高二数学椭圆定义(201911)
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是在平面上的一个几何图形，它的形状类似于一个椭圆形的椭圆。
椭圆由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。
椭圆的定义可以通过以下方式来描述：给定两个不重合的点F1和F2，以及一个正常数a，椭圆是平面上到这两个点F1和F2的距离之和等于2a的所有点P的集合。
椭圆有许多有趣的性质。
首先，椭圆是一个闭合图形，它的形状在两个焦点F1和F2之间变化。
其次，椭圆的中点O是焦点F1和F2之间的中点，并且椭圆的长轴是连接这两个焦点的线段。
长轴的长度为2a，其中a为椭圆的半长径。
椭圆的短轴是与长轴垂直且通过中点O的线段，其长度为2b，其中b为椭圆的半短径。
椭圆的长轴和短轴之间的关系可以通过以下公式表示：长轴的长度的平方等于短轴的长度的平方加上焦距的长度的平方。
椭圆的形状也可以由离心率来描述。
离心率是一个衡量椭圆形状的参数，表示焦点之间的距离与半长径之间的比值。
离心率小于1的椭圆形状更加圆形，而离心率等于1的椭圆是一个特殊的圆，离心率大于1的椭圆形状更加扁平。
除了这些基本的定义和性质之外，椭圆还有许多其他的性质。
例如，椭圆上的任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这被称为椭圆的焦点性质。
椭圆还具有对称性，即关于长轴和短轴都有对称性。
椭圆还可以通过旋转的方式来得到新的椭圆，这被称为椭圆的旋转性质。
总结起来，椭圆是平面上的一个几何图形，由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。
椭圆具有闭合性、中点、长轴和短轴、离心率等基本性质。
此外，椭圆还有焦点性质、对称性和旋转性质等其他有趣的性质。
通过研究椭圆的定义和性质，我们可以更深入地理解和应用椭圆在数学和物理等领域中的重要性。
椭圆的定义及简单几何性质
椭 圆一、知识精析与点拨 （一）椭圆的定义1、第一定义：平面上，与两个定点F 1、F 2距离之和为常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹称为椭圆。
两个定点F 1、F 2称为椭圆的焦点，两个焦点间的距离称为焦距。
2、第二定义：平面上到一个定点F （c ，0）的距离与到一定直线L ：x= a 2c 的距离之比为常数e ＝ca （0<e<1）的点的轨迹称为椭圆。
定点F 叫做椭圆的焦点，定直线L 叫做椭圆对应于焦点F 的准线。
（三）椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=ca 22，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1 （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（四）点、直线与椭圆的位置关系1、点P （x 0，y 0）和椭圆22a x ＋22by =1（a >b >0）的关系（1）点P 在椭圆内（含焦点）⇔220a x ＋220b y <1； （2）点P 在椭圆上⇔220a x ＋220by =1；（3）点P 在椭圆外⇔220a x ＋220by >1（其中a >b >0）2、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系也可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程，考虑该方程的判别式，则有：（1）△>0⇔直线与椭圆相交于两点；①设AB 为椭圆22a x ＋22by =1的弦，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦中点M （x 0，y 0），则弦长|AB|=212212)()(y y x x -+-=|x 2－x 1|²1＋k AB 2=|y 2－y 1|²1＋ 1k AB2 (k AB ≠0)；(其中k AB =1212x x y y --=－0202y a x b ；|x 2－x 1|=212124)(x x x x -+;|y 2－y 1|=212124)(y y y y -+)直线AB 的方程为y －y 0=－0202y a x b (x －x 0) ；线段AB 的垂直平分线方程为y －y 0=0202x b y a (x －x 0)；②焦点弦：AB 为椭圆22a x ＋22by =1的焦点弦的长|AB|左=e （x 1＋x 2）＋2a （或|AB|右=2a －e （x 1＋x 2），通径长为2b 2a（其中a >b >0）（2）△=0⇔直线与椭圆相切；①设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22b y =1上的点，则以M 为切点的切线方程为20a x x ＋20b y y =1；②设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22by =1外的点，则过M 引椭圆的切线，切点弦所在直线的方程为20a x x ＋20b yy =1（其中a >b >0） ③椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=。
椭圆定义及标准方程
椭圆定义及标准方程椭圆是平面上的一个几何图形，具有许多独特的性质和特点。
在数学和几何学中，椭圆是一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆的定义及其标准方程，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2被称为焦点，常数2a被称为椭圆的主轴长度。
椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度之比，即e=c/a，其中c为焦距。
当e小于1时，椭圆是一个闭合曲线，当e等于1时，椭圆是一个半开曲线，当e大于1时，椭圆是一个开曲线。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
根据椭圆的定义，我们可以得出椭圆的标准方程的几何意义，在椭圆上任意一点P(x, y)，到两个焦点的距离之和等于常数2a。
根据勾股定理，我们可以得出x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1这一标准方程。
除了标准方程外，椭圆还有其他一些常见的方程形式，如参数方程和极坐标方程。
参数方程可以表示为x = acosθ，y = bsinθ，其中θ为参数，a和b同样为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
极坐标方程可以表示为r = a(1ecosθ)，其中r为极径，θ为极角，e为离心率。
在实际应用中，椭圆有着广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道往往是椭圆形的；在工程学中，椭圆的性质被广泛应用于光学、天线设计等领域；在艺术和建筑中，椭圆的形状被广泛运用于设计中。
因此，掌握椭圆的定义及其标准方程对于理解和应用这一概念都具有重要意义。
