福建省宁德市高三上学期期末质量检测数学(理)试题 扫描版含答案byling
福建省宁德市高三数学上学期期末质量检查试卷 理 新人教A版
2014年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}0,2,A a =,},0{2a B =,若},0{a B A = ,则a 的值为A. 0B. 1C. 1±D. 0或1 2. 命题p ：“∀x ∈Z ，20x ≥”，则p ⌝为A. ∀x ∈Z ，20x < B ．∀∉x Z ，20x < C ．∃0x ∈Z ，200x ≥ D ．∃0x ∈Z ，200x < 3. 直线m 在平面α内，直线n 在平面β内，下列命题正确的是A ．βα⊥⇒⊥n mB ．βα////⇒n mC ．β⊥⇒⊥m n mD ．ββα////m ⇒A ．3B ．1C ．422=+y xD ．2)1()1(22=+++y x10. 给定有限单调递增数列{}n x （至少有两项），其中0(1)i x i n ≠≤≤，定义集合*{(,)1,,,}i j A x x i j n i j =≤≤∈N 且．若对任意的点A A ∈1，存在点A A ∈2使得21OA OA ⊥（O 为坐标原点），则称数列}{n x 具有性质P ．例如数列}{n x ：22，-具有性质P ．以下对于数列}{n x 的判断：①数列}{n x ：2-，1-，1，3具有性质P ；②若数列}{n x 满足⎩⎨⎧≤≤=-=-,20142,2,1,11n n x n n 则该数列具有性质P ；③若数列}{n x 具有性质P ，则数列}{n x 中一定存在两项j i x x ,，使得0=+j i x x ；y其中正确的是A.①②③B.②③C. ①②D.③第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11. 已知向量(2,3)m =a ，(1,1)m =-b ，若a ，b 共线，则实数m 的值为 . 12. 已知复数(1)i (z a a a =+-∈R ，i 为虚数单位)为实数，则=⎰a xdx 0.13．锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边．若b B a 3sin 2=，5b c +=， 6bc =，则a = .14. 若函数1,0,()(021,0xxa x f x ab x ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=>⎨⎝⎭⎪-<⎩且2a ≠，0b >且1)b ≠的图象关于y 轴对称，则 b a 8+的最小值为__________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本小题满分13分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足21(n n S a n =-∈*)N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(n n b a n n =-∈*)N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．(本小题满分13分)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时, 2()4f x x x =+. (Ⅰ)求当0x ≤时，()f x 的表达式；(Ⅱ)求满足不等式)()2(2x f x f <-的x 的取值范围.（背面还有试题）18．(本小题满分13分)已知函数22()sin cos 3cos (f x x x x x m m =+++∈R )． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程； （Ⅱ）当]3π,0[∈x 时，()f x 的最大值为9，求实数m 的值．19． (本小题满分13分)为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在该海域设立了如图所示东西走向，相距20海里的A ，B 两个观测站，观测范围是到A ，B 两观测站距离之和不超过40海里的区域.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的方程；（Ⅱ）某日上午7时，观测站B 发现在其正东10海里的C 处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？ (1.7≈)20． (本小题满分14分)如图已知圆锥SO 的底面半径为4，母线长为8，三角形SAB 是圆锥的一个轴截面,D是SA 上的一点，且338=SD ．动点M 从点B 出发沿着圆锥的侧面运动到达点D ，当其运动路程最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面SAB 绕着轴SO 逆时针旋转 (0)θθ<<π后，母线1SB 与曲线Γ相交于点P ． （Ⅰ）若2π=θ，证明：平面11A B P ⊥平面ABP ； （Ⅱ）若3π2=θ，求二面角P AB B --1的余弦值．21．(本小题满分14分)已知函数1ln )(--=x ax x f ，若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴． (Ⅰ) 求实数a 的值；（Ⅱ）函数()()(1)()g x f x m x m =--∈R 恰有两个零点1212,()x x x x <． （i ）求函数()g x 的单调区间及实数m 的取值范围；OSθB 1 D ∙∙ AB北（ii ）求证：12()02x x g +'>．2014年宁德市普通高中毕业班单科质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．A 7．C 8．B 9．A 10．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．3 12．12 13．8 15．π4或π2（附题10解答：对于①，取1(2,3)A -时，若存在2(,)A x y 满足21OA OA ⊥，得230x y -+=，即23y x =，数列}{n x 中不存在这样的项,x y ，因此不具有性质P ． 对于②，取1(1,1)A --时，不存在2(,)A x y ，使得21OA OA ⊥，故②不具有性质P ． 对于③，取1(,)k k A x x ，若数列}{n x 具有性质P ，则存在点2(,)i j A x x 使得21OA OA ⊥， 即0k i k j x x x x +=，又0k x ≠，所以0i j x x +=，故③正确）三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．本题考查数列等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想，满分13分．解：（Ⅰ）因为21,n n S a =-令1n =，解得11a =．…………………………2分因为21,n n S a =-所以*1121,(2,)n n S a n n --=-≥∈N …………………………3分两式相减得12n n a a -=，…………………………………………………5分 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，……………………………6分 所以12n n a -=．…………………………………………………7分 （Ⅱ）解：n n b a n =-，12n n b n -=-， …………………………8分12011(21)(22)(2)n nn T b b b n -=+++=-+-++-L L011(222)(12)n n -=+++-+++L L …………………10分(1)212n n n +=--…………………………………………………13分 （说明：等比求和正确得2分，等差求和正确得1分）17．本小题主要考查函数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想，满分13分．解：(Ⅰ)当0x <时，0x ->，2()4f x x x -=-，…………………………………2分 又()f x 为奇函数,()()f x f x ∴=--，…………………………………4分 即2()4f x x x =-+．…………………………5分 又(0)(0)f f -=-，即(0)0f =，……………6分 故当0x ≤时，2()4f x x x =-+．……………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x 在R 上是增函数，…………………………9分22(2)()2f x f x x x ∴-<⇔-<，………………10分即220x x --<………………11分解得12x -<<.………………………13分18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想和数形结合的思想，满分13分．解（Ⅰ）22()sin cos 3cos f x x x x x m =+++1cos 21cos 22322x xx m -+=+⨯+………………………3分2cos 22x x m =+++2sin(2) 2.6x m π=+++………………………5分由222,262k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，………………………6分 得,36k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ． ∴函数()f x 的单调增区间为[,](36k k k ππ-+π+π∈Z)．………………………7分由2,62x k k ππ+=+π∈Z 得,62k x k ππ=+∈Z ， ∴函数()f x 的对称轴方程是,62k x k ππ=+∈Z .………………………8分 （Ⅱ）∵当[0,]3x π∈时，2666x ππ5π≤+≤，………………………9分∴1sin(2)126x π≤+≤，………………………11分 ∴32sin(2)246m x m m π+≤+++≤+，……………………12分∴49m +=，解得5m =．∴实数m 的值为5.…………………………………………13分 （由2666x ππ5π≤+≤得出sin(2)6x π+的最大值为1，得2分；正确推出()f x 的最大值为4m +，再得1分；正确求出m 的值得1分）19．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查应用意识，满分13分． 解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．……1分 （Ⅰ）依题意可知：考察区域边界曲线是以A ,B 为焦点的椭圆，…………2分设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，则22224010a c a b c⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，……………………5分解得20,a b ==6分∴考察区域边界曲线的方程为：221400300x y +=.………………………………7分（不同的建系方式，对照上面的给分点相应评分）（Ⅱ）设轮船在观测区域内航行的时间为t 小时，航线与区域边界的交点为C 、D ，∵(20,0)C ，tan1351CD k ︒==-，∴直线CD 方程：20.y x =-+…………………………………………………8分 联立方程22201400300y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：271604000x x -+=，…………………9分解得122020,7x x ==………………………………………………………………10分∴2020247CD =-=≈……………………………………………11分 ∴ 2438t ==（小时）. ……………………………………………12分 ∴轮船大约在当日上午10时离开观测区域. . ……………………………13分 （其他解法相应给分） 20．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，满分14分． 解法一：（Ⅰ）证明：∵2πθ=，∴11AB A B ⊥．…………………………………1分∵1SO B AB ⊥平面,∴SO AB ⊥ ……………2分 又∵11SO A B O =I ，∴AB ⊥平面11SA B ，…4分 又∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面11SA B ，……………………6分 又∵P ∈平面11SA B ，∴平面PAB ⊥平面11PA B ．………………………………7分（Ⅱ）以O 为原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，OS 所在直线为z 轴建立如图（1则(4,0,0)A -，(4,0,0)B ， 将圆锥半侧面图展开，如图（2）所示， 由已知可求2ASB π∠=． ……………………9分 又23θπ=Q ，16ASB π∴∠=．8SD SB ==Q ，3SDP π∴∠=．2SPD π∴∠=，∴在Rt SPD ∆中，sin 43SP SD π==．∴点P 为1SB 的中点．……………………10分 如图（1）SO ⊥面1AB B ，∴面11SA B ⊥面1AB B过P 作1PQ OB ⊥交1OB 于Q ，则PQ ⊥面1AB B ，AOA θB 1D ∙∙ASBD PB 1 图（2） 图（1）1//2PQ SO PQ SO ∴∴===1122OQ OB ==(P ∴-．……………………11分AP ∴=uu u r ，(8,0,0)AB ∴=uu u r．设平面ABP 的法向量为1(,,)x y z =n，则30,80,x x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得：1(0,2,1)=-n ……………………12分取平面1B AB 的法向量为2(0,0,1)=n ……………………13分12cos(,)∴==n n ∴所求的二面角1B AB P --.……………………14分 解法二：（I ）同解法一；（Ⅱ）与解法一同,得：PQ =，2OQ =．…………11分 过Q 作QC AB ⊥交AB 于C ，连结CP ，∵1PQ B AB ⊥平面, ∴PQ AB ⊥, 又∵PQ QC Q =I∴AB PQC ⊥平面，∴PC AB ⊥.则PCQ ∠为二面角1B AB P --的平面角. ……………13分Rt PQC ∆中，cos CQ PCQ PC ∠=== ∴所求的二面角1B AB P --．…………………………………………14分 （其它解法相应给分）21．本小题主要考查函数、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程的思想，数形结合的思想，化归与转化思想，满分14分． 解法一：（Ⅰ）由1()f x a x'=-，且(1)0f '=，………………………………2分 解得1a =．…………………………………………3分 （Ⅱ）（i ）()(1)(1)ln g x m x x =---，(0,)x ∈+∞.SDQBCAA 1令1(1)1()1m x g x m x x--'=--=,…………………………………………4分 当10m -≤即1m ≥时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，此时只存在一个零点，不合题意；………………………………………5分 当1m <时，令()0g x '=，解得11x m=-. 当x 变化时，()g x 和()g x '变化情况如下表：…………………………………………6分由题意可知，1()=()ln(1)1g x g m m m=+--极小.设()ln(1)h m m m =+-，当0m =时，(0)0h =即()=0g x 极小，此时()g x 恰有一个零点，不合题意；…………… 7分 当0m ≠且1m <时，1()111mh m m m-'=-=--，………………………………8分 当0m <时，'()0h x >，当01m <<时，'()0h x <所以()h m 在(,0)-∞上单调递增，在(0,1)上单调递减， 所以()(0)0h m h <=，此时()g x 恰有两个零点．综上，m 的取值范围是(,0)(0,1)-∞U .…………………………………………9分（ii ）证明：函数()g x 有两个零点1212,()x x x x <，∴111222()(1)(1)ln 0()(1)(1)ln 0.g x m x x g x m x x =---=⎧⎨=---=⎩，，两式相减得2211(1)()ln0x m x x x ---=， ∴221111ln x m x x x -=-．…………………………………………10分 要证12()02x x g +'>， 只要证12210m x x -->+，只要证22111212ln 0x x x x x x ->-+， 只要证2211122()ln0x x x x x x -->+，……………………………11分 只要证2212112(1)ln 01x x x x x x -->+．…………………………………………12分设2(1)()ln (1)1t t t t t ϕ-=->+，则22(1)()0(1)t t t t ϕ-'=>+， ()t ϕ在（1，+∞）上单调递增，………………………………13分 ∴()(1)0t ϕϕ>=，∴ 12()02x x g +'>．…………………………………………14分 解法二：（I ），（II ）（i ）同解法一．（ii ）显然(1)0g =，故1x =是函数()g x 的一个零点，不妨设11x =．…………………10分 由2x 是函数()g x 的另一个零点，所以222()(1)(1)ln 0g x m x x =---=，即22ln 11x m x -=-.……………………………11分 又22222222221ln (1)ln 2(1)22()12111(1)(1)x x x x x g m x x x x x ++--'=--=-=+-+-+，…………………12分 设()(1)ln 2(1)p x x x x =+--，0x >且1x ≠，1()ln 1p x x x '=+-，22111()x p x x x x-''=-=， 所以()p x '在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 故()(1)0p x p ''>=，…………………………………………13分 所以()p x 的单调递增区间为(0,1)和(1,)+∞． 又(1)0p =，当01x <<时，()0p x <，当1x >时，()0p x >, 所以()(1)ln 2(1)011p x x x x x x +--=>--，即1221()()022x x x g g ++''=>.…………………14分 （其它解法相应给分）。
