分式函数值域解法探析
数学：浅谈求函数值域的几种方法
浅谈求函数值域的几种方法求函数值域是高考的热点，也是重点和难点,解这类题目的方法具有多样性和灵活性，下面具体谈谈求函数值域的几种方法。
一、配方法通过配方结合函数图像求函数的值域,一般地，对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠求值域问题可运用配方法。
例1、 求21y xx =-+的值域 解:221331()244y x x x =-+=-+≥ 于是21y x x =-+的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
二、反函数法一般地,形如(0)ax b y c cx d +=≠+,可利用原函数与反函数的定义域和值域之间的互逆关系。
例2、 求函数213x y x +=-的值域. 解：由213x y x +=-得312y x y +=-，因为20y -≠，所以2y ≠。
于是此函数的值域为{}2y y R y ∈≠且三、分离常数法一般地,对于分式函数来说,可以分离一个常数去求函数的值域。
例3、 求221x x y x x -=-+的值域 解：22222(1)111111x x x x y x x x x x x --+-===--+-+-+ 而221331()244x x x -+=-+≥ 即214013x x <≤-+，所以113y -≤<即函数221x x y x x -=-+的值域为1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。
注意：例2也可以利用分离常数法去求值域，有兴趣的读者可以试一试。
四.判别式法一般地.形如22(,0ax bx c y a m mx nx k ++=++不都为）,转化为关于y 的一元二次方程，利用方程有实数解,0∆≥来求y.例4、 求222231x x y x x -+=-+的值域。
解：由222231x x y x x -+=-+去分母得22223yx yx y x x -+=-+ 即2(2)(2)30y x y x y ---+-=当y=2时，此方程无实根.当2y ≠，此方程为一元二次方程，x R ∈2(2)4(2)(3)0y y y ∆=----≥即(2)(310)0y y --≤ 所以1023y ≤≤，又因为2y ≠,于是1023y <≤ 故函数222231x x y x x -+=-+的值域为102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦注意：下面2点不能直接用判别式法.1、定义域去掉无限个点。
例析用判别式法求分式函数值域之困惑
百花园地新课程NEW CURRICULUM判别式法是求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f（a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域的常用方法。
但是很多学生在学习和运用判别式法的过程中，发现运用判别式法求值域时，有时候是对的，有时候又是错的，其中的原因究竟为何并不清楚，后来干脆不用判别式法而改用其他方法。
其实只要你掌握了判别式法的理论依据及易错点，一般来说，求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f（a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域还是比较方便的。
下面就本人对判别式法的一些理解，来分析一下为什么用判别式法有时是对的，有时候又是错的。
首先，让我们通过一道例题来看一下，判别式法求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f （a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域的一般步骤及其理论依据。
例1：求函数y =x 2+x -1x 2+x -6的值域。
解：由y =x 2+x -1x 2+x -6可得（y -1）x 2+（y -1）x -6y +1=0★10当y -1=0即y =1时，★式可化为-5=0显然不成立。
20当y -1≠0即y ≠1时，★式为关于x 的一元二次方程Δ=（y -1）2-4（y -1）（1-6y ）≥0得y ≥1或y ≤15由10、20可得y ∈（-∞，15）∪（1，+∞）即所求函数的值域为y ∈（-∞，15）∪（1，+∞）。
例2：求函数y =2x 2-x +1x 2+2x -3的值域。
解：由y =2x 2-x +1x 2+2x -3可得（y -2）x 2+（2y +1）x -3y -1=0★10当y -2=0即y =2时，★式可化为5x -7=0得x =75因为函数y =2x 2-x +1x 2+2x -3的定义域为（-∞，-3）∪（-3，1）（1，+∞）而x =75∈（-∞，-3）∪（-3，1）（1，+∞）所以，y =2符合题意。
20当y -2≠0即y ≠2时，★式为关于x 的一元二次方程Δ=（2y +1）2+4（y -2）（3y+1）≥0得y ≥2+11√4或y ≤2-11√4由10、20可得y ≥2+11√4或y ≤2-11√4即所求函数的值域为(-∞,2-11√4］∪［2+11√4，+∞）注：由上述例1和例2可以看出，用判别式法求值域大致可分为四步：1.将分式形如y =ax 2+bx +c dx 2+ex+f （a 2+d 2≠0）的分式型二次函数转化为关于x 的整式方程（dy-a ）x 2+（ye-b ）x +yf -c =0★。
分式型函数求值域的方法探讨
分式型函数求值域的方法探讨在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题， 此类函数是以分式函数形式出现， 有次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。
ax b一、形如f(x)(a o,b 0)(一次式比一次式)在定义域内求值域。
cx d 2x 1 2例1 ：求f (x)( x )的值域。
3x 23其值域为 y/y —3ax bd一般性结论，f (x)( a o,b 0 )如果定义域为x/ x,则值域cx d c/ a y/yc2x 1例2 :求f(x)，x 1,2的值域。
3x 2分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值 域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。
X4 一33X1-3 X1一21-3 X12x 1 2 3解：f(x) 么」=二 3，是由y3x 2 3 3x 23 5像观察，其值域为 -，—5 813向左平移-，向上平移-得出，通过图x3 3/V f小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。
a二、形如求f(X) x -( a 0)的值域。
x分析：此类函数中，当a 0，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当 a 0时,对函数求导，f'(x) 1 弓，f'(x) 0时，x (，掐) 掐，)，f'(x) 0时，xx ( ..a,0) (0,a)，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常说的双勾函数，通过图像求出其值域。
当然在某些时候可以采用基本不等式来解决4 例3：求f(x) 2x , (x (1,4)上的值域。
x2 i~解：将函数整理成f(x) 2(x -)，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在(0八2)x单调递减，在(、..2,)上递增，其在2处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为4、2,6(m 0,a 0)在定义内求值域的问题。
求分式函数值域的几种方法
求分式函数值域的几种方法摘要：本文介绍了高中数学教学中求分式函数值域的常见方法，包括配方法、反函数法、判别式法、单调性法、换元法、不等式法、方程法和斜率法等。
