2006年高考数学试卷分类汇编及详细解析 第八章 圆锥曲线

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浙江省瓯海中学 徐进光
【点评】 本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义， 同时着重考查了审题能力即参 数范围对该题的影响。 11． （辽宁卷）直线 y 2k 与曲线 9k x y 18k x
2 2 2 2
的公共点的个数 (k R ,且k 0 )
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3 ， 由B b＝3y， 所以 x0， y0 P＝2 P A 可得 a＝ x， BP ＝（x，y－b）， PA ＝（a－x，－y） 2 3 3 2 2 又 AB ＝（－a，b）＝（－ x，3y） ，由 OQ • AB ＝1 可得 x 3 y 1( x 0, y 0) 2 2

x2 y 2 1 ，∴ 4
m=
1 ，选 A. 4
2
14． （全国卷 I）抛物线 y x 上的点到直线 4 x 3 y 8 0 距离的最小值是 A．
4 3
2
B．
7 5
C．
8 5
D． 3
解 ： 设 抛 物 线 y x 上 一 点 为 (m ， － m2) ， 该 点 到 直 线 4 x 3 y 8 0 的 距 离 为
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2006 年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编 第八章《圆锥曲线》
一、选择题（共 26 题） 1． （安徽卷）若抛物线 y 2 2 px 的焦点与椭圆 A． 2
2 2
x2 y 2 1 的右焦点重合，则 p 的值为 6 2
D． 4
为 (A)1 (B)2
2 2 2 2
(C)3
2 2 2
(D)4
2
【解析】将 y 2k 代入 9k x y 18k x 得： 9k x 4k 18k x
9 | x |2 18 x 4 0 ，显然该关于 | x| 的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4 个，
故选择答案 D。 【点评】 本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧， 同时对二次方程的实根分布 也进行了简单的考查。 12． （辽宁卷）方程 2 x 2 5 x 2 0 的两个根可分别作为（ Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 ）
故选 D 5． （湖南卷）过双曲线 M: x
2
y2 1的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两 b2
)
条渐近线分别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( A. 10 B. 5 C.
10 3
D.
5 2
解析过双曲线 M : x
2
y2 1 的左顶点 A (1，0)作斜率为 1 的直线 l ：y=x－1, 若 l 与双 b2 y2 0 分别相交于点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) , 联立方程组代入消 b2
3． （广东卷）已知双曲线 3x2 y 2 9 ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右 准线的距离之比等于 A. 2 B.
2 2 3
C. 2
D. 4
解析：依题意可知 a 3, c
a2 b2 3 9 2 3 ， e
c 2 3 2 ，故选 C. a 3
） B. (1，2) C.（1，2） D.(2，2 2 )
2 2 2 y0 y0 y0 解：F（1，0）设 A（ ，y0）则 OA ＝（ ，y0） ， AF ＝（1－ ，－y0） ，由 4 4 4
OA AF ＝－4y0＝2，故选 B
8． （江西卷）P 是双曲线
| 4m 3m 2 8 | 2 4 ，当 m= 时，取得最小值为 ，选 A. 3 3 5
x2 15． （全国 II）已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且 3 椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是 （A）2 3 （B）6 （C）4 3 （D）12 解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 ABC 的 周长为 4a= 4 3 ,所以选 C
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是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直, 既要注意它们联系,也要注意它们的区别. 7． （江西卷）设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y ＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若 OA AF
2

＝－4，则点 A 的坐标是（ A． （2，2 2 ）
17． （山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离 为 1，则该椭圆的离心率为 (A) 2 (B)
2 2
(C)
1 2
(D)
2 4
解：不妨设椭圆方程为
x2 y 2 2b2 a2 2 且 c 1 ，据此求出 e＝ 1 （ a b 0 ） ，则有 a c a 2 b2
2 ，选 B 2
18． （山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离 为
1 ，则该双曲线的离心率为 2
(A)
2 2
(B)2
(C)
2
(D)2 2
解：不妨设双曲线方程为
x2 y 2 2b 2 a2 1 2 且 c ， 1 （ a 0 ， b 0 ） ，则依题意有 a c 2 a 2 b2
B． 2
C． 4
解：椭圆 故选 D。
x y 1 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 y 2 2 px 的焦点为(2,0)，则 p 4 ， 6 2 x2 y2 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60° 的 a2 b2
2． （福建卷）已知双曲线
直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
Ｂ．两抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率
2 解：方程 2 x 5 x 2 0 的两个根分别为 2，
1 ，故选 A 2
13． （全国卷 I）双曲线 mx 2 y 2 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m A．
1 4
2 2
B． 4
C． 4
D．
1 4
解 ： 双 曲 线 mx y 1 的 虚 轴 长 是 实 轴 长 的 2 倍 ， ∴ m<0 ， 且 双 曲 线 方 程 为
4． （湖北卷）设过点 P( x, y) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点，点
Q 与点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点，若 BP 2 PA 且 OQAB 1 ，则点 P 的轨迹方程
是
2 A． 3 x
曲线 M 的两条渐近线 x
2
2 x x 1 2 1 b2 元得 (b2 1) x2 2 x 1 0 ，∴ ， x1+x2=2x1x2，又 | AB || BC | , 则 B 为 1 x x 1 2 1 b2 1 x1 c 4 AC 中点，2x1=1+x2，代入解得 ，∴ b2=9，双曲线 M 的离心率 e= 10 ，选 A. a x 1 2 2
x y 0 (A) x y 0 0 x 3
2
x y 0 (B) x y 0 0 x 3
2
x y 0 (C) x y 0 0 x 3
x y 0 (D) x y 0 0 x 3
2 2 由 MN MP MN NP 0 ，则 4 ( x 2) y 4( x 2) 0 ，



化简整理得 y 8x 所以选 B
2
【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也
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x2 y 2 解析： 双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的右焦点为 F， 若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线与双 a b
曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
b b ，∴ a a
≥ 3 ，离心率 e2=
c2 a 2 b2 ≥ 4 ，∴ e≥2，选 C a2 a2
据此解得 e＝ 2 ，选 C π x2 y2 19．(陕西卷)已知双曲线 2 － =1(a> 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为 a 2 3 A.2 B. 3 2 6 C. 3 2 3 D. 3
解：双曲线
x2 y 2 2 3 π 1 (a> 2)的两条渐近线的夹角为3 ，则 tan ，∴ a2=6， 2 a 2 a 6 3
6． （江苏卷）已知两点 M （－ 2 ， 0 ） 、N（2，0） ，点 P 为坐标平面内的动点，满足
| MN | | MP | MN MP
＝0，则动点 P（x，y）的轨迹方程为 （C） y 2 4 x （D） y 2 4 x
（A） y 2 8 x
（B） y 2 8x
【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义. 【正确解答】设 P( x, y) ， x 0, y 0 ， M (2, 0), N (2, 0) ， MN 4 则 MP ( x 2, y), NP ( x 2, y)
【解析】双曲线 x y 4 的两条渐近线方程为 y x ，与直线 x 3 围成一个三角形区
x y 0 域时有 x y 0 。 0 x 3