高考一轮复习课时作业(人教版):4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式word版含答案

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高考理科数学(人教版)一轮复习讲义:第四章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 Word版含答案

高考理科数学(人教版)一轮复习讲义:第四章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 Word版含答案

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1❶;(2)商数关系:tan α=sin αcos α❷. 2.三角函数的诱导公式所在的象限,从而判断三角函数值的符号.作用:切化弦,弦切互化.[熟记常用结论]同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α=1-cos 2α=(1+cos α)(1-cos α); cos 2α=1-sin 2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.(2)sin α=tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2+k π,k ∈Z .(3)sin 2α=sin 2αsin 2α+cos 2α=tan 2αtan 2α+1;cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1. [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)若α,β为锐角,则sin 2α+cos 2β=1.( ) (2)sin 2(α-β)+cos 2(α-β)=1.( ) (3)若α∈R ,则tan α=sin αcos α恒成立.( )(4)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( ) (5)若sin(k π-α)=13(k ∈Z),则sin α=13.( )答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 二、选填题 1.已知sin α=55,α∈⎣⎡⎦⎤π2,π,则tan α=( ) A .-2 B .2 C.12D .-12解析:选D 因为π2≤α≤π,所以cos α=-1-sin 2α=-1-⎝⎛⎭⎫552=-255,所以tan α=sin αcos α=-12.2.已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2+α=15,那么cos α=( ) A .-25B .-15C.15D.25解析:选C ∵sin ⎝⎛⎭⎫5π2+α=sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=cos α, ∴cos α=15.3.sin 210°cos 120°的值为( ) A.14 B .-34C .-32D.34解析:选A sin 210°cos 120°=-sin 30°(-cos 60°) =-12×⎝⎛⎭⎫-12=14. 4.若sin θcos θ=12,则tan θ+cos θsin θ=________.解析:tan θ+cos θsin θ=sin θcos θ+cos θsin θ=1cos θsin θ=2. 答案:25.已知tan α=2,则sin α+cos αsin α-cos α的值为________.解析:sin α+cos αsin α-cos α=tan α+1tan α-1=2+12-1=3.答案:36.化简cos ⎝⎛⎭⎫α-π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2+α·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为________. 解析:原式=sin αcos α·(-sin α)·cos α=-sin 2α.答案:-sin 2α考点一同角三角函数基本关系式的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一) 公式的直接应用[例1] (1)已知cos α=k ,k ∈R ,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,则sin α=( ) A .-1-k 2 B.1-k 2 C .±1-k 2D.1+k 2(2)sin 21°+sin 22°+…+sin 289°=________.[解析] (1)由cos α=k ,k ∈R ,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,可知k <0,设角α终边上一点P (k ,y )(y >0),|OP |=1,所以k 2+y 2=1,得y =1-k 2,由三角函数定义可知sin α=1-k 2.(2)因为sin 1°=cos 89°,所以sin 21°+sin 289°=cos 289°+sin 289°=1,同理sin 22°+sin 288°=1,…,sin 244°+sin 246°=1,而sin 245°=12,故原式=44+12=4412.[答案] (1)B (2)4412考法(二) sin α,cos α的齐次式问题[例2] 已知tan αtan α-1=-1,求下列各式的值:(1)sin α-3cos αsin α+cos α; (2)sin 2α+sin αcos α+2. [解] 由已知得tan α=12.(1)sin α-3cos αsin α+cos α=tan α-3tan α+1=-53.(2)sin 2α+sin αcos α+2=sin 2α+sin αcos αsin 2α+cos 2α+2=tan 2α+tan αtan 2α+1+2=⎝⎛⎭⎫122+12⎝⎛⎭⎫122+1+2=135.考法(三) “sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系的应用 [例3] 已知x ∈(-π,0),sin x +cos x =15.(1)求sin x -cos x 的值; (2)求sin 2x +2sin 2x 1-tan x 的值.[解] (1)由sin x +cos x =15,平方得sin 2x +2sin x cos x +cos 2x =125, 整理得2sin x cos x =-2425. ∴(sin x -cos x )2=1-2sin x cos x =4925. 由x ∈(-π,0),知sin x <0, 又sin x +cos x >0,∴cos x >0,则sin x -cos x <0, 故sin x -cos x =-75.(2)sin 2x +2sin 2x 1-tan x=2sin x (cos x +sin x )1-sin x cos x=2sin x cos x (cos x +sin x )cos x -sin x=-2425×1575=-24175.[规律探求]1.若角α的终边落在第三象限,则cos α1-sin2α+2sin α1-cos2α的值为()A.3 B.-3C.1 D.-1解析:选B由角α的终边落在第三象限得sin α<0,cos α<0,故原式=cos α|cos α|+2sin α|sin α|=cos α-cos α+2sin α-sin α=-1-2=-3.2.(2019·合肥模拟)已知sin x+cos x=3-12,x∈(0,π),则tan x=()A.-33 B.33C. 3 D.- 3解析:选D∵sin x+cos x=3-12,且x∈(0,π),∴1+2sin x cos x=1-32,∴2sin x cosx=-32<0,∴x为钝角,∴sin x-cos x=(sin x-cos x)2=1+32,结合已知解得sin x=32,cos x=-12,则tan x=sin xcos x=- 3.3.若3sin α+cos α=0,则1cos2α+2sin αcos α的值为________.解析:∵3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-1 3,∴1cos2α+2sin αcos α=cos2α+sin2αcos2α+2sin αcos α=1+tan2α1+2tan α=1+⎝⎛⎭⎫-1321-23=103.答案:10 3考点二诱导公式的应用[师生共研过关][典例精析](1)设f (α)=2sin (π+α)cos (π-α)-cos (π+α)1+sin 2α+cos ⎝⎛⎭⎫3π2+α-sin 2⎝⎛⎭⎫π2+α(1+2sin α≠0),则f ⎝⎛⎭⎫-23π6=________. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=a ,则cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ+sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ的值是________. [解析] (1)因为f (α)=(-2sin α)(-cos α)+cos α1+sin 2α+sin α-cos 2α=2sin αcos α+cos α2sin 2α+sin α=cos α(1+2sin α)sin α(1+2sin α)=1tan α,所以f ⎝⎛⎭⎫-23π6=1tan ⎝⎛⎭⎫-23π6=1tan ⎝⎛⎭⎫-4π+π6=1tan π6= 3. (2)因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ=cos ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π6-θ=-cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=-a ,sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ=sin ⎣⎡⎦⎤π2+⎝⎛⎭⎫π6-θ=cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=a ,所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ+sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ=0. [答案] (1)3 (2)0[解题技法]1.利用诱导公式解题的一般思路 (1)化绝对值大的角为锐角.(2)角中含有加减π2的整数倍时,用公式去掉π2的整数倍.2.常见的互余和互补的角[充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.[过关训练]1.sin(-1 200°)·cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)+tan 945°=________.解析:原式=sin(-3×360°-120°)cos(3×360°+180°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(-3×360°+30°)+tan(2×360°+180°+45°)=sin 120°cos 30°+cos 60°sin 30°+tan 45°=34+14+1=2.答案:22.已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根,α是第三象限角,则sin ⎝⎛⎭⎫-α-3π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2-αcos ⎝⎛⎭⎫π2-α·sin ⎝⎛⎭⎫π2+α·tan 2(π-α)=________.解析:因为方程5x 2-7x -6=0的根为x 1=2,x 2=-35,由题意知sin α=-35,故cos α=-45,tan α=34,所以原式=-cos α·sin α·tan 2αsin α·cos α=-tan 2α=-916.答案:-9163.(2018·大连二模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3-α=13,则cos ⎝⎛⎭⎫5π6-α=( ) A.13B .-13 C.222 D .-23解析:选B 由题意知,cos ⎝⎛⎭⎫5π6-α=cos ⎣⎡⎦⎤π2+⎝⎛⎭⎫π3-α=-sin ⎝⎛⎭⎫π3-α=-13.故选B. 考点三诱导公式与同角关系的综合应用[师生共研过关][典例精析]已知f (x )=cos 2(n π+x )·sin 2(n π-x )cos 2[(2n +1)π-x ](n ∈Z).(1)化简f (x )的表达式; (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018+f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值.解:(1)当n 为偶数,即n =2k (k ∈Z)时, f (x )=cos 2(2k π+x )·sin 2(2k π-x )cos 2[(2×2k +1)π-x ]=cos 2x ·sin 2(-x )cos 2(π-x )=cos 2x ·(-sin x )2(-cos x )2=sin 2x ; 当n 为奇数,即n =2k +1(k ∈Z)时, f (x )=cos 2[(2k +1)π+x ]·sin 2[(2k +1)π-x ]cos 2{[2×(2k +1)+1]π-x }=cos 2[2k π+(π+x )]·sin 2[2k π+(π-x )]cos 2[2×(2k +1)π+(π-x )]=cos 2(π+x )·sin 2(π-x )cos 2(π-x )=(-cos x )2sin 2x (-cos x )2=sin 2x , 综上得f (x )=sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018+f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 =sin 2π2 018+sin 21 008π2 018=sin 2π2 018+sin 2⎝⎛⎭⎫π2-π2 018 =sin 2π2 018+cos 2π2 018=1.[解题技法]求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求1.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos ⎝⎛⎭⎫π2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13解析:选C 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0. tan α-6sin β-1=0,解得tan α=3, 又α为锐角,故sin α=31010. 2.已知tan(π-α)=-23,且α∈⎝⎛⎭⎫-π,-π2,则cos (-α)+3sin (π+α)cos (π-α)+9sin α=________. 解析:由tan(π-α)=-23,得tan α=23,则cos (-α)+3sin (π+α)cos (π-α)+9sin α=cos α-3sin α-cos α+9sin α=1-3tan α-1+9tan α=1-2-1+6=-15.答案:-153.已知sin α+cos α=-15,且π2<α<π,则1sin (π-α)+1cos (π-α)的值为________.解析:由sin α+cos α=-15平方得sin αcos α=-1225,∵π2<α<π,∴sin α-cos α=(sin α+cos α)2-4sin αcos α=75,∴1sin(π-α)+1cos(π-α)=1sin α-1cos α=cos α-sin αsin αcos α=-75-1225=3512.答案:3512。

