福州高级中学2014级数学培优资料 第2讲 函数值域的求法p
例说求函数值域的十种基本方法
例说求函数值域的十种基本方法求函数值域是数学中的一个重要问题，涉及到了函数的性质和特点。
接下来，我将为您介绍求函数值域的十种基本方法。
1.函数特性法首先，我们可以通过函数的特性来判断其值域。
例如，如果函数是线性函数，那么它的值域是整个实数集；如果函数是二次函数，那么它的值域可以通过求解二次方程得到。
2.函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的值域。
值域可以通过观察函数图像的最高点、最低点以及其他特殊点得出。
3.函数解析式法通过函数的解析式，可以对其进行分析，确定函数的值域。
例如，对于一个多项式函数，可以通过求导，找出函数的极值点，从而得到值域。
4.函数区间法将函数的定义域划分为若干个区间，在每个区间内分别求出函数的最大值和最小值，然后取这些最值的并集，即可得到函数的值域。
5.函数性质法根据函数的性质，判断其值域。
例如，若函数是奇函数，那么其值域与定义域对称；若函数是周期函数，那么值域只需要求出一个周期内的值。
6.函数导数法通过求函数的导数，可以找出函数的极值点，然后确定函数的值域。
导数为零的点是函数的极值点，其中最大值和最小值即为函数的值域的上界和下界。
7.函数符号法通过研究函数的符号变化，可以确定函数值域。
例如，对于一个有理函数，可以研究当自变量趋于正无穷和负无穷时，函数值的变化情况。
8.函数求导法对于一些复杂的函数，可以通过对函数进行求导，并求出导函数的零点，从而找到函数的极值点。
极值点即为函数的值域的边界点。
9.函数的逆函数法若函数的逆函数存在，可以通过研究逆函数的定义域来确定函数的值域。
逆函数与原函数的值域相同，因此可以求出函数的逆函数，然后通过研究逆函数的值域来确定函数的值域。
10.函数的一些特点法对于一些具有特殊特点的函数，可以通过对这些特点进行分析，来确定函数的值域。
例如，对于一个增函数，函数的值域是从函数图像的最低点到最高点。
求函数值域的几种常用方法
求函数值域的几种常用方法函数值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
求解函数值域通常有几种常用的方法，下面将对这些方法进行详细的介绍。
1.代入法：代入法是求解函数值域最直接的方法。
通过将定义域内的值代入函数表达式，得到对应的函数值，然后将这些函数值集合起来形成函数的值域。
例如对于函数f(x)=x²+1，我们可以将定义域内的各个数值代入该函数，计算函数值，然后再将函数值组成的集合确定为函数的值域。
2.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来求解函数的值域。
对于一些简单的函数，可以直接绘制函数的图像，然后观察图像来确定函数的值域。
通过观察函数的图像，我们可以看出函数的上界、下界以及其他特征，从而确定函数的值域。
需要注意的是，通过图像法求解函数值域只能获得大致的范围，如果需要准确求解，请使用其他方法。
3.分析法：分析法是通过对函数表达式进行分析，找出函数的特点来求解函数的值域。
例如对于多项式函数，可以通过对其导数进行分析，找出导数的零点，以及函数在这些零点附近的变化情况，进而确定函数的最值和值域。
另外，还可以通过计算函数的极限来确定函数的值域，例如对于有界闭区间上的连续函数，它的值域就是该函数在这个区间内取得的最大值和最小值之间的闭区间。
4.反函数法：反函数法是通过求解函数的反函数来求解函数的值域。
如果函数存在反函数，并且已知反函数的定义域，则函数的值域就等于反函数的定义域。
可以通过求解函数的反函数来确定函数值域的范围。
5.值域的性质法：对于一些特殊的函数，可以利用其性质来求解函数的值域。
例如三角函数和指数函数等，我们可以利用其周期性、奇偶性和单调性等特点来确定函数的值域。
通过分析这些函数的性质，结合函数的定义域，可以直接得出函数的值域。
需要注意的是，对于复杂的函数，可能需要结合多种方法来求解函数的值域。
有时候还需要利用一些数学工具和理论来辅助求解，如极值定理、介值定理等。
最终获得函数的值域需要结合具体情况，并根据函数的定义域和性质来确定。
求函数值域的几种方法PPT课件
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演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
y
x2
1
2x
x2 2x
1 y
,
1 y
1 .
1 y
1
0
,
即
y
y
1
0
.
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
❖ 4. 利用反函数的定义域求函数的值域
若一个函数有反函数，则它的反函数的定义域就是 原函数的值域 .