这些方法在解决函数值域和最值问题中发挥了重要作用。
1 引言求分式函数值域是解决函数最值问题的一个重要工具，也是高中数学教学中的一个难点和重点。
本文总结了求分式函数值域的常见方法，包括配方法、反函数法、判别式法、单调性法、换元法、不等式法、方程法和斜率法等，以便更好地解决各种类型的分式函数值域问题。
2 求分式函数值域的常见方法2.1 配方法通过配方法，将分式函数变形为可以直接求值域的形式，例如y=a/(2a+x)+b，可以将其配方为y=b+(a/(2a+x))，然后利用直接法求得函数的值域。
在使用配方法时，需要注意自变量的取值范围。
2.2 判别式法利用二次函数的判别式，即Δ=b^2-4ac，来求分式函数的值域。
例如y=x^2-3x+4/(2x+3x+4)，可以将其变形为(y-1)x^2+(3y+3)x+(4y-4)=0，然后根据Δ的取值范围，求出y的取值范围。
2.3 反函数法通过求分式函数的反函数，可以得到其值域。
例如y=1/(x-1)，可以求出其反函数为x=1/y+1，然后确定x的取值范围，即可求出y的取值范围。
2.4 单调性法通过分析分式函数的单调性，可以确定其值域。
例如y=1/(x^2-x)，可以求出其导函数为y'=-1/(x-1)^2+x/(x^2-x)^2，然后分析其单调性，可以确定其值域。
2.5 换元法通过根式代换、三角代换等方法，将分式函数变形为可以直接求值域的形式。
例如y=1/(x^2-1)，可以将其根式代换为y=1/(u^2-1)，然后利用直接法求得函数的值域。
2.6 不等式法通过分析分式函数的不等式，可以确定其值域。
例如y=(2x-3)/(x^2+x-12)，可以将其变形为y=2/(x-4)-1/(x+3)，然后通过不等式求解，可以确定其值域。
函数详解之分式函数
函数详解之分式函数30.函数xa x x f -=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）．⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；⑶求函数)(x f y =在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．解：（1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立， 即0)2)((2121>+-xx ax x 只要212x x a -<即可，由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ， 故a 的取值范围是]2,(--∞； （3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调增，无最小值， 当1=x 时取得最大值a -2；由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调减，无最大值， 当x ＝1时取得最小值2－a ；当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a-上单调减，在]1,[22a -上单调增，无最大值，当22a x-=时取得最小值a22-．31.已知函数21()(0,0,)ax f x a b c R bx c+=>>∈+是奇函数，当0x >时，有()f x 最小值2，其中b N ∈，且5(1)2f =．(Ⅰ)试求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)问函数()f x 的图像上是否存在关于点（1,0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (Ⅰ)由2211()()ax ax f x f x bx cbx c++-=-⇒=--++，即bx c bx c -+=--，0c ∴= ……………………………………………2分0,0,0a b c >>= ，21()ax f x bx+∴=b a∴= ……………………4分又515(1)22a f b+<∴<，即221525202b b b b+<⇒-+<12()1,2b b N b⇒<<∈⇒=∴11abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………6分(Ⅱ)设00(,)M x y关于点(1,0)的对称点为N，则00(2,)N x y--，………………8分00020000121122y xxx xy xx⎧=+⎪⎪∴⇒--⎨⎪-=-+⎪-⎩⇒01222xy⎧=+⎪⎨=⎪⎩或01222xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………11分∴存在两点(12,22)M+与(12,22)N--关于点(1,0)对称.………12分32.已知函数2211()af xa a x+=-，常数0>a．（1）设0m n⋅>，证明：函数()f x在[]m n，上单调递增；（2）设0m n<<且()f x的定义域和值域都是[]m n，，求常数a的取值范围．解:（1）任取1x，],[2nmx∈，且12x x<，12122121()()x xf x f xa x x--=⋅，因为12x x<，1x，],[2nmx∈，所以12x x>，即12()()f x f x<，故)(xf在],[nm上单调递增．或求导方法．（2）因为)(xf在],[nm上单调递增，)(xf的定义域、值域都是⇔],[nm(),()f m m f n n==，即nm,是方程2211aa a xx+=-的两个不等的正根1)2(222=++-⇔xaaxa有两个不等的正根．所以04)2(222>-+=∆aaa，222a aa+>⇒12a>33.已知定义域为R的函数abxfxx++-=+122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt∈，不等式0)2()2(22<-+-ktfttf恒成立，求k的取值范围.解（1）因为)(xf是R上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=babf解得即从而有.212)(1axfxx++-=+又由aaff++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+xx xx f由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x xx f又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t kt t t tt即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-kt t t tt k t整理得12232>--kt t，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得34.已知函数()a f x x x =-.(1)若13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,求实数a 的取值范围;(2)设1,a x y k =+=,若不等式22()()()2k f x f y k≥-对一切,(0,)x y k ∈恒成立,求实数k的取值范围.解: (1)令8a t x x=-+,则要使13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,则/21080a t xa t x x ⎧=-≥⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎩在[1,)+∞上恒成立,则21180a x a ⎧≥-≥-⎨-+>⎩所以, 19a -≤< (7)分 (2) 2222111()()()()()x y x yf x f y x y x y xy-++=--=222221212(0)4k xy x yk kxy xy xyxy-++-==++<≤. (10)分 令u xy=,则221()()2,(0,]4k kf x f y u u u-=++∈当2214kk -≥即0252k <≤-时,21()()2k f x f y u u -=++在2(0,]4ku ∈上为减函数,所以 2222min22142[()()]22()4424kk kk f x f y kkk-=++=+-=-即当0252k <≤-时,22()()()2k f x f y k≥-……………………………12分 当2214kk -<,222min 242[()()]2122()42kk f x f y k kk=-+<+-=-与题意不合.