高三数学一轮复习课时作业7:4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式

高三数学一轮复习课时作业7:4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式

4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式基础训练1.若α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,sin α=-35,则cos(-α)=( ) A .-45B.45C.35D .-352.已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π2,则θ等于( )A .-π6B .-π3C.π6D.π33.已知角θ的终边上有一点M (3,m ),且sin θ+cos θ=-15,则m =( )A .-1B .-2C .-3D .-44.(2015·成都外国语学校月考)已知tan ()α-π=34,且α∈⎝⎛⎭⎫π2,3π2,则sin ⎝⎛⎭⎫α+π2=( ) A.45 B .-45C.35D .-355.已知f (α)=sin (π-α)cos (2π-α)cos (-π-α)tan α,则f ⎝⎛⎭⎫-313π的值为( ) A.12 B .-13C .-12D.136.(2015·浙江宁波模拟)如果sin α=15,且α为第二象限的角,则sin ⎝⎛⎭⎫3π2+α=________. 7.化简sin ⎝⎛⎭⎫π2+αcos ⎝⎛⎭⎫π2-αcos (π+α)+sin (π-α)cos ⎝⎛⎭⎫π2+αsin (π+α)=________.8.若sin θ+cos θsin θ-cos θ=2,则sin(θ-5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2-θ=________.9.已知sin α=255,求tan(α+π)+sin (5π2+α)cos (5π2-α)的值.10. 在△ABC 中,若sin(2π-A )=-2sin(π-B ),3cos A =-2cos(π-B ),求△ABC 的三个内角.能力提升1.(2015·广东深圳调研)若角α的终边落在直线x +y =0上,则sin α1-sin 2α+1-cos 2αcos α的值等于( )A .-2B .2C .-2或2D .02.(2015·湖北黄州联考)若A ,B 是锐角△ABC 的两个内角,则点P (cos B -sin A ,sin B -cos A )在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知cos(75°+α)=13,-180°<α<-90°,则tan ()15°-α=________.4.设函数f (x )=sin x +cos x ,f ′(x )是f (x )的导数,若f (x )=2f ′(x ),则sin 2x -sin 2xcos 2x =________.5.已知sin α=2sin β,tan α=3tan β,求cos α.6.(选做题)已知f (x )=cos 2(n π+x )·sin 2(n π-x )cos 2[(2n +1)π-x ](n ∈Z ).(1)化简f (x )的表达式; (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 016+f ⎝⎛⎭⎫1 007π2 016的值.答案1.『解析』选B.因为α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,sin α=-35,所以cos α=45,即cos(-α)=45. 2.『解析』选D.∵sin(π+θ)=-3cos(2π-θ), ∴-sin θ=-3cos θ,∴tan θ= 3.∵|θ|<π2,∴θ=π3.3.『解析』选D.由题意得sin θ=m m 2+9,cos θ=3m 2+9,所以m m 2+9+3m 2+9=-15,即m +3m 2+9=-15,解得m =-4. 4.『解析』选B.tan(α-π)=34⇒tan α=34. 又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2,3π2,所以α为第三象限的角,sin ⎝⎛⎭⎫α+π2=cos α=-45. 5.『解析』选C.∵f (α)=sin αcos α-cos αtan α=-cos α,∴f ⎝⎛⎭⎫-313π=-cos ⎝⎛⎭⎫-313π=-cos ⎝⎛⎭⎫10π+π3 =-cos π3=-12.6.『解析』∵sin α=15,且α为第二象限的角, ∴cos α=-1-sin 2α=-1-125=-265, ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2+α=-cos α=265. 『答案』2657.『解析』原式=cos α·sin α-cos α+sin α(-sin α)-sin α=-sin α+sin α=0.『答案』08.『解析』由sin θ+cos θsin θ-cos θ=2,得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),两边平方得:1+2sin θcos θ=4(1-2sin θcos θ), 故sin θcos θ=310,∴sin(θ-5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2-θ=sin θcos θ=310. 『答案』3109.解:∵sin α=255>0,∴α为第一或第二象限角.tan(α+π)+sin (5π2+α)cos (5π2-α)=tan α+cos αsin α=sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α. (1)当α是第一象限角时,cos α=1-sin 2α=55, 原式=1sin αcos α=52.(2)当α是第二象限角时,cos α=-1-sin 2α=-55, 原式=1sin αcos α=-52.10.解:由已知得sin A =2sin B ,3cos A =2cos B ,两式平方相加得2cos 2A =1. 即cos A =22或cos A =-22. (1)当cos A =22时,cos B =32, 又角A 、B 是三角形的内角, ∴A =π4,B =π6,∴C =π-(A +B )=7π12.(2)当cos A =-22时,cos B =-32. 又角A 、B 是三角形的内角, ∴A =3π4,B =5π6,不合题意.综上知,A =π4,B =π6,C =7π12.能力提升1.『解析』选D.原式=sin α|cos α|+|sin α|cos α,由题意知角α的终边在第二、四象限的角平分线上,sin α与cos α的绝对值相等、符号相反,所以原式=0.2.『解析』选B.∵△ABC 是锐角三角形,则A +B >π2, ∴A >π2-B >0,B >π2-A >0,∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2-B =cos B ,sin B >sin ⎝⎛⎭⎫π2-A =cos A ,∴cos B -sin A <0,sin B -cos A >0, ∴点P 在第二象限.3.『解析』由-180°<α<-90°,得-105°<α+75°<-15°, 故sin(75°+α)=-1-cos 2(75°+α)=-223.而cos(15°-α)=cos 『90°-(75°+α)』=sin(75°+α), sin(15°-α)=sin 『90°-(75°+α)』=cos(75°+α), 所以tan(15°-α)=-24. 『答案』-244.『解析』∵f (x )=sin x +cos x , ∴f ′(x )=cos x -sin x ,∴sin x +cos x =2(cos x -sin x ), 即3sin x =cos x ,得tan x =13,于是sin 2x -sin 2x cos 2x =sin 2x -2sin x cos x cos 2 x=tan 2x -2tan x =19-23=-59.『答案』-595.解:∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin 2α=4sin 2β,① tan 2α=9tan 2β.②由①÷②得9cos 2α=4cos 2β.③ 由①+③得sin 2α+9cos 2α=4. 又sin 2α+cos 2α=1, ∴cos 2α=38,∴cos α=±64.6.解:(1)当n 为偶数,即n =2k (k ∈Z )时, f (x )=cos 2(2k π+x )·sin 2(2k π-x )cos 2[(2×2k +1)π-x ]=cos 2x ·sin 2(-x )cos 2(π-x )=cos 2x ·(-sin x )2(-cos x )2=sin 2x (n =2k ,k ∈Z );当n 为奇数,即n =2k +1(k ∈Z )时,f (x )=cos 2[(2k +1)π+x ]·sin 2[(2k +1)π-x ]cos 2{[2×(2k +1)+1]π-x }=cos 2[2k π+(π+x )]·sin 2[2k π+(π-x )]cos 2[2×(2k +1)π+(π-x )]=cos 2(π+x )·sin 2(π-x )cos 2(π-x )=(-cos x )2sin 2x (-cos x )2=sin 2x (n =2k +1,k ∈Z ). 综上得f (x )=sin 2x . (2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 016+f ⎝⎛⎭⎫1 007π2 016=sin 2π2 016+sin 21 007π2 016 =sin 2π2 016+sin 2⎝⎛⎭⎫π2-π2 016 =sin 2π2 016+cos 2π2 016=1.。

