关于数学隐含条件专题
数学题常见隐含条件盘点
数学题常见隐含条件盘点作者：刘永中来源：《初中生·考试》2010年第08期隐含条件是指题目中没有给出的条件,需要从题设、结论或相关知识的联系上体现出来.在解题时,若忽视隐含条件,就可能出现错误.现在对初中数学中常见的隐含条件进行归类,供你复习时参考.一、非负性非负性主要有以下几种情况:|a|≥0;a2≥0; ■≥0,且被开方数a≥0.例1(2009年天津市中考题)若x、y为实数,且|x+2|+■=0,则(■)2 009的值为().A. 1B. -1C. 2D. -2解:根据绝对值和二次根式的非负性可得|x+2|≥0,■≥0.因为|x+2|+■=0,所以x+2=0,y-2=0.解得x=-2,y=2,(■)2 009=(-1)2 009=-1.选B.例2(2009年杭州市中考题) 已知点P(x,y)在函数y=■+■的图像上,那么点P在().A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解:根据分式的性质得x≠0,根据二次根式的非负性得,■≥0,-x≥0,因此x因为y=■+■>0,故点P(x,y)在第二象限. 选B.二、锐角三角函数中的隐含条件锐角三角函数其值满足:0例3已知∠A、∠B均为锐角,且sinA是方程6x2-11x+3=0的根,cosB是方程6x2-x-2=0的根,求sin2A+cos2B的值.解:解方程6x2-11x+3=0得x1=■,x2=■.因为0所以sinA=■.解方程6x2-x-2=0得x1=-■,x2=■.因为0所以cosB=■.故sin2A+cos2B=(■)2+(■)2=■+■=■.温馨小提示:若没考虑到锐角三角函数的隐含条件,肯定会出现错误.三、分式中的隐含条件分式中分母不为零;解分式方程时必须检验.例4(2009 年河南省中考题) 先化简(■-■)÷■,然后从■、1、-1中选取一个合适的数,作为x的值代入求值.解:原式=■·■=■.当x=■时,原式=■=2■.温馨小提示:选取x的值时必须考虑到隐含条件,分母的值不能为零,因此,此题x只能取■,若选其他数求解,则会失分.四、三角形中的隐含条件三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;三角形三个内角的和等于180°.例5 一个三角形的三边长分别是xcm、(x+1)cm、(x+2)cm,它的周长不超过39cm,求x的取值范围.解:由题意得x+x+1+x+2≤39,x+x+1>x+2.解之得1温馨小提示:容易忽视三角形较小的两边之和大于第三边.五、一元二次方程中的隐含条件一元二次方程ax2+bx+c=0的二次项系数是a(a≠0);它有实根的条件是:b2-4ac≥0.例6关于x的方程(a-6)x2-2x+6=0有实数根,则整数a的最大值是().A. 5B. 6C. 7D. 8解:根据方程有实根的条件得b2-4ac=(-2)2-4×(a-6)×6≥0.解这个不等式得a≤6■.又因为a-6≠0,即a≠6,所以整数a的最大值是5. 选A.温馨小提示:若没有考虑到二次项系数不为零的隐含条件,则会错选B.六、其他隐含条件这里主要指题目中给定的隐含条件,这些隐含条件往往是解题的突破口.例7(2009年烟台市中考题)设a>b>0,a2+b2-6ab=0,则■的值等于.解:因为a>b>0,所以 a+b>0,b-a把a2+b2-6ab=0移项得a2+b2=6ab.两边同时加上2ab,配方得(a+b)2=8ab,即a+b=2■.两边同时减去2ab,配方后可得(a-b)2=4ab,即b-a=-2■.所以■=■=-■.温馨小提示:若没有考虑到a+b>0,b-a。
高中数学解题中隐含条件的挖掘方法和技巧
高中数学解题中隐含条件的挖掘方法和技巧隐含条件，是指在数学问题中没有直接给出的条件，这些条件需要解题的学生自己去挖掘。
在解题时，学生需要具备挖掘隐含条件的意识，即在审题时，就要意识到“题目中是不是包含了隐含条件？”接下来，就要能够从题目的特征中分析出题目可能存在哪些隐含条件，然后应用挖掘隐含条件的技巧来挖掘出隐含条件。
1结合习题中的概念和性质挖掘隐含条件有些题目没有直接给出隐含条件，然而这些条件包含在概念或性质中，只有挖掘出这些隐含条件，才能够正确的确定一些数值的取值范围。
在审题时，学生就需要关注概念和性质中有没有隐含条件。
例1：无穷数列中，时，则此数列的各项和为，请完成命题的证明。
解：分析数列通项，可将数列视为分段函数，这是一个隐含条件。
数列是一种特殊的函数，它的自变量是自然数构成的集合，它的值域为自然数组成的分数。
并且当n=3k-1时，即n被3除不足1时，该项将以的形式呈现，否则，当时，该项将以的形式呈现，那么将数列呈现的形式表达出来，它将以的方式呈现。
从数列的概念和性质中挖掘出题目包含的隐含条件，可以缩小无穷数列的范围，得到三个首项不同，而公比相同的三个“无穷递缩等比数列”（1）（2）（3）结合隐含条件完成证明：在解题时，需要分析数学问题的定义与性质，找出题目中可能存在的隐含条件，比如较为常见的数学问题定义和性质中包含的隐含条件为：一元二次方程的二次项系数不为零，指数函数的底数是非1正数等。
只有正确分析隐含条件，才能够正确界定变量的取值范围。
2挖掘出数学图形中呈现的隐含条件在解题时，有些隐含条件在文字中难以呈现出来，而如果忽略这些隐含条件，则解题会出现条件不足的问题。
然而如果抽象化的文化转化为直观化的图形，便会发现图形中包含着隐含条件能够呈现出。
当发现习题的条件不充分时，可以思考把文字转化为图形，挖掘图形中的隐含条件。
图1例2：已知正方形，边长为4，，F分别是AB，AD的中点，平面ABCD且GC=2，求B点到平面EFG的距离。
谈谈小学数学中的“多余条件”和“隐含条件”-最新教育资料
谈谈小学数学中的“多余条件”和“隐含条件”小学数学教学中，解决问题的关键是找准题目中的条件。
由于小学生的智力和理解能力还处于发生和发展阶段，要准确找到题目中的条件还有一定的困难，特别是题目中有些条件是多余的，有些条件是隐含的，更增加了学生的审题难度。
下面就小学数学中的“多余条件”和“隐含条件”作一下浅析。
一、多余条件1.纯多余条件纯多余条件是指题目中的某个多余的、解题时根本用不到、完全可以没有的条件。
【例1】一个等腰三角形，底边长8厘米，底边上的高3厘米，腰长5厘米，求这个三角形的面积。
（五年级试题）【分析】本题的问题是求三角形的面积，知道三角形的底和相对应的高就可以求出面积，算法是8×3÷2=12（平方厘米）。
题目中的一个条件腰长5厘米没有用到，是一个纯多余条件。
【例2】明信片每套12张，售价14元，今天卖出56套风光明信片。
一共卖了多少钱？（人教版六年制小学数学第六册67页第8题）【分析】求一共卖多少钱，可以用每套风光明信片的售价乘套数。
题目中的每套12张是一个纯多余条件，这一纯多余条件给很多同学设置一道障碍，至使问题显得复杂化。
正确的算法是：14×56=784（元）。
纯多余条件题目的训练，可以提高学生的抗干扰性，培养学生对条件的辨析和选择能力。
2.可选择条件可选择条件是指题目中的一些具有可选择性，解题时可以用，也可以不用，对题目的结果不具有决定性影响的条件。
【例1】维修一段长60千米的高速公路，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。
两队合作，多少天完成？（六年级试题）【分析】这类题目可以看成归一问题，也可以看作工程问题。
如看作归一问题，算法是60÷（60÷20＋60÷30）=12（千米）；如看成工程问题，可把这段60千米的高速公路看作单位“1”，算法是1÷（1/20＋1/30）＝12（千米）。
采用第一种算法，60千米是有用的条件；采用第二种算法，60千米是多余的条件。
关于数学隐含条件专题
关于数学隐含条件专题一、 数值（或代数式）中的隐含条件 1、 已知2222()()60a b a b +-+-=，设22a b x +=，则原方程化为________，由此求得22a b+的值_____________。
2、 已知11x x-=，则1x x +=___________。
二、 方程中的隐含条件 1、已知关于x 的方程(1)20mm x -+=是一元一次方程，求m 的值。
2、已知22(2)50m m x x --+-=为关于x 的一元二次方程，求m 的值。
3、已知关于x 的方程22(21)10kx k x -++=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
4、关于x 的一元二次方程2(1)210a xx --+=有两个不相等的实数根，则整数a 的最大值为（ ） A 、0B 、1C 、2D 、35、当m 为何值时，方程22210x mx m +-+=的两实根的平方和为294？三、 分式中的隐含条件1、232x mx +=-的解是正数，求m 的取值范围。
