垂径定理、圆周角

垂径定理、圆周角强化训练一、选择题（共16小题）1. 若一个圆的半径是6cm，则此圆的最长弦的长度为A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm2. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃片应该是( )A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块3. 如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为( )A. 5πcmB. 6πcmC. 9πcmD. 8πcm4. 如图，⊙O中，∠CBO=45∘，∠CAO=15∘，则∠AOB的度数是( )A. 75∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40∘，则∠AOC的度数为( )A. 20∘B. 40∘C. 60∘D. 80∘6. 如图所示，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是( )A. 4B. 6C. 7D. 87. 如图，AB，DE是⊙O的直径，等腰梯形ACED(AD=CE)内接于⊙O，则下列结论中不成立的是( )A. CE⏜=AD⏜B. AE⏜=CD⏜ C. CE⏜=BE⏜D. AE⏜=AC⏜8. 如图，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM:OC=3:5，则AB的长为( )A. √91cmB. 8cmC. 6cmD. 4cm9. 如图，⊙O的直径AB为4，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，则AD的长等于( )A. 2B. 3C. 2√2D. 2√310. 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0,3)，M是第三象限内OB⏜上一点，∠BMO=120∘，则⊙C的半径长为( )A. 6B. 5C. 3D. 3√211. 如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB⏜的中点，则下列结论不成立的是A. OC∥AEB. EC=BCC. ∠DAE=∠ABED. AC⊥OE12. 半径为R的圆内接正三角形的面积是( )A. √32R2 B. πR2C. 3√32R2D. 3√34R213. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠A=25∘，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD⏜的度数为( )A. 25∘B. 30∘C. 50∘D. 65∘14. 小颍同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的单个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为A. 2√3cmB. 4√3cmC. 6√3cmD. 8√3cm15. 已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=√3，过P作互相垂直的两条弦AC，BD，则四边形ABCD的面积的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 716. 如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB．当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动．如果滑动杆从图中AB处滑动到AʹBʹ处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是( )A. 直线的一部分B. 圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题（共12小题）17. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，AC⏜=CD⏜=BD⏜，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值是．18. 如图，将半径为3cm的圆形纸片折叠后，劣弧中点C恰好与圆心O距离1cm，则折痕AB的长为cm．19. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120∘，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=．20. ⊙O中，若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状为．21. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是AD⏜的中点，连接BE，CE，则∠ABE=∘．22. 如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为．23. 如图所示，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40∘，则∠2=．24. 赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40m，主拱高CD约10m，则桥弧AB⏜所在圆的半径R=m．25. 如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是BC⏜的中点，已知∠AOB=98∘，∠COB=120∘．则∠ABD的度数是．26. 如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3，AC=2，则sinB的值是．27. 如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55∘，∠E=30∘，则∠F=．28. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB=35∘，则∠ADC的度数为．三、解答题（共16小题分）29. 如图所示，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE．若∠A=65∘，求∠DOE的度数．30. 如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆周的16，弦AB的长为1cm，求⊙O的半径．31. 