2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:选修4—4 坐标系与参数方程 第二节 参数方程 Word版含解析
2018版高三数学理一轮复习能力大提升 选修4-4 坐标系
选修4-4 坐标系与参数方程 考点 坐标系与参数方程1.(2014·安徽,4)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1,y =t -3(t 为参数),圆C 的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B.214 C. 2 D.2 21.D [由⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1,y =t -3消去t 得x -y -4=0,C :ρ=4cos θ⇒ρ2=4ρcos θ,∴C :x 2+y 2=4x ,即(x -2)2+y 2=4,∴C (2,0),r =2. ∴点C 到直线l 的距离d =|2-0-4|2=2,∴所求弦长=2r 2-d 2=2 2.故选D.]2.(2014·北京,3)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+cos θ,y =2+sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y =2x 上B.在直线y =-2x 上C.在直线y =x -1上D.在直线y =x +1上2.B [曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+cos θ,y =2+sin θ(θ为参数)的普通方程为(x +1)2+(y -2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线y =-2x 上,故选B.]3.(2014·江西,11(2))若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y =1-x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ=1cos θ+sin θ,0≤θ≤π2B.ρ=1cos θ+sin θ,0≤θ≤π4C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π2D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π43.A [∵⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ,∴y =1-x 化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρ=1cos θ+sin θ.∵0≤x ≤1,∴线段在第一象限内(含端点),∴0≤θ≤π2.故选A.]4.(2016·北京,11)在极坐标系中,直线ρcos θ-3ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A ,B 两点,则|AB |=________.4.2 [直线的直角坐标方程为x -3y -1=0,圆的直角坐标方程为x 2+y 2=2x ,即(x -1)2+y 2=1.圆心坐标为(1,0),半径r =1.点(1,0)在直线x -3y -1=0上,所以|AB |=2r =2.]5.(2016·全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos t ,y =1+a sin t (t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .5.解(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y -1)2=a 2,C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆. 将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0,ρ=4cos θ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a =-1(舍去),a =1.a =1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上. 所以a =1.6.(2016·全国Ⅱ,23)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =t sin α(t 为参数),l 与C 交于A 、B 两点,|AB |=10,求l 的斜率.6.解 (1)由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB |=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos 2α-44.由|AB |=10得cos 2α=38,tan α=±153.所以l 的斜率为153或-153.7.(2016·全国Ⅲ,23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =3cos α,y =sin α(α为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎫θ+π4=2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程;(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 7.解 (1)C 1的普通方程为x 23+y 2=1.C 2的直角坐标方程为x +y -4=0.(2)由题意,可设点P 的直角坐标为(3cos α,sin α).因为C 2是直线,所以|PQ |的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值, d (α)=|3cos α+sin α-4|2=2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α+π3-2. 当且仅当α=2k π+π6(k ∈Z )时,d (α)取得最小值,最小值为2,此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32,12.8.(2015·广东,14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ-π4=2,点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22,7π4,则点A 到直线l 的距离为________. 8.522[依题已知直线l :2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ-π4=2和点A ⎝⎛⎭⎫22,7π4可化为l :x -y +1=0和A (2,-2),所以点A 到直线l 的距离为d =|2-(-2)+1|12+(-1)2=522.]9.(2015·北京,11)在极坐标系中,点⎝⎛⎭⎫2,π3到直线ρ(cos θ+3sin θ)=6的距离为________. 9.1 [在平面直角坐标系下,点⎝⎛⎭⎫2,π3化为(1,3),直线方程为:x +3y =6,∴点(1,3)到直线的距离为d =|1+3×3-6|2=|-2|2=1.]10.(2015·安徽,12)在极坐标系中,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=π3(ρ∈R )距离的最大值是________.10.6 [由ρ=8sin θ得x 2+y 2=8y ,即x 2+(y -4)2=16,由θ=π3得y =3x ,即3x -y =0,∴圆心(0,4)到直线y =3x 的距离为2,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=π3的最大距离为4+2=6.]11.(2015·重庆,15)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+t ,y =1+t (t 为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4⎝⎛⎭⎫ρ>0,3π4<θ<5π4,则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________.11.(2,π) [直线l 的直角坐标方程为y =x +2,由ρ2cos 2θ=4得ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,直角坐标方程为x 2-y 2=4,把y =x +2代入双曲线方程解得x =-2,因此交点为(-2,0),其极坐标为(2,π).]12.(2015·江苏,21)已知圆C 的极坐标方程为ρ2+22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ-π4-4=0,求圆C 的半径. 12.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ,以极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2+22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ-22cos θ-4=0, 化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.则圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x +2y -4=0, 即(x -1)2+(y +1)2=6,所以圆C 的半径为 6.13.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积.13.解 (1)因为x =ρcos θ,y =ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2, C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN |= 2.由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 为等腰直角三角形,所以△C 2MN 的面积为12.14.(2015·福建,21(2))在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+3cos t ,y =-2+3sin t (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ-π4=m (m ∈R ). ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程; ②设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值.14.解 ①消去参数t ,得到圆C 的普通方程为(x -1)2+(y +2)2=9. 由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ-π4=m ,得ρsin θ-ρcos θ-m =0. 所以直线l 的直角坐标方程为x -y +m =0.②依题意,圆心C 到直线l 的距离等于2,即|1-(-2)+m |2=2,解得m =-3±2 2.15.(2015·湖南,16Ⅱ)已知直线l :⎩⎨⎧x =5+32t ,y =3+12t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M 的直角坐标为(5,3),直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求|MA |·|MB |的值. 15.解 (1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①将ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0.②(2)将⎩⎨⎧x =5+32t ,y =3+12t代入②式,得t 2+53t +18=0.设这个方程的两个实根分别为t 1,t 2,则由参数t 的几何意义即知,|MA |·|MB |=|t 1t 2|=18.16.(2014·湖北,16)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =3t3(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________.16.(3,1) [曲线C 1为射线y =33x (x ≥0).曲线C 2为圆x 2+y 2=4.设P 为C 1与C 2的交点,如图,作PQ 垂直x 轴于点Q .因为tan ∠POQ =33,所以∠POQ =30°,又∵OP =2,所以C 1与C 2的交点P 的直角坐标为(3,1).]17.(2014·重庆,15)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =3+t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________.17.5 [直线l 的普通方程为y =x +1,曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ,故直线l 与曲线C 的交点坐标为(1,2).