2、2323x x x ---的值为0，则x 的值是___________。
3、先化简，再选一个合适的x 的值，代入求值： 四、 根式中的隐含条件0)a ≥ 1、已知22n m =-2、已知4x y +=-，2xy =五、 函数中的隐含条件1有意义的条件是_______； 2、222(3)m m y m x --=-是正比例函数，求m 的值。
3、若函数21y ax x =++（a 为常数）图象与x 轴恰好有一个交点，求a 的值。
4、已知一次函数8y x =-+与反比例函数k y x=的图象有两个交点，求k 的取值范围。
六、 图象中隐含条件1、如下图，正方形是由k 个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= .2、抛物线2231y ax x a =-+-的一部分如上图，则a 的值是__________．七、 边（角、位置）不确定的隐含条件如：△ABC 是Rt △，是等腰三角形；两个三角形相似；三条线段构成三角形等1、 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，求它的周长。
高中数学解题中隐含条件的挖掘
高中数学解题中隐含条件的挖掘【关键词】高中数学;解题;隐含条件;挖掘数学问题的完整性通常包括条件与目标两个方面.问题条件主要具有显性条件与隐含条件以及干扰项.显性条件在解答方面能够提供非常直接的帮助;隐含条件普遍都受忽视，因此需要学生独立挖掘;干扰项使题目难度增加，对学生的思考设置产生影响.在解题的过程中，学生只要对显性条件进行确认，对隐含条件进行挖掘，对干扰项进行排除，才可以使解题的效率得到提升.一、意义有些数学问题即使表面上看比较有难度，但是若是能够把数学题内存在的隐含条件挖掘出来，就可以使解题步骤得到快速简化，将题中具有的数量关系理清，使解决数学问题的效率提高.二、方法（一）已知条件方面解决高中数学问题的过程，本质就是对学生逻辑思维的考查过程.分析题中存在的隐含条件就是通过逻辑思维进行的.在学习高中数学知识的过程中，虽然教师的讲解十分重要，但是学生进行练习也是十分关键的.学生进行数学的日常练习时，基本上都会把教师在课堂上传授的知识进行变形或者拓展，属于将知识进行延伸.所以，学生在练习时，题目难度就会变大.学生在进行具体题目的解决时，若是想得到其中存在的隐含条件，就需要全面分析与研究已知条件，对已知定理或者设定进行透彻理解与分析，准确找到题目条件所包含的定义与公式，再利用公式变形将题中存在的隐含条件找出.例如：已知函数f（x）=loga（x+1）（a0，且a≠1），g（x）=loga （4-2x）.求使函数f（x）-g（x）的值为正数的x的取值范围.题目自身较为复杂，学生在表象认识方面存在困难.學生第一眼看到此题目时，会认为此题所给的条件不够，无法解答.有些学生还会被禁锢于题目呈现的简单条件之中，这时若是想在其中发现隐含的条件就非常困难了.因此，学生在做题时，必须将题面上所给的全部已知内容都找到，且在其中找到需要解决的问题与高中数学内一些定理的相似之处.解析：令f（x）-g（x）0，得f（x）g（x），即loga（x+1）loga（4-2x）.当a1时，可得x+14-2x，解得x1.因为-1x2，所以1x当0a1时，可得x+14-2x，解得x1，因为-1x2，所以-1x1.综上所述，当a1时，x的取值范围是（1，2）;当0a1时，x的取值范围是（-1，1）.由解析所表达的内容可以清晰地看到，本题的解题关键在于通过已知条件进行转化，从而找到该题目的解题核心即“令f（x）-g（x）0，得f （x）g（x）”.在找到解题关键后，该题由已知条件不完整，变成了一道简单的不等式问题，这在极大程度上降低了解题难度.同时，在上述的题目解析中可以发现，高中数学问题的条件通常不会直接呈现给解题者，而是需要解题者在利用平时课堂上所学内容的基础上，合理运用逻辑思维在题干中找到解题关键.因此我们可以说，高中阶段的数学题目正是为了有效考察学生的逻辑思维，并以此锻炼学生的思维能力.（二）推理方面学生在进行高中数学的学习时，只需对方法有一定的掌握就能够使题目难度得到明显降低.题目内具有的隐含条件是将数学问题彻底解决的重要内容.学生只有不断推理和探究题目，才能发现解决问题的方法，发现解题时需要的实质内容.但是一部分题目非常复杂，很难挖掘其中存在的隐含条件，只有利用具有严密性的逻辑推理与求证，才能够将隐含条件推导出来，最终将问题解决.例如：已知A+B+C=π，求证：tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.学生在看到此题时，第一反应就是题目中条件不够，没有办法解题.但是若是经过较为严密的推理就可以将此题中存在的隐含条件找到.解析：利用基本不等式a2+b2≥2ab，同向不等式相加，可以得到tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2;然后只需证明tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=1即可.由两角和的正切公式的变形可得tan α+tan β=tan（α+β）（1-tan αtan β），结合三角形内角的关系可得tanC2=cot（A+B）2，至此即可求出结果.证明：因为tan2A2+tan2B2≥2tanA2tanB2，tan2C2+tan2B2≥2tanC2tan B2，tan2A2+tan2C2≥2tanA2tanC2，所以将三个不等式相加可得：tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=tanA2ta nB2+tanC2tanA2+tanB2=tanA2·tanB2+cotA+B2tanA+B21-tanA2tanB2=1，即tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.由上述题目解析可知，仅凭题干的已知条件进行证明是无法直接解开此题的，需要学生进一步利用自身的知识积累来找到题中的隐含条件.类似于上述形式的数学题目，在高中阶段的“出镜率”较高，并且具有一定的难度.但是通过上述解题过程不难发现，该类题目的出题意图在于考察学生的知识储备，学生只有掌握固定的不等式关系，才能满足上述题目的解题要求.同时，学生在解题过程中，依旧需要将自身积累的数学知识运用于解题过程中，从而为题目“凑齐”解题条件.而这种思维在学生未来进行科学或学术研究时，能够为其起到一定的支撑作用.在学术研究过程中必须通过已知的知识来求证未知知识，在条件不满足的情况下，科研人员一定要具有上述的“拼凑”思维，巧妙且合理地将所有知识及条件汇聚在一起，才能解开未知的谜题.因此，学习与练习数学题目能够在一定程度上培养学生的思考能力，为其日后的工作及学习奠定良好的基础.（三）定义方面定义和性质是数学解题过程中的着手处，属于浅显的隐含条件，但若是不够重视就会成为非常隐蔽的隐含条件.例如，一元二次方程中的二次项系数不能是0，指数函数中底数必须是不是1的正数，等等.例如：已知数列{an}中，a1=3，前n项和Sn=12（n+1）·（an+1）-1.求证：数列{an}是等差数列.解析：由Sn=12（n+1）（an+1）-1，得Sn+1=12（n+2）·（an+1+1）-1，两式相减后整理可得nan+1=（n+1）an-1，则（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，两式相减整理后利用等差中项公式可判断.证明：因为Sn=12（n+1）（an+1）-1，所以Sn+1=12（n+2）（an+1+1）-1，所以an+1=Sn+1-Sn=12[（n+2）（an+1+1）-（n+1）（an+1）]，整理可得，nan+1=（n+1）an-1，①所以（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，②②-①可得，（n+1）an+2-nan+1=（n+2）an+1-（n+1）an，所以2（n+1）an+1=（n+1）（an+2+an），所以2an+1=an+2+an，所以数列{an}为等差数列.通过上述题目解析可知，在进行数学题目解答时，学生需要准确掌握使数学概念成立的充分与必要条件.在高中阶段的数学学习过程中，很多定理的存在与成立都需要一定的固有基础，同时根据定理又能得到相应的固有结论.因此，在一般的数学题目中，既定的充要条件通常不会直接呈现，学生需要通过自身对于定理的熟练掌握在解题过程中自行进行补充，从而满足题目的解题需求.因此，教师在日常的数学教学中，需要对学生在该方面进行强调，并在讲解新定理的过程中要求学生对定理的结论及条件进行记忆.但需要注意的是，教师在课程中对学生提出定理记忆要求时，需要直接配合上述类型的题目要求学生进行练习，从而使学生直观感受到记忆定理的作用.（四）联系方面在单独地、孤立无援地对已知条件进行审视时，能够在已知条件的联系中发现新的隐含条件.