【2022高考数学一轮复习(步步高)】第四章 §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式

【2022高考数学一轮复习(步步高)】第四章 §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式

§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α+cos 2α=1,sin αcos α=tan α.2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式⎝⎛⎭⎫α±π2,α±π的正弦、余弦、正切.1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1.(2)商数关系:sin αcos α=tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2+k π,k ∈Z . 2.三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π+α(k ∈Z )π+α -α π-α π2-α π2+α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan αtan α-tan α-tan α口诀 奇变偶不变,符号看象限微思考1.诱导公式记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”中的奇、偶是何意义?提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系,口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数.2.同角三角函数关系式的常用变形有哪些?提示 同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;sin α=tan α·cos α等.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α,β为锐角,则sin 2α+cos 2β=1.( × ) (2)若α∈R ,则tan α=sin αcos α恒成立.( × )(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( × ) (4)若sin ⎝⎛⎭⎫3π2-α=13,则cos α=-13.( √ ) 题组二 教材改编 2.若sin α=55,π2<α<π,则tan α等于( ) A .-2 B .2 C.12 D .-12答案 D解析 ∵π2<α<π,∴cos α=-1-sin 2α=-255,∴tan α=sin αcos α=-12.3.已知tan α=2,则3sin α-cos αsin α+2cos α等于( )A.54 B .-54 C.53 D .-53 答案 A解析 原式=3tan α-1tan α+2=3×2-12+2=54.4.化简cos ⎝⎛⎭⎫α-π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2+α·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为 . 答案 -sin 2α解析 原式=sin αcos α·(-sin α)·cos α=-sin 2α.题组三 易错自纠5.(多选)已知A =sin (k π+α)sin α+cos (k π+α)cos α(k ∈Z ),则A 的值是( )A .2B .1C .-2D .0 答案 AC解析 当k 为偶数时,A =sin αsin α+cos αcos α=2;当k 为奇数时,A =-sin αsin α-cos αcos α=-2.6.已知sin θ+cos θ=43,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π4,则sin θ-cos θ的值为 . 答案 -23解析 ∵sin θ+cos θ=43,∴sin θcos θ=718.又∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=29,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π4, ∴sin θ-cos θ=-23.题型一 同角三角函数基本关系式的应用1.(2021·北京市西城区模拟)已知α∈(0,π),cos α=-35,则tan α等于( )A.34 B .-34 C.43 D .-43 答案 D解析 因为cos α=-35且α∈(0,π),所以sin α=1-cos 2α=45,所以tan α=sin αcos α=-43.故选D.2.已知α是三角形的内角,且tan α=-13,则sin α+cos α的值为 .答案 -105解析 由tan α=-13,得sin α=-13cos α,将其代入sin 2α+cos 2α=1,得109cos 2α=1,所以cos 2α=910,易知cos α<0,所以cos α=-31010,sin α=1010,故sin α+cos α=-105. 3.若角α的终边落在第三象限,则cos α1-sin 2α+2sin α1-cos 2α的值为 .答案 -3解析 由角α的终边落在第三象限, 得sin α<0,cos α<0,故原式=cos α|cos α|+2sin α|sin α|=cos α-cos α+2sin α-sin α=-1-2=-3.4.已知sin θ+cos θ=713,θ∈(0,π),则tan θ= .答案 -125解析 方法一 由sin θ+cos θ=713,得sin θcos θ=-60169,因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0, 所以sin θ-cos θ=1-2sin θcos θ=1713,联立⎩⎨⎧sin θ+cos θ=713,sin θ-cos θ=1713,解得⎩⎨⎧sin θ=1213,cos θ=-513,所以tan θ=-125.方法二 因为sin θ+cos θ=713, 所以sin θcos θ=-60169,由根与系数的关系,知sin θ,cos θ是方程x 2-713x -60169=0的两根,所以x 1=1213,x 2=-513.又sin θcos θ=-60169<0,θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0. 所以sin θ=1213,cos θ=-513.所以tan θ=sin θcos θ=-125.方法三 由sin θ+cos θ=713,得sin θcos θ=-60169,所以sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=-60169.齐次化切,得tan θtan 2θ+1=-60169,即60tan 2θ+169tan θ+60=0, 解得tan θ=-125或tan θ=-512.又θ∈(0,π),sin θ+cos θ=713>0,sin θcos θ=-60169<0,所以θ∈⎝⎛⎭⎫π2,3π4,所以tan θ=-125. 思维升华 (1)利用sin 2α+cos 2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用sin αcos α=tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin 2α+cos 2α,sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α.题型二 诱导公式的应用例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边经过点P (3,4),则sin ⎝⎛⎭⎫α-2 021π2等于( ) A .-45 B .-35 C.35 D.45答案 B解析 由题意知sin α=45,cos α=35,∴sin ⎝⎛⎭⎫α-2 021π2=sin ⎝⎛⎭⎫α-π2=-cos α=-35. (2)已知f (α)=cos ⎝⎛⎭⎫π2+αsin ⎝⎛⎭⎫3π2-αcos (-π-α)tan (π-α),则f ⎝⎛⎭⎫-25π3的值为 . 答案 12解析 因为f (α)=cos ⎝⎛⎭⎫π2+αsin ⎝⎛⎭⎫3π2-αcos (-π-α)tan (π-α) =-sin α(-cos α)(-cos α)⎝⎛⎭⎫-sin αcos α=cos α, 所以f ⎝⎛⎭⎫-25π3=cos ⎝⎛⎭⎫-25π3=cos π3=12. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. ②化简:统一角,统一名,同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.跟踪训练1 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=1213,则cos ⎝⎛⎭⎫π6-α等于( ) A.513 B.1213 C .-513 D .-1213 答案 B解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=1213, 所以cos ⎝⎛⎭⎫π6-α=sin ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫π6-α =sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=1213. (2)(2021·江西临川第一中学等九校联考)已知α∈(0,π),且cos α=-1517,则sin ⎝⎛⎭⎫π2+α·tan(π+α)等于( )A .-1517 B.1517 C .-817 D.817答案 D解析 sin ⎝⎛⎭⎫π2+α·tan(π+α)=cos α·tan α=sin α,因为α∈(0,π),且cos α=-1517,所以sin α=1-cos 2α=1-⎝⎛⎭⎫-15172=817,即sin ⎝⎛⎭⎫π2+α·tan(π+α)=817.故选D.题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2 (1)(2021·聊城模拟)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos ⎝⎛⎭⎫π2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β-2tan α+5=0,tan α-6sin β-1=0.消去sin β,得tan α=3,∴sin α=3cos α,代入sin 2α+cos 2α=1, 化简得sin 2α=910,则sin α=31010(α为锐角).(2)已知-π<x <0,sin(π+x )-cos x =-15.求sin 2x +2sin 2x1-tan x 的值.解 由已知,得sin x +cos x =15,两边平方得sin 2x +2sin x cos x +cos 2x =125,整理得2sin x cos x =-2425.∵(sin x -cos x )2=1-2sin x cos x =4925,由-π<x <0知,sin x <0, 又sin x cos x =-1225<0,∴cos x >0,∴sin x -cos x <0, 故sin x -cos x =-75.∴sin 2x +2sin 2x 1-tan x=2sin x (cos x +sin x )1-sin x cos x=2sin x cos x (cos x +sin x )cos x -sin x=-2425×1575=-24175.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响.跟踪训练2 (1)(2021·潍坊调研)已知3sin ⎝⎛⎭⎫33π14+α=-5cos ⎝⎛⎭⎫5π14+α,则tan ⎝⎛⎭⎫5π14+α等于( ) A .-53 B .-35 C.35 D.53答案 A解析 由3sin ⎝⎛⎭⎫33π14+α=-5cos ⎝⎛⎭⎫5π14+α, 得sin ⎝⎛⎭⎫5π14+α=-53cos ⎝⎛⎭⎫5π14+α, 所以tan ⎝⎛⎭⎫5π14+α=sin ⎝⎛⎭⎫5π14+αcos ⎝⎛⎭⎫5π14+α=-53cos ⎝⎛⎭⎫5π14+αcos ⎝⎛⎭⎫5π14+α=-53.(2)已知函数f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β),且f (4)=3,则f (2 021)的值为 . 答案 -3解析 因为f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β), 所以f (4)=a sin(4π+α)+b cos(4π+β) =a sin α+b cos β=3,所以f (2 021)=a sin(2 021π+α)+b cos(2 021π+β) =a sin(π+α)+b cos(π+β) =-a sin α-b cos β=-3.课时精练1.sin 1 050°等于( ) A.12 B .-12 C.32 D .-32 答案 B解析 sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=-sin 30°=-12.2.已知α是第四象限角,tan α=-815,则sin α等于( )A.1517 B .-1517 C.817 D .-817 答案 D解析 因为tan α=-815,所以sin αcos α=-815,所以cos α=-158sin α,代入sin 2α+cos 2α=1,得sin 2α=64289,又α是第四象限角,所以sin α=-817.3.(2020·杭州学军中学模拟)已知cos 31°=a ,则sin 239°·tan 149°的值为( ) A.1-a 2aB.1-a 2C.a 2-1aD .-1-a 2答案 B解析 sin 239°·tan 149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°=1-a 2.4.(2020·天津西青区模拟)已知sin α+cos α=-2,则tan α+1tan α等于( )A .2 B.12 C .-2 D .-12答案 A解析 由已知得1+2sin αcos α=2, ∴sin αcos α=12,∴tan α+1tan α=sin αcos α+cos αsin α=sin 2α+cos 2αsin αcos α=112=2.5.(多选)在△ABC 中,下列结论正确的是( ) A .sin(A +B )=sin C B .sinB +C 2=cos A2C .tan(A +B )=-tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2 D .cos(A +B )=cos C 答案 ABC解析 在△ABC 中,有A +B +C =π, 则sin(A +B )=sin(π-C )=sin C ,A 正确. sinB +C 2=sin ⎝⎛⎭⎫π2-A 2=cos A2,B 正确. tan(A +B )=tan(π-C )=-tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2,C 正确. cos(A +B )=cos(π-C )=-cos C ,D 错误.故选ABC.6.(多选)若sin α=45,且α为锐角,则下列选项中正确的有( )A .tan α=43B .cos α=35C .sin α+cos α=85D .sin α-cos α=-15答案 AB解析 ∵sin α=45,且α为锐角,∴cos α=1-sin 2α=1-⎝⎛⎭⎫452=35,故B 正确,∴tan α=sin αcos α=4535=43,故A 正确,∴sin α+cos α=45+35=75≠85,故C 错误,∴sin α-cos α=45-35=15≠-15,故D 错误.7.(2020·河北九校联考)已知点P (sin 35°,cos 35°)为角α终边上一点,若0°≤α<360°,则α= . 答案 55°解析 由题意知cos α=sin 35°=cos 55°, sin α=cos 35°=sin 55°,P 在第一象限, ∴α=55°.8.sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫-4π3的值是 . 答案 -334解析 原式=sin ⎝⎛⎭⎫π+π3·cos ⎝⎛⎭⎫π-π6·tan ⎝⎛⎭⎫-π-π3 =⎝⎛⎭⎫-sin π3·⎝⎛⎭⎫-cos π6·⎝⎛⎭⎫-tan π3 =⎝⎛⎭⎫-32×⎝⎛⎭⎫-32×(-3)=-334.9.(2020·上饶模拟)sin ⎝⎛⎭⎫α-π12=13,则cos ⎝⎛⎭⎫α+17π12= . 答案 13解析 由sin ⎝⎛⎭⎫α-π12=13, 得cos ⎝⎛⎭⎫α+17π12=cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2-π12 =sin ⎝⎛⎭⎫α-π12=13. 10.若3sin α+cos α=0,则cos 2α+2sin αcos α的值为 . 答案310解析 3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-13, 所以cos 2α+2sin αcos α1=cos 2α+2sin αcos αsin 2α+cos 2α=1+2tan α1+tan 2α=1-231+⎝⎛⎭⎫-132=310. 11.已知f (α)=sin (π-α)cos (2π-α)tan (α+π)tan (-α-π)sin (-α-π). (1)若cos ⎝⎛⎭⎫α-3π2=15,α是第三象限角,求f (α)的值; (2)若α=-31π3,求f (α)的值. 解 f (α)=sin α·cos α·tan α(-tan α)·sin α=-cos α. (1)cos ⎝⎛⎭⎫α-3π2=-sin α=15, ∴sin α=-15. ∵α是第三象限角,∴cos α=-1-⎝⎛⎭⎫-152=-265. f (α)=-cos α=265. (2)f (α)=-cos ⎝⎛⎭⎫-31π3=-cos ⎝⎛⎭⎫-π3=-12. 12.已知-π2<α<0,且函数f (α)=cos ⎝⎛⎭⎫3π2+α-sin α·1+cos α1-cos α-1. (1)化简f (α);(2)若f (α)=15,求sin αcos α和sin α-cos α的值. 解 (1)f (α)=sin α-sin α·(1+cos α)21-cos 2α-1 =sin α+sin α·1+cos αsin α-1=sin α+cos α. (2)方法一 由f (α)=sin α+cos α=15, 平方可得sin 2α+2sin α·cos α+cos 2α=125, 即2sin α·cos α=-2425.∴sin α·cos α=-1225. 又-π2<α<0,∴sin α<0,cos α>0,∴sin α-cos α<0,∵(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=4925,∴sin α-cos α=-75.方法二 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α+cos α=15,sin 2α+cos 2α=1,解得⎩⎨⎧ sin α=-35,cos α=45或⎩⎨⎧ sin α=45,cos α=-35.∵-π2<α<0,∴⎩⎨⎧ sin α=-35,cos α=45,∴sin αcos α=-1225,sin α-cos α=-75.13.(2020·河北六校联考)若sin α是方程5x 2-7x -6=0的根,则sin ⎝⎛⎭⎫-α-3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2-αtan 2(2π-α)cos ⎝⎛⎭⎫π2-αcos ⎝⎛⎭⎫π2+αsin (π+α)等于( )A.35 B.53 C.45 D.54答案 B解析 方程5x 2-7x -6=0的两根为x 1=-35,x 2=2,则sin α=-35.原式=cos α(-cos α)tan 2αsin α(-sin α)(-sin α)=-1sin α=53.14.已知θ是第四象限角,且sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=35,则tan ⎝⎛⎭⎫θ-π4= .答案 -43解析 因为θ是第四象限角,且sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=35,所以θ+π4为第一象限角, 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=45, 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4-θ=sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=35, sin ⎝⎛⎭⎫π4-θ=cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=45, 则tan ⎝⎛⎭⎫θ-π4=-tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ=-sin ⎝⎛⎭⎫π4-θcos ⎝⎛⎭⎫π4-θ=-4535=-43.15.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的内角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,则sin 2θ-cos 2θ的值是 .答案 -725解析 由题意可知,拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ,短直角边为sin θ, 小正方形的边长为cos θ-sin θ,∵小正方形的面积是125, ∴(cos θ-sin θ)2=125, ∵θ为直角三角形中较小的锐角,∴cos θ>sin θ,∴cos θ-sin θ=15, 又∵(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=125, ∴2sin θcos θ=2425, ∴1+2sin θcos θ=4925,即(cos θ+sin θ)2=4925, ∴cos θ+sin θ=75, ∴sin 2θ-cos 2θ=(cos θ+sin θ)(sin θ-cos θ)=-725.16.已知sin α=1-sin ⎝⎛⎭⎫π2+β,求sin 2α+sin ⎝⎛⎭⎫π2-β+1的取值范围. 解 因为sin α=1-sin ⎝⎛⎭⎫π2+β=1-cos β,所以cos β=1-sin α.因为-1≤cos β≤1,所以-1≤1-sin α≤1,0≤sin α≤2,又-1≤sin α≤1,所以sin α∈[0,1].所以sin 2α+sin ⎝⎛⎭⎫π2-β+1=sin 2α+cos β+1=sin 2α-sin α+2=⎝⎛⎭⎫sin α-122+74.(*) 又sin α∈[0,1],所以当sin α=12时,(*)式取得最小值74;当sin α=1或sin α=0时,(*)式取得最大值2,故所求取值范围为⎣⎡⎦⎤74,2.。