例5 求函数 y 解：由 y 2x
3x
2x 3x
3 1
3 1
3
的值域 .
注：对于分式函 xy y 2数x ， 3如果它的分
子和分母都是 x
x
y3 3y2
,
y 2 . 的一次式，一般 3 用这种方法求值
所以函数的值域为 y y R , 且域y比 (x) 在某一区间上是单调的，
且函数在两个端点处的函数值（或左、右极限） 为 a、b，则 a、b 就是这个函数的最大、最小 值（或上、下确界，a，b也可能是 ∞）.
例6 求函数 y x 1 x 1 的值域 .
解：显然此函数的定义域为 [1，+∞）.
当 x 1 时，函数单调递增 .
又因 f (1) 2 , 函数值域为 2 ， .
当 u 0+ 时，y +∞ . 函数 y x(2 x)
高中数学函数值域的种求法总结
高中数学函数值域的种求法总结高中数学中，函数值域是指函数在定义域内所有可能的取值的集合。
求函数值域是解决各类函数问题的重要方法之一、下面将总结高中数学中常用的求函数值域的11种方法。
1.利用定义法：根据函数的定义，直接求解函数的取值范围。
例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方永远非负，所以其值域为[0,+∞)。
2. 利用图像法：通过绘制函数的图像，观察图像的上下界即可求得函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，故其值域为[-1, 1]。
3.利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用函数的对称性来快速求解其值域。
例如，对于奇函数f(x)=x^3，由于x^3关于原点对称，故其值域为整个实数轴。
4.利用函数的性质：通过函数的特点和性质来求解其值域。
例如，对于指数函数f(x)=a^x，由于指数函数永远大于0，所以其值域为(0,+∞)。
5. 利用最值的求解方法：对于具有最值的函数，可以通过求解最值来确定函数的值域。
例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，由于 a > 0，故二次函数的开口向上，函数的最小值为顶点的 y坐标，可以通过求解顶点坐标来确定函数的值域。
6.利用函数的递增性或递减性：对于递增函数或递减函数，可以根据函数递增性或递减性来求解其值域。
例如，对于递增函数f(x)=2x+1，由于斜率大于零，函数单调递增，故值域为(-∞,+∞)。
7. 利用函数的周期性：对于具有周期性的函数，可以利用函数的周期性来求解其值域。
例如，对于正弦函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值在一个周期内是重复的，故其值域为 [-1, 1]。
8. 利用函数的复合性：对于复合函数，可以将函数拆解成多个简单的函数，然后求解每个简单函数的值域，最后将值域组合起来得到复合函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sqrt(x^2 + 1)，可以拆解成 f(x) = g(h(x)), 其中 g(x) = sqrt(x) 和 h(x) = x^2 + 1，然后求解 g(x) 和h(x) 的值域，最后得到 f(x) 的值域。
求函数值域的四种方法
求函数值域的四种方法一、观察法。
1.1 这种方法就像是我们用眼睛去打量一个人，直观又简单。
对于一些简单的函数，我们可以直接通过观察函数的性质来确定值域。
比如说一次函数y = 2x + 1，x 可以取任意实数，那随着x的变化，y也会相应地在实数范围内变化，所以这个一次函数的值域就是全体实数。
这就好比我们看一个一目了然的事情，不用费太多周折。
1.2 再看函数y = x²，因为任何实数的平方都大于等于0，所以这个函数的值域就是[0，+∞)。
这就像我们知道太阳总是从东边升起一样确定，一眼就能看出来这个函数值的范围。
二、配方法。
2.1 配方法就像是给函数做个“美容整形”。
拿二次函数y = x² 2x + 3来说，我们可以把它配方成y = (x 1)²+ 2。
因为(x 1)²大于等于0，所以y就大于等于2。
这就好比我们把一个有点杂乱的东西整理得井井有条，然后就能清楚地看到它的价值范围了。
2.2 还有函数y = -x²+ 4x 1，配方后得到y = -(x 2)²+ 3。
由于-(x 2)²小于等于0，所以这个函数的值域就是(-∞，3]。
这就像我们把一个原本模糊不清的东西，通过自己的巧手整理，让它的界限清晰起来。
2.3 配方法就像是一个神奇的魔法，能把复杂的二次函数变得简单易懂，让我们轻松地找出值域这个“宝藏”。
三、换元法。
3.1 换元法有点像“偷梁换柱”。
例如函数y = 2x + √(x 1)，我们可以设t = √(x 1)（t≥0），那么x = t²+ 1。