例如：锐角α，β满足条件sin4αcos2β+cos4αsin2β=1，求证：α+β=π2.证明：由已知可设sin2αcos β=cos θ，cos2αsinβ=sin θ，则sin2α=cos θcos β，① cos2α=sin θsin β，②①+②得：cos（θ-β）=1θ-β=2kπ，所以θ=2kπ+β（k∈Z），所以sin2α=cos θcos β=cos2β，cos2α=sin θsin β=sin2β，因为α，β为锐角，所以sin α=cos β=sinπ2-β，所以α=π2-β，即有α+β=π2.由上述类型的题目及对应解析可知，学生在进行数学习题解答的过程中，需要充分认识到题干中所存在的固有关系，而该类固有关系正是题目的隐含条件，学生只有及时发现该类隐含关系才能有效解开该类题目.此类题目在发现隐含条件后的整体运算并难，故需要教师在日常练习过程中帮助学生进行解答，并指导学生进行相应的积累.其中在要求学生进行积累时，教师要有所侧重的为学生指出解题重点，意在培养学生发现隐含条件的思维能力，切忌放任学生死记硬背.（五）认知动因方面在数学教学活动中，不但具备将认知动因进行激活的策略，也具备将认知内容和方法进行激活的策略，前面的内容依据联想，后面的内容依据类比.解题的过程不仅是联想的过程也是类比的过程.例如：在等比数列中，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20等于多少？分析：这是一道关于等比数列的题目，要回忆等比数列的前n项和的公式.首先，由已知条件可得q≠1，S10=10，S30=130，接下来就可以利用等比数列的前n项和公式将其进行变形，进而得到关于q的方程，即可求出q10的值，然后利用等比數列的前n项和公式进行解答就可以了.解：因为S30=13S10，且数列为等比数列，所以q≠1.因为S30=13S10，S10+S30=140，所以S10=10，S30=130，所以a1（1-q10）1-q=10，且a1（1-q30）1-q=130，所以q20+q10-12=0，所以q10=3，所以S20=a11-q201-q=S10（1+q10）=10×（1+3）=40.从该类题目的解题过程中可以看出，此类题目能够很好地检验学生对题干的拆解能力，教师在为学生讲解过题目后，一定要重点对其隐含条件“q≠1”及等比数到的特征进行总结，其目的在于吸引学生对题干的注意力，从而在后续解题过程中能够发现题干中的隐藏条件.（六）图形方面一位法国数学家曾经说过，代数和几何一旦分道扬镳，那么它们的发展范围就会变得十分缓慢，它们在应用方面就十分狭窄，但是把它们相互结合、相互联系，它们就能相辅相成、互相影响，就能够加快发展的步伐，变得更加完善.例如：已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A，B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标.分析：从题中能够看出，若不通过数形结合，则很难算出P到A，B 的距离之差的绝对值最大时P点的坐标，因此，可以利用数形结合的方式进行解题，如下图所示.易得当B′，A，P三点共线时，|PA-PB|最大，设直线AB′的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AB′的解析式，点P即是此函数与x轴的交点坐标.解：设B关于x轴的对称点为B′，连接PB′，AB′，则B′（3，5），PB′=PB，所以|PA-PB|=|PA-PB′|≤AB′，则B′，A，P三点共线时，|PA-PB|最大.设直线AB′的解析式为y=kx+b，则有2=k+b，5=3k+b，可得k=32，b=12，所以直线AB′的解析式为y=32x+12.令y=0，可得x=-13，所以符合题意的点P的坐标为-13，0.数形结合不仅是数学发展历史中的重要发现，也是当下高中数学题目中隐藏条件的最好手段.因此，教师需要充分培养学生将图形与函数进行联系的能力，往往题干中的隐藏条件就存在于图形与函数之间.此外，高中数学的教学内容中包含了多种函数形式，并进一步提升了学生对于函数的理解要求.故教师要重视在日常教学中加强学生于函数的理解，并在适当时间要求学生自行进行函数图像的描绘，或通过建立函数图像来要求学生写出对应的函数表达式.三、结语学生在学习高中数学知识时，需要把所学的知识不断运用，这样才可以实现学习的目的.学生在解题时挖掘题中蕴含的隐含条件，并采取与之相关的定义将问题解决，对解题效率的提高有很大的帮助.。
一元二次方程复习---挖掘隐含条件,打开解题突破口
∴m，n是方程x2－x－1＝0的两个根.
∴m+n=1
mn= -1
法1：m2+n2=m+n+2=3
法2：m2+n2=(m+n)2-2mn=1-2× (−1) = 3
隐含条件：m，n是方程x2－x－1＝0的两个根.Fra bibliotek当堂检测：
7. 如果关于 x 的方程(m－2)x2－2x＋1＝0 有实数解，求 m 的取值范围。
（1）隐含一元一次方程-------忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小
（2）隐含二次项系数a≠0------忽视二次项系数a≠0，导致字母系数取值范围扩大
1、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0
(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?
(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?
解:(1)
a2-4=0
(2) a2-4≠0
a+2≠0
∴a=2
∴当a=2时，原方程是一元一次方程
隐含条件--------- 隐在其中，含而不露
∴a≠±2
∴当a≠±2时，原方程是一元二次方程
推论：如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1,x2
那么
x1+x2=－p ,x1x2= q
.
温故知新：
6. 隐含条件:
是指已经包含于题目的文字叙述、图示表示或符号表示中，
但又未明确指出的条件.
也指在题目已知信息中没有明显呈现，
但却与题目涉及的数学概念、知识或方法等密切联系的数学信息。
当堂检测：
x
当堂检测：
思维拓展，更上一层
有关初中数学解题中隐含条件的分析和实践应用研究
有关初中数学解题中隐含条件的分析和实践应用研究作者：黄宗亮来源：《理科考试研究·初中》2015年第02期隐含条件的概念是题目中没有明确指出，但是通过题设、结论或相关推导能够找出来的解题条件.在初中数学中，大多数学生通常由于对隐含条件的忽视而出现解题错误，对初中学生解题能力的提高造成重大影响.因此本文先简单介绍隐含条件的作用，接着结合实例阐明隐含条件在初中数学解题中的具体应用，旨在寻找巧妙的解题思路，优化解题过程，培养和提高学生的数学解题能力.在数学解题过程中，已知条件是分析和解题的依据，但是在具体解题过程中，往往隐藏着很多被忽略的隐含条件，常常使解题者陷入迷惑不解的境地，或者是直接导致错误结论的产生.也正是因为这样，隐含条件的合理开发运用，关系到解题者能否顺利得出正确的答案.因此在具体的解题过程中，解题者不仅要首先读懂题目的已知条件，还要对隐含条件进行深度挖掘，将隐含条件变得显而易见，化未知为已知，帮助解题取得突破，使得学生在解题过程中享受到数学带来的快感和乐趣.由此可见，隐含条件的广度和深度是数学题目难易程度的标准之一.要想对题目中的隐含条件进行挖掘，学生必须要具备十分牢固的基础知识、灵活快捷的反应速度、严谨的思维能力，通过对题目进行整体分析，运用比较、分析、鉴别、联想等方法，将隐含条件以多种多样的形式表现出来.下面我们就来探讨一下隐含条件在解题中的功能和具体应用实践.一、隐含条件的作用1.导向作用在具体的数学问题解题中，对隐含条件的深度挖掘过程其实就是寻找新思路新条件的过程，因为题目中的隐含条件一经发现，就意味着新的解题信息的出现，解题思路的发现也就顺其自然了.因此有效地找出隐含条件，就推开了一扇解题之门.例1当x为何值时，分式2-|x|x2-10-3x的值为0.分析由题目可知，要想使此分式值为零，首先要保证此分式有意义，即分母不能为零，显然，这就是一个隐含在题目之外的隐含条件.解由题可知2-|x|=0，x2-10-3x≠0. 得出x=±2，x≠-2且x≠5.所以，得出x=2时，分式2-|x|x2-10-3x值为0.2.优化作用对于有些题目来说，不依靠隐含条件，也能够很轻松地得到最终结果.但是如果将隐含条件进行深度挖掘，就能运用更简单新颖的解题方式找出最终答案.因此，在初中数学教学中，帮助学生选择一个最好的解题方案，也是寻求最佳决策的有效途径.例2化简分式1-a1+a.