2020年高考文科数学一轮总复习：几何概型

2020年高考文科数学一轮总复习：几何概型第3讲 几何概型1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×(教材习题改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 s ，黄灯的时间为5 s ，绿灯的时间为40 s ，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A.15 B.25 C.35D.45解析：选B.设事件A 表示“某人到达路口时看见的是红灯”，则事件A 对应30 s 的时间长度，而路口红绿灯亮的一个周期为30＋5＋40＝75 s 的时间长度．根据几何概型的概率公式可得，事件A 发生的概率P (A )＝3075＝25.(教材习题改编)如图，在一边长为2的正方形ABCD 内有一曲线L围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m 颗)．落在曲线L 围成的区域内的豆子有n 颗(n <m )，则L 围成的区域面积(阴影部分)为( )A.2n mB.4n mC.n 2mD.n 4m解析：选B.S 阴影S 正方形＝落在L 围成的区域内的豆子数n落在正方形中的豆子数m ，所以S 阴影＝n m ×22＝4nm.记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59. 答案：59若向区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤1，0≤y ≤1}内投点，则该点到原点的距离小于1的概率为________．解析：由题意，可知平面区域Ω是边长为1的正方形，其面积为1，在区域Ω内，到原点的距离小于1的点构成的区域是以原点为圆心，1为半径的14圆(不包括圆弧)，如图中阴影部分所示，所以所求概率P ＝π4.答案：π4与长度有关的几何概型(典例迁移)(1)(2019·辽宁省五校协作体联考)若a ∈[1，6]，则函数y ＝x 2＋ax在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是( )A.15 B.25 C.35D.45(2)在区间[0，π]上随机地取一个数x ，使sin x ＞12的概率为( )A.13B.12C.23D.34【解析】 (1)因为函数y ＝x 2＋a x ＝x ＋ax 在区间(0，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增，而1≤a ≤6，所以1≤a ≤ 6.要使函数y ＝x 2＋ax 在区间[2，＋∞)上单调递增，则a ≤2，得1≤a ≤4，所以P (1≤a ≤4)＝4－16－1＝35，故选C.(2)结合正弦曲线，在[0，π]上使sin x ＞12的x ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，由几何概型的概率公式，得P ＝5π6－π6π－0＝23.【答案】 (1)C (2)C[迁移探究] (变条件)若将本例(2)中的不等式变为sin x ≤32，如何求概率？ 解：结合正弦曲线，在[0，π]上使sin x ≤32的x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎦⎤2π3，π， 故所求概率为P ＝⎝⎛⎭⎫π3－0＋⎝⎛⎭⎫π－2π3π－0＝23.与长度有关的几何概型(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．1．(2019·湖北武汉模拟)某路公交车在6：30，7：00，7：30，准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30，7：00，7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P ＝2040＝12.答案：122．(2019·江西赣州十四县联考)在(0，8)上随机取一个数m ，则事件“直线x ＋y －1＝0与圆(x －3)2＋(y －4)2＝m 2没有公共点”发生的概率为________．解析：因为m ∈(0，8)，直线x ＋y －1＝0与圆(x －3)2＋(y －4)2＝m 2没有公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<m <8，|3＋4－1|2>m ，解得0<m <32，所以所求概率P ＝328.答案：328与面积有关的几何概型(多维探究) 角度一 与平面图形面积有关的几何概型(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3【解析】 法一：设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝12π×⎝⎛⎭⎫c 22＋12π×⎝⎛⎭⎫b 22－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π×⎝⎛⎭⎫a 222－12bc ＝18π(c 2＋b 2－a 2)＋12bc ＝12bc ，所以S 1＝S 2，由几何概型的知识知p 1＝p 2，故选A.法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×（2）22－2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×（2）22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A. 【答案】 A角度二 与线性规划知识交汇命题的几何概型(2019·广州综合测试)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A.14B.12C.23D.34【解析】 依题意作出图象如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14.【答案】 A与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．1．(2019·重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A.3π10 B.3π20 C ．1－3π10D ．1－3π20解析：选D.如图，直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设其内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3，所以内切圆的面积为πr 2＝9π，所以豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12×8×15＝1－3π20.2.如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y ＝1x ，y ＝－1x ，y＝x ，y ＝－x 及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14 B.18 C.π4D.π8解析：选A.根据图象的对称性知，黑色部分的面积为圆面积的14，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14，故选A.与体积有关的几何概型(师生共研)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为( )A.34 B.23 C.13D.12【解析】 因为V F ­AMCD ＝13×S 四边形AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF ­BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.