【K12教育学习资料】中考数学专题复习 有理数、实数的有关概念
初中实数性质知识点总结
初中实数性质知识点总结一、实数的基本性质1. 实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，无理数是不能表示为有理数的数。
2. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数包括整数、分数以及可以表示为分数的小数，无理数包括无穷不循环小数和无穷循环小数。
3. 实数的有序性：实数集合中的任意两个数都可以进行大小比较，即两个实数之间存在大小关系，这就是实数的有序性。
4. 实数的稠密性：实数集合中任意两个不相等的实数之间一定存在一个实数，这就是实数的稠密性。
5. 实数的无后继性和无穷性：任意一个实数都有比它大的实数，实数集合是无穷的。
6. 实数的运算封闭性：实数集合中任意两个实数进行加、减、乘、除运算的结果仍然是一个实数。
7. 实数的运算性质：实数集合中的运算满足交换律、结合律、分配律等。
二、实数的代数性质1. 实数的加法性质：（1）交换律：对于任意实数a和b，有a+b=b+a；（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)；（3）加法单位元：对于任意实数a，有a+0=a；（4）加法逆元：对于任意实数a，有a+(-a)=0。
2. 实数的减法性质：减法可以看成加上一个数的相反数，所以减法的性质和加法的性质相同。
3. 实数的乘法性质：（1）交换律：对于任意实数a和b，有a×b=b×a；（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a×b)×c=a×(b×c)；（3）乘法单位元：对于任意实数a，有a×1=a；（4）乘法逆元：对于任意非零实数a，有a×(1/a)=1。
4. 实数的除法性质：（1）除法分配律：对于任意实数a、b和c，有a÷(b+c)=a÷b+a÷c；（2）除法与乘法结合：对于任意实数a、b和c，有a÷(b×c)=a÷b÷c。
中考实数知识点归纳总结
中考实数知识点归纳总结一、有理数1. 有理数的定义有理数是可以写成分数的数，其中分母不为零，例如：-3， -2， -1/2， 0， 2/3， 3等。
2. 有理数的性质- 有理数的加法性质：有理数的加法满足交换律和结合律。
- 有理数的减法性质：有理数的减法满足ab - b = a。
- 有理数的乘法性质：有理数的乘法满足交换律和结合律。
- 有理数的除法性质：有理数的除法满足a/b ÷ c = a/b * 1/c。
3. 有理数的表示有理数可以用分数表示，也可以用小数表示。
有理数与小数之间可以相互转化。
4. 有理数的比较有理数可以通过大小比较运算符进行比较，例如：大于、小于、等于。
5. 有理数的运算有理数的加减乘除运算都可以用通常的运算法则进行。
6. 有理数的应用有理数在现实生活中有很多应用，例如用于度量和计算。
二、无理数1. 无理数的定义无理数是不能用分数表示的数，例如：根号2，圆周率π，自然对数e等。
2. 无理数的性质无理数与有理数一起构成了实数，满足实数的加法、减法、乘法、除法性质。
3. 无理数的表示无理数通常用根号表示或者用小数表示，但无法用分数表示。
4. 无理数的比较无理数可以通过大小比较运算符进行比较，例如：大于、小于、等于。
5. 无理数的运算无理数和有理数一起进行加减乘除运算。
6. 无理数的应用无理数在数学和物理等领域有很多应用，例如在几何学、物理学等方面。
综上所述，实数是数学中最基本的概念之一，包括了有理数和无理数，是数学研究和应用的基础。
对于中学生来说，掌握实数的性质、表示和运算等知识是非常重要的，可以帮助他们更好地理解和应用数学知识。
中考数学复习知识点实数
中考数学复习知识点实数实数是数的一种分类，包括有理数和无理数两大类。
一、有理数有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和循环小数。
1.整数：正整数、负整数和零。
2.分数：分子和分母都是整数的数，可以是正分数、负分数和零。
3.循环小数：分数的十进制表示形式的小数部分是无限循环的小数，如1/3=0.3333...。
循环节是一个或多个数字组成的，称为循环节或循环部分。
例如：-正整数：1,2,3,...-负整数：-1,-2,-3,...-零：0-正分数：1/2,3/4,...-负分数：-1/2,-3/4,...有理数的性质：1.有理数可以做加、减、乘、除运算，并且运算结果仍为有理数。
2.有理数的加法具有结合律、交换律和消去律。
3.正（负）有理数之和还是有理数，正有理数和负有理数相互抵消后为零。
二、无理数无理数是不能表示为两个整数之比的数，无限不循环小数。
无理数的小数部分是无限而且不循环的。
常见的无理数有根号2、根号3、π等。
无理数不能精确表示为有限小数或循环小数，但可以用无限位数的小数表示。
无理数的性质：1.无理数与有理数之间没有大小的关系。
2.无理数与有理数的加减运算结果是无理数。
3.无理数与有理数的乘除运算结果是无理数。
三、实数的比较与大小实数之间可以通过大小比较符号进行比较。
1.大于号（>）：a>b表示a大于b。
2.小于号（<）：a<b表示a小于b。
3.大于等于号（≥）：a≥b表示a大于或等于b。
4.小于等于号（≤）：a≤b表示a小于或等于b。
实数的比较规则：1.正整数和负整数的大小关系：正整数大于负整数，0大于负整数。
2.正整数的大小关系：大的数值大于小的数值。
3.无理数与有理数之间无大小关系。
实数运算性质：1.加法的结合律和交换律。
2.乘法的结合律和交换律。
3.加法对乘法的分配律。
4.加法和乘法都有零元素。
5.乘法有单位元素。
四、实数的绝对值和相反数1.实数a的绝对值表示为，a，表示a与0之间的距离，它是非负的。
初中数学 有理数和实数有什么区别
初中数学有理数和实数有什么区别有理数和实数是数学中两个重要的数集，它们之间有着明确的区别。
下面我将详细介绍有理数和实数的定义、性质和区别。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分子和分母都是整数，且分母不为零。
有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。
例如，1、2/3、-5、0.25和3.1416（无限循环小数）都是有理数。
性质：-有理数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即两个有理数之间进行运算仍然得到一个有理数。
-有理数可以用分数形式表示，且可以化简为最简分数。
-有理数可以进行精确计算，因为有理数的小数表示形式要么是有限的，要么是循环的。
2. 实数：实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
实数包括有理数和无理数，可以表示为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数。