分析通常情况下，大多数学生会采取分母有理化来进行化简，首先先确定分母的有理化因式，再将分子分母同时乘以有理化因式.但是深入分析就会发现，1+a的有理化因式是1-a，但是1-a的值有为零的可能，所以这道题目不能用分母有理化的办法进行化解.并且，题目中有a 的存在，这就导致a只能是正数，根据因式分解法，这道题目可以进行分子因式分解法，然后再进行约分.通过这样的分析，我们就找到了隐藏在题目之外的隐含条件，找到了解题的最佳方案.解题过程1-a1+a=（1+a）（1-a）1+a=1-a.3.筛选作用通过对题目中隐含条件的深度挖掘，不仅可以简化解题步骤，优化解题方案，还可以对可能出现的情形进行排除，达到删繁就简的淘汰功能.例3k为何值时，方程式kx2-（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根？分析通过对题目的分析可以知道，该方程确定会有两个不相等的实数根，所以这道题目的隐含条件就是二次项系数k≠0.因为如果k=0，方程就能化为x=0，该方程式就只剩下一个实数根，与题目要求相违背.解由已知可得k≠0，方程式有两个不相等的实数根，所以Δ=[-（2k+1）]2-4·k·k=4k+1>0，得k>-14.所以，当k>-14且k≠0时，该方程式才有两个不相等的实数根.4.检验作用在数学解题过程中，得出了正确答案并不意味着解题过程的结束，因为数学本身的特性规定了它必须保证每个环节的精确，因此，检验作用也是隐含条件具备的功能之一.例4一个等腰三角形的周长为180 mm，一边长为40 mm，则其他两边长分别为多少？解虽然题目中指明，一边长为40 mm，但是没有说是等腰三角形的底边长还是腰长，因此要分两种情况进行讨论：（1）当40 mm为底边长时，腰长为（180-40）÷2=70；（2）当40 mm为腰长时，底边长为180-40×2=100.但40+40二、挖掘数学解题中隐含条件的具体途径1.从命题中挖掘包含隐含条件的关键词初中数学命题中的一些隐含条件，往往第一眼似乎找不出来，但是通过对题目的阅读和分析，读的过程中结合理性思维，紧抓关键词，就可以在语义中找到隐含在题目里的隐含条件了.例5已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-1，7），且在x轴上截得单位长为3的线段，图象的对称轴为直线x=1，求这个二次函数的解析式.通过对题目的解读与分析可知，“在x轴上截得单位长为3的线段，图象的对称轴为直线x=1”的关键性语句，因为二次函数图象是一条成轴对称的抛物线这一性质，可以得到如下隐含条件：该函数抛物线与x轴的交点坐标是（2.5，0），（-0.5，0），所以得到该二次函数的解析式为y=a（x-2.5）（x+0.5），将（-1，7）代入解析式得到a=4，所以此函数解析式为y=4x2-8x-5.2.从结构特征中找出隐含信息在有些数学命题中，关系式中的已知条件通过这样或那样的条件给出，隐含条件就通过对这些关系式的观察得到.因此，在具体的解题过程中，通过对数学公式、数字信息、字母等结构的观察，就可以在已知条件中找到隐含条件，顺利找到最佳解题方案.例6已知（a2+b2）2-3（a2+b2）-10=0，求a2+b2的值.通过对题目进行解读分析可以推出：a2+b2的值不可能小于0，这就是题目中的隐含条件，所以就可以将a2+b2作为一个整体来看待，通过运用换元法得出a2+b2=5或a2+b2=-2.由于后者小于零，与题目不符，所以可以得出a2+b2=5这一准确答案.综上所述，隐含条件在初中数学解题中的作用非常重要，主要有导向作用、优化作用、筛选作用、检验作用，在具体的解题过程中，可以通过对命题的深入挖掘来寻找关键词，或者是从题目的结构特征中找出隐藏其中的隐含条件，帮助解题过程的顺利实现.。
数学解题教学中隐含条件的有效发掘探究
数学解题教学中隐含条件的有效发掘探究丘荣华摘要：善于分析和解答数学问题是学生有效掌握数学知识的主要体现。
但在实际解题中，有的学生不认真读题，忽略题目中的隐含条件，找不到题目中的关键解题信息。
文章以数学解题教学为研究对象，探讨、分析隐含条件的含义、价值以及如何在数学解题中有效挖掘隐含条件，以引导学生正确解答数学题目。
关键词：初中数学;解题;隐含条件;信息;含义;价值;策略有效挖掘数学题目中的隐含条件有利于学生正确、高效解题。
但是，隐藏在数学题目背后的条件不易被学生发现、利用。
尤其是比较粗心、不爱审题的学生更容易忽略题目中的隐含条件，从而影响到解题效果。
因此，在数学解题教学中，教师有必要指导学生掌握挖掘题目中隐含条件的方法，让学生从题目中挖掘到有用的隐含条件，从而正确、高效解题。
一、隐含条件的含义隐含条件是指隐藏在题目背后的条件。
题目不会直接给出隐含条件，需要学生从题干或已知信息中分析、推理、转换，让其变得清晰、可用，从而为解题提供有效帮助。
二、隐含条件的价值解答数学问题单靠题目中的显性条件是不够的，尤其是一些复杂的数学题目，不仅需要学生分析题目中的显性条件，还需要学生对题目中存在的关键词、涉及的公式进行重点分析。
这样才能将题目中的各种信息挖掘出来，并运用于问题的解答中。
另外，挖掘题目中隐含条件的过程也是锻炼学生思维能力的过程，可以让学生积累分析、理解、构建关系的方法和经验。
这有利于提升学生的学习能力，促使学生多角度思考问题。
三、数学解题教学中隐含条件的有效挖掘策略1.从数学题目涉及的概念中挖掘隐含条件不同的数学题目涉及的数学概念不同，而这些数学概念经常隐藏可用的解题条件。
因此，在数学解题教学中，教师可以从数学题目涉及的概念着手，引导学生利用其中的概念信息挖掘隐含条件。
当学生得到隐含条件之后，就可以综合运用各种显性和隐性的条件，解答数学问题。
以下面這道数学三角形证明题为例。
在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，求证：AB+BD=AC。
综述初中数学题隐含条件的挖掘
综述初中数学题隐含条件的挖掘1 分式中分母不为零的隐含条件在分式方程的这类数学题目的求解过程中学生可能经常会忘记分母不等于0这一隐含条件，最终导致求得的结果是错误的。
例如：问当X为什么值时，分式的值为零？对于这个问题可能学生的第一印象就是分式中分母不为0 ，要想整个分式为0必有分子解得：，最终就高兴的将这个作为正确的答案了，可是我们反过来验证可以得到当时，分母的值为0。
这个题目之所以求解错误的原因，就是学生在求解题目，没有对最终答案进行验证，一个答案并不符合题目的隐含条件。
该题的正确求解方式应该是在求出之后，对答案进行验证有时，分母不符合条件，所以正确的答案为时，原分式的值为0。
通过上面的例子我们可以看到，如果学生忽略的分式的分母不等于0的条件，会使题目的解不止一个，并且在通常情况下会存在一个错误的解，这往往会导致学生在实际的考试过程中感觉题目自己都会做，并且也感觉自己已经都作对了，可是最终考试成绩确实出乎意料的差。
2 偶数次根式的被开方数应该是非负的隐含条件在初中数学题中经常会有这么一类题目就是根式的化简问题，对于这类问题经常会遇到的一个问题就是，学生会忽略掉偶数次根式中被开放数应该非负的这一隐含条件，最终导致求解结果出现错误。
例如这样一道题目：将进行化简。
目前普遍存在的一种错误的解法就是：解：原式= = 分析可以发现在求解这个题目时，学生忘记了偶数次根式下被开方数不为负的隐含条件，如果有意义，那么毕竟有，因此上面的求解方法中的错误就是没有意义。
对于这个题目的正确求解方法应该是：解原式=3图形中的隐含条件对于数学中的一些几何问题，通过我们平时做题发现，给出的题目中的条件往往对这道题不能够进行解答，但是，题目中会有一些隐含条件，这些条件是不明显地存在题目中的。
有的隐含条件对于解答一些数学几何题目时有着很关键的作用，只有我们深入观察和分析几何图形中的特点，只有这样有可能为解答这道题时提供明确的方向。
高中数学三角函数专题专项练习(非常好)
高中数学三角函数专题专项练习(非常好)三角函数疑难点解析】一、忽略隐含条件例3：若sinx+cosx-1>0，求x的取值范围。
正解：2sin(x+π/4)>1，由sin(x+π/4)>1/√2得2kπ+π/4<x+π/4<2kπ+3π/4(k∈Z)∴2kπ+π/4<x<2kπ+5π/4(k∈Z)，即x∈(2kπ+π/4,2kπ+5π/4)(k∈Z)。
改写后：对于不等式sinx+cosx-1>0，可以化简为2sin(x+π/4)>1.由于sin(x+π/4)>1/√2，所以可以得到2kπ+π/4<x+π/4<2kπ+3π/4(k∈Z)。
进一步化简得到x∈(2kπ+π/4,2kπ+5π/4)(k∈Z)。
二、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例4：设α、β为锐角，且α+β=120°，讨论函数y=cos2α+cos2β的最值。