如图，已知⊙O的半径为15，弦AB=24，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值．32. 如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30∘时，求证：BC=OD．33. 如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90∘，BD=4，求△ABC外接圆的半径．34. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39∘，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．35. 已知等边三角形的边长为a，求这个三角形外接圆的面积．36. 如图所示，AB是⊙O的弦（非直径），C，D是AB上的两点，并且AC=BD .求证：OC=OD .37. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是BD⏜的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC．38. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD−AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．39. 如图所示，BC是⊙O的直径，点A，F在⊙O上，连接AB，BF．（1）如图1，若点A，F把半圆三等分，连接OA，OA与BF交于点E．求证：E为OA的中点；（2）如图2，若点A为BF⏜的中点，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，AD与BF交于点G．求证：AG=BG．40. 如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：CD=DE．41. 已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．（1）求证：BC=BD；（2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的长．42. 已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90∘，AD=CD，求证：AC⊥BD；（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．43. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．44. 已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．（1）求证：AB=AC；（2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的长．答案第一部分1. D2. B 【解析】第②块有一段完整的弧，可在这段弧上任作两条不行的弦，作出这两条弦的垂直平分线，则这两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径．故选B．3. D4. B 【解析】连接OC，则∠BCO=∠B=45∘，∠ACO=∠A=15∘，∴∠BCA=30∘，∠AOB=60∘．5. D6. D7. D 【解析】∵四边形ACED是等腰梯形，∴AD=CE，∴AD⏜=CE⏜，∴AD⏜+AC⏜=CE⏜+AC⏜，∴CD⏜=AE⏜．∵∠BOE=∠AOD，∴BE⏜=AD⏜，∴CE⏜=BE⏜．8. B 【解析】如图所示，连接OA．⊙O的直径CD=10cm，则⊙O的半径为5cm，即OA=OC=5cm，又∵OM:OC=3:5，∴OM=3cm，∵AB⊥CD，垂足为M，∴AM=BM，在Rt△AOM中，AM=√52−32=4(cm)，∴AB=2AM=2×4=8(cm)．9. C 10. C【解析】∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO= 120∘，∴∠BAO=60∘．∵∠AOB=90∘，∴AB是⊙C的直径，∴∠ABO=90∘−∠BAO=90∘−60∘=30∘．∵点A的坐标为(0,3)，∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长=AB2=3．11. D 【解析】A：∵点C是EB⏜的中点，∴OC⊥BE，∵AB是圆O的直径，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；B：∵BC⏜=CE⏜，∴BC=CE，本选项正确；C：∵AD是圆O的切线，∴AD⊥OA，∴∠DAE+∠EAB=90∘，∵∠EBA+∠EAB=90∘，∴∠DAE=∠EBA，本选项正确；D：AC不一定垂直于OE，本选项错误．12. D 【解析】如图，⊙O的半径为R，△ABC为其内接正三角形．连接OB、OA，作OD⊥BC于D，则OB=R，OD=12R，AD=32R，所以BC=2BD=√3R．所以S△ABC=12BC⋅AD=12⋅√3R⋅32R=3√34R2.13. C 【解析】连接CD．∵∠A=25∘，∴∠B=65∘．∵CB=CD，∴∠BCD=50∘．14. B 【解析】OD=6，∠BOD=60，∴BO=2×√3=4√3 .15. B16. B 【解析】连接OC，直角三角形斜边中线等于斜边一半，斜边AB长不变，OC长不变．第二部分17. 8cm18. 2√519. 2√3【解析】提示：∠BCA=30∘，∠BDA=30∘，∠BAD=90∘．20. 等边三角形21. 22.522. √1323. 50∘24. 2525. 101∘【解析】∵∠AOB=98∘，∠COB=120∘，∴∠AOC=360∘−120∘−98∘=142∘．∴∠ABC=71∘．∵点D是BC⏜的中点，∴∠DBC=14∠BOC=30∘．∴∠ABD=71∘+30∘=101∘．26. 2327. 40∘【解析】∵∠CDE=∠ABE=180∘−(∠A−∠E)=95∘，∴∠F=∠CDE−∠A=40∘．28. 55∘【解析】连接BC，因为AB是直径，所以∠ACB=90∘，∠CAB=35∘，所以∠ABC=55∘，∠ADC=55∘．第三部分29. ∵∠A=65∘，∴∠B+∠C=115∘．∵OB=OD，OC=OE，∴∠ODB=∠B，∠OEC=∠C．∴∠DOB+∠COE=130∘．∴∠DOE=50∘．30. 如图，连接OA，OB．由题意可知，AB⏜的度数为16×360∘=60∘，∴∠AOB=60∘．∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形．∴OA=OB=AB=1cm．∴⊙O的半径为1cm．31. 过O作OC⊥AB，可得C为AB的中点，∵AB=24，∴AC=BC=12，∴OC=√OA2−AC2=√152−122=9．