辽宁省五校协作体2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题

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辽宁省五校协作体届高三数学上学期期中试卷文(含解析)【含答案】

辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1]2．（5分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．y=cos（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=cos（x﹣）3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点D．若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题4．（5分）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，则||等于（）A．B．或2C．D．25．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f （x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知向量=（2，1），•=10，|+|=5，则||=（）A．5 B．25 C．D．9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1 B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}，定直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0，若（n，a n）在直线l 上，则数列{a n}的前13项和为（）A．10 B．21 C．39 D．7811．（5分）已知{a n}为等差数列，0＜d＜1，a5≠，sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥S10对一切n∈N*都成立，则首项a1的取值范围是（）A．[﹣π，﹣π）B．[﹣π，﹣π] C．（﹣π，﹣π）D．[﹣π，﹣π]12．（5分）已知函数f（x）在[0，+∞）上可导，其导函数记作f′（x），f（0）=﹣2，且f （x+π）=f（x），当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），若方程f （x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，则数列{}的前n项和为（）A．（n﹣1）•2n+1 B．（n﹣1）•2n+1+2 C．n•2n﹣1D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为．14．（5分）平面上三个向量，，，满足||=1，||=，||=1，•=0，则•的最大值是．15．（5分）在数列{a n}中，a1≠0，a n+1=a n，S n为{a n}的前n项和．记R n=，则数列{R n}的最大项为第项．16．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=．三、解答题：本大题共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，cosC=．（1）求sinA的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．19．（12分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，数列{b n}满足b1=4，b n+1=3b n﹣2；（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n log3（b2n﹣1﹣1），其前n项和为T n，求T n．21．（12分）设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，CD为△A BC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1]考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：集合．分析：根据绝对值和对数函数求出集合A和B，然后由交集的定义求出结果．解答：解：∵|x|＜3∴﹣3＜x＜3故A=（﹣3，3）∵y=lg（x﹣1）∴x﹣1＞0，解得x＞1故B=（1，+∞）∴A∩B=（1，3）故选：C．点评：本题考查交集的定义的运算，是基础题．解题时要认真审题，注意含绝对值不等式和对数函数的性质的灵活运用．2．（5分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．y=cos（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=cos（x﹣）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用函数的周期性排除C，D，再利用诱导公式与函数的奇偶性可排除A，从而可得答案．解答：解：A：令g（x）=cos（2x﹣）=sin2x，则g（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣g（x），∴g（x）=cos（2x+）为奇函数，故可排除A；B：∵y=f（x）=sin（2x+）=cos2x，∴其周期T==π，f（﹣x）=cos（﹣2x）=cos2x=f（x），∴y=sin（2x+）是偶函数，∴y=sin（2x+）是周期为π的偶函数，故B正确；C：∵y=sin（x+）其周期T=2π，故可排除C；D：同理可得y=cos（x﹣）的周期为2π，故可排除D；故选：B．点评：本题考查正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性，考查诱导公式的应用，属于中档题．3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点D．若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题考点：命题的真假判断与应用；特称命题；命题的否定．分析：利用全称命题与特称命题的否定关系判断A的正误；充要条件判断B的正误；回归直线方程判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；解答：解：对于A，命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”，不满足命题的否定形式，所以A不正确．对于B，“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件，正确，前者推出后者，后者不能说明前者一定成立，所以B正确；对于C，线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点，显然不正确，一定经过样本中心，所以C不正确；对于D，若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题，不正确，所以D不正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及全称命题特称命题的否定关系，回归直线方程的应用，基本知识的考查．4．（5分）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，则||等于（）A．B．或2C．D．2考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，平面向量、共线且反向，求m的值，即可得出||．解答：解：∵平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，∴m（2m+1）﹣3×2=0，解得m=﹣2，或m=；验证m=时不满足题意，∴=（2，﹣2）；∴||==2．故选：D．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用平面向量的坐标表示求向量共线问题，是基础题．5．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣考点：函数的周期性．专题：计算题．分析：先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f（107.5）=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣以及偶函数f（x）和x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x即可求得f（107.5）的值．解答：解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B点评：本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中有f（x+3）=﹣的关系式．在解题过程中，条件f（x+a）=﹣通常是告诉我们函数的周期为2a．6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；若l⊥α，l⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．（5分）已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f （x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角恒等变换可得f（x）=2sin，依题意可知A=2，|x1﹣x2|的最小值为T=，从而可得答案．解答：解：∵f（x）=sin+cos=sin2014x+cos2014x+cos2014x+sin2014x=sin2014x+cos2014x=2sin，∴A=f（x）max=2，周期T==，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=﹣2，|x1﹣x2|的最小值为T=，又A=2，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：A．点评：本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．8．（5分）已知向量=（2，1），•=10，|+|=5，则||=（）A．5 B．25 C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的数量积的运算，结合题意，求出的模长．解答：解：∵向量=（2，1），•=10，|+|=5，∴||==，∴=+2•+=+2×10+=；解得=25，∴||=5．故选：A．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积，求向量的模长，是基础题．9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1 B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积和高，进而可得该几何体的体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面的两条直角边均为1，底面面积S=×1×1=，高h=2，故棱锥的体积V=Sh=，故选：D点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．10．（5分）已知数列{a n}，定直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0，若（n，a n）在直线l 上，则数列{a n}的前13项和为（）A．10 B．21 C．39 D．78考点：数列与解析几何的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由点（n，a n）（n∈N*）在直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0上，可得a n=n﹣，即可得到数列{a n}的前13项和．解答：解：∵点（n，a n）（n∈N*）在直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0上，∴（m+3）n﹣（2m+4）a n﹣m﹣9=0，∴a n=n﹣．∴数列{a n}的前13项和S13==39．故选C．点评：本题考查数列与解析几何的综合，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．11．（5分）已知{a n}为等差数列，0＜d＜1，a5≠，sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥S10对一切n∈N*都成立，则首项a1的取值范围是（）A．[﹣π，﹣π）B．[﹣π，﹣π] C．（﹣π，﹣π）D．[﹣π，﹣π]考点：数列与三角函数的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：先确定d=，可得S n=，对称轴n=，利用S n≥S10对一切n∈N*都成立，可得9.5≤≤10.5，即可求出首项a1的取值范围．解答：解：∵sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，∴2s ina5cosa5=2sin cos•2cos sin，∴sin4d=1，∴d=，∴S n=．对称轴n=．∵S n≥S10对一切n∈N*都成立，∴9.5≤≤10.5，∴﹣π≤a1≤﹣．故选：D．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式和配方法、二次函数的单调性是解题的关键．12．（5分）已知函数f（x）在[0，+∞）上可导，其导函数记作f′（x），f（0）=﹣2，且f （x+π）=f（x），当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），若方程f （x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，则数列{}的前n项和为（）A．（n﹣1）•2n+1 B．（n﹣1）•2n+1+2 C．n•2n﹣1D．考点：数列的求和．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：由于f（0）=﹣2，且f（x+π）=f（x），则f（π）=f（0）=﹣1，f（2π）==﹣，f（3π）=﹣，…，f（nπ）=﹣（）n﹣1．再由导数的积的运算法则和二倍角公式，得到f（x）cosx的单调性和极值，由条件可得，k n=﹣f（x）cosx在[0，+∞）上有n个解，k1=﹣f（0）cos0=2，k2=﹣f（π）cosπ=﹣1，…，k n=﹣f（（n﹣1）π）cos（n﹣1）π，则有k2n=（）n﹣1，即有=n•2n ﹣1，再运用错位相减法，即可得到前n项和．解答：解：由于f（0）=﹣2，且f（x+π）=f（x），则f（π）=f（0）=﹣1，f（2π）==﹣，f（3π）=﹣，…，f（nπ）=﹣（）n﹣1．由于当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），则有f′（x）（1+cos2x）﹣f（x）sin2x＞0，即有2cosx（f′（x）cosx﹣f（x）sinx）＞0，则2cosx•（f（x）cosx）′＞0，则有cosx＞0，（f（x）cosx）′＞0，f（x）cosx在（0，）递增，cosx＜0，（f（x）cosx）′＜0，f（x）cosx在（，π）递减，由于方程f（x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，即有k n=﹣f（x）cosx在[0，+∞）上有n个解，则k1=﹣f（0）cos0=2，k2=﹣f（π）cosπ=﹣1，k3=﹣f（2π）cos2π=，k4=﹣f（3π）cos3π=﹣，…，k n=﹣f（（n﹣1）π）cos（n﹣1）π，则有k2n=（）n﹣1，即有=n•2n﹣1，令S=1+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，则2S=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，两式相减得，﹣S=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n则S=（n﹣1）•2n+1．故选A．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查函数的零点问题，考查等比数列的通项和求和公式，考查错位相减法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为2．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．14．（5分）平面上三个向量，，，满足||=1，||=，||=1，•=0，则•的最大值是3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于满足||=1，||=，||=1，•=0，建立如图所示的直角坐标系，可得A（1，0），B（0，），可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．再利用向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性即可得出．解答：解：∵满足||=1，||=，||=1，•=0，如图所示，∴A（1，0），B（0，），可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．∴=（1﹣cosθ，﹣sinθ），=（﹣cosθ，﹣sinθ），∴•=﹣cosθ（1﹣cosθ）﹣sinθ（）=﹣cosθ﹣+1=﹣2sin （）+1≤3，当且仅当θ=时取等号．∴•最大值是3．故答案为：3．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性，属于中档题．15．（5分）在数列{a n}中，a1≠0，a n+1=a n，S n为{a n}的前n项和．记R n=，则数列{R n}的最大项为第4项．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得R n=，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a1≠0，a n+1=a n，∴=，．S n=，S2n=．∴R n===≤，比较R3，R4，R5可得当n=4时，R n取得最大值．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．16．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=﹣4028．考点：函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：本题可先研究函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2014，f（0）=﹣2014，取y=﹣x，得到：f（0）=f（x）+f（﹣x）+2014，∴f（x）+f（﹣x）=﹣4028．记h（x）=f（x）+2014x2013+2014，则h（﹣x）+h（x）=[f（﹣x）+2014（﹣x）2013+2014]+f（x）+2014x2013+2014=f（x）+f（﹣x）+2014x2013﹣2014x2013+4028=f（x）+f（﹣x）+4028=0，∴y=h（x）为奇函数．记h（x）的最大值为A，则最小值为﹣A．∴﹣A≤f（x）+2014x2013+2014≤A，∴﹣A﹣2014≤f（x）+2014x2013≤A﹣2014，∵g（x）=f（x）+2014x2013，∴∴﹣A﹣2014≤g（x）≤A﹣2014，∵函数g（x）有最大值M和最小值m，∴M=A﹣2014，m=﹣A﹣2014，∴M+m=A﹣2014+（﹣A﹣2014）=﹣4028．故答案为：﹣4028．点评：本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，本题难度适中，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，cosC=．（1）求sinA的值；（2）求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据正弦定理即可求sinA的值；（2）根据余弦定理和是三角形的面积公式即可求△ABC的面积．解答：解：（1）∵cosC=，∴sinC=，∵，∴，即．（2）∵c2=a2+b2﹣2abcos⁡C，∴，即2b2﹣3b﹣2=0，解得b=2，∴三角形的面积S=．点评：本题主要考查三角形的面积公式的计算以及正弦定理和余弦定理的应用，涉及的公式较多．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）首先，得到BD⊥AC，然后，得到A1O⊥BD，最后，得到BD⊥面A1AC即可；（2）首先，得到A1B1∥AB AB∥CD，然后，得到四边形A1B1CD是平行四边形，从而得到证明结论；（3）直接根据体积公式进行求解即可．解答：解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴AA1⊥BD．（2）∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵A1O⊥面ABCD，∴A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴A1O=，∴V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．点评：本题考查了空间中点线面的位置关系，例如直线与平面平行、垂直，平面和平面平行等知识，属于中档题．19．（12分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和即可求解解答：解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，数列{b n}满足b1=4，b n+1=3b n﹣2；（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n log3（b2n﹣1﹣1），其前n项和为T n，求T n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据递推公式分别求出{a n}和{b n}的通项公式；（2）由错位相减求和法求出数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（1）①当n=1时，a1+S1=1∴a1=②当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1）=a n﹣1﹣a n，∴a n=a n﹣1∴数列{a n}是以a1=为首项，公比为的等比数列；∴a n=•（）n﹣1=（）n∵b n+1=3b n﹣2∴b n+1﹣1=3（b n﹣1）又∵b1﹣1=3∴{b n﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列∴b n﹣1=3n、∴b n=3n+1（2）∵c n=（）n•log332n﹣1=（2n﹣1）•（）n∴S n=1×+3×（）2+5×（）3+…+（2n﹣3）•（）n﹣1+（2n﹣1）•（）n∴S n=1×（）2+3×（）3+5×（）4+…+（2n﹣3）•（）n+（2n﹣1）•（）n+1∴（1﹣）S n=1×+2[（）2+（）3+…+（）n﹣1+（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1=﹣4×（）n+1﹣（2n﹣1）•（）n+1=﹣（2n+3）（）n+1∴S n=3﹣点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列求和，解题时要注意公式的灵活运用，特别是错位相减求和法的合理运用．21．（12分）设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）由题意h（x）=xlnx﹣x2+1，二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的单调区间；（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），对其二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的最值，将恒成立问题化为最值问题，从而求解．解答：解：（1）h（x）=xlnx﹣x2+1h′（x）=lnx+1﹣2x令t（x）=lnx+1﹣2x t′（x）=﹣2=∴t（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴t（x）≤t（）=﹣ln2＜0，即h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减．（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），则F′（x）=lnx+1﹣2mx，令G（x）=lnx+1﹣2mx，则G′（x）=﹣2m，①当m≥时，∵x≥1，∴≤1，∴﹣2m≤0，即G′（x）≤0；∴G（x）在[1，+∞）上单调递减，∴G（x）≤G（1）=1﹣2m≤0，即F′（x）≤0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴F（x）≤F（1）=0，∴f（x）﹣mg（x）≤0，∴m≥符合题意；②当m≤0时，显然有F′（x）=lnx+1﹣2mx≥0，∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴F（x）＞F（1）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；③当0＜m＜时，令G′（x）=﹣2m＞0解得：1＜x＜，G′（x）=﹣2m＜0解得：x＞；∴G（x）在[1，]上单调递增，∴G（x）≥G（1）=1﹣2m＞0，即F′（x）＞0；∴F（x）在[1，]上单调递增；∴当x∈（0，）时，F（x）＞F（0）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；综合①②③可知，m≥符合题意，∴m的取值范围是[，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用，难在二阶求导以判断函数的单调性与最值，同时考查了恒成立问题化成最值问题的处理方法，属于难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（I）由已知与圆的切线的性质可得△CDB∽△AEF，∠DBC=∠EFA．利用B，E，F，C 四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，∠EFA=∠CFE=90°，即可证明．（II）连接CE，由于∠CBE=90°，可得过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，可得CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，即可得出．解答：（I）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠BCD=∠A，由题设知：=，故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．∵B，E，F，C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．（2）解：连接CE，∵∠CBE=90°，∴过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为．点评：本题考查了圆的切线的性质、四点共圆的性质、勾股定理、圆的面积与三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．解答：解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．专题：计算题；压轴题．分析：（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．解答：解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