正解：y=1+(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-cos(α-β)，可见，当cos(α-β)=1时，ymin=0；当cos(α-β)=-1时，ymax=2.分析：由已知得30°<α,β<90°，∴-60°<α-β<60°，则-1<cos(α-β)≤1，∴当cos(α-β)=1，即α=β=60°时，ymin=0，最大值不存在。
改写后：已知α、β为锐角，且α+β=120°，求函数y=cos2α+cos2β的最值。
根据cos2θ=1-2sin2θ和cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，可以得到y=1+(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-co s(α-β)。
当cos(α-β)=1时，即α=β=60°时，ymin=0，最大值不存在。
例谈数学解题中隐含条件的挖掘
例谈数学解题中隐含条件的挖掘每道数学都可以分为“条件”和“结论”两部分，条件是命题中的已知事项，而结论是从命题中提出条件经过推理而得到的事项，多数命题的条件和结论是明确的，但有的简单命题就不明确点明，它的条件是隐蔽的。
隐蔽在题设中的已知条件我们称之为“隐含条件”。
它们常常巧妙隐蔽在题设的背后，不易被人们发现。
这些隐含条件对解题影响很大，一道数学题是否解得迅速、合理、正确，关键在于要引导学生充分挖掘和利用好隐含条件，部分学生解决某些数学问题，常因疏漏隐含条件，要么使解题无法进行，要么就得出错误的结论。
究其原因，主要是对那些问题中所隐含的条件不清楚，没能充分应用到位。
那么怎样才能引导学生充分挖掘和利用隐含条件？笔者多年从事数学教学实践，认为教师应从以下4方面入手：1. 从数学概念、定义中挖掘隐含条件数学概念、定义中的某些部分较为隐蔽，如不注意，就容易错误或被疏漏，造成解题的失误。
应从仔细审题入手，积极探明题目思路，注意分析概念、定义的实质，挖掘出隐含条件，使解题做到快而准。
例1：在实数范围内解方程：|（x+y）（x-y）-15|+4-xy=0。
分析：注意在此方程中含有绝对值和平方根，可从概念入手，挖掘隐含条件。
在实数范围内求解时，此方程的第一部分表示实数的绝对值，第二部分表示实数的算术平方根，它们在数量上的共同特征是表示非负数。
即（x+y）（x-y）-15=04-xy=0x1=4y1=1，x2=-4y2=-1例2：求C25-n2n+C2n9+n（n∈N）的值。
分析：若采用组合的计算公式Cmn=n！m！（n-m）！来求值很繁琐，但从组合数特定的概念中挖掘隐含条件nm0，m、n ∈N，问题显然易解。
解：由组合的定义知：2n25-n0（n∈N）9+n2n0得：813n9且n∈N，所以n = 9故原式= C1618+C1818=C218+1=1542. 从基本初等函数的定义域、值域中去挖掘隐含条件函数的定义域、值域是函数的主要组成部分，有些重要的条件往往隐含在定义域、值域中，这不但需要教师注重培养学生的观察能力，还要求学生熟练地掌握基本技能，仔细分析、勤于联想，这样才能提高挖掘隐含条件的能力。
发掘隐含条件 助力数学解题——以不等式为例
发掘隐含条件㊀助力数学解题以不等式为例李自萍(江城县职业高级中学ꎬ云南普洱６６５９００)摘㊀要:本文为探究隐含条件助力数学解题ꎬ以不等式为例ꎬ分别对已知方面㊁推理方面㊁定义方面㊁联系方面㊁认知动因方面以及图形方面对不等式隐含条件解答方法进行了阐述ꎬ为发掘隐含条件助力数学解题.关键词:高中数学ꎻ不等式ꎻ隐含条件ꎻ数学解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０７－００４５－０３收稿日期:２０２２－１２－０５作者简介:李自萍(１９７４.１０－)ꎬ女ꎬ云南省宁洱人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀数学问题的完整性通常包括条件和目标ꎬ问题条件则又包括显性条件㊁隐性条件和显性干扰条件ꎬ这些条件对数学解题起到了很大的作用.一般隐性条件容易被忽略ꎬ所以需要学生自己去发掘ꎻ干扰项会增加试题的难度ꎬ从而影响学生的思维设定.在解题时ꎬ学生只需要确定显性条件ꎬ挖掘隐藏的条件ꎬ排除干扰ꎬ就能提高解题的效率.从高中数学试题模块的角度来看ꎬ不等式一般都是与数列㊁函数㊁导数等知识结合在一起ꎬ甚至作为压轴题型出现ꎬ并且压轴题具备一定的难度ꎬ如果学生能够清楚地解决问题ꎬ并且能够找到问题突破口ꎬ那么解决问题便可水到渠成.此外ꎬ在选择题和填空题中ꎬ也会出现不等式ꎬ所以ꎬ我们要注意对不等式解题规律进行归纳和总结ꎬ以便为高考做好充分的准备.１已知方面: 焦点 解题学生们在解题的时候ꎬ要做的就是将老师教给他们的知识进行扩展ꎬ要想知道这些问题的答案ꎬ就必须对现有的条件进行深入分析和归纳ꎬ然后才能得出答案中的隐含条件.例１㊀已知Ａ(６０ꎬ０)ꎬＢ(９０ꎬ３０３)ꎬＰ为双曲线ｘ２９００－ｙ２２７００＝１右支上的任意一点ꎬ若｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ｜＋｜ＡＢ｜＝ｄꎬ求ｄ的最小值.解析㊀由题意ꎬ如图１ꎬ已知Ａ为双曲线ｘ２９００－ｙ２２７００＝１的右焦点ꎬ所以其左焦点为Ｆ(－６０ꎬ０).因此｜ＰＦ｜－｜ＰＡ｜＝６０.所以｜ＰＡ｜＝｜ＰＦ｜－６０.又因为｜ＡＢ｜＝６０ꎬ所以ｄ＝｜ＰＦ｜－６０＋｜ＰＢ｜＋６０＝｜ＰＦ｜＋｜ＰＢ｜ȡ｜ＢＦ｜＝６０７.所以ｄ的最小值为６０７.图１从分析中可以看出ꎬ问题的关键是如何利用好５４已知条件ꎬ并将问题隐含的条件转化为已知的条件ꎬ并从中找出问题的中心ꎬ即 ｜ＡＢ｜＝６０ .在找到了解题的关键点后ꎬ这个问题就从一个不完全的问题转变为一个简单的不等式问题ꎬ从而大大减少了解题的困难.２推理方面: 对偶式 解题在高中数学教学中ꎬ只要掌握了一些方法ꎬ就可以显著地减少试题所包含的隐性条件ꎬ从而彻底地解决数学问题.只有通过对问题的不断思考和推理ꎬ学生们才能找到问题的答案ꎬ并且找到答案所需要的问题条件.例２㊀若ｘꎬｙꎬｚ均为正实数ꎬ求证:ｘ２ｘ＋ｙ＋ｙ２ｙ＋ｚ＋ｚ２ｚ＋ｘȡｘ＋ｙ＋ｚ２.当学生们看到这道题的时候ꎬ他们的第一反应就是这道题的难度大ꎬ题干所给出的条件不够ꎬ难以进行推理与求证ꎬ但是如果能够通过合理的逻辑推理ꎬ就能发现这道题的隐含条件.解析㊀挖掘隐含条件ꎬ构造对偶式ꎬ令ｍ＝ｘ２ｘ＋ｙ＋ｙ２ｙ＋ｚ＋ｚ２ｚ＋ｘꎬｎ＝ｙ２ｘ＋ｙ＋ｚ２ｙ＋ｚ＋ｘ２ｚ＋ｘꎬｍ＋ｎ＝ｘ２＋ｙ２ｘ＋ｙ＋ｙ２＋ｚ２ｙ＋ｚ＋ｚ２＋ｘ２ｚ＋ｘȡｘ＋ｙ２＋ｙ＋ｚ２＋ｚ＋ｘ２＝ｘ＋ｙ＋ｚ.又ｍ－ｎ＝ｘ２－ｙ２ｘ＋ｙ＋ｙ２－ｚ２ｙ＋ｚ＋ｚ２－ｘ２ｚ＋ｘ＝０ꎬ所以ｍ＝ｎȡｘ＋ｙ＋ｚ２ꎬ所以该命题成立.从以上问题的分析可以看出ꎬ单靠题干的显性条件很难展开目标论证ꎬ因此需要学生充分发挥自己的能力ꎬ理解题中的隐含条件ꎬ就像前文提及的数学题型ꎬ该类题型在高学数学教学中 出镜率 较高ꎬ但也存在着一定的困难ꎬ这类题型的目的是为了考验学生知识储备量ꎬ只有掌握了不等式固定关系ꎬ方可有效解决数学问题ꎬ以达到 补全 的目的.学生在未来的学术研究中ꎬ要想得到未知的知识ꎬ就必须要有这样的 补全 思想ꎬ将所学知识和已知条件结合起来ꎬ这样才能更好地解决一个数学问题ꎬ所以ꎬ在学习和练习这些问题的时候ꎬ教师就需要给学生提供一个很好的学习机会ꎬ并在一定程度上对其进行引导ꎬ以此作为他们在日后学习和工作的前提保障.３定义方面: 一次函数具有单调性 解题数学解题过程中ꎬ相关定义与属性是解决问题的起点ꎬ作为一类较为简单的隐含条件ꎬ如果没有得到充分关注ꎬ它也有可能会变成难以被挖掘的隐含条件.例３㊀若ａꎬｂꎬｃɪＲꎬ｜ａ｜<１ꎬ｜ｂ｜<１ꎬ｜ｃ｜<１ꎬ求证:ａ＋ｂ＋ｃ－ａｂｃ<２.解析㊀令ｆ(ａ)＝ａｂｃ＋２－ａ－ｂ－ｃ＝(ｂｃ－１)ａ＋２－ｂ－ｃ(｜ａ｜<１)ꎬ由｜ｂ｜<１ꎬ｜ｃ｜<１知ｂｃ－１<０.则ｆ(ａ)是减函数.又ｆ(１)＝(１－ｂ)(１－ｃ)>０ꎬ所以当｜ａ｜<１ꎬ即－１<ａ<１时ꎬ有ｆ(ａ)>ｆ(１)>０.所以ａｂｃ＋２－ａ－ｂ－ｃ>０.即ａ＋ｂ＋ｃ－ａｂｃ<２.４联系方面: 不等式可化为方程 解题当一个人独立地观察一个已知情况时ꎬ可以在一个已知的状态之间找到一个新的隐含条件.例４㊀求不等式ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＋４８ɤ４ｘ＋６ｙ＋１２ｚ的整数解.解析㊀由ｘꎬｙꎬｚ为整数知原不等式可化为ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＋４８ɤ４ｘ＋６ｙ＋１２ｚ.即(ｘ－２)２＋(ｙ－３)２＋(ｚ－６)２ɤ０.又(ｘ－２)２＋(ｙ－３)２＋(ｚ－６)２ȡ０ꎬ所以(ｘ－２)２＋(ｙ－３)２＋(ｚ－６)２＝０.故所求整数解为ｘ＝２ꎬｙ＝３ꎬｚ＝６.通过以上分析可以看出ꎬ在做题的时候ꎬ如果学生及时发现此类隐含关系ꎬ那么总体计算并不困难ꎬ因此要求老师在平时的训练中要对学生进行引导ꎬ６４并引导他们进行相应的积累.