在Rt△AOC中，OA=15，AC=12，则cos∠OAB=1215=45．32. （1）∵OD⊥AC，OD为半径，∴CD⏜=AD⏜．∴∠CBD=∠ABD．∴BD平分∠ABC．（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=30∘，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30∘+30∘=60∘．∵OD⊥AC于点E，∴∠OEA=90∘．∴∠A=180∘−∠OEA−∠AOD=30∘．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90∘．在Rt△ACB中，BC=12AB．∵OD=12AB，∴BC=OD．33. （1）∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴BD⏜=CD⏜，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）连接CD，如图所示：由（1）得：BD⏜=CD⏜，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90∘，∴BC是直径，∴∠BDC=90∘，∴BC=√BD2+CD2=4√2，∴△ABC外接圆的半径=12×4√2=2√2．34. （1）∵BC=DC，∴BC⏜=DC⏜．∴∠BAC=∠CAD=∠CBD．∵∠CBD=39∘，∴∠BAC=∠CAD=39∘．∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=78∘．（2）∵EC=BC，∴∠CBE=∠CEB．∵∠CBE=∠1+∠CBD，∠CEB=∠2+∠BAC，∴∠1+∠CBD=∠2+∠BAC．∵∠BAC=∠CBD，∴∠1=∠2．35. 如图，连接AO，过点O作OD⊥AB于点D．∵AB=AC=BC，∴AO平分∠BAC．∴∠DAO=12∠BAC=12×60∘=30∘．∵OD⊥AB，∴AD=12AB=12a．在Rt△AOD中，AO=ADcos∠DAO=12acos30∘=√33a，∴⊙O的面积为π(√33a)2=13πa2．36. 过点O作OE⊥AB于点E．∴AE=BE．∵AC=BD，∴CE=ED．∵OE=OE，∴△OCE≌△ODE．∴OC=OD．37. 如图，连接AC．∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=∠ACE=90∘．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180∘．∵∠ABC+∠EBC=180∘，∴∠EBC=∠D．∵C是BD⏜的中点，∴∠1=∠2．又∠1+∠E=∠2+∠D=90∘，∴∠E=∠D．∴∠EBC=∠E．∴BC=EC．38. （1）∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC．又AB=AC，∴D是BC的中点．（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C．又∠B=∠E，∴∠C=∠E，则DC=DE．∴BD=DE=3．又BD−AD=2，∴AD=1．在Rt△ABD中，BD=3，AD=1，∴AB=√BD2+AD2=√32+12=√10．则⊙O的半径为√102．（3）∵∠B=∠E，∠C=∠C，∴△CAB∽△CDE．∴CBCE =CACD．∵CA=AB=√10，∴CE=CB⋅CDCA =√10=95√10．∴AE=CE−AC=95√10−√10=45√10．39. （1）因为A，F为半圆三等分点，所以∠AOB=13×180∘=60∘，因为OA=OB，所以△OAB为等边三角形，因为A为BF⏜的中点，所以OA⊥BF，所以BE为△ABO的中线，所以E为OA的中点．（2）连接AF，AC，因为A为BF⏜的中点，所以AB⏜=AF⏜，所以∠ABF=∠F，因为AB⏜=AB⏜，所以∠C=∠F，所以∠C=∠ABF，因为BC为⊙O的直径，所以∠BAC=90∘，所以∠BAD+∠CAD=90∘．因为AD⊥BC，所以∠C+∠CAD=90∘，所以∠BAD=∠C，所以∠ABG=∠BAG，所以AG=BG．40. （1）∵AD为直径，AD⊥BC，∴BD⏜=CD⏜，∴BD=CD．（2）∵BD⏜=CD⏜，∴∠BAD=∠CBD，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE=∠CBE，∵∠DBE=∠CBE+∠CBD，∠BED=∠ABE+∠BAD，∴∠BAD+∠ABE=∠CBD+∠EBF，即∠BED=∠EBD，∴BD=DE，∴CD=DE．41. （1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴BC⏜=BD⏜．∴BC=BD．（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90∘．∴AB=√AD2+BD2=√202+152=25．∵12×AB×DE=12×AD×BD，∴12×25×DE=12×20×15．∴DE=12．∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CD=2DE=2×12=24．42. （1）∵∠ADC=∠BCD=90∘，∴AC，BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90∘，∴四边形ABCD是矩形．∵AD=CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC ⊥BD．（2）作直径DF，连接CF，BF．∵DF是直径，∴∠DCF=∠DBF=90∘，∴FB⊥DB．又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∴CF⏜=AB⏜，∴CF=AB．根据勾股定理，得CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，∴DF=2√5，∴OD=√5，即⊙O的半径为√5．43. ∵OD⊥AB，∴AC=BC=12AB．设AO=x．在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2．∴x2=42+(x−2)2．解得x=5．∴AE=10，OC=3．连接BE．∵AE是直径，∴∠ABE=90∘．由OC是△ABE的中位线可求BE=2OC=6．在Rt△CBE中，CE2=BC2+BE2．∴CE=√BC2+BE2=√16+36=2√13．44. （1）∵∠ABC=∠2，∠2=∠1=∠3，∠4=∠3，∴∠ABC=∠4，∴AB=AC．（2）∵∠3=∠4=∠ABC，∠DAB=∠BAE，∴△ABD∽△AEB．∴ABAE=ADAB．∵AB=AC=3，AD=2，∴AE=AB2AD=92．∴DE=92−2=52(cm)．。