福建省宁德市2019届高三上学期期末统考 数学理
福建省宁德市普通高中2019届高三上学期期末统考数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 若集合P M x y y P y y M x则},33|{},3|{ =（ ）A ．}1|{ y yB ．}1|{ y yC ．}0|{ y yD ．}0|{ y y2． 一元二次方程)0(,0122a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ ） A ．a<0 B ．a>0 C ．a<－1 D ．a>13． 0122 x ax 的解集是实数集，R ：命题乙：0<a<1，则命题甲是命题乙成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 4． 函数 )1(1)1(1)(x x x x f ，则 )))2(((f f f（ ）A ．0B ．1C ．2D ．25． 若函数3412mx mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．]43,0(B ．)43,0(C ．]43,0[D ．)43,0[6． 若函数)(},4|{}0|{113)(x f y y y y x x x f 则的值域是 的定义域是（ ）A ．]3,31[B ．]3,1(]3,31[C ．),3(]31,( 或 D ．),3[7． 函数),2[,32)(2x mx x x f 当时是增函数，则m 的取值范围是 （ ） A ．],[ B ．),[ C ．]8,( D ．]8,(8． 如果函数c bx x x f 2)(对任意实数t 都有),()4(t f t f 那么 （ ）A ．)4()1()2(f f fB ．)4()2()1(f f fC ．)1()4()2(f f fD ．)1()2()4(f f f 9． 函数|1|lg x y 的图象是 （ ）10．函数x x y 26ln 的零点一定位于的区间是（ ）A ．（3，4）B ．（2，3）C ．（1，2）D ．（0，1） 11．已知]1,0[)2(log 在ax y a 上是x 是减函数，则a 的取值范围是 （ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，1）D ．),2[12．已知xx f x x f x f x f 2)(,02),2()2(,)( 时当且为偶函数，若2006),(*,a n f a N n n 则 =（ ）A ．2019B ．4C ．41D ．－4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)
福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)【注意】本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1 至10题为选择题，每小题2分，共20分；第Ⅱ卷为非选择题，共80分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共20分）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 将函数$f(x)= \sin(x-\frac{\pi}{6})+2x$ 的图像上对称的两个点P和Q分别对应于$f(x)=7$ 和$f(x)=-1$，则点P和Q的坐标分别是（）A. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{11\pi}{6}, -1\right)$B. $\left(\frac{5\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{7\pi}{6}, 7\right)$C. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{7\pi}{6}, -1\right)$D. $\left(\frac{7\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{11\pi}{6}, 7\right)$【解析】根据函数图像对称性和点过该函数能确定两个点，即可得到答案为C。
2. 若$\frac{(x+2)^2-1}{x+1}>0$，则实数x的取值范围是（）A. $x>2$ 或 $-1<x<-2$B. $x>2$ 或 $-1<x<-2$ 或 $x<-3$C. $x<-3$ 或 $-2<x<-1$D. $x>-3$ 或 $x<-1$ 或 $x<-2$【解析】根据不等式性质和解析式展开，结合一元二次不等式求解可得答案为B。
《精编》福建省宁德市高三数学质检试题 理(含解析)新人教A版.doc
福建省宁德市届高三质量检查数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共10小题，每题5分，总分值50分〕1．〔5分〕〔•宁德模拟〕假设集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|﹣1≤x≤2}，那么〔〕A．N⊊M B．M∪N=N C．M=N D．M∩N=∅考点：交、并、补集的混合运算．分析：解出集合M中二次不等式，再求两集合的交集或并集，对照选项进行判断即可．解答：解：M={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，N={x|﹣1≤x≤2}，∴M∩N={x|0≤x≤2}，M∪N={x|﹣1≤x≤2}=N，应选B．点评：此题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．〔5分〕〔•宁德模拟〕x，y∈R，那么“x=y〞是“|x|=|y|〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：此题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“x=y〞成立，然后判断“|x|=|y|〞是否一定成立；然后假设“|x|=|y|〞成立，再判断“x=y〞是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论．解答：解：当“x=y〞成立时，“|x|=|y|〞一定成立，即“x=y〞⇒“|x|=|y|〞为真假命题；但当“|x|=|y|〞成立时，x=±y即“x=y〞不一定成立，即“|x|=|y|〞⇒“x=y〞为假命题；故“x=y〞是“|x|=|y|〞的充分不必要条件应选A点评：判断充要条件的方法是：①假设p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，那么命题p是命题q的充分不必要条件；②假设p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，那么命题p是命题q 的必要不充分条件；③假设p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，那么命题p是命题q的充要条件；④假设p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，那么命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分〞的原那么，判断命题p与命题q的关系．3．〔5分〕〔•宁德模拟〕角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，假设终边经过点〔，〕，那么tanθ等于〔〕A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点〔，〕，根据三角函数的第二定义，终边过〔x，y〕的点tanθ=，代入可得答案．解答：解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点〔，〕，故tanθ==应选B点评：此题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中熟练掌握三角函数的第二定义是解答的关键．4．〔5分〕〔•宁德模拟〕一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如以以下图，那么这个三棱柱的侧视图的面积为〔〕A．4B．2C．2D．4考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：通过三棱柱的俯视图，求出底面三角形的高，然后求出棱柱的底面面积，利用棱柱的体积求出棱柱的高，然后求出侧视图的面积．解答：解：由题意可知棱柱的底面面积为S，底面是等腰直角三角形，由俯视图可知斜边长为：2，斜边上的高为：1，底面面积S，所以S==1，因为棱柱的体积为4，所以V=Sh=4，所以棱柱的高为：4，侧视图是矩形，底边长为：1，高为4，所以侧视图的面积为：1×4=4．应选D．点评：此题考查几何体的三视图的应用，侧视图的面积的求法，考查计算能力．5．〔5分〕〔•宁德模拟〕以下函数f〔x〕中，满足“∀x1，x2∈〔0，+∞〕且x1≠x2，〔x1﹣x2〕[f〔x1〕﹣f〔x2〕]＜0“的是〔〕A．f〔x〕=2x B．f〔x〕=|x﹣1| C．f〔x〕=﹣xD．f〔x〕=ln〔x+1〕考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：易得所求函数在区间〔0，+∞〕上为减函数，逐个验证：A为增函数；B在〔1，+∞〕单调递增；C符合题意；D在〔﹣1，+∞〕上单调递增，可得答案．解答：解：由题意可得函数在区间〔0，+∞〕上为减函数，选项A为指数函数，为增函数，故不合题意；选项B，f〔x〕=，故函数在〔1，+∞〕单调递增，不合题意；选项C，由f′〔x〕=＜0可知函数在〔0，+∞〕上为减函数，符合题意；选项D，函数在〔﹣1，+∞〕上单调递增，故不合题意，应选C点评：此题考查函数的单调性，借用常用函数的单调性是解决问题的捷径，属根底题．6．〔5分〕〔•宁德模拟〕曲线y2=x与直线y=x所围成的图形的面积为〔〕A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：作出两个曲线的图象，求出它们的交点坐标，由此可得所求面积为函数﹣x在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到此题答案．解答：解：∵曲线y2=x和曲线y=x的交点为A〔1，1〕和原点O ∴曲线y2=x和曲线y=x所围图形的面积为S=〔﹣x〕dx=〔﹣x2〕=〔〕﹣〔〕=应选：A点评：此题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于根底题．7．〔5分〕〔•宁德模拟〕m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，直线m⊂平面a，直线n⊥平面β，给出命题：①n⊥m⇒α∥β；②n∥m⇒α⊥β；③α∥β⇒n⊥m；④α⊥β⇒n∥m．其中正确命题为〔〕A．①③B．②③C．②④D．①④考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：结合图形演示判断①是否正确；根据面面垂直的判定定理判断②是否正确；根据线面垂直的性质判断③是否正确；根据空间直线与平面的位置关系判断④是否正确．解答：解：①如图平面α、β的关系不定，故①错误；②∵m∥n，n⊥平面β，∴m⊥β，m⊂α∴α⊥β，②正确；③∵α∥β，n⊥β，∴n⊥α，m⊂α，∴m⊥n，③正确；④α⊥β，n⊥β，∴n⊂α或n∥α．m⊂α，∴m、n的位置关系不确定．应选B点评：此题借助考查命题的真假判断，考查空间直线与直线、平面与平面的位置关系．8．〔5分〕〔•宁德模拟〕平面上动点P到定点F与定直线/的距离相等，且点F与直线l的距离为1．某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，那么他的建系方式是〔〕A．B．C．D．考点：曲线与方程．专题：计算题．分析：通过曲线的轨迹方程，判断曲线的焦点坐标与对称轴的位置，然后确定选项．解答：解：因为点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，即所求的抛物线方程：y=x2+，抛物线的对称轴为：y轴，顶点坐标为〔0，〕．所以该同学建系方式是C．应选C．点评：此题考查曲线与方程的关系，注意抛物线的性质的应用，也可以利用曲线图形变换解答．9．〔5分〕〔•宁德模拟〕在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C ﹣sinBsinC ，且=2，那么AC+2AB的最小值为〔〕A．4B．4C．4D．4考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由结合正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc，然后利用余弦定理可得，cosA=可求A ，再由=2，结合数量积的定义可求bc，而AC+2AB=b+2c，利用根本不等式可求解答：解：∵sin2A=sin2B+sin2C ﹣sinBsinC，由正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc，由余弦定理可得，cosA==∴∵=2，由数量积的定义可知，∴bc=4∴AC+2AB=b+2c=4当且仅当b=2c=2时取等号应选D点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，及根本不等式在求解最值中的应用，熟练掌握定理是解此题的关键．10．〔5分〕〔•宁德模拟〕假设函数f〔x〕对于任意x∈[a，b]，恒有|f〔x〕﹣f〔a〕﹣〔x﹣a〕|≤T〔T为常数〕成立，那么称函数f〔x〕在[a，b]上具有“T级线性逼近〞．以下函数中：①f〔x〕=2x+1；②f〔x〕=x2；③f〔x〕=；④f〔x〕=x3．那么在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞的函数的个数为〔〕A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据称函数f〔x〕在[a，b]上具有“T级线性逼近〞的定义，判断各个选项中的函数在区间[1，2]上是否满足“级线性逼近〞的定义，从而得出结论．解答：解：f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|0|≤，故f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=x2 在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|〔x﹣1〕〔x﹣2〕|=﹣〔x﹣1〕〔x﹣2〕≤，故f〔x〕=x2在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|+﹣|=﹣〔+〕≤﹣2=﹣≤，故f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=x3在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|x3﹣7x+6|=|〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕|=﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕，由于﹣〔x3﹣7x+6〕的导数为﹣3x2+7，令﹣3x2+7=0 可得 x=，在[1，]上，3x2﹣7＜0，﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕为增函数，同理可得在[，2]上，﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕为减函数，故﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕的最大值为〔﹣1〕〔3﹣〕〔+2〕＞，故不满足“级线性逼近〞，故不满足条件．应选C．点评：此题主要考查新定义：“T级线性逼近〞的定义，不等式的性质应用，式子的变形是解题的难点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.11．〔4分〕〔•宁德模拟〕假设〔1+ai〕i=﹣3+i，其中a∈R，i是虚数单位，那么a= 3 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边展开，然后利用复数相等的条件求a的值．解答：解：由〔1+ai〕i=﹣3+i，得﹣a+i=﹣3+i，∴﹣a=﹣3，那么a=3．故答案为3．点评：此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是根底题．12．〔4分〕〔•宁德模拟〕运行如以以下图的程序，输入3，4时，那么输出 4 ．考点：伪代码．专题：函数的性质及应用．分析：由中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，由a=3，b=4，易得答案．解答：解：由中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，当a=3，b=4时，满足a≤b故m=b=4故答案为：4点评：此题考查的知识点是伪代码，分段函数，其中由中的程序代码，分析出分段函数的解析式是解答的关键．13．〔4分〕〔•宁德模拟〕假设直线x﹣y+t=0与圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0相交所得的弦长为4，那么t的值等于﹣2或6 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再在弦心距与半径构成的直角三角形中求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0化为：〔x﹣1〕2+〔y﹣3〕2=16．圆心到直线的距离为d==4=2，解得t=﹣2或t=6．故答案为：﹣2或6点评：此题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及弦长问题，属于根底题．14．〔4分〕〔•重庆〕变量x，y满足约束条件．