高三一轮复习讲义第4章第2节同角的三角函数关系及诱导公式及答案

高三一轮复习讲义第4章第2节同角的三角函数关系及诱导公式及答案

同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:sin αcos α=tan α. 2.各角的终边与角α的终边的关系3.六组诱导公式【知识拓展】1.诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.2.同角三角函数基本关系式的常用变形:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2;(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α,β为锐角,则sin 2α+cos 2β=1.( ) (2)若α∈R ,则tan α=sin αcos α恒成立.( )(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( )1.若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( )A.125 B .-125 C.512 D .-5122.(教材改编)已知sin(π+α)=12,则cos α的值为( )A .±12 B.12C.32 D .±323.计算:sin116π+cos 103π等于( ) A .-1 B .1C .0 D.12-324.(教材改编)若tan α=2,则sin α+4cos α5sin α-2cos α=.5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ,x ≤2 000,x -18,x >2 000,则f (f (2 018))=.题型一同角三角函数关系式的应用例1(1)已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α的值为( )A .-32 B.32C .-34 D.34(2)化简:(1+tan 2α)(1-sin 2α)=.已知sin α-cos α=2,α∈(0,π),则tan α等于( )A .-1B .-22C.22D .1题型二诱导公式的应用例2 (1)已知f (x )=sin (2π-x )·cos (32π+x )cos (3π-x )·sin (112π-x ),则f (-21π4)=.(2)已知A =sin (k π+α)sin α+cos (k π+α)cos α(k ∈Z ),则A 的值构成的集合是( )A .{1,-1,2,-2}B .{-1,1}C .{2,-2}D .{1,-1,0,2,-2}(1)化简:tan (π+α)cos (2π+α)sin (α-3π2)cos (-α-3π)sin (-3π-α)=.(2)已知角α终边上一点P (-4,3),则cos (π2+α)·sin (-π-α)cos (11π2-α)·sin (9π2+α)的值为.题型三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3(1)已知α为锐角,且有2tan(π-α)-3cos(π2+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13(2)已知-π<x <0,sin(π+x )-cos x =-15.①求sin x -cos x 的值;②求sin 2x +2sin 2x1-tan x 的值.引申探究本例(2)中若将条件“-π<x <0”改为“0<x <π”,求sin x -cos x 的值.已知sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=35,α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则sin(π+α)等于( ) A.35 B .-35C.45 D .-457.分类讨论思想在三角函数中的应用典例(1)已知sin α=255,则tan(α+π)+sin ⎝⎛⎭⎫5π2+αcos ⎝⎛⎭⎫5π2-α=.(2)已知k ∈Z ,化简:sin (k π-α)cos[(k -1)π-α]sin[(k +1)π+α]cos (k π+α)=.1.已知cos α=45,α∈(0,π),则tan α的值等于( )2.已知tan(α-π)=34,且α∈(π2,3π2),则sin(α+π2)等于( )A.45 B .-45C.35 D .-353.若角α的终边落在第三象限,则cos α1-sin 2α+2sin α1-cos 2α的值为( )A .3B .-3C .1D .-14.若sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin α·cos α的值等于( )A .-25B .-15C.25或-25 D.255.已知函数f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β),且f (4)=3,则f (2 017)的值为( ) A .-1 B .1C .3 D .-3*6.若sin θ,cos θ是方程4x 2+2mx +m =0的两根,则m 的值为( ) A .1+ 5 B .1-5C .1±5 D .-1- 57.已知α为钝角,sin(π4+α)=34,则sin(π4-α)=.8.若f (cos x )=cos 2x ,则f (sin 15°)=.9.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线2x -y =0上,则sin (3π2+θ)+cos (π-θ)sin (π2-θ)-sin (π-θ)=.10.已知α为第二象限角,则cos α1+tan 2α+sin α1+1tan 2α=.11.已知sin(3π+α)=2sin ⎝⎛⎭⎫3π2+α,求下列各式的值: (1)sin α-4cos α5sin α+2cos α;(2)sin 2α+sin 2α.12.已知在△ABC 中,sin A +cos A =15.(1)求sin A cos A 的值;(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形;(3)求tan A 的值.*13.已知关于x 的方程2x 2-(3+1)x +m =0的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π). 求:(1)sin 2θsin θ-cos θ+cos θ1-tan θ的值;(2)m 的值;(3)方程的两根及此时θ的值.同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:sin αcos α=tan α. 2.各角的终边与角α的终边的关系3.六组诱导公式【知识拓展】1.诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.2.同角三角函数基本关系式的常用变形:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2;(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α,β为锐角,则sin 2α+cos 2β=1.(× ) (2)若α∈R ,则tan α=sin αcos α恒成立.(× )(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(× )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.(√ )1.若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( )A.125 B .-125 C.512 D .-512 答案D解析∵sin α=-513,且α为第四象限角,∴cos α=1213,∴tan α=sin αcos α=-512,故选D.2.(教材改编)已知sin(π+α)=12,则cos α的值为( )A .±12 B.12C.32 D .±32答案D解析∵sin(π+α)=-sin α=12.∴sin α=-12,cos α=±1-sin 2α=±32.3.计算:sin116π+cos 103π等于( ) A .-1 B .1C .0 D.12-32答案A 解析∵sin 116π=sin(π+56π)=-sin 5π6=-12, cos103π=cos(2π+4π3)=cos 4π3=-12,∴sin116π+cos 103π=-1. 4.(教材改编)若tan α=2,则sin α+4cos α5sin α-2cos α=.答案34解析sin α+4cos α5sin α-2cos α=tan α+45tan α-2=2+45×2-2=34.5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ,x ≤2 000,x -18,x >2 000,则f (f (2 018))=.答案-1解析∵f (f (2 018))=f (2 018-18)=f (2 000), ∴f (2 000)=2cos 2 000π3=2cos 23π=-1.题型一同角三角函数关系式的应用例1(1)已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α的值为( )A .-32 B.32C .-34 D.34(2)化简:(1+tan 2α)(1-sin 2α)=. 答案(1)B (2)1 解析(1)∵5π4<α<3π2,∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α, ∴cos α-sin α>0.又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34,∴cos α-sin α=32. (2)(1+tan 2α)(1-sin 2α)=(1+sin 2αcos 2α)·cos 2α=cos 2α+sin 2αcos 2α·cos 2α=1.思维升华(1)利用sin 2α+cos 2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α=tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin 2α+cos 2α,sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α.已知sin α-cos α=2,α∈(0,π),则tan α等于( )A .-1B .-22C.22D .1 答案A解析由⎩⎨⎧sin α-cos α=2,sin 2α+cos 2α=1,消去sin α得2cos 2α+22cos α+1=0, 即(2cos α+1)2=0, ∴cos α=-22. 又α∈(0,π), ∴α=3π4,∴tan α=tan 3π4=-1.题型二诱导公式的应用例2 (1)已知f (x )=sin (2π-x )·cos (32π+x )cos (3π-x )·sin (112π-x ),则f (-21π4)=.(2)已知A =sin (k π+α)sin α+cos (k π+α)cos α(k ∈Z ),则A 的值构成的集合是( )A .{1,-1,2,-2}B .{-1,1}C .{2,-2}D .{1,-1,0,2,-2} 答案(1)-1(2)C解析(1)f (x )=-sin x ·sin x-cos x ·(-cos x )=-tan 2x ,f (-21π4)=-tan 2(-21π4)=-tan 234π=-1. (2)当k 为偶数时,A =sin αsin α+cos αcos α=2;当k 为奇数时,A =-sin αsin α-cos αcos α=-2.∴A 的值构成的集合是{2,-2}.思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.(1)化简:tan (π+α)cos (2π+α)sin (α-3π2)cos (-α-3π)sin (-3π-α)=.(2)已知角α终边上一点P (-4,3),则cos (π2+α)·sin (-π-α)cos (11π2-α)·sin (9π2+α)的值为.答案(1)-1 (2)-34解析(1)原式=tan αcos αsin[-2π+(α+π2)]cos (3π+α)[-sin (3π+α)]=tan αcos αsin (π2+α)(-cos α)sin α=tan αcos αcosα(-cos α)sin α=-tan αcos αsin α=-sin αcos α·cos αsin α=-1.(2)原式=(-sin α)sin α(-sin α)cos α=tan α,根据三角函数的定义得tan α=-34.题型三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3(1)已知α为锐角,且有2tan(π-α)-3cos(π2+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是() A.355 B.377 C.31010 D.13答案C解析2tan(π-α)-3cos(π2+β)+5=0化简为-2tan α+3sin β+5=0,①tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0化简为tan α-6sin β-1=0.②由①②消去sin β,解得tan α=3.又α为锐角,根据sin 2α+cos 2α=1,解得sin α=31010. (2)已知-π<x <0,sin(π+x )-cos x =-15. ①求sin x -cos x 的值;②求sin 2x +2sin 2x 1-tan x的值. 解①由已知,得sin x +cos x =15, sin 2x +2sin x cos x +cos 2x =125, 整理得2sin x cos x =-2425. ∵(sin x -cos x )2=1-2sin x cos x =4925. 由-π<x <0,知sin x <0,又sin x +cos x >0,∴cos x >0,sin x -cos x <0,故sin x -cos x =-75. ②sin 2x +2sin 2x 1-tan x =2sin x (cos x +sin x )1-sin x cos x=2sin x cos x (cos x +sin x )cos x -sin x=-2425×1575=-24175. 引申探究本例(2)中若将条件“-π<x <0”改为“0<x <π”,求sin x -cos x 的值.解若0<x <π,又2sin x cos x =-2425, ∴sin x >0,cos x <0,∴sin x -cos x >0,故sin x -cos x =75. 思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.已知sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=35,α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则sin(π+α)等于( )A.35 B .-35C.45 D .-45答案D解析由已知sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=35, 得cos α=35, ∵α∈⎝⎛⎭⎫0,π2, ∴sin α=45, ∴sin(π+α)=-sin α=-45.7.分类讨论思想在三角函数中的应用典例(1)已知sin α=255,则tan(α+π)+sin ⎝⎛⎭⎫5π2+αcos ⎝⎛⎭⎫5π2-α=. (2)已知k ∈Z ,化简:sin (k π-α)cos[(k -1)π-α]sin[(k +1)π+α]cos (k π+α)=. 思想方法指导(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开方结果进行讨论.(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k 是奇数或偶数进行讨论.解析(1)∵sin α=255>0, ∴α为第一或第二象限角.tan(α+π)+sin ⎝⎛⎭⎫5π2+αcos ⎝⎛⎭⎫5π2-α=tan α+cos αsin α =sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α. ①当α是第一象限角时,cos α=1-sin 2α=55, 原式=1sin αcos α=52. ②当α是第二象限角时,cos α=-1-sin 2α=-55, 原式=1sin αcos α=-52. 综上①②知,原式=52或-52.(2)当k =2n (n ∈Z )时,原式=sin (2n π-α)cos[(2n -1)π-α]sin[(2n +1)π+α]cos (2n π+α)=sin (-α)·cos (-π-α)sin (π+α)·cos α =-sin α(-cos α)-sin α·cos α=-1; 当k =2n +1(n ∈Z )时,原式=sin[(2n +1)π-α]·cos[(2n +1-1)π-α]sin[(2n +1+1)π+α]·cos[(2n +1)π+α]=sin (π-α)·cos αsin α·cos (π+α) =sin α·cos αsin α(-cos α)=-1. 综上,原式=-1.答案(1)52或-52(2)-11.已知cos α=45,α∈(0,π),则tan α的值等于( ) A.43 B.34C .-43 D .-34答案B解析∵α∈(0,π),∴sin α=1-cos 2α=1-(45)2=35, 由tan α=sin αcos α,得tan α=34. 2.已知tan(α-π)=34,且α∈(π2,3π2),则sin(α+π2)等于( ) A.45 B .-45C.35 D .-35答案B解析由tan(α-π)=34,得tan α=34,∴α∈(π,3π2), 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α=34,sin 2α+cos 2α=1及α∈(π,3π2),得cos α=-45, 而sin(α+π2)=cos α=-45. 3.若角α的终边落在第三象限,则cos α1-sin 2α+2sin α1-cos 2α的值为( ) A .3 B .-3C .1 D .-1答案B解析由角α的终边落在第三象限,得sin α<0,cos α<0,故原式=cos α|cos α|+2sin α|sin α|=cos α-cos α+2sin α-sin α=-1-2=-3. 4.若sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin α·cos α的值等于( ) A .-25 B .-15C.25或-25 D.25答案A 解析由sin(π-α)=-2sin(π2+α),可得sin α=-2cos α,则tan α=-2,sin α·cos α=sin α·cos αsin 2α+cos 2α=tan α1+tan 2α=-25. 5.已知函数f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β),且f (4)=3,则f (2 017)的值为( )A .-1B .1C .3D .-3答案D解析∵f (4)=a sin(4π+α)+b cos(4π+β)=a sin α+b cos β=3,∴f (2 017)=a sin(2 017π+α)+b cos(2 017π+β)=a sin(π+α)+b cos(π+β)=-a sin α-b cos β=-3.*6.若sin θ,cos θ是方程4x 2+2mx +m =0的两根,则m 的值为( )A .1+ 5B .1-5C .1±5D .-1- 5答案B 解析由题意知sin θ+cos θ=-m 2,sin θcos θ=m 4, 又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,∴m 24=1+m 2, 解得m =1±5,又Δ=4m 2-16m ≥0,∴m ≤0或m ≥4,∴m =1- 5.7.已知α为钝角,sin(π4+α)=34,则sin(π4-α)=. 答案-74解析因为α为钝角,所以cos(π4+α)=-74, 所以sin(π4-α)=cos[π2-(π4-α)]=cos(π4+α)=-74. 8.若f (cos x )=cos 2x ,则f (sin 15°)=.答案-32解析f (sin 15°)=f (cos 75°)=cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-32. 9.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线2x -y =0上,则sin (3π2+θ)+cos (π-θ)sin (π2-θ)-sin (π-θ)=.答案2解析由题意可得tan θ=2,原式=-cos θ-cos θcos θ-sin θ=-21-tan θ=2. 10.已知α为第二象限角,则cos α1+tan 2α+sin α1+1tan 2α=. 答案0解析原式=cos αsin 2α+cos 2αcos 2α+sin αsin 2α+cos 2αsin 2α=cos α1|cos α|+sin α1|sin α|, 因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以cos α1|cos α|+sin α1|sin α|=-1+1=0,即原式等于0. 11.已知sin(3π+α)=2sin ⎝⎛⎭⎫3π2+α,求下列各式的值: (1)sin α-4cos α5sin α+2cos α;(2)sin 2α+sin 2α. 解由已知得sin α=2cos α.(1)原式=2cos α-4cos α5×2cos α+2cos α=-16. (2)原式=sin 2α+2sin αcos αsin 2α+cos 2α=sin 2α+sin 2αsin 2α+14sin 2α=85. 12.已知在△ABC 中,sin A +cos A =15. (1)求sin A cos A 的值;(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形;(3)求tan A 的值.解(1)∵(sin A +cos A )2=125, ∴1+2sin A cos A =125, ∴sin A cos A =-1225. (2)∵sin A cos A <0,又0<A <π,∴cos A <0,∴A 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形.(3)(sin A -cos A )2=1-2sin A cos A =4925. 又sin A -cos A >0,∴sin A -cos A =75, ∴sin A =45,cos A =-35, 故tan A =-43. *13.已知关于x 的方程2x 2-(3+1)x +m =0的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π).求:(1)sin 2θsin θ-cos θ+cos θ1-tan θ的值;(2)m 的值; (3)方程的两根及此时θ的值.解 (1)原式=sin 2θsin θ-cos θ+cos θ1-sin θcos θ=sin 2θsin θ-cos θ+cos 2θcos θ-sin θ=sin 2θ-cos 2θsin θ-cos θ=sin θ+cos θ. 由条件知sin θ+cos θ=3+12, 故sin 2θsin θ-cos θ+cos θ1-tan θ=3+12.(2)由sin 2θ+2sin θcos θ+cos 2θ=1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2, 得m =32.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ+cos θ=3+12,sin θ·cos θ=34,知⎩⎨⎧ sin θ=32,cos θ=12或⎩⎨⎧ sin θ=12,cos θ=32.又θ∈(0,2π),故θ=π3或θ=π6.。