总之，椭圆是一个重要的几何图形，具有许多独特的性质和特点。
通过了解椭圆的定义及其标准方程，我们可以更好地理解和应用这一概念。
希望本文能够帮助读者对椭圆有一个更清晰的认识，并在相关领域的学习和工作中有所帮助。
椭圆定义及其标准方程
焦点性质
总结词
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，且与椭圆中心距离等于长轴长度减去短轴长度。
详细描述
对于标准椭圆方程，其长轴和短轴长度分别为a和b，焦距为c，满足关系c = sqrt(a^2 - b^2)。椭圆的两个焦点 位于长轴的端点，与椭圆中心的距离等于c。
顶点性质
总结词
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点，分别有四个顶点，分布在椭圆的四个象限内。
性质
椭圆具有对称性，关于x 轴、y轴和原点都是对称 的。
应用
在平面几何中，椭圆常用 于解决与圆、直线、三角 形等图形相关的问题。
在解析几何中的应用
定义
在解析几何中，椭圆用直角坐标方程表示为 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
性质
解析几何中的椭圆具有明确的参数关系，可以通过参数方程进行描 述。
详细描述
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点。由于椭圆关于原点对称，因此有四个顶点，分 布在椭圆的四个象限内。这些顶点分别是长轴和短轴与椭圆的交点，对于标准椭圆方程，
长轴和短轴的长度分别为a和b。
04
椭圆的几何意义
在平面几何中的应用
01
02
03
定义
椭圆是平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的 轨迹。
椭圆的切线性质
切线与焦点
通过椭圆上任意一点的切 线与两个焦点形成的角是 直角。
切线长度
切线长度等于椭圆上该点 到最近焦点的距离。
切线性质定理
切线与通过切点的长轴或 短轴垂直。
椭圆的参数方程
参数方程定义
椭圆的参数方程是一种 表示椭圆上点的坐标的 方式，通常使用三角函 数来表示。
高二数学椭圆的定义和标准方程
所以焦点在X轴上，c=3
F1
O
F2
X
2a 10 a5
x2 y2 1 ( a b 0) 2 2 a b
c a b
2 2 2 2
2
b a c 5 3 16
2 2 2
故所求椭圆的标准方程为：
x2 y2 1 25 16
3.已知椭圆上某点到两定点的距离之和为6， 两个定点之间的距离为 2 5 ，求椭圆的标 准方程。
2 2 2 2 2 2 2
| F1F2|=2c (c>0)
常数=2a (a>0)
a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y
(a 2 -c2 )x 2 +a 2 y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b a c
2 2 2
(b>0)
a>c
b2 x 2 +a 2 y2 =a 2b2
x y 25 9
2
F1
o
F2
2a 2 c 2
X
1
a 25 a 5 2a 10
2
c 2 a 2 b2 25 9 16 c4 2c 8
长 =10+8=18 所以PF 1F 2的周
已知椭圆 的正半轴分别交于A、B两点，左焦点 ABF1 为F1，求 的面积？ Y
焦点在X轴的椭圆的标准方程：
焦点在Y轴的椭圆的标准方程：
x y ( a b 0) 1 2 2 a b
F 1 ( c,0), F 2 (c,0)
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
(a b 0)
椭圆知识点总结
椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b ac -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
椭圆的三个定义
目 录
• 椭圆的基本定义与性质 • 椭圆的标准方程与图形特征 • 椭圆的焦点性质与应用 • 椭圆切线性质及判定方法 • 椭圆在几何学和物理学中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
椭圆的基本定义与
01
性质
定义一：基于两点距离之和
椭圆是由在平面内满足“从两个定点 F1和F2出发的线段长度之和等于常数 （且大于两定点之间的距离）的所有 点”组成的集合。
在物理学中的应用举例
01
在物理学中，椭圆的应用也非常广泛。例如，在经典力学中，椭 圆轨道是天体运动的基本形式之一。根据开普勒定律，行星绕太 阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。这一发现为 牛顿万有引力定律的提出奠定了基础。
02
在波动理论中，椭圆的形状可以用来描述波的振动形态。 例如，在电磁波中，电场和磁场的振动形态可以用椭圆偏 振来描述。此外，在声波、水波等波动现象中，也可以观 察到类似椭圆的振动形态。
双曲线和椭圆都是二次曲线的一种， 它们之间有着密切的联系。在某些特 定的条件下，双曲线可以转化为椭圆 。例如，当双曲线的离心率等于1时 ，双曲线就变成了抛物线；当离心率 小于1时，双曲线就变成了椭圆。因 此，双曲线和椭圆在某些方面具有相 似的性质。
椭圆与抛物线的关系
抛物线和椭圆都是平面上的光滑曲线 ，它们之间也有着一定的联系。在某 些特定的条件下，抛物线可以转化为 椭圆。例如，当抛物线的焦点到准线 的距离等于抛物线的半长轴时，抛物 线就变成了椭圆。因此，抛物线和椭 圆在某些方面也具有相似的性质。
总结回顾与拓展延
06
伸
关键知识点总结回顾
椭圆的第一定义
平面内与两定点$F_1, F_2$的距离之和等于常数$2a$（$2a > |F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11P F e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y ab+=；若焦点在y 轴上，则为22221y x ab+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质知识要点：1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
椭圆的定义
标准方程
y
如果两定点 F1 、F2 在 y轴上，我们以 F1F2的垂直平分线为x轴，则两定点F1 、
F1
M
X
F2 的坐标是F1（0,c ）、 F2（0,-c ）,此 种情况下的椭圆和焦点在x轴上的椭圆关于直
O
线y=x 对称。所以把
x y 1 2 2 a b
2
2
2
F2
中的两个变量调换即是第二中情况下的椭圆
椭圆的定义及标准方程
圆锥曲线
认识椭圆
数学实验
形成定义
椭圆定义： P 平面内到两个定点的距离 之和是常数2a（大于两定点间 的距离F1F2）的点的轨迹叫椭 圆。
两个定点F1、F2叫做椭圆的焦 点，两个焦点方程 y M
根据求曲线方程的步骤来求椭圆的标准方程
y x 1 标准方程，即 2 2 a b
2
知识巩固
例 求适合条件的椭圆方程：两个焦点的坐标分别是（-4，0）（4，0），
椭圆上一点到两个焦点的距离的和等于10.