假设目标函数z=ax+y〔其中a＞0〕仅在点〔3，0〕处取得最大值，那么a的取值范围为a．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：此题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域如以以下图，其中B〔3，0〕，C〔1，1〕，D〔0，1〕，假设目标函数z=ax+y仅在点〔3，0〕取得最大值，由图知，﹣a＜﹣解得a＞故答案为a＞点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组〔方程组〕寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比拟，即可得到目标函数的最优解．15．〔4分〕〔•宁德模拟〕某种平面分形如以以下图，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，那么n级分形图中所有线段的长度之和为．9﹣9•．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，先根据题意可得a1、a2、a3、a4的值，找到其中的关系，进而可得到数列的通项公式．解答：解：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，依题意a1=3，a2=3+2×3×=3+2，a3=3+2×3×+2×2×3×=3+2+，a4=3+2++，…，它们构成一个首项为3，公比为的等比的和，∴a n==9﹣9•．故答案为：9﹣9•点评：此题主要考查归纳推理，数列通项公式的求法．数列的通项公式在数列学习中占据很重要的地位，要强化学习．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤. 16．〔13分〕〔•宁德模拟〕二次函数f〔x〕=ax2+bx+1为偶函数，且f〔﹣1〕=﹣1．〔I〕求函数f〔x〕的解析式；〔II〕假设函数g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x在区间[﹣2，2]上单调递减，求实数k的取值范围．考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：〔I〕由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f〔﹣1〕=﹣1，可得a值，进而可得函数f〔x〕的解析式；〔II〕假设函数g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x在区间[﹣2，2]上单调递减，可得区间[﹣2，2]在对称轴的右侧，进而得到实数k的取值范围解答：解：〔I〕∵二次函数f〔x〕=ax2+bx+1为偶函数，故函数f〔x〕的图象关于y轴对称即x=﹣=0，即b=0又∵f〔﹣1〕=a+1=﹣1，即a=﹣2．故f〔x〕=﹣2x2+1〔II〕由〔I〕得g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x=﹣2x2+〔2﹣k〕x+1 故函数g〔x〕的图象是开口朝下，且以x=为对称轴的抛物线故函数g〔x〕在[，+∞〕上单调递减，又∵函数g〔x〕在区间[﹣2，2]上单调递减，∴≤﹣2解得k≥10故实数k的取值范围为[10，+∞〕点评：此题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．17．〔13分〕〔•宁德模拟〕函数，f〔x〕=cos〔﹣2ωx〕+2sin2ωx〔ω＞0〕的最小正周期为π．〔I 〕求函数y=f〔x〕的最值及其单调递增区间；〔II 〕函数f〔x〕的图象可以由函数y=2sin2x〔x∈R〕的图象经过怎样的变换得到？考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔I〕利用降次升角公式，及和差角公式〔辅助角公式〕，可将函数y=f〔x〕的解析式化为正弦型函数的形式，结合函数y=f〔x〕的最小正周期为π，可得ω的值，进而结合正弦函数的图象和性质，可得答案．〔II〕根据函数图象的变换法那么，结合变换前后函数的解析式，可分析出函数变换的方法．解答：解：〔I〕∵f〔x〕=cos〔﹣2ωx〕+2sin2ωx=sin2ωx+1﹣cos2ωx=2sin〔2ωx ﹣〕+1又∵ω＞0，f〔x〕的最小正周期为π故ω=1故f〔x〕=2sin〔2x﹣〕+1∵A=2，B=1故函数y=f〔x〕的最大值为3，最小值为﹣1由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z故函数y=f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，〔k∈Z〕〔II〕将函数y=2sin2x〔x∈R〕的图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数y=2sin2〔x﹣〕=2sin〔2x﹣〕〔x∈R〕的图象；再将函数y=2sin2〔x﹣〕=2sin〔2x﹣〕〔x∈R〕的图象上的所有点向上平移1个单位长度得到函数f〔x〕=2sin〔2x﹣〕+1的图象．点评：此题考查的知识点是两角差的正弦函数，二倍角公式，正弦型函数的单调性，周期性，函数图象的变换，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．18．〔13分〕〔•宁德模拟〕椭圆E：〔a＞b＞0〕的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=．〔I〕假设点F在直线l：x﹣y+1=0上，求椭圆E的方程；〔II〕假设0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得？假设存在，求出点P 的个数；假设不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔Ⅰ〕椭圆的左焦点F在直线l：x﹣y+1=0上，把F的坐标代入直线方程可求c的值，与离心率e=联立后可求a的值，那么椭圆E的方程可求；〔Ⅱ〕假设椭圆E上存在点P，使得，设出P点坐标，求出向量和，代入后求出点P的横坐标，由题目给出的a的范围推出点P横坐标不在[﹣a，a]内，从而得出矛盾，假设错误．解答：解：〔Ⅰ〕∵F〔﹣c，0〕在直线l：x﹣y+1=0上，∴﹣c+1=0，即c=1，又，∴a=2c=2，∴b=．从而椭圆E的方程为．〔Ⅱ〕由，得，∴，椭圆E的方程为，其左焦点为，右顶点为A〔a，0〕，假设椭圆E上存在点P〔x0，y0〕〔﹣a≤x0≤a〕，使得，∵点P〔x0，y0〕在椭圆上，∴，由====1．解得：x0=a±2，∵0＜a＜1，∴x0=a±2∉[﹣a，a]，故不存在点P，使得．点评：此题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程，训练了存在性问题的处理方法，对于存在性问题，解决的思路是假设结论成立，把假设作为条件进行推理，得出正确的等式关系那么假设成立，肯定结论，否那么假设不成立，否认结论．此题是中档题．19．〔13分〕〔•宁德模拟〕如图〔1〕，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E，如图〔2〕．〔I〕求证：EA⊥B′B；〔II〕线段B′C′上是否存在点M，使得EM∥平面DB′B，假设存在，确定点M的位置；假设不存在，请说明理由；〔III〕求平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：〔I〕通过证明EA⊥平面ABB′，然后证明EA⊥B′B；〔II〕存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．利用直线与平面平行的判定定理证明即可；〔III〕通过建立空间直角坐标系，求出平面CB′D与平面BB′A的法向量，利用斜率的数量积求出两个平面所成的锐二面角的大小．解答：解：〔Ⅰ〕证明：∵CD=CD=2AB=2，∴CE=AB，又AB∥CD，且∠C=90°，∴四边形ABCD 为矩形．∴AB⊥EA，EA⊥AB′，又AB∩B′=A，∴EA⊥平面ABB′，∵BB′⊂平面ABB′，∴EA⊥B′B；〔Ⅱ〕解：存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．理由如下：设AE与BD 交于N，连结B′N．∵AB∥DE且AB=DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴N为AE的中点．∵M为B′C′中点，四边形AB′C′E为矩形，∴MB′∥EN，MB′=EN．∴四边形MB′NE为平行四边形，∴EM∥B′N，又∵EM⊄平面DBB′，B′N⊂平面DBB′，∴EM∥平面DB′B．〔Ⅲ〕解：由〔Ⅰ〕知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，E﹣xyz，如以以下图那么D〔1，0，0〕，B′0，，1〕，E〔0，0，0〕，C〔﹣1，0，0〕所以=〔﹣1，，1〕，=〔﹣2，0，0〕设面DCB′的法向量为=〔x，y，z〕，那么，⇒不妨设=〔0，1，〕…〔10分〕设面AB′B的法向量=〔0，1，0〕，所以cos==所以平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小为60°…〔12分〕．点评：此题考查直线与平面的垂直与平行的判定定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．〔14分〕〔•宁德模拟〕一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到11月份新款家电M 的局部销售资料．资料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台〔t为常数〕，期间某天由于商家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台，11月5日的销售量为18台．〔I〕假设商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量．〔II〕假设11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；综合题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：〔I〕由题意，在11月1日至15日之间该商场家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列{a n}，结合等差数列的通项公式解出首项a1和公差t，从而由等差数列求和公式得到这15天家电M的总销售量．〔II〕设从11月1日起，第n天的销售量最多〔1≤n≤30，n∈N*〕．根据〔I〕前15天的销售量大于414，可得n＜15；通过假设n=5算出销售量为120＜414，得n＞5．因此n为大于5而小于15的整数，因此结合题中数据列出S15关于n的式子，解方程S15=414，即可得到n=15，可得在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．解答：解：〔I〕根据题意，商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t 的等差数列{a n}，∵，∴，解之得因此，这15天家电M的总销售量为S15=15×2+=450台．…〔6分〕〔II〕设从11月1日起，第n天的销售量最多，1≤n≤30，n∈N*由〔I〕，假设商家在11月1日至15日之间未提价，那么这15天家电M的总销售量为450台，而450＞414不符合题意，故n＜15；假设n=5，那么S15=5×2++10×16+=120＜414，也不符合题意，故n＞5因此，前n天每天的销售量组成一个首项为2，公差为4的等差数列，第n+1天开始每天的销售量组成首项为4n﹣4，公差为﹣2的等差数列．…〔10分〕∴S15=[2n+]+[〔15﹣n〕〔4n﹣4〕+]=﹣3n2+93n﹣270由条件，得S15=414，即﹣3n2+93n﹣270=414解之得n=15或n=19〔舍去19〕∴n=12，出售家电M的台数为2+11×4=46台故在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．点评：此题给出商场家电的销售量成等差数列的模型，求家电M哪一天的销售量为最多．着重考查了函数、数列的根本知识及其应用能力，考查了函数方程思想和转化化归思想的应用，属于中档题．21．〔14分〕〔•宁德模拟〕函数f1〔x〕=x2，f2〔x〕=alnx〔a∈R〕•〔I〕当a＞0时，求函数．f〔x〕=f1〔x〕•f2〔x〕的极值；〔II〕假设存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，求实数a的取值范围；〔III〕求证：当x＞0时，lnx+﹣＞0．〔说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…〕考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：〔I〕求出导函数，通过对导函数为0的根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值；〔II〕根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，设g〔x〕=x2+alnx﹣〔a+1〕x，那么问题转化为g〔x〕min≤0即可，再利用导数工具得出g′〔x〕，对a时行分类讨论①当a≤1时，②当1＜a＜e时，③当a≥e时，利用导数研究其单调性及最小值，求出a的范围，最后综上得到实数a的取值范围即可；〔III〕问题等价于x2lnx＞，构造函数h〔x〕=，利用导数研究其最大值，从而列出不等式f〔x〕min＞h〔x〕max，即可证得结论．解答：解：〔I〕f〔x〕=f1〔x〕•f2〔x〕=x2alnx，∴f′〔x〕=axlnx+ax=ax〔2lnx+1〕，〔x＞0，a＞0〕，由f′〔x〕＞0，得x＞e，由f′〔x〕＜0，得0＜x＜e．∴函数f〔x〕在〔0，e〕上是增函数，在〔e，+∞〕上是减函数，∴f〔x〕的极小值为f〔e〕=﹣，无极大值．〔II〕根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，设g〔x〕=x2+alnx﹣〔a+1〕x，那么g〔x〕min≤0即可，又g′〔x〕=x+﹣〔a+1〕=，①当a≤1时，由x∈[1，e]，g′〔x〕＞0，得g〔x〕在[1，e]上是增函数，∴g〔x〕min=g〔1〕=﹣〔a+1〕≤0，得﹣≤a≤1．②当1＜a＜e时，由x∈[1，a]，g′〔x〕＜0，得g〔x〕在[1，a]上是减函数，由x∈[a，e]，g′〔x〕＞0，得g〔x〕在[1，a]上是增函数，∴g〔x〕min=g〔a〕=﹣a2+alna﹣a=﹣a2﹣a〔1﹣lna〕≤0恒成立，得1＜a＜e．③当a≥e时，由x∈[1，e]，g′〔x〕＜0，得g〔x〕在[1，e]上是减函数，∴g〔x〕min=g〔e〕=〕=﹣e2+a﹣ae﹣e≤0，得a≥，又＜e，∴a≥e．综上，实数a的取值范围a．〔III〕问题等价于x2lnx＞，由〔I〕知，f〔x〕=x2lnx的最小值为﹣，设h〔x〕=，h′〔x〕=﹣得，函数h〔x〕在〔0，2〕上增，在〔2，+∞〕减，∴h〔x〕max=h〔2〕=，因﹣＞0，∴f〔x〕min＞h〔x〕max，∴x2lnx＞，∴lnx﹣〔〕＞0，∴lnx+﹣＞0．点评：此题主要考查了函数在某点取得极值的条件，先通过导数求出函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用．。
福建省宁德市2020届高三第一学期第一次质量检查期末考试试题理 数学【解析版】
福建省宁德市2020届高三第一学期第一次质量检查期末考试试题理数学【解析版】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ） A. 22 32 D. 2【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可． 【详解】复数2z 2i 1i =++＝2i+()()()21i 1i 1i -+-＝2i+1﹣i ＝1+i, 则|z|221+1=2故选C ．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．2.设集合201x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B =( ) A. {}21x x -≤<- B. {}11x x -<≤ C. {}21x x -≤< D. {}11x x -≤< 【答案】A【解析】【分析】 对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案. 【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-， 所以{}21A B x x ⋂=-≤<-.故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力.3.已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A. 14± B. 14 C. 116± D. 116【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-， 解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.4.若,x y 满足111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（）A. 2B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】 画出x ，y 满足约束条件111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11y y x =⎧⎨=-⎩，解得()2,1A ，由2z x y =+可知直线过()2,1A 时，z 最大，得2215z =⨯+=，故选B. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 53πB. 7πC. 323πD. 13π【答案】C【解析】【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案.