高考数学一轮复习 4-2 同角三角函数基本关系式与诱导公式 新人教A版

高考数学一轮复习 4-2 同角三角函数基本关系式与诱导公式 新人教A版

α
=11++2ttaann2αα=1+1--23132=130. 答案 A
整理课件
课堂总结
【例 2】 (1)(2014·山东省实验中学诊断)已知 sin θ·cos θ =18,且π4 <θ<π2 ,则 cos θ-sin θ的值为________.
π (2)已知- 2 <α<0,sin
α+cos
正切 tan α __ta_n__α_ __-__ta_n__α_ _-__ta_n__α_
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名 改变, 符号看 象限
整理课件
课堂总结
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示
(1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是 α 为锐角. ( × )
(2) 法一 联立
sin
α+cos
α=15,
sin2α+cos2α=1,
深度思考 第(2)小题有两种 ① 解法,其一结合平方关系解
② 方程组求sin α与cos α;其二
由①得,sin α=15-cos α,将其
代入②,
整理得 25cos2α-5cos α-12=0.
求cos α-sin α;你用到的哪
________.
解析
sin
θ cos
θ

sin θ·cos θ sin2θ+cos2θ

tan θ tan2θ+1

22+2 1=25.
答案
2 5
整理课件
课堂总结
考点一 同角三角函数基本关系式及应用
【例
1】
(1)已知 tan
α=2,则42ssiinn
α-3cos α-9cos