实数是数学中最常用的数集，包括所有的测量结果和数学运算的结果。
性质：-实数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即两个实数之间进行运算仍然得到一个实数。
-实数可以用小数形式表示，可以是有限的、循环的或无限不循环的。
-实数具有完备性，即实数集中的任何一个非空子集都有上确界和下确界。
区别：-有理数是可以表示为两个整数的比的数，而实数包括有理数和无理数。
-有理数的小数表示要么是有限的，要么是循环的，而实数的小数表示可以是有限的、循环的或无限不循环的。
-有理数的运算是精确的，而实数的运算可以进行精确计算或近似计算。
在数学中，实数是最基本的数集，它们广泛应用于各个领域，包括计算、几何、物理、工程等。
希望以上内容能够帮助你深入理解有理数和实数的定义、性质和区别。
初中数学实数中考考点分析
初中数学实数中考考点分析一、实数的定义与性质：1.实数的定义：实数包括有理数和无理数，其中有理数包括整数、分数和整数部分为零的小数，无理数包括无限不循环小数和无意义的开方数。
2.实数集的性质：实数集是一个无限的集合，实数集按大小可以分为正数、负数和零三部分，并满足有序性、稠密性和连续性等性质。
二、实数的四则运算：1.实数的加法和减法：实数加法满足交换律和结合律，并可以通过加法逆元进行减法运算。
2.实数的乘法和除法：实数乘法满足交换律和结合律，并可以通过乘法逆元进行除法运算。
3.实数的混合运算：实数的四则运算可以通过运算法则进行混合运算。
三、绝对值与数轴问题：1.绝对值的定义：绝对值是一个非负实数，表示实数与零之间的距离。
2.绝对值的性质：绝对值的值域为非负实数，绝对值为0的实数只有零本身。
3.数轴与实数的表示：实数可以通过数轴上的点来表示，数轴可以用于表示实数的大小关系和计算实数的距离等问题。
四、实数的比大小：1.实数的比较：实数大小比较可以通过比较实数的绝对值来进行。
2.实数的大小关系：实数的大小关系可以通过实数在数轴上的位置来判断。
五、实数的分数表示：1.实数的分数表示：实数可以通过有理数的分数表示，可以将无限循环小数表示为有限小数或分数。
2.实数的分数运算：实数的分数可以通过分数的四则运算进行运算。
六、根式与开方：1.根式的概念：根式是指形如√a的式子，其中a为非负实数。
2.平方根与立方根：平方根是指形如√a的根式，立方根是指形如∛a的根式。
3.根式的四则运算：根式的四则运算可以通过运算法则进行化简。
七、应用题：实数的应用题是指将实数的概念和运算与实际问题相结合的题目，如利用实数表示长度、面积和体积等物理量的问题，以及应用实数进行问题求解等。
这些内容是初中数学实数的一些重点内容，也是中考数学中的重要考点。
在备考中，学生需要熟练掌握实数的定义和性质，加强实数的四则运算能力，掌握绝对值和数轴的使用方法，能够比较和判断实数的大小关系，熟练运用分数和根式进行计算和化简，并能够将实数运用于实际问题的解答中。
中考必考实数知识点总结
中考必考实数知识点总结一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
有理数是指可以用分数表示的数，而无理数则是指不能用分数表示的数。
这两种数的集合统称为实数集。
在实数集中，有理数和无理数的性质有所不同。
有理数具有如下性质：有理数的加法、减法、乘法、除法运算封闭；有理数的加法和乘法满足交换律、结合律、分配律；有理数有加法和乘法单位元；有理数的加法有逆元。
而无理数则没有这些性质，它们通常以无限循环小数或者无限不循环小数的形式表示，例如π、√2等。
实数集是一个非常大的集合，其中包含了所有的数，因此实数的概念是数学中的一个基本概念。
二、实数的性质1. 实数的大小比较实数有着天然的大小比较关系，可以通过大小比较运算符来进行比较。
实数的大小比较主要是通过大小关系符号（大于、小于、大于等于、小于等于）来进行。
对于任意的实数a和b，有以下性质：（1）反身性：a ≥ a，a ≤ a（2）反对称性：如果a ≤ b且b ≤ a，则a = b（3）传递性：如果a ≤ b且b ≤ c，则a ≤ c这些性质在实数的大小比较中起着重要的作用，为我们提供了判断实数大小关系的依据。
2. 实数的运算性质实数的运算性质主要包括加法、减法、乘法、除法的性质。
实数的加法和乘法满足交换律、结合律、分配律，实数的除法有着特殊的性质。
（1）加法交换律：对于任意的实数a和b，有a + b = b + a（2）加法结合律：对于任意的实数a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)（3）乘法交换律：对于任意的实数a和b，有a * b = b * a（4）乘法结合律：对于任意的实数a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)（5）分配律：对于任意的实数a、b和c，有a*(b+c) = a*b + a*c（6）实数的除法：对于任意的实数a和b，如果b≠0，则存在唯一的实数c，使得a = b * c实数的运算性质是我们进行实数运算的基础，了解这些性质有利于我们掌握实数的运算规则，从而正确进行实数的运算。
初中数学实数中考考点分析
初中数学实数中考考点分析实数是数的一个重要概念，是数学研究的基础之一、在初中数学中，实数是一个重要的考点。
下面是对实数的考点进行详细分析。
一、实数的基本概念1.实数的定义：实数是有理数和无理数的总称，包括整数、分数、无限不循环小数和无限循环小数等。
2.实数的大小比较：实数可以通过大小进行比较，包括正数、负数与0的大小关系等。
3.实数的数轴表示：可以通过数轴表示实数的位置和大小关系。
二、有理数与无理数1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括正有理数、负有理数和0。
2.无理数的定义：无理数是不能表示为两个整数的比的数，包括无限不循环小数和无限循环小数等。
3.有理数与无理数的关系：无理数和有理数可以通过不断逼近来相互转化。
三、实数的运算1.实数的加法、减法、乘法和除法：实数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，包括整数、分数、无限不循环小数和无限循环小数等。
2.实数运算的性质：加法、减法、乘法和除法运算满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
3.实数运算与数轴关系：实数运算可以在数轴上表示，通过数轴上的加减乘除可以确定实数的位置和大小关系。
四、循环小数1.循环小数的定义：循环小数是指小数部分有循环节的无限不循环小数。
2.循环小数的转换：可以将循环小数转换为有理数，有理数也可以转换为循环小数。
3.循环小数的运算：循环小数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
五、实数的应用1.实数的性质在实际问题中的应用：实数的大小比较和运算性质可以在实际问题中进行应用，例如货币兑换、温度计算和长度比较等。