故该点的极径ρ=x 2+y 2= 5.]18.(2014·天津,13)在以O 为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A ,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则a 的值为________.18.3 [圆的直角坐标方程为x 2+y 2=4y ,直线的直角坐标方程为y =a ,因为△AOB 为等边三角形,则A (±a 3,a ),代入圆的方程得a 23+a 2=4a ,故a =3.]19.(2014·湖南,11)在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =2+cos α,y =1+sin α(α为参数)交于A ,B 两点,且|AB |=2.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是________.19.2·ρcos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=1 [曲线C 的普通方程为(x -2)2+(y -1)2=1,由直线l 与曲线C 相交所得的弦长|AB |=2知,AB 为圆的直径,故直线l 过圆心(2,1),注意到直线的倾斜角为π4,即斜率为1,从而直线l 的普通方程为y =x -1,从而其极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ-1,即2·ρcos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=1.]20.(2014·广东,14)在极坐标系中,曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________.20.(1,1) [由ρsin 2θ=cos θ得ρ2sin 2θ=ρcos θ,其直角坐标方程为y 2=x ,ρsin θ=1的直角坐标方程为y =1,由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=x ,y =1得C 1和C 2的交点为(1,1).]21.(2014·辽宁,23)将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C .(1)写出C 的参数方程;(2)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 21.解 (1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为C 上点(x ,y ),依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x 1,y =2y 1,由x 21+y 21=1得x 2+⎝⎛⎭⎫y 22=1,即曲线C 的方程为x 2+y 24=1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos t y =2sin t (t 为参数).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 24=1,2x +y -2=0解得:⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2.不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12,1,所求直线斜率为k =12,于是所求直线方程为y -1=12⎝⎛⎭⎫x -12, 化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=34sin θ-2cos θ.22.(2014·江苏,21C)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =1-22t ,y =2+22t (t为参数),直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.22.解 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x =1-22t ,y =2+22t代入抛物线方程y 2=4x ,得⎝⎛⎭⎫2+22t 2=4⎝⎛⎭⎫1-22t ,解得t 1=0,t 2=-8 2.所以|AB |=|t 1-t 2|=8 2.。
2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套讲义:选修4-4坐标系与参数方程含解析
第1讲坐标系最新考纲1。
了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2。
了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化;3。
能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.知识梳理1。
平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 :错误!的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。
2。
极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O(极点);自极点O引一条射线Ox(极轴);再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。
(2)极坐标:平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径,θ称为点M 的极角.3.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x,y)极坐标(ρ,θ)互化公式ρ2=x2+y2 tan θ=错误!(x≠0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆ρ=r(0≤θ<2π)圆心为(r,0),半径为r的圆ρ=2r cos__θ错误!圆心为错误!,半径为r的圆ρ=2r sin__θ(0≤θ<π)5。
直线的极坐标方程(1)直线l过极点,且极轴到此直线的角为α,则直线l的极坐标方程是θ=α(ρ∈R)。
(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴,则直线l的极坐标方程为ρcos__θ=a.(3)直线过M错误!且平行于极轴,则直线l的极坐标方程为ρsin__θ=b.诊断自测1。
判断正误(在括号内打“√”或“×")(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系。
( )(2)若点P的直角坐标为(1,-3),则点P的一个极坐标是错误!。
2018届高三数学一轮复习 坐标系与参数方程 第一节 坐标系夯基提能作业本 理
第一节坐标系A组基础题组1.(1)化直角坐标方程x2+y2-8x=0为极坐标方程;(2)化极坐标方程ρ=6cos为直角坐标方程.2.在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.3.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.4.已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.5.(2016福建福州模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2:(x-1)2+y2=1.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;(2)若射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.6.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cos θ,ρcos=1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.B组提升题组7.在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求直线l:θ=-(ρ∈R)被圆C截得的弦长.8.(2016河南三市3月联考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2的参数方程为(β为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;(2)已知射线l1:θ=α,将射线l1顺时针旋转得到射线l2:θ=α-,且射线l1与曲线C1交于O、P两点,射线l2与曲线C2交于O、Q两点,求|OP|·|OQ|的最大值.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)将代入x2+y2-8x=0得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-8ρcos θ=0,即ρ2-8ρcos θ=0, ∴极坐标方程为ρ=8cos θ.(2)因为ρ=6cos,所以ρ=6,即ρ2=3ρcos θ+3ρsin θ,所以x2+y2=3x+3y,即x2+y2-3x-3y=0.∴直角坐标方程为x2+y2-3x-3y=0.2.解析(1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,点R的直角坐标为(2,2).(2)设P(cos θ,sin θ),根据题意可得|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,∴|PQ|+|QR|=4-2sin,当θ=时,|PQ|+|QR|取最小值2,∴矩形PQRS周长的最小值为4,此时点P的直角坐标为.3.解析(1)由ρ=2,得ρ2=4,所以圆O 1的直角坐标方程为x2+y2=4.由ρ2-2ρcos=2,得ρ2-2ρ=2,所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减可得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin=.4.解析(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C:ρ=2,l:ρ(cos θ+sin θ)=2.(2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),由|OQ|·|OP|=|OR|2,得ρρ1=.又ρ2=2,ρ1=,所以=4,即ρ=2(cos θ+sin θ),故点Q的轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ)(ρ≠0).5.解析(1)∵曲线C 1的参数方程为(α为参数),∴曲线C1的普通方程为x2+(y-2)2=7. 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-1)2+y2=1,得到曲线C2的极坐标方程(ρcos θ-1)2+(ρsin θ)2=1, 化简得ρ=2cos θ.(2)依题意设A,B.曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρsin θ-3=0,将θ=(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程,得ρ2-2ρ-3=0,又ρ1>0,∴ρ1=3.同理,ρ2=.∴|AB|=|ρ1-ρ2|=3-.6.解析(1)C 1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离d==>1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点,亦即曲线C1和C2的公共点的个数为0.(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则即①因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,所以ρ0cos=1,②将①代入②,得cos=1,即ρ=2cos为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为+=1,因此点P的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.B组提升题组7.解析解法一:(1)如图,设圆C上异于O、A的任意一点为M(ρ,θ),在Rt△OAM中,∠OMA=,∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.因为cos∠AOM=,所以|OM|=|OA|·cos∠AOM,即ρ=4cos=4cos,验证可知,极点O与A的极坐标也满足方程,故圆C的极坐标方程为ρ=4cos.(2)易知l过点O,设l:θ=-(ρ∈R)交圆C于另一点P,连接PA,在Rt△OAP中,∠OPA=,易得∠AOP=,所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2.解法二:(1)圆C是将圆ρ=4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos.(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos,得ρ=2,所以直线l:θ=-(ρ∈R)被圆C截得的弦长为2.8.解析(1)曲线C 1的普通方程为(x-2)2+y2=4,所以C1的极坐标方程为ρ=4cos θ,曲线C2的普通方程为x2+(y-2)2=4,所以C2的极坐标方程为ρ=4sin θ.(2)设点P的极坐标为(ρ1,α),即ρ1=4cos α,点Q的极坐标为,即ρ2=4sin.则|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=4cos α·4sin=16cos α·=8sin-4.∵α∈,∴2α-∈,当2α-=,即α=时,|OP|·|OQ|取得最大值,为4.。