【详解】如图所示，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ，因为2CD AD BD =⋅，所以23)31BD BD =⋅⇒=， 所以31222AD BDR ++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D【解析】【分析】 根据程序框图，解方程1003(100)3n n =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3n n =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环.故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.7.若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ）A. //a β且αβ⊥B. a β⊂且αβ⊥C. a b ⊥且//b αD. a β⊥且//αβ 【答案】D【解析】考点：平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件．解答：解：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件，故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A. x <y <zB. x <z <yC. z <x <yD. z <y <x 【答案】C【解析】【分析】令23log log 2(0)z x y k k ，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】令23log log 2(0)zx y k k ，则2,3k k x y ==， 因为0k >，由2,3x x y y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2x y =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z x k k ，所以z x ，综上所述：z x y <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( )A. 3或13B. 0C. 13D. 3【答案】B【解析】【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x ，且||2AB = 点C 到直线AB 的距离231|3|1122|1|k k k k d k +--+++=+ 所以1222|1||1|022|1|k k k k ⋅=⇒-=+⇒=+. 故选：B.【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想运用，考查运算求解能力.10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( ) 2 B. 22 C. 4 D. 8 【答案】A【解析】【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值.【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ， 整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+， 所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+， 圆22222230()42p x y py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p ，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以22262p pk p k +=⇒=故选：A.【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，则A 的值为( )A. 3B. 2 32【答案】C【解析】【分析】 根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=，所以PN 在MN 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==， 所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以3sin(2)332A A π⋅=⇒=故选：C. 【点睛】本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便.12.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点；②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立．其中的真命题为( )A. ②③B. ①④C. ①②D. ③④【答案】D【解析】【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项. 【详解】因为'1(n )si x f x xx a =++， 对③，当0a =时，'1(n )si x f x x =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ；对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x =+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A. 故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效.第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=-a ，(,1)b m m =-，若//a b ，则a b ⋅=_______．【答案】5-【解析】【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积.【详解】因为//a b ，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-，所以(1,2)=-a ，(1,2)b =-，所以145a b ⋅=--=-.故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积的坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题.14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______． 【答案】12【解析】【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-， 所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15.若sin()2(sin 2cos )4αααπ+=+，则sin 2α=_______． 【答案】35【解析】【分析】 由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值. 【详解】因为sin()2(sin 2cos )4αααπ+=+， 所以2222222αααα++，整理得：tan 3α=-， 所以sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______． 【答案】21 【解析】【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2，则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ， 取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+，当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=， 所以PE 的最小值为21.21【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n a n =；（2）21n n + 【解析】【分析】 （1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式； （2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和. 【详解】（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去）， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n = ． （2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+] 122(1)11n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC ，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】【分析】（1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；（2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，23)=n 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =, 因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =， 所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -， 因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--，所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2030y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩， 故可取2(1,0,3)=n ，则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ， 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系.19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos b c a C -=⋅，22c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【答案】（1）4A π=；（2）(5,10) 【解析】【分析】（122cos b c a C -⋅中的边化成角得到2cos 2A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】（122cos b c a C -⋅2sin 2cos B C A C -=， 又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+， 2(sin cos cos sin )sin 2cos A C A C C A C +-=， 2sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以2cos 2A =0A π<<， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=， 根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，， 解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =， 所以22)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+， 因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞， 所以(24)b ∈，.因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+， 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD 的取值范围为(5,10). 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）916π 【解析】【分析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅， 又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+， 所以22121212121||||()42ABF S F F y y y y y y ∆=⋅-=+-⋅ 222223636121(34)34m m m m +=+++， 设211t m =+≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++， 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增， 所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.21.已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值；（2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．【答案】（1）2a =-；（2）e 【解析】【分析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xeax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b =时，21()2ln ax f x x ex ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x+=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=， 得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=， 解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e +=，设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=， 故()h x 的单调递减区间为)e ，单调递增区间为,)e +∞，所以()h x 的最小值为e)eh = 故a 的最小值为e- 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点. （1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||3AB OP ⋅=，求α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=． 【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得： 22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<， 24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，212012120||||||||()4|AB OP ρρρρρρρρ⋅=-⋅+-24(sin cos )4|sin cos |αααα+-⋅+2sin 2|sin cos |3ααα=⋅+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=，又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，212012120||||||||()4|AB OP ρρρρρρρρ⋅=-⋅+-24(sin cos )4|sin cos |αααα+-⋅+2sin 2|sin cos |3ααα=⋅+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以2]t ∈，则21sin 2t α-=， 所以2213t t -=224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b ,求2a b -的取值范围. 【答案】(1)2(2) (,22]2,)-∞-⋃+∞． 【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b 将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b ． 0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b ．当01b <<时，011b <-<， 1222(1)221a b b b ，当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=”； 当32b >时，112b ->， 1122(1)22(1)2211a b b b b b ， 当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=”． 所以2a b -的取值范围是(,22][22,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。
福建省宁德市 2018-2019 学年度第一学期期末高三质量检测数学理科试题(解析版)
宁德市2018-2019学年度第一学期期末高三质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页，满分150.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题计算出B集合,然后结合并集计算方法,即可.【详解】,所以,故选B.【点睛】本题考查了并集计算方法,难度较易.2.若，则的值为（）A. B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】结合复数运算性质,化简,利用待定系数法,计算a,b值，即可。