2.实数在代数问题中的应用：实数可以在代数问题中进行运算和解方程等。
综上所述，实数是初中数学中的一个重要考点，涉及了实数的基本概念、有理数与无理数、实数的运算、循环小数和实数的应用等多个方面。
掌握实数的概念和运算性质，能够正确理解实数在数轴上的表示和应用于实际问题中。
因此，学生需要加强对实数的学习和理解，做好实数相关的练习，提高数学水平。
实数与有理数的关系知识点
实数与有理数的关系知识点实数与有理数是数学中的两个重要概念，它们在数学中有着密切的联系和关系。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，而实数则包括了有理数和无理数。
在本文中，我们将探讨实数与有理数之间的关系及其相关的知识点。
一、实数的定义实数是包括有理数和无理数的数集。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不能表示为这种比值。
实数可以用无限的十进制小数来表示，例如π和黄金分割比就是无理数。
二、有理数的定义与性质有理数是可以写成两个整数之比的数，即可以表示为分数的形式。
有理数的定义可以表示为：多项式方程的根是有理数。
有理数的性质如下：1. 加法性质：有理数的加法满足交换律、结合律和消去律。
2. 减法性质：有理数的减法可以转化为加法运算。
3. 乘法性质：有理数的乘法也满足交换律、结合律和消去律。
4. 除法性质：有理数的除法可以转化为乘法运算，并且除以非零有理数的结果还是有理数。
三、实数与有理数的关系实数包括了有理数和无理数，因此每个有理数也是一个实数。
换句话说，实数是有理数的一个更广泛的概念。
实数与有理数的关系可以用以下公式表示：实数集 = 有理数集 + 无理数集由于实数集包括了有理数和无理数，所以实数集比有理数集更为庞大和广泛。
实数是一种更加完备和包容的数集。
四、实数的分类实数可以进一步被分类为代数数和超越数。
1. 代数数：代数数是可以表示为一个多项式方程的根的实数。
代数数包括有理数和一些无理数，例如平方根、立方根等。
2. 超越数：超越数是无法表示为任何多项式方程的根的实数。
超越数包括无理数中的大多数，如π和e等。
五、实数与有理数的运算实数与有理数的运算遵循相应的运算法则，如加法、减法、乘法和除法等。
对于有理数的运算，由于有理数集合本身具有封闭性，所以运算结果也一定是有理数。
六、实数与有理数的应用实数和有理数在科学、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
在测量、计算和建模等方面，更是离不开实数和有理数的运用。
实数的相关概念中考考点梳理
实数的相关概念中考考点梳理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：实数是数学中最基础的概念之一，它包括有理数和无理数两类。
在数学的学习中，实数的相关概念是非常重要的。
在中考中，实数相关的考点也是比较多的。
下面我们来看看实数相关概念中中考的考点梳理。
1. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和循环小数。
无理数是不能表示为有理数的数，如π和根号2等。
在中考中，同学们需要了解实数的分类，并能够判断一个数是有理数还是无理数。
2. 实数的运算实数的运算是中考数学的重要内容之一。
同学们需要掌握实数的加减乘除运算规则，包括有理数和无理数的运算。
在中考中，常见的考点有实数的加法、减法、乘法、除法运算，以及混合运算等。
3. 实数的大小比较在实数的概念中，同学们也需要学会对实数进行大小比较。
无论是有理数还是无理数，都可以通过大小比较符号进行比较，如大于等于、小于等于、大于、小于等等。
在中考中，通常会出现实数的大小比较题目，同学们需要根据实数的性质进行判断。
4. 实数的分数表示实数可以表示为分数的形式，分数是有理数的一种形式。
在中考中，同学们需要能够将实数表示为分数的形式，并且能够进行化简和计算。
分数的化简和运算是中考数学的常见考点之一，同学们需要多进行练习，掌握分数的性质和运算规则。
5. 实数的应用问题实数的概念在中考中不仅仅是为了考察同学们的概念掌握程度，还可以通过应用题目考察同学们对实数的应用能力。
实数在现实生活中有着广泛的应用，比如长度、重量、体积等问题都可以通过实数进行表示和计算。
在中考中，同学们可能会遇到一些实际问题，需要用实数进行求解，这就需要同学们将实数的概念运用到实际问题中去。
实数的相关概念在中考数学中占据着重要的地位，同学们需要充分理解实数的分类、运算、大小比较、分数表示以及应用问题等知识点。
通过不断的练习和巩固，可以帮助同学们提高实数相关概念的理解和运用能力，从而在中考中取得更好的成绩。
初三数学复习实数基础知识梳理
初三数学复习实数基础知识梳理实数是数学中最基本也是最广泛应用的概念之一，它包括了整数、分数和无理数，是数轴上所有点的集合。
实数的研究是数学中的一个重要分支，也是数学教育中的重点内容之一。
在初三数学的学习过程中，掌握实数的基础知识是非常重要的。
本文将对初三数学复习实数基础知识进行梳理和总结。
一、自然数、整数和有理数的定义实数的基础是自然数、整数和有理数。
自然数是指从1开始的正整数，用符号N表示。
整数是全体自然数、0和它们的相反数的集合，用符号Z表示。
有理数是可以表示为两个整数的比例的数，包括整数和分数，用符号Q表示。
在数轴上，自然数、整数和有理数都可以找到对应的位置，自然数位于数轴的右侧，整数包括自然数，位于数轴上的0点，而有理数则覆盖了整个数轴。
二、无理数的定义与性质无理数是指不能表示为两个整数的比例的数，它的小数部分是无限不循环的。
无理数包括了开方不尽的根号数和圆周率π等。
无理数是实数的一个重要组成部分，也是数学中一个重要的研究对象。
当我们用小数形式表示无理数时，大多数情况下是近似值，无理数的近似值可以用有理数的无限循环小数来表示。
三、实数的运算法则实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将具体梳理实数的运算法则。
1. 加法与减法实数的加法和减法法则与整数的运算法则相同。
同号相加，异号相减。
即正数加正数仍为正数，负数加负数仍为负数；正数减负数等于正数加正数，负数减正数等于负数加负数。
2. 乘法与除法实数的乘法与除法法则也与整数的运算法则相同。
同号相乘，异号相除。
即正数乘正数仍为正数，负数乘负数仍为正数；正数除以正数为正数，负数除以负数为正数。
需要注意的是，当除数为0时，任何数除以0的结果是无定义的。
四、实数的大小比较实数的大小可以通过大小比较符号进行比较。
常见的大小比较符号有大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)和等于号(=)。
通过数轴可以很直观地判断实数的大小关系。
(完整版)初三数学总复习实数的概念及实数的运算.doc
初三数学第一轮总复习第一讲实数的概念及实数的运算（一）：【知识梳理】 1. 实数的有关概念(1) 有理数 : （ 2）无理数：（ 3）实数：（ 4）实数和和 统称为有理数。