辽宁省五校协作体2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题

辽宁省五校协作体2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“任意x R ∈,都有012>++x x ”的否定为( )A ．对任意x R ∈,都有012≤++x xB ．不存在x R ∈,都有012≤++x xC ．存在x R ∈,使得012>++x xD ．存在x R ∈,使得012≤++x x2. 某高级中学有高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从高三年级学生中抽取的人数是( )A ．40B ．30C ．20D ．10 3. 原命题：“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >则a b >”和它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题共有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 0个 4. 执行下边的程序框图,若0.8p =,则输出的n =( )A ．5B ．2C ．3D ．45. 若动点),(y x M 到点)0,4(F 的距离等于它到直线04=+x 距离，则M 点的轨迹方程是 ( )A ．04=+xB ．04=-xC ．28y x =D ．216y x =6.函数3()1f x x ax =-+在区间),2[+∞内是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A. 12a ≤ B. 12a < C. 12a ≥ D. 12a >7. 与椭圆 2216x y +=共焦点,且渐近线为2y x =±的双曲线方程是 ( )A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2214x y -= D ．2214y x -= 8. 已知a R ∈,则“22a a >”是“2a >”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，若5AB =，则12||||AF BF -=( )A.3B.8C.13D.1610.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果21x x +=6，那么AB ＝( )A. 10B. 9C. 8D. 611. 已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点,若ABE ∆是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )A ．),1(+∞B ．)2,1(C ．)21,1(+D ．)21,2(+12. 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =u u u r 且0MP MF ⋅=u u u r u u u r,则||PM u u u u r 的最小值为( )A ．3B ．3C ．512 D ． 1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =,则抛物线方程为__________.14. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥+-03005x y x y x ,则目标函数x y z -=2的最小值为________.15. 已知命题:p “0],2,1[2≥-∈∀a x x ”,命题:q “022,2=-++∈∃a ax x R x 使”,若命题“q p ∧”是真命题,则实数a 的取值范围是__________________ .16. 与圆()221:31C x y ++=，圆()222:39C x y -+=同时外切的动圆圆心的轨迹方程是__________________________.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）设命题p 实数x 满足0)3)((<--a x a x ,其中0a >, 命题:q 实数x 满足023≤--x x . (1)若1,a =且q p ∨为假,求实数x 的取值范围; (2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为a 、b 、c ，ABC ∆的外接圆半径且满足bca B C -=2cos cos .(1)求角B 的大小；(2)求ABC ∆的面积的最大值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 22-=.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=(1)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程； (2)讨论函数)(x f 的单调性与极值．21.（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为12,其右焦点到点)1,3(-P的距离为17.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点(A B ，不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点.求证直线l 过定点,并求出该定点的坐标.22.（本小题满分12分）设()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--． (1)当]2,0[∈x 时，求)(x g 的最大值和最小值；(2)如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．2014——2015学年度上学期省五校协作体高二期中考试数学（文科）参考答案一、选择题二、填空题13、x y 82-= 14、—9 15、}12|{=-≤a a a 或 16、()22108y x x -=< 三、解答题17、解：（1）由0)3)((<--a x a x ，0>a 得a x a 3<<当1=a 时，31<<x ，即p 为真时，实数x 的取值范围是31<<x …… 1分由023≤--x x ，得32≤<x ，即q 为真时，实数x 的取值范围是32≤<x ……3分若q p ∨为假，则p 假，q 假，所以⎩⎨⎧>≤≥≤3231x x x x 或或，…………… 4分所以实数x 的取值范围是：31>≤x x 或.…………… 5分（2）Θp 是q 的必要不充分条件，q p p q /,⇒⇒∴设集合}3|{},32|{a x a x B x x A <<=≤<=，则B A ≠⊂…………… 6分⎪⎩⎪⎨⎧>≤>∴3320a a a ，…………… 8分解得，21≤<a因此，实数a 的取值范围是21≤<a .…………… 10分18、解：（1）[方法一]：由正弦定理得：BCA B C sin sin sin 2cos cos -=B AC B C B cos sin 2sin cos cos sin =+∴B AC B cos sin 2)sin(=+∴B A A cos sin 2sin =∴ 21cos 0sin =∴≠B A Θ…………… 4分 30ππ=∴<<B B Θ……………6分[方法二]：由余弦定理得：b ca b c a ac ab c b a -=-+⋅-+222222222ac b c a =-+∴222212222=-+∴ac b c a 21cos =∴B ………… 4分 30ππ=∴<<B B Θ ………… 6分（2）[方法一]：B ac ac B ac c a b cos 22cos 2222-≥-+=Θ………… 8分921229cos 222=⨯-=-≤∴Bb ac ………… 10分.43923921sin 21=⨯⨯≤=∴∆B ac S ABC ………… 12分 [方法二]：C B A R B ac S ABC sin sin sin )2(21sin 212⋅⋅⋅⋅==∆433)62sin(233)32sin(sin 33+-=-=ππA A A ……… 8分ππππ67626320<-<-∴<<A A Θ1)62sin(21≤-<-∴πA ……… 10分.439,31)62sin(max ===-∴∆ABC S A A 时即当ππ……… 12分 19、解：（1）当1=n 时，12111-=-==S a ………… 2分当2≥n 时，32)]1(2)1[(2221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n (4)分又31211-⨯=-=a 也符合上式，………… 5分因此，32-=n a n ………… 6分（2）nn n b 332-=n n n n n T 31)32(31)52(313311311132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-=-Λ……………. ③143231)32(31)52(31331131131+⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-=n n n n n T Λ……… ④③-④得13231)32()313131(23132+⨯--++++-=n n n n T Λ…………………… 9分整理得 n n nT 3-=…………………… 12分20、解：（1）2a =时，()2ln f x x x =-，2()1f x x'=-， ∴(1)1k f '==-， (2)分又(1)1f =，故切线方程为：11(1)y x -=--即2y x =-+.…… 4分（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，xax x a x f -=-='1)( …… 6分 ① 当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；…… 9分 ② 当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，()ln f f a a a a ==-极小，无极大值. …… 12分21、解 (1)由题12c e a ==;①右焦点)0,(c 到点)1,3(-P 的距离为171)3(22=++c . ② 由①②可解得222431a b c ===，，. ………2分∴所求椭圆C 的方程为22+143x y = ………4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=,22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->,22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ ………6分 22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+Q 以AB 为直径的圆过椭圆的左顶点)0,2(-D ，因此0=⋅即0)2)(2(2121=+++y y x x ，展开得04)(2212121=++++y y x x x x043)4(34431643)3(4222222=+-+++-+-k k m k mk k m0416722=+-k mk m ………9分解得 k m 2=或72k m =，且满足22340k m +->………10分当k m 2=时，)2(:+=x k y l ，直线过定点)0,2(-，与已知矛盾；………11分当72k m =时，)72(:+=x k y l ，直线过定点)0,72(-. 综上可知,直线l 过定点,定点坐标为)0,72(-.………12分22、解：(1) 对于函数32()3g x x x =--， ]2,0[∈x22'()323()3g x x x x x =-=-，令0)(='x g ，得0=x 或32=x ………2分当x 变化时，)(),(x g x g '变化情况如下表：由上表可知： min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==，………6分（2）由（1）知，在区间1[,2]2上，()g x 的最大值为(2)1g =.因此，原问题等价于当1[,2]2x ∈时，()ln 1af x x x x=+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立，记2()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =………8分记()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，由于1[,2]2x ∈，'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2上递减，当1[,1)2x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <，即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增，在区间(1,2]上递减，所以max ()(1)1h x h ==，………10分所以1a ≥. L L L L 12分。

2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题(word版)

2014～2015学年度第一学期期中考试高二数学试题一．填空题（每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1. 命题“2,220x R x x ∃∈++=”的否定是 ▲ .2. 过点()4,3P --，倾斜角为135°的直线的方程为 ▲ .3. ()43,7M xoy -点，关于平面的对称点的坐标为 ▲ .4. 直线240x y +-=在两坐标轴上的截距之和为 ▲ .5. 已知一个球的体积为336cm π，则这个球的表面积为 ▲ .6. 直线()230215x y +-=-被圆心为，的圆截得的弦长为，则圆的方程为 ▲ 7. “1a =”是“01ax y x ay +=+=直线与直线平行”的 ▲ 条件（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”） 8. ()()(),00,2,1,1P m A B 点到定点距离之和的最小值是 ▲9. 在过点()2,3的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦长最短的直线的方程为▲10. ,,_______a b c αβγ设为不同的直线，，，为不同的平面，则下面命题正确的个数为 ①,a c b c a b ⊥⊥若则 ②,a b b a a ααα⊂若则或 ③,a a b b αα⊥⊥若则 ④,αγβγαβ⊥⊥若则11. 若圆222424030x y k x y k k k x y ++-+-=-+=关于直线对称，则实数的值为▲12. 若命题“[)()21,3,220x x a x ∃∈+--≥是不等式”是假命题，则实数a 的值为▲13. 在2,1,ABC BC AB AC ABC ∆==∆中，已知则面积的最大值是▲14. 圆()()2220x a y a a x y a -+-=+=上恰有两点到直线的取值范围是 ▲二、解答题（共6小题，合计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 15.（本小题满分14分）[)()22:11:4240""""p y x mx q x m x p q p q m =++-+∞--+=已知命题二次函数在，上单调递增；命题方程没有实数根。

辽宁省五校协作体2014_2015学年高二数学上学期期中试卷文(含解析)