所以,所求的k 的取值范围为 : 0252k <≤-. ………………………14分35.（本小题满分14分）设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β（α＜β），函数14)(2+-=x a x x f ．（Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；（Ⅱ）证明f (x )是[α，β]上的增函数；（Ⅲ）当a 为何值时，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？ 解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝2a ，α·β＝－1，∴α2＋β2＝242+a，∴f (α)·f (β)＝1)(41614142222222+++++-=+-⋅+-ββαβααβββααa aa a a41241216222－=++++--=aa a ．……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：当α≤x ≤β时，22\22\\)1()1)(4()1()4()(++--+-=xx a x xa x x f222222)1()22(2)1(2)4()1(4+---=+⋅--+=x ax x x xa x x ………… 6分∵α、β是方程2x 2－ax －2=0的两根， ∴当α≤x ≤β时，恒有2x 2－ax －2≤0， ∴)(\x f ≥0，又)(x f 不是常函数，∴)(x f 是[α，β]上的增函数．……………………………………………… 9分 （Ⅲ）f (x )在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，又∵| f (α)·f (β) |＝4， ……………………………………………………… 10分 ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥4)()(2=⋅βαf f当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2 …… 11分∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-)2(022)1(21422 ββββa a……………………………………… 13分由（1）、（2）得0)16(2=+a a ，∴a ＝0为所求．…………………………………………………… 14分 36.已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，21)(xt x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………（2） 由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴1111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ．∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ．依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分)64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+nn ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴nn ，3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．1664≥+nn ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ．37.已知函数xa x y +=有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2xc（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋xa 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝nx x )1(2+＋nx x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．（理）解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b2，则226b=，∴2log 9b =（2）设120x x <<，222221212122222112()(1)c c c y y x x x x xxx x-=+--=--⋅.当412c x x <<时，21y y >，函数22c y x x=+在[4c ,+∞)上是增函数；当4120x x c <<<时，21y y <，函数22c y x x=+在(0,4c ]上是减函数.又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；（3）可以把函数推广为(0)n na y x a x=+>，其中n 是正整数.当n 是奇数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,在(－∞,－na 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数；当n 是偶数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－na 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；21()()nF x x x=++nx x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nnn n rn rn r n n n n nnn xx C xx C xxC xxC ++++++++----因此()F x 在 [21,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数.所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924nn⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +.38已知函数()()2211xf x x R x x-=∈++.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若()2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有2222a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥22a b λμλμ+-+.【解】（Ⅰ）()()()()()()()()22222223232121111x x x x xx x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⋅----++-+-⎣⎦⎣⎦'==++++∴()f x 的增区间为()23,23---+，()f x 减区间为(),23-∞--和()23,-++∞.极大值为()23233f -+=，极小值为()23233f --=-.