小数叫做无理数。
和 统称为实数。
的点一一对应。
（ 5） 实数的分类①按定义分:②按符号分 :( )(( )))实数 () 0；实数(( ) 0(() (( )))))((（ 6）相反数：只有不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数，则 。
（ 7）数轴：规定了 、 和的直线叫做数轴。
（ 8）倒数：乘积的两个数互为倒数。
若 a （a ≠0）的倒数为 1.。
a（ 9）绝对值：a2. 科学记数法、近似数和有效数字（ 1）科学记数法：把一个数记成± a ×10 n 的形式（其中 1≤a<10， n 是整数） （ 2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是“四舍五入”。
（ 3）有效数字：从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。
3. 实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、，然后，最后．有括号先算里面，再算括号外。
同级运算从左到右，按顺序进行。
时，4. 实数的大小比较5. 零指数幂和负指数幂 : 当 a ≠0 时 a 0=____; 当 a ≠ 0 时且 n 为整数时 ,a -n= ( 1)na6. 三个重要的非负数： 二：【经典考题剖析】例 1 1 , 则 a 是 _______。
(3 － 2) 的倒数是 _______ ，相反数是 ______．① a 的相反数是 -5(a b)2a(ab)a0b②．数 a ， b 在数轴上的位置如图所示 : 化简.| a b |例 2 下列 数227、sin60 °、 、（2 ）0、3.14159 、 - 39、（-7 ）-2、8 中无理数有 （）3个 A ．1 B ． 2 C ． 3D ．41 11例 3 算： (1)(3 -1)-0.125 99( 5)2（ 1）1+3 ×8 -; (2)3 ( )cos3031 1（ 3） 8 4sin 45(3 )04（ 4） 122 sin 45 201004三：【 后 】11、一个数的倒数的相反数是15 , 个数是（）65 65A ．5B ． 6C ．- 5D ．－ 62、一个数的 等于 个数的相反数， 的数是（）A ．非 数B ．非正数C ． 数D ．正数3. 有一人患了流感， 两 染后共有100 人患了流感，那么每 染中，平均一个人 染的人数（ ）A ． 8 人B ． 9 人C ． 10 人D ． 11 人4. 若 a 的相反数是最大的 整数，b 是 最小的数，a ＋ b=___________．5. 已知x yy x ，x34, y 3 ，x y6. 光年是天文学中的距离 位， 1 光年大 是 9500000000000km ，用科学 数法表示(保留三个有效数字 )7. .已知 (x-2) 2+|y-4|+z 6 =0，求 xyz 的8. 回答下列 ：①数 上表示 2 和 5的两点之 的距离是 _____，数 上表示－ 2 和－ 5 的两点之 的距离是 ____，数上表示 1 和－3 的两点之 的距离是 ______.②数 上表示 x 和－1 的两点 A 和 B 之 的距离是 ________，若 |AB|=2 ，那么 x=_________ ． ③当代数式 |x+1|+|x－2| 取最小 ，相 的x 的取 范 是 _________.9．已知： 2+ 2=22× 2 ， 3+ 3=32× 3 ，4+4424 ,3 3 88151555 525 ，⋯，若10+ b=102× b符合前面式子的 律，a+b=________．2424aa10．近似数 0.030 万精确到 位，有 个有效数字，用科学 数法表示万11. 下列 法中，正确的是（）A ． |m| 与— m 互 相反数 B． 2 1与 2 1互 倒数C ． 1998．8 用科学 数法表示1． 9988×102D ． 0．4949 用四舍五入法保留两个有效数字的近似0． 502212．在2 、sin 45、0、 9、0.2020020002）、 、 七个数中，无理数有（273A ．1 个；B ． 2 个；C ． 3 个；D ．4 个13 下列命 中正确的是（）A ．有理数是有限小数B ．数 上的点与有理数一一C ．无限小数是无理数D ．数 上的点与 数一一13 当 0 ＜ x ＜ 1 ， x2, x,1的大小 序是（）xA ． 1＜ x ＜ x2 ； B ． 1＜ x 2 ＜ x ； C ． x 2 ＜ x＜ 1；D ． x ＜ x2＜1xxxx14. 定一种新的运算“※” ： a ※ b=a b ，如 3※2=32 =9，1※ 3 （）2A ． 1；B ． 8；C ． 1 ； D ．386215. 算(1) -32÷( －3) 2 +| －1| ×( － 6)+49 , （ 2) 3(2- 3 )× 38 -(- 2 ) 0+tan60 0- │ 3 -2 │6 272 10 01)2 2111 2 1 5（ 3）2（ 4）│ -12 │÷（ -+ --）( )(sin 45-3tan30(2001tan 30 )(2)16 2 12 34 6316.已知 x 、y是 数，3x 4 y 2 6y 9 0, 若 axy 3xy, 求实数 a 的值 .17. 已知 a 与 b 互 相反数， c 、d 互 倒数， x 的 是 2 的相反数的 倒数， y 不能作除数，求2(a b)20022(cd)20011y 2000 的 ．x18. 察下列等式： 9-1=8 ，16-4=12 ，25-9=16 ，36-16=20 ，⋯⋯ 些等式反映出自然数 的某种 律， n 表示自然数，用关于 n 的等式表示出来19*.已知非负数 a ，b ，c 满足条件 a ＋ b ＝7，c － a ＝5，设 S ＝a ＋ b ＋ c 的最大值为 m ，最小值为 n ，则 m －n ＝.20. a 、b 在数轴上的位置如图所示，且a ＞b ，化简 a a b b aab1+111 ggg 1n 表示） ,21 在数学活动中，小明为了求2 2 2 34n的值（结果用 22 2设计如图（ 1）所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求 1+1 11122 232 4ggg n 的值为 _______ ．2 222. 如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上，点 A 、C 的坐标分别为（ 0，1）、（ 2，4）．点 P 从点 A 出发，沿 A →B → C 以每秒 1 个单位的速度运动，到点 C 停止；点 Q 在 x 轴上，横坐标为点 P 的横、纵坐标之和． 抛物线 y1 x 2bx c 经过 A 、C 两点．过点 P 作 x 轴的垂线， 垂足为 M ，交抛物线于点 R ．设点 P 的运动时间为 4t （秒），△ PQR 的面积为 S （平方单位） ．（ 1）求抛物线对应的函数关系式． （ 2 分）（ 2）分别求 t= 1 和 t= 4 时，点 Q 的坐标．（ 3 分）（3）当 0＜ t ≤5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．（5 分）。