辽宁省五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤02．（5分）某高级中学有2014-2015学年高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中2015届高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从2015届高三年级学生中抽取的人数是（）A．40 B．30 C．20 D．103．（5分）原命题：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”和它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．0个4．（5分）执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A．5 B．2 C．3 D．45．（5分）若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离等于它到直线x+4=0距离，则M点的轨迹方程是（）A．x+4=0 B．x﹣4=0 C．y2=8x D．y2=16x6．（5分）函数f（x）=x3﹣ax+1在区间A．（1，+∞）B．（1，2）C．（1，1+）D．（2，1+）12．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且=0，则||的最小值为（）A．B．3 C．D．1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线方程为．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2y﹣x的最小值为．15．（5分）已知命题p：∀x∈，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p 且q”是真命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）与圆（x+3）2+y2=1及圆（x﹣3）2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足≤0．（1）若a=1且p∨q为假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a、b、c，△ABC的外接圆半径且满足=．（1）求角B的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n．（1）求数列{a n的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点到点P（﹣3，1）的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）设f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）当x∈时，求g（x）的最大值和最小值；（2）如果对任意的s，t∈，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．辽宁省五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特此命题即可得到结论．解答：解：∵命题为全称命题，∴命题的否定是存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）某高级中学有2014-2015学年高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中2015届高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从2015届高三年级学生中抽取的人数是（）A．40 B．30 C．20 D．10考点：分层抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：设应当从2015届高三年级的学生中抽取的人数是x，则由分层抽样的定义可得，由此求出x的值．解答：解：设应当从2015届高三年级的学生中抽取的人数是x，则由分层抽样的定义可得，解得x=20，故选：C．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，各个部分的个体数之比等于各个部分对应的样本数之比，属于基础题．3．（5分）原命题：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”和它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．0个考点：四种命题的真假关系；四种命题．专题：简易逻辑．分析：先判断出原命题为真命题，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性知它的逆否命题为真命题．然后写出它的逆命题，否命题，根据c2≥0即可判断这两个命题的真假性，从而得出真命题的个数．解答：解：∵ac2＞bc2；∴c2＞0；∴a＞b；∴原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题；①它的逆命题为：设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2；该命题为假命题，∵c2=0时，ac2=bc2；②否命题为：设a，b，c∈R，若ac2≤bc2，则a≤b；该命题为假命题，∵c2=0时，就得不到a≤b；∴真命题个数是2．故选B．点评：考查原命题和它的逆否命题真假性的关系，原命题、逆命题、否命题、以及逆否命题的概念，注意c2=0的情况．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A．5 B．2 C．3 D．4考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，n的值，当有S=+++=0.9375，n=5，不满足条件S＜p，输出n的值为5．解答：解：执行程序框图，有p=0.8n=1，S=0满足条件S＜p，有S=，n=2；满足条件S＜p，有S=+，n=3；满足条件S＜p，有S=++，n=4；满足条件S＜p，有S=+++=0.9375，n=5；不满足条件S＜p，输出n的值为5．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5．（5分）若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离等于它到直线x+4=0距离，则M点的轨迹方程是（）A．x+4=0 B．x﹣4=0 C．y2=8x D．y2=16x考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出关系式化简即可得出轨迹方程判断选项即可．解答：解：∵动点M到点F（4，0）的距离等于它到直线x+4=0的距离，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，设方程为y2=2px（p＞0），∵=4，∴p=8．∴方程为y2=16x．故选：D．点评：本题考查了轨迹方程的求法，抛物线的定义，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=x3﹣ax+1在区间．故选A．点评：熟练掌握函数导数与单调性的关系及其分离参数法是解题的关键．7．（5分）与椭圆共焦点，且渐近线为y=±2x的双曲线方程是（）A．x2B．y2﹣C．D．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆的焦点，设出双曲线方程，利用待定系数法，即可得到结论．解答：解：椭圆的焦点为（，0），则设双曲线方程为．在双曲线中，，∴a2=1，b2=4∴双曲线方程为．故选A．点评：本题考查椭圆的性质，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）已知a∈R，则“a2＞2a”是“a＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：结合不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由a2＞2a得a＞2或a＜0，∴“a2＞2a”是“a＞2”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的解法是解决本题的关键．9．（5分）已知F1，F2是椭圆+=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=1，则|AF1|﹣|BF2|=（）A．7 B．8 C．13 D．16考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，由|AB|=5，可知|AF2|+|BF2|=5，从而可求|AF1|﹣|BF2|．解答：解：∵过F2的直线交椭圆+=1于点A，B，∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，∵|AB|=1，∴|AF2|+|BF2|=1∴|AF1|﹣|BF2|=|AF1|+|AF2|﹣（|AF2|+|BF2|）=8﹣1=7，故选A．点评：本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键．10．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9 C．8 D．6考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．解答：解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选C．点评：本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．11．（5分）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（1，1+）D．（2，1+）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．解答：解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|==，|EF|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：B点评：本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．12．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且=0，则||的最小值为（）A．B．3 C．D．1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，当PF最小时，切线长PM最小，作出图形，即可得到答案．解答：解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当PF最小时，切线长PM最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．此时|PM|==．故选：A．点评：本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查作图与分析问题解决问题的能力，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线方程为y2=﹣8x．考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的性质可知该抛物线的形式为：y2=﹣2px（p＞0），依题意可求p的值，从而可得答案．解答：解：依题意，设抛物线的方程为：y2=﹣2px（p＞0），∵准线方程为x=2，∴=2，∴p=4，∴抛物线的方程是y2=﹣8x．故答案为：y2=﹣8x．点评：本题考查抛物线的简单几何性质，设出方程y2=﹣2px（p＞0）是关键，属于中档题．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2y﹣x的最小值为﹣9．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2y﹣x得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（3，﹣3），代入目标函数z=2y﹣x得z=2×（﹣3）﹣3=﹣9．即目标函数z=2y﹣x的最小值为﹣9．故答案为：﹣9．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．15．（5分）已知命题p：∀x∈，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：根据命题“p且q”是真命题，得到两个命题都是真命题，当两个命题都是真命题时，第一个命题是一个恒成立问题，分离参数，根据x的范围，做出a的范围，第二个命题是一元二次方程有解问题，利用判别式得到结果．解答：解：∵“p且q”是真命题，∴命题p、q均为真命题，由于∀x∈，x2﹣a≥0，∴a≤1；又因为∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，∴△=4a2+4a﹣8≥0，即（a﹣1）（a+2）≥0，∴a≤﹣2或a≥1，综上可知，a≤﹣2或a=1．故答案为：a≤﹣2或a=1点评：本题考查命题真假的判断与应用，是一个综合题，这种题目一般是以解答题目出现，是一个不错的题目，但解起来容易出错．16．（5分）与圆（x+3）2+y2=1及圆（x﹣3）2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为（x＜0）．考点：轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：设所求圆的圆心坐标P（x，y），半径为r，两圆的圆心分别是C1，C2，根据题意可知两圆心的坐标，根据所求圆与两个圆都外切进而可得PC1|和|PC2|的表达式，整理可得|PC2|﹣|PC1|=2，根据双曲线定义可知P点的轨迹为C1，C2为焦点的双曲线进而根据双曲线的性质可求得双曲线的方程．解答：解：设所求圆的圆心坐标P（x，y），半径为r，两圆的圆心分别是C1，C2，∵所求圆与两个圆都外切，∴|PC1|=r+1，|PC2|=r+3，即|PC2|﹣|PC1|=2，根据双曲线定义可知P点的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线，2c=6，c=3；2a=2，a=1，b=2∴P点的轨迹方程为（x＜0）故答案为：为（x＜0）点评：本题主要考查点的轨迹方程及双曲线的性质．常用方法是直接法，定义法，代入转移法等．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足≤0．（1）若a=1且p∨q为假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）先求出命题p，q为真时的x的取值范围：命题p为真，a＜x＜3a；命题q 为真，2＜x≤3．而由a=1得到：命题p：1＜x＜3，根据p∨q为假知p，q都为假，所以求命题p，q为假时的x的取值范围再求交集即可；（2）由p是q的必要不充分条件，便可得到，解该不等式组即得a的取值范围．解答：解：（1）由（x﹣a）（x﹣3a）＜0，a＞0，得a＜x＜3a；∴a=1时，1＜x＜3，即：p为真时，1＜x＜3；由，得2＜x≤3，即：q为真时，2＜x≤3；若p∨q为假，则p假，q假，所以，∴x≤1，或x＞3；所以实数x的取值范围是：（﹣∞，1]∪（3，+∞）；（2）p是q的必要不充分条件，所以：由p得不到q，而由q能得到p；∴，∴1＜a≤2；因此，实数a的取值范围是（1，2]．点评：考查解一元二次不等式，分式不等式，以及p∨q真假和p，q真假的关系，以及必要条件、充分条件、必要不充分条件的概念．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a、b、c，△ABC的外接圆半径且满足=．（1）求角B的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由正弦定理可将已知化简为sinA=2sinAcosB，从而可求角B的大小；（2）由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB≥2ac﹣2accosB，从而求得ac≤9，故可求△ABC的面积的最大值．解答：解：（1）由正弦定理得：=．∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，∴sinA=2sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=．（2）∵b2=a2+c2﹣2accosB≥2ac﹣2accosB，∴ac≤==9，∴S△ABC=acsinB≤=．点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，考察了三角形面积公式的应用，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n．（1）求数列{a n的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意得，当n=1时a1=s1=﹣1，当n≥2时a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣3，再验证n=1时是否成立即可；（2）由（1）和题意求出b n，利用错位相减法求出数列{b n}的前n项和T n．解答：解：（1）当n=1时，a1=s1=1﹣2=﹣1…（2分）当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=n2﹣2n﹣=2n﹣3…（4分）又a1=﹣1=2﹣3，也符合上式，…（5分）因此，a n=2n﹣3…（6分）（2）由（1）得，b n==，所以T n=①，T n=②，①﹣②得，T n=+2（）﹣=+2×﹣=所以T n=．点评：本题考查数列a n和S n的关系式的应用，以及错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点到点P（﹣3，1）的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题：e=，=，由此能求出椭圆C的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线l过定点（﹣，0）．解答：（1）解：由题：e=，①右焦点（c，0）到点P（﹣3，1）的距离为：=．②，由①②可解得：a2=4，b2=3，c2=1．…（2分）∴所求椭圆C的方程为：．…（4分）（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，3+4k2﹣m2＞0．x1+x2=﹣，，…（6分）+mk（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆过椭圆的左顶点D（﹣2，0），因此=0，即（x1+2）（x2+2）+y1y2=0，展开得x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=0，=0，7m2﹣16mk+4k2=0，…（9分）解得 m=2k或m=，且满足3+4k2﹣m2＞0，…（10分）当m=2k时，l：y=k（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；…（11分）当m=时，l：y=k（x+），直线过定点（﹣，0）．综上可知，直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．…（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（12分）设f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）当x∈时，求g（x）的最大值和最小值；（2）如果对任意的s，t∈，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）求导，由导数确定函数在上的单调性，由单调性求最值；（2）由（1）知，在区间上，g max（x）=g（2）=1；从而原问题等价于当x∈时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，用分离系数法可得a≥x﹣x2lnx恒成立，从而转化为求函数h（x）=x﹣x2lnx在区间上的最大值，利用求导求单调性，再求最值即可．解答：解：（1）对于函数g（x）=x3﹣x2﹣3，x∈，g′（x）=3x2﹣2x，令g′（x）=0，得x=0或x=；当x变化时，g（x）、g′（x）变化情况如下表：x 0 （0，）（，2） 2g′（x）0 ﹣0 + +g（x）﹣3 递减极（最）小值﹣递增 1由上表可知：g min（x）=﹣，g max（x）=g（2）=1，（2）由（1）知，在区间上，g max（x）=g（2）=1．则原问题等价于当x∈时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，记h（x）=x﹣x2lnx，h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′（1）=0；记m（x）=1﹣2xlnx﹣x，m′（x）=﹣3﹣2lnx，∵x∈，∴m′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，∴m（x）=1﹣2xlnx﹣x在上递减，且当x∈时，h′（x）＜0，即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间上递减，∴h max（x）=h（1）=1，∴a≥1．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题的处理方法，化简比较困难，属于难题．。

辽宁省协作校2014_2015学年高二数学上学期期末试卷文(含解析) (1)

辽宁省协作校2014-2 015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）2．（5分）存在实数x使得x2+6mx+9m＜0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪16．（5分）已知过抛物线y2=x的焦点F的直线m的倾斜角是θ≥，m交抛物线于A，B 两点且A在x轴上方，则|FA|的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分58分）17．（10分）（1）当x＜时，求函数y=x+的最大值；（2）当0＜x＜时，求函数y=x（1﹣2x）的最大值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n（n+1）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b1=1，2b n﹣b n﹣1=0，c n=a n b n，数列{c n}的前n项和为T n，求T n．19．（12分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．20．（12分）如图，点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点，经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q．（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且知当x=﹣1时取得极大值7，当x=3取得极小值，试求f（x）的极小值，并求a、b、c的值．辽宁省协作校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）考点：不等式比较大小．专题：探究型．分析：由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可解答：解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2；C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）⇔（|x|﹣1）2≥0；D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．综上，C选项是正确的．故选：C．点评：本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是2015届高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键2．（5分）存在实数x使得x2+6mx+9m＜0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪6．（5分）已知f（x）=x2+2xf′+2014lnx，则f′=（）A．2015 B．﹣2015 C．2014 D．﹣2014考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=2014代入导函数中，列出关于f'的方程，进而得到f'的值解答：解：求导得：f′（x）=x+2f′+令x=2014，得到f′=2014+2f′+1，解得：f′=﹣2015，故选：B点评：本题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，属于基础题7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，若x1＜x2，则f （x2）与e f（x1）的大小关系为（）A．f（x2）＞e f（x1）B．f（x2）＜e f（x1）C．f（x2）=e f（x1）D．f（x2）与e f（x1）的大小关系不确定考点：指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．解答：解：构造函数g（x）=，则，∴函数g（x）单调递增，∵若x1＜x2，∴g（x1）＜g（x2），即，∴f（x2）＞e f（x1），故选：A．点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．8．（5分）过点（0，1）的直线与抛物线y2=4x仅有一个公共点，则满足条件的直线共有（）条．A．0 B．1 C．2 D．3考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（法一）先看当直线斜率不存在时是否成立，再看直线斜率存在时设出直线方程，与抛物线方程联立，对二次项的系数分类讨论，再由判别式等于0时求k的值：（法二）判断出点（0，1）在抛物线y2=4x的外部，则过（0，1）的直线与抛物线y2=4x相切的直线有两条，此外还有一条与x轴平行的直线，与抛物线也有一个交点，即可得到满足条件的直线的条数．解答：解：（法一）①当直线斜率不存在时，直线的方程为x=0，与抛物线方程联立求得x=0，y=0，此时直线与抛物线只有一个交点，②当直线斜率存在时，设直线方程y=kx+1，与抛物线方程联立得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，当k=0时，y=1代入抛物线求得x=1，此时直线与抛物线有一个交点，当k≠0，要使直线与抛物线只有一个交点需△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，求得k=1，综合可知要使直线与抛物线仅有个公共点，这样的直线有3条，（法二）因为点（0，1）在抛物线y2=4x的外部，所以过（0，1）的直线与抛物线y2=4x相切的直线有两条，此外还有一条与x轴平行的直线，与抛物线也有一个交点，所以满足条件的直线的条数是3．故选：D．点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，直线和与抛物线相切的条件，体现了分类讨论的数学思想，设直线方程时，一定要考虑斜率不存在的情况．9．（5分）已知椭圆与双曲线共焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为（）A．B．C．（0，1）D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆与双曲线共焦点，确定n的值与m的范围，进一步可求椭圆C1的离心率e的取值范围解答：解：由题意，m+2﹣n=m+n，∴n=1又m+2＞n，m＞0，∴m+2＞2∵∴∴故选A．点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是（）A．a1﹣c1=a2﹣c2B．a1+c1＞a2+c2C．a1c2＞a2c1D．a1c2＜a2c1考点：椭圆的应用．专题：计算题．分析：先根据题意和图形可得到a1=2a2，c1＞2c2，进而根据不等式的性质可得到a1c2＜a2c1，即可得到答案．解答：解：由题意知，a1=2a2，c1＞2c2，∴a1c2＜a2c1．∴不正确的为C．故选C．点评：本题主要考查椭圆的基本性质的应用．圆锥曲线是2015届高考的重点内容，椭圆的基本性质更是2015届高考的重点，更要准备充分．11．（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转化为|AF1|﹣|AF2|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．解答：解：根据题意得F1（﹣c，0），F2（c，0），设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A1，B1，与F1F2切于点A，则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，|F2B1|=|F2A|，又点P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|F1A|﹣|F2A|=2a，而|F1A|+|F2A|=2c，设A点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|=2a，得（x+c）﹣（c﹣x）=2a，解得x=a，∵|OA|=a，∴在△F1CF2中，OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）==a，∴|OA|与|OB|的长度依次为a，a．故选：A．点评：本题考查两条线段长的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线简单性质的灵活运用．12．（5分）方程+=﹣1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；③函数y=f（x）的值域是R；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程+=1确定的曲线．其中所有正确的命题序号是（）A．①②B．②③C．①③④D．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据x、y的正负去绝对值，将方程+=﹣1化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且函数的值域为R，所以①③成立；根据F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=，再由函数图象对应的曲线以y=为渐近线，得到f（x）=没有实数根，因此②正确．根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则y=g（x）的图象对应的方程是+=1，说明④错误．由此可得本题的答案．解答：解：对于①，当x≥0且y≥0时，方程为，此时方程不成立．当x＜0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x≥0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x＜0且y≥0时，方程为，即y=3．因此作出函数的图象，如图所示由图象可知函数在R上单调递减，所以①成立．②由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=．因为双曲线和的渐近线为y=，所以函数y=f（x）与直线y=无公共点，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零点，可得②正确．对于③，根据①所作的图象可知函数的值域为R，所以③正确．对于④，若函数y=g（x）和y=f（x）的图象关于原点对称，则用﹣x、﹣y分别代替x、y，可得﹣y=f（﹣x）就是y=g（x）表达式，可得g（x）=﹣f （﹣x）∴函数y=g（x）的图象是方程+=1确定的曲线，而不是方程+=1确定的曲线，所以④错误故选：D点评：本题给出含有绝对值的二次曲线，要我们判断并于曲线性质的几个命题的真假．着重考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若，S2=a3，则S n=．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，利用，S2=a3，及通项公式可得d，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S2=a3，∴a1+a1+d=a1+2d，化为．∴=+=．故答案为．点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为﹣7．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得，解方程得出a，b的值，最后求它们的即可．解答：解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2+2ax+b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴，解得或，验证知，当a=﹣3，b=3时，在x=1无极值，故 a+b的值﹣7．故答案为：﹣7点评：掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力．15．（5分）若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程是y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的离心率为，可得，解得．即可得出双曲线的渐近线方程是．解答：解：∵椭圆的离心率为，∴，化为，解得．∴双曲线的渐近线方程是．故答案为：y=±x．点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．16．（5分）已知过抛物线y2=x的焦点F的直线m的倾斜角是θ≥，m交抛物线于A，B 两点且A在x轴上方，则|FA|的取值范围是．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：当倾斜角时，直线m的方程为：，与抛物线方程联立可得16x2﹣24x+1=0，取，由于π＞θ≥，可得．利用|FA|=x A+即可得出．解答：解：当倾斜角时，直线m的方程为：，联立，化为16x2﹣24x+1=0，解得，取，∵π＞θ≥，∴．|FA|=x A+．∴．故答案为：．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立、焦点弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分58分）17．（10分）（1）当x＜时，求函数y=x+的最大值；（2）当0＜x＜时，求函数y=x（1﹣2x）的最大值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由题意可得3﹣2x＞0，可得y=﹣（+）+≤﹣2+=﹣，注意等号成立的条件即可；（2）由题意可得1﹣2x＞0，可得y=•2x•（1﹣2x）≤（）2=，注意等号成立的条件即可．解答：解：（1）∵x＜∴，2x﹣3＜0，即3﹣2x＞0∴y=x+=（2x﹣3）++=﹣（+）+≤﹣2+=﹣，当且仅当=即x=时取等号，∴当x＜时，求函数y=x+的最大值为；（2）∵0＜x＜，∴1﹣2x＞0，∴y=x（1﹣2x）=•2x•（1﹣2x）≤（）2=．当且即当2x=1﹣2x即x=时取等号，∴当0＜x＜时，求函数y=x（1﹣2x）的最大值为点评：本题考查基本不等式，凑出基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n（n+1）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b1=1，2b n﹣b n﹣1=0，c n=a n b n，数列{c n}的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出；（2）由b1=1，2b n﹣b n﹣1=0，利用等比数列的通项公式可得．c n=a n b n=．再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==n．当n=1时也成立．∴a n=n．（2）∵b1=1，2b n﹣b n﹣1=0，∴数列{b n}为等比数列，∴．∴c n=a n b n=．∴T n=+…+，=++…+（n﹣1）×+n，∴=1++…+=﹣=．∴．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．考点：抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，从而x1+x2=，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得．（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2），B（4，4）．再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．解答：解：（1）直线A B的方程是y=2（x﹣），与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x．（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，∴x1=1，x2=4，y1=﹣2，y2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2）又2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．20．（12分）如图，点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点，经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q．（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入，可求得P，根据点Q的坐标是（4，4），PF1⊥QF2，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）利用PF1⊥QF2，求得，从而可求，又，求导函数，可得x=﹣c时，y′==，故可知直线PQ与椭圆C只有一个交点．解答：（Ⅰ）解：将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入得∴P∵点Q的坐标是（4，4），PF2⊥QF2∴∵∴a=2，c=1，b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）证明：设Q，∵PF2⊥QF2∴∴y2=2a∴∵P，∴∵，∴∴y′=∴当x=﹣c时，y′==∴直线PQ与椭圆C只有一个交点．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，综合性强．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且知当x=﹣1时取得极大值7，当x=3取得极小值，试求f（x）的极小值，并求a、b、c的值．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：先求导函数，根据当x=﹣1时，f（x）有极大值，当x=3时，f（x）有极小值，可知﹣1，3是方程f'（x）=0的根，从而可得到关于a，b的两个等式，再根据极大值等于7，又得到一个关于a，b，c的等式，即可求出c的值．因为函数在x=3处有极小值，所以把x=3代入原函数，求出的函数值即为函数的极小值．解答：解：∵f（x）=x3+ax2+bx+c，∴f'（x）=3x2+2ax+b．∵当x=﹣1时，函数取得极大值，x=3时，函数取得极小值．∴﹣1，3是方程f'（x）=0的根，即﹣1，3为方程3x2+2ax+b=0的两根．∴∴，∴f（x）=x3﹣3x2﹣9x+c．∵当x=﹣1时取得极大值7，∴（﹣1）3﹣3（﹣1）2﹣9（﹣1）+c=7，∴c=2．∴函数f（x）的极小值为f（3）=33﹣3×32﹣9×3+2=﹣25．点评：本题以函数为载体，考查导数在求函数的极值中的应用．理解极值与导数的对应关系及极值的判断规则是解题的关键．。