2018年高考数学(理)一轮复习文档 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程 Word版含答案
第讲 参数方程).参数方程和普通方程的互化()曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地,可以通过消去参数,从参数方程得到普通方程.()如果知道变数,中的一个与参数的关系,例如=(),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系=(),那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,的取值范围保持一致..直线、圆和圆锥曲线的参数方程参数方程与普通方程的互化已知曲线:,=+ ))(为参数),曲线:(θ为参数).化,的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.【解】 曲线:(+)+(-)=,曲线:+=,曲线是以(-,)为圆心,为半径的圆;曲线是中心为坐标原点,焦点在轴上,长半轴长是,短半轴长是的椭圆.将参数方程化为普通方程的方法()将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等.对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参,如θ+θ=等.()将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解.将下列参数方程化为普通方程.() ()θ,=θ+θ.))()两式相除,得=,将其代入得=,化简得所求的普通方程是+-=(≠).()由( θ+θ)=+θ=-(-θ),=-θ∈,得=-.即所求的普通方程为=-,∈.参数方程的应用(·兰州市实战考试)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为ρ=θ.()写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;()若点坐标为(,),圆与直线交于、两点,求+的值.【解】()由得直线的普通方程为+--=.又由ρ=θ得圆的直角坐标方程为+-=,即+(-)=.()把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,得+=,即-+=.由于Δ=()-×=>,故可设、是上述方程的两实数根,所以+=,·=.又直线过点(,),、两点对应的参数分别为、,。
2018版高中数学(理)一轮全程复习(课时作业)选修4—4 坐标系与参数方程(七十四)含解析
则直线l的直角坐标方程为:x-y+1=0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,
将两方程联立得错误!,解得错误!,即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),
将(0,1)转化为极坐标为错误!,即为所求.
4.(2017·邯郸调研)在极坐标系中,已知直线l过点A(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为错误!,求:
(1)直线的极坐标方程;
(2)极点到该直线的距离.
解析:(1)如图,由正弦定理得
错误!=错误!。
即ρsin错误!=sin错误!=错误!,
∴所求直线的极坐标方程为ρsin错误!=错误!。
(2)作OH⊥l,垂足为H,
在△OHA中,OA=1,∠OHA=π
3
,∠OAH=错误!,
则OH=OA sin错误!=错误!,
即极点到该直线的距离等于错误!.
5.在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=错误!,点R错误!.
(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标;
(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.。
2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:选修4-4第二节参数方程含解析
第二节 参数方程A 组 基础题组1。
(2016江苏,21C ,10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =1+12t,y =√32t (t 为参数),椭圆C 的参数方程为{x =cos?,y =2sin?(θ为参数)。
设直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.2.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√3cos?,y =sin?(α为参数)。
以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin=2√2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程; (2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.3.(2016河南郑州模拟)将曲线C 1:x 2+y 2=1上所有点的横坐标伸长为原来的√2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2,A 为C 1与x 轴正半轴的交点,直线l 经过点A 且倾斜角为30°,记l 与曲线C 1的另一个交点为B ,与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C,D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程;(2)求|AC|-|BD|.4。
(2016辽宁五校协作体联考)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=t-3,y=√3t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2—4ρcosθ=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值范围。
B组提升题组5.(2016广东肇庆三模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{x=t 2,y=t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-4=0.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ〈2π).6。
2018届高三数学理一轮复习课后作业第11章 选修4-4 坐
课时作业 A 组 基础对点练1.在极坐标系中,直线ρ(sin θ-cos θ)=a 与曲线ρ=2cos θ-4sin θ相交于A ,B 两点,若|AB |=23,求实数a 的值.解析:直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x -y +a =0,曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x -1)2+(y +2)2=5,所以圆心C 的坐标为(1,-2),半径r =5,所以圆心C 到直线的距离为|1+2+a |2=r 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22=2,解得a =-5或a =-1. 故实数a 的值为-5或-1.2.(2017·山西模拟)在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ=42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4.现以极点O 为原点,极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+12t ,y =-3+32t(t 为参数).(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)设直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,定点P (-2,-3),求|P A |·|PB |的值. 解析:(1)ρ=42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=4sin θ+4cos θ,所以ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ, 所以x 2+y 2-4x -4y =0, 即(x -2)2+(y -2)2=8;直线l 的普通方程为3x -y +23-3=0.(2)把直线l 的参数方程代入到圆C :x 2+y 2-4x -4y =0中, 得t 2-(4+53)t +33=0, 设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1t 2=33.点P (-2,-3)显然在直线l 上, 由直线标准参数方程下t 的几何意义知|P A |·|PB |=|t 1t 2|=33, 所以|P A |·|PB |=33.3.(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l 过点P (8,2),直线l 和曲线C :⎩⎨⎧x =42cos θ,y =2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1,M 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程,并写出直线l 的参数方程; (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围.解析:(1)曲线C 的普通方程为x 232+y 24=1, 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =8+t cos α,y =2+t sin α(t 为参数).(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得: (8+t cos α)2+8(2+t sin α)2=32,整理得(8sin 2α+cos 2α)t 2+(16cos α+32sin α)t +64=0, 由Δ=(16cos α+32sin α)2-4×64(8sin 2α+cos 2α)>0, 得cos α>sin α,故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π4,∴|PM 1||PM 2|=|t 1t 2| =641+7sin 2α∈⎝⎛⎦⎥⎤1289,64. 4.(2017·南京模拟)已知直线l :ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=4和圆C :ρ=2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4(k ≠0),若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标.解析:∵ρ=2k cos θ-2k sin θ, ∴ρ2=2kρcos θ-2kρsin θ,∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2kx +2ky =0, 即⎝⎛⎭⎪⎫x -22k 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +22k 2=k 2,∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ,-22k .∵ρsin θ·22-ρcos θ·22=4,∴直线l 的直角坐标方程为x -y +42=0, ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k +22k +422-|k |=2.即|k +4|=2+|k |, 两边平方,得|k |=2k +3, ∴⎩⎨⎧ k >0,k =2k +3或⎩⎨⎧k <0,-k =2k +3,解得k =-1,故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,22.B 组 能力提速练1.(2017·河南六校联考)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =1+ty =t -3(t为参数),在以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θsin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; (2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求△AOB 的面积. 