在要求学生进行推理操作时ꎬ要注意给学生指明问题的关键ꎬ以便使他们能够找到隐藏的情况ꎬ避免让他们进行死记硬背.５认知动因方面: 两个正数的和大于０ 解题在数学教学中ꎬ既有教学的认知动机ꎬ又有激发学习内容与学习方法的策略.前半部分内容揭示联想ꎬ后半部分内容揭示类比ꎬ因此数学解题过程既包含了联想又包括了类比.例５㊀若ａꎬｂꎬｃ互不相等ꎬ求证:１ａ－ｂ＋１ｂ－ｃ＋１ｃ－ａ>０.解析㊀不妨设ａ>ｂ>ｃꎬ则１ａ－ｂ>０ꎬ１ｂ－ｃ＋１ｃ－ａ＝ｂ－ａ(ｂ－ｃ)(ｃ－ａ)>０.所以１ａ－ｂ＋１ｂ－ｃ＋１ｃ－ａ>０.从这一类问题的解题过程来看ꎬ这类问题是一个很好的测试题干分解能力的题目ꎬ老师在给学生讲解完问题后ꎬ要着重分析它的隐含条件的特点ꎬ这样才能引起学生的注意ꎬ从而在后面的解题中发现问题.６图形方面: 函数的图象 解题数学代数与几何一旦分道扬镳ꎬ它们的发展就会非常缓慢ꎬ而且它们的用途也会变得很有限ꎬ但如果它们结合起来ꎬ互相补充ꎬ互相促进ꎬ就能起到共同进步的效果.在不等式解题中ꎬ也应如此ꎬ我们应将题干与图象相互结合ꎬ充分挖掘隐含条件.例６㊀如图２ꎬ若ｘ２<ｌｏｇａｘ的解集是(０ꎬ１２)ꎬ则实数ａɪ?图２解析㊀令ｆ(ｘ)＝ｘ２ꎬｇ(ｘ)＝ｌｏｇａｘꎬ由ｘɪ(０ꎬ１２)知０<ａ<１ꎬ作出图象(如图２)ꎬ由ｆ(１２)＝１４知Ａ(１２ꎬ１４).当ｇ(ｘ)的图象过点Ａ时有ａ＝１１６ꎬ当ｘɪ(０ꎬ１２)ꎬｌｏｇａｘ>ｘ２ꎬ则ｇ(ｘ)的图象可按图中虚线的位置变化ꎬ所以有１１６ɤａ<１ꎬ即ａɪ[１１６ꎬ１).数形结合是数学发展的一个重大发现ꎬ同时也是目前高中数学试题中发现隐含条件的最佳工具ꎬ所以ꎬ在教学过程中ꎬ教师要充分地训练学生将图形联系题干.另外ꎬ由于高中数学的功能模块化ꎬ使学生对函数的理解能力得到了提高ꎬ因此ꎬ在日常教学中ꎬ老师要强化学生对图形的理解ꎬ让学生在一定的时间内完成函数图形的绘制ꎬ或者让学生编写相应的函数图形.总而言之ꎬ如若在解决不等式问题时忽略题干的隐含条件ꎬ很可能会导致问题解决出现失误ꎬ所以ꎬ在解决不等式问题时ꎬ要注意对问题的深入挖掘ꎬ这样才能保证解题的精确性和严密性.在目前高中数学试题中ꎬ不等式问题的解题形式和知识点都比较丰富ꎬ解题的方法也很多ꎬ但通常情况下解题的难度并不大ꎬ如果不能将不等式和相应定义等内容结合起来ꎬ则会影响对题目开展论证与运算ꎬ从而影响整体学习效果.参考文献:[１]俞梅清.高中数学解题中隐含条件的挖掘[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(１０):２０－２１.[２]赵春.高中数学解题中隐含条件的挖掘应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１９(１０):１４－１５.[３]王乙羽.高中数学三角函数解题中的隐含条件的挖掘[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(３０):６７－６８.[４]郑宇ꎬ陈明.浅谈中学数学解题中隐含条件的挖掘[Ｊ].遵义师范学院学报ꎬ２０２０ꎬ２２(０４):１４１－１４４.[责任编辑:李㊀璟]７４。
浅谈数学中的隐含条件
浅谈数学中的隐含条件数学在自然界中无论是宏观,还是微观,无论是上其天文,还是下其地理,无处不用到数学,数学的应用非常广泛。
又特别是全世界都在向高科技领域发展的今天,又尤其是中国在各方面的建设正在突飞猛进,步入世界前列的今天,更需要数学知识。
数学是其它知识的铺路石,尤其是数学思想是数学的灵魂,是打开数学学习与研究的金钥匙。
我们在学习数学时,在平时的作业,练习,测验,中考试题中都会遇到这样那样的问题,出现预测不到的错误。
特别是数学中的隐含条件,它使同学们感到伤脑筋、头痛、做题时又是出现错误特别多的地方,同时它也是同学们学习好知识的一个障碍物、拦路虎、它将会给同学们学习带来很大的困难,因此我们一定要重视数学中的隐含条件,千万不要忽视这一点。
在学习数学时,只要同学们发扬勤奋努力学习,刻苦钻研,发扬钉子的精神,发扬猛虎拦路敢拼斗的精神,有战胜克服困难的信心和勇气,没有克服不了的困难,一定能学好数学,一定能牢固掌握数学的基本知识,基本技能,同时能灵活运用数学思想的各种方法去挖掘数学中隐含的条件,巧妙的解数学题,使同学们计算解题速度快简捷。
下面举例说明数学中的隐含条件。
1隐含在三角形中的条件例1已知等腰三角形中ABC周长是20cm,设腰长AB长xcm为cm,底BC长ycm为cm,求y与x之间的函数表达式,并写出自变量取值范围。
错解:由题意得y=20-2x()分折:由题意得y=(20-2x)是对的,但是由三角形的三边关系定理,知第三边大于另外两边之差,而小于另外两边之和,所以可得0〈y〈2x,即0〈20-2x〈2x,解得5〈x〈10。
正确解:由题意得y=20-2x(5〈x〈10)。
2隐含在图形与数中的条件例:如图1所示正方形oABC和正方形ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上,点F在AB上,点B、E在函数y=1x(x〉0)的图象上,则点E的坐标是()。
(A)(5+12,5-12)(B)(3-12,3-12)(C)(5-12,5+12)(D)(3-32,3+32)解析:观察图象,由题意可知点E的横、纵坐标之积为1,所以选项B、D不正确;又从图可知点E的横坐标大于纵坐标,所以选项C不正确。
浅谈初中数学解题中隐含条件的挖掘与应用
浅谈初中数学解题中隐含条件的挖掘与应用作者：黄妙章来源：《中学课程辅导·教学研究（下）》 2017年第5期摘要：本文论述了什么是隐含条件，要想正确地求解数学题目，就需要全面分析题目所给的所有条件，只有全面掌握了题中的所有条件才能够得到正确的解答，但是，在数学题目的实际求解过程中，经常会遇到这样的问题：学生总是感觉题中的条件缺少什么，使题目的结果存在不只一种的情况，分析可以发现其中的问题就是学生没有对题目进行全面的审题，从中找出题中隐含的条件。
本文对这个问题以实例展开研究，分析在数学题目存在哪些隐含条件，有助于提高学生的解题能力。
关键词：初中数学；隐含条件；挖掘；应用中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2017)05-0121在数学教学中，教师应注重对学生发现隐含条件、挖掘隐含条件，分析并运用隐含条件的能力进行培养，力争使学生做到发现条件，识破陷阱、减少失误，顺利解答出题目。
数学问题的难度的标志之一是隐含条件的深度与广度，一般来说，隐含的条件通常隐藏在数学的定义和性质中；或隐藏在数学函数中定义域与值域中；或隐藏在已知条件中或未知的结论中；或在几何图形的特殊的位置中；或在数学知识的联系中。
笔者针对这个问题用实际的例子展开研究，挖掘在数学题目存在哪些隐含条件，并运用它帮助解答题目。
一、利用分母不能为零设置陷阱例 1. (2014 年深圳) 先化简，再求值：( 3xx-2 - xx+2 )衣xx2-4 ，在-2，0，1，2 四个数中选一个合适的代入求值。
【分析】大多数的学生看到这题目，马上化简，并把其中的一个值代入。
没有考虑到题中隐含的条件分式中的分母不能等于零；更容易出错的是除式不能为零，分子与分母同时不能为零。
正确解法：解：原式= 3x(x+2)-x(x (x+2)(x-2-)2)·(x+2)(x-2) x=2x+8因为x屹2，原圆，园所以当x越员时，原式=2+8=10二、利用方程和函数中的系数不可为零设置隐含的条件例2. 若函数y=(2a+1)x2a2-a+1 是二次函数，求a 的值。
浅谈数学问题中隐含条件的挖掘
浅谈数学问题中隐含条件的挖掘作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第07期[摘要] 求解數学问题的关键在于转化和利用题目给出的条件，答题者挖掘出题设条件和所需结论之间的逻辑关系以及因果联系，再结合数学知识和数学的思想方法解决问题，数学问题中的条件大多数是以显示的方式给出来的，但也有很多数学问题中还蕴含了隐含条件，有些时候它对问题的求解和答案的取舍有着极为重要的作用. 文章中笔者将主要阐述如何从数学概念、等式（不等式）条件、图像轨迹和中间过程中挖掘出对解决问题有帮助的隐含条件.[关键词] 隐含条件的挖掘、数列通项公式、抛物线、轨迹方程、高中数学前言求解数学问题的关键在于转化和利用题目给出的条件，答题者需要灵活地从原因和结果两个角度出发，挖掘出题设条件和所需结论之间的逻辑关系以及因果联系，再结合数学知识和数学的思想方法解决问题.数学问题中的条件大多数是以显示的方式给出来的，以条件项的方式直接给出来，如“该数列的首项为1”“定点C的坐标为（1，2）”之类的就是显示条件. 但除了显示条件之外，很多数学问题中还蕴含了隐含条件. 隐含条件顾名思义，就是题目没有直接给出来的条件，有些时候它对问题的求解和答案的取舍有着极为重要的作用，它一般蕴含于问题情境和显示条件中，较为简单且常见的隐含条件，举例说明有：实际问题中自变量的取值一般为非负整数;对数函数的底数取值范围为（0，1）∪（1，+∞）.