辽宁省五校协作体2014届高三上学期期中考试数学文试题 Word版含答案

2013——2014学年度上学期省五校协作体高三期中考试数学试题（文科）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、在复平面内,复数iiz 3143+-= (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、已知一元二次不等式0)(≤x f 的解集为}3,21{≥≤x x x 或,则0)(>x e f 的解集为（）A 、}3ln ,2ln {>-<x x x 或B 、 }3ln 2ln {<<x xC 、}3ln {<x x }D 、 }3ln 2ln {<<-x x3、某车间加工零件的数量x 与加工时间的统计数据如表：现已求得上表数据的回归方程a x b y += 中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A 、84分钟B 、94分钟C 、 102分钟D 、112分钟4、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且100200=S ， C B A 、、为平面内三点，点O 为平面外任意一点，若a a 101100+=，则C B A 、、5、若双曲线122=-by a x 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）A 、 5B 、5C 、 2D 、26、设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C = ( ) A 、23π B 、3π C 、34π D 、56π 7、执行如图所示的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为 ( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、48、已知函数1)(2-=ax x f 的图像在点A (1，f (1))处的切线l 与直线028=+-y x 平行，若数列})(1{n f 的前n项和为nS ，则2013S 的值为（）A 、20132010 B 、20131005 C 、40274026D 、402720139、已知y x z +=2，x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥m x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（）A 、41 B 、51 C 、61 D 、71 10、规定][x 表示不超过x 的最大整数，⎩⎨⎧+∞∈--∞∈-=-),0[],[)0,(,22)(x x x x x f x ，若方程1)(+=ax x f 有且仅有四个实数根，则实数a 的取值范围是（） A 、)21,1[--B 、)31,21[--C 、)41,31[--D 、)51,41[--11、椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M上任一点，且⋅的最大值的取值范围是[2c 2，3c 2]，其中22b a c -=. 则椭圆M 的离心率e的取值范围是（） A 、]22,33[B 、)1,22[C 、)1,33[D 、)21,31[12、设函数)cos (sin )(x x e x f x -= )20120(π≤≤x ，则函数)(x f 的各极小值之和为（）A 、πππ2201221)1(e e e ---B 、πππe e e ---1)1(10062C 、πππ2100621)1(e e e ---D 、πππ2201021)1(ee e --- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、某几何体的三视图如图所示,主视图和左视图是长为3 ，宽为2的矩形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积为_________．14、点),(b a 为第一象限内的点，且在圆8)1()1(22=+++y x 上，ab 的最大值为________．15、在随机数模拟试验中，若rand x *=3（）, rand y *=2（）,共做了m 次试验，其中有n 次满足14922≤+y x ，则椭圆14922=+y x 的面积可估计为．(rand （）表示生成0到1之间的随机数)16、商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )，这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c －a ）是（b －c ）和（b －a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、已知向量),1,(sin -=x ，)21,cos 3(-=x n ，函数2)(2-∙+=x f ．(1)求f （x ）的最大值，并求取最大值时x 的取值集合； (2)已知 c b a 、、分别为ABC ∆内角C B A 、、的对边，且c b a 、、成等比数列，角B 为锐角，且1)(=B f ，求CA tan 1tan 1+的值．18、某班高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高； (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．19、如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°(1)求证：PC ⊥BC(2)求点A 到平面PBC 的距离．20、定义在R 上的函数3)(23+++=cx bx ax x f 同时满足以下条件：①)(x f 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②)(x f '是偶函数；③)(x f 在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直． (1)求函数y ＝)(x f 的解析式；(2)设g (x )＝xmx -ln ，若存在实数x ∈[1，e ]，使)(x g <)(x f '，求实数m 的取值范围．.21、已知线段MN 的两个端点M 、N 分别在x 轴、y 轴上滑动，且4=MN ，点P 在线段MN 上，满足m = )10(<<m ，记点P 的轨迹为曲线W ． (1)求曲线W 的方程，并讨论W 的形状与m 的值的关系； (2)当41=m 时，设A 、B 是曲线W 与x 轴、y 轴的正半轴的交点，过原点的直线与曲线W 交于C 、D 两点，其中C 在第一象限，求四边形ACBD 面积的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如多选，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．几何证明选讲如图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，求DE 的长．23．极坐标与参数方程已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 24．不等式选讲已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m . (1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．2013——2014学年度上学期省五校协作体高三期中考试数学试题（文科答案）一．选择题：1.A ；2.D ；3.C ；4.A ；5.A ；6.B ；7.C ；8.D ；9.A ；10.B ；11. A ；12.D ．13． 14．1 ； 15． mn24； 16．215 .17、解：（Ⅰ）==﹣2===．……………………4分故f （x ）max =1，此时，得．所以取得最大值的x 的集合为{x|}．……………………6分（Ⅱ）由f （B ）=，又∵0＜B ＜，∴．∴，∴．……………………8分由a ，b ，c 成等比数列，则b 2=ac ，∴sin 2B=sinAsinC ． ∴==．……………………12分18、(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25. 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016. …………………4分(2)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，…………………8分其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0.6. …………………12分19、(1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC . 由∠BCD ＝90°知，BC ⊥DC ， ∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ， ∴BC ⊥PC . ……………………4分(2)设点A 到平面PBC 的距离为h ， ∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°， ∵AB ＝2，BC ＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝1，∵PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝13，……………………6分∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DC ， ∵PD ＝DC ＝1，∴PC ＝2， ∵PC ⊥BC ，BC ＝1， ∴S △PBC ＝12PC ·BC ＝22，∵V A －PBC ＝V P －ABC ， ∴13S △PBC ·h ＝13，∴h ＝2， ∴点A 到平面PBC 的距离为 2.……………………12分20、解: (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0①……………………………………………1分由f ′(x )是偶函数得：b ＝0②……………………………………………2分又f (x )在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，f ′(0)＝c ＝－1③…………3分由①②③得：a ＝13，b ＝0，c ＝－1，即f (x )＝13x 3－x ＋3. ……………4分(2)由已知得：存在实数x ∈[1，e ]，使ln x －mx<x 2－1即存在x ∈[1，e ]，使m >x ln x －x 3＋x …………………………6分设M (x )＝x ln x －x 3＋x x ∈[1，e ]，则M ′(x )＝ln x －3x 2＋2……………7分设H (x )＝ln x －3x 2＋2，则H ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x……………8分∵x ∈[1，e ]，∴H ′(x )<0，即H (x )在[1，e ]上递减于是，H (x )≤H (1)，即H (x )≤－1<0，即M ′(x )<0 ……………10分 ∴M (x )在[1，e ]上递减，∴M (x )≥M (e )＝2e －e 3……………12分于是有m >2e －e 3为所求．21、解：（1）设M （a ，0），N （0，b ），P （x ，y ），则a 2+b 2=|MN|2=16，而由=m有：（x﹣a，y）=m（﹣a，b），解得：，代入得：．.……………3分当0时，曲线W的方程为，表示焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线W的方程为x2+y2=4，W为以原点为圆心、半径为2的圆；当时，曲线W的方程为，表示焦点在y轴上的椭圆．.……………6分（2）由（1）当m=时，曲线W的方程是，可得A（3，0），B（0，1）．设C（x1，y1），则x1＞0，y1＞0，由对称性可得D（﹣x1，﹣y1）．因此，S四边形ACBD=S△BOC+S△BOD+S△AOC+S△AOD=|BO|（x1+x1）+|AO|（y1+y1），即S四边形ACBD=x1+3y1，而，即，. ……………9分所以S四边形ACBD=x1+3y1≤2=3.……………10分当且仅当时，即x1=且y1=时取等号，. ……………11分故当C的坐标为（，）时，四边形ABCD面积有最大值3.……………12分22.解：设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去) ………………………………5分即CD＝6，CE＝12.因为CA为直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD 2＋DE 2＝CE 2，∴62＋DE 2＝122，∴DE ＝6 3.………………………………10分23．解： (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6y ＝1＋t sin π6即⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t (t 为参数) ………………………………2分由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12.………………………………4分 (2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t 代入⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12得t 2＋12t －14＝0，………………………………8分|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14.………………………………10分24．解： (1)不等式f (x )＋a －1>0，即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为x ≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a >1时，解集为全体实数R ；当a <1时，∵|x －2|>1－a ，∴x －2>1－a 或x －2<a －1，∴x >3－a 或x <a ＋1，故解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)．………………………………5分(2)f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)． ………………………………10分。