…………4′（Ⅱ）原不等式可化为()22211t x e x x-++≥由（Ⅰ）知，1x ≤时，)(x f 的最大值为332.∴()22211xx x-++的最大值为433，由恒成立的意义知道433t e ≥，从而433t ln≥…8′（Ⅲ）设()()()22101xg x f x x x x x x-=-=->++则()()()()()243222224124621111x x x x x x g x f x x x x x -++++++''=-=-=-++++.∴当0x >时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，又当a 、b 、λ、μ是正实数时，()()222220a b a b a bλμλμλμλμλμλμ-⎛⎫++-=- ⎪+++⎝⎭≤ ∴222a b a bλμλμλμλμ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭≤. 由()g x 的单调性有：222222a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， 即222222a b a b a b a bf f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥.…………12′ 39.(本题12分) 已知函数()1bx c f x x +=+的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若数列{}n a (*)n N ∈满足：()2110,1,()n n n a a a f a +>==，求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论． 解 (Ⅰ) 因为函数()1bx c f x x +=+ 的图象过原点，所以c =0，即()1bx f x x =+.又函数()11bx bf x b x x ==-++的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以1,()1xb f x x ==+。
值域的解题方法
值域的解题方法
值域是数学中的一个重要概念，它描述了一个函数能够取到的所有可能值的范围。
在解决值域问题时，我们可以采用以下方法：
观察函数形式：首先观察函数的解析式，了解函数的性质和特点。
例如，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等都有不同的性质和特点，需要分别对待。
定义域：确定函数的定义域，即函数能够取值的范围。
在解决值域问题时，必须先确定函数的定义域，否则无法确定函数的值域。
换元法：对于一些复杂的函数，可以通过换元法将其转化为简单的函数，从而更容易求解值域。
例如，对于一些复杂的分式函数，可以通过换元将其转化为二次函数或一次函数，从而更容易求解值域。
反解法：对于一些反函数问题，可以通过反解法求解值域。
例如，对于一些反比例函数或对数函数，可以通过反解法求解值域。
数形结合：对于一些函数图像问题，可以通过数形结合的方法求解值域。
例如，对于一些二次函数或指数函数，可以通过数形结合的方法观察函数的取值范围，从而确定值域。
特殊值法：对于一些特殊情况，可以通过特殊值法求解值域。
例如，对于一些常数
函数或一次函数，可以通过特殊值法求解值域。
总之，解决值域问题需要综合运用以上方法，根据具体问题的特点和性质选择合适的方法进行求解。
分式函数求值域
分式函数求值域分式函数是指函数的表达式为两个多项式的比值的形式。
求值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
本文将以分式函数求值域为主题，探讨分式函数求值域的相关概念、性质和计算方法。
一、分式函数求值域的概念分式函数的求值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
求值域可以是一个实数集、一个有限区间或无限区间。
求值域与定义域有密切的关系，定义域的不同可能导致求值域的变化。
1. 分式函数的求值域可能是一个实数集。
例如，对于函数f(x) = 1/x，当定义域为实数集R-{0}时，求值域也是实数集R-{0}。
2. 分式函数的求值域可能是一个有限区间。
例如，对于函数g(x) = (x-1)/(x+1)，当定义域为实数集R时，求值域是(-∞,1)∪(1,+∞)。
3. 分式函数的求值域可能是一个无限区间。
例如，对于函数h(x) = 1/x^2，当定义域为实数集R-{0}时，求值域是(0,+∞)。
三、分式函数求值域的计算方法1. 分式函数求值域的计算方法与一般函数的求值域计算方法相似。
首先确定函数的定义域，然后通过分析函数的特点和性质来确定求值域的范围。
2. 对于一般的分式函数，可以通过求导数、分析函数的极值点、奇偶性、增减性等方法来确定求值域的范围。
3. 对于一些特殊的分式函数，可以通过化简、变形、图像分析等方法来确定求值域的范围。
四、分式函数求值域的例题分析1. 求函数f(x) = (2x+1)/(x-3)的求值域。
首先确定定义域为R-{3}，然后通过分析函数的性质可知，当x趋近于正无穷时，函数的值趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，函数的值趋近于负无穷。
因此，求值域为R-{0}。
2. 求函数g(x) = (x^2+1)/(x^2-1)的求值域。
首先确定定义域为R-{1,-1}，然后通过分析函数的性质可知，当x趋近于正无穷时，函数的值趋近于1；当x趋近于负无穷时，函数的值趋近于1。
因此，求值域为(-∞,1)∪(1,+∞)。
分式型函数值域的探索
二次分式型函数 ＝
（１ｎ ≠ ０ ．２
／ ｉ —
ｉ＇ ０－ ｖ ｚ
图１
０ ∈Ｉ 的值域问题． ， ） 这样既可以让学生联系前
面所学知识， 巩固探求 的效果， 考查学 生的数学 转化能力、 知识 的迁移能力， 同时也体现 出问题 难度设置呈现“ 螺旋式上升” ．
＝＝ ＝
ａ２
ａ２
套具有逻辑先后顺序的概念组合， 让学生在一定
＿
时间内学习、 探索一套逐渐 加深、 拓展的复杂概
念体系． 比如二次分式型函数 ： ａ Ｘ＋ ｃ ＝ ｌ２ ｂ ＝ ｘ＋ ｌ ｌ
ａ …ａ ｎ ＋ Ａ ａｂ Ａ 毒 ， ２ ｂ ２ 堕 ２） （ ／ ＋ ＼
原因在于 （） 木 中的ｘ 不能是 和 ２ 或重根Ｘ ＝ １ ， ｌ
２ 这是很特殊 的情况， 时只需求 出 （） ， 此 半 式中
的 取 １ 和 ２ 或重根 １ ２ 时相应的Ｙ 去 ， （ ） 值，
掉这些 值即可． 平时遇到的二次分式型函数多
数为此类， 因而多数学生会形成思维 定势， 直接
０２ 十 Ｄ ２
ａ２ｘ
经
对勾 型函数Ｙ＝ ＋ ａ（ ａ＞０的值域 问题， ）
，
发
学生都非常熟悉， 首先考虑均值不等式有
十 Ｄ ２
现结构不太 明显， 思上述三种变换过程可以发 反 现： 的系数均为 １ ① ；② 分式 的分子 中不含 Ｘ
的项． 于是有
ｌ＝ ｙ Ｉ
Ｉ＋ Ｉ
≥２ ，
于是Ｙ≥２ ， 或Ｙ≤一 ． ２ 但是当 ∈【 ＋
１＋ ， ∞） 还能用均值不等式求值域吗？答案 时，
２１ 年第 １期 ０１ ２
数 学教 学
分式形式函数值域
新泰一中 闫辉
一：只在分母中含有变量的 例1 分析：求值域之前要考虑函数的定义域。只在分母上含有变量，可先求 分母部分函数的取值范围，再利用整体代换的思想求反比例函数的值 域。 解：函数的定义域为 又 令，则且 从而，且 由的图像知，当且时， 所以原函数的值域为 二：分子分母中都有变量，且变量同次幂，分离常数 例2 分析：将分子转化成分母的形式，注意变量形式。再利用例1的方法。 解：函数定义域为 = 令，则 由的图像可知，当时， ，从而 所以原函数的值域为 三：分子分母都有变量，且变量不同次幂，将高次幂转化成低次幂的形 式 例3 解：函数的定义域为 令， 则， 由对号函数性质知 当时，（当且仅当时等号成立） 当时，（当且仅当时等号成立） 所以，或 从而原函数的值域为 例4 解：函数定义域为 时， 时，
令且 由例3可知 所以 综上， 注：以上仅是求分式函数值域的一些方法，还有待进一步完善，希望大 家批评指正