这样原函数就变成了y = 2(t²+ 1)+ t = 2t²+ t + 2。
这就把原来带根号的复杂函数转化成了一个二次函数，然后我们就可以用配方法或者观察法来求值域了。
这就像我们在一个迷宫里，找到了一条新的通道，一下子豁然开朗。
3.2 再比如函数y = x + √(1 x²)，我们设x = sinθ（-π/2≤θ≤π/2），那么原函数就变成了y = sinθ+ cosθ。
高中数学函数值域的11种求法！连老师都建议收藏！
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中国人常说：学好数理化，走遍天下都不怕。
可见理科学科在国人心目中占了多么重要的位置。
其中，数学作为理科的根本，毋庸置疑的更是重中之重。
函数，是高中数学中很重要的一部分内容，很多同学也为函数值域的求法感到头痛。
今天我就给大家分享一下，高中数学中函数值域的11种求法。
只要同学们熟练掌握了这些求法，便能轻轻松松地应对高中函数了。
我坚信，没有学不好的孩子，只有不会学的孩子。
很多孩子成绩不好都是学习方法、记忆方法不对造成的，我在网上举办《最强大脑》免费公益课，添加微信号：203013661报名即可免费听课。
福州高级中学2014级数学培优资料 第2讲 函数值域的求法(学生)
第二讲 函数值域的求法一、配方法：【例1】求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.【例2】求函数342-+-=x x e y 的值域.【例3】求函数421,[3,2]x x y x --=-+∈-的最大值与最小值.【例4】求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x x x y 的最大值和最小值.【例5】已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.二、换元法：【例6】求函数x x y 21-+=的值域.【例7】已知函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡95,83，求函数)(21)(x f x f y -+=的值域.三、单调性法：【例8】求函数23y x =-.【例9】求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域.【例10】求函数x x y --+=863 的值域.【例11】求函数y =.【例12】求函数y x =.【例13】求函数2()f x =（x R ∈）的值域.【例14】求函数()()52()1x x f x x ++=+（1x ≠-）的值域. 【例15】求函数12++=x x y 的值域.【例16】求函数1222+++=x x x y 的值域.四、判别式法：【例17】求函数225851x x y x ++=+的值域.【例18】求函数2212+++=x x x y 的值域.【例19】函数22813()log ax x b x f x +++=的定义域为(,)-∞+∞，值域为[0,2]，求,a b 的值.【例20】设函数 ()22axb y f x x +==+的值域为 []51,-，求a ,b .【例21】已知函数y =f (x)=()01222<+++b x c bx x 的值域为[1,3],求实数b ,c 的值.五、方程有解法：用方程法求解函数值域是指利用方程有解的条件求函数值的取值范围即值域的方法，其理论依据是：定理1：函数)(x f y =（定义域为f D ）的值域是使关于x 的方程y x f =)(有属于f D 的解的y 值的集合. 定理2：若)()(x g x f 为最简有理分式，则函数)()(x g x f y =的值域是使关于x 的方程)()(x f x g y =⋅有解的y 值的集合. 【例22】求函数1e 1e y x x +-=的值域.【例23】求函数5x 2x 1y +-=的值域.六、数形结合法：【例24】求函数13y x x =-+-的值域.【例25】求函数31y x x =--+的值域.【例26】求函数y =的值域.【例27】求函数()225222++-++=x x x x x f 的最大值.。
人教A版高中数学必修一教学课件：培优课2求函数值域的七种方法
A．[0,2]
B．[0,4]
C．(－∞，4]
D．[0，＋∞)
解析：因为 y＝ －x2－6x－5＝ －x＋32＋4 ≤ 4＝2，
所以 y∈[0,2]．
答案：A
5．函数 y＝2x－1－ 13－4x的最大值为________．
解析：方法一 令 t＝ 13－4x(t≥0)， 则 x＝13－4 t2.所以 y＝13－2 t2－1－t＝－t22－t＋121＝－12(t＋ 1)2＋6. 因为 t≥0，所以 y＝－21(t＋1)2＋6 在[0，＋∞)上为减函数， 所以当 t＝0 时，y 有最大值，为121.