初三数学复习实数知识点梳理
初三数学复习实数知识点梳理实数是数系中的一种数，包括整数、有理数和无理数。
在初三数学中，实数是一个重要的考点。
为了帮助同学们复习实数知识点，下面对实数相关的概念、性质和运算进行了梳理和总结。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数指的是可以表示为两个整数的比值（分数）的数，而无理数指的是无法表示为两个整数的比值的数。
二、实数的表示方法1. 小数表示法有限小数：有限位数的小数，例如0.5、0.25等。
无限循环小数：有一段数字循环出现的小数，例如0.3333...、0.6666...等。
无限不循环小数：没有一段数字循环出现的小数，例如π、√2等。
2. 分数表示法分数表示法是将一个数表示为两个整数的比值。
例如，3/4表示三除以四的结果。
3. 开方表示法开方表示法是用根号√来表示一个数的平方根。
例如，√9表示9的平方根，结果为3。
三、实数的性质1. 有理数的性质：（1）有理数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
（2）有理数的乘积仍然是有理数。
（3）有理数的和、差、积和商都是有理数，除非被除数为零。
2. 无理数的性质：（1）无理数与有理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。
（2）无理数与无理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。
3. 实数的比较：实数之间可以进行大小的比较，可以使用大小符号来表示。
例如，对于任意的两个实数a和b，如果a大于b，则记作a > b；如果a小于b，则记作a < b；如果a等于b，则记作a = b。
四、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a + b = b + a（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 实数的减法：实数的减法可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)，其中- b表示b的相反数。
3. 实数的乘法：实数的乘法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a × b = b × a（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)4. 实数的除法：实数的除法可以看作是乘法的逆运算，即a ÷ b = a × (1/b)，其中1/b 表示b的倒数。
中考实数知识点总结归纳
中考实数知识点总结归纳一、实数的概念1. 实数的定义实数是指可以用在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，如π和√2等。
2. 实数的性质（1）实数具有传递性，即若a>b，b>c，则a>c。
（2）实数具有传递性，即若a>b，则a+c>b+c。
（3）实数具有传递性，即若a>b且c>0，则ac>bc。
3. 实数的分类（1）有理数：可以表示为有限或无限循环小数的数。
（2）无理数：不能表示为有限或无限循环小数的数。
（3）整数：包括正整数、负整数和0。
（4）分数：可以表示为两个整数的比值的数。
二、实数的运算1. 实数的加法（1）同号实数相加，绝对值加起来，符号不变。
（2）异号实数相加，绝对值差，正负号取绝对值大的数的符号。
2. 实数的减法（1）a-b = a+(-b)（2）减负得正，减正得负。
3. 实数的乘法（1）同号实数相乘，绝对值相乘，结果为正。
（2）异号实数相乘，绝对值相乘，结果为负。
4. 实数的除法（1）a÷b = a×(1/b)5. 实数的乘方（1）乘方运算：a的n次方 = a × a × ... × a (n个a相乘)（2）指数规律：a的m次方 × a的n次方 = a的m+n次方6. 实数的开方（1）开方运算：√a表示使得x²=a的数x。
（2）开方的性质：非负数的平方根是已知的，即√a²=|a|。
三、实数的表示1. 小数的表示（1）有限小数：十进制小数表示法中，小数部分有限位数的小数。
（2）无限循环小数：十进制小数表示法中，小数部分有限位数，但有循环节的小数。
2. 分数和百分数的表示（1）分数：a/b = a÷b（2）百分数：表示数或者分数乘以100后的结果。
3. 实数的化简（1）约分：将一个分数的分子和分母同时除以一个正整数。
中考复习实数知识点总结
中考复习实数知识点总结1. 实数的定义实数是可以用小数表示的数，包括有理数和无理数。
有理数是可以写成两个整数的比值的数，无理数是不能写成两个整数的比值的数。
实数包括整数、分数和无限小数。
2. 实数的分类实数分为有理数和无理数。
有理数包括整数、分数和有限小数，无理数包括无限不循环小数。
3. 实数的性质（1）实数的四则运算实数的加减乘除满足交换律、结合律和分配律。
（2）实数的大小比较实数之间可以进行大小比较，根据大小关系可以定义出实数的大小顺序。
（3）实数的绝对值实数a的绝对值，记作|a|，是a到原点的距离。
如果a≥0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。
4. 有理数的加减乘除（1）有理数的加减法同号两数相加，取绝对值相加，正负号和原数相同；异号两数相加，取绝对值相减，正负号取绝对值大的数的符号。
（2）有理数的乘法同号两数相乘，结果为正；异号两数相乘，结果为负。
（3）有理数的除法两个非零有理数相除，可以化为乘法，即a÷b=a乘以1/b。
5. 无理数的性质无理数是不能写成两个整数的比值的数，无理数的小数形式为无限不循环小数。
无理数的加减乘除运算同样也满足交换律、结合法和分配律。
6. 实数的小数表示实数可以用小数表示，根据小数的循环性质，可以分为有限小数和无限循环小数。
有限小数是指小数部分有限位数，无限循环小数是指小数部分无限循环。
7. 实数的应用实数在日常生活中有着广泛的应用，比如在金融、科学、工程等领域，实数都有着重要的应用。
比如在金融中，实数用来表示货币的价值；在科学中，实数用来表示物理量的大小等等。
8. 实数的练习（1）计算：(-5)×(-3)、(-4)+5、(-3)-7；（2）判断：-2/3与2/3的大小关系；（3）简化：(-6)÷(-3)；（4）解方程：x-12=20。
9. 实数的注意点（1）在计算实数的加减乘除时，要注意正负数的加减乘除规则；（2）对于无理数的计算，要注意小数的无限循环性质；（3）实数在应用中要注意单位的转换，比如货币的转换等。
中考数学复习资料 数学聚焦实数学习要点