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法分式函数是指由多项式函数构成的有理函数。
它包含了一个或多个分子和一个分母，其中分子和分母可以是多项式。
分式函数在数学和实际问题中的应用广泛，了解如何求解分式函数的值域对于我们理解和解决问题至关重要。
在这篇文章中，我将介绍三种常见的方法来求解分式函数的值域，它们分别是图像法、限制法和分解法。
这些方法各有特点，可以帮助我们更加全面地了解和解决分式函数的问题。
让我们来学习图像法。
图像法是通过绘制分式函数的图像来确定其值域的一种方法。
我们可以根据分式函数的定义域和其在定义域内的行为来判断其值域。
具体来说，我们可以观察分式函数的图像是否有水平渐近线、垂直渐近线或者有界。
水平渐近线表示分式函数在无穷远处趋于某个值，垂直渐近线表示分式函数在某个点处的值趋于无穷大或无穷小，而有界表示分式函数在某个区间内的值处于有限范围内。
通过观察这些特征，我们可以确定分式函数的值域。
让我们来学习限制法。
限制法是通过限制分式函数的变量取值范围来确定其值域的一种方法。
对于分式函数，我们通常会限制其变量的取值范围，避免分母为零或分式函数没有定义的情况。
通过解决限制条件，我们可以确定分式函数的值域。
让我们来学习分解法。
分解法是通过将分式函数拆分成更简单的形式来确定其值域的一种方法。
我们可以将分式函数进行因式分解，得到其最简形式。
在分解过程中，我们可能会发现一些因子可以抵消，使得分式函数的值域更加清晰和简单。
通过分解分式函数，我们可以更好地理解其值域。
通过以上三种方法，我们可以综合考虑分式函数的图像、限制条件和分解形式，来确定其值域。
对于每个具体的问题，我们可以根据实际情况选择最适合的方法来求解。
对于分式函数三种值域求解法的个人看法，我认为每种方法都有其独特的优势和适用场景。
图像法可以将抽象的数学概念通过图像的形式呈现出来，直观易懂，适合直观思维的人。
限制法可以通过限制变量的取值范围，直接对分式函数的值域进行约束，适合求解特定范围内的问题。
分式函数值域问题分类导析解读
分式函数值域问题分类导析江苏省苏州市第一中学 盛淳 215006求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具．本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法．首先我们给出分式函数的定义：形如)()()(x q x p x f =的函数叫做分式函数，其中)(x p 、)(x q 是既约整式且)(x q 的次数不低于一次．下面就)(x p 、)(x q 的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论．1. 一次分式函数)(x p 、)(x q 的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如0,,)(≠∈++=c A x dcx b ax x f 的函数．一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成)(1y f x -=，由于A x ∈，则A y f ∈-)(1，解出y 的取值范围，即函数f(x)的值域．例1． 求函数232-+=x x y ，]8,3[∈x 的值域．解：改写成232-+=y y x ，因为]8,3[∈x ，所以82323≤-+≤y y ，解得9619≤≤y ，即原函数的值域是]9,619[．２．二次分式函数)(x p 、)(x q 至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，即形如不全为零、d a A x fex dx cbx ax x f ,,)(22∈++++=的函数． 若A=｝｛0|2≠++f ex dx x ，则可采用根的判别式法求值域．例２．求函数445422++++=x x x x y 的值域．解：化为关于x 的方程054)1(4)1(2=-+-+-y x y x y ．若ｙ＝１，则方程无解，即1≠y ．因为R x ∈，所以0≥∆，解得1≥y ，即原函数的值域是（+∞,1）．若A ｝｛0|2≠++⊂f ex dx x ，则再分类讨论． 2.1．形如fex dx cx f ++=2)(，0,≠∈d A x 且0≠c 的函数． 先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数)(x f 的值域．例３．求函数]5,3[,321)(2-∈--=x x x x f 的值域． 解：令]5,3[,4)1(32)(22-∈--=--=x x x x x g ，则]12,4[)(-=x g ，所以函数)x (f 的值域是),121[]41,(+∞⋃--∞．2.2．形如fex dx cbx x f +++=2)(，0,≠∈d A x 且0≠b (*)或fex cbx ax x f +++=2)(，0,≠∈a A x 且0≠e 的分式函数．下面就形式(*)讨论解法．2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以ｘ，得)(x f ＝exf dx b++．只要讨论函数A x xfdx x g ∈+=,)(且0≠x 的值域．不妨设0>d ．若0<f ，则函数)(x g 在)0,(-∞和),0(+∞上分别是增函数；若0>f ，则函数)(x g 在],0(d f 和)0,[df -上分别是减函数，在),[+∞df 和],(d f--∞上分别是增函数．这样利用函数)(x g 的单调性，先求出)(x g 的值域，从而求出函数)(x f 的值域．例４．求函数),1[,42)(2+∞∈++=x x x xx f 的值域． 解：1,241)(≥++=x x x x f ．令1,4)(≥+=x x x x g ，则4)(≥x g ，所以函数)x (f 的值域是]61,0(．2.2.2．若0c ≠，则换元，令c bx t +=，转化为２.２.1．形式的分式函数．例５．求函数)3,1(,321)(2-∈-++=x x x x x f 的值域．解：令1+=x t ，则)4,0(,4142∈-=-=t tt t t y ． 因为)3,(4-∞∈-t t ，所以函数)x (f 的值域是),31()0,(+∞⋃-∞．2.3．形如0,,)(22≠∈++++=a A x fex dx cbx ax x f 且0≠d 的分式函数． 2.3.1．若0==c b 或0==f e ，则分子分母同除以2x ，转化为求关于x1的二次函数的值域，从而求出函数)(x f 的值域．例６．求函数]1,31[,14)(22∈+-=x x x x x f 的值域．解：]3,1[1,3)21(11411)(22∈--=+-=x xx x x f ．因为函数 ]3,1[1,3)21()(2∈--=xx x g 的值域是]2,3[--，所以函数)(x f 的值域是]31,21[--．2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设0,,)()(22≠∈+++=a A x fex dx m x a x f 且0≠d ，则可令m x t +=，转化为 2.3.1形式的分式函数．例７．求函数]0,1[,5444)(22-∈++++=x x x x x x f 的值域．解：令2+=x t ，则]1,21[1,1111222∈+=+=t tt t y ．因为]2,45[112∈+t ，所以函数)x (f 的值域是]54,21[． 2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即fex dx d afc xd ae b d a xf ++-+-+=2)()(，转化为2.2形式的分式函数． 例８．求函数]2,0[,3454)(22∈++++=x x x x x x f 的值域．解：]2,0[,1)2(213421)(22∈-++=+++=x x x x x f ，所以函数)x (f 的值域是]35,1517[． 3．分式函数值域在解析几何中的运用解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方例９．