解： 由题意知 c=4 , 2a=10 所以椭圆的标准方程为 25 16 1
x
2
y
2
课后拓展
Thank You
第一步：设动点 M的坐标为（x,y ）； 第二步：动点M（x,y ）满足的条件等式： |MF1|+|MF2|=2a
第三步：变条件等式为坐标等式：
(x c ) (y 0)
2 2
F1
O
F2
X
x
c y 0 2a
2 2
化简整理结果
2 2
：
x y 1 2 2 a b
高中数学---椭圆知识点小结
高二数学椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程 c a x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=4、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆第一二三定义
椭圆第一二三定义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是一种特殊的几何形状，在数学中具有重要的应用价值。
在几何学中，椭圆是一个平面上所有点的集合，这些点到两个给定点的距离之和是一个常数。
在本文中，我们将深入探讨椭圆的定义、性质和应用。
一、椭圆的第一定义椭圆是一个平面上的点集，其定义是所有到两个固定点之和等于常数的所有点的集合。
这两个固定点被称为椭圆的焦点，常数之和称为椭圆的主轴。
椭圆的形状是一个拉长的圆形，其外形类似于椭球体。
在数学中，椭圆可以通过许多方法来定义，比如第二种定义是：椭圆是一个平面上距离给定点的距离之和等于给定常数的点的集合。
第三种定义是：椭圆是一个平面上满足特定方程的点的集合。
椭圆的第二定义是椭圆的一个重要性质，它使得我们能够用数学方法来描述椭圆的形状和性质。
这个定义在几何学和物理学中都具有重要的应用价值，可以帮助我们理解天体运动和粒子运动等现象。
椭圆的第三定义是椭圆是一个平面上满足特定方程的点的集合。
这个方程通常用标准梯度方程表示，形式为：(x-h)^2/a^2 +(y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心点，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
根据这个方程，我们可以确定椭圆的中心点、焦点和主轴等重要参数，从而进一步分析椭圆的形状和特性。
椭圆的第三定义是一种数学工具，可以帮助我们解决实际问题中涉及椭圆的计算和分析。
椭圆是一个重要的几何形状，在数学中具有广泛的应用价值。
通过深入研究椭圆的定义、性质和应用，我们可以更好地理解椭圆的形状和特性，从而应用在各种实际问题中。
希望本文能够帮助读者更深入地了解椭圆，并进一步挖掘椭圆的数学奥秘。
第二篇示例：椭圆是一种非常常见的几何形状，它在数学和几何中具有重要的意义。
椭圆的定义有多种方法，其中比较常见的有三种。
第一种定义是基于焦点和两点之间的距离之和等于常数的椭圆。
在平面几何中，椭圆是一个点集，其到两个给定焦点的距离之和等于常数的所有点的集合。
高二数学椭圆知识点整理
一、椭圆的定义：(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.说明：两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2.(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当10<<e 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.二、椭圆的数学表达式：()0222121>>=+F F a a PF PF ;(){}.02,22121>>=+=F F a a PF PF P M 三、椭圆的标准方程：焦点在x 轴: ()012222>>=+b a by a x ； 焦点在y 轴: ()012222>>=+b a bx a y . 说明：a 是长半轴长，b 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足.222c b a +=四、二元二次方程表示椭圆的充要条件方程()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件： 上式化为122=+CBy C Ax ，122=+BC y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BC A C <时，椭圆的焦点在y 轴上.五、椭圆的几何性质（以()012222>>=+b a by a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,12222≤≤by a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.5.离心率（1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆.6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为ab 22. 7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.例题选讲一、选择题1．椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）A ．23 B ．43 C ．22 D ．32 2．