解析:(1)由曲线C 的极坐标方程ρ=2cos θsin 2θ,得ρ2sin 2θ=2ρcos θ, 所以曲线C 的直角坐标方程是y 2=2x .由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x =1+ty =t -3,得t =3+y ,代入x =1+t 中,消去t 得x -y -4=0,所以直线l 的普通方程为x -y -4=0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2=2x ,得t 2-8t +7=0, 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=8,t 1t 2=7,所以|AB |=2|t 1-t 2|=2×(t 1+t 2)2-4t 1t 2=2×82-4×7=62,因为原点到直线x -y -4=0的距离d =|-4|1+1=22, 所以△AOB 的面积是12|AB |·d =12×62×22=12.2.(2017·贵州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以原点为极点,以x 轴正半轴为极轴,曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ≥0),曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x =m +t cos αy =t sin α(t 为参数,0≤α<π),射线θ=φ,θ=φ+π4,θ=φ-π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C . (1)求证:|OB |+|OC |=2|OA |;(2)当φ=π12时,B 、C 两点在曲线C 2上,求m 与α的值. 解析:(1)证明:依题意|OA |=4cos φ, |OB |=4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ+π4,|OC |=4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ-π4,则|OB |+|OC |=4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ+π4+4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ-π4=22(cos φ-sin φ)+22(cos φ+sin φ) =42cos φ=2|OA |.(2)当φ=π12时,B 、C 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫23,-π6,化为直角坐标为B (1,3)、C (3,-3),所以经过点B 、C 的直线方程为y -3=-3(x -1), 而C 2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线, 故m =2,α=2π3.3.(2017·合肥模拟)在直角坐标系xOy 中,曲线C :⎩⎨⎧x =2cos α+1y =2sin α+1(α为参数),在以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l :ρsin θ+ρcos θ=m .(1)若m =0时,判断直线l 与曲线C 的位置关系;(2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为22,求实数m 的取值范围. 解析:(1)曲线C 的普通方程为(x -1)2+(y -1)2=2,是一个圆; 当m =0时,直线l 的直角坐标方程为x +y =0, 圆心C 到直线l 的距离为d =|1+1|12+12=2=r ,r 为圆C 的半径, 所以直线l 与圆C 相切.(2)由已知可得,圆心C 到直线l 的距离为d =|1+1-m |12+12≤322, 解得-1≤m ≤5.4.(2017·重庆模拟)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =1+cos αy =sin α(α为参数),在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=2 2.(1)求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程;(2)动点A 在曲线C 上,动点B 在直线l 上,定点P 的坐标为(-2,2),求|PB |+|AB |的最小值.解析:(1)由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x =1+cos αy =sin α可得,(x -1)2+y 2=cos 2α+sin 2α=1,所以曲线C 的普通方程为(x -1)2+y 2=1. 由直线l 的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=22,可得ρ(sin θ+cos θ)=4,即x +y =4. (2)设点P 关于直线l 的对称点为Q (a ,b ), 则⎩⎪⎨⎪⎧-2+a 2+2+b2=4b -2a -(-2)·(-1)=-1,解得⎩⎨⎧a =2b =6,由(1)知,曲线C 为圆,圆心坐标为C (1,0), 故|PB |+|AB |=|QB |+|AB |≥|QC |-1=37-1.当Q,B,A,C四点共线,且A在B,C之间时,等号成立,所以|PB|+|AB|的最小值为37-1.。
2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:选修4—4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系 Word版含解析
第一节坐标系A组基础题组1.(1)化直角坐标方程x2+y2-8x=0为极坐标方程;(2)化极坐标方程ρ=6cos为直角坐标方程.2.在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.3.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.4.已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.5.(2016福建福州模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2:(x-1)2+y2=1.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;(2)若射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.6.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cosθ,ρcos=1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.B组提升题组7.在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求直线l:θ=-(ρ∈R)被圆C截得的弦长.8.(2016河南三市3月联考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2的参数方程为(β为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;(2)已知射线l1:θ=α,将射线l1顺时针旋转得到射线l2:θ=α-,且射线l1与曲线C1交于O、P两点,射线l2与曲线C2交于O、Q两点,求|OP|·|OQ|的最大值.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)将代入x2+y2-8x=0得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-8ρcosθ=0,即ρ2-8ρcosθ=0,∴极坐标方程为ρ=8cosθ.(2)因为ρ=6cos,所以ρ=6,即ρ2=3ρcosθ+3ρsinθ,所以x2+y2=3x+3y,即x2+y2-3x-3y=0.∴直角坐标方程为x2+y2-3x-3y=0.2.解析(1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,点R的直角坐标为(2,2).(2)设P(cosθ,sinθ),根据题意可得|PQ|=2-cosθ,|QR|=2-sinθ,∴|PQ|+|QR|=4-2sin,当θ=时,|PQ|+|QR|取最小值2,∴矩形PQRS周长的最小值为4,此时点P的直角坐标为.3.解析(1)由ρ=2,得ρ2=4,所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.由ρ2-2ρcos=2,得ρ2-2ρ=2,所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减可得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin=.4.解析(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C:ρ=2,l:ρ(cosθ+sinθ)=2.(2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),由|OQ|·|OP|=|OR|2,得ρρ1=.又ρ2=2,ρ1=,所以=4,即ρ=2(cosθ+sinθ),故点Q的轨迹的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)(ρ≠0).5.解析(1)∵曲线C1的参数方程为(α为参数),∴曲线C1的普通方程为x2+(y-2)2=7.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(x-1)2+y2=1,得到曲线C2的极坐标方程(ρcosθ-1)2+(ρsinθ)2=1,化简得ρ=2cosθ.(2)依题意设A,B.曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρsinθ-3=0,将θ=(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程,得ρ2-2ρ-3=0,又ρ1>0,∴ρ1=3.同理,ρ2=.∴|AB|=|ρ1-ρ2|=3-.6.解析(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离d==>1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点,亦即曲线C1和C2的公共点的个数为0.(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则即①因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,所以ρ0cos=1,②将①代入②,得cos=1,即ρ=2cos为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为+=1,因此点P的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.B组提升题组7.解析解法一:(1)如图,设圆C上异于O、A的任意一点为M(ρ,θ),在Rt△OAM中,∠OMA=,∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.因为cos∠AOM=,所以|OM|=|OA|·cos∠AOM,即ρ=4cos=4cos,验证可知,极点O与A的极坐标也满足方程,故圆C的极坐标方程为ρ=4cos.(2)易知l过点O,设l:θ=-(ρ∈R)交圆C于另一点P,连接PA,在Rt△OAP中,∠OPA=,易得∠AOP=,所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2.解法二:(1)圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos.(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos,得ρ=2,所以直线l:θ=-(ρ∈R)被圆C截得的弦长为2.8.解析(1)曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,曲线C2的普通方程为x2+(y-2)2=4,所以C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(2)设点P的极坐标为(ρ1,α),即ρ1=4cosα,点Q的极坐标为,即ρ2=4sin.则|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=4cosα·4sin=16cosα·=8sin-4.∵α∈,∴2α-∈,当2α-=,即α=时,|OP|·|OQ|取得最大值,为4.。
2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本选修4—4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系 Word版含解析
第一节坐标系
组基础题组
.()化直角坐标方程为极坐标方程;
()化极坐标方程ρ为直角坐标方程.