已知直线1l ：x y 4=与点)4,6(P 1l 上求一点Q ，使直线PQ 与直线1l ，以及x 1l 在第一象限内围成的三角形面积最小．解：设)4,(00x x Q ，直线PQ 的方程是6644400--=--x x x y ，直线PQ 交x 轴于点)0,15(00-x x A ．根据题意10>x ，所以41)211(1011041521||2120020000+--=-=⋅-⋅=⋅=∆x x x x x x y OA S Q OAQ，10>x ，当20=x 时，OAQ S ∆的最小值为40，)8,2(Q ∴．此题的解法是将OAQ ∆的面积S 表示为Q 的横坐标0x 的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值．例10．设F 1、F 2是椭圆62322=+y x 的两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，试求△ABF 2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB 弦的位置．解：设AB 弦所在的直线方程是1+=kx y ，),(11y x A ，),(22y x B ，则||||||212121212x x x x F F S ABF-=-⋅=∆． 由方程组⎩⎨⎧=++=623122y x kx y ，消去y ， 得044)32(22=--+kx x k ，则32221+=+k x x 32221+k 222222212212)32()1(483244)324(4)(2++=+-⋅-+-=-+=∴∆k k k k k x x x x S ABF ， 令),3[,322+∞∈+=t k t ，3110],41)211([24)1(242222≤<+--=-=∆t t t t S ABF， 当t=3时，2ABF S ∆有最大值334，此时k=0，即AB 弦过焦点F 1且平行于x 轴．此题的解法是将△ABF 2面积的平方表示为2k 的二次分式函数，从而求出最大值．。
常见分式函数值域的求法
题型!形如 ?& :'h!:) B,$:B?":+A"!*% 且 ,*% 的函数%
例
)
求函数
?& :'
h$ :) j):j(
":+#
j(
"9
$
的值域%
解!令 %& :'h:) j):j( h& :j$') j3":+# j("9$ "则 %& :' h
#
j3"$)$ "所以函数
?& :' 的值域是&
时为 %"$"?不同时为 %%
例
1
求函数
?& :'
h):) B:j$ :) j:B$
":+#
)
"(
$
的值域%
解!原函数等价转化为
Bh)
B(:j( :) j:B$
":+#)"(
$
"令
4h:j$"
则
Bh)
B (4 4) B4B$
h)B ( 4B$
"4+#$")$ "由此可得函数 B$
?& :' 的值
4
域是# )% "($ % 1
例
9
求函数
?& :'
h :) :) j3:B$
":+#
$ (
"$$ 的值域%
解!?& :'h $ h
$ :)
j3:B$
高中数学：四种类型轻松学会分式函数求值域
高中数学：四种类型轻松学会分式函数求值域
在高考试题及平时测试中，经常能碰到分式型函数求值域问题。
其表现形式有一元一次式比一元一次式，一元二次式比一元一次式，一元一次式比一元二次式，一元二次式比一元二次式；三次以上的比较少见，如果碰到的话，技巧性也比较强；此外还有f(x)=x+m/x的形式。
现在我们就对这些分式函数求值域的问题进行详细探究。
一、一元一次式比一元一次式，
一元一次式比一元一次式解法有三种：（1）极限法；（2）分离法；（3）反函数法。
高中数学
二、分子分母至少有一个是二元
2.1、当x∈R时，或者x没有限制时，可用判别式法来求值域
2.2、当x有取值范围限制时，可转化为对勾函数（形如f(x)=ax+b/x（a，b＞0）的函数）来求值域
三、一元三次式比一元四次式，
方法技巧：一元三次式比一元四次式，先用换元法将其转化为一元一次式比一元二次式。
四、形如f(x)=x+m/x的函数求值域
（1）当m<0时，函数在（-∞，0）或（0，+∞）为均单调递增（2）当m>0时，可利用不等式的性质求解
好了，今天的《高中数学：四种类型轻松学会分式函数求值域》就介绍到这里，欢迎继续关注，精彩还将继续！。
小班专题分式函数值域求法
专题：分式函数值域求法数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具． 首先我们给出分式函数的定义：形如()()()p x f x q x =的函数叫做分式函数，其中)(x p 、()q x 是既约整式且()q x 的次数不低于一次．下面就)(x p 、()q x 的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论．1、一次分式函数：（1）定义：()p x 、()q x 的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如(),,0ax b f x x A c cx d+=∈≠+的函数． （2）求法：一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成1()x f y -=，由于x A ∈，则A y f ∈-)(1，解出y 的取值范围，即函数f(x)的值域．例1、求函数232x y x +=-，[]3,8x ∈的值域． 解：改写成232y x y +=-，因为[]3,8x ∈，所以23382y y +≤≤-， 解得1996y ≤≤，即原函数的值域是19,96⎡⎤⎢⎥⎣⎦．２、二次分式函数：（1）定义：()p x 、()q x 至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数， 即形如22(),,ax bx c f x x A a d dx ex f++=∈++、不全为零的函数． （2）解法：若A=2|0x dx ex f ++≠｛｝，则可采用根的判别式法求值域．例2、求函数224544x x y x x ++=++的值域． 解：化为关于x 的方程2(1)4(1)450y x y x y -+-+-=．若1y =，则方程无解，即1y ≠．因为R x ∈，所以0∆≥，解得1y ≥，即原函数的值域是（1,+∞）。
若A 2|0x dx ex f ++≠｛｝，则再分类讨论。
2.1．（1）定义：形如2()c f x dx ex f=++，,0x A d ∈≠且0c ≠的函数． （2）解法：先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数()f x 的值域．例3、求函数21(),[3,5]23f x x x x =∈---的值域． 解：令[)(]22()23(1)4,3,33,5g x x x x x =--=--∈-⋃，则[)(]()4,00,12g x =-⋃，所以函数()f x 的值域是11(,][,)412-∞-⋃+∞．2.2．（1）定义：形如2()bx c f x dx ex f+=++，,0x A d ∈≠且0b ≠ (*) 或2()ax bx c f x ex f++=+，,0x A a ∈≠且0e ≠的分式函数． （2）解法：下面就形式(*)讨论解法．≠ ⊂2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以x ，得()f x ＝b f dx e x++． 只要讨论函数(),f g x dx x A x=+∈且0x ≠的值域． 不妨设0d >．若0f <，则函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上分别是增函数；若0f >，则函数()g x在和[上分别是减函数，在)+∞和(,-∞上分别是增函数．这样利用函数()g x 的单调性，先求出()g x 的值域，从而求出函数()f x 的值域．例4、求函数2(),[1,)24x f x x x x =∈+∞++的值域． 解：1(),142f x x x x=≥++．令4(),1g x x x x =+≥，则()4g x ≥， 所以函数()f x 的值域是1(0,]6．2.2.2．