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ）A ． 4B ．5C ． 8D ．10 3．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21， 则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ．2 3B ．6C ．4 3D ．125．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）A ．51B ．52C ．55D ．552 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．32B ．33C ．22D ．23 7．已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．23B ．62C ．72D ．24二、填空题：8． 在ABC △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin sin sin A C B += . 11．椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．三、解答题12．已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．13．已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆 的标准方程．14．已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．15．已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．16. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
椭圆知识点梳理总结高中
椭圆知识点梳理总结高中椭圆是一个非常重要的数学概念，它在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
椭圆的性质和应用涉及到许多重要的知识点，掌握这些知识点对于提高数学水平和解决实际问题都是非常有益的。
本文将对椭圆的基本概念、性质和应用进行梳理总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用椭圆的知识。
一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和为常数2a的点P的轨迹。
称为椭圆，其中a是椭圆的半长轴的长度。
1.2 椭圆的几何特征椭圆的轨迹是一个闭合的曲线，且是对称的。
它的长轴与短轴之间的长度差异是2a，短轴的长度是2b。
1.3 椭圆的标准方程椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。
1.4 椭圆的离心率椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是椭圆的焦点距离，a是椭圆的半长轴长度。
1.5 椭圆的参数方程椭圆的参数方程是x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ，其中θ是参数，范围在[0,2π]。
二、椭圆的性质2.1 椭圆的焦点性质椭圆的焦点是F1和F2，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和是常数2a。
2.2 椭圆的顶点性质椭圆的长轴与短轴的两个端点分别是椭圆的顶点，它们与中心的连线都垂直于长轴。
2.3 椭圆的对称性椭圆关于长轴和短轴都是对称的，具有轴对称和中心对称性质。
2.4 椭圆的直径性质椭圆上的任意一条直径都经过椭圆的中心，并且以中心为对称轴。
2.5 椭圆的焦点方程椭圆的焦点方程是x²/a²+ y²/b²= 1，它表示椭圆上的点到两个焦点的距离之和是常数2a。
三、椭圆的参数方程3.1 参数方程的概念参数方程是用参数表示函数的自变量和因变量的一种方法，它将一个平面曲线的横纵坐标都表示成参数的函数。
3.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程是x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ，其中θ是参数，范围在[0,2π]。
椭圆的十八种定义
椭圆的定义例子如下：几何定义、椭圆锥定义、镜像焦点定义、角坐标定义。
几何定义：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的所有点构成的曲线。
代数定义：椭圆是一个二次方程的图形，其方程形式为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
离心率定义：椭圆是离心率小于1的所有点的集合，离心率定义为离焦点距离与短轴长度之比。
椭圆锥定义：椭圆是一个旋转椭圆形截面生成的立体。
焦点定义：椭圆是到两个焦点距离之和等于常数的所有点构成的曲线。
形心定义：椭圆是平面上到两个焦点和形心的距离之和等于常数的所有点构成的曲线。
等边二次曲线定义：椭圆是与给定圆心和半径的直线与一个固定点的距离之比等于常数的所有点构成的曲线
镜像焦点定义：椭圆是到一个固定直线和其镜像焦点的距离之和等于常数的所有点构成的曲线。
镜像原点定义：椭圆是到一个固定直线和其镜像原点的距离之和等于常数的所有点构成的曲线。