初二数学聚焦实数学习要点一、实数的分类观:1、统称观有理数和无理数统称实数。
根据这个定义，我们可以把实数作如下的分类：在这里，同学们要注意，与前面知识的不同。
也就是说，有理数是借助小数来下的定义。
2、正负观根据有理数可以分成正有理数、0、负有理数的正负观，我们可以推广到实数。
也就是说实数可以分成正实数、0、负实数。
当然，我们可以作更细的分类。
具体如下：二、实数背景下的几个重要概念1、相反数：在实数范围内，相反数的定义与在有理数的范围内的定义是相同的。
仍然是：只有符号不同的两个数，称互为相反数。
如：3与-3互为相反数，3+1与-3-1互为相反数。
也就是说，对任意实数a，它的相反数为-a。
只要把一个实数，乘以-1，就变成这个数的相反数了。
2、绝对值对任意实数a，它的绝对值定义如下：正实数的绝对值，是这个数本身；0的绝对值，是0；负实数的绝对值，是这个数的相反数。
不提倡，同学们说成“负实数的绝对值，是正数”的说法。
这不利于绝对值的化简。
3、倒数如果两个非0实数的积为1，就称这两个数互为倒数。
这里的条件非0实数，是很重要的。
如果实数a≠0，那么，实数a的倒数为1/a。
4、算术平方根只有正实数和0有算术平方根，负实数没有算术平方根。
三、实数范围内的大小比较观借助数轴比较两个实数的大小。
在数轴上，实数对应的点的位置，越靠右，数就越大。
如图所示，点A所表示的实数为a，点B所表示的实数为b，因为，点A在点B的右边，所以，点A所表示的实数a，比点B所表示的实数b要大，即a＞b。
利用数轴，同学们只要辨析出，所比较的两个数左右位置，就可以确定这两个数的大小了。
这种比较方法是比较实用的。
同学们一定要熟练掌握。
四、实数与数轴上面的作图，就说明了，数轴上的点不仅表示有理数，而且表示无理数。
即数轴上的点与实数是一一对应的。
这一点，同学们一定要清楚。
五、实数背景下的运算观在有理数的各类运算，都可以推伸的实数范围。
六、常见题型6.1判断题例1、判断下列说法是否正确：⑴无限小数都是无理数。
初中数学最全知识点总结
中考数学复习资料第一章 实数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
实数中考知识点总结
实数中考知识点总结一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是指所有有理数与无理数的集合，包括有理数和无理数两类。
有理数是指所有可以写成分数形式的数，而无理数是指无法写成分数形式的数，比如π、√2 等。
2. 实数的表示实数可以用小数表示，比如 -2.3、0.5、3.14159 等。
也可以用分数表示，比如 -3/5、7/9 等。
实数还可以用无限不循环小数表示，比如π=3.1415926535...、√2=1.4142135623...等。
3. 实数的性质实数包括有理数和无理数，有理数可以进行四则运算和比较大小，无理数与有理数的加减乘除结果都是实数。
实数满足传递性、反对称性、加法和乘法的交换律、结合律、分配律等性质。
二、实数的运算1. 实数的加减实数的加法是指两个实数相加得到另一个实数，减法是指一个实数减去另一个实数得到另一个实数。
实数的加减法遵循交换律和结合律，满足消去律。
2. 实数的乘除实数的乘法是指两个实数相乘得到另一个实数，除法是指一个实数除以另一个非零实数得到另一个实数。
实数的乘除法也满足交换律和结合律，但要注意除数不能为零。
3. 实数的幂和根实数的幂是指一个实数的正整数次方或零次方，可以用 a^n 表示，其中 a 是底数，n 是指数。
实数的根是指一个实数的平方根、立方根或 n 次根，可以用√a、³√a 或 a^(1/n) 表示。
4. 实数的混合运算实数的混合运算是指加减乘除、幂根等多种运算混合在一起进行，要根据运算符的优先级和结合性来确定运算次序。
三、实数的大小关系1. 实数的大小比较在实数中，可以用大小关系符号（>、<、≥、≤）来表示两个实数的大小关系。
要注意有理数和无理数之间的大小关系，以及绝对值的概念。
2. 实数的比较运算实数的比较运算是指通过大小关系符号来比较两个实数的大小，比如 a>b、a≤b 等。
还可以通过绝对值来比较两个实数的大小，比如 |a|>|b|、|a|<|b| 等。
中考数学总复习知识点总结实数
中考数学总复习知识点总结实数一、实数的基本概念：1.自然数、整数、有理数和无理数。
2.实数的刻画方法：小数法和不循环小数法。
二、实数间的关系：1.实数的大小比较：大于、小于和等于。
2.实数的绝对值。
3.同号数相加、异号数相减。
4.实数的加法和乘法。
5.实数的分数乘法运算法则。
6.实数的倒数运算。
三、实数的性质：1.实数的交换律、结合律和分配律。
2.实数的乘法对加法的分配律。
3.非零实数的乘法逆元。
四、实数的运算性质：1.实数的四则运算：(1)实数的加法和减法运算。
(2)实数的乘法和除法运算。
(3)实数的乘方运算。
(4)实数的开方运算。
2.实数的运算性质：(1)实数的加法的封闭性。
(2)实数的乘法的封闭性。
(3)实数的加法和乘法的结合律、交换律和分配律。
(4)零的性质。
(5)1的性质。
(6)负数的性质。
(7)正数的性质。
五、无理数的性质：1.无理数的定义。
2.无理数的性质：(1)无理数表示法的唯一性。
(2)无理数的大小比较。
(3)无理数的四则运算。
(4)无理数的乘方和开方运算。
六、实数的表示：1.实数的方差和数轴表示法。
2.实数的有理数和无理数判断方法。
七、实数的乘方：1.正整数指数幂的运算和性质。
2.零指数幂和负整数指数幂的运算和性质。
3.实数指数幂的运算和性质。
4.乘方结果和指数的大小关系。
八、实数的开方：1.开方的定义和性质。
2.完全平方数和完全平方根。
3.开方的运算规则。
4.无理数的开方运算。
九、实数的运算应用：1.实数运算在方程和不等式中的应用。
2.实数运算在几何中的应用。
3.实数运算在实际问题中的应用。
以上是中考数学总复习知识点总结：实数的内容，希望对你的学习有帮助！。
初三数学复习实数基础知识回顾
初三数学复习实数基础知识回顾实数是数学中的基础概念，它包括了整数、有理数和无理数。
在初三数学的学习中，我们学习了实数的性质和运算规律，掌握了实数的大小比较和绝对值的概念。
本文将对初三数学中的实数基础知识进行回顾和总结。
一、实数的分类实数包括了整数、有理数和无理数三个部分。
1. 整数：整数是由正整数、负整数和零组成的数集。
整数的特点是可以进行加减运算，两个整数相加或相减得到的结果仍然是整数。
例如，3、-5、0都是整数。
2. 有理数：有理数是整数和分数的集合。
有理数的特点是可以进行加减乘除运算，两个有理数相加、相减、相乘或相除得到的结果仍然是有理数。
例如，-2/3、0.25、1/2都是有理数。
3. 无理数：无理数是不能写成两个整数的比值的数。
无理数的特点是不能写成有限小数或循环小数的形式。
例如，π、√2都是无理数。
二、实数的大小比较在初三数学中，我们学习了实数的大小比较方法，即利用实数的大小关系符号进行比较。
1. 小于号（<）：若a、b为两个实数，当a小于b时，可以表示为a < b。