若0c ≠，则换元，令t bx c =+，转化为２.２.1．形式的分式函数．例5、求函数21(),(1,1)(1,3)23x f x x x x +=∈-⋃+-的值域． 解：令1t x =+，则21,(0,2)(2,4)44t y t t t t==∈⋃--． 因为4(,0)(0,3)t t -∈-∞⋃，所以函数()f x 的值域是1(,0)(,)3-∞⋃+∞．2.3．（1）定义：形如22(),,0ax bx c f x x A a dx ex f++=∈≠++且0d ≠的分式函数． （2）解法：2.3.1．若0b c ==或0e f ==，则分子分母同除以2x ，转化为求关于1x的二次函数的值域，从而求出函数()f x 的值域．例6、求函数221(),[,1]413x f x x x x =∈-+的值域． 解：22111(),[1,3]1411(2)3f x xx x x==∈-+--．因为函数 211()(2)3,[1,3]g x x x =--∈的值域是[3,2]--，所以函数()f x 的值域是11[,]23--．2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设22()(),,0a x m f x x A a dx ex f+=∈≠++且0d ≠，则可令t x m =+，转化为2.3.1形式的分式函数．例7、求函数2244(),[1,0]45x x f x x x x ++=∈-++的值域． 解：令2t x =+，则222111,[,1]1121t y t t t==∈++．因为2151[,2]4t +∈， 所以函数()f x 的值域是14[,]25．2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即：2()()ae af b x c a d d f x d dx ex f-+-=+++，转化为2.2形式的分式函数． 例8、求函数2245(),[0,2]43x x f x x x x ++=∈++的值域． 解：2222()11,[0,2]43(2)1f x x x x x =+=+∈+++-，所以函数()f x 的值域是175[,]153．。
分式函数值域解法探析
分式函数值域解法探析分式函数值域解法探析甘肃省定西工贸中专文峰分校张占荣函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。
而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。
为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨。
下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教。
一、相关概念函数值是指在函数y ＝f (x ) 中，与自变量x 的值对应的y 值。
函数的值域是函数值的集合，是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。
函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。
二、分式函数的类型及值域解法类型一：一次分式型一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x （或参数）的一次函数的分式函数。
1. y = (a 0) 型例１求函数y =的值域。
解法一：常数分离法。
将y =转化为y =（k 1,k 2为常数），则y k 1 解：∵y ==，∴y 。
解法二：反函数法。
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
解：反解y =得x =，对调 y = (x ) ，∴函数y =的值域为y 。
2. y = (a 0) 型分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x ，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。
可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y =（t =sinx ）在t 的指定区间上求值域类似。
即：将y =反解得sin x =f (y ), 而-1≤sin x ≤1, 即-1≤f (y ) ≤1，解之即可。
例谈简单分式型正、余切三角函数最值（值域）的求法
案例分析新课程NEW CURRICULUM函数最值和值域的求法是高中数学函数的一个重点，也是难点，更是每年高考的热点.而三角函数最值和值域的求法比一般函数最值和值域的求法，其解题过程要更复杂，解题方法要更灵活，解题技巧要更多样.本文就以简单分式型正、余切三角函数为例，对其最值和值域的求法加以归类并指出解题方法.例1.求函数y =tan x +1tan x -1的值域.解法1：（“1”的代换与公式法的结合）原函数等价于y =tan π4+tan x1-tan π4tan x =-tan （x +π4），因为x ≠k π+π2且x ≠k π+π4，所以x +π4≠k π+3π4且x +π4≠k π+π2，从而-tan （x +π4）≠-tan （k π+3π4）=-tan 3π4=1，即y ≠1.所以原函数的值域为y ∈｛y|y ≠1｝.点评：上面的解题过程，要注意“1”代换的内容和两角和与差正切公式的正确运用。
解法2：（分离常数法）原函数可化为：y =tan x -1+2tan x -1=1+2tan x -1，因为2tan x -1≠0，所以1+2tan x -1≠1，即y ≠1，从而原函数的值域为y ∈｛y |y ≠1｝.现在的高中生物教学情况仍不乐观，虽然高中生物也是高考的重要学科，但是很多学生对其不感兴趣。
生物学科没有得到很好的重视。
为了改变这样的情况，我们生物老师要及时发现问题，了解学生学习心理，改变教学模式和方法，提高学生生物学习能力。
一、高中生物教学中存在的问题1.忽略了学生的主体地位很多课堂上都是老师在讲台上唱“独角戏”，老师通常在课堂上花费很多的时间和精力讲课，但学生的收获甚微，久而久之，学生就会逐渐地听不懂课，随后就会失去学习兴趣，甚至产生厌学心理。
2.只注重知识的讲授，忽略了学生的创新思维在生物教学中，很多老师只看重高考教学重点的讲授，忽略了学生思维能力的培养。
受我国应试教育的影响，老师会对知识点尽可能详细地讲，让学生反复练习，使学生在规定时间内掌握更多的考点。
分式函数值域的求法
分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。
今天我们主要讨论分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域求法。
一、若21a a ，同时为零，则函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=就变为形如2211c x b c x b y ++=（22b b ，不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。
例１ 求函数312+-=x x y 的值域 解法１：（分离常数法） 利用恒等变形可化为：37237)3(2+-=+-+=x x x y 所以，该函数的值域为)2()2(∞+-∞∈，， y ：解法２：（求反函数法）函数 312+-=x x y 的反函数为132x y x -=- 所以 原函数值域为{}2≠∈y y y （即反函数定义域为原函数值域）。
二、若21a a ，不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。
如果不约分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。
例２ 求函数2312+--=x x x y 的值域 解：可先将函数变为)2)(1(1)(---==x x x x f y 。
约分后函数变为21)(-=x x g 。