.在极坐标系中,曲线的方程为ρ,点.
()以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程点的极坐标化为直角坐标;
()设为曲线上一动点,以为对角线的矩形的一边垂直于极轴,求矩形周长的最小值,及此时点的直角坐标.
.已知圆和圆的极坐标方程分别为ρ,ρρ·.
()将圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
()求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
.已知圆,直线.以为极点轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.
()将圆和直线的方程化为极坐标方程;
()是上的点,射线交圆于点,点在上且满足·,当点在上移动时,求点的轨迹的极坐标方程.
.(福建福州模拟)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(α为参数),曲线:().以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
()求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程;
()若射线θ(ρ>)与曲线分别交于两点,求.
.在极坐标系中,曲线的极坐标方程分别为ρθ,ρ.
()求曲线和的公共点的个数;
()过极点作动直线与曲线相交于点,在上取一点,使·,求点的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.。
2018届高考数学(理)大一轮复习顶层设计教师用书选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系 Word版含答案
第一节 坐标系 ☆☆☆考纲考题考情☆☆☆
.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点(,)是平面直角坐标系
中的任意一点,在变换
φ:
(\\(′=λ·,λ>,′=μ·,μ>))
的作用下,点(,)对应点′(′,′),
称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
.极坐标的概念
()极坐标系:
极
叫做,从点引一条射线,极点如图所示,在平面内取一个定点,叫做,这样就确定了
)通常取逆时针方向(,选定一个单位长度和角及其正方向轴。
极坐标系一个平面极坐标系,简称为
()极坐标:
对于平面内任意一点,用ρ表示线段的长,θ表示以为始边、为终边的叫做点的极
)θ,ρ(,有序实数对极角叫做点的θ,极径叫做点的ρ角度,
坐标,记作(ρ,θ)。
=
当点在极点时,它的极径
ρ
,极角
θ
任意值。
可以取
()点与极坐标的关系:
平面内一点的极坐标可以有无数对,当∈时,(ρ,θ),(ρ,θ+π),(-ρ,θ+(+)π)
表示
同一个点
,而用平面直角坐标表示点时,每一个点的坐标是唯一的。
如果规定ρ>≤θ<π,或者-π<θ≤π,那么,除极点外,平面内的点和极坐标就一
一对应了。
.极坐标和直角坐标的互化()互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,
并在两种坐标系中取相同的单位长度,如图所示。
()互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,),极坐标是(ρ,θ)(ρ>,
θ∈[π)),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
.常见曲线的极坐标方程。
2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本选修4—4 坐标系与参数方程 第二节 参数方程 Word版含解析
第二节参数方程
组基础题组
.已知为半圆:(θ为参数≤θ≤π)上的点,点的坐标为()为坐标原点,点在射线上,线段与的弧的长度均为.
()以为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点的极坐标;
()求直线的参数方程.
.(河北衡水调研)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为ρθθ.
()求曲线的参数方程;
()当α时,求直线与曲线交点的极坐标.
.(河北石家庄一模)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(α为参数),以原点为极点轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为ρθ. ()求曲线的直角坐标方程;
()若分别是曲线和上的任意一点,求的最小值.
.(河南八市重点高中质检)已知曲线的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系
中,将曲线上的点按坐标变换得到曲线'.
()求曲线'的普通方程;
()若点在曲线'上,点(),当点在曲线'上运动时,求中点的轨迹方程.
.已知直线为参数,α≠∈经过椭圆:(φ为参数)的左焦点.
()求的值;
()设直线与椭圆交于两点,求·的最小值.
.(甘肃三校联考)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点轴正半轴为极轴)中,圆的方程为ρθ.