新高考数学一轮复习教师用书:第4章 2 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

新高考数学一轮复习教师用书:第4章 2 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1. (2)商数关系:tan α=sin αcos α.[基本关系式变形]sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α,sin α=tan αcos α, cos α=sin αtan α,(sin α±cos α)2=1±2 sin αcos α.2.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α+2k π (k∈Z) π+α -α π-α π2-α π2+α 正弦 sin α -sin__α -sin α sin α cos__α cos α 余弦 cos α -cos α cos__α -cos α sin α -sin__α正切 tan αtan α-tan α-tan__α口诀函数名不变 符号看象限函数名改变 符号看象限简记口诀:把角统一表示为k π2±α(k∈Z)的形式,奇变偶不变,符号看象限.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对任意的角α,β,都有sin 2α+cos 2β=1.( ) (2)若α∈R ,则tan α=sin αcos α恒成立.( )(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( ) (4)若cos(n π-θ)=13(n∈Z),则cos θ=13.( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)× [教材衍化]1.(必修4P19例6改编)若sin α=55,π2<α<π,则tan α=________. 解析:因为π2<α<π,所以cos α=-1-sin 2α=-2 55,所以tan α=sin αcos α=-12.答案:-122.(必修4P22B 组T3改编)已知tan α=2,则sin α+cos αsin α-cos α的值为________.解析:原式=tan α+1tan α-1=2+12-1=3.答案:33.(必修4P28练习T7改编)化简cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π+α·sin (α-π)·cos(2π-α)的结果为________.解析:原式=sin αcos α·(-sin α)·cos α=-sin 2α.答案:-sin 2α [易错纠偏](1)不会运用消元的思想;(2)π±α的形式没有把k 按奇数和偶数进行分类讨论导致出错. 1.已知tan x =2,则1+sin 2x 的值为________. 解析:1+sin 2x =cos 2x +2sin 2x =cos 2x +2sin 2x sin 2x +cos 2x =1+2tan 2x 1+tan 2x =95. 答案:952.已知A =sin (k π+α)sin α+cos (k π+α)cos α(k∈Z),则A 的值构成的集合是________.解析:k =2n(n∈Z)时,A =sin (2n π+α)sin α+cos (2n π+α)cos α=sin αsin α+cos αcos α=2.当k =2n +1(n∈Z)时,A =sin (π+α)sin α+cos (π+α)cos α=-sin αsin α+-cos αcos α=-1+(-1)=-2. 答案:{2,-2}同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛,也比较灵活.高考中常以选择题、填空题的形式出现.主要命题角度有:(1)知弦求弦; (2)知弦求切; (3)知切求弦. 角度一 知弦求弦(2020·丽水模拟)已知sin θ+cos θ=43,θ∈(0,π4),则sin θ-cos θ的值为( )A.23 B.13 C .-23 D .-13【解析】 (sin θ+cos θ)2=169,所以1+2sin θcos θ=169,所以2sin θcos θ=79,由(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-79=29,可得sin θ-cos θ=±23.又因为θ∈(0,π4),sin θ<cosθ,所以sin θ-cos θ=-23. 【答案】 C 角度二 知弦求切已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=35,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π2,则tan α=( )A.43B.34 C .-34 D .±34 【解析】 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=35,所以sin α=-35,显然α在第三象限,所以cos α=-45,故tan α=34.【答案】 B 角度三 知切求弦若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( )A.6425 B.4825 C .1 D.1625【解析】 法一:由tan α=sin αcos α=34,cos 2α+sin 2α=1,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α=35,cos α=45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α=-35,cos α=-45,则sin 2α=2sin αcos α=2425,则cos 2α+2sin 2α=1625+4825=6425.法二:cos 2α+2sin 2α=cos 2α+4sin αcos αcos 2α+sin 2α=1+4tan α1+tan 2α=1+31+916=6425. 【答案】 A同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦:利用诱导公式及平方关系sin 2α+cos 2α=1求解.(2)知弦求切:常通过平方关系sin 2α+cos 2α=1及商数关系tan α=sin αcos α结合诱导公式进行求解.(3)知切求弦:通常先利用商数关系转化为sin α=tan α·cos α的形式,然后用平方关系求解.若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值,则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值就可以求出这个分式的值,如asin α+bcos αcsin α+dcos α=atan α+b ctan α+d ;asin 2α+bcos 2α+csin αcos α=asin 2α+bcos 2α+csin αcos αsin 2α+cos 2α=atan 2α+b +ctan αtan 2α+1.1.已知sin α+cos α=15,那么角α的终边在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第二或第四象限解析:选D.因为sin α+cos α=15,所以两边平方得1+2sin αcos α=125,即2sin αcos α=-2425,所以sin αcos α<0,验证可知,角α是第二或第四象限角,故选D. 2.已知α是第二象限的角,tan α=-12,则cos α=________.解析:因为α是第二象限的角,所以sin α>0,cos α<0,由tan α=-12,得cos α=-2sin α,代入sin 2α+cos 2α=1中, 得5sin 2α=1,所以sin α=55,cos α=-255. 答案:-255诱导公式的应用(1)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)=________. (2)已知cos α是方程3x 2-x -2=0的根,且α是第三象限角,则sin (-α+3π2)cos (3π2+α)tan 2(π-α)cos (π2+α)sin (π2-α)等于________.(3)已知cos(π6-α)=23,则sin (α-2π3)=________.【解析】 (1)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°·sin 1 050°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)=-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30° =32×32+12×12=1. (2)因为方程3x 2-x -2=0的根为x 1=1,x 2=-23,由题知cos α=-23,所以sin α=-53,tan α=52. 所以原式=-cos αsin αtan 2α-sin αcos α=tan 2α=54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α+⎝ ⎛⎭⎪⎫α-2π3=-π2,所以α-2π3=-π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-2π3=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=-23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)-23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角.②角中含有加减π2的整数倍时,用公式去掉π2的整数倍.(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角:π3-α与π6+α;π3+α与π6-α;π4+α与π4-α等.②常见的互补的角:π3+θ与2π3-θ;π4+θ与3π4-θ等.(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦,统一名. ②用诱导公式,统一角.③用因式分解将式子变形,化为最简.1.若sin(π2+α)=-35,且α∈(π2,π),则sin(π-2α)=( )A.2425B.1225C .-1225D .-2425解析:选D.由sin(π2+α)=cos α=-35,且α∈(π2,π),得sin α=45,所以sin(π-2α)=sin 2α=2sin αcos α=-2425,选项D 正确.2.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线3x -y =0上,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2+θ+2cos (π-θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-θ-sin (π-θ)=________.解析:由题意可知tan θ=3,原式=-cos θ-2cos θcos θ-sin θ=-31-tan θ=32.答案:323.(2020·宁波高三模拟)已知cos(π+α)=-12,求sin [α+(2n +1)π]+sin (π+α)sin (π-α)cos (α+2n π)(n∈Z).解:因为cos(π+α)=-12,所以-cos α=-12,cos α=12.sin [α+(2n +1)π]+sin (π+α)sin (π-α)cos (α+2n π)=sin (α+2n π+π)-sin αsin αcos α=sin (π+α)-sin αsin αcos α=-2sin αsin αcos α=-2cos α=-4.[基础题组练]1.计算:sin 116π+cos 103π=( )A .-1B .1C .0D.12-32解析:选A.原式=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π-π6+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π+π3 =-sin π6+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π+π3=-12-cos π3 =-12-12=-1.2.已知tan (α-π)=34,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π2,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2=( )A.45 B .-45C.35D .-35解析:选B.由tan (α-π)=34⇒tan α=34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π2,所以cos α=-45,所以α为第三象限的角,sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π2=cos α=-45. 3.已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π2,则θ等于( )A .-π6B .-π3C.π6D.π3解析:选D.因为sin(π+θ)=-3cos(2π-θ), 所以-sin θ=-3cos θ,所以tan θ= 3. 因为|θ|<π2,所以θ=π3.4.已知sin(3π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α等于( )A .-25B.25 C.25或-25D .-15解析:选A.因为sin(3π-α)=sin(π-α)=-2sin(π2+α),所以sin α=-2cos α,所以tanα=-2,当α在第二象限时,⎩⎪⎨⎪⎧sin α=255cos α=-55,所以sin αcos α=-25;当α在第四象限时,⎩⎪⎨⎪⎧sin α=-255cos α=55,所以sin αcos α=-25,综上,sin αcos α=-25,故选A.5.已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5,则sin 2α-sin αcos α的值为( )A .-15B .-25C.15D.25解析:选D.依题意得tan α+33-tan α=5,所以tan α=2.所以sin 2α-sin αcos α=sin 2α-sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α-tan αtan 2α+1=22-222+1=25. 6.已知sin α+3cos α+1=0,则tan α的值为( ) A.43或34 B .-34或-43C.34或-43D .-43或不存在解析:选D.由sin α=-3cos α-1,可得(-3cos α-1)2+cos 2α=1,即5cos 2α+3cos α=0,解得cos α=-35或cos α=0,当cos α=0时,tan α的值不存在,当cos α=-35时,sin α=-3cos α-1=45,tan α=sin αcos α=-43,故选D.7.化简sin (π2+α)cos (π2-α)cos (π+α)+sin (π-α)cos (π2+α)sin (π+α)=________.解析:原式=cos αsin α-cos α+sin α(-sin α)-sin α=-sin α+sin α=0.答案:0 8.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12+α=23,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-11π12=________.解析:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-11π12=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12-α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+α=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+α,而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12+α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2+⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+α =cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12+α=23, 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-11π12=-23. 答案:-239.已知θ为第四象限角,sin θ+3cos θ=1,则tan θ=________.解析:由(sin θ+3cos θ)2=1=sin 2θ+cos 2θ,得6sin θcos θ=-8cos 2θ,又因为θ为第四象限角,所以cos θ≠0,所以6sin θ=-8cos θ,所以tan θ=-43.答案:-4310.(2020·杭州市富阳二中高三质检)若3sin α+cos α=10,则tan α的值为________;1cos 2α+sin 2α的值为________.解析:由3sin α+cos α=10,得到cos α=10-3sin α,代入sin 2α+cos 2α=1得sin 2α+(10-3sin α)2=1,得10sin 2α-610sin α+9=0,即(10sin α-3)2=0, 解得sin α=31010,cos α=1010,则tan α=sin αcos α=3;1cos 2α+sin 2α=sin 2α+cos 2αcos 2α+2sin αcos α =tan 2α+11+2tan α=9+11+6=107. 答案:310711.已知π<α<2π,cos (α-7π)=-35,求sin(3π+α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-7π2的值. 解:因为cos (α-7π)=cos(7π-α)=cos(π-α)=-cos α =-35,所以cos α=35.所以sin(3π+α)·tan ⎝⎛⎭⎪⎫α-7π2=sin(π+α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2-α=sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α =sin α·cos αsin α=cos α=35.12.已知α为第三象限角,f (α)=sin (α-π2)·cos (3π2+α)·tan (π-α)tan (-α-π)·sin (-α-π). (1)化简f(α);(2)若cos (α-3π2)=15,求f(α)的值. 解:(1)f(α)=sin (α-π2)·cos (3π2+α)·tan (π-α)tan (-α-π)·sin (-α-π)=(-cos α)·sin α·(-tan α)(-tan α)· sin α=-cos α. (2)因为cos (α-3π2)=15, 所以-sin α=15, 从而sin α=-15. 又α为第三象限角,所以cos α=-1-sin 2α=-265, 所以f(α)=-cos α=265. [综合题组练]1.(2020·台州市高三期末评估)已知cos α=1,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π6=( ) A.12B.32 C .-12 D .-32 解析:选C.因为cos α=1⇒α=2k π,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π-π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=-sin π6=-12,故选C. 2.(2020·金华十校联考)已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α的值为( ) A .-32 B.32C .-34D.34解析:选B.因为5π4<α<3π2, 所以cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|,所以cos α-sin α>0.又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34, 所以cos α-sin α=32. 3.sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43π的值是________. 解析:原式=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π+π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π-π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫-π-π3 =⎝⎛⎭⎪⎫-sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫-cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫-tan π3 =⎝ ⎛⎭⎪⎫-32×⎝ ⎛⎭⎪⎫-32×(-3)=-334. 答案:-3344.若sin α=2sin β,tan α=3tan β,则cos α=________. 解析:因为sin α=2sin β,①tan α=3tan β,tan 2α=9tan 2β.②由①2÷②得:9cos 2α=4cos 2β.③由①2+③得sin 2α+9cos 2α=4.又sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=38, 所以cos α=±64. 答案:±645.已知f(x)=cos 2(n π+x )·sin 2(n π-x )cos 2[(2n +1)π-x](n∈Z). (1)化简f(x)的表达式;(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π的值.解:(1)当n 为偶数,即n =2k(k∈Z)时,f(x)=cos 2(2k π+x )·sin 2(2k π-x )cos 2[(2×2k+1)π-x]=cos 2x ·sin 2(-x )cos 2(π-x )=cos 2x ·(-sin x )2(-cos x )2 =sin 2x(n =2k,k ∈Z);当n 为奇数,即n =2k +1(k∈Z)时,f(x)=cos 2[(2k +1)π+x]·sin 2[(2k +1)π-x]cos 2{[2×(2k +1)+1]π-x}=cos 2[2k π+(π+x )]·sin 2[2k π+(π-x )]cos 2[2×(2k +1)π+(π-x )]=cos 2(π+x )·sin 2(π-x )cos 2(π-x )=(-cos x )2sin 2x (-cos x )2 =sin 2x(n =2k +1,k ∈Z).综上得f(x)=sin 2x.(2)由(1)得 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π=sin 2π12+sin 25π12 =sin2π12+sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-π12 =sin2π12+cos 2π12=1.。

新高考数学一轮复习 专题4-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式(测)

新高考数学一轮复习 专题4-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式(测)

新高考数学一轮复习专题4-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式(测)班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【××市期末】()A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选:C2.【2018届山东××市淄川中学开学】若,则是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】D【解析】,即是第一或第四象限的角,,即是第二或第四象限的角,综上,是第四象限的角,故选D.3.已知,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,所以 ,可得 ,故选C.4.【2018届齐齐哈尔八中8月月考】已知且,则( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】,又故答案为A.5.【2018届北京东城北京二中高三上期中】已知,,则等于( ).A. B. C. D.【答案】B6.【2018届××市第一中学《黄金卷》第四套模拟】若,且,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:对条件两边平方可得,,利用三姊妹关系即可得到结果.详解:由题:,于是由于,.故选:A7.【2018届珠海一中等六校第三次联考】已知,则( )A. B. C. D.【答案】C8.【2018届××市××市三模】若,,则的值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式,得,进而求得,即可求解答案.详解:由诱导公式得,平方得,则,所以,又因为,所以,所以,故选C.9.【2018届六校第五次联考】若点在函数的图象上,则的值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】∵点(a,32)在函数的图象上,∴32=2a,∴a=5,则,本题选择C选项.10.【2018届××市西南大学附中第四次月考】已知,的最大值为,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:利用导数求得的最大值,再进行变形详解:由已知,∴,又,联立可解得或.当时,,当时,,显然是最大值,∴.故选C.二、填空题:本大题共7小题,共36分.11.【2018年普通高校招生(春季)】已知,若,则等于__________.【答案】12.【2018届××市5月信息专递】已知,则______________.【答案】【解析】分析: 利用同角三角函数的基本关系,求得的值.详解: 由,则===.故答案为:.13. 已知,,则______.【答案】【解析】由得,所以.14.【2018届××市一模】已知,则_____________.【答案】3或【解析】由题意结合同角三角函数基本关系有:,解方程可得:或:,则:或.15.【2018届××市第三次统一考试】已知角的始边与轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点,则__________.【答案】10.【解析】分析:首先利用三角函数的定义式,结合题中所给的角的终边所过的点的坐标求得,之后借助于同角三角函数关系式,将关于正余弦分式形式的式子上下同除,得到关于切的式子,代入求值即可得结果.详解:根据角的终边过,利用三角函数的定义式,可以求得,所以有,故答案是10.16.【2018届名校协作体高三上学期考试】已知,且,则_____,_____.【答案】【解析】又,则,且,可得17.【2018届××市一诊】已知,则的值为________.【答案】【解析】∵,∴,解得.答案:三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.化简.【答案】.【解析】分析:直接利用诱导公式化简求解即可,化简过程注意避免计算错误,利用诱导公式时特别注意避免符号出错.详解:原式.19.已知角的终边在第二象限,且与单位圆交于点.(1)求实数的值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)∵角的终边在第二象限,且与单位圆交于点,∴m<0,,解得;(2)由(1)可知,∴.20. 已知函数.(1)化简;(2)若,且,求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】分析:(1)根据诱导公式化简即可.(2)由题意得,又由题意得到,根据与的关系求解.详解:(1)由题意得.(2)由(1)知.∵,∴,∴.又,∴,∴.∴.21. 化简下列各式.(1);(2).【答案】(1);(2)【解析】分析:(1)利用诱导公式把每一个三角函数化成角的三角函数,可得原式=,然后化简及利用,可求得结果.(2)根据公式,可把分子变为,开方时注意,故分子化为 .根据公式可将分母上的化为,因为为第三象限角,所以,所以原式=.详解:(1)解:原式=(2)解:原式=22.已知关于的方程的两根为,,,(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2)【解析】分析:根据一元二次方程的根与系数的关系,及关于的方程的两根为,,可得.(1)利用将中的化成,并化简可得=,进而可求值;(2)利用,将中化成、,可得,利用公式,由,可求得,进而求得.根据,可得,所以,所以.详解:依题有:(1)=(2)因为,所以,所以,又,所以,所以,所以.点睛:(1)三角函数的求值、化简,若有角的正切函数,注意切化弦的运用;(2)根据公式,、、知道其中一个可求另外两个值,开方时,注意、的正.负11 / 11。