所以 0)(≠x g 约分后函数)(x g 的定义域扩大了（严格来说()g x 与原函数)(x f 不是同一个函数，但在不引起混淆的情况下也可直接约分），)(x g 在１处所对应的函数值1-，也是)(x f 不能取到的值，所以函数2312+--=x x x y 的值域是）（０，０）１（１），（∞+∞- ,--。
例３求函数2652-+-=x x x y 的值域解：函数可变形为32)3)(2(-=---=x x x x y ，所以该函数的值域是{}1-≠∈y y y 。
10.分式函数性质及应用-解析版
求解分式函数值域的三种方法一、基本原理我们把y=ax+bcx+d,y=ax+bmx2+nx+t,y=mx2+nx+tax+b,y=mx2+nx+tpx2+qx+r(此处约定分母均不为零)，统称为分式函数，其中后面三种由于含有二次项，称为二次分式函数. 对于第一类的值域，通过转化为反比例函数结合单调性确定，而对于二次分式函数，通常有均值不等式法、判别式法、求导法来求这些函数的最值，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.1.均值不等式与双钩函数方法1.1：y=ax+bcx+d型函数的处理对于形如f x =ax+bcx+d(分子分母均为一次的分式)的函数，通过换元t=cx+d，可转化为f t =pt+qt的形式，再利用双钩函数的性质求解.1.2.y=ax2+bx+cd x+e型.形如y=ax2+bx+cd x+e可通过换元t=d x+e将问题转化为y=ax2+bx+cx，然后进行可通过分离常数转化为y=ax+cx+b的形式，进而可依靠y=x±ax的图像(即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究)，再求出值域，或者均值不等式.1.3.y=d x+eax2+bx+c ：同时除以分子：y=1ax2+bx+cd x+e→2的模型.1.4.y=mx2+nx+tpx2+qx+r →y=(px2+qx+r)+d x+epx2+qx+r，这就转化成了3的类型.2.判别式法：请见例题分析3.导数法二、典例分析1f x =2x-3x+1,x∈1,3解：令t=x+1,t∈2,4∴x=t-1∴f t =2t-5t=2-5t，进而可求出值域：y∈-12,3 42函数y=x2-x+1x-1x>1的最小值为.解析：解法1(均值不等式法)：令t=x-1，则t>0，x=t+1，所以y=t+12-t+1+1t=t2+t+1t=t+1t+1≥2t⋅1t+1=3，当且仅当t=1t，即t=1时取等号，此时x=2，从而函数y=x2-x+1x-1x>1的最小值为3.解法2(判别式法)：将y=x2-x+1x-1变形为y x-1=x2-x+1，整理得：x2-y+1x+y+1=0①，将式①看出关于x的一元二次方程，其判别式Δ=y +1 2-4y +1 ≥0，解得：y ≤-1或y ≥3，因为x >1，所以x -1>0，x 2-x +1>0，从而y >0，故y ≥3，注意到当x =2时，y =3，所以函数y =x 2-x +1x -1x >1 的最小值为3.解法3(求导法)：设f x =x 2-x +1x -1x >1 ，则f x =x x -2 x -12，所以f x >0⇔x >2，f x <0⇔1<x <2，从而f x 在1,2 上↘，在2,+∞ 上↗，故f x min =f 2 =3.3(2022全国甲卷)已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB =120°,AD =2,CD =2BD ．当AC AB取得最小值时，BD =．解析:方法1. 余弦定理：设CD =2BD =2m >0，则在△ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2-2BD ⋅AD cos ∠ADB =m 2+4+2m ，在△ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2-2CD ⋅AD cos ∠ADC =4m 2+4-4m ，故可得：AC 2AB 2=4m 2+4-4m m 2+4+2m =4m 2+4+2m -121+m m 2+4+2m =4-12m +1 +3m +1≥4-122m +1 ⋅3m +1=4-23当且仅当m +1=3m +1即m =3-1时，等号成立. 所以当AC AB取最小值时，m =3-1.(方法2)判别式法：设BD =x ，则CD =2x在△ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2-2BD ⋅AD cos ∠ADB =x 2+4+2x ，在△ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2-2CD ⋅AD cos ∠ADC =4x 2+4-4x ，所以AC 2AB 2=4x 2+4-4x x 2+4+2x ，记t =4x 2+4-4x x 2+4+2x，则4-t x 2-4+2t x +4-4t =0由方程有解得：Δ=4+2t 2-44-t 4-4t ≥0，即t 2-8t +4≤0，解得：4-23≤t ≤4+23所以t min =4-23，此时x =2+t 4-t =3-1，所以当AC AB取最小值时，x =3-1，即BD =3-1.4函数y =ln e x +1e x -1的值域为解析：所求函数为ln f x 的形式，所以求得e x +1e x -1的范围，再取对数即可。
分式函数的定义域,值域
分式函数的定义域,值域
分式函数：
一、定义域
1. 分式函数的定义域是指该函数在有效定义时它的变量可以取到哪些值，可以表示为x∈R（R表示实数集）。
2. 将分式表示为y=P(x)/Q(x)（P（x）为真分子，Q（x）为真分母），则如果当Q（x）的系数大于零，那么它的变量x的值必须是实数；如果Q（x）的系数等于零，那么它的变量x既可以取实数，也可以取其他特定值。
3. 当Q（x）的次幂大于等于一时，则一部分真分母可以去掉，而去掉后的定义域不变。
二、值域
1. 值域是指函数的输出，也就是y的值的范围。
当Q（x）的系数大于零时，值域为 x∈RE:(微函数为0)。
2. 当Q（x）的系数等于零时，值域为y=+∞或-∞（取决于微函数的符号）。
3. 当Q（x）的次幂大于等于一时，则可以去掉一部分真分母，而去掉后的值域不变。
分式分离求值域
分式分离求值域本文先介绍求值域的方法，然后再用具体实例证明其正确性。
最后总结一下这种方法可应用于许多场合，如：分数指数幂、高次项系数为零等问题中。
分式分离求值域是建立在分式的结构基础上的，因此首先要把它转化成整式来研究。
假设原分式的分母有理化（如取x=y）或者约掉某些项，就变成整式了。
但由于分子部分和分母都含有未知量，不能直接利用公式进行计算，必须将分式化简才能得到解答。
那么怎样对分式进行化简呢？根据分式各项的特点，常见的化简方法主要有两类：代入消元法与加减消元法。
代入消元法适用于分式的任何项；而加减消元法则只适用于分式的同号项。
我们知道，分式的通项公式为：分式的分母有理化，即去掉相同的项，就可以使分式的分母也无理化，从而得出关于分式的一个整式。
那么，若分式的分母有理化，该如何处理呢？对于已经乘除运算过的分式，可采用以下步骤：①将分式写成完全平方式；②将分式化成最简分式；③令最简分式的分子与分母互换位置；④重新化简分式。
这里需要注意的是，由于被乘除运算过的分式，其分母均存在着乘积项，因此在做第四步时，还需将这些乘积项移至分母之前，否则会影响最终结果。
所以，在考虑是否有必要保留乘积项时，必须综合考虑几个条件：1．分式的分母是否有理化； 2．被乘除运算过的分式是否仍可按照此思路继续化简； 3．分式的分子是否有理化。
比较难办的是分式的分子有理化，即分式的分母没有理化，这时候往往很容易忽略被乘除运算过的分式，导致化简失败。
所幸的是，现在大多数教材及参考书都提供了针对分式的专门化简手段，并且列举了非常详细的操作程序。
我们只需选择其中一种方法便可轻松地搞定分式的化简工作。
当然了，学习了分式分离求值域，并不仅限于求解分式的化简，更广泛的应用领域是探讨分式在函数中的应用。
例如：当二次项系数为0时，分式的分离域为分式的分子，分母不动，故二次项系数为0时，分式的分离域为0。
又如：高次项系数为零时，分式的分离域为分式的分子，分母不动，因为0是自然数。