数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而 得到原函数的值域)和判别式法(即把函数转化成关于x 的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，Δ≥0，从
而求得原函数的值域，需熟练掌握一元二次不等式的 解法)，在今后的学习中，会具体讲述．
求函数的最值(值域)常用方法： (1)直接法：应用基本初等函数(正、反比例函数，一次、二 次函数)最值的结论，直接写出函数的最值； (2)观察法：当函数解析式中仅含有 x2 或|x|或 x时，通常利 用常见的结论 x2≥0，|x|≥0， x≥0 等，直接观察写出函数的 最值； (3)利用函数的单调性求最值； (4)换元法：即利用换元法转化为求二次函数等常见的最值 问题．
解析：f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6， 令 f(x)＝－2，则 x＝0 或 x＝4. 如图，所以 m∈[2,4]． 答案：[2,4]
谢谢观看！
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
4．换元法(运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定
求函数的值域课件.ppt
三：换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数化为 代数函数来求函数值域的方法(关注新元的取值范围). 例2 求函数 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复 y=x+ 1-x 杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后 新元的取值范围。
求下列函数的值域： （ 1） y = x +
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
会生活。
2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽
有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写 A．电话 C．电报 B．汽车 D．火车 ( )
解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。 答案：D
[典题例析] [例1] 上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种
交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江 居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 A．江南制造总局的汽车 B．洋人发明的火车 ( )
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析]
由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民
到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。 [答案] C
[题组冲关] 1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
求函数值域的方法
求函数值域的方法第一篇：求函数值域的方法求函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解x，用y 来表示，再由x的取值范围，通过解不等式，得出 y的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：利用均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
第二篇：求函数的值域的常见方法求函数的值域的常见方法王远征深圳市蛇口学校求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。
本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。
一、直接法函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。
例1．已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,0,1,2}，求函数的值域。
2解：因为x∈{-1,0,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(0)=f(2)=0，f(1)=-1 所以：y∈{-1,0,3}，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。
请体会两者的区别。
二、反函数法反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。
例2．求函数y=1-x5的值域。
2x+1x分析与解：注意到2>0，由原函数求出用y表示2的关系式，进而求出值域。
由y=1-x5x2=，得：x2+1因为2>0，所以y+4>0⇒-4<y<1， 1-y值域为：{y|-4<y<1}三、函数的单调性例3．求函数y=x+1在区间x∈(0,+∞)上的值域。
x分析与解答：任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1)，因为0<xx1x2<x2，所以：x1-x2<0,x1x2>0，当1≤x1<x2时，x1x2-1>0，则f(x1)>f(x2)；当0<x1<x2<1时，x1x2-1<0，则f(x1)<f(x2)；而当x=1时，ymin=2 于是：函数y=x+在区间x∈(0,+∞)上的值域为[2,+∞)。
函数值域的求法