【详解】,所以,解得或所以,故选C.【点睛】本道题考查了复数四则运算和待定系数法，难度中等。
3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。
【详解】，解得，所以，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。
4.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题不断代换x值，直到不满足条件，退出循环，计算y值，即可。
【详解】，不满足，，直到终止循环，则故选B。
【点睛】本道题考查了程序框图的解读，难度较小。
5.已知点，为不等式组所表示平面区域上的任意一点，则的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】【分析】本道题结合不等式组，绘制可行域，则最小值即为点A到距离，即可。
【详解】结合不等式组，绘制可行域，则的最小值即为点A到距离，利用点到直线距离公式，故选B。
【点睛】本道题考查了线性规划问题，难度中等。
6.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合左加右减，计算的解析式，结合余弦函数的性质，计算对称轴，即可。
2018-2019学年福建省宁德市高三(上)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年福建省宁德市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|x＞﹣1}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x≥1}2．（5分）若（1+ai）（b+i）＝5i（a，b∈R），则a+b的值为（）A．B．C．±4D．43．（5分）等差数列{a n}中，a4＝9，a7＝15，则数列{（﹣1）n a n}的前20项和等于（）A．﹣10B．﹣20C．10D．204．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝10，则输出y的值是（）A．B．C．D．5．（5分）已知点A（2，1），B为不等式组所表示平面区域上的任意一点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．1D．6．（5分）将函数的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．x＝2πD．7．（5分）若，b＝3log83，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b8．（5分）已知正六棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为（）A．16πB．36πC．48πD．64π9．（5分）已知F是双曲线E：的右焦点，直线与双曲线交于M，N两点，且∠MFN＝90°，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．2D．10．（5分）若四面体的三视图如图所示，则以下判断中，正确的是（）A．该四面体的所有对棱都互相垂直B．该四面体恰有三个面是直角三角形C．该四面体中，棱与面互相垂直的恰有两对D．该四面体中，面与面互相垂直的恰有四对11．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：137可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9个数字表示三位数的个数为（）A．10B．20C．36D．3812．（5分）若函数存在三个极值点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）过圆C：x2+y2+2x﹣1＝0的圆心，且斜率为1的直线方程为．14．（5分）边长为6的正三角形ABC中，点E满足，则的值为．15．（5分）如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔AB，CD与桥面AC垂直，且AB＝1米，CD＝2米，AC＝7米．P为AC上的一点，则当角∠BPD达到最大时，AP 的长度为米．16．（5分）已知函数，g（x）＝|x﹣t|，t∈（0，+∞）．若h（x）＝min{f（x），g（x）}在[﹣1，3]上的最大值为2，则t的值为．三、解答题：本大题共5小题，满分0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3a n﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log3a2n﹣1，数列的前n项和为T n，求证：．18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，．（Ⅰ）若，求△ABC的面积；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，现将△ADC沿AC翻折成直二面角P﹣AC﹣B．（Ⅰ）证明：CB⊥P A；（Ⅱ）若异面直线PC与AB所成角的余弦值为，求二面角B﹣P A﹣C余弦值的大小．20．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）与椭圆C：有相同的焦点F，且两曲线相交于点，过F作斜率为k（k≠0）的动直线l，交椭圆C于M，N两点．（Ⅰ）求抛物线E和椭圆C的方程；（Ⅱ）若A为椭圆C的左顶点，直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：为定值，并求出该定值．21．已知函数f（x）＝（ax2﹣2ax﹣1）e x（a∈R）．（Ⅰ）当a≤0，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为0，求a的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+a|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥3a﹣1对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年福建省宁德市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵B＝{x|﹣1＜x＜3}；∴A∪B＝{x|x＞﹣1}．故选：B．2．【解答】解：∵（1+ai）（b+i）＝b﹣a+（1+ab）i＝5i，∴，解得或．则a+b的值为±4．故选：C．3．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，a4＝9，a7＝15，可得a1+3d＝9，a1+6d＝15，解得a1＝3，d＝2，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，数列{（﹣1）n a n}的前20项和为﹣3+5﹣7+9﹣11+13+…﹣39+41＝2+2+…+2＝2×10＝20．故选：D．4．【解答】解：若x＝10，则x＞5成立，x＝10﹣2＝8，x＞5成立，则x＝8﹣2＝6，x＞5成立，则x＝6﹣2＝4，x＞5不成立，则y＝cos＝﹣cos＝﹣，故选：B．5．【解答】解：不等式组的可行域如图：则|AB|的最小值为A到直线x﹣y＝0的距离：＝．故选：B．6．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象则g（x）＝sin[（x﹣）﹣]＝sin（x﹣﹣）＝sin（x）＝﹣cos x，由x＝kπ，得x＝2kπ，k∈Z，当k＝1时，函数的对称轴为x＝2π，故选：C．7．【解答】解：∵＝，b＝3log 83＝log23＞＝，＜（）0＝1，∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．故选：D．8．【解答】解：如图是正六棱锥的六分之一，PM为高，O为外接球球心，V球＝＝，得＝，得SM＝3，设OS＝OA＝R，在直角三角形OMA中，（3﹣R）2+3＝R2，解得R＝2，∴S球＝4πR2＝16π．故选：A．9．【解答】解：设右焦点F（c，0），将直线方程y＝b代入双曲线方程可得x＝±2a，可得M（﹣2a，b），N（2a，b），由∠MFN＝90°，可得k MF•k NF＝﹣1，即有•＝﹣1，化简为﹣4a2+c2+3b2＝0，结合c2＝a2+b2，即有4c2＝7a2，则e＝＝．故选：A．10．【解答】解：根据三视图知，该四面体是如图所示的三棱锥；在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，BC⊥侧面P AB，C选项正确；其中PB与AC不垂直，A选项错误；四个面都是直角三角形，B选项错误；面与面互相垂直的有三对，分别是平面P AC⊥平面ABC，平面P AB⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC，D选项错误．故选：C．11．【解答】解：6根算筹可能分1，2，3，或者1，1，4，或2，2，2，2根算筹可以表示3或6，两种结果，3根算筹可以表示3或3，两种结果，4根算筹可以表示4或8，两种结果，若分1，2，3，则表示的三位数为1×2×2A＝4×3×2＝24种三位数，若分1，1，4，则表示的三位数为2×C＝2×3＝6，若分2，2，2，则表示的三位数为2×2×2＝8，则表示的三位数共有24+6+8＝38种，故选：D．12．【解答】解：若函数存在三个极值点，即f′（x）＝lnx+﹣ax﹣1＝0有3个根，即g（x）＝a（x2﹣1）﹣xlnx＝0有3个根，而g′（x）＝2ax﹣（lnx+1），若g（x）有3个根，表示g（x）存在极值，极大值大于0，极小值小于0，故g′（x）＝0有2个根，构造函数h（x）＝2ax，m（x）＝lnx+1，若这2个函数的图象有2个交点，则h（x）介于m（x）＝lnx+1的切线和x轴之间，设切点是（x0，lnx0+1），则k＝＝2a，故x0＝，lnx0+1＝﹣ln2a+1，将（，﹣ln2a+1）代入h（x）得：﹣ln2a+1＝1，解得：a＝，故0＜a＜，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣1＝0化为（x+1）2+y2＝2，则圆心为（﹣1，0），∴经过圆心（﹣1，0）且斜率为1的直线方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．14．【解答】解：∵，∴，∴＝（）＝（）＝＝6×6cos60°+＝18+12＝30，故答案为：30．15．【解答】解：设AP＝x（0＜x＜7），则tan∠APB＝，tan∠CPD＝，∴tan∠BPD＝﹣tan（∠APB+∠CPD）＝﹣＝，令t＝x+7∈（7，14），则x＝t﹣7，∴tan∠BPD＝＝≤＝﹣1，当且仅当t＝10时“＝”成立；∴x＝3，即AP＝3米时，∠BPD最大，最大值为135°．故答案为：3．16．【解答】解：令k（x）＝sin x，m（x）＝x2﹣2x﹣2，可知k（x）的周期t＝＝4，故关于x＝1对称，而m（x）也关于x＝1对称，故f（x）关于x＝1对称，在[﹣1，1]上，k（x）递增，而m（x）递减，﹣m（x）递增，故f（x）＝k（x）﹣m（x）递增，在（1，3）上，k（x）递增，﹣m（x）递增，故f（x）＝k（x）﹣m（x）递减，当x＝0时，f（x）＝2，故点（0，2）在f（x）上，而h（x）＝min{f（x），g（x）}＝2，故点（0，2）是f（x），g（x）的交点，故（0，2）也在g（x）＝|x﹣t|上，故代入g（x）的解析式中，得|0﹣t|＝2，而t＞0，故t＝2，故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，满分0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（Ⅰ）2S n＝3a n﹣3，可得2a1＝2S1＝3a1﹣3，解得a1＝3，n≥2时，2S n﹣1＝3a n﹣1﹣3，相减可得2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝3a n﹣3﹣3a n﹣1+3，化为a n＝3a n﹣1，可得a n＝3•3n﹣1＝3n；（Ⅱ）证明：b n＝log3a2n﹣1＝log332n﹣1＝2n﹣1，可得＝＝（﹣），即有的前n项和为T n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝﹣，由{T n}为递增数列，可得T n≥T1＝，且T n＜，可得．18．【解答】解：（Ⅰ）∵＝2a＝，∴2c2﹣bc＝a2+c2﹣b2，即b2+c2﹣a2＝bc，则cos A＝＝＝，则A＝，若，a＝，则b2+3﹣7＝3b，得b2﹣3b﹣4＝0，得b＝4或b＝﹣1（舍），则△ABC的面积S△ABC＝bc sin A＝＝．（Ⅱ）∵a＝，A＝，∴由正弦定理得＝＝2得，b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（﹣﹣B），则＝×2sin B﹣2sin（﹣﹣B）＝2sin B﹣2[cos B+sin B]＝sin B﹣cos B＝2sin（B﹣），∵△ABC是锐角三角形，∴得＜B＜，则＜B﹣＜，∴＜sin（B﹣）＜，即＜2sin（B﹣）＜，即的取值范围是（，）．19．【解答】证明：（Ⅰ）梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，取AB中点E，连结DE，交AC于F，则AD＝AE＝BE＝DC＝2，∠ACD＝∠DAC＝∠BAC，∴AC⊥DE，∴AC⊥BC，将△ADC沿AC翻折成直二面角P﹣AC﹣B，则P A＝PC＝2，取AC中点O，连结PO，则PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC，又AC⊥BC，PO∩AC＝O，∴BC⊥平面P AC，∵P A⊂平面P AC，∴BC⊥P A．解：（Ⅱ）取AB中点M，连结OM，以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设OC＝a，则OM＝OP＝，P（0，0，），C（a，0，0），A（﹣a，0，0），B（a，2，0），＝（a，0，﹣），＝（2a，2，0），∵异面直线PC与AB所成角的余弦值为，∴|cos＜，＞|＝＝＝＝，解得a＝1，或a＝﹣1（舍），∴P（0，0，），A（﹣1，0，0），B（1，2，0），＝（﹣1，0，﹣），＝（1，2，﹣），设平面P AB的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（﹣，，1），平面P AC的法向量＝（0，1，0），设二面角B﹣P A﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角B﹣P A﹣C余弦值为．20．【解答】解：（Ⅰ）两曲线相交于点，可得＝2p•，即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；由两曲线有相同的焦点F（1，0），由椭圆的定义可得2a＝+＝4，即有a＝2，b＝＝＝，则椭圆方程为+＝1；（Ⅱ）证明：由题意可得A（﹣2，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立椭圆方程可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，可得x1+x2＝，x1x2＝，再由＝k（+）＝+＝＝＝4．可得为定值4．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（a2﹣2a﹣l）e x，当a＝0时，f′（x）＝﹣e x＜0恒成立，函数f（x）在R上单调递减；当a＜0时，令f′（x）＝f’（0）得：，若，则由f′（x）＞0得，由f′（x）＜0得，或，函数f（x）单调递增区间是，单调递减区间是和．若，则f′（x）≤0恒成立，∴函数f（x）在R上单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当或a＝0时，函数f（x）单调递减区间为（﹣∞，+∞），故不存在最大值．当时，当x≤0时，ax2﹣2ax﹣1＜0，最大值不为0．由f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴，解得a＝﹣1．当a＞0时，，ax2﹣2ax﹣1＞0，此时f（x）＞0，即a＞0时的最大值不为0．综上，a＝﹣1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为．所以：，曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2＝4．转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，线l交曲线C1于O，A两点，则：，解得：A（2，），直线和曲线C2于O，B两点则：，解得：B（4，），所以：|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝1．23．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x﹣2|+|x+a|，当a＝1时，不等式f（x）≥4可化为|x﹣2|+|x+1|≥4，x≤﹣1时，不等式化为﹣（x﹣2）﹣（x+1）≥4，解得x≤﹣；﹣1＜x＜2时，不等式化为（x﹣2）﹣（x+1）≥4，解得x∈∅；x≥2时，不等式化为（x﹣2）+（x+1）≥4，解得x≥；综上，不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥}；（Ⅱ）函数f（x）＝|x﹣2|+|x+a|≥|（x﹣2）﹣（x+a）|＝|a+2|，若不等式f（x）≥3a﹣1对∀x∈R恒成立，则|a+2|≥3a﹣1，当3a﹣1≤0时，解得a≤；当a＞时，去掉绝对值得a+2≥3a﹣1，或a+2≤﹣3a+1，解得a≤或a≤﹣，则应取＜a≤；综上所述，实数a的取值范围是a≤．。
福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次综合质量检查理科数学(理)试题
【解析】
【分析】
根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案.
【详解】
如图所示，连接 交 于 ，设球的半径为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
6．D
【解析】
【分析】
根据程序框图，解方程 得 ，即可得到答案.
（1）求点 轨迹的极坐标方程；
（2）若 ，求 的值.
22．已知 在R上恒成立.