()求圆的直角坐标方程;
()设圆与直线交于点,若点的坐标为(),求的最小值.。
2018版高考数学(理)第一轮总复习习题:选修4-4坐标系与参数方程含答案
选修4-4错误!坐标系与参数方程第一节坐 标 系突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通 抓主干知识的“源"与“流”设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:{ x ′=λ·x (λ>0),,y ′=μ·y (μ>0)的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求椭圆错误!+y 2=1,经过伸缩变换错误!后的曲线方程.[解] 由错误!得到错误!①将①代入x 24+y 2=1,得错误!+y ′2=1,即x ′2+y ′2=1。
因此椭圆x 24+y 2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2+y 2=1. [方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ,y )与变换后的点P ′的坐标(X ,Y ),再利用伸缩变换公式错误!建立联系. (2)已知变换后的曲线方程f (x ,y )=0,一般都要改写为方程f (X ,Y )=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:错误!求点A 错误!经过φ变换所得的点A ′的坐标.解:设A ′(x ′,y ′),由伸缩变换φ:错误!得到错误!由于点A 的坐标为错误!,于是x ′=3×错误!=1,y ′=错误!×(-2)=-1, 本节主要包括2个知识点:1。
平面直角坐标系下图形的伸缩变换;2。
极坐标系。
所以A′(1,-1)为所求.2.求直线l:y=6x经过φ:错误!变换后所得到的直线l′的方程.解:设直线l′上任意一点P′(x′,y′),由题意,将错误!代入y=6x得2y′=6×错误!,所以y′=x′,即直线l′的方程为y=x.3.求双曲线C:x2-错误!=1经过φ:错误!变换后所得曲线C′的焦点坐标.解:设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),由题意,将错误!代入x2-错误!=1得错误!-错误!=1,化简得错误!-错误!=1,即错误!-错误!=1为曲线C′的方程,可见经变换后的曲线仍是双曲线,则所求焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0).4.将圆x2+y2=1变换为椭圆错误!+错误!=1的一个伸缩变换公式为φ:错误!求a,b的值.解:由错误!知错误!代入x2+y2=1中得错误!+错误!=1,所以a2=9,b2=4,即a=3,b=2.突破点(二)极坐标系基础联通抓主干知识的“源”与“流"1.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,点O叫做极点,自极点O引一条射线Ox,Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标一般地,没有特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.(3)点与极坐标的关系一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点,特别地,极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R),和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ) 表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.2.极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x,y)极坐标(ρ,θ)互化公式错误!错误!考点贯通抓高考命题的“形”与“神"极坐标与直角坐标的互化1.极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合,且极轴与x轴正半轴是否重合,若上述两个都重合,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,一定要注意变形过程中方程要保持同解,不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式错误!及ρ2=x2+y2将极坐标方程转化为直角坐标方程2.直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的x,y分别用ρcos θ,ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程.(2)求直角坐标系中的点(x,y)对应的极坐标的一般步骤:第一步,根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离,即计算ρ;第二步,根据角θ的正切值tan θ=错误!(x≠0)求出角θ(若正切值不存在,则该点在y轴上),问题即解.[例1]在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin错误!=错误!。
2018届高三数学理一轮复习夯基提能作业本:选修44 坐
第一节坐标系A组基础题组1.(1)化直角坐标方程x2+y2-8x=0为极坐标方程;(2)化极坐标方程ρ=6cos为直角坐标方程.2.在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.3.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.4.已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.5.(2016福建福州模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2:(x-1)2+y2=1.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;(2)若射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.6.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cosθ,ρcos=1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.B组提升题组7.在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求直线l:θ=-(ρ∈R)被圆C截得的弦长.8.(2016河南三市3月联考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2的参数方程为(β为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;(2)已知射线l1:θ=α,将射线l1顺时针旋转得到射线l2:θ=α-,且射线l1与曲线C1交于O、P两点,射线l2与曲线C2交于O、Q两点,求|OP|·|OQ|的最大值.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)将代入x2+y2-8x=0得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-8ρcosθ=0,即ρ2-8ρcosθ=0,∴极坐标方程为ρ=8cosθ.(2)因为ρ=6cos,所以ρ=6,即ρ2=3ρcosθ+3ρsinθ,所以x2+y2=3x+3y,即x2+y2-3x-3y=0.∴直角坐标方程为x2+y2-3x-3y=0.2.解析(1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,点R的直角坐标为(2,2).(2)设P(cosθ,sinθ),根据题意可得|PQ|=2-cosθ,|QR|=2-sinθ,∴|PQ|+|QR|=4-2sin,当θ=时,|PQ|+|QR|取最小值2,∴矩形PQRS周长的最小值为4,此时点P的直角坐标为.3.解析(1)由ρ=2,得ρ2=4,所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.由ρ2-2ρcos=2,得ρ2-2ρ=2,所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减可得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin=.4.解析(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C:ρ=2,l:ρ(cosθ+sinθ)=2.(2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),由|OQ|·|OP|=|OR|2,得ρρ1=.又ρ2=2,ρ1=,所以=4,即ρ=2(cosθ+sinθ),故点Q的轨迹的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)(ρ≠0).5.解析(1)∵曲线C1的参数方程为(α为参数),∴曲线C1的普通方程为x2+(y-2)2=7.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(x-1)2+y2=1,得到曲线C2的极坐标方程(ρcosθ-1)2+(ρsinθ)2=1,化简得ρ=2cosθ.(2)依题意设A,B.曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρsinθ-3=0,将θ=(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程,得ρ2-2ρ-3=0,又ρ1>0,∴ρ1=3.同理,ρ2=.∴|AB|=|ρ1-ρ2|=3-.6.解析(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离d==>1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点,亦即曲线C1和C2的公共点的个数为0.(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则即①因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,所以ρ0cos=1,②将①代入②,得cos=1,即ρ=2cos为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为+=1,因此点P的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.B组提升题组7.解析解法一:(1)如图,设圆C上异于O、A的任意一点为M(ρ,θ),在Rt△OAM中,∠OMA=,∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.因为cos∠AOM=,所以|OM|=|OA|·cos∠AOM,即ρ=4cos=4cos,验证可知,极点O与A的极坐标也满足方程,故圆C的极坐标方程为ρ=4cos.(2)易知l过点O,设l:θ=-(ρ∈R)交圆C于另一点P,连接PA,在Rt△OAP中,∠OPA=,易得∠AOP=,所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2.解法二:(1)圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos.(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos,得ρ=2,所以直线l:θ=-(ρ∈R)被圆C截得的弦长为2.8.解析(1)曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,曲线C2的普通方程为x2+(y-2)2=4,所以C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(2)设点P的极坐标为(ρ1,α),即ρ1=4cosα,点Q的极坐标为,即ρ2=4sin.则|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=4cosα·4sin=16cosα·=8sin-4.∵α∈,∴2α-∈,当2α-=,即α=时,|OP|·|OQ|取得最大值,为4.。
2018版高考数学(理)一轮复习题库:选修系列选修4-4第1讲坐标系含解析
选修4—4 坐标系与参数方程第1讲坐标系一、填空题1.在极坐标系中,点P(ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________.解析设点P(ρ0,θ0)关于极点的对称点为(ρ,θ),则ρ+ρ0=0,θ=θ0+π,∴对称点为(-ρ0,θ0).答案(-ρ0,θ0)2.过点(2,错误!)平行于极轴的直线的极坐标方程是________.解析设直线上点坐标P(ρ,θ),则ρsin θ=2cos (90°-45°)=错误!.答案ρsin θ=23.在极坐标系中,ρ=4sin θ是圆的极坐标方程,则点A错误!到圆心C 的距离是________.解析将圆的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0,圆心坐标为(0,2).又易知点A错误!的直角坐标为(2错误!,2),故点A到圆心的距离为错误!=2错误!.答案2错误!4.在极坐标系中,点M错误!到曲线ρcos错误!=2上的点的距离的最小值为________.解析依题意知,点M的直角坐标是(2,23),曲线的直角坐标方程是x+错误!y-4=0,因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离,即为错误!=2.答案25.从极点作圆ρ=2a cos θ的弦,则各条弦中点的轨迹为________.解析设所求曲线上动点M的极坐标为(r,φ),由图可知错误!.把θ=φ和ρ=2r代入方程ρ=2a cos θ,得2r=2a cos φ,即r=a cos φ。