发掘隐含在题目中的隐含条件，我们需要对基础的数学知识有深入和系统的掌握，对一些常见的注意点有较高的敏感度;我们还需要能充分理解和有效利用显示条件，很多时候我们需要综合处理多条显示条件才能挖掘出我们想要的隐含条件. 同时，挖掘题目中的隐含条件还需要用到数形结合等数学思想方法，多观察多联想.给出隐含条件的方式有很多，本文中笔者将主要阐述如何从数学概念、等式（不等式）条件、图像轨迹和中间过程中挖掘出对解决问题有帮助的隐含条件.立足基础数学概念，挖掘隐含条件数学的概念和知识是我们挖掘隐含条件的基础，我们需要对数学概念知识有深刻全面的认识和掌握，它们不依赖于题目给出的条件而存在，函数的定义域、值域限制，公式、公理的成立前提，以及几何图形的基本性质等知识有时能够帮助我们找到问题的突破点，帮助我们省去很多不必要的讨论，有时也能够帮助我们对答案进行取舍，使最终结论更加精确. 我们需要在理解题目条件的基础上，从题目涉及概念的本质出发，进一步处理和挖掘题目.总结隐含条件的挖掘与应用主要考验的是学生对于问题条件和数学基本知识的理解深度，学生需要在解题过程中保持思维的敏锐度，还需要具有较高的目标意识和一定的抽象能力，要能够充分发挥联想能力，将有利于解决问题的信息有效组织起来.培养学生对于隐含信息的挖掘能力，教师需要注意在日常教学中强调常见的限制条件，比如上述题目中三角形三顶点不共线的限制条件，以及利用前n项和计算数列某项的值时，需要单独讨论首项;教师还可以让学生多接触一些类似上文中需要利用到隐含条件的例题，教授学生常见的条件挖掘方法;除此之外，教师应该鼓励学生发展发散思维，鼓励学生多通过条件转换解决问题.。
关于初中数学解题教学中隐含条件的应用
2021年第02期总第495期数理化解题研究关于初中数学解题教学中隐含条件的应用李文彬(江苏省宿迁市钟吾国际学校223800)摘要：社会和时代的不断发展与变化，对人才的需求量也在逐渐的增加.在初中的基础性教学过程当中，初中数学作为一门抽象性的学科，对学生的全面性发展将起着重要性的影响.而从对初中数学目前的教学现状分析来看，由于数学这一门学科的知识点比较复杂且抽象，很多学生逐渐的失去了学习兴趣,教学效果比较差.所以，作为新时代下的一名初中数学教师，在初中数学解题的教学过程中，要注意隐含条件应用的教学，帮助学生在解题的过程中找出题目中隐含条件的方法和技巧,提高学生的数学解题能力,激发学生的学习兴趣，让学生逐渐体会到成功的乐趣，从而促进学生学习成绩的提高，以及培养他们的核心素养.关键词：初中数学；解题教学；隐含条件中图分类号:G632文献标识码:A在初中的数学教学过程中，虽然有的学生知识点是掌握的不错，但是其数学知识运用能力、解题能力都比较差,因此，影响了学生的数学成绩.此外，学生由于受到这个年纪心理发展特点和认知水平的影响,大部分学生都觉得数学知识点难以掌握,并且逐渐的失去了学习的自信心.数学问题通常是由条件和结论这两个部分构成的，但是，在初中数学问题中，许多数学题目并没有给出具体的条件，这增加了解题的难度•所以，为了更好的提高教学质量和效果，教师需要耐心的指导学生将数学题目中的隐含条件找出来,并且做到合理的应用,从而提高学生的解题效率，帮助学生系统地掌握理论性知识点，把学生逐渐培养成为高素质的人才.一、重视学生理论性基础知识点的学习,合理分析隐含条件初中数学知识点是比较复杂的并且是成体系的,很多学生在解初中数学题目的时候,由于其理论知识点没有学透彻，难以发现数学题目中的隐含条件,所以，导致学生的解题效率比较差，并且还经常出现解题错误的现象.由于，学生做数学题目的正确率经常比较低，这让学文章编号：1008-0333(2021)02-0027-02生未体会到成功的快乐感,导致很多学生逐渐产生了厌学的心理情绪，严重的降低了教学效果•所以，为了更好的让学生发现初中数学题目中的隐含条件，一方面，教师要重视学生数学理论性知识点的学习，让学生及时的复习巩固所学习过的知识点,从而帮助学生在大脑中逐渐构成系统性的知识体系，为数学解题打好基础.另一方面，在初中数学解题教学实践过程中,在解决有关数学定义的数学题目时，教师需要引导学生学会结合数学定义中的理论知识点挖掘题目中的隐含条件,从而找到解题的思路，提高解题的正确率,减少不必要失分现象的出现•总而言之，在解答有关数学定义的数学题目时候,教师要指导学生学会考虑定义中所存在的隐含条件,从而得到正确的答案，提高学生的初中数学学习成绩,培养学生的核心素养.例如，教师在给学生讲述如何解一元二次方程的时候,教师要先给学生讲清楚关于一元二次方程的定义,让学生明白定义中所包含的隐性条件•然后,教师再给学生布置相关的题目,让学生逐渐学会用一元二次方程中的定义去解答相关的数学题目,不断引导学生结合数学定义分析隐含条件,从而发展学生的数学思维,收稿日期：2020-10-15作者简介：李文彬(1989.3-)，男，江苏省泰州人,研究生，中小学一级教师，从事初中数学教学研究.27数理化解题研究2021年第02期总第495期把学生培养成为高素质的人才.通过这样的教学方式,不仅可以让学生学习到理论性知识点,还可以让学生懂得如何找到数学题目中的隐含条件,拓展学生的数学思维,提高学生解题的速度,促进学生初中数学学习成绩的不断提升.二、利用代数式让学生逐渐挖掘隐含条件,激发学习兴趣目前初中数学的教学过程中,很多学生对初中数学这一门课程不感兴趣,导致教学效果不断下降.俗话说“兴趣是最好的教师”，学生只有真正的喜欢上数学这一门课程,才会投入精力去学习,他们的学习成绩才可以飞跃的提升.针对一些存在隐含条件的数学题目，学生经常是没有解题的思路,并且考试时在这类题型中耗费了很多的时间，导致学生的数学成绩非常不理想.所以，目前,在初中数学题目的教学实践过程中,如何提高学生解题正确率和速度,已经逐渐成为了许多教师教学中的重点内容.首先，教师要让学生逐渐学会对初中数学题目进行一定的分类,让学生逐渐明白哪些题目是存在隐含条件的，而哪些数学题目是没有存在隐含条件的.其次,教师要给学生讲述具体的数学案例，要让每一位学生都参与到教学过程中，多让学生进行思考.和代数相关的数学题目中,经常会存在着隐含条件,教师在课堂中可以列举相关的数学题目，要求学生关注题目中所涉及的代数公式，让学生逐渐学会深入挖掘代数公式中的隐含条件,最终计算出完整的结果.最后,教师要多鼓励每一位学生积极的思考,激发学生的学习兴趣,让学生体会到成功的愉悦感，增强学生对初中数学这一门课程的认可感.总而言之，在解数学题目的过程中,教师要注意创造良好的教学环境,帮助学生提高自信心,让学生以良好的心态去挖掘数学题目中的隐含条件,提高学生的解题效率,同时，提升教师的教学效率.例如，教师在给学生讲述因式分解和一元二次方程相互结合的相关数学题目时,教师要给学生进行演示,让学生明白如何使用代数公式解决这道题目,并且逐渐懂得这道题目中所包含的隐含条件,最终得出正确的答案.此外,教师在讲述完这个例题后,要给学生设置类似的例题，多让学生自己思考，发挥学生的主观能动性,提高学生的数学核心素养.28三、利用几何图形找出隐含条件，培养学生数形结合的思想在初中的数学课程中，几何是数学重要的一部分，且占据着一定的比重，学好几何这部分的知识点，将有利于提升学生的数学成绩.在初中数学的解题过程中,有很大一部分的题目是关于解答与证明类的几何问题,很多学生都普遍觉得这部分题目比较难.因此，为了扫除学生的解题障碍，教师要让学生逐渐学会运用几何图形找出题目中的隐含条件,培养学生数形结合的意识.此外,教师要指导学生认真的观察几何图形,标注出题目中的已知条件从而逐渐找出题目中的隐含条件，提高学生的知识运用能力.例如:教师在给学生讲述如何解答几何类的数学题目时,教师要让学生仔细的审题并且观察图形，让学生利用现有的知识储备,逐渐的补充题目中的已知条件,这样解题条件才齐全.通过这样的教学方式，不仅可以有效的锻炼学生对数学思想的应用，还利于学生高效率的解题,让学生体验到学习数学的乐趣，从而把学生逐渐培养成为综合性素质的人才.总而言之，在初中数学解题的教学过程中，很多学生由于不能够发现题目中的隐含条件，从而影响了解题的效率.所以，教师不仅要传授学生数学理论性知识点,还要让学生学会如何发现并且运用数学题目中的隐含条件.教师要引导学生使用代数式、几何图形、数学定义等方式深入挖掘题目中的隐含条件,培养学生的数学思维,多让学生进行自主性的学习,巩固学生的理论性知识点,加强学生课后习题的练习,增强学生的学习兴趣，培养学生的核心素养，提高学生的数学解题能力和数学学习成绩.参考文献：[1]马传友.探究初中数学解题中隐含条件及应用[J].课程教育研究，2019(22)：251.[2]任捷.试论初中数学解题教学中隐含条件的应用[J].学周刊，2017(14)：190-191.[3]张光强.初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用[J].中学数学教学参考，2016(21)：44-45.[4]任捷.试论初中数学解题教学中隐含条件的应用[J].学周刊，2017(14)：190-191.[责任编辑:李璟]。