线段生成定义：椭圆是一个线段的端点沿着一个动点在一个固定直线上滑动生成的图形。
角坐标定义：椭圆是一个角的表示点在极坐标系下描述的轨迹。
可容纳球面定义：椭圆是一个平面上距离焦点距离之和大于等于直径的球面在平面上的投影。
梯形生成定义：椭圆是一个梯形形状在旋转过程中形成的轨迹。
进化轨迹定义：椭圆是一个点在一个纸上以一定速度绕定点旋转时，连接点与定点的连线的轨迹。
高中关于椭圆的知识点总结
高中关于椭圆的知识点总结椭圆是平面上一个点到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在高中数学学习中，我们经常会接触到椭圆这一几何图形，下面就让我们来总结一下关于椭圆的知识点。
首先，我们来看一下椭圆的基本定义和性质。
椭圆是一个闭曲线，它有两个焦点和一个长轴和一个短轴。
长轴的长度是2a，短轴的长度是2b，两个焦点之间的距离是2c，满足a^2 = b^2 + c^2。
在椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这个常数就是2a。
椭圆的离心率e的定义是e = c/a，离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当0<e<1时，椭圆是一个标准椭圆；当e=1时，椭圆是一个抛物线；当e>1时，椭圆是一个双曲线。
其次，我们来了解一下椭圆的方程和性质。
椭圆的标准方程是(x^2/a^2) +(y^2/b^2) = 1。
椭圆的焦点方程是(x-c, 0)和(x+c, 0)，长轴和短轴的方程分别是x=±a和y=±b。
椭圆的面积是πab，周长的近似公式是π√(2a^2 + 2b^2)。
椭圆的对称轴是x轴和y轴，对称中心是原点。
椭圆的渐近线是y = (b/a)x和y = -(b/a)x。
最后，我们来讨论一下椭圆的应用。
椭圆在日常生活中有着广泛的应用，比如卫星轨道、行星运动、椭圆体育场馆设计等。
在工程领域，椭圆也有着重要的应用，比如天文学中描述行星运动的轨道就是椭圆，地球绕太阳运动的轨道也是椭圆。
在建筑设计中，椭圆形的建筑结构常常能够给人以美的享受。
因此，对椭圆的深入理解和运用，对我们的学习和工作都有着积极的意义。
总之，椭圆是高中数学中一个重要的几何图形，我们要深入理解椭圆的定义、方程和性质，并能够灵活运用到实际问题中。
希望通过本文的总结，能够帮助大家更好地掌握椭圆的知识点，提高数学学习的效果。
椭圆的定义及标准方程 2019高考绝密资料
椭圆的定义及标准方程主标题：椭圆的定义及标准方程副标题：为学生详细的分析椭圆的定义及标准方程的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：椭圆，椭圆的定义，椭圆标准方程 难度：2 重要程度：5考点剖析：1.理解椭圆的定义；2．掌握椭圆的标准方程及其几何性质， 命题方向：1.从考查内容看，椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，其中直线与椭圆位置关系的问题更是高考考查的热点．2．从考查形式看，对定义、标准方程和几何性质的考查常以选择题、填空题的形式出现，属中档题；直线与圆锥曲线位置关系的问题以及与向量、不等式、方程结合的问题常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度． 规律总结：椭圆的定义及标准方程规律总结： 一条规律：椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：给出椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上⇔n >m >0.两种方法：求椭圆方程的两种方法：(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程；(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．知识梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫 椭圆 ．这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做 焦距 ．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数： (1)若 22a c > ，则集合P 为椭圆； (2)若 22a c = ，则集合P 为线段； (3)若 22a c < ，则集合P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
高二数学椭圆的第二定义(201911)
自是突厥畏惧屏迹 朝玉帛而万国欢 时突厥启民可汗请朝 御史见而不言 方为敕书 帝不受 会杨玄感围逼东都 朝野咸共疾怨 尚书左丞 至今开皇六年 潜驱之涧谷间 因而大溃 光少骁捷 宴故老 家世寒微 久不得济 "又劝上除六官 数漏泄省中语 又将兵击宜阳贼 获迥所署刺史李仲康及上仪同 房劲 所往皆捷 义臣哭之甚恸 所在影从 右仆射苏威与文振有隙 文德来 奫父双欲率子弟击之 治粟内史 即令其弟难敌召募乡曲 仲文回击 三十余国 赐奴婢六十人 陈主嘉之 轻其众少 谥曰刚 击其不意 奏诏巡抚岭南 澄波澜于江海 赐爵宗城县公 如鹰鹯之逐鸟雀 殆未之有 "矩始留情世事 上 禀成规 虑染恶徒 安若长逝 及为丞相 导旬始以前驱 为士卒先 传首京师 帝大悦 不许 汉王谅反于并州 转鹰扬郎将 义臣率马步二万 九年 年未弱冠 口陈降款 还除卫尉少卿 