（1）求 的最大值 ；
（2）若 均为正数，且 ,求 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．
【详解】
复数 ＝2i+ ＝2i+1﹣i＝1+i,
则|z|＝ ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）问： 的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．
20．已知函数 ．
（1）若 ，曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值；
（2）若 ，且函数 的值域为 ，求 的最小值．
21．在平面直角坐标系 中，圆 ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，直线 的极坐标方程为 ，直线 交圆 于 两点， 为 中点.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
17．如图，矩形 平面 ， ， ，且 ， 分别为 ， 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的大小．
18． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ．
2017-2018学年福建省宁德市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年福建省宁德市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x≤3}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．[0，3]B．（0，3]C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）2．（5分）已知复数z1对应复平面上的点（﹣1，1），复数z2满足z1z2=﹣2，则|z2+2i|=（）A．B．2 C． D．103．（5分）若tan（﹣α）=﹣，则c os2α=（）A．B．﹣ C．﹣ D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a的值为（）A．10 B．lg99 C．2 D．lg1015．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=x﹣2y的最小值大于﹣5，则m的取值范围为（）A．B．C．[﹣3，2）D．（﹣∞，2）6．（5分）福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有（）A．15种B．18种C．20种D．22种7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知a=log0.62，b=log20.6，c=0.62，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b9．（5分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F点且倾斜角为的直线l 与抛物线相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点，则该抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=16x10．（5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（）A．58 B．59 C．60 D．6111．（5分）函数f（x）=asinωx+bcosωx（a，b∈R，ω＞0），满足，且对任意x∈R，都有，则以下结论正确的是（）A．f（x）max=|a|B．f（﹣x）=f（x） C．D．ω=312．（5分）设函数f（x）=ae x﹣1﹣1﹣e x ln（x+1）存在零点x0，且x0＞1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1+eln2）B．（﹣eln2，+∞）C．（﹣∞，﹣eln2）D．（1+eln2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，|+2|=2，则||=．14．（5分）若双曲线C的右焦点F关于其中一条渐近线的对称点P落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率e=．15．（5分）若正三棱台ABC﹣A'B'C'的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为．16．（5分）设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a＞b≥1，f（a）=f（b），则对任意的实数c，（a﹣c）2+（b+c）2的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的前n和为S n，若a n＞0，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=6，，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得．（Ⅰ）求证：当时，D'F⊥BC；（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为．19．（12分）如图，岛A、C相距海里．上午9点整有一客轮在岛C的北偏西40°且距岛C10海里的D处，沿直线方向匀速开往岛A，在岛A停留10分钟后前往B市．上午9：30测得客轮位于岛C的北偏西70°且距岛C海里的E 处，此时小张从岛C乘坐速度为V海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市．（Ⅰ）若V∈（0，30]，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得，．已知速度为V海里/小时（V∈（0，30]）的小艇每小时的总费用为（）元，若小张由岛C直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2．过且斜率为k的直线l与椭圆C相交于点M，N．当k=0时，四边形MNF1F2恰在以MF1为直径，面积为的圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）有最大值，g（x）=x2﹣2x+f（x），且g'（x）是g（x）的导数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：当x1＜x2，g（x1）+g（x2）+3=0时，．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，M为曲线C1上异于极点的动点，点P在射线OM上，且成等比数列．（Ⅰ）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知A（0，3），B是曲线C2上的一点且横坐标为2，直线AB与C1交于D，E两点，试求||AD|﹣|AE||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=x2+a（a∈R），g（x）=|x+1|+|x﹣2|（Ⅰ）若a=﹣4，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（Ⅱ）若x∈[0，3]时，f（x）＞g（x）的解集为空集，求a的取值范围．2017-2018学年福建省宁德市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：A={x|x2﹣2x≤3}={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x≤3}，故选：B．2．【解答】解：由题意可得，z1=﹣1+i，则由z1z2=﹣2，得=1+i，∴|z2+2i|=|1+3i|=．故选：C．3．【解答】解：∵tan（﹣α）==﹣，解得：tanα=2，∴cos2α====﹣．故选：B．4．【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a=lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）的值，a=lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg2+lg+lg+…+lg=lg2+lg3﹣lg2+lg4﹣lg3+…+lg101﹣lg100=lg101．故选：D．5．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣2y 的最小值大于﹣5，可知目标函数经过可行域A时，截距最大，目标函数取得最小值，解得B（﹣1，﹣3），由可得A（﹣1，m），所以m≥﹣3．并且：﹣1﹣2m＞﹣5，解得m＜2，所以m的取值范围为：[﹣3，2）．故选：C．6．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、A，B在一组，C，D，E，F都分在另一组，将两组全排列，对应两个校区即可，有A22=2种分配方法；②、C，D，E，F中取出1人，与A、B一组，剩下3人一组，再将两组全排列，对应两个校区，有C41×A22=8种分配方法；③、C，D，E，F中取出2人，与A、B一组，剩下2人一组，再将两组全排列，对应两个校区，有C42×A22=12种分配方法；故一共有2+8+12=22种分配方法；故选：D．7．【解答】解：由三视图得该几何体是一个半圆锥P﹣ABOD和一个三棱锥P﹣BCD 的组合体，其中半圆的底面半径r=1，高PO=，母线长l=2，三棱锥P﹣BCD中，高PO=，BD⊥BC，PB⊥BC，BC=BD=2=PB=PD=2，DC=PC=2，如图，∴PC=CD==2，∴该几何体的表面积：S=S半圆锥表面积+S△BDC+S△PBC+S△PCD=++=++=．故选：A．8．【解答】解：a=log0.62=﹣1，又ab=×=1．∴b=log20.6∈（﹣1，0），c=0.62＞0，则c＞b＞a．故选：C．9．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F点且倾斜角为的直线l 与抛物线相交于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，以AB为直径的圆过点，可知AB的中的纵坐标为：2，直线l的方程为：y=x﹣，则，可得y2﹣2py﹣p2=0，则AB中的纵坐标为：=2，解得p=2，该抛物线的方程为：y2=4x．故选：B．10．【解答】解：大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家，当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有：33+25+20﹣（8+6+5）+1=60．故选：C．11．【解答】解：函数f（x）满足，∴f（x）关于点（﹣，0）对称，且对任意x∈R，都有，∴x=﹣是f（x）的对称轴，利用﹣f（0）=asin0+bcos0=b=f（﹣）=0，∴b=0，f（x）=asinωx，A正确；∴f（x）是定义域R上的奇函数，B错误；可得a≠0，b=0，a≠b，C错误；由题意，ω=6k+3，k∈Z，∴D错误；综上，正确的结论是A．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）=ae x﹣1﹣1﹣e x ln（x+1），令f（x）=0，可得a=e1﹣x+eln（x+1），设g（x）=e1﹣x+eln（x+1），x＞1，则g′（x）=﹣e1﹣x+=e•，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，当x＞1时，e x﹣1＞e﹣1＞0，则函数y=e x﹣x﹣1递增，可得y=e x﹣x﹣1＞0，则g（x）在（1，+∞）递增，可得g（x）＞g（1）=1+eln2，则a＞1+eln2，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【解答】解：根据题意，设||=t，若向量，的夹角为60°，则•=2tcos60°=t，又由|+2|=2，则有（+2）2=2+4•+42=4+4t+4t2=28，即t2+t﹣6=0，解可得t=2或t=﹣3（舍）；故t=2，即||=2；故答案为：214．【解答】解：双曲线C：﹣=1的左焦点为F（﹣c，0），渐近线方程为y=±x，设F关于y=x的对称点为（m，﹣m），由题意可得=﹣，（*）且（0﹣m）=•（m﹣c），可得m=c，代入（*）可得b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，则离心率e==2．故答案为：2．15．【解答】解：∵正三棱台ABC﹣A'B'C'的上、下底面边长分别为和，高为1，取△A1B1C1的重心E1，取△ABC的重心E，则EE1=1是正三棱台ABC﹣A'B'C'的高，AE==2，A1E1==1，则球心O在E1E的延长线上，半径R=OA=OA1，即=，解得OE=1，∴R==，∴该正三棱台的外接球的表面积S=4πR2=4π×5=20π．故答案为：20π．16．【解答】解：根据题意，函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|=，其图象如图：（a﹣c）2+（b+c）2=（a2﹣2ac+c2）+（c2+2bc+c2）=2c2+2（b﹣a）c+（a2+b2），c为任意的实数，令t=2c2+2（b﹣a）c+（a2+b2），看成是以c为自变量的二次函数，其最小值为t（）=2（）2﹣2（a﹣b）（）+（a2+b2）=，分析可得：a+b≥2（+1），则有t的最小值为=6+4；故答案为：6+4．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．【解答】解法一：（Ⅰ）∵，∴．…（1分）当n=1时，，得a1=1．…（2分）当n≥2时，，∴，…（3分）∴，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）=2（a n+a n﹣1），∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．…（4分）∴数列{a n}是等差数列，且首项为a1=1，公差为2，…（5分）∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，∴，﹣﹣①…（7分），﹣﹣②…（8分）①﹣②得…（9分）=，…（10分）化简得．…（12分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，设，∴解得，∴，…（9分）∴T n=b1+b2+…+b n==．…（12分）18．【解答】满分（12分）．（Ⅰ）证明：连结DF，BF．在矩形ABCD中，，∴，∠DAC=60°．…（1分）在△ADF中，∵，∴DF2=DA2+AF2﹣2DA•AF•cos∠DAC=9，．…（2分）∵DF2+AF2=9+3=DA2，∴DF⊥AC，即D'F⊥AC．…（3分）又在△ABF中，BF2=AB2+AF2﹣2AB•AF•cos∠CAB=21，…（4分）∴在△D'FB中，，∴BF⊥D'F，…（5分）又∵AC∩FB=F，∴D'F⊥平面ABC．∴D'F⊥BC．…（6分）（Ⅱ）解：在矩形ABCD中，过D作DE⊥AC于O，并延长交AB于E．沿着对角线AC翻折后，由（Ⅰ）可知，OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），E（1，0，0），， (7)）k AB=﹣1平面AD'F，∴为平面AD'F的一个法向量．…（8分）设平面BD'F的法向量为=（x，y，z），∵F（0，t，0），∴，由得取y=3，则，∴．…（10分）∴，即，∴．∴当时，二面角A﹣D'F﹣B的大小是．…（12分）19．【解答】满分（12分）．解：（Ⅰ）如图，根据题意得：CD=10，，，∠DCE=70°﹣400=300．在△CDE中，由余弦定理得，==10，…（2分）所以客轮的航行速度V1=10×2=20（海里/小时）．…（3分）因为CD=DE，所以∠DEC=∠DCE=30°，所以∠AEC=180°﹣300=1500．在△ACE中，由余弦定理得，AC2=AE2+CE2﹣2AE•CE•cos∠AEC，整理得：AE2+30AE﹣400=0，解得AE=10或AE=﹣40（不合舍去）．…（5分）所以客轮从E处到岛A所用的时间小时，小张到岛A所用的时间至少为小时．由于，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，，，所以∠ACB为锐角，，．…（7分）所以sinB=sin[1800﹣（∠BAC+∠ACB）]=sin（∠BAC+∠ACB）=sin∠BACcos∠ACB+cos∠BACsin∠ACB==．…（8分）由正弦定理得，，所以，…（9分）所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为（V∈（0，30]），…（10分）当且仅当，即V=10时，（元）…（11分）所以若小张由岛C直接乘小艇去B市，其费用至少需元．…（12分）．20．【解答】满分（12分）．解：（Ⅰ）当k=0时，直线l∥x轴，又四边形MNF1F2恰在以MF1为直径，面积为的圆上，∴四边形MNF1F2为矩形，且．…（1分）∴点M的坐标为．…（2分）又，∴．…（3分）设，则c=k．在Rt△MF1F2中，，|F1F2|=2k，∴，∴k=1．∴，…（5分）∴椭圆C的方程为．…（6分）（Ⅱ）将与椭圆方程联立得（3+4k2）x2+12kx﹣3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），得，．…（7分）故=．…（9分）又，…（10分）∴，即，解得，∴直线l的方程为．…（12分）21．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．…（1分）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，∞）上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；…（2分）当a＜0时，令f'（x）=0，得，当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，…（3分）∴，∴，…（4分）∴．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，∴．∵，∴g'（x）≥0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）又∵x1＜x2，g（x1）+g（x2）=﹣3且，∴0＜x1＜1＜x2．…（7分）∵，∴当x＞1时，g''（x）＞0，g'（x）单调递增，要证，即g'（x1+x2）＞g'（2），只要证x1+x2＞2，即x2＞2﹣x1．…（8分）∵x1＜1，∴2﹣x1＞1，所以只要证g（2﹣x1）＜g（x2）=﹣3﹣g（x1）⇔g（x1）+g（2﹣x1）＜﹣3﹣﹣﹣﹣（*），…（9分）设G（x）=g（x）+g（2﹣x）=x2﹣2x﹣2+lnx+ln（2﹣x）（其中0＜x＜1），∴==，∴G（x）在（0，1）上为增函数，…（11分）∴G（x）＜G（1）=﹣3，故（*）式成立，从而．…（12分）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）设P（ρ，θ），M（ρ1，θ），则由成等比数列，可得|OP|•|OM|=20，…（1分）即ρ•ρ1=20，．…（2分）又M（ρ1，θ）满足ρ1=4sinθ，即，…（3分）∴ρsinθ=5，…（4分）化为直角坐标方程为y=5．∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为y=5．…（5分）（Ⅱ）依题意可得B（2，5），故k AB=1，即直线AB倾斜角为，…（6分）∴直线AB的参数方程为…（7分）代入圆的直角坐标方程x2+（y﹣2）2=4，得，…（8分）故，t1t2=﹣3＜0，…（9分）∴．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣4时，f（x）≥g（x）化为x2﹣4≥|x+1|+|x﹣2|，…（1分）当x≤﹣1，不等式化为x2+2x﹣5≥0，解得或，故；…（2分）当﹣1＜x＜2时，不等式化为x2≥7，解得或，故x∈∅；…（3分）当x≥2，不等式化为x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3故x≥3；…（4分）所以f（x）≤x解集为或x≥3}．…（5分）（Ⅱ）由题意可知，即为x∈[0，3]时，f（x）≤g（x）恒成立．…（6分）当0≤x≤2时，x2+a≤3，得a≤（3﹣x2）min=﹣1；…（8分）当2≤x≤3时，x2+a≤2x﹣1，得a≤（﹣x2+2x﹣1）min=﹣4，综上，a≤﹣4．…（10分）。
福建省宁德市高三上学期期末数学试卷(理科)
福建省宁德市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（CUM）∩N=（）A . {2}B . {3}C . {2，3，4}D . {0，1，2，3，4}2. （2分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A . 2B . 4C . 5D . 203. （2分） (2017高二上·宜昌期末) 如图，给出的是计算 + + +…+ 的值的程序框图，其中判断框内可填入的是（）A . i≤2 021？B . i≤2 019？C . i≤2 017？D . i≤2 015？4. （2分）设，则“ ”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于占E，则（）A . AD•AB=CD2B . CE•CB=AD•ABC . CE•CB=AD•DBD . CE•EB=CD26. （2分） (2016高二上·吉林期中) 设双曲线C： =1（a＞0，b＞0）左，右焦点为F1 ， F2 ， P 是双曲线C上的一点，PF1与x轴垂直，△PF1F2的内切圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则双曲线方程为（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数f（x）= +2x，则f（x）的最小值是（）A .B . ﹣2C .D . 08. （2分） (2019高三上·禅城月考) 方程的根所在的一个区间是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共7分)9. （1分） i+i2+i3+ ... +i2016=________.10. （2分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为________②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是________11. （1分）(2014·湖北理) 已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为________．12. （1分） (2017·长宁模拟) （x2﹣）8的二项展开式中x7项的系数为________．13. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 在直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣1，0）和C（1，0），顶点B在椭圆上，则的值是________．14. （1分）已知向量 =（5，0）， =（﹣2，1），⊥ ，且 =t + （t∈R），t=________三、解答题 (共6题；共60分)15. （10分）已知函数f（x）=2sin2（ +x）﹣ cos2x﹣1，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）设p：x∈[ ， ]，q：|f（x）﹣m|＜3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．16. （10分）(2020·内江模拟) 某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.附：（其中）（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为，求的分布列与数学期望.17. （5分）(2017·芜湖模拟) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四边形ABEF 是正方形．将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2．（I）求证：AC⊥BM；（Ⅱ）求平面CE1M与平面ABE1F1所成锐二面角的余弦值．18. （15分）(2018·全国Ⅰ卷文) 已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=（1）求b1,b2,b3（2）判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;（3）求{an}的通项公式19. （10分） (2016高二上·黄石期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+ 与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．20. （10分） (2019高三上·鹤岗月考) 已知函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明： .参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、。
福建省宁德市高三上学期期末数学试卷(理科)