2014-2015学年辽宁省实验中学分校高二(上)数学期中试卷带解析答案

2014-2015学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜02．（5分）“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若a＞b，c＞d＞0，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bd B．＜C．a+d＞b+c D．a﹣d＞b﹣c4．（5分）在数列{a n}中，a1=2，2a n+1﹣2a n=1，则a101的值为（）A．52 B．51 C．50 D．495．（5分）S=1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+210）的值是（）A．211﹣11 B．211﹣13 C．212﹣13 D．213﹣116．（5分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（5分）下列说法中正确的是（）A．平面内与两个定点的距离和等于正的常数的点的轨迹叫做椭圆B．不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞）的充要条件是：a=bC．“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x ﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=19．（5分）已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于（）A．15 B．21 C．19 D．1710．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a20142，若数列{a n}的前n项和S n 最大，S m=0，则m﹣n的值为（）A．1007 B．1006 C．1005 D．100411．（5分）a，b，c为互不相等的正数，a2+c2=2bc，则下列关系中可能成立的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为负数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，0）C．（0，）D．（﹣4，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=．14．（5分）若△ABC中，C=30°，a+b=1，则△ABC面积S的最大值是．15．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是．16．（5分）已知p：a﹣4＜x＜a+4；q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知x＜，求函数y=4x﹣2+的最大值；（2）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值．18．（12分）设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4（1﹣S n+1）（n∈N*），T n=++…+，求使T n≥成立的最小的正整数n的值．20．（12分）已知a＜1，解关于x的不等式．21．（12分）已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若2是方程f（x）=x的一个根，a n=（n∈N*），求数列{a n}的前n项和S n（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）设二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）﹣x＜0的解集为（x1，x2）其中x1，x2满足0＜x1＜x2＜（1）当x∈（x1，x2）时，求证x1＜f（x）＜x；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证：x0＜．2014-2015学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x2﹣2x+1＜0”的否定是命题：∀x∈R，x2﹣2x+1≥0．故选：C．2．（5分）“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”．“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab＞0”，∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）若a＞b，c＞d＞0，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bd B．＜C．a+d＞b+c D．a﹣d＞b﹣c【解答】解：∵c＞d＞0，∴﹣c＜﹣d，又a＞b，∴a﹣d＞b﹣c．故选：D．4．（5分）在数列{a n}中，a1=2，2a n+1﹣2a n=1，则a101的值为（）A．52 B．51 C．50 D．49【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=2，2a n+1﹣2a n=1，∴a n﹣a n=，故数列{a n}为首项为2公差为的等差数列，+1∴a101=2+100×=52故选：A．5．（5分）S=1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+210）的值是（）A．211﹣11 B．211﹣13 C．212﹣13 D．213﹣11【解答】解：∵1+2+22+…+210==211﹣1．∴S=1+（1+2）+（1+2+22）+...+（1+2+22+ (210)=21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+211﹣1=﹣11=212﹣13．故选：C．6．（5分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【解答】解：由题意，构成一个三角形区域，三个顶点的坐标为（0，0），（k，k），（﹣2k，k）∵z=x+y的几何意义是直线y=﹣x+z的纵截距∴在（﹣2k，k）处函数取得最小值，在（k，k）处函数取得最大值∵z的最大值为6，∴k+k=6，解得k=3∴z的最小值为﹣2k+k=﹣k=﹣37．（5分）下列说法中正确的是（）A．平面内与两个定点的距离和等于正的常数的点的轨迹叫做椭圆B．不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞）的充要条件是：a=bC．“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【解答】解：对于A，平面内与两个定点的距离和等于正的常数的点的轨迹叫做椭圆，不满足椭圆的定义，椭圆的定义中，常数必须大于两个定点的距离，所以A不正确；对于B，不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞）的充要条件是：a=b，不正确，利用a=b=﹣1，不等式的解集是（﹣∞，1）．所以B不正确；对于C，“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，不是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”，所以C不正确；对于D，一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，满足四种命题的逆否关系以及真假关系，所以D正确．故选：D．8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x ﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：设椭圆的标准方程为，（a＞b＞0）．由圆x2+y2﹣2x﹣3=0可得（x﹣1）2+y2=4，半径R=2．∴a=2．∵离心率e==，∴c=1．∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆的标准方程是．9．（5分）已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于（）A．15 B．21 C．19 D．17【解答】解：由题意可得=1，∴a1=，故前八项之和等于=（28﹣1）=17，故选：D．10．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a20142，若数列{a n}的前n项和S n 最大，S m=0，则m﹣n的值为（）A．1007 B．1006 C．1005 D．1004【解答】解：∵d＜0，且a12=a20142，∴a1＞0，a2013＜0∴a1=﹣a2014整理可得，a1+a2014=0∴S2014=0=0，即m=2014由a1=﹣a2014可得，a1+a2014=0由等差数列的性质可得，a1007+a1008=a1+a2014=0∵d＜0∴a1008＜0，a1007＞0∴s1007最大，即n=1007则m﹣n=1007故选：A．11．（5分）a，b，c为互不相等的正数，a2+c2=2bc，则下列关系中可能成立的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【解答】解：若a＞b，则a2+c2＞b2+c2≥2bc，不符合条件，排除A，C；又由a2﹣c2=2c（b﹣c），故a﹣c与b﹣c同号，排除D；且当b＞a＞c时，a2+c2=2bc有可能成立，例如取（a，b，c）=（3，5，1），故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为负数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，0）C．（0，）D．（﹣4，）【解答】解：∵g（x）=2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）与g（x）至少有一个为负数，即f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立所以二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，即，解得﹣4＜m＜0；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5．【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．又等比数列{a n}中，a1a5=4，即a3=2．故5log2a3=5log22=5．故选为：5．14．（5分）若△ABC中，C=30°，a+b=1，则△ABC面积S的最大值是．【解答】解：在△ABC中，∵C=30°，a+b=1，∴△ABC的面积S=ab•sinC=ab•sin30°=ab≤×（）2=×（）2=．当且仅当a=b=时取等号，故答案为：．15．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是（，3）．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义是区域内的点与原点的斜率，则由图象可知，OA的斜率最大，OB的斜率最小，由，解得，即A（，），此时OA的斜率k=，由，解得，即B（，12），此时OB的斜率k=，则＜z＜3，即的取值范围是（，3），故答案为：（，3）16．（5分）已知p：a﹣4＜x＜a+4；q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为[﹣1，6] ．【解答】解：由（x﹣2）（3﹣x）＞0，解得2＜x＜3，即q：2＜x＜3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即，则，解得﹣1≤a≤6，故答案为：[﹣1，6]．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知x＜，求函数y=4x﹣2+的最大值；（2）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值．【解答】解：（1）∵x＜，∴4x﹣5＜0．∴y=4x﹣5++3=﹣[（5﹣4x）+]+3≤﹣2+3=1，当且仅当x=1时取等号．∴y max=1．（2）∵x＞0，y＞0且+=1，∴x+y=（x+y）=10+≥10+2=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．18．（12分）设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：对任意的x∈R，x2﹣2x＞a，∴x2﹣2x的最小值大于a；x2﹣2x的最小值为：﹣1；∴﹣1＞a，即a＜﹣1；命题q：存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；即方程x2+2ax+2﹣a=0有实根；∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；∵命题p∨q为真，命题p∧q为假，∴命题p，q中一真一假；∴若p真q假：，解得﹣2＜a＜﹣1；若p假q真：，解得a≥1；∴实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4（1﹣S n+1）（n∈N*），T n=++…+，求使T n≥成立的最小的正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由S1+a1=1⇒a1=，当n≥2时，S n+a n=1①，S n﹣1+a n﹣1=1②，①﹣②，得=0，即a n=a n﹣1，∴{a n}是以为首项，为公比的等比数列．故a n==3（n∈N*）；（Ⅱ）由（1）知1﹣S n==，+1b n=log4（1﹣S n+1）==﹣（n+1），=，T n=++…+=（）+（）+…+（）=，≥⇒n≥2014，故使T n≥成立的最小的正整数n的值n=2014．20．（12分）已知a＜1，解关于x的不等式．【解答】解：不等式＞1可化为＞0．∵a＜1，∴a﹣1＜0，则原不等式可化为＜0，___________（5分当0＜a＜1时，0＜1﹣a＜1，＞2，∴原不等式的解集为{x|2＜x＜}；当a=0时，原不等式的解集为∅；当a＜0时，同理可求原不等式的解集为{x|＜x＜2}．___________（10分）21．（12分）已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若2是方程f（x）=x的一个根，a n=（n∈N*），求数列{a n}的前n项和S n（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意2是方程f（x）=x的一个根，可得4m﹣2m﹣1=1，解得m=1，∵a n=（n∈N*），∴，∴（6分）（2）∵f（x）＜﹣m+5⇔m（x2﹣x+1）＜6，∵x2﹣x+1＞0，∴m＜，对于x∈[1，3]恒成立，记g（x）=，x∈[1，3]，记h（x）=x2﹣x+1，h（x）在x∈[1，3]上为增函数．则g（x）在[1，3]上为减函数，∴[g（x）]min=g（3）=，∴m＜．所以m的取值范围为．（12分）22．（12分）设二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）﹣x＜0的解集为（x1，x2）其中x1，x2满足0＜x1＜x2＜（1）当x∈（x1，x2）时，求证x1＜f（x）＜x；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证：x0＜．【解答】解：（1）令F（x）=f（x）﹣x，因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2），且a＞0，当x∈（x1，x2）时，由x1＜x＜x2得（x﹣x1）（x﹣x2）＜0，又a＞0，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＜0，即f（x）＜x．而x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]．因为，所以x1﹣x＜0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0得x﹣f（x）＜0，由此得x1＜f（x）＜x．（2）由（1）知f（x）=F（x）+x=x+a（x﹣x1）（x﹣x2）=ax2+[1﹣a（x1+x2）]x+ax1x2 x0=﹣==，因为ax2＜1，所以，即．。

2014辽宁高三五校联考数学(文_【含答案】

18. (本小题满分 12 分) 如图 , 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形 , O 为底面中心 , A1O⊥平面 ABCD, AB= 2,AA1=2. （1）证明：AA1⊥BD (2) 证明: 平面 A1BD // 平面 CD1B1; (3) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. D 19. (本小题满分 12 分) 等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9 (I)求{an}的通项公式; 1 (II)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn nan 20.(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+an=1,数列{bn}满足 b1=4,bn+1=3bn-2; (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2）设数列{cn}满足 cn=anlog3(b2n-1-1),其前 n 项和为 Tn，求 Tn; 21.(本小题满分 12 分) 2 设 f(x)=xlnx,g(x)=x -1 (1)令 h(x)=f(x)-g(x)，求 h(x)的单调区间；（2）若当 x≥1 时，f(x)-mg(x)≤0 恒成立，求实数 m 的取值范围；请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分. 22．（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E,F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (Ⅱ)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 →=2OM →，点 P 的轨迹为曲线 C ．满足OP 2 （I）求 C2 的方程；（II）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线= 与 C1 的异于极点的交点 3 为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求|AB|.

辽宁省五校协作体学年高二上学期期中考试数学文试题

2013——2014学年度上学期五校联考高二期中考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=14922y x x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=123y x y N ，则=⋂N M（）A 、∅B 、{})0,2(),0,3(C 、 ]3,3[-D 、{}2,3 2、以下有关命题的说法错误的是（）A 、命题“若0232=+-x x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠” B 、若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题C 、“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件D 、对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥ 3现已求得上表数据的回归方程a x b y +=中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A 、84分钟B 、94分钟C 、 102分钟D 、112分钟4、已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数y ＝ln (x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad等于( )A 、－1B 、0C 、1D 、25、观察x x 2)(2='， 344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记)(x g 为)(x f 的导函数，则)(x g -＝ ( )A 、)(x fB 、－)(x fC 、)(x gD 、－)(x g6、若双曲线12222=-by a x 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 ( )A 、 5B 、5C 、 2D 、2 7、对任意非零实数b a ,，定义b a ⊗的算法原理如上右侧程序框图所示。

辽宁省五校协作体高二上学期期中考试语文试卷 Word版含答案.pdf

辽宁省五校协作体2014-2015学年高二上学期期中考试语文试题第Ⅰ卷阅读题甲必考题一、现代文阅读(9分，每小题3分) 阅读下面的文字，完成1～3题大数据时代 “大数据时代”的说法并不新鲜，早在2010年，美国数据科学家维克托·迈尔·舍恩伯格在《大数据时代》一书中就系统地提出，以前，一旦完成了收集数据的目的之后，数据就会被认为已经没有用处了。

比如，在飞机降落之后，票价数据就没有用了；一个网络检索命令完成之后，这项指令也已进入过去时。

但如今，数据已经成为一种商业资本，可以创造新的经济利益。

数据能够成为一种资本，与移动互联网有密切关系。

随着智能手机、平板电脑等移动数码产品的“白菜化”，WIFI信号覆盖的无孔不入，越越多的人不再有“在线时间”和“不在线时间”之分，只要他们愿意，便可几乎24小时一刻不停地挂在线上；在线交易、在线支付、在线注册等网络服务的普及固然方便了用户，却也让人们更加依赖网络，依赖五花八门的网上平台。

大数据时代的科技进步，让人们身上更多看似平常的东西成为“移动数据库”，如带有存储芯片的第二代银行卡、信用卡，带有芯片读取功能的新型护照、驾驶证、社保卡、图书证等等。

在一些发达国家，官方为了信息录入方便，还不断将多种“移动数据库”的功能组合成一体。

数字化时代使得信息搜集、归纳和分析变得越越方便，传统的随机抽样被“所有数据的汇拢”所取代，基于随机抽样而变得重要的一些属性，如抽样的精确性、逻辑思辨和推理判断能力，就变得不那么重要，尽可能汇集所有数据，并根据这些数据得出趋势和结论才至为关键。

简单说，以往的思维决断模式是基于“为什么”，而在“大数据时代”，则已可直接根据“是什么”下结论，由于这样的结论剔除了个人情绪、心理动机、抽样精确性等因素的干扰，因此，将更精确，更有预见性。

不过，一些学者指出，由于“大数据”理论过于依靠数据的汇集，那么一旦数据本身有问题，在“只问有什么，不问为什么”的模式下，就很可能出现“灾难性大数据”，即因为数据本身的问题，而做出错误的预测和决策。

【高二】辽宁省五校协作体高二上学期期中考试数学文试题

【高二】辽宁省五校协作体高二上学期期中考试数学文试题试卷说明：――学年度上学期五校联考高二期中考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，，则（）A、B、 C、 D、2、以下有关命题的说法错误的是（） A、命题“若，则”的逆否命题为“若,则”B、若为假命题，则、均为假命题C、“”是“”的充分不必要条件D、对于命题，使得，则，则3、某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：零件数x（个）102030加工时间y（分钟）213039现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A、84分钟 B、94分钟 C、 102分钟 D、112分钟4、已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于( )A－1 B、0 C1 D25、观察，，，由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则＝( )A B、－ C D、－6、若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A B、5 C、 D、27、对任意非零实数，定义的算法原理如上右程序框图所示。

设为函数的最大值，为双曲线的离心率，则计算机执行该运算后输出结果是( )A、 B、 C、 D、8、已知曲线C：y＝2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )A(4，＋∞) B、(－∞，4] C(10，＋∞) D(－∞，10]9、已知函数的图像在点A(1，f(1))处的切线l与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（） A、 B、 C、 D、10、已知可导函数，则当时，大小关系为（）A、 B、 C、 D、 11、已知椭圆的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程（）A、 B、 C、 D、12、如图，过双曲线的左焦点F引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（）A、 B、 C、 D、二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共分13、有共同渐近线，且过点的双曲线方程是。