浅谈数学命题中的隐含条件
作者： 孙宗田
作者机构： 安徽萧县寿楼初中 235200
出版物刊名： 中学数学教学
页码： 174-175页
主题词： 数学命题 隐含条件 正比例函数 反比例函数 错解剖析 等比性质 最小值 分析解题过程 奇函数 挖掘利用
摘要： 在数学命题中,有些隐含条件,学生在解题时往往被忽视,造成解题错误。
本文通过一些例子的错解剖析,就如何挖掘利用隐含条件略陈管见。
例1 已知 a/(b+c)=b/(a+c)=c/(a+b)=k,求k. 解由等比性质得 (a+b+c)/(b+c+a+c+a+b)=k,∴k=1/2. 分析 从解题过程,不难看到,实际上隐含有条件,a+b+c=0或a+b+c≠0,上述解答只考虑了a+b+c≠0,其解不完整。
本题还应考虑,当a+b+c=0时,。
初中数学解题中的隐含条件
初中数学解题中的隐含条件孙丹青在数学解题过程中，学生往往因为没能挖掘题目中的“隐含条件”而使解题陷入困境或者得到错误的答案。
所以在平时的教学中，教师要引导学生认真读题，仔细推敲，充分挖掘题中的“隐含条件”从而找到解题的突破口。
数学题目中的“隐含条件”是指数学问题中那些隐蔽的已知条件，或者从题设中不断挖掘并利用已知条件进行推理和变形而重新发现的条件。
解题时，常因未能挖掘题中的“隐含条件”而使解题陷入困境或是得到错误的结论，解题过程中应充分挖掘这些隐含条件，化未知为已知，引导学生找到解题的突破口。
“隐含条件”存在的形式多样，需要学生有扎实的基础知识、熟练的基本技能、灵活的思想方法和严谨的思维能力，通过一定的方法逐步探索和转化。
下面就教学实践对“隐含条件”常见的表现形式进行探讨。
1 字母中的隐含条件对于这类题目，题中的字母代表着任意实数，所以在解题的过程中往往需要分类讨论，避免出现漏解。
例1、比较a与-a的大小分析：题中的字母a可以是正数、负数、零，学生应根据三种情况进行分类讨论。
例2、若a a=-，则a＿＿0分析：此题把“零的相反数是它本身”作为“隐含条件”。
往往被遗漏，故出现a＜0的错解。
2 二次根式中的隐含条件0)a≥表示算术平方根，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
≥例=则()2013x y+的值为＿＿分析：题目中隐含着0≥≥，又因为=成立，所以0=得到x=-，3，则答案就迎刃而解了。
（2）被开方数大于等于0例4、()2,x y=+则x-y的值为（ ）A、 -1B、1C、2D、3分析：由“隐含条件”被开方数大于或等于0可得10,10x x-≥-≥，所以1,1x y==-；答案应选择C。
3 分式中的隐含条件分式的值为0的条件是分子为0而分母不为0，学生在解题时容易忽视分母不为0的这一条件例5、如果分式23273xx--的值为0，则x的值为＿＿ 分析：由23270x-=得3x=±，但是当3x=时分母为0，所以3x=-。
谈谈数学问题中的“隐含条件”
谈谈数学问题中的“隐含条件”
周会明
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2010(000)006
【摘要】数学问题中的隐含条件直接关系到数学问题能否顺利解决,隐含条件存在的形式多种多样,因而发现隐含条件的途径也是多样的.本文对隐含条件的发现和运用进行了一些粗浅的探讨.
【总页数】2页(P103-104)
【作者】周会明
【作者单位】广东省午山市建斌中学，528415
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.巧妙挖掘数学问题引导发现隐含条件
2.如何挖掘数学问题中的隐含条件
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关于数学隐含条件专题
一、数值（或公式）中的隐含条件
1、 已知22222()()60a b a b +-+-=，设22a b x +=，则原方程化为_____，由此求得22a b +的值_____。
2、 已知11x x
-
=，则1x x
+
=___________。
二、方程中的隐含条件 1、已知关于x 的方程(1)20m
m x -+=是一元一次方程，求m 的值。
2、已知2
2
(2)50m
m x x --+-=为关于x 的一元二次方程，求m 的值。
3、已知关于x 的方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
4、关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，则整数a 的最大值为（ ） A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
5、当m 为何值时，方程22210x mx m +-+=的两实根的平方和为294
？
三、分式中的隐含条件 1、
232
x m x +=-的解是正数，求m 的取值范围。
2、
2
323
x x x ---的值为0，则x 的值是________。
3、先化简，再选一个合适的x 的值，代入求值：2
2
31(
1)(1)1
11
x x
x x
x +÷-
⋅+--
四、根式中的隐含条件
0)a ≥
1、已知2
n m =
-。
2、已知4x y +=-，2xy =
五、函数中的隐含条件
1、
1
x -有意义的条件是_______；
2、2
22
(3)m m y m x
--=-是正比例函数，求m 的值。
3、若函数2
1y ax x =++（a 为常数）图象与x 轴恰好有一个交点，求a 的值。
4、已知一次函数8y x =-+与反比例函数k y
x
=的图象有两个
交点，求k 的取值范围。
六、图象中隐含条件
1、如下图，正方形是由k 个相同的矩形组成，上下各有2个水
平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= .
2、抛物线2231y ax x a =-+-的一部分如上图，则a 的值是__________． 七、边（角、位置）不确定的隐含条件
如：△ABC 是Rt △，是等腰三角形；两个三角形相似；三条线段构成三角形等 1、 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，求它的周长。
2、等腰△ABC 中，AB=3，BC 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是_______。
3、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
4、如图，在Rt △ABC 中，BC=2cm ，∠ABC=60º．∠C=90°，若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 课后练习：
1、若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的一个根为0，则m 的值为 ( ) A ．0 B ．1或2 C ．1 D ．2
2、一元二次方程2310x x --=与230x x -+=的所有实数根的和等于（ ） A 、2 B 、-4 C 、4 D 、3
3
有意义的条件是_______。
4、直角三角形两边长为3和4，则斜边上的高为_______。
5、若a b c k b c
a c
b a
===+++，则k =______。
6、当x ___时，分式
2
2310
x x x ---的值为0.
7、关于x 的方程51
2
2
m m x x ++=
--无解，则m 的值为_____。
8、利用换元思想解方程：4
2
60x x --=
9
、最简二次根式
是同类二次根式，则m 的值为___________。
10、已知12x x ，是方程22
430x kx k ++-=的两实数根，且满足1212x x x x =⋅+，则k 的值为___________。
11、已知关于x 的一元二次方程22
(1)(21)10m x m x --++=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
12
、已知125
y =
+，求()()x y x y +-的值。
13、若y 关于x 的函数2
(2)(21)y a x a x a =---+的图象与x 轴有两个交点，求x 的取值范围。
14、已知：如图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，AC ＝6，AD ＝2，试求AB 的长，使得这两个直角三角形相似。
E
（第3题图）
A
B ′
C F
B A
B
C
D
4题图。