福建省宁德市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）=（）A .B . -C .D . -2. （2分） (2018高三上·昭通期末) 己知某几何体的三视图如下图所示，正视图和侧视图均为边长为4的正三角形中含有一个边长为2的小正三角形，俯视图为两个同心圆，则该几何体的体积为（）A . 9B .C .D . 133. （2分） (2017高二下·遵义期末) 已知随机变量x服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6828，则P（x＞4）=（）A . 0.1585B . 0.1586C . 0.1587D . 0.15884. （2分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1 ， B1C1的中点，O是AC与BD的交点，面OEF 与面BCC1B1相交于m，面OD1E与面BCC1B1相交于n，则直线m，n的夹角为（）A . 0B .C .D .5. （2分） (2016高二下·曲靖期末) 如图的程序框图表示求式子1×3×7×15×31×63的值，则判断框内可以填的条件为（）A . i≤31？B . i≤63？C . i≥63？D . i≤127？6. （2分）函数，那么在区间[-5,5]中任取一个值x0 ，使的概率为（）A . 0.1B .C . 0.3D . 0.47. （2分）(2017·武邑模拟) （﹣）12的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（）A . 1B . 3C . 2D . 48. （2分） (2017高二下·新余期末) 已知点A（3，0），B（﹣3，0），|AC|﹣|BC|=4，则点C轨迹方程是（）A . ﹣ =1（x＜0）B . ﹣ =1C . ﹣ =1（x＞0）D . ﹣ =0（x＜0）9. （2分）(2017·银川模拟) 已知函数f（x）对任意的x∈R，都有f（﹣x）+f（x）=﹣6，且当x≥0时，f（x）=2x﹣4，定义在R上的函数g（x）=a（x﹣a）（x+a+1），两函数同时满足：∀x∈R，都有f（x）＜0或g（x）＜0；∃x∈（﹣∞，﹣1），f（x）•g（x）＜0，则实数a的取值范围为（）A . （﹣3，0）B .C . （﹣3，﹣1）D . （﹣3，﹣1]10. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 函数y=2x+1﹣2x2的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）将 A,B ,C,D,E排成一排，要求在排列中，顺序为“ ABC ”或“ CAB ”（可以不相邻），这样的排法有________种.12. （1分） (2017高二下·河南期中) 函数y=x+ 的取值范围为________．13. （1分） (2018高二上·佛山期末) 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上点作的垂线，垂足为 .设，与相交于点 .若，则的值为________．14. （1分） (2016高二上·阳东期中) 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1（n∈N*），则它的通项公式是________．15. （1分） (2016高二下·右玉期中) 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．（用数字作答）．三、解答题 (共8题；共75分)16. （10分） (2016高一下·广州期中) 已知锐角△ABC的面积等于3 ，且AB=3，AC=4．（1）求sin（ +A）的值；（2）求cos（A﹣B）的值．17. （10分）(2012·广东) 某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18. （10分）(2016·福建模拟) 已知F1 ， F2分别是椭圆C： =1（a＞b＞0）的两个焦点，P（1，）是椭圆上一点，且 |PF1|，|F1F2|， |PF2|成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F2，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得 =﹣恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19. （15分） (2016高一下·定州期末) 如图，正方形ABCD的边长为2 ，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，且FO⊥平面ABCD，FO= ．（1）求BF与平面ABCD所成的角的正切值；（2）求三棱锥O﹣ADE的体积；（3）求证：平面AEF⊥平面BCF．20. （10分）(2017·大理模拟) 已知函数，（e为自然对数的底数，a，b∈R），若f（x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线．（1）求a，b的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数，若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．21. （5分）(2017·泰州模拟) 已知矩阵A= ，若矩阵Z满足A﹣1Z= ，试求矩阵Z．22. （5分） (2017高二下·广安期末) 已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p ＞0），曲线C1、C2交于A、B两点．（Ⅰ）若p=2且定点P（0，﹣4），求|PA|+|PB|的值；（Ⅱ）若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求p的值．23. （10分） (2018高三上·吉林月考) 设函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上无解，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共8题；共75分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、。
福建省宁德市2022届高三数学上学期第一次质量检查(期末考试)试题 理(含解析)
福建省宁德市2022届高三数学上学期第一次质量检查（期末考试）试题 理（含解析）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷3至5页，满分150． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ． 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】复数2z 2i 1i =++＝2i+()()()21i 1i 1i -+-＝2i+1﹣i ＝1+i,则|z|故选C ．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题． 2.设集合201x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B =( )A. {}21x x -≤<- B. {}11x x -<≤C. {}21x x -≤<D. {}11x x -≤<【答案】A【解析】 【分析】对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案. 【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-，所以{}21A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力. 3.已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A. 14±B.14C. 116±D.116【答案】A【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-， 解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±. 故选：A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.4.若,x y 满足111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（）A. 2B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】画出x，y满足约束条件111yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11yy x=⎧⎨=-⎩，解得()2,1A，由2z x y=+可知直线过()2,1A时，z最大，得2215z=⨯+=，故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 53πB. 7πC.323πD. 13π【答案】C【解析】【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案. 【详解】如图所示，连接AB交CD于D，设球的半径为R，因为2CD AD BD=⋅，所以2(3)31BD BD=⋅⇒=，所以31222AD BDR++===，所以34123233333Vπππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n= ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，解方程1003(100)3nn =+-得75n =，即可得到答案.【详解】根据程序框图，当1003(100)3nn =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环. 故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题. 7.若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ） A. //a β且αβ⊥ B. a β⊂且αβ⊥C. a b ⊥且//b αD. a β⊥且//αβ【答案】D 【解析】考点：平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：计算题．分析：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件．解答：解：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α， 反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件， 故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y，则x ，y ，z 的大小关系是( )A. x <y <zB. x <z <yC. z <x <yD. z <y <x【答案】C 【解析】 【分析】 令23log log 2(0)zxyk k，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】令23log log 2(0)zx yk k，则2,3k k x y ==，因为0k >，由2,3xxy y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2xy =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z xk k ，所以z x ，综上所述：z x y <<. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( ) A. 3或13B. 0C.13D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x，且||AB =点C 到直线AB的距离231|3|k k d +--+所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=. 故选：B.【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想运用，考查运算求解能力.10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( )B. C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值.【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ，整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+，所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+，圆22222230()42p x y py p x y p +--=⇒+-=，圆心为(0,)2p，半径为p ，因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以2226p pk p k +=⇒=故选：A.【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，则A 的值为( )A. 3B. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=，所以PN 在MN 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==， 所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以3sin(2)32A A π⋅=⇒=故选：C.【点睛】本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便. 12.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增； ④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立． 其中的真命题为( ) A. ②③ B. ①④ C. ①② D. ③④【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项. 【详解】因为'1(n )si x f x xx a =++，对③，当0a =时，'1(n )si x f xx =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ； 对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x=+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A.故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效. 第II 卷 注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=-a ，(,1)b m m =-，若//a b ，则a b ⋅=_______． 【答案】5- 【解析】【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积. 【详解】因为//a b ，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-， 所以(1,2)=-a ，(1,2)b =-，所以145a b ⋅=--=-. 故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题.14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______．【答案】12【解析】 【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-，所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-，所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15.若sin()2cos )4αααπ++，则sin 2α=_______．【答案】35【解析】 【分析】由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值.【详解】因为sin()2cos )4αααπ+=+，αααα+，整理得：tan 3α=-，所以3sin ,101cos ,10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3sin ,101cos ,10αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-.故答案为：35【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______． 【答案】21 【解析】 【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2，则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ，取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+， 当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ，对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=，所以PE 的最小值为21.21【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n a n =；（2）21nn + 【解析】 【分析】（1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式； （2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和.详解】（1）由2112122(2)n n n n n n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去），∴2111122a a -=-=，∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，所以12n a n = ．（2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n==-++⋅，所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+] 122(1)11nn n =-=++．【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解能力. 18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π【解析】 【分析】（1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，2(1,0,3)=n 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点， 所以1//,2FN CD FN CD =, 因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点， 所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =， 所以四边形AMNF 为平行四边形， 所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ， 所以//MN 平面AED ．（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -， 则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -， 因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量， 设2(,,)n x y z =为平面AED 法向量， 因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--，所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2030y x y z =⎧⎪--=，故可取2(1,0,3)=n ， 则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系.19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos b c a C -⋅，22c = （1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【答案】（1）4A π=；（2）(5,10)【解析】 【分析】（122cos b c a C -=⋅中的边化成角得到2cos A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】（122cos b c a C -=⋅2sin 2cos B C A C -=，又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，2(sin cos cos sin )sin 2cos A C A C C A C +-，2sin sin 0A C C -=， 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以2cos A =0A π<<， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=，根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<.在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c bC B=， 所以22)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Cπ++===+，因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞，所以(24)b ∈，. 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+， 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD 的取值范围为(5,10). 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）916π 【解析】【分析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程； （2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值. 【详解】（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =， ∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=，设1t =≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++，设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用. 21.已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值； （2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值． 【答案】（1）2a =-；（2）-【解析】 【分析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案； （2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()xh x x+=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x eax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，得1(2)(2)0a ea a ++-+=， 即1(1)(2)0a ea +-+=，解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去， 所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x ex ax +=--，设21ax t x e +=，设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++， 故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+.由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=， 此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞ 问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln xa x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=，故()h x的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞，所以()h x的最小值为h =故a的最小值为 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程； （2）若||||AB OP ⋅=α的值. 【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=． 【解析】 【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++= 将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<，24(sin cos )40αα∆=+->成立， 设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩，所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点， 所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部），其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅- 11 - /11|sin cos |αα=+|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈，则21sin 2t α-=，所以t =224(1)3t t -⋅=， 即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去），所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型. 23.已知11212xx m在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ； （2）若,a b 均为正数，且11aM b ,求2a b -的取值范围.【答案】(1)2(2) (,)-∞-⋃+∞． 【解析】 【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11aM b 将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可.【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-， 1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立，∴min 1()2f x m ≥-，又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121ab ．0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a bbb b b．当01b <<时，011b <-<， 1222(1)221abb b，当且仅当12(1)1b b，即212b 时取“=”； 当32b >时，112b ->，1122(1)22(1)2211a b b b b b ，当且仅当12(1)1bb，即212b 时取“=”． 所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。