(错误!,这就是所求的轨迹方程.由极坐标方程可知,所求轨迹是一个以(错误!,0)为圆心,半径为错误!的圆.答案以(a2,0)为圆心,以错误!为半径的圆6.在极坐标系中,曲线C1:ρ=2cos θ,曲线C2:θ=错误!,若曲线C1与C2交于A、B两点,则线段AB=________.解析曲线C1与C2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由错误!得错误!即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为错误!,因此AB=错误!.答案错误!7.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:ρ2+2ρcos θ=0,点P的极坐标为错误!过点P作圆C的切线,则两条切线夹角的正切值是________.解析圆C的极坐标方程:ρ2+2ρcos θ=0化为普通方程:(x+1)2+y2=1,点P的直角坐标为(0,2),圆C的圆心为(-1,0).如图,当切线的斜率存在时,设切线方程为y=kx+2,则圆心到切线的距离为错误!=1,∴k=错误!,即tan α=错误!.易知满足题意的另一条切线的方程为x=0。
2018版高考数学理第一轮总复习习题:选修4-4 坐标系与参数方程 课时达标检测六十三 坐 标 系 含答案 精品
课时达标检测(六十三) 坐 标 系1.在极坐标系中,已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2,π4,圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π3=-32与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.解:在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π3=-32中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C 的圆心坐标为(1,0). 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2,π4, 所以圆C 的半径PC =22+12-2×1×2cosπ4=1,于是圆C 过极点,所以圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.2.设M ,N 分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=22上的动点,求M ,N 的最小距离.解:因为M ,N 分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=22上的动点,即M ,N 分别是圆x 2+y 2+2y =0和直线x +y -1=0上的动点,要求M ,N 两点间的最小距离,即在直线x +y -1=0上找一点到圆x 2+y 2+2y =0的距离最小,即圆心(0,-1)到直线x +y -1=0的距离减去半径,故最小值为|0-1-1|2-1=2-1.3.在极坐标系中,求直线ρ(3cos θ-sin θ)=2与圆ρ=4sin θ的交点的极坐标.解:ρ(3cos θ-sin θ)=2化为直角坐标方程为3x -y =2,即y =3x -2. ρ=4sin θ可化为x 2+y 2=4y , 把y =3x -2代入x 2+y 2=4y ,得4x 2-83x +12=0,即x 2-23x +3=0, 所以x =3,y =1.所以直线与圆的交点坐标为(3,1),化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2,π6.4.(2017·山西质检)在极坐标系中,曲线C 的方程为ρ2=31+2sin 2θ,点R ⎝⎛⎭⎪⎫22,π4. (1)以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标;(2)设P 为曲线C 上一动点,以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形PQRS 周长的最小值,及此时P 点的直角坐标.解:(1)曲线C :ρ2=31+2sin 2θ,即ρ2+2ρ2sin 2θ=3,从而ρ2cos 2θ3+ρ2sin 2θ=1.∵x =ρcos θ,y =ρsin θ, ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1,点R 的直角坐标为R (2,2). (2)设P (3cos θ,sin θ),根据题意可得|PQ |=2-3cos θ,|QR |=2-sin θ,∴|PQ |+|QR |=4-2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π3, 当θ=π6时,|PQ |+|QR |取最小值2,∴矩形PQRS 周长的最小值为4,此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12. 5.(2017·南京模拟)已知直线l :ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=4和圆C :ρ=2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4(k ≠0),若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标.解:圆C 的极坐标方程可化为ρ=2k cos θ-2k sin θ, 即ρ2=2k ρcos θ-2k ρsin θ,所以圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2kx +2ky =0, 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x -22k 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +22k 2=k 2, 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22k ,-22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22-ρcos θ·22=4, 所以直线l 的直角坐标方程为x -y +42=0,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k +22k +422-|k |=2.即|k +4|=2+|k |, 两边平方,得|k |=2k +3,所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0,k =2k +3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0,-k =2k +3,解得k =-1,故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫-22,22. 6.已知圆C :x 2+y 2=4,直线l :x +y =2.以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程;(2)P 是l 上的点,射线OP 交圆C 于点R ,又点Q 在OP 上,且满足|OQ |·|OP |=|OR |2,当点P 在l 上移动时,求点Q 轨迹的极坐标方程.解:(1)将x =ρcos θ,y =ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C :ρ=2,l :ρ(cos θ+sin θ)=2.(2)设P ,Q ,R 的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),则由|OQ |·|OP |=|OR |2,得ρρ1=ρ22.又ρ2=2,ρ1=2cos θ+sin θ,所以2ρcos θ+sin θ=4,故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ)(ρ≠0).7.(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2,π3.(1)求出以C 为圆心,半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程);(2)在直角坐标系中,以圆C 所在极坐标系的极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,点P 是圆C 上任意一点,Q (5,-3),M 是线段PQ 的中点,当点P 在圆C 上运动时,求点M 的轨迹的普通方程.解:(1)如图,设圆C 上任意一点A (ρ,θ),则∠AOC =θ-π3或π3-θ. 由余弦定理得,4+ρ2-4ρcos θ-π3=4, 所以圆C 的极坐标方程为ρ=4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π3. (2)在直角坐标系中,点C 的坐标为(1,3),可设圆C 上任意一点P (1+2cos α,3+2sin α),又令M (x ,y ),由Q (5,-3),M 是线段PQ 的中点,得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =6+2cos α2,y =2sin α2(α为参数),即⎩⎪⎨⎪⎧x =3+cos α,y =sin α(α为参数),∴点M 的轨迹的普通方程为(x -3)2+y 2=1.8.在平面直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos φ,y =sin φ(φ为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2,π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)已知极坐标系中两点A (ρ1,θ0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2,θ0+π2,若A ,B 都在曲线C 1上,求1ρ21+1ρ22的值. 解:(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos φ,y =sin φ,∴C 1的普通方程为x 24+y 2=1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ=2a cos θ(a 为半径),将D ⎝⎛⎭⎪⎫2,π3 代入,得2=2a ×12, ∴a =2,∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0),半径为2, ∴C 2的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1,即ρ2=44sin 2θ+cos 2θ. ∴ρ21=44sin 2θ0+cos 2θ0, ρ22=44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0+π2+cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ0+π2=4sin 2θ0+4cos 2θ0.1ρ21+1ρ22=4sin2θ0+cos2θ04+4cos2θ0+sin2θ04=54.∴。
2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习教师用书:选修4-4坐标系与参数方程含解析
选修4-4错误!坐标系与参数方程第一节坐 标 系突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通 抓主干知识的“源”与“流”设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:错误!的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换典例] 求椭圆x 24+y 2=1,经过伸缩变换错误!后的曲线方程. 解] 由错误!得到错误!①将①代入错误!+y 2=1,得错误!+y ′2=1,即x ′2+y ′2=1.因此椭圆错误!+y 2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2+y 2=本节主要包括2个知识点:1。
平面直角坐标系下图形的伸缩变换;2.极坐标系.1。
方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x,y)与变换后的点P′的坐标(X,Y),再利用伸缩变换公式错误!建立联系.(2)已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,一般都要改写为方程f(X,Y)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:错误!求点A错误!经过φ变换所得的点A′的坐标.解:设A′(x′,y′),由伸缩变换φ:错误!得到错误!由于点A 的坐标为错误!,于是x′=3×错误!=1,y′=错误!×(-2)=-1,所以A′(1,-1)为所求.2.求直线l:y=6x经过φ:错误!变换后所得到的直线l′的方程.解:设直线l′上任意一点P′(x′,y′),由题意,将错误!代入y=6x得2y′=6×错误!,所以y′=x′,即直线l′的方程为y=x。
3.求双曲线C:x2-错误!=1经过φ:错误!变换后所得曲线C′的焦点坐标.解:设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),由题意,将{x=13x′,y=2y′代入x2-错误!=1得错误!-错误!=1,化简得错误!-错误!=1,即错误!-错误!=1为曲线C′的方程,可见经变换后的曲线仍是双曲线,则所求焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0).4.将圆x2+y2=1变换为椭圆错误!+错误!=1的一个伸缩变换公式为φ:错误!求a,b的值.解:由错误!知错误!代入x2+y2=1中得错误!+错误!=1,所以a2=9,b2=4,即a=3,b=2。
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第二节参数方程
A组基础题组
1.已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M 在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
2.(2016河北衡水调研)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ.
