点 的度数 ， 显然 Ｉ （ ） ＝ Ｉ Ｎ ｄ ） Ｇ的最 小度 和最 大度分 别记 为 △（ ）和 （ ） 度数 为 ｋ的点称 为 ｋ一点 。 ｒ ｋ或 １≤ ｋ≤ ｒ此 （ 。 Ｇ Ｇ。 若 ≤ ， 时 ｋ一点分别 称 为 ｒ 一点 和 ｒ 一点 。 一
ｃ ｎｔｉ ｓｎ ｏ ａ ｎ ｏ ６一 ．９ 一 ａ ０一ｃ ｃｅ ． ｎｄ １ ｙ ｌ ｓ Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ： ｌ ｎ ａ ｈ； ｐ ａ ｅ ｇ ｐ ３一ｃ ｏ ｓ ｂ ｌ ｙ； ｉ ｈ ｒ ｈ ｏ ａ ｉｉ ｇｒ ｔ ｔ
Ｏ 引 言
本 文所考 虑 的图都 是有 限的简单 平面 图 。 ＝ （ ， ）表示 一个 平面 图 ， ， Ｇ ， Ｆ ， Ｆ分别 为该 平 面 图 的
对于 Ｇ中的所有顶 点 ∈ （ ）的一 个颜 色安 排 （） 使得 每个 顶点能从 其列 表 中选色并 且 相邻 的 Ｇ ， 两个 顶点不染 相 同的颜 色 ， 为 Ｇ的一个 一着 色 。 对于 Ｇ的每个 满足 Ｌ ＝ ｛（ 称 若 Ｌ ）ｌ Ｌ ）Ｉ＝ｋ ∈ ｌ（ ， Ｖ Ｇ ｝Ｇ总 是存在 一着色 ， （）， 则称 Ｇ是 ｋ一可选 色 的。 使得 Ｇ是 ｋ一可选色 的最小 的 自然数 ｋ称为 Ｇ的
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