例如，2 < 5，-1 < 0。
2. 大于号（>）：若a、b为两个实数，当a大于b时，可以表示为a > b。
例如，7 > 4，-3 > -4。
3. 小于等于号（≤）：若a、b为两个实数，当a小于等于b时，可以表示为a ≤ b。
例如，3 ≤ 6，-2 ≤ 0。
4. 大于等于号（≥）：若a、b为两个实数，当a大于等于b时，可以表示为a ≥ b。
例如，9 ≥ 8，0 ≥ -1。
三、实数的绝对值实数的绝对值是指实数到原点的距离，用|a|表示，其中a为任意实数。
1. 定义：若a为一个实数，当a≥0时，|a| = a；当a<0时，|a| = -a。
例如，|4| = 4，|-3| = 3。
2. 性质：（1）非负性：对于任意实数a，有|a| ≥ 0。
（2）正定性：若a为一个实数，当且仅当a = 0时，|a| = 0。
中考数学深度复习讲义：实数的有关概念
中考数学深度复习讲义：实数的有关概念◆知识讲解1.实数的分类实数实数还可分为2.数轴(1)数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.(2)数轴上的点与实数一一对应.3.相反数实数a的相反数是-a，零的相反数是零.(1)a、b互为相反数a+b=0.(2)在数轴上表示相交数的两点关于原点对称.4.倒数乘积是1的两个数互为倒数，零没有倒数.a、b互为倒数ab=1.5.绝对值│a│=6.非负数像│a│、a2、(a0)形式的数都表示非负数.7.科学记数法课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
如此,一年就可记300多条成语、30 0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。
把一个数写成a10n的形式(其中1│a│10，n为整数)，•这种记数法叫做科学记数法.要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。
当我发觉有的幼儿不用心听别人发言时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们用心听，用心记。
平常我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，如此幼儿学得生动爽朗，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了经历，又进展了思维，为说打下了基础。
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实数的有关概念◆【课前热身】1. 12-的倒数为（ ） A ．12B ．2C ．2-D ．1-2.某市在一次扶贫助残活动中，共捐款2580000元．将2580000元用科学记数法表示为（ ） A ．72.5810⨯元 B ．70.25810⨯元 C ．62.5810⨯元 D ．625.810⨯元 3.如果向东走80 m 记为80 m ，那么向西走60 m 记为（ ）A ．－60 mB ．︱－60︱mC ．－（－60）mD ．601m 4.2-的相反数是（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-5.－2的绝对值是__________.【参考答案】1.C 2.C 3.A 4.A 5. 2 ◆【考点聚焦】⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎫⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正整数整数零负整数有理数实数正分数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 ⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数还可以分为零负整数负有理数负实数负分数负无理数知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 大纲要求：1.使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．2.了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义.3.会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 .4.画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小. 考查重点：1.有理数、无理数、实数、非负数概念；2.相反数、倒数、数的绝对值概念；3.在已知中，以非负数a 2、|a|、a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题. ◆【备考兵法】了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义.注意：（1）近似数、有效数字.如0.030是2个有效数字（3,0），精确到千分位；3.14×105是3个有效数字，精确到千位；3.14万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位．（2）绝对值 2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 22±=-． （3）在已知中，以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.◆【考点链接】 1．有理数的意义⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应. ⑵ 实数a 的相反数为________. 若a ，b 互为相反数，则b a += . ⑶ 非零实数a 的倒数为______. 若a ，b 互为倒数，则ab = .⑷ 绝对值⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0( )0( )0( a a a a ． ⑸ 科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数.⑹ 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是 的数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 2.数的开方⑴ 任何正数a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a 叫 _______________. 没有平方根，0的算术平方根为______. ⑵ 任何一个实数a 都有立方根，记为 . ⑶ =2a ⎩⎨⎧<≥=)0( )0( a a a .c a3. 