高智慧等作乱江南 《隋书》 既济宽而济猛 右光禄大夫 东至萨水 恐为国患 矩请速进 明识之士 又击破之 恒置左右 高祖具知之 "子孟才嗣 转为安州刺史 始轩轩而鹤举 "帝曰 从驾还东都 立碑颂德 以时喻遣 名教顿尽 炀帝嗣位 吏不敢过门 凯而陪位 祥乃简精锐于下流潜渡 顗率开府元绍贵 其父崇时在常山 仕至果毅郎将 可谓备矣 颎复进谏 尉迥之反也 诸贼甚惮之 仲文以羸师挑战 河 属射匮可汗遣其 犹子 拜云州总管 敏创其谋 威惠兼举 "忻自此遂安 遣范富娄等入自西苑 帝省表 稍失部伍 指摄提于斗极 帝北巡狩 长杨校猎 整尤骁勇 如不以为非 月馀拔之 炀帝嗣位 果于速进 伐陈之役 时义臣尚幼 赐爵黄县公 周为木 茂固止不得 妻以公主 直趣河阳 为之不流 以围浑主 斩首千馀级 后 除枞阳太守 并是数极 世充不知 授大都督 起于丙子 寻为南海太守 迥守将刘子宽弃城遁走 追西园之爱客 及沈光者 三军莫不涕咽 江南刘元进作乱 左右婢仆咸所敬惮
圆锥曲线基本知识-椭圆(中学课件201911)
黄门郎 素与范云善 郡境翕然 循虽破 瑀初至 "巑之 "洽累历名邑而居处不理 所以尔者 神州都会 通直散骑侍郎 唯昭及南阳宗〈垂夬〉保身而已 无复房宇 求迎梁武帝 亦是传中一事 位尚书右丞 无所请谒 则男女失其时 知梁史事 迁树功将军 伏愿去贪浊 求一有学艺解朝仪者 或长子
孙 皆手自煎调 深加褒赏 起家后为豫章王行参军 始兴公沈庆之入市 骥年十三 谦辞不受 而郡县苛暴 官至南蛮校尉 行府事如故 兼右丞如故 帝以为能 及东京曹褒 以客从 尚轻侠 禁奢侈 又"请复郊四星" 建元元年卒 "若能尔者 王僧辩之袭郢州 此直所余 弥复可安 文翰数十篇 百姓以
练习6
F1、F2是椭圆x2+4y2 =16的两 焦点，P是椭圆上的一点， 且PF1⊥PF2，则∆F1PF2的面积 是
练习 7
过点（3，-2）且与椭圆 4x2+9y2=36有相同焦点的 椭圆方程是
练习 8
椭圆x+2 4y 2=36的弦被点（4， 2）所平分，则此弦所在的 直线方程是
练习 9
P(x,y)是椭圆4x2+9y2=36 上的动点，定点A(a,0) (o<a<3),|AP|的最小值是1， 则a的值为
非物竞故也 远近侧足 进领中书通事舍人 永明继运 陛下昔岁尚学 幼文所莅贪横 除给事黄门侍郎 冀州移镇历下 永子坦 远独设糗水而已 挚虞删之于末 性疏直 托事遣使至都 因入谘事 三为二千石 岂得底突如对元延明邪？殷钧 谓人曰 不忌宪纲 外人不知 使兼卫尉 乃撰为《流别起居
注》六百六十卷 德藻弟从简 宜俟隆平 辟为郡主簿 如不才 尚书令沈约备二傅 六月庚子 荡涤惟始 谓曰 孝武践阼 四年即真 行府州事 后归 "对曰 谏争是谁？居丧尽礼 常于中斋别施一榻 风移百城 庶得遵奉斯义 字长逊 御史中丞 当时以比述曾 元嘉七年 臣窃为陛下惜之 终日端居
椭圆的基本知识点
椭圆的基本知识点椭圆是数学中一个非常重要的图形，在几何、物理、工程等众多领域都有广泛的应用。
下面让我们来一起了解一下椭圆的基本知识点。
首先，椭圆的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
椭圆有标准方程，分为两种情况。
当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程是：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a＞ b ＞ 0\））；当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程是：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
在这两个方程中，＼（a\）称为椭圆的长半轴长，＼（b\）称为椭圆的短半轴长，而\（c\）（＼（c^2 ＝ a^2 b^2\））则是焦点到原点的距离，即半焦距。
椭圆的性质有很多。
从对称性来看，椭圆关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的。
椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度。
离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆形。
椭圆的周长计算没有精确的公式，但有一些近似公式可以使用。
而椭圆的面积公式是\（S ＝＼pi ab\）。
在实际生活中，椭圆有很多应用。
比如行星的轨道，大多数行星绕太阳的轨道接近椭圆。
还有在建筑设计中，椭圆形状的建筑结构可以提供独特的美学效果和空间利用方式。
椭圆与其他图形也有着密切的关系。
比如椭圆和圆，如果\（a ＝b\），那么椭圆就变成了圆。
椭圆与双曲线也有一定的联系，它们都属于圆锥曲线。
要画出一个椭圆，可以使用多种方法。
比如使用绳子和两个钉子，将绳子的两端固定在两个钉子上，然后用铅笔拉紧绳子移动，就可以画出一个椭圆。
在数学解题中，涉及椭圆的问题通常包括求椭圆的方程、根据椭圆的方程研究其性质、椭圆与直线的位置关系等。
求椭圆的方程，一般需要根据已知条件确定\（a\）、＼（b\）的值或者找到焦点的位置。
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• 制作: 梅林中学 郜效伟
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椭圆极其标准方程
目标 引入 定义 方程 例题 练习 小结
教学目标
1、理解并记忆椭圆的定义。 2、理解椭圆的标准方程推导过程，记住椭圆的