函数值域的求法一、求函数的值域问题时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系是确定函数的依据.常用的方法有：（1）观察法：有的函数的结构并不复杂，可以通过对函数解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值域求出原函数的值域. 如求函数1122+-=x x y 的值域，可变性为112+=x y ，由02≥x 得112≥+x ，再求倒数得11102≤+<x ，通过观察知其值域为(]1,0.（2）配方法:对二次函数型的解析式先进行配方,并充分注意到自变量的取值范围，利用求二次函数值域的方法求函数的值域. 如函数()062≥-+=x x x y 的值域可以这样求: ()71622-+=-+=x x x y ,因为0≥x ,所以()11,02≥+≥x x ,所以()6712-≥-+x ,固原函数的值域为[)+∞-,6.(3)图像法:先作出函数的图像,观察函数图像的“最高点”和“最低点”，采用数形结合的方法求得函数的值域. 一般求分段函数的值域常用此法.(4)判别式法:形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=(21,a a 不同时为零)的函数,当分子和分母没有公因式时(分子和分母有公因式时,先消去公因式)将函数的解析式转化为关于自变量x (或某个代数式)的一元二次方程,利用一元二次方程有实根的条件是判别式0≥∆,得到关于y 的不等式,解此不等式即可得到值域. 此法常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此方法时要特别注意原式变形后的二次项系数分为零和非零两种情况.(5)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，利用这些函数的值域求原函数的值域. 用换元法求函数的值域时，要注意换元后辅助元（也叫中间变量）的取值范围，形如)0,,,(≠+++=ac d c b a d cx b ax y 均为常数，的函数，求值域时常用换元法.(6)分离常数法：形如)0(≠++=a b ax d cx y 的函数，经常采用分离常数法，将bax d cx ++变形为 ()b ax a bc d a c b ax a bcd b ax a c +-+=+-++，再结合x 的取值范围确定bax a bc d +-的取值范围，从而确定函数的值域.特别提示：求函数值域的方法灵活多变，除了上述几种常见的方法外，还有最值法、反解法等，解题过程中，应注意选取最优的解法，求函数的值域的关键是把握对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.二、例题讲解求下列函数的值域：1、{}4,3,2,1,0,1,1212-∈-=x x y2、xx y -+=43 3、3422+-=x x y 4、2211x x y +-=分析：求函数的值域就是通过函数定义域中x 的取值，根据对应关系确定y 的取值. 解：（1）（观察法）将4,3,2,1,0,1-=x 分别代入1212-=x y ，得7,27,1,21-1-21-，，，=y . ∴此函数的值域为}7,27,1,21-1-21-，，，⎩⎨⎧ （2）方法一（分离常数法）：()x x x y -+-=-+--=-+=471474x 4x 3， ∴-≠∴≠-,1,047y x此函数的值域为{}1|-≠y y . 方法二（反解法）,134,3443+-=∴+=-∴-+=y y x x xy y x x y 得1-≠y ∴此函数的值域为{}1|-≠y y （3）（配方法）()111234222≥+-=+-x x x113422=≥+-=∴x x y∴此函数的值域[)∞+，1（4）（分离常数法）,12111222x x x y ++-=+-= 而函数的定义域为R ，,11211,2120,11222≤++-<-∴≤+<∴≥+∴x x x∴此函数的值域为(]1,1-。
函数值域的求法PPT课件
(1)(-∞, 3)∪(3, +∞) (2)(-∞, 4]
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(3) y=|x+1|+ (x-2)2 ;
(3)[3, +∞)
2-x-2 2 x (6) y= 2 ; x +x+1 2-x+1 1 2 x (7) y= 2x-1 ( 2 <x≤ 3 ); 2
1+2 13 1 2 13 (6)[ 3 , 3 ] 2 , +∞ ) (7)[ 1+2 2 (8)[-1, +∞)
(1)y=3+ 2+x + 2-x ; 4 ], 求 y=f(x)+ 1-2f(x) 的值域. (2)若f(x)的值域为[ 3 , 8 9
四、分离常数法
主要适用于具有分式形式的函数解析式, 通过变形, 将函 数化成 y=a+ b 的形式. g(x) 3 x 4 x 2 y (1) y = ; 例4 求下列函数的值域: (2) 2x+1 5x 6
(8) y=x+ x+1 ;
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一、配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值 域, 要注意 f(x) 的取值范围. 例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域: ①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1]. [6, 11]; [2, 6]; [3, 63;B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零). x2-x 例5 求函数 y = 2 的值域. x +x+1
求值域的方法
求值域的方法求一个函数的值域是指函数在定义域内所有可能的函数值的集合。
对于一些简单的函数，我们可以通过将自变量代入函数表达式来确定值域。
不过，对于一些复杂的函数，特别是无法用简单的函数表达式表示的函数，我们需要采用一些方法来确定值域。
以下是一些常见的方法来确定函数的值域：1. 函数图像法：通过画出函数的图像，我们可以观察到函数的值域。
函数的值域就是图像上所有纵坐标所组成的集合。
这种方法适用于可以用函数图像表示的函数，比如多项式函数、三角函数、指数函数等。
2. 列举法：将函数的定义域内的所有可能的自变量代入函数表达式，得到函数的所有可能的函数值，然后将这些函数值组成一个集合。
这种方法适用于简单的函数，比如线性函数、二次函数等。
3. 分段函数法：对于一些分段函数，我们可以分别求出每个分段函数的值域，然后再将这些值域合并起来得到整个函数的值域。
这种方法适用于定义域内包含多个分段的函数，比如分段函数、绝对值函数等。
4. 特殊点法：对于存在极值的函数，函数的值域就是函数的极值点和极值点之间的区间。
找出函数的极值点并求出这些点对应的函数值，然后将这些函数值组成一个集合。
这种方法适用于存在极值点的函数，比如多项式函数、有理函数等。
5. 利用性质法：有些函数具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来确定函数的值域。
比如对于一些线性函数或二次函数，我们可以通过判断函数的开口向上还是向下来确定函数的值域是否有上界或下界。
需要注意的是，确定函数的值域需要先确定函数的定义域。
一些函数的定义域可能是有限的，而另一些函数的定义域可能是无限的，我们需要根据函数的定义域来选择合适的方法来确定值域。
最后，对于一些复杂的函数，我们可能无法直接求出其值域。
这时，我们可以利用数学工具和方法，如微积分、数列极限、泰勒级数等来近似确定函数的值域。
求值域的方法
求值域的方法在数学中，函数的值域指的是函数所有可能输出的实数集合。