2014-2015学年辽宁省朝阳市重点高中协作校高二上学期期中考试数学

2014-2015学年辽宁省朝阳市重点高中协作校高二上学期期中考试数学一、选择题（共12小题；共60分）1. 下列方程表示的曲线中离心率为62的是______A. x22−y24=1 B. x24−y22=1 C. x24−y26=1 D. x24−y210=12. 下列命题中是假命题的是______A. ∀x∈R，2x−1>0B. ∀x∈N+，x−12>0C. ∃x∈R，lg x<1D. ∃x∈R，tan x=23. “ 2<m<6”是“方程x2m−2+y26−m=1为椭圆方程”的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 抛物线y=2x2的焦点F到准线l的距离是______A. 2B. 1C. 12D. 145. 原点O和点P1,1在直线x+y−a=0的两侧，则a的取值范围是______A. a<0或a>2B. a=0或a=2C. 0<a<2D. 0≤a≤26. 已知m=a+1a−2a>2，n=12x2−2x<0．则m,n之间的大小关系是______A. m>nB. m<nC. m=nD. m≤n7. 若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=______A. 4B. 2C. −2D. −48. 已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k x−2与此抛物线相交于P，Q两点，则1FP+ 1FQ= ______A. 12B. 1C. 2D. 49. 已知命题p：“对任意x∈1,2,x2−a≥0”．命题q：“存在x∈R,x2+2ax+2−a=0”．若“ p∧q”是真命题，则实数a取值范围是______A. a≤−2B. a≤−2或a=1C. a≤−1或1≤a≤2D. a≥110. 实数x,y满足不等式组x−y+2≥0,x+y−4≥0,2x−y−5≤0,则目标函数z=y−ax a∈R当且仅当x=1，y=3时取最大值，则a的取值范围是______A. 0,1B. −1,0C. 1,+∞D. −∞,−111. 已知正项等比数列a n满足a7=a6+2a5，若存在两项a m,a n使得a m a n=4a1，则1m +4n的最小值为______A. 32B. 53C. 256D. 212. 椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1、F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是______A. 13,23B. 12,1C. 23,1 D. 13,12∪12,1二、填空题（共4小题；共20分）13. 若双曲线x2a −y2b=1的离心率为3，则其渐近线方程为______．14. 命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题为______．15. 已知F1、F2为椭圆x225+y29=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若F2A +F2B =12，则 AB = ______．16. 下列命题成立的是______．（写出所有正确命题的序号）①a,b,c∈R，a2+b2+c2≥ab+bc+ac；②当x>0时，函数f x=1x2+2x≥21x2⋅2x=22x，∴当且仅当x2=2x即x=2时f x取最小值；③当x>1时，x2−x+4x−1≥5；④当x>0时，x+1x +1x+1的最小值为52．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知双曲线C的方程y23−x22=1，求与双曲线有共同焦点且经过点4,5的椭圆的方程．18. 已知数列a n满足a1=1,且a n+1−a n=n+1n∈N+，b n=1a n．求数列b n的前n项和S n．19. 已知函数f x=x2+2x+a．（1）当a=12时，求不等式f x>1的解集；（2）若对于任意x∈1,+∞,f x>0恒成立，求实数a的取值范围．20. 已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F1,0的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在正数m，对于过点M m,0且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有FA⋅FB<0 ?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21. 已知集合A=x x2−3a+1x+23a+1<0，集合B= x x−2ax−a+1<0．命题p:x∈A；命题q:x∈B．q是p的充分条件，求实数a的取值范围．22. 已知椭圆M:x2a +y2b=1a>b>0，直线y=kx k≠0与椭圆M交于A,B两点，直线y=−1k x与椭圆M交于C,D两点，P点坐标为a,0，直线PA和PB斜率乘积为−12．（1）求椭圆M的离心率；（2）若弦AC的最小值为26，求椭圆M的方程．3答案第一部分1. B2. B3. B4. D5. C6. A7. D8. A9. B 10. C11. A 12. D第二部分13. y=±2x14. 若x∉A∩B，则x∉A且x∉B15. 816. ①③④第三部分17. ∵双曲线的焦点为0,−5，0,5，∴椭圆焦点在y轴上且半焦距是5．设椭圆方程为y 2a +x2a−5=1．将点4,5代入得a4−26a2+25=0，∴a2=25或a2=1（舍）．∴椭圆方程为y225+x220=1．18. ∵a n+1−a n=n+1n∈N+，∴n≥2时a n−a n−1=n．∴a2−a1=2,a3−a2=3,a4−a3=4,⋯⋯a n−a n−1=n,累加得a n−a1=n+2n−12．又a1=1，∴a n=n n+12n≥2．经检验n=1也成立．∴a n=n n+12n∈N+，∴b n=2n n+1=21n−1n+1，∴S n=21−12+12−13+⋯+1n−1n+1=21−1n+1=2nn+1．19. （1）由x2+2x+12>1得2x2+4x−1>0，∴ x x>−1+62或x<−1−62．（2）x2+2x+a>0对∀x∈1,+∞恒成立∴a>−x2−2x．令g x=−x2−2x，当x=1时，g max x=−3，∴a>−3．20. （1）设P x,y是曲线C上任意一点，由题意得：x−12+y2−x=1x>0．化简得y2=4x x>0．（2）设过点M m,0m>0的直线l与曲线C的交点为A x1,y1，B x2,y2．设l的方程为x=ty+m，由x=ty+m,y2=4x,得y2−4ty−4m=0，Δ=16t2+m>0，且y1+y2=4t,y1y2=−4m. ⋯⋯①又FA=x1−1,y1,FB=x2−1,y2，∵FA⋅FB<0，∴x1−1x2−1+y1y2=x1x2−x1+x2+1+y1y2<0 ⋯⋯②又x=y 24，②式可化为y124⋅y224−y124+y224+1+y1y2<0即y1y2216−14y1+y22−2y1y2+1+y1y2<0将①代入上式，得m2−6m+1<4t2．∵对任意实数t上式成立，∴m2−6m+1<4t2min，而4t2min=0即m2−6m+1<0∴3−22<m<3+22．∴存在正数m，对于过点M m,0且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有FA⋅FB<0，且m的取值范围3−22,3+22．21. A=x x−2x−3a−1<0．①当2=3a+1，即a=13时，A=∅，而B≠∅，不满足题意，舍．②当2<3a+1，即a>13时，A=x2<x<3a+1．∵2a≤a2+1，∴当a=1时，B=∅，B⊆A满足题意．当a≠1时，B=x2a<x<a2+1∵B⊆A∴2≤2a,a2+1≤3a+1,解得1<a≤3．③2>3a+1，即a<13时A=x3a+1<x<2．∵B⊆A，∴3a+1≤2a,a2+1≤2,解得a=−1．综上，a的取值范围为 a1≤a≤3,或a=−1．22. （1）设A x1,y1，由对称性得B−x1,−y1．将A x1,y1代入椭圆得x12a +y12b=1，k PA⋅k PB=y1x1−a ⋅−y1−x1−a=y12x12−a=b21−x122x12−a=−b2a．又k PA⋅k PB=−12，∴b2a2=12．∴c22=1∴e=22．（2）椭圆方程可化为x2+2y2=a2联立y=kx,x2+2y2=a2,得x12=a21+2k2，y12=k2a21+2k2．设O为坐标原点，则 OA 2=a21+k21+2k ，同理可得 OC 2=a21+1k21+22∴ AC 2=a21+k21+2k2+a21+1k1+2k=a2×3k4+6k2+3 2k4+5k2+2=a2×322k4+5k2+2−32k242=32a21−12k2+2k+5≥4a2.当且仅当k2=1即k=±1时取等号，此时43a2=2632=83，∴a2=2．∴椭圆方程为x22+y2=1．。

辽宁省抚顺市重点高中协作校2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题

1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．已知椭圆的离心率为21，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为（） A ．1273622=+y x B ．1273622=-y x C ．1362722=+y x D ．1362722=-y x 3．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A= ( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．01504．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和S 9等于（） A ．66B ．99C ．144D ．2975．设11->>>b a ,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2b a > D ．b a 22>6．已知条件:1p x ≤，条件1:1q x<，则p 是q ⌝成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件7．一元二次不等式022>++bx ax 的解集是(－21,31)，则b a +的值是 ( ) A.10 B.－10 C. 14 D. －14 8．下列不等式中：①0232>-+x x 和 0432>-+x x ②358354++>++x x x 和 84>x ③358354-+>-+x x x 和 84>x ④023>-+x x 和 0)2)(3(>-+x x 不等价的是（） A ．① 和② B ．① 和③ C ．②和③ D ．②、③和④9．二次方程02)1(22=-+++a x a x 有一个根比1大,另一个根比－1小,则a 的取值范围是 ( )A ．－3＜a ＜1B ．－2＜a ＜0C ．－1＜a ＜0D ．0＜a ＜2 10．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ． x x y 1+= B ．)2,0(,sin 1sin π∈+=x x x y C ．2322++=x x y D ．)1(,24>-+=x xx y 11．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（） A ． 81 B ．120 C ．168 D ．19212．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分.）15．设+∈Ry x 、且yx 91+=1,则y x +的最小值为________. 16．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++= 且k a =13,则k=___________。

辽宁省朝阳市重点高中协作校1415学年度高二上学期期中——数学数学

辽宁省朝阳市重点高中协作校2014—2015学年度上学期期中考试高二数学试题考试时间：120分钟试题分数：150分卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列方程表示的曲线中离心率为的是（）A. B.C. D.2. 下列命题中是假命题的是（）A ．B ．C. D.3. “”是“方程为椭圆方程”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 抛物线的焦点到准线的距离是（）A ．B ．C ．D ．5. 原点和点在直线的两侧,则的取值范围是( )A.或B.或C. D.6. 已知，.则之间的大小关系是（）A ． B.C. D.7．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（）A. 4B. 2C. -2D. -48．已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点，则（）A. B. C.D. 9．已知命题P ：“对任意”.命题q ：“存在022,2=-++∈a ax x R x ”.若“”是真命题，则实数取值范围是（）A. B.或 C.或 D.10．实数满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x 则目标函数当且仅当时取最大值，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．11．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（）A. B. C. D. 不存在12．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.卷Ⅱ二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分.13.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为_________________.14.命题“若则或”的否命题为_____________________________.15.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则=__________.16.下列命题成立的是．（写出所有正确命题的序号）．①，ac bc ab c b a ++≥++222；②当时,函数x x x x x x f 2221221)(22=⋅≥+=，∴当且仅当即时取最小值； ③当时，； ④当时，x x x x 111+++的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知双曲线的方程，求与双曲线有共同焦点且经过点的椭圆的方程.18．（本小题满分12分）已知数列满足且)(11++∈+=-N n n a a n n ，.求数列的前项和.19. （本小题满分12分）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围.20. （本小题满分12分）已知一条曲线在轴右侧，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是1．(1)求曲线的方程；(2)（文科做）已知点是曲线上一个动点，点是直线上一个动点，求的最小值.（理科做）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有·？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知集合A={}0)13(2)1(3|2<+++-a x a x x ，集合B=.命题P ：；命题q ：.q 是p 的充分条件，求实数的取值范围.22.（本小题满分12分）已知椭圆：)0(12222>>=+b a by a x ，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，点坐标为，直线和斜率乘积为．（1）求椭圆离心率；（2）若弦的最小值为，求椭圆的方程．参考答案一、选择题：B B B C D A D A B C A D二、填空题：13． 14．若则且15．8 16．①③④三、解答题：17.解:∵双曲线的焦点为 ---------------2分∴椭圆焦点在轴上且半焦距是 --------------------4分设椭圆方程为 -----------------------5分将点代入得 --------------6分∴或 (舍) ---------------------------8分∴椭圆方程为 -----------------------10分18．解: ∵)(11++∈+=-N n n a a n n ∴时∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=--na a a a a a a a n n 1342312432累加得2)1)(2(1-+=-n n a a n ----------------4分又∴经检验也成立 ∴)(2)1(+∈+=N n n n a n --------------------------------------6分 ∴)111(2)1(2+-=+=n n n n b n ---------------------------------8分 ∴12)111(2)1113121211(2+=+-=+-++-+-=n nn n n S n ----12分19．解：（1）由得 -------------------2分 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<+->261,261|x x x 或 -------------------4分（2）对 x ∈[1,+）恒成立∴ -------------------------------------6分令 ----------------------------------8分当时， ---------------------------10分∴ ------------------------------------------12分 (注:分类讨论解法酌情给分)20．解：(1)设是曲线上任意一点，那么点满足：)0(1)1(22>=-+-x x y x ．化简得． -------------------------------4分（或由定义法）(2)(文科)设点,则点P 到直线的距离为5554454|208|5|524|5|52|22=≥++=++=++y y y y y x 当时最小,即最小值为 (文科两问均6分,(2)的其它解法酌情给分)(理科)设过点的直线与曲线的交点为．设的方程为，由得，，且① -------------------------6分又),1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=，∵· ∴01)()1)(1(2121212121<+++-=+--y y x x x x y y x x ② 又，②式可化为01)44(442122212221<+++-⋅y y y y y y 即01]2)[(4116)(2121221221<++-+-y y y y y y y y将①代入上式，得. -----------------------8分∵对任意实数上式成立,∴min 22)4(16t m m <+-, 而 -----------------------10分即 ∴223223+<<-m .∴存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有·，且的取值范围． -----------------------12分21．解： {}0)13)(2(|<---=a x x x A -----------------------------------1分 ① 当，即时，，而，不满足题意，舍 ------3分②当，即时，{}132|+<<=a x x A∵∴当时，，满足题意 ---------------5分当时，{}12|2+<<=a x a x B∵∴解得 -------------------------8分③，即时{}213|<<+=x a x A∵∴ 解得 ------------------------—11分综上，的取值范围为{}1,31|-=≤≤a a a 或---------------------------12分22．解：（1）设，由对称性得将代入椭圆得222212212221211111)1(ab a x a x b a x y a x y a x y K K PB PA -=--=-=---⋅-=⋅ ------------2分又∴∴∴ ---------------------5分（2）椭圆方程可化为联立得222222221,21k a k y k a x +=+= ---------------------------------7分设O 为坐标原点，则同理可得222221)11(||kk a OC ++= ∴25223)252(2325236321)11(21)1(||242242242422222222++-++⨯=++++⨯=+++++=k k k k k a k k k k a kk a k k a AC 222234)52211(23a k k a ≥++-= -------------------------------10分当且仅当即时取等号，此时∴∴椭圆方程为 --------------------------------12分。