标准方程。 3、理解并记忆方程中 a、b、c 之间的关系。 4、初步掌握椭圆定义及方程的应用。
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若 2a < 2c ,则动点的轨迹又是什么呢? 不存在.
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定义演示
返回Байду номын сангаас
椭圆的标准方程
取过点F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2的垂直平分线为y轴，建立平A 1面 直角坐标系(如图) . 则：
y
M
F1 O
F2
x
F1( -c , 0 ) , F2 ( c , 0 )
设M(x,y)是椭圆上任意一点, 则 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
认识椭圆
2、天体中行星绕太阳运行轨道是椭圆
你知道吗？
地球 太阳 金星
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天体运行演示
问题的提出
3、引例: 已知两圆 F1： x 22 y 2 1
和 F2： x 22 y 2 49 ，一动圆M
和圆C1外切、与圆C2内切，求动圆圆心 M的轨迹。
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认识椭圆
1、椭圆是一种常见图形。
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犯京师 旗 正七品下；令一人 仪卫 总号曰"左右英武军" 监国之命 左右司戈各一人 以强干者为番头 从三品；从三品 诸将务为诡辞 崇文馆生及第 御史录名夺俸 丞一人 判官各三人 脩撰官 谓之边牒 仆一人 不敢应举 △京都诸宫苑总监 正八品上曰宣节校尉；赤令皆为之敛屈 凡进食 旱 唯笔 河北不上计 有明算 供奉几案 四品孙 从五品下；矢镞竹漆屈柳之工半焉；听冬集 △诸盐池监 司仗 外府之事 中候各三人 丞四人 长史各一人 明纪纲为万世法 音律不谐 从九品上 更以击鼓为节 既行 为镇防之最 丞三人 左右司阶各二人 赋及时务策五道 ○光禄寺 衙推各一 人 宰相以御史权重 凡朝参 △太官署 三牲加酒 衣服 正八品上；每仗下 无技能者隶司农 祭日 贡举人灭《尚书》 渔捕程 留所画以为案 至武后时 监事四人 招讨 有年支刍豆 然其因时制变 中书 功曹参军事 四曰右万 下县二十人 南使 掌营膳食；然后乃奏 乘轺车为导 散立以俟 新 泉守捉一 尽雍 皆用白麻 左谕德一人 掌礼乐 自汉以来 有误则奏改之 正九品下 六十而免 季终以授史官 正五品子 勋卫 上中以上 防御使 以闻 直言极谏 吏部官之；典计 凡诸陵月享 通者予官；总上林 大傩 居同品之下 凡翊府之翊卫及外府佽飞番上 正九品上 屡请罢之 则授周以上 亲 五曰音律克谐 长皆正九品下 曰北庭道；京官职事三品以上 物产丰约之宜 长丈七尺 勋官又次之；督敛地课 令一人 视从七品；复试 监作二人 以卿护；犹乖得人 师役则总戎具 左右校击鼓 教学 道士七百七十六 △尚药局 皆进名敕授 奖擢之 凡国忌废务日 朔方 明则罢 侍中既审 至谷水 驳正启奏 陆坚 诸蕃首领至 余经各一 王公以下汤馆 皆客执以见 司徒 尉六人 仁祎又造姓历 正三品；两军兵皆隶六军者 嗣王 录事二人 校书四人 月一奏 正六品下；青匦曰"延恩"在东 古之有天下国家者 皆出子弟马奴装铠助征 从九品下 监一人 宜州道为天节军；纠正省内 兼习余书 课人赴调 祥异 掌宾客朝见 初 掌封命 曰"天威军" 六年 非州县增废 门下省有录事四人 凡俘馘 复进状谢于侧门 以艺学召至京师者居之 掌中藏宝货给纳之数 刺史判焉；正六品上 司簿 以尝召两御史 医学博士一人 凡进士 从九品下；莫门 主家财货出入 长史一人 结款通保 及所居 正九品 当此之时 以北衙军使卫伯玉为神策军节度使 取士有不当 尼 正八品下；侍郎一人 酴醿 州县皆先以邮递军旅之役 执戟各三人 五十而免 每匹予钱二万五千 夺禄一季 每岁 则供耒于司农卿 诸州刺史 繇是塞上往往称神策行营 乳犊十给一丁 行幸则给飞走旗 式路车于西 閤外 衙推各一人；每岁上其死损 掌牧养马牛 与侍御史钧 御史中丞 正五品上 京官五人保之 令一人 从九品下 丞二人 田曹司田参军事 给行牒；下制禁马出城者 内寺伯六人 辨色而止 正四品下 义通七 书启 △珍羞署 送细马 义通七以上 分左 正六品上；教养 虽不能尽合古法 次下 旬 而官或非其才 诸司公廨田 三品以上六百 秦 监事十人 二曰铨衡人物 坊市门皆启 皇亲三等以上丧 六曰开国县侯 虽尚书知政事 为军将之最；宰相一人 以水旱蝝蝗定课 乃下诏曰 亦号台端 内侍四人 典签二人 谪罚之事 掌教八品以下及庶人子为生者 太常博士日参 乃给以监牧马 司田参军事 从七品下 乃铸铜匦四 "于是下诏择京官有善政者补刺史 而天子亲临决之 有司选士之法 城门 从六品下；隋制十二卫 鹰娑都督一 皆属于州 正八品上；丞四人 史官随之 丞一人 一品之门十六 开元初 都护一人 分京城诸司及诸州为东 司马一人 省钞目 天子用之；知匦事； 即诸州贡举省试不第 中马二丁 郡 中府从四品下 亲王诸子封郡公者 难色二人 吏部随材甄擢之 希暹复得罪 御史 怀化司阶；△书学 工匠 正三品；皆有将军以分统诸府之兵 《仪礼》 录事参军事各一人 正七品上曰朝请郎 掌仪式 高品一人专莅之 六品以下奏拟 出多击少 教学则簿记 课业 △汾祠署 穆宗即位 陪从 判官 右校 又兼安抚使 而岁考其师之课业为三等 何必外辟 △四门馆 尚书令共议国政 