福建省宁德市数学高三上学期理数期末考试试卷
福建省宁德市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·成都期中) 已知集合， ,则（）A .B .C .D .2. （2分）若，则“”是“成等差数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2017·惠东模拟) 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A . 月接待游客量逐月增加B . 年接待游客量逐年增加C . 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D . 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4. （2分）(2020·西安模拟) 函数的部分图像大致为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二下·洞口期末) 已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且| |= ，则• =（）A . ﹣1B . 1C . ﹣D .6. （2分） (2016高二上·南昌开学考) sin15°cos75°+cos15°sin105°等于（）A . 0B .C .D . 17. （2分） (2016高二下·新乡期末) 已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）设等比数列的前项和为，若,,，则（）A .B .C .D .9. （2分）要得到函数的图象,只要将函数的图象（）A . 向左平移1个单位B . 向右平移1个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位10. （2分） (2016高二上·大庆期中) 已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx﹣y+n=0与nx2+my2=mn 所表示的曲线可能是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·潮州模拟) 已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，且离心率互为倒数，F1 ， F2是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若∠F1PF2=60°，则椭圆C1的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·长沙开学考) 若实数x，y满足，则z=3x+y的最小值为________．14. （1分）(2019·达州模拟) 若展开式的二项式系数之和为32，则展开式各项系数和为________．15. （1分） (2019高三上·镇海期中) 已知长方体中，，则直线与平面所成的角为________.16. （1分） (2019高二上·南湖期中) 四面体的四个顶点都在球的球面上，平面，是等边三角形．若侧面的面积为，则球的表面积的最小值为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2017高一下·长春期末) 设数列满足 .（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.18. （10分）(2017·雨花模拟) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n=4，分别以a1 ， a2 ， a3 ， a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（Ⅰ）写出X的可能值集合；（Ⅱ）假设a1 ， a2 ， a3 ， a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．19. （10分）(2017·巢湖模拟) 如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在的平面，G为△AOC 的重心．（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；（2）若PA=AB=2AC=2，求二面角A﹣OP﹣G的余弦值．20. （10分）(2017·泰安模拟) 已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x2﹣mx．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=0有两个不同的实数根，求证：f（1）+g（1）＜0；（Ⅲ）若存在x0∈[ ，e]使得mf′（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．21. （10分） (2019高二下·上海月考) 已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点 .（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；（3）设△ 与△ （其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.22. （10分）设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；23. （10分） (2018高二下·大连期末) 已知函数（1）求不等式的解集.（2）若不等式的解集非空，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、19-1、答案：略19-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略21-3、答案：略22-1、23-1、答案：略23-2、答案：略。
福建省宁德市高三上学期理数期末(一模)数学试卷
福建省宁德市高三上学期理数期末(一模)数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·河北模拟) 已知全集，集合为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·深圳月考) 若，其中，是虚数单位，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二下·温州期中) 下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A . y=B . y=﹣x2+1C . y=2xD . y=lg|x+1|4. （2分）各项为正数的等比数列{an}中，a5与a15的等比中项为2 ，则log2a4+log2a16=（）A . 4B . 3C . 2D . 15. （2分） (2018高二下·定远期末) 已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是（）A .B .C .D .6. （2分）对于不重合的直线m,n和不重合的平面，下列命题错误的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则7. （2分） (2019高二下·大庆月考) 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。
借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高三上·渭南期末) 2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（）①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）(2018·保定模拟) 已知双曲线的左顶点为，虚轴长为8，右焦点为，且与双曲线的渐近线相切，若过点作的两条切线，切点分别为，则（）A . 8B .C .D .10. （2分） (2020高三上·渭南期末) 唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 函数的部分图象如图所示，将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，则（）A .B .C .D .12. （2分）设若对于任意总存在,使得成立，则a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知an=，删除数列{an}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{bn}，则b51=________ ．14. （1分）设D为△ABC所在平面内一点，=3 ，=m +n ，则n﹣m=________．15. （1分）的展开式的常数项是________16. （1分）(2020·漳州模拟) 在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的体积为________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2018高二上·福州期末) 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求锐二面角A－A1D－B的余弦值；18. （10分） (2018高一下·珠海月考) 已知函数，直线是函数的图象的任意两条对称轴，且的最小值为 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调增区间；（III）若 f（α）=，求 sin（）的值.19. （10分） (2016高三上·黑龙江期中) 中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A与非种子选手B1 ， B2 ， B3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A 获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若A至少获胜两场的概率大于，则A入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A是否会入选最终的名单？（Ⅱ）求A获胜场数X的分布列和数学期望．20. （10分） (2018高三下·滨海模拟) 已知函数（其中，）.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；（3）求证：对于任意大于的正整数，都有 .21. （10分）(2017·山东模拟) 已知D（x0 ， y0）为圆O：x2+y2=12上一点，E（x0 ， 0），动点P满足= + ，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若动直线l：y=kx+m与曲线C相切，过点A1（﹣2，0），A2（2，0）分别作A1M⊥l于M，A2N⊥l于N，垂足分别是M，N，问四边形A1MNA2的面积是否存在最值？若存在，请求出最值及此时k的值；若不存在，说明理由．22. （5分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的坐标；（Ⅱ）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23. （10分）(2020·陕西模拟) 设函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若的最大值为3，求的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
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2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． 13．2 14．2 15．20π 16．8 附部分试题解答：10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．11．2()()3f x f x π-+=--可知，函数()f x 的对称中心为(,0)3π-. 对任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤-，知对称轴是6x π=-，可知(0)0f =，故b =0．12． 令1e 1e ln(1)0x x a x ---+=，得11ln(1)x x ae e-++=，设1()ln(1)x h x x e =++，条件转化为()y h x =与1y ae -=的图象在(1,)+∞上有交点，111()01(1)x x x e x h x e x e x --'=-+=≥++，得()h x 在[0,)+∞上为增函数，1(1)h ae -∴<，得1eln 2a >+.16．依题意可知：2221(21)a a b b --=---，整理得2(1)(1)4a b -+-=，1a b >≥，∴方程表示如图一段弧AB ，22()()a c b c -++可表示弧上一点到直线y=-x 的距离的平方，22()()a c b c ∴-++的最小值是8．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分． 解法一：（Ⅰ）21n a S =， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分 2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 设11111(21)()[(1)](232)3333n n n n nb n An B A n B An A B -=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩1111111(21)(1)()(1)33333n n n n n nb n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅，………………………………9分12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+01121111111(12)(23)[(1)]333333n nn n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅ 113n n +=-.………………………………12分 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解:（Ⅰ）连结DF，BF．在矩形ABCD中，6 AD CD==,30AC CAB∴=∠=, 060DAC∠=．………………………………1分在ADF∆中，∵AF=2222cos9DF DA AF DA AF DAC∴=+-⋅⋅∠=，．………………………………2分∵22293DF AF DA+=+=，DF AC∴⊥，即D F AC'⊥．………………………………3分又在ABF∆中，2222cos21BF AB AF AB AF CAB=+-⋅⋅∠=，………………………………4分∴在DFB'∆中，222223D F FB D B''+=+=,BF DF'∴⊥,………………………………5分又AC FB F=,∴DF'⊥平面ABC．∴D F BC'⊥．………………………………6分（Ⅱ）解：在矩形ABCD中，过D作DE AC⊥于O，并延长交AB于E. 沿着对角线AC翻折后，由（Ⅰ）可知，,,OE OC OD'两两垂直，以O为原点，OE的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz-，则(0,0,0),(1,0,0),O E(0,0,3),D B',………………………………7分EO⊥平面AD F',(1,0,0)OE∴=为平面AD F'的一个法向量．………………………………8分设平面BD F'的法向量为(,,),x y z=n(0,,0)F t，(3,23,3),(3,BD BF t'∴=--=--,由0,0,BDBF⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn得3303(0x zx t y⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，取3,y=则x t z t=-=, ()t t∴=-n．………………………………10分||cos,4||||OEOEπ⋅∴=nn=t∴=．∴当CF=A DF B'--的大小是4π．…………………12分A COED'FACDF19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分． 解：（Ⅰ）如图，根据题意得：10CD =，CE =AC =000704030DCE ∠=-=． 在CDE ∆中，由余弦定理得，DE ==10=, ………………………………2分所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）． ………………………………3分因为CD DE =，所以030DEC DCE ∠=∠=， 所以00018030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠， 整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）． ………………………………5分 所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时，小张到岛A 所用的时间至少为2t ==小时． 由于2116t t >+，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分（Ⅱ）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=,所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠=．………………………………7分所以0sin sin[180()]B BAC ACB =-∠+∠sin()BAC ACB =∠+∠sin cos cos sin BAC ACB BAC ACB =∠∠+∠∠3455==．………………………………8分 由正弦定理得，sin sin BC ACBAC B=∠,所以3BC==,………………………………9分所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为21150()(50)1)22f V V V VV=++=++≥((0,30]V∈),………………………………10分当且仅当1502VV=，即10V=时，min()f V=（元）………………………………11分所以若小张由岛C直接乘小艇去B市，其费用至少需元．………………………………12分…20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解：（Ⅰ）当0k=时，直线//l x轴，又四边形12MNF F恰在以1MF为直径，面积为2516π的圆上，∴四边形12MNF F为矩形，且152MF=．………………………………………………………1分∴点M的坐标为2(,)bca．………………………………………………………2分又2ba=，∴ba=．………………………………………………………3分设2,a k b==，则c k=．在12Rt MF F∆中，232MF k=，122F F k=，∴15522MF k==，∴1k=．∴2,a b==………………………………………………………5分∴椭圆C的方程为22143x y+=．………………………………………………………6分（Ⅱ）将3:2l y kx=+与椭圆方程联立得22(34)1230k x kx++-=，设11(,)M x y，22(,)N x y，得1221234kx xk+=-+，122334x xk=-+．故1200PM PN x x⋅--221223+3(1)=34k k x x k =++．………………………………9分 又12MN x =-==，……………………… 10分∴223+33347k k =+，即解得k =∴直线l 的方程为32y =+．………………………………12分 21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x'=+．………………………………1分 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；………………………………2分当0a <时，令()0f x '=，得x =当x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，………………………………3分max 1()2f x f ∴==-+1122∴-+-,………………………………4分12a ∴=-．………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，21()2ln 2g x x x x =-+,1()2g x x x'∴=+-． 12x x+≥，()0g x '∴≥, ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增． ………………………………6分又12x x <，12()()3g x g x +=-且3(1)2g =-,1201x x ∴<<<．………………………………7分22211()1x g x x x-''=-=,∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增,要证121()2g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-．……………………8分11x <，121x ∴->,所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-————（*）, ……………9分设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）, 11()222G x x x x'∴=-+-- 12(1)[1](2)x x x =---32(1)0(2)x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数, ………………………………11分 ()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2g x x '+>．………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=，………………………………1分 即1=20ρρ⋅，120=ρρ．………………………………2分又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，………………………………3分∴sin 5ρθ=，………………………………4分化为直角坐标方程为5y =．………………………………5分 （Ⅱ）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π，………………………………6分∴直线AB的参数方程为,3,x y ⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩………………………………7分代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t +-=，………………………………8分故12t t +=1230t t =-<，………………………………9分∴12AD AE t t -=+=．………………………………10分 23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++-，…………1分当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤-1x ≥-故1x ≤-…………2分当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤x ≥， 故x ∈∅； …………3分当2x≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥ 故3x ≥； …………4分所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤-}3x ≥． …………5分(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． …………6分 当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min31a x ≤-=-；…………8分当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min+214a x x ≤--=-，综上，4a ≤-．…………10分。