【答案】 D与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6解析：选B.点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外． 记“点P 到点O 的距离大于1”为事件M ，则P (M )＝23－12×4π3×1323＝1－π12.[基础题组练]1．已知集合A ＝{}a |y ＝10＋3a －a 2，若在集合A 内任取一个数a ，使得1∈{x |2x 2＋ax －a 2＞0}的概率为( )A.17 B.37 C.12D.34解析：选B.由10＋3a －a 2≥0，解得－2≤a ≤5，即A ＝[－2，5]．因为1∈{x |2x 2＋ax －a 2＞0}，故2＋a －a 2＞0，解得－1＜a ＜2.由几何概型的知识可得，所求的概率P ＝2－（－1）5－（－2）＝37.故选B.2．(2019·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4B.π12C.π4D ．1－π12解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.3．(2019·湖北省五校联考)已知定义在区间[－3，3]上的函数f (x )＝2x ＋m 满足f (2)＝6，在[－3，3]上任取一个实数x ，则使得f (x )的值不小于4的概率为( )A.16B.13C.12D.23解析：选B.因为f (2)＝6，所以22＋m ＝6，解得m ＝2，因为f (x )≥4，所以2x ＋2≥4，所以x ≥1，而x ∈[－3，3]，故根据几何概型的概率计算公式，得f (x )的值不小于4的概率P ＝26＝13.故选B. 4．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A.78B.34C.12D.14解析：选B.若函数f (x )有零点，则4a 2－4(－b 2＋π)≥0，即a 2＋b 2≥π. 所有事件是{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，所以S ＝(2π)2＝4π2，而满足条件的事件是{(a ，b )|a 2＋b 2≥π}， 所以S 1＝4π2－π2＝3π2，则概率P ＝3π24π2＝34.5．在区间[0，6]上随机取一个数x ，则log 2x 的值介于1到2之间的概率为________． 解析：由题知1<log 2x <2，解得2<x <4，故log 2x 的值介于1到2之间的概率为4－26－0＝13.答案：136.如图，正四棱锥S -ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．解析：设球的半径为R ，则所求的概率为P ＝V 锥V 球＝13×12×2R ×2R ×R 43πR 3＝12π.答案：12π7．(2019·西安市八校联考)从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R ，y ∈R }中任选一个元素(x ，y )，则满足x ＋y ≥2的概率为________．解析：如图，先画出圆x 2＋y 2＝4，再画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，x ＋y ≥2对应的可行域，即图中阴影部分，则所求概率P ＝S 阴影S 圆＝14×4π－12×2×24π＝π－24π.答案：π－24π8．(2019·辽宁沈阳模拟)已知集合A ＝{(x ，y )|x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]}． (1)若x ，y ∈Z ，求x ＋y ≥0的概率； (2)若x ，y ∈R ，求x ＋y ≥0的概率．解：(1)x ，y ∈Z ，x ∈[0，2]，即x ＝0，1，2；y ∈[－1，1]，即y ＝－1，0，1.则基本事件有(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共9个，其中满足x ＋y ≥0的基本事件有8个，故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89.(2)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为事件M ，x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]表示的区域为如图所示的四边形ABCD 及其内部，事件M 表示的区域为图中的阴影部分．所以P (M )＝S 阴影S 四边形ABCD ＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD ＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为78.[综合题组练]1．(应用型)(2019·南宁二中、柳州高中联考)老师计划在晚自习19：00－20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟，若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响的，则两人独自去时不需要等待的概率为( )A.29B.49C.59D.79解析：选B.设甲、乙两人分别在晚上19：00过x ，y 分钟后去问问题，则依题意知，x ，y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧|x －y |≥20，0≤x ≤60，0≤y ≤60.作出该不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，则所求概率P ＝12×40×40×260×60＝49.故选B.2．(应用型)七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，在该正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.316B.38C.14D.18解析：选A.设AB ＝2，则BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝1，所以S △BCI ＝12×22×22＝14，S 平行四边形EFGH ＝2S △BCI ＝2×14＝12，所以所求的概率P ＝S △BCI ＋S 平行四边形EFGH S 正方形ABCD ＝14＋122×2＝316.故选A. 3.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则正三角形的面积为34a 2. 由正弦定理得2R ＝a sin 60°，即R ＝33a ， 所以圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2.由几何概型的概率计算公式得概率P ＝34a 213πa 2＝334π.答案：334π4．如图所示，OA ＝1，在以O 为圆心，OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则△AOB 的面积小于14的概率为________．2020年高考文科数学一轮总复习 第 11 页 共 11 页解析：因为OA ＝1，若△AOB 的面积小于14，则12×1×1×sin ∠AOB <14，所以sin ∠AOB <12，所以0<∠AOB <π6或5π6<∠AOB <π，所以△AOB 的面积小于14的概率为⎝⎛⎭⎫π6－0＋⎝⎛⎭⎫π－5π6π＝13.答案：13。