高三数学一轮复习课时作业9:4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式

高三数学一轮复习课时作业9:4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式

4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2013·大纲全国卷)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A .-1213 B .-513 C.513 D.1213 2.若sin θ·cos θ=12,则tan θ+cos θsin θ的值是( ) A .-2 B.2 C .±2 D .123.已知sin(3π-α)=-2sin ⎝⎛⎭⎫π2+α,则sin αcos α等于( )A .-25B.25C.25或-25D.-154.记cos(-80°)=k ,那么tan 100°=( ) A.1-k 2kB.-1-k 2kC.k 1-k 2D.-k 1-k2 5.已知sin(π-2)=a ,则sin ⎝⎛⎭⎫π2-2的值为( )A .-1-a 2B.-aC.1-a 2D.a 6.若sin α是5x 2-7x -6=0的根,则sin ⎝⎛⎭⎫-α-3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2-αtan 22π-αcos ⎝⎛⎭⎫π2-αcos ⎝⎛⎭⎫π2+αsin π+α=( ) A.35 B.53 C.45 D .54二、填空题(每小题5分,共15分)7.已知sin θ+cos θ=43⎝⎛⎭⎫0<θ<π4,则sin θ-cos θ=________. 8.已知tan α=2,则7sin 2α+3cos 2α=________.9.已知sin ⎝⎛⎭⎫x +π6=14,则sin ⎝⎛⎭⎫7π6+x +cos 2⎝⎛⎭⎫5π6-x =________. 三、解答题(本大题共3小题,共35分)10.(10分)已知函数f (x )=1-sin ⎝⎛⎭⎫x -3π2+cos ⎝⎛⎭⎫x +π2+tan 34πcos x. (1)求函数y =f (x )的定义域;(2)设tan α=-43,求f (α)的值.11.(12分)已知tan ⎝⎛⎭⎫α+87π=a . 求证:sin ⎝⎛⎭⎫157π+α+3cos ⎝⎛⎭⎫α-137πsin ⎝⎛⎭⎫207π-α-cos ⎝⎛⎭⎫α+227π=a +3a +1.12.(13分)在△ABC 中,若sin(2π-A )=-2sin(π-B ),3cos A =-2cos(π-B ),求△ABC 的三个内角.答案一、选择题(每小题5分,共30分)1.『答案』 A2.『答案』 B3.『答案』 A4.『答案』 B5.『答案』 A6.『答案』 B二、填空题(每小题5分,共15分)7.『答案』 -238.『答案』315 9.『答案』 1116 三、解答题(本大题共3小题,共35分)10.『答案』 (1)由cos x ≠0,得x ≠π2+k π,k ∈Z ,所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2+k π,k ∈Z . (2)∵tan α=-43, ∴f (α)=1-sin ⎝⎛⎭⎫α-3π2+cos ⎝⎛⎭⎫α+π2+tan 34πcos α=1-cos α-sin α-1cos α =-cos α-sin αcos α=-1-tan α=13. 11.『证明』 由已知得左边=sin ⎣⎡⎦⎤π+⎝⎛⎭⎫α+87π+3cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α+8π7-3πsin ⎣⎡⎦⎤4π-⎝⎛⎭⎫α+87π-cos ⎣⎡⎦⎤2π+⎝⎛⎭⎫α+87π =-sin ⎝⎛⎭⎫α+87π-3cos ⎝⎛⎭⎫α+87π-sin ⎝⎛⎭⎫α+87π-cos ⎝⎛⎭⎫α+87π=tan ⎝⎛⎭⎫α+87π+3tan ⎝⎛⎭⎫α+87π+1=a +3a +1=右边, 所以原等式成立.12.『答案』 由已知得⎩⎨⎧ sin A =2sin B ①3cos A =2cos B ②①2+②2得2cos 2A =1, 即cos A =22或cos A =-22. (1)当cos A =22时,cos B =32, 又A 、B 是三角形的内角,∴A =π4,B =π6, ∴C =π-(A +B )=712π. (2)当cos A =-22时,cos B =-32. 又A 、B 是三角形的内角,∴A =34π,B =56π,不合题意. 综上知,A =π4,B =π6,C =712π.。

高三数学一轮复习课时作业12:§4.2同角三角函数基本关系及诱导公式

高三数学一轮复习课时作业12:§4.2同角三角函数基本关系及诱导公式

§4.2同角三角函数基本关系及诱导公式一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.若α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,sin α=-35,则cos(-α)=( ) A .-45B.45C.35D .-352.已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π2,则θ等于( )A .-π6B .-π3C.π6D.π33.已知sin ⎝⎛⎭⎫α-π4=13,则cos ⎝⎛⎭⎫π4+α=( ) A.223B .-223C.13D .-134.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,sin α=45,则tan α=________. 5.如果sin(π+A )=12,那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2-A 的值是________. 二保高考,全练题型做到高考达标1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( ) A .sin θ<0,cos θ>0 B .sin θ>0,cos θ<0 C .sin θ>0,cos θ>0D .sin θ<0,cos θ<02.若sin(π-α)=-2sin ⎝⎛⎭⎫π2+α,则sin α·cos α的值等于( ) A .-25B .-15C.25或-25D.253.°°°cos3502sin160(sin 190)--=( ) A .-3 B .-32C.32D.34.已知f (α)=sin(π-)cos(2π-)cos(π-)tan αααα-,则f ⎝⎛⎭⎫-31π3的值为( ) A.12 B .-13C .-12D.135.已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α的值为( )A .-32B.32C .-34D.346.化简:ππsin()cos(-)22cos(π+)ααα++πsin(π)cos()2cos(π+)ααα-+=________. 7.sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫-4π3的值是________. 8.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=a (|a |≤1),则cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ+sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ的值是________. 9.求值:sin(-1 200°)·cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)+tan 945°.10.已知sin(3π+α)=2sin ⎝⎛⎭⎫3π2+α,求下列各式的值: (1)sin α-4cos α5sin α+2cos α; (2)sin 2α+sin 2α.三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.sin 21°+sin 22°+…+sin 290°=________.2.已知f (x )=[]222cos (π)sin (π-)cos (21)(π-)n x n x n x ++ (n ∈Z ).(1)化简f (x )的表达式;(2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 014+f ⎝⎛⎭⎫503π1 007的值.——★ 参 考 答 案 ★——一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.B『解析』 因为α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,sin α=-35,所以cos α=45,即cos(-α)=45. 2.D『解析』 ∵sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),∴-sin θ=-3cos θ,∴tan θ= 3.∵|θ|<π2,∴θ=π3.3.D『解析』 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4+α=sin ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫π4+α=sin ⎝⎛⎭⎫π4-α=-sin ⎝⎛⎭⎫α-π4=-13. 4.-43『解析』∵α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,∴cos α=-1-sin 2α=-35, ∴tan α=sin αcos α=-43.5.12『解析』∵sin(π+A )=12,∴-sin A =12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2-A =-sin A =12. 二保高考,全练题型做到高考达标 1.B『解析』 ∵sin(θ+π)<0,∴-sin θ<0,sin θ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cos θ>0,cos θ<0. 2.A『解析』 由sin(π-α)=-2sin ⎝⎛⎭⎫π2+α,可得sin α=-2cos α,则tan α=-2, sin α·cos α=tan α1+tan 2α=-25. 3.D『解析』 原式=°°°°°°cos(36010)2sin(18020)sin(180+10)----=°°°°cos102sin(3010)(sin10)---=cos 10°-2⎝⎛⎭⎫12cos 10°-32sin 10°sin 10°= 3. 4.C『解析』 ∵f (α)=sin α·cos α-cos αtan α=-cos α,∴f ⎝⎛⎭⎫-31π3=-cos ⎝⎛⎭⎫-31π3=-cos ⎝⎛⎭⎫10π+π3=-cos π3=-12. 5.B『解析』∵5π4<α<3π2,∴cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|, ∴cos α-sin α>0.又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34,∴cos α-sin α=32. 6.0『解析』原式=cos α·sin α-cos α+sin (sin )sin ααα--=-sin α+sin α=0.7.-334『解析』原式=sin ⎝⎛⎭⎫π+π3·cos ⎝⎛⎭⎫π-π6·tan ⎝⎛⎭⎫-π-π3 =⎝⎛⎭⎫-sin π3·⎝⎛⎭⎫-cos π6·⎝⎛⎭⎫-tan π3 =⎝⎛⎭⎫-32×⎝⎛⎭⎫-32×(-3)=-334.8.0『解析』由题意知,cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ=cos ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π6-θ=-cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=-a . sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ=sin ⎣⎡⎦⎤π2+⎝⎛⎭⎫π6-θ=cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=a , ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ+sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ=0. 9.解:原式=-sin 1 200°·cos 1 290°+cos 1 020°·(-sin 1 050°)+tan 945° =-sin 120°·cos 210°+cos 300°·(-sin 330°)+tan 225° =(-sin 60°)·(-cos 30°)+cos 60°·sin 30°+tan 45° =32×32+12×12+1=2. 10.解:由已知得sin α=2cos α.(1)原式=2cos α-4cos α5×2cos α+2cos α=-16.(2)原式=sin 2α+2sin αcos αsin 2α+cos 2α=sin 2α+sin 2αsin 2α+14sin 2α=85.三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.912『解析』sin 21°+sin 22°+…+sin 290°=sin 21°+sin 22°+…+sin 244°+sin 245°+cos 244°+cos 243°+…+cos 21°+sin 290°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(sin 244°+cos 244°)+sin 245°+sin 290°=44+12+1=912.2. 解:(1)当n 为偶数,即n =2k (k ∈Z)时,f (x )=[]222cos (2π)sin (2π-)cos 2(21)(π-)k x k x k x +⨯+ =222cos sin ()cos (π-)x x x -=2222cos (sin )(cos )x x x ⋅--=sin 2x ;当n 为奇数,即n =2k +1(k ∈Z)时,f (x )=cos 2[2k +1π+x ]·sin 2[2k +1π-x ]cos 2{[2×2k +1+1]π-x }=cos 2[2k π+π+x ]·sin 2[2k π+π-x ]cos 2[2×2k +1π+π-x ]=cos 2π+x ·sin 2π-xcos 2π-x=-cos x 2sin 2x -cos x 2=sin 2x , 综上得f (x )=sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 014+f ⎝⎛⎭⎫503π1 007 =sin 2π2 014+sin 21 006π2 014=sin2π2 014+sin2⎝⎛⎭⎫π2-π2 014=sin2π2 014+cos2π2 014=1.。