(1)求曲线C的参数方程;
(2)当α=时,求直线l与曲线C交点的极坐标.
3.(2016河北石家庄一模)在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=cosθ.
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)若P,Q分别是曲线C1和C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.
4.(2016河南八市重点高中质检)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'.
(1)求曲线C'的普通方程;
(2)若点A在曲线C'上,点D(1,3),当点A在曲线C'上运动时,求AD中点P的轨迹方程.
5.已知直线l:t为参数,α≠,k∈Z经过椭圆C:(φ为参数)的左焦点F.
(1)求m的值;
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|·|FB|的最小值.
6.(2016甘肃三校联考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(1,2),求|PA|+|PB|的最小值.
B组提升题组
7.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2.
(1)分别写出C1的普通方程,C2的直角坐标方程;
(2)已知M,N分别为曲线C1的上、下顶点,点P为曲线C2上任意一点,求|PM|+|PN|的最大值.
8.(2016豫南九校3月联考)在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l:(t为参数)与曲线C:(θ为参数)相交于不同的两点A,B.
(1)若α=,求线段AB的中点M的坐标;
(2)若|PA|·|PB|=|OP|2,其中P(2,),求直线l的斜率.
答案全解全析
A组基础题组
1.解析(1)由已知,M点的极角为,且M点的极径等于,故点M的极坐标为.
(2)M点的直角坐标为,A(1,0),故直线AM的参数方程为(t为参数).
2.解析(1)由ρ=2sinθ-2cosθ,
可得ρ2=2ρsinθ-2ρcosθ.
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,
化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2.
曲线C的参数方程为
(φ为参数).
(2)当α=时,直线l的方程为
化成普通方程为y=x+2.
由解得或
所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为,(2,π).
3.解析(1)∵ρ=cosθ,
∴x2+y2=x,即+y2=.
(2)设P(2cosα,sinα),易知C2,
∴|PC2|=
=
=,
当cosα=时,|PC2|取得最小值,|PC2|min=,
∴|PQ|min=.
4.解析(1)将代入得曲线C'的参数方程为
∴曲线C'的普通方程为+y2=1.
(2)设点P(x,y),A(x0,y0),
∵D(1,3),且AD的中点为P,
∴
又点A在曲线C'上,∴代入C'的普通方程+y2=1,得(2x-1)2+4(2y-3)2=4,
∴动点P的轨迹方程为(2x-1)2+4(2y-3)2=4.
5.解析(1)∵椭圆C:的普通方程为+=1,∴F(-1,0).
∵直线l:的普通方程为
y=tanα(x-m),
其中α≠,k∈Z,
∴0=tanα(-1-m),
∴m=-1.
(2)将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程+=1中,并整理,得(3cos2α+4sin2α)t2-6tcosα-9=0.
设点A,B在直线参数方程中对应的参数分别为t1,t2,
则|FA|·|FB|=|t1t2|==,
当sinα=±1时,|FA|·|FB|取得最小值,为.
6.解析(1)由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9.
所以圆C的直角坐标方程为x2+(y-3)2=9.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cosα-sinα)t-7=0.
由已知得Δ=(2cosα-2sinα)2+4×7>0,所以可设t1,t2是上述方程的两根,
则
由题意得直线l过点(1,2),结合t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|
==
=≥=2.
所以|PA|+|PB|的最小值为2.
B组提升题组
7.解析(1)曲线C1的普通方程为+=1.
曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4.
(2)解法一:由曲线C2:x2+y2=4,可得其参数方程为(α为参数),设P点坐标为(2cosα,2sinα),又由题意可知M(0,),N(0,-),
因此|PM|+|PN|
=+=+,
所以(|PM|+|PN|)2=14+2.
所以当sinα=0时,(|PM|+|PN|)2有最大值28.
因此|PM|+|PN|的最大值为2.
解法二:设P点坐标为(x,y),则x2+y2=4,
又由题意可知M(0,),N(0,-),
因此|PM|+|PN|=+=+,
所以(|PM|+|PN|)2=14+2.
所以当y=0时,(|PM|+|PN|)2有最大值28.
因此|PM|+|PN|的最大值为2.
8.解析(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是+y2=1.
当α=时,设点M对应的参数为t0.
直线l的方程为(t为参数),
代入曲线C的普通方程+y2=1,得13t2+56t+48=0,
设直线l上的点A,B对应参数分别为t1,t2.
则t0==-,所以点M的坐标为.
(2)将代入曲线C的普通方程+y2=1,得(cos2α+4sin2α)t2+(8sinα+4cosα)t+12=0,
因为|PA|·|PB|=|t1t2|=,|OP|2=7,
所以=7,得tan2α=.
由于Δ=32cosα(2sinα-cosα)>0,
故tanα=.所以直线l的斜率为.。