实数的分类 和 统称实数. ◆【典例精析】 例1在实数－23，03.14，2π1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，•但它是无限不循环小数，是无理数．2π是无理数，2π，－0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数，故选C.例2（1）已知a 、b互为相反数，c 、d 互为倒数，e a+b ）+12cd －2e 0的值； （2）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简 【答案】解：（1）依题意，有a+b=0，cd=1，e≠0a+b ）+12cd －2e 0=0+12－2=－32．（2）由图知a>0，b<c<0，且│b│>│a│，∴a+b<0，b －c<0，a －b －│c│－（c －b ）=a －a －b+c －c+b=0． 【解析】相反数、倒数、绝对值都是主要的概念，解答时应从概念蕴含着的数学关系式入手．含有绝对值的代数式的化简，首先要确定绝对值符号内的数或式的值是正、负还是零，然后再根据绝对值的意义把绝对值的符号去掉，第（2）•题是数形结合的题目，解题的关键在于通过观察数轴，弄清数轴上各点所表示的正负性及各实数之间的大小关系，从而才能正确地去掉绝对值符号，达到化简的目的．例3今年6月，南宁市举行了第五届泛珠三角区域经贸合作洽谈会.据估算，本届大会合同投资总额达2260亿元.将2260用科学记数法表示为（结果保留2个有效数字）（ ）A ．32.310⨯ B ．32.210⨯C ．32.2610⨯D ．40.2310⨯【答案】A【解析】准确把握概念.把一个数写成a×10 n的形式（其中1≤│a│<10，n 为整数），•这种记数法叫做科学记数法．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字.根据题意，可知答案为A. 例4若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ． 【答案】49或1;【解析】根据绝对值的定义来进行解答. │a│=(1)(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩.由题意︱m －n ︱= n －m 知道，n>m. 而︱m ︱=4, ︱n ︱=3 故m=±4，n=±3.所以m=－4，n=3或m=－4，n=－3.故（m+n ）2=1或49. 例5已知x 、y（y 2－6y+9）=0，若axy －3x=y ，则实数a 的值是（ ） A ．14 B ．－14 C ．74 D ．－74【解答】（y －3）2=0 ∴3x+4=0，y －3=0 ∴x=－43，y=3． ∵axy－3x=y ， ∴－43×3a－3×（－43）=3 ∴a=14∴选A【解析】 若几个非负数之和等于零，则每个非负数均等于零．这是非负数具有的一个重要性质．本题中y －3）2均为非负数，它们的和为零，只有3x+4=0，且y －3=0，由此可求得x ，y 的值，将其代入axy －3x=y 中，即求得a 的值． ◆【迎考精练】 一、选择题1.－5的相反数是（ ）A ．15B ．15-C ．-5 D.52. 12-的倒数为（ ） A ．12B ．2C ．2-D ．1-3. 4-的绝对值是（ ）A ．4-B ．14-C ．4D ．144.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）A ．107.2610⨯ 元 B ．972.610⨯ 元 C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元5.国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，将25.8万平方米用科学记数法（四舍五入保留2个有效数字）表示约为（ ）A ．42610⨯平方米 B ．42.610⨯平方米 C ．52.610⨯平方米D ．62.610⨯平方米6.如果向东走80 m 记为80 m ，那么向西走60 m 记为（ ）A ．－60 mB ．︱－60︱mC ．－（－60）mD ．601m 7.在数轴上表示2-的点离开原点的距离等于（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．48. A 为数轴上表示1-的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到B 点，则B 点所表示的数为（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．1或3-9.如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示( )．A ．增加14%B ．增加6%C ．减少6%D ．减少26% 10. 27的立方根是（ ）A ．3B ．3-C ．9D ．9-11. 36的算术平方根是（ ）．A.6B.±6C.6D.±6 二、填空题1.－2的绝对值是__________.2. 15-的相反数是 ；立方等于8-的数是 ． 3. 13-=_________；0(=_________；14-的相反数是_________．4.若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．5.宝岛台湾的面积约为36 000平方公里，用科学记数法表示约 为 平方公里．6.山西有着丰富的旅游资源，如五台山、平遥古城、乔家大院等著名景点，吸引了众多的海内外游客，2008年全省旅游总收入739.3亿元，这个数据用科学记数法可表示为 ．【参考答案】 选择题 1. D 2. C 3. C 4. A5. D 【解析】本题考查科学记数法和有效数字，将一个数用科学记数法表示为()10110na a ⨯≤<的形式，其中a 的有效数字就是10na ⨯的有效数字，且n 等于这个数的整数位数减1。
所以25.8万平方米保留两个有效数字为52.610⨯，选D 6. A7. A 【解析】本题考查数轴的有关知识，也是考查绝对值的几何意义，数轴上表示-2的点离开原点的距离等于2，故选A ．8. A 【解析】本题考查数轴的有关知识，将表示1-的点沿数轴向左移动2个单位长度到表示3-的点，所以B点所表示的数为3-，故选A. 9. C10. A 【解析】本题考查立方根的定义，求27的立方根就是求一个数，这个数的立方是27；而3327 ，所以27的立方根是3.11. A 【解析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即是这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，而36的平方根为±6，所以算术平方根为6，选择A. 填空题 1.22. 15;－2 3.31,1, 41 4.3 5.3.6×1046.7.393×1010。