高考数学一轮复习4-2同角三角函数基本关系式与诱导公式课时作业新人教A版

高考数学一轮复习4-2同角三角函数基本关系式与诱导公式课时作业新人教A版

∴sin Acos A =- 12, 25
(2) 由
sin
Acos
A
=-
12< 25
0,且
0< A< π ,
可知 cos A< 0,∴ A 为钝角,∴△ ABC 是钝角三角形.
(3) ∵ (sin A - cos A)2= 1- 2sin Acos A = 1+ 2245= 4295, 又 sin A > 0, cos A< 0,∴ sin A - cos A> 0,
∴sin A - cos A= 75,
∴由①,②可得 sin A =45, cos A=- 35,
4
∴tan
A

csoinsAA=
5

3=- 5
4 3.
能力提升题组
(建议用时: 25 分钟 )
11.若
sin
π 6

α=
13,则
2π cos 3 + 2α 等于
7 A .- 9
1 B.- 3
1
7
C.3
D.9
sin
1 α =2.
答案 D
4. (2014 ·肇庆模拟
)已知
sin
π +α=3,α∈
2
5
π 0, 2
,则
sin(π + α=)
(
)
3
3
A. 5
B .- 5
4 C.5 解析
4 D .- 5
由已知
sin
π 2

α

35,得
cos
α = 35,∵ α ∈
π 0, 2

∴sin
α= 45,∴ sin(π + α=)- sin
θ

高三数学(理)一轮复习课时作业(十九) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 Word版含解析

高三数学(理)一轮复习课时作业(十九) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 Word版含解析
又∵ <α<π,∴sinα>0,cosα<0.
∴sinα-cosα= .
答案:
9.(2017·福建漳州二模)已知θ是三角形的一个内角,且sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+px-2=0的两根,则θ等于________.
解析:由题意知sinθ·cosθ=- ,联立 得sinθ=± ,又θ为三角形的一个内角,∴sinθ= ,
A.- B.-
C. D.
解析:依题意得: =5,∴tanα=2.
∴sin2α-sinαcosα=
= = = .
答案:D
5.(2017·江西赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos 的值为()
A. B.-
C.2D.-
解析:由题意可得tanα=2,所以cos =-sin2α= = =- .故选B.
=(-sin60°)·(-cos30°)+cos60°·sin30°+tan45°
= × + × +1=2.
11.已知sin(3π+α)=2sin ,求下列各式的值;
(1) ;
(2)sin2α+sin2α.
解析:由已知得sinα=2cosα.
(1)原式= =- .
(2)原式=
= = .
12.在△ABC中,若sin(2π-A)=- sin(π-B), cosA=- cos(π-B),求△ABC的三个内角.
解析:由已知得sinA= sinB, cosA= cosB两式平方相加得2cos2A=1.
即cosA= 或cosA=- .
(1)当cosA= 时,cosB= ,又角A、B是三角形的内角,
∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= .
(2)当cosA=- 时,cosB=- .

2025年高考数学一轮复习课时作业-三角函数的同角关系、诱导公式【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-三角函数的同角关系、诱导公式【含解析】

5
5
所以 tan θ=sin =-4,故 C 错误.
cos 3
7.(5
分)已知角
A
为△ABC
的内角,cos
A=-
3,则
2
sin
A=
.
【解析】由条件可知 sin A>0,sin A=
1-cos2
=
1-(-
3 2
)
2=1.
2
.
10.(10
分)已知
sin(3π+θ)=13,求cos
cos(π+ [cos(π-
))-1]+sin(
cos( -32π)cos(
-2π) -π)-sin(32π+
的值.
)
11.(10 分)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边过点
P(1,2).
(1)求 tan α的值;
)-5sin(32π-
)
=
2
2cos(2π- )-sin(- )
.
14.(10 分)已知θ∈(-π,0),且 sin θ,cos θ为方程 5x2-x+m=0 的两根. (1)求 m 的值; 则 1+2sin θcos θ=215,sin θcos θ=-1225, (2)求sin(3sπi-n2)(-πsi-n()π2+ )+ssinin((π23-2π-)+)ccooss((2π+-52π))的值.
2025 年高考数学一轮复习课时作业-三角函数的同角关系、诱导公式【原卷版】
(时间:45 分钟 分值:85 分)
【基础落实练】
1.(5 分)sin 1 620°等于( )
A.0 B.1 C.1 D.-1
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4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式A 级 基础达标演练 (时间:40分钟 满分:60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1.cos 300°=( ).A .-32B .-12 C.12 D.32 解析 cos 300°=cos 60°=12. 答案 C2.若tan α=2,则2sin α-cos αsin α+2cos α的值为( ).A .0 B.34 C .1 D.54 解析2sin α-cos αsin α+2cos α=2tan α-1tan α+2=2×2-12+2=34.答案 B3.(2011·济南模拟)若cos(2π-α)=53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,则sin(π-α)=( ).A .-53B .-23C .-13D .±23 解析 cos(2π-α)=cos α=53,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,∴sin α=-1-cos 2α=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫532=-23. ∴sin(π-α)=sin α=-23. 答案 B4.(2011·深圳调研)若角α的终边落在直线x +y =0上,则sin α1-sin 2α+1-cos 2αcos α的值等于( ).A .-2B .2C .-2或2D .0解析 原式=sin α|cos α|+|sin α|cos α,由题意知角α的终边在第二、四象限,sin α与cos α的符号相反,所以原式=0. 答案 D5.已知sin α=55,则sin 4α-cos 4α的值为( ). A .-15 B .-35 C.15 D.35 解析 sin 4α-cos 4α=sin 2α-cos 2α=2sin 2α-1 =25-1=-35. 答案 B二、填空题(每小题4分,共12分)6.若sin(π+α)=-12,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,则cos α=________.解析 ∵sin(π+α)=-sin α,∴sin α=12,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,∴cos α=-1-sin 2α=-32.答案 -327.如果sin α=15,且α为第二象限角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+α=_____________________.解析 ∵sin α=15,且α为第二象限角, ∴cos α=-1-sin 2α=-1-125=-265,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+α=-cos α=265.答案2658.(2010·全国)已知α为第三象限的角,cos 2α=-35,则 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+2α________. 解析 ∵2k π+π<α<2k π+32π(k ∈Z ),∴4k π+2π<2α<4k π+3π(k ∈Z ),∴sin 2α>0, 而cos 2α=-35,∴sin 2α=45,得tan 2α=-43, ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+2α=1+tan 2α1-tan 2α=1-431+43=-17. 答案 -17三、解答题(共23分)9.(11分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π2.求:sin (π-α)+cos (α+π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2-α+3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2-α.解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π2, ∴-sin α=-2cos α,即sin α=2cos α, ∴原式=sin α-cos α5sin α-3cos α=2cos α-cos α10cos α-3 cos α=17.10.(★)(12分)已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=15. (1)求tan α的值; (2)把1cos 2α-sin 2α用tan α表示出来,并求其值.思路分析 (思路一):由已知条件与平方关系联立方程组求解;(思路二):先求sin α-cos α再与已知条件联立方程组求解.解 (1)法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α+cos α=15 ①sin 2α+cos 2α=1 ②由①得cos α=15-sin α,将其代入②, 整理得25sin 2α-5sin α-12=0.∵α是三角形内角,∴sin α>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α=45,cos α=-35,∴tan α=-43.法二 ∵sin α+cos α=15,∴(sin α+cos α)2=⎝ ⎛⎭⎪⎫152,即1+2sin αcos α=125,∴2sin αcos α=-2425, ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+2425=4925. ∵sin αcos α=-1225<0且0<α<π, ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, ∴sin α-cos α=75, 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α+cos α=15,sin α-cos α=75,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α=45,cos α=-35,∴tan α=-43.(2)1cos 2α-sin 2α=sin 2α+cos 2αcos 2α-sin 2α=sin 2α+cos 2αcos 2αcos 2α-sin 2αcos 2α=tan 2α+11-tan 2α, ∵tan α=-43,∴1cos 2α-sin 2α=tan 2α+11-tan 2α=⎝ ⎛⎭⎪⎫-432+11-⎝ ⎛⎭⎪⎫-432=-257. 【点评】 要善于挖掘隐含条件,要具有方程的思想意识,针对一些综合问题,需要构造方程来解决,在平时的学习中应该不断积累用方程的思想解题的方法.B 级 综合创新备选 (时间:30分钟 满分:40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知f (cos x )=cos 3x ,则f (sin 30°)的值为( ).A .0B .1C .-1 D.32 解析 ∵f (cos x )=cos 3x ,∴f (sin 30°)=f (cos 60°)=cos 180°=-1. 答案 C2.(2012·揭阳模拟)若sin θ,cos θ是方程4x 2+2mx +m =0的两根,则m 的值为( ).A .1+ 5B .1- 5C .1±5D .-1- 5解析 由题意知:sin θ+cos θ=-m 2,sin θcos θ=m 4, 又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, ∴m 24=1+m 2, 解得:m =1±5,又Δ=4m 2-16m ≥0, ∴m ≤0或m ≥4,∴m =1- 5. 答案 B二、填空题(每小题4分,共8分)3.已知sin αcos α=18,且π4<α<π2,则cos α-sin α的值是________. 解析 (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=34, 又∵π4<α<π2,sin α>cos α.∴cos α-sin α=-32. 答案 -324.(2011·重庆)已知sin α=12+cos α,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4的值为________.解析 依题意得sin α-cos α=12,又(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,即(sin α+cos α)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=2,故(sin α+cos α)2=74;又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,因此有sin α+cos α=72,所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=cos 2α-sin 2α22(sin α-cos α)=-2(sin α+cos α)=-142. 答案 -142 三、解答题(共22分) 5.(10分)化简:sin (k π-α)cos[(k -1)π-α]sin[(k +1)π+α]cos (k π+α)(k ∈Z ).解 当k =2n (n ∈Z )时,原式=sin (2n π-α)cos[(2n -1)π-α]sin[(2n +1)π+α]cos (2n π+α)=sin (-α)·cos (-π-α)sin (π+α)·cos α=-sin α(-cos α)-sin α·cos α=-1;当k =2n +1(n ∈Z )时,原式=sin[(2n +1)π-α]·cos[(2n +1-1)π-α]sin[(2n +1+1)π+α]·cos[(2n +1)π+α]=sin (π-α)·cos αsin α·cos (π+α)=sin α·cos αsin α(-cos α)=-1. 综上,原式=-1.6.(12分)已知关于x 的方程2x 2-(3+1)x +m =0的两根sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求:(1)sin 2θsin θ-cos θ+cos θ1-tan θ的值; (2)m 的值;(3)方程的两根及此时θ的值. 解 (1)原式=sin 2θsin θ-cos θ+cos θ1-sin θcos θ =sin 2θsin θ-cos θ+cos 2θcos θ-sin θ =sin 2θ-cos 2θsin θ-cos θ=sin θ+cos θ. 由条件知sin θ+cos θ=3+12,故sin 2θsin θ-cos θ+cos θ1-tan θ=3+12. (2)由sin 2θ+2sin θcos θ+cos 2θ=1+2sin θcos θ =(sin θ+cos θ)2,得1+m =⎝⎛⎭⎪⎫3+122,即m =32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ+cos θ=3+12,sin θ·cos θ=34得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=32,cos θ=12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=12,cos θ=32.又θ∈(0,2π),故θ=π6或θ=π3.。

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