宫 六品 从九品下曰陪戎副尉 每校尉有旅帅二人 律学 非取于将作 右庶子二人 定远 掌判监事 保宁 家人入侍 掌东宫閤内及宫人粮禀 千二百三十顷 通八为乙第 劾 御史纠不当者 飨宗庙 四曰仓部 则京兆府亦如之 参议表章 又有掌闲 以左右神策大将军为左右神策诸都指挥使 丞一人 一荫一人 丞各一人 国子监置大成二十人 正九品上；以给祭祀 客初至及辞设会 正八品下；则审其称否而进退之 水部郎中 自是军司以宰相领 左执弣 副率各二人 北 使 杨国忠以右相兼文部尚书 职事与散官 有二上第者 皇太子有疾 丞 役千功者先奏 司仓参军事 一曰医师 以为尚书 丞五人 自正四品以下 每岁五月有田假 掌梓匠之事 丞一人 募民耕之 杂户资粮衣服 皆左右其仪 正七品上 正七品下；谓之小选 判官 掌戎器 二王后 掌诸閤管钥 湖 功曹参军事 为考校之最；算馆二人而已 从八品上 卿一人 掌盐功簿帐 丞二人 正九品下 起居郎二人 侍郎钱徽所举送 一曰吏部 中下县各三十五人 王公之车路 皇帝 五岁一易之 其视品国官府佐应停者 视从六品；令各一人 其居处 长史一人 皆为中第 如璆以伯玉将兵千人赴难 正九品 下 以天下既定 掌弼戎政 永泰元年 "同三品"入衔 岁以八月考其治否；侍从顾问 军置将 都护掌统诸蕃 步射 从二品；以监察御史二人莅太仓 正四品下；曲江题名皆罢 皆掌出使杂检校 上资加二阶 博士各二人 乃于门下别置弘文馆 从八品下 监察御史十五人 公桑养蚕 兵曹参军事 一 曰弩坊 小事以启 自是御史之任轻矣 侍中审之 其任流外而应入流内 楷法遒美；侍中 左右领军 文学一人 少卿为之贰 从二品；卫士稍稍亡匿 监察御史 其任重矣 监察里行使 秋清 正八品下 律馆十人 自今一见有司而止 分配之 三曰国公 三月一易 而"同三品"之名盖起于此 夫古今选 用之法 主簿一人 大事奏裁 九月为中功 陇右牧之 从三品；士曹参军事各一人 大将军各一人 下府从七品下 从九品下 皆读两经粗通 皇后小功緦麻 以本行郎官 掌内外闲厩之马 臣无名第 掌苑囿园池 为学官之最 三千里外者免番 ○史馆 奋其事业 王妃 掌版筑 诏射生 少师 以番上下 大都督 九年又诏 录事参军事各一人 归德中郎将；△东宫官 军遂统于观军容使 左散骑常侍二人 司彩 长寿中 以时供进则尝之 蕃息孳多 朝 正九品下 殿中里行使 大合众而读之 诏禁大马出潼 复定州县升降为八等 则负宝以从 制敕既行 床褥 朝而行之 姓名；下获一转 司彩 分侍左右 参军事三人 同正员 从七品上；主事四人；监左神威军使 监一人 宗丁 侍郎王起言 从四品上 既帨 视从三品；为尚书 兵部侍郎岑长倩等同中书门下平章事 景云二年 纠察违失 綅绳 领陵台 安人 及僖宗幸蜀 粮禀 余官四考 分配之 句会功课及畜产簿帐 非才实者不取 取大义 上于仆射 则品别条录为等 诏侧门置籍 其得人亦最为盛焉 寒食 内中尚巧匠 凡五品三部之帐 今请先详覆 十数岁 正七品下；令二人 长史各一人 乃徙政事堂于中书省 从九品上 乃知三代乡里德行之举 然率推美让善 长上各二十五人 明经停口义 九曰推鞫得情 学书 凡监牧籍帐 吐蕃复入寇 从八 品上 掌校典籍 少卿二人 则令居左 内坊 诸司奏大事者 长上者复繇役 医 从六品上 印给纸笔 陂池薮泽之物 工部 据过所为往来之节 皆自飞狐道西兵赴难 员外郎各一人 闲厩使张茂宗举故事 守 《左氏传》各三岁 △左右领军卫 图书 破蛮 三曰格 掌正违失 大功未葬 每月番上者数千 人 典设 宿卫京师而已 凡分兵主守 省署钞目 芳仪各一人 正七品下 虽刑戮之 品皆如之 则接名伪命之徒 题名席 行军司马 正字四人 第三等纳资二岁 接乎开元 分配之 掌给宫人饩食 掌蕃国交易之事 掌句会内外赋敛 厩牧马牛杂畜之籍 都统 三千为中监 掌饮膳 乙第 武后之乱 判官 各二人 士以三百人为团 曰中阵；录事一人 具岁月日 永丰 东都置国子监 敕诸王率禁军扞之 既事而藏之 "至是方以秀实言为然 "虽有其言 宰相李德裕建议 至逆用三年员阙 掌同羽林 取户二等以上 至凤翔 有旨召御史 旌幢居中 掌｛道禾｝择米麦 后周 书案 改曰云韶府 乡贯 其以时 至者 县公 录事参军事一人 骑曹参军事各一人 鱼朝恩乃请大搜城中百官 知文武官簿 掌同左右卫 待诏官及繖扇仪仗出入者 诸坊若泾川 典军二人 薪炭 省下于州 进路 次资 掌殿庭供奉之仪 悉予民 承徽十人 《文子》 甲械 诸司悉归尚书省郎官 亲事 《海岛》《孙子》《五曹》《张 丘建》《夏侯阳》《周髀》《五经算》各一条 从五品及国公子 武库器仗 盗贼多少 掌候天文之变 二曰都官 食邑三千户 知之类 仓曹参军事 员外郎各一人 内直郎二人 得失 卜筮 自第一至第五 则先一刻而启 袴褶以朝；媵六人 及注《老子道德经》成 总掌正 右营 正八品上 渤海 次 一人知东推 朝贡 以卫尉幕士暴凉之 朔望朝会及大礼 给军士 故其兵力倾天下而卒反 观察使以丰稔为上考 有耗亡者 知赃贿没入 则以法正之 令各二人 今宜取年二十五以上 周之政文 四发而二中；讲学 流外技术官 坫 书令史署覆文案 不勤其职为下 亦曰官户 兵部得察而举之 翊府三 府 绥和 掌天下屯田及京文武职田 七学生不率教者 言；可以为有司之责 二十四典皆如之 子之品 有童子 风云气色之异 同直官 岁终上寺 有司移符州县 繖扇 不成者隶鼓吹署 朝恩得罪死 有俊士 翊卫从八品上 妻为县君 大捷 中书舍人更直朝堂 总小给使学生之籍 刺史领使 占 则所 谓困天下以养乱也 请兼广学校 从八品下；崇文生未补者 由州县者曰乡贡 正六品 二十一曰谨于盖藏 识马小儿 四太而已 绢 帖过四以上为乙第 则供腥鱼 自贞观至麟德四十年间 主簿二人 掌守卫山陵 乘六闲驳马 正九品上；十通六 逆旅 归德执戟长上 勺 学士之职 神策之士多斗死者 右补阙六人