求值域的方法是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
本文将介绍几种常见的求值域的方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来看一种常见的求值域的方法——利用函数的图像。
通过观察函数的图像，我们可以直观地看出函数的值域。
例如，对于一个一元一次函数y=ax+b来说，当a>0时，函数的值域为(-∞,+∞)，当a<0时，函数的值域为(+∞,-∞)。
对于二次函数y=ax^2+bx+c来说，我们可以通过求解函数的判别式Δ=b^2-4ac来判断函数的值域。
当Δ>0时，函数的值域为(-∞,y_0]∪[y_1,+∞)，其中y_0和y_1分别为函数的两个极值点；当Δ=0时，函数的值域为(-∞,y_0]∪[y_0,+∞)；当Δ<0时，函数的值域为(-∞,+∞)。
通过观察函数的图像，我们可以直观地看出函数的值域，这是一种常见且直观的求值域的方法。
其次，我们来看另一种求值域的方法——利用函数的性质。
对于一些特殊的函数，我们可以通过分析函数的性质来求解函数的值域。
例如，对于反比例函数y=k/x来说，我们可以通过观察函数的性质来求解函数的值域。
当k>0时，函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)；当k<0时，函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)。
通过分析函数的性质，我们可以求解出函数的值域，这是一种常见且简便的求值域的方法。
最后，我们来看第三种求值域的方法——利用函数的定义域。
对于一个函数来说，它的值域通常是由定义域决定的。
我们可以通过分析函数的定义域来求解函数的值域。
例如，对于一个定义在实数集上的函数f(x)来说，如果定义域为R，那么函数的值域也为R。
通过分析函数的定义域，我们可以求解出函数的值域，这是一种简单且常见的求值域的方法。
综上所述，求值域的方法有很多种，其中包括利用函数的图像、利用函数的性质和利用函数的定义域等。
专题二：函数值域的求法
专题二：函数值域的求法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。
遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。
原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。
本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。
一、直接法方法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
【例题1】求函数()1y x =≥的值域。
)+∞【例提2】求函数y = [)1,+∞【例题3】求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
二、配方法方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例题】求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。
三、最值法：方法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。
【例题1】求函数y=3-2x-x2 的值域。
解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。
函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。
∴函数的值域是［0,2］【例题2】求函数2x y =，[]2,2x ∈-的值域。
1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例题3】求函数2256y x x =-++的值域。
73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、反函数法方法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
求函数值域的方法
求函数值域的方法函数的值域是指函数在定义域上所有可能输出的实数值的集合。
换句话说，值域是函数在所有自变量上运算后得到的因变量的所有可能取值的集合。
确定一个函数的值域可以帮助我们了解函数的性质及其可能的输出结果。
以下是确定函数值域的一些常见方法：1.通过函数的图像确定值域：绘制函数的图像可以提供直观的视觉信息，从而判断函数的值域。
观察图像时，应注意图像的最高点和最低点，并确定图像是否有其他局部极值。
将图像在纵轴上的最低点标记为函数的下限，将图像在纵轴上的最高点标记为函数的上限，值域即位于这两个标记之间的所有值。
2.分析函数的定义域：分析函数的定义域有助于确定函数的值域。
对于连续函数而言，其定义域上的闭区间是一个可能的值域，并且函数在这个闭区间上取得了最大值和最小值。
对于分段函数，可以分别分析每个定义域的值域，并将所有的值域合并为最终的值域。
3.求导数和极值点：对于可求导的函数，可以通过求导数来找到函数的极值点。
对于单调递增的函数，值域可以由函数在定义域上的最小值和最大值确定。
对于有多个极值点的函数，取这些极值点的函数值组成的集合即可确定值域。
4.复合函数的值域：对于复合函数，可以通过分析内部函数和外部函数的值域来确定整个复合函数的值域。
首先确定内部函数的值域，然后将这个值域作为外部函数的定义域，进一步确定整个复合函数的值域。
5.分析函数的性质：对于特定类型的函数，可以通过分析其特定性质来确定其值域。
例如，对于多项式函数，可以通过观察多项式的次数和首项系数的符号来确定其值域的上限和下限。
需要注意的是，确定函数的值域并不总是一个简单的过程。
对于复杂的函数，可能需要运用多种方法来找到精确的值域。
此外，要注意在求值域时区分开区间和闭区间，并且要对可能的特殊情况进行分析。
总结起来，确定函数的值域可以通过分析函数的图像、定义域、导数和极值点、复合函数的值域以及函数的特性来进行。
这些方法可以帮助我们了解函数的输出结果的可能范围，并且有助于解决函数相关的问题。
函数值域的求法总结
函数值域的求法总结引言函数是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在分析函数时，除了研究其定义域和解析性质外，了解函数的值域也是很有意义的。
本文将从不同的角度总结函数值域的求法，并通过例子加以说明。
1. 图像法图像法是最常用的求函数值域的方法之一。
可以通过绘制函数的图像来观察函数的取值范围。
具体步骤如下：1.根据函数的定义域，选择恰当的自变量值。
2.分别计算这些自变量对应的函数值。
3.绘制函数的图像。
4.观察图像的纵坐标范围，即为函数的值域。