辽宁省实验中学等五校协作体高三数学上学期期中联考试题文(含解析)新人教A版

2014-2015学年度上学期省五校协作体高三期中考试数学（文）试题注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂在答题卡上．3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠把Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．【题文】第Ⅰ卷（选择题，共60分）【题文】一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【题文】1.已知集合A={x||x|<3}，B={x|y=lg(x-1)}，则集合A ∩B 为A ．[0,3)B ．[1,3)C ．(1,3)D ．(-3,1]【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】C 解析：A={x|-3<x<3},B={x|x>1}.所以A ∩B=(1,3)，故选C. 【思路点拨】化简集合A 、B ，然后由交集意义得A ∩B. 【题文】2.A ．y=cos(2x-2)B ．y=sin(2x+2)C ．y=sin(x+2)D ．y=cos(x-2)【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；诱导公式. B4 C2【答案】【解析】B 解析：因为y=sin(2x+2)=cos2x 是偶函数，且周期T= 22ππ=，故选B.【思路点拨】先用诱导公式化简函数解析式，再用弦周期公式2T πω=，求相应函数的周期.【题文】3.下列有关命题的说法正确的是A.命题x R, 均有x 2-x+1>0”的否定是：xR, 使得x 2-x+1<0”B.“x=3”是“2x 2-7x+3=0”成立的充分不必要条件C.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=对应的直线一定经过其样本数据点(x 1,y 1), (x 2,y 2),…，(x n ,y n )中的一个点D.若“p (q)”为真命题，则“p q ”也为真命题【知识点】命题真假的判定；充分条件；必要条件；含一个量词的命题的否定；.线性回归方程的性质. A2 A3 I4【答案】【解析】B 解析：命题x R, 均有x 2-x+1>0”的否定是：x R, 使得x 2-x+1≤0”故A 不正确；因为x=3时2x 2-7x+3=0成立，而2x 2-7x+3=0时x 不一定等于3，所以“x=3”是“2x 2-7x+3=0”成立的充分不必要条件是正确的.故选 B. 【思路点拨】依次分析各命题，直到得到正确命题为止.【题文】4.已知平面向量a →=(2m+1,3), b →=(2,m)，且a →与b →反向，则|b →|等于 A.1027 B. 52或2 2 C.52 D. 2 2【知识点】向量共线的意义；向量的运算. F1 F2【答案】【解析】D 解析：因为a →与b →反向，所以a →与b →共线，所以()21230m m +-⨯=22602m m m ⇒+-=⇒=-或32m =，当m=-2时a →=（-3,3），b →=（2，-2），a →与b →反向，此时|b →|=22；当32m = 时，a →=（4,3），b →=（2，32）a →与b →同向.故选D.【思路点拨】由a →与b →反向，得a →与b →共线，所以()21230m m +-⨯=，解得m 值后，代入向量a →、b →的坐标，分析a →与b →是否反向，得出使a →与b →反向得m 值后，再求|b →|. 【题文】5.设偶函数f(x)对任意x R 都有f(x+3)=-1f(x),且当x [-3,-2]时，f(x)=4x,则f(107.5)=A.10B.110C.-10D.-110【知识点】抽象函数的奇偶性；周期性. B4 【答案】【解析】B 解析：由f(x+3)=-1f(x) 1(6)()(3)f x f x f x ⇒+=-=+，所以函数f(x)的周期为6，又f(x)是偶函数，所以f(107.5)=f(617 5.5⨯+)=f(5.5)=-1(2.5)f()111( 2.5)4 2.510f =-=-=--.故选 B.【思路点拨】由f(x+3)=-1f(x)得函数的周期为6 ，所以f(107.5)=f(617 5.5⨯+)=f(5.5) =-1(2.5)f ，又函数f(x)是偶函数，所以f(107.5) ()111( 2.5)4 2.510f =-=-=--. 【题文】6.设l 为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥C ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若l α⊥,l β⊥,则//αβ【知识点】空间平行关系的判定与性质；空间垂直关系的判定与性质. G4 G5 【答案】【解析】D 解析：若//l α,//l β，则,A 不正确；若αβ⊥,//l α,则,,l l l ββ⊂与β相交都有可能,故B 不正确；若l α⊥,//l β,则αβ⊥，故C 不正确；只有D 正确.所以选 D.【思路点拨】根据空间平行关系得判定与性质，空间垂直关系得判定与性质依次分析各选项的正误即可.【题文】7.已知f(x)=sin(2014x+6)+cos(2014x-3)的最大值为A ，若存在实数x 1,x 2,使得对任意实数x 总有f(x 1)f(x)f(x 2)成立，则A|x 1-x 2|的最小值为（）A ．1007 B ．2014 C ．21007 D．21007【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的性质. C4【答案】【解析】A 解析：f(x)=sin(2014x+6)+cos(2014x-3)=2 sin(2014x+6)，所以A=2，周期T=1007π,而|x 1-x 2|的最小值为半周期，所以A|x 1-x 2|的最小值=T=1007π,故选A.【思路点拨】由诱导公式得f(x)= 2 sin(2014x+6),从而得A=2，周期T= 1007π，因为存在实数x 1,x 2,使得对任意实数x 总有f(x 1)f(x)f(x 2)成立，所以f(x 1)是函数的最小值，f(x 2)是函数的最大值，所以|x 1-x 2|的最小值为半周期，进而得A|x 1-x 2|的最小值. 【题文】8.已知向量a →=（2，1），a →·b →=10，|a →+b →|=52,则|b →|=A ．5B ．25C ． 5D ．10【知识点】向量数量积的坐标运算；向量模的坐标运算. F2 F3【答案】【解析】A 解析：设(,)b x y =，则()()222102150x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩解得：34x y =⎧⎨=⎩或50x y =⎧⎨=⎩，所以|b →|=5，故选A.【思路点拨】设(,)b x y =，根据题意得关于x 、y 的方程组，解得b 的坐标，从而求得b . 【题文】9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 A ．1 B ．23 C ．16 D ．13【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G2 G1【答案】【解析】D 解析：该几何体的直观图如下:因此该三棱锥的体积=111112323⨯⨯⨯⨯=. 故选D.【思路点拨】由几何体的三视图得该几何体的直观图，从而求得该三棱锥的体积. 【题文】10.已知数列{a n },定直线l:(m+3)x-(2m+4)y-m-9=0,若(n,a n )在直线l 上，则数列{a n }的前13项和为A ．10B ．21C ．39D ．78 【知识点】等差数列及其前n 项和. D2【答案】【解析】C 解析：因为(n,a n )在直线(m+3)x-(2m+4)y-m-9=0上，所以392424n m m a n m m ++=-++，即数列{a n }是等差数列, 所以131639(13)132242424m m S m m m ++=-+⨯-⨯+++=39.故选C.【思路点拨】由(n,a n )在一条直线上得数列{a n }是等差数列，然后由等差数列的前n 项和公式求解.【题文】11.已知{a n }为等差数列,0<d<1,a 5≠k 2,sin 2a 3+2sina 5cosa 5=sin 2a 7,S n 为数列{a n }的前n 项和，若S nS 10对一切nN *都成立，则首项a 1的取值范围是A ．[-98,-） B ．[-98,-] C ．（-54,-98） D ．[-54,-98]俯视图【知识点】等差数列的性质. D2【答案】【解析】D 解析：由sin 2a 3+2sina 5cosa 5=sin 2a 7,得3751cos 21cos 2sin 222a a a --+=()()537552sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22a a a a d a d ⇒=-=--+ 52sin 2sin 4a d =因为a 5≠k 2,所以sin4d=1，所以42,228k d k d k Z ππππ=+⇒=+∈，又因为0<d<1，所以8d π=. 因为S n S 10对一切nN *都成立，所以11101111990081001008a d a a a a d a ππ⎧+=+≤⎪≤⎧⎪⇒⎨⎨≥⎩⎪+=+≥⎪⎩119854a a ππ⎧≤-⎪⎪⇒⎨⎪≥-⎪⎩，即首项a 1的取值范围是[-54,-98].故选D. 【思路点拨】根据等差数列的性质和已知条件求得公差8d π=，再由S n S 10对一切n N*都成立，得关于首项a 1的不等式组求解.【题文】12.已知函数f(x)在[0,+∞)上可导，其导函数记作f (x)，f(0)=-2,且f(x+)=12f(x),当x[0,)时，f(x)·cos2x>f(x)·sin2x-f(x),若方程f(x)+k n secx=0在[0,+∞)上有n 个解，则数列{nk 2n}的前n 项和为 A.(n-1)·2n+1 B.(n-1)·2n+1+2 C.n ·2n-1D.(2n-1)·3n+14【知识点】函数性质及应用；导数的综合应用；数列求和. B1 B12 D4【答案】【解析】A 解析：由f(0)=-2,f(x+)=12f(x)得，f(π)=-1，f(2π)=- 12，f(3π)= - 14，11,()2n f n π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由当x [0,)时，f (x)·cos2x>f(x)·sin2x-f(x)得2()(cos 21)()sin 2()2cos ()2sin cos f x x f x x f x x f x x x ''+>⇒>cos [()cos ()sin ]0x f x x f x x '⇒-> cos [()cos ]0x f x x '⇒>所以(0,)2x π∈时，h(x)=f(x)cosx 是增函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，h(x)=f(x)cosx 是减函数.由于方程f(x)+k n secx=0在[0,+∞)上有n 个解，即()cos n k f x x =-在[0,+∞)上有n 个解，则()()()12310cos 02,cos 1,2cos 22k f k f k f ππππ=-==-=-=-=，，((1))cos(1)n k f n n ππ=---. 则有11221,22n n n nnk n k --⎛⎫=∴=⋅ ⎪⎝⎭. 令23112232422n S n -=+⋅+⋅+⋅++⋅，则2321222322n S n =⋅+⋅+⋅++⋅两式相减得23112122222212nn nn S n n ---=+++++-⋅=-⋅-则()121nS n =-⋅+.故选A.【思路点拨】由f(0)=-2,f(x+)=12f(x)得11()2n f n π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由当x [0,)时，f(x)·cos2x>f(x)·sin2x-f(x)得(0,)2x π∈时，h(x)=f(x)cosx 是增函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，h(x)=f(x)cosx 是减函数. 由于方程f(x)+k n secx=0在[0,+∞)上有n 个解，即()cos n k f x x =-在[0,+∞)上有n 个解.所以()()()12310cos 02,cos 1,2cos 22k f k f k f ππππ=-==-=-=-=，，((1))cos(1)n k f n n ππ=---.. 则有11221,22n n n nnk n k --⎛⎫=∴=⋅ ⎪⎝⎭.再用错位相减法求数列{nk 2n}的前n 项和. 【题文】第Ⅱ卷（非选择题，共90分）【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

辽宁省五校协作体高三数学上学期期中试卷文(含解析)

辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1]2．（5分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．y=cos（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=cos（x﹣）3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点D．若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题4．（5分）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，则||等于（）A．B．或2C．D．25．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f （x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知向量=（2，1），•=10，|+|=5，则||=（）A．5 B．25 C．D．9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1 B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}，定直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0，若（n，a n）在直线l 上，则数列{a n}的前13项和为（）A．10 B．21 C．39 D．7811．（5分）已知{a n}为等差数列，0＜d＜1，a5≠，sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥S10对一切n∈N*都成立，则首项a1的取值范围是（）A．[﹣π，﹣π）B．[﹣π，﹣π] C．（﹣π，﹣π）D．[﹣π，﹣π]12．（5分）已知函数f（x）在[0，+∞）上可导，其导函数记作f′（x），f（0）=﹣2，且f （x+π）=f（x），当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），若方程f （x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，则数列{}的前n项和为（）A．（n﹣1）•2n+1 B．（n﹣1）•2n+1+2 C．n•2n﹣1D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为．14．（5分）平面上三个向量，，，满足||=1，||=，||=1，•=0，则•的最大值是．15．（5分）在数列{a n}中，a1≠0，a n+1=a n，S n为{a n}的前n项和．记R n=，则数列{R n}的最大项为第项．16．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=．三、解答题：本大题共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，cosC=．（1）求sinA的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．19．（12分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，数列{b n}满足b1=4，b n+1=3b n﹣2；（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n log3（b2n﹣1﹣1），其前n项和为T n，求T n．21．（12分）设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，CD为△A BC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．辽宁省五校协作体2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1]考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：集合．分析：根据绝对值和对数函数求出集合A和B，然后由交集的定义求出结果．解答：解：∵|x|＜3∴﹣3＜x＜3故A=（﹣3，3）∵y=lg（x﹣1）∴x﹣1＞0，解得x＞1故B=（1，+∞）∴A∩B=（1，3）故选：C．点评：本题考查交集的定义的运算，是基础题．解题时要认真审题，注意含绝对值不等式和对数函数的性质的灵活运用．2．（5分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．y=cos（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=cos（x﹣）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用函数的周期性排除C，D，再利用诱导公式与函数的奇偶性可排除A，从而可得答案．解答：解：A：令g（x）=cos（2x﹣）=sin2x，则g（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣g（x），∴g（x）=cos（2x+）为奇函数，故可排除A；B：∵y=f（x）=sin（2x+）=cos2x，∴其周期T==π，f（﹣x）=cos（﹣2x）=cos2x=f（x），∴y=sin（2x+）是偶函数，∴y=sin（2x+）是周期为π的偶函数，故B正确；C：∵y=sin（x+）其周期T=2π，故可排除C；D：同理可得y=cos（x﹣）的周期为2π，故可排除D；故选：B．点评：本题考查正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性，考查诱导公式的应用，属于中档题．3．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点D．若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题考点：命题的真假判断与应用；特称命题；命题的否定．分析：利用全称命题与特称命题的否定关系判断A的正误；充要条件判断B的正误；回归直线方程判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；解答：解：对于A，命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”，不满足命题的否定形式，所以A不正确．对于B，“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件，正确，前者推出后者，后者不能说明前者一定成立，所以B正确；对于C，线性回归方程=x+对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点，显然不正确，一定经过样本中心，所以C不正确；对于D，若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题，不正确，所以D不正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及全称命题特称命题的否定关系，回归直线方程的应用，基本知识的考查．4．（5分）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，则||等于（）A．B．或2C．D．2考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，平面向量、共线且反向，求m的值，即可得出||．解答：解：∵平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且与反向，∴m（2m+1）﹣3×2=0，解得m=﹣2，或m=；验证m=时不满足题意，∴=（2，﹣2）；∴||==2．故选：D．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用平面向量的坐标表示求向量共线问题，是基础题．5．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣考点：函数的周期性．专题：计算题．分析：先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f（107.5）=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣以及偶函数f（x）和x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x即可求得f（107.5）的值．解答：解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B点评：本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中有f（x+3）=﹣的关系式．在解题过程中，条件f（x+a）=﹣通常是告诉我们函数的周期为2a．6．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；若l⊥α，l⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．（5分）已知f（x）=sin+cos的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f （x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角恒等变换可得f（x）=2sin，依题意可知A=2，|x1﹣x2|的最小值为T=，从而可得答案．解答：解：∵f（x）=sin+cos=sin2014x+cos2014x+cos2014x+sin2014x=sin2014x+cos2014x=2sin，∴A=f（x）max=2，周期T==，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=﹣2，|x1﹣x2|的最小值为T=，又A=2，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：A．点评：本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．8．（5分）已知向量=（2，1），•=10，|+|=5，则||=（）A．5 B．25 C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的数量积的运算，结合题意，求出的模长．解答：解：∵向量=（2，1），•=10，|+|=5，∴||==，∴=+2•+=+2×10+=；解得=25，∴||=5．故选：A．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积，求向量的模长，是基础题．9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1 B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积和高，进而可得该几何体的体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面的两条直角边均为1，底面面积S=×1×1=，高h=2，故棱锥的体积V=Sh=，故选：D点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．10．（5分）已知数列{a n}，定直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0，若（n，a n）在直线l 上，则数列{a n}的前13项和为（）A．10 B．21 C．39 D．78考点：数列与解析几何的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由点（n，a n）（n∈N*）在直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0上，可得a n=n﹣，即可得到数列{a n}的前13项和．解答：解：∵点（n，a n）（n∈N*）在直线l：（m+3）x﹣（2m+4）y﹣m﹣9=0上，∴（m+3）n﹣（2m+4）a n﹣m﹣9=0，∴a n=n﹣．∴数列{a n}的前13项和S13==39．故选C．点评：本题考查数列与解析几何的综合，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．11．（5分）已知{a n}为等差数列，0＜d＜1，a5≠，sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥S10对一切n∈N*都成立，则首项a1的取值范围是（）A．[﹣π，﹣π）B．[﹣π，﹣π] C．（﹣π，﹣π）D．[﹣π，﹣π]考点：数列与三角函数的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：先确定d=，可得S n=，对称轴n=，利用S n≥S10对一切n∈N*都成立，可得9.5≤≤10.5，即可求出首项a1的取值范围．解答：解：∵sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7，∴2sina5cosa5=2sin cos•2cos sin，∴sin4d=1，∴d=，∴S n=．对称轴n=．∵S n≥S10对一切n∈N*都成立，∴9.5≤≤10.5，∴﹣π≤a1≤﹣．故选：D．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式和配方法、二次函数的单调性是解题的关键．12．（5分）已知函数f（x）在[0，+∞）上可导，其导函数记作f′（x），f（0）=﹣2，且f （x+π）=f（x），当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），若方程f （x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，则数列{}的前n项和为（）A．（n﹣1）•2n+1 B．（n﹣1）•2n+1+2 C．n•2n﹣1D．考点：数列的求和．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：由于f（0）=﹣2，且f（x+π）=f（x），则f（π）=f（0）=﹣1，f（2π）==﹣，f（3π）=﹣，…，f（nπ）=﹣（）n﹣1．再由导数的积的运算法则和二倍角公式，得到f（x）cosx的单调性和极值，由条件可得，k n=﹣f（x）cosx在[0，+∞）上有n个解，k1=﹣f（0）cos0=2，k2=﹣f（π）cosπ=﹣1，…，k n=﹣f（（n﹣1）π）cos（n﹣1）π，则有k2n=（）n﹣1，即有=n•2n ﹣1，再运用错位相减法，即可得到前n项和．解答：解：由于f（0）=﹣2，且f（x+π）=f（x），则f（π）=f（0）=﹣1，f（2π）==﹣，f（3π）=﹣，…，f（nπ）=﹣（）n﹣1．由于当x∈[0，π）时，f′（x）•cos2x＞f（x）•sin2x﹣f′（x），则有f′（x）（1+cos2x）﹣f（x）sin2x＞0，即有2cosx（f′（x）cosx﹣f（x）sinx）＞0，则2cosx•（f（x）cosx）′＞0，则有cosx＞0，（f（x）cosx）′＞0，f（x）cosx在（0，）递增，cosx＜0，（f（x）cosx）′＜0，f（x）cosx在（，π）递减，由于方程f（x）+k n secx=0在[0，+∞）上有n个解，即有k n=﹣f（x）cosx在[0，+∞）上有n个解，则k1=﹣f（0）cos0=2，k2=﹣f（π）cosπ=﹣1，k3=﹣f（2π）cos2π=，k4=﹣f（3π）cos3π=﹣，…，k n=﹣f（（n﹣1）π）cos（n﹣1）π，则有k2n=（）n﹣1，即有=n•2n﹣1，令S=1+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，则2S=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，两式相减得，﹣S=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n则S=（n﹣1）•2n+1．故选A．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查函数的零点问题，考查等比数列的通项和求和公式，考查错位相减法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为2．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．14．（5分）平面上三个向量，，，满足||=1，||=，||=1，•=0，则•的最大值是3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于满足||=1，||=，||=1，•=0，建立如图所示的直角坐标系，可得A（1，0），B（0，），可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．再利用向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性即可得出．解答：解：∵满足||=1，||=，||=1，•=0，如图所示，∴A（1，0），B（0，），可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．∴=（1﹣cosθ，﹣sinθ），=（﹣cosθ，﹣sinθ），∴•=﹣cosθ（1﹣cosθ）﹣sinθ（）=﹣cosθ﹣+1=﹣2sin （）+1≤3，当且仅当θ=时取等号．∴•最大值是3．故答案为：3．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性，属于中档题．15．（5分）在数列{a n}中，a1≠0，a n+1=a n，S n为{a n}的前n项和．记R n=，则数列{R n}的最大项为第4项．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得R n=，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a1≠0，a n+1=a n，∴=，．S n=，S2n=．∴R n===≤，比较R3，R4，R5可得当n=4时，R n取得最大值．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．16．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=﹣4028．考点：函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：本题可先研究函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2014，f（0）=﹣2014，取y=﹣x，得到：f（0）=f（x）+f（﹣x）+2014，∴f（x）+f（﹣x）=﹣4028．记h（x）=f（x）+2014x2013+2014，则h（﹣x）+h（x）=[f（﹣x）+2014（﹣x）2013+2014]+f（x）+2014x2013+2014=f（x）+f（﹣x）+2014x2013﹣2014x2013+4028=f（x）+f（﹣x）+4028=0，∴y=h（x）为奇函数．记h（x）的最大值为A，则最小值为﹣A．∴﹣A≤f（x）+2014x2013+2014≤A，∴﹣A﹣2014≤f（x）+2014x2013≤A﹣2014，∵g（x）=f（x）+2014x2013，∴∴﹣A﹣2014≤g（x）≤A﹣2014，∵函数g（x）有最大值M和最小值m，∴M=A﹣2014，m=﹣A﹣2014，∴M+m=A﹣2014+（﹣A﹣2014）=﹣4028．故答案为：﹣4028．点评：本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，本题难度适中，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，cosC=．（1）求sinA的值；（2）求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据正弦定理即可求sinA的值；（2）根据余弦定理和是三角形的面积公式即可求△ABC的面积．解答：解：（1）∵cosC=，∴sinC=，∵，∴，即．（2）∵c2=a2+b2﹣2abcos⁡C，∴，即2b2﹣3b﹣2=0，解得b=2，∴三角形的面积S=．点评：本题主要考查三角形的面积公式的计算以及正弦定理和余弦定理的应用，涉及的公式较多．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）首先，得到BD⊥AC，然后，得到A1O⊥BD，最后，得到BD⊥面A1AC即可；（2）首先，得到A1B1∥AB AB∥CD，然后，得到四边形A1B1CD是平行四边形，从而得到证明结论；（3）直接根据体积公式进行求解即可．解答：解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴AA1⊥BD．（2）∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵A1O⊥面ABCD，∴A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴A1O=，∴V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．点评：本题考查了空间中点线面的位置关系，例如直线与平面平行、垂直，平面和平面平行等知识，属于中档题．19．（12分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和即可求解解答：解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，数列{b n}满足b1=4，b n+1=3b n﹣2；（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n log3（b2n﹣1﹣1），其前n项和为T n，求T n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据递推公式分别求出{a n}和{b n}的通项公式；（2）由错位相减求和法求出数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（1）①当n=1时，a1+S1=1∴a1=②当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1）=a n﹣1﹣a n，∴a n=a n﹣1∴数列{a n}是以a1=为首项，公比为的等比数列；∴a n=•（）n﹣1=（）n∵b n+1=3b n﹣2∴b n+1﹣1=3（b n﹣1）又∵b1﹣1=3∴{b n﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列∴b n﹣1=3n、∴b n=3n+1（2）∵c n=（）n•log332n﹣1=（2n﹣1）•（）n∴S n=1×+3×（）2+5×（）3+…+（2n﹣3）•（）n﹣1+（2n﹣1）•（）n∴S n=1×（）2+3×（）3+5×（）4+…+（2n﹣3）•（）n+（2n﹣1）•（）n+1∴（1﹣）S n=1×+2[（）2+（）3+…+（）n﹣1+（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1=﹣4×（）n+1﹣（2n﹣1）•（）n+1=﹣（2n+3）（）n+1∴S n=3﹣点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列求和，解题时要注意公式的灵活运用，特别是错位相减求和法的合理运用．21．（12分）设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）由题意h（x）=xlnx﹣x2+1，二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的单调区间；（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），对其二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的最值，将恒成立问题化为最值问题，从而求解．解答：解：（1）h（x）=xlnx﹣x2+1h′（x）=lnx+1﹣2x令t（x）=lnx+1﹣2x t′（x）=﹣2=∴t（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴t（x）≤t（）=﹣ln2＜0，即h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减．（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），则F′（x）=lnx+1﹣2mx，令G（x）=lnx+1﹣2mx，则G′（x）=﹣2m，①当m≥时，∵x≥1，∴≤1，∴﹣2m≤0，即G′（x）≤0；∴G（x）在[1，+∞）上单调递减，∴G（x）≤G（1）=1﹣2m≤0，即F′（x）≤0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴F（x）≤F（1）=0，∴f（x）﹣mg（x）≤0，∴m≥符合题意；②当m≤0时，显然有F′（x）=lnx+1﹣2mx≥0，∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴F（x）＞F（1）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；③当0＜m＜时，令G′（x）=﹣2m＞0解得：1＜x＜，G′（x）=﹣2m＜0解得：x＞；∴G（x）在[1，]上单调递增，∴G（x）≥G（1）=1﹣2m＞0，即F′（x）＞0；∴F（x）在[1，]上单调递增；∴当x∈（0，）时，F（x）＞F（0）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；综合①②③可知，m≥符合题意，∴m的取值范围是[，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用，难在二阶求导以判断函数的单调性与最值，同时考查了恒成立问题化成最值问题的处理方法，属于难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（I）由已知与圆的切线的性质可得△CDB∽△AEF，∠DBC=∠EFA．利用B，E，F，C 四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，∠EFA=∠CFE=90°，即可证明．（II）连接CE，由于∠CBE=90°，可得过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，可得CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，即可得出．解答：（I）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠BCD=∠A，由题设知：=，故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．∵B，E，F，C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．（2）解：连接CE，∵∠CBE=90°，∴过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为．点评：本题考查了圆的切线的性质、四点共圆的性质、勾股定理、圆的面积与三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．解答：解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．专题：计算题；压轴题．分析：（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．解答：解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

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辽宁省五校协作体2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“任意x R ∈,都有012>++x x ”的否定为( )A ．对任意x R ∈,都有012≤++x xB ．不存在x R ∈,都有012≤++x xC ．存在x R ∈,使得012>++x xD ．存在x R ∈,使得012≤++x x2. 某高级中学有高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从高三年级学生中抽取的人数是( )A ．40B ．30C ．20D ．103. 原命题：“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >则a b >”和它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题共有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ． 0个4. 执行下边的程序框图,若0.8p =,则输出的n =( )A ．5B ．2C ．3D ．45. 若动点),(y x M 到点)0,4(F 的距离等于它到直线04=+x 距离，则M 点的轨迹方程是( )A ．04=+xB ．04=-xC ．28y x =D ．216y x =6.函数3()1f x x ax =-+在区间),2[+∞内是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A. 12a ≤ B. 12a < C. 12a ≥ D. 12a >7. 与椭圆 2216x y +=共焦点,且渐近线为2y x =±的双曲线方程是 ( )A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2214x y -= D ．2214y x -= 8. 已知a R ∈,则“22a a >”是“2a >”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，若5AB =，则12||||AF BF -=( )A.3B.8C.13D.1610.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果21x x +=6，那么AB ＝( )A. 10B. 9C. 8D. 611. 已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点,若ABE ∆是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )A ．),1(+∞B ．)2,1(C ．)21,1(+D ．)21,2(+12. 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为( )A ．3B ．3C ．512 D ． 1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =,则抛物线方程为__________.14. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥+-03005x y x y x ,则目标函数x y z -=2的最小值为________.15. 已知命题:p “0],2,1[2≥-∈∀a x x ”,命题:q “022,2=-++∈∃a ax x R x 使”,若命题“q p ∧”是真命题,则实数a 的取值范围是__________________ . 16. 与圆()221:31C x y ++=，圆()222:39C x y -+=同时外切的动圆圆心的轨迹方程是__________________________.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）设命题p 实数x 满足0)3)((<--a x a x ,其中0a >, 命题:q 实数x 满足023≤--x x . (1)若1,a =且q p ∨为假,求实数x 的取值范围; (2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为a 、b 、c ，ABC ∆的外接圆半径且满足bca B C -=2cos cos .(1)求角B 的大小；(2)求ABC ∆的面积的最大值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 22-=.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=(1)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程； (2)讨论函数)(x f 的单调性与极值．21.（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为12,其右焦点到点)1,3(-P的距离为17.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点(A B ，不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点.求证直线l 过定点,并求出该定点的坐标.22.（本小题满分12分）设()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--． (1)当]2,0[∈x 时，求)(x g 的最大值和最小值；(2)如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．2014——2015学年度上学期省五校协作体高二期中考试数学（文科）参考答案一、选择题二、填空题13、x y 82-= 14、—9 15、}12|{=-≤a a a 或 16、()22108y x x -=< 三、解答题17、解：（1）由0)3)((<--a x a x ，0>a 得a x a 3<<当1=a 时，31<<x ，即p 为真时，实数x 的取值范围是31<<x …… 1分由023≤--x x ，得32≤<x ，即q 为真时，实数x 的取值范围是32≤<x ……3分若q p ∨为假，则p 假，q 假，所以⎩⎨⎧>≤≥≤3231x x x x 或或，…………… 4分所以实数x 的取值范围是：31>≤x x 或.…………… 5分（2） p 是q 的必要不充分条件，q p p q /,⇒⇒∴设集合}3|{},32|{a x a x B x x A <<=≤<=，则B A ≠⊂…………… 6分⎪⎩⎪⎨⎧>≤>∴3320a a a ，…………… 8分解得，21≤<a因此，实数a 的取值范围是21≤<a .…………… 10分 18、解：（1）：由正弦定理得：BCA B C sin sin sin 2cos cos -=B AC B C B cos sin 2sin cos cos sin =+∴B AC B cos sin 2)sin(=+∴B A A cos sin 2sin =∴ 21cos 0sin =∴≠B A …………… 4分 30ππ=∴<<B B ……………6分：由余弦定理得：b ca b c a ac ab c b a -=-+⋅-+222222222ac b c a =-+∴222212222=-+∴ac b c a 21cos =∴B ………… 4分 30ππ=∴<<B B ………… 6分（2）：B ac ac B ac c a b cos 22cos 2222-≥-+= ………… 8分921229cos 222=⨯-=-≤∴Bb ac ………… 10分.43923921sin 21=⨯⨯≤=∴∆B ac S ABC ………… 12分：C B A R B ac S ABC sin sin sin )2(21sin 212⋅⋅⋅⋅==∆ 433)62sin(233)32sin(sin 33+-=-=ππA A A ……… 8分ππππ67626320<-<-∴<<A A1)62sin(21≤-<-∴πA ……… 10分.439,31)62sin(max ===-∴∆ABC S A A 时即当ππ……… 12分 19、解：（1）当1=n 时，12111-=-==S a ………… 2分当2≥n 时，32)]1(2)1[(2221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n (4)分又31211-⨯=-=a 也符合上式，………… 5分因此，32-=n a n ………… 6分（2）nn n b 332-=n n n n n T 31)32(31)52(313311311132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-=- ……………. ③143231)32(31)52(31331131131+⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-=n n n n n T ……… ④③-④得13231)32()313131(23132+⨯--++++-=n n n n T …………………… 9分整理得 n n nT 3-=…………………… 12分20、解：（1）2a =时，()2ln f x x x =-，2()1f x x'=-， ∴(1)1k f '==-， (2)分又(1)1f =，故切线方程为：11(1)y x -=--即2y x =-+.…… 4分（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，xax x a x f -=-='1)( …… 6分 ① 当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；…… 9分 ② 当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，()ln f f a a a a ==-极小，无极大值. …… 12分21、解 (1)由题12c e a ==;① 右焦点)0,(c 到点)1,3(-P 的距离为171)3(22=++c . ② 由①②可解得222431a b c ===，，. ………2分∴所求椭圆C 的方程为22+143x y = ………4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=,22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->,22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++ ………6分22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的左顶点)0,2(-D ，因此0=⋅ 即0)2)(2(2121=+++y y x x ，展开得04)(2212121=++++y y x x x x043)4(34431643)3(4222222=+-+++-+-k k m k mk k m0416722=+-k mk m ………9分解得 k m 2=或72k m =，且满足22340k m +->………10分当k m 2=时，)2(:+=x k y l ，直线过定点)0,2(-，与已知矛盾；………11分当72k m =时，)72(:+=x k y l ，直线过定点)0,72(-. 综上可知,直线l 过定点,定点坐标为)0,72(-.………12分22、解：(1) 对于函数32()3g x x x =--， ]2,0[∈x 22'()323()3g x x x x x =-=-，令0)(='x g ，得0=x 或32=x ………2分当x 变化时，)(),(x g x g '变化情况如下表：由上表可知： min max()(),()(2)1327g x g g x g ==-==，………6分（2）由（1）知，在区间1[,2]2上，()g x 的最大值为(2)1g =.因此，原问题等价于当1[,2]2x ∈时，()ln 1af x x x x=+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立，记2()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =………8分记()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，由于1[,2]2x ∈，'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2上递减，当1[,1)2x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <，即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增，在区间(1,2]上递减，所以max ()(1)1h x h ==，………10分所以1a ≥. 12分。

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