下面以函数f(x) = x^2 - 3为例进行说明：import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npx = np.linspace(-5, 5, 100) # 定义自变量的取值范围y = x **2-3# 计算函数值plt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x)')plt.title('Graph of f(x) = x^2 - 3')plt.grid(True)plt.show()根据绘制的图像可以看出，函数的值域为负无穷到负3的闭区间和零到正无穷的闭区间，即函数值域是[-3, ∞)。
2. 解析法解析法是根据函数的表达式来求解函数的值域。
具体步骤如下：1.对函数进行分析和化简，找出函数值域的特点。
2.根据特点确定函数值域的区间。
3.引入极限的概念，求解函数的值域。
下面以函数g(x) = (x + 1)/(x - 2)为例进行说明：由于x - 2不能为零，所以x ≠ 2。
根据函数的表达式，当x趋向于正无穷时，(x + 1)/(x - 2)趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，(x + 1)/(x - 2)趋向于负无穷。
因此，在x ≠ 2的条件下，函数的值域为负无穷到正无穷的开区间，即(-∞, ∞)。
3. 导数法导数法是通过对函数求导来求解函数的值域。
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函数值域的求法一、配方法：对于求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠或可转化为形如[]2()()()(0)f x a g x bg x c a =++≠的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解. 例1：求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.解：函数的定义域为[]1,4，2242(2)2y x x x =-+-=--+，从而函数为对称轴为2x =的开口向下的二次函数，2min 44422y ∴=-+⨯-=-，max 2y =.即函数的值域为[]2,2-.例2：求函数342-+-=x x ey 的值域.解: 此题可以看作是ue y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数, 对u 配方可得:1)2(2+--=x u , 得到函数u 的最大值1=u , 再根据u e y =得到y 为增函数且0>y ,故函数342-+-=x x ey 的值域为: ],0(e y ∈.例3：求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值。
例4：求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值。
二、换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解. 例6：（整体换元） 已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.解：令2xt =，[]0,2x ∈ ，[]21,4xt =∈≥，则()()12212211()43252325232561022x x x x x x f x t t --=-⋅+=-⋅+=-⋅+=-+()211322t =-+。
故当3t =即23x =也即2log 3x =时，()f x 有最小值[]min 1()(3)2f x f ==；当1t =即21x =也即0x =时，()f x 有最小值[]max 5()(0)2f x f ==.∴函数()f x 的值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例7：（整体换元）求函数3y x =. 解：函数的定义域为2,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令t =0t ≥，225t x -=()222211549356555220t y t t t t -⎛⎫∴=⋅+=---=--+ ⎪⎝⎭。
∴当52t =52=也即1720x =-时，函数有最大值4920；函数无最小值.∴函数的值域为49,20⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.点评：对于形如()f x ax b =+±a 、b 、c 、d 为常数，0ac ≠）的函数，我们可以利用换元法求其值域.例10：已知函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡95,83，求函数)(21)(x f x f y -+=的值域。
解：令21)(,)(212t x f t x f -==-则，21212122++-=+-=∴t t t t y 由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤0)(2195)(83x f x f 得：21)(83≤≤x f 210≤≤∴t ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴87,21y ∴所求值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,21。
三、不等式法：例11：求函数()()52()1x x f x x ++=+（1x ≠-）的值域.解：()()2252710(1)5(1)4()11x x x x x x f x x x ++++++++===+++4151x x =++++当10x +>即1x >-时，()59f x ≥=（当411x x +=+即1x =时取得“=”）；当10x +<即1x <-时，()51f x ≤-=（当411x x +=+即3x =-时取得“=”）； ()f x ∴的值域为(][),19,-∞⋃+∞.例13：求函数12++=x x y 的值域.解: 211112≥++==+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为),2[+∞∈y .例14：求函数1222+++=x x x y 的值域.解: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设: 22))(1(2++=+++x x c b x x , (2)将上面等式的左边展开, 有: )()1(2c b x b x ++++,故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c .从而原函数1111)1)(1()1(+++++++==x x x x x y ;ⅰ)当1->x 时, 01>+x , 011>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .ⅱ)当1-<x 时, 0)1(>+-x , 011>-+x , 此时有211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=+++=++++=x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y .四、单调性法：对于形如()f x ax b =++a 、b 、c 、d 为常数，0ac >）或者形如1()()()f xg x g x =+而使用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法.例15：求函数23y x =-+.解：函数的定义域为[)1,+∞，显然函数在其定义域上是单调递增的，∴当1x =时，函数有最小值min 1y =-，故函数的值域为[)1,-+∞. 例16：求函数2()f x =（x R ∈）的值域.解：2()f x ==若用不等式法，=即23x =-，显然这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了.为了简化函数，我们不妨先进行一下换元，t =（2t ≥），则函数就转化为1y t t=+，[)2,t ∈+∞，现在我们考查一下函数1y t t=+的单调性：函数在[)1,0-、(]0,1上都单调递减；而在(],1-∞-、[)1,+∞上单调递增.那么当[)2,t ∈+∞，函数是单调递增函数，故当2t =2=也即0x =时，函数有最小值[]min 5()(0)2f x f ==，∴函数()f x 的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.例17：求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
解：令1x log y ,2y 325x 1-==-，则21y ,y 在[2，10]上都是增函数，所以21y y y +=在[2，10]上是增函数。
当x=2时，8112log 2y 33m in =-+=-，当x=10时，339log 2y 35m ax =+= 故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81。
例18：求函数x x y --+=863 的值域.解: 此题可以看作v u y +=和63+=x u ,x v --=8的复合函数, 显然函数63+=x u 为单调递增函数, 易验证x v --=8亦是单调递增函数, 故函数x x y --+=863也是单调递增函数. 而此函数的定义域为]8,2[-.当2-=x 时, y 取得最小值10-.当8=x 时, y 取得最大值30.故而原函数的值域为]30,10[-. 例19：求函数y =提示：y =，1x ≥y =此当1x =时，max y =，又∵0y >，∴(y ∈。
例20：求函数y x =略解：易知定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，而y x =1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上均为增函数，∴1122y =≤，故y ∈1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 五、判别式法：一般地，形如()f x ax b =+±、()f x =22()ax bx c f x dx ex f++=++的函数，我们可以将其转化为2()()()0p y x q y x r y ⋅+⋅+=（()0p y ≠）的形式，再通过[]2()4()()0q y p y r y ∆=-⋅≥求得y 的范围.但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出y 的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误.例21：求函数225851x x y x ++=+的值域.解：225851x x y x ++=+可化为2(5)8(5)0y x x y --+-= 当50y -=即5y =时，方程在实数范围内有唯一解0x =；当50y -≠即5y ≠时，x R ∈ ，0∴∆≥，即()25064450y y -≠⎧⎪⎨--≥⎪⎩ 解得19y ≤≤，∴函数的值域为[]1,9例22：求函数2212+++=x x x y 的值域.解: 先将此函数化成隐函数的形式得: 012)12(2=-+-+y x y yx , (1)这是一个关于x 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式0)12(4)12(2≥---=∆y y y ,解得: 11≤≤-y . 故原函数的值域为: ],[11-∈y .例23：已知函数22813()log ax x bx f x +++=的定义域为(,)-∞+∞，值域为[0,2]，求,a b 的值.解：设2281ax x b u x ++=+，则2()8()0u a x x u b --+-=.2,0,(8)4()()0x R u a u a u b ∈-≠∴=----≥ 且设，即2()(16)0.u a b u ab -++-≤又()[0,2],[1,9]f x u ∈∈ 则，关于u 的一元二次方程2()(16)0u a b u ab -++-=的两根为1和9，由韦达定理得191619a b ab +=+⎧⎨-=⨯⎩，解得 5.a b ==若0,5u a u a -===即时，对应0x =，符合条件.5a b ∴==为所求.【例20】设函数 ()22ax b y f x x +==+的值域为 []51,-，求a ,b . 1 化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系布列方程组求解. ()[].8,102a 5104824,022222=±=-≥++-=--=∆=-+-b a by y b y y a b y ax yx ，解得，解集为【例21】已知函数y=f(x)=()01222<+++b x c bx x 的值域为[1,3],求实数b,c 的值. 2 解法同上，变形有 （y-2）x 2-bx+（y-c ）=0，⊿=b —4（y-2）（y-c ）=4y 2-4（2+c ）y+8c-b 2＞0， 其解集为[1，3]，解得b=-2，c=2，y=2时也适合.六、方程法：用方程法求解函数值域是指利用方程有解的条件求函数值的取值范围即值域的方法，其理论依据是：定理1：函数)(x f y =（定义域为f D ）的值域是使关于x 的方程y x f =)(有属于f D 的解的y 值的集合. 定理2：若)()(x g x f 为最简有理分式，则函数)()(x g x f y =的值域是使关于x 的方程)()(x f x g y =⋅有解的y 值的集合.例24：求函数1e 1e y x x +-=的值域。