2016年全国高考理科数学试题及答案-天津卷
2016年 高考真题 天津卷 理科数学 (含答案解析)
2016年高考真题理科数学(天津卷)理科数学单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。
）1.已知集合则=（）A.B.C.D.2.设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.B. 6C. 10D. 173.在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （）A. 1B. 2C. 3D. 44.阅读程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 85.设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件6.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.7.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A.B.C.D.8.已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A. （0，]B. [，]C. [，]{}D. [，）{}填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。
）9.已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.10.的展开式中的系数为__________.(用数字作答)11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.12.如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.14.设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。
2016年天津市高考数学试卷(理科)(含详细答案解析)
2016年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．173．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．2 B．4 C．6 D．85．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的（）﹣1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}二、填空题9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为．10．（5分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为m312．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是．14．（5分）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．三、计算题15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，b n是a n和a n+1的等比中项．（1）设c n=b n+12﹣b n2，n∈N+，求证：数列{c n}是等差数列；（2）设a1=d，T n=（﹣1）k b k2，n∈N*，求证：＜．19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．2016年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．故选：B．【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域．3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．4．（5分）如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可．【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，第二次判断不满足条件n＞3：第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，第四次判断n＞3不满足条件，第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，第六次判断满足条件n＞3，故输出S=4，故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的（）整数n，a2n﹣1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，+a2n＜0”不一定成立，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；+a2n＜0”，前提是“q＜0”，而“对任意的正整数n，a2n﹣1则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要而不充分条件，﹣1故选：C．【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，∴2x•bx=2b，∴x=±1将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，∴双曲线的方程为﹣=1，故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a 的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．二、填空题9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为2．【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，∴，解得：，∴=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．10．（5分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为﹣56（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出．==x16﹣3r，【解答】解：T r+1令16﹣3r=7，解得r=3．∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为=﹣56．故答案为：﹣56．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为2m3【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2，棱锥的高h=3m，故体积V==2m3，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，∵BE=2AE=2，BD=ED，∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，∴DH2=AH•BH=2，则DH=，在Rt△DHE中，则，由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，∴．故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（，）．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a﹣1|）＞f（），即﹣＜2|a﹣1|＜，则|a﹣1|＜，即＜a＜，故答案为：（，）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．14．（5分）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．【分析】化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可．【解答】解：抛物线（t为参数，p＞0）的普通方程为：y2=2px焦点为F（，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF 与BC相交于点E．|CF|=2|AF|，|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A（p，），△ACE的面积为3，，可得=S．△ACE即：=3，解得p=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．三、计算题15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）=4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣=4sinx（cosx+sinx）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），则函数的周期T=；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k=0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k ∈Z，当k=﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（I）由相互独立事件的概率计算公式求出事件A发生的概率；（Ⅱ）根据题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．【解答】解：（I）由已知得：，所以，事件A发生的概率为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）计算，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG ∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）求出=（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，b n是a n和a n+1的等比中项．（1）设c n=b n+12﹣b n2，n∈N+，求证：数列{c n}是等差数列；（2）设a1=d，T n=（﹣1）k b k2，n∈N*，求证：＜．【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列{c n}的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可．（2）求出T n=（﹣1）k b k2的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可．【解答】证明：（1）∵{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n ∈N+，b n是a n和a n的等比中项．+1∴c n=b﹣b=a n+1a n+2﹣a n a n+1=2da n+1，∴c n﹣c n=2d（a n+2﹣a n+1）=2d2为定值；+1∴数列{c n}是等差数列；（2）T n=（﹣1）k b k2=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=2d（a2+a4+…+a2n）=2d=2d2n（n+1），∴==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．即不等式成立．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列与不等式的综合，根据等比数列和等差数列的性质分别求出对应的通项公式以及利用裂项法进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x0≥1，转化为关于k 的不等式求得k的范围．【解答】解：（1）由+=，得，即，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再设H（0，y H），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为，令x=0，得，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1y H=，整理得：，即8k2≥3．∴或．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，分别计算f（x0），f（3﹣2x0），化简整理即可得证；（3）要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，即证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥．讨论当a≥3时，当0＜a＜3时，运用单调性和极值，化简整理即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b的导数为f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，当x＞1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0，当1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）；（2）证明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，只需证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥．当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；当0＜a＜3时，f（1﹣）=（﹣）3﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b=﹣a﹣b，f（1+）=（）3﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b=﹣﹣a﹣b，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（2）﹣f（0）=2﹣2a，若0＜a≤时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题．。
2016天津高考理科数学(答案及解析)
6.已知双曲线
x2 4
y2 b2
1b
0 ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双
曲线的两条渐近线相交于 A, B, C, D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b ，则双曲线的
方程为
（A） x2 3y2 1 44
（B） x2 4 y2 1 43
（C） x2 y2 1 44
【答案】：D 【考点】：双曲线的性质
【答案】：2 【考点】：复数计算 【解析】：当复数的虚部为 0 时,该复数是一个实数。本题考查复数概念及计算。
------------------------------本题解析由王可君老师提供
10. ( x2 1 )8 的展开式中 x7 的系数为 x
【答案】：-56
.（用数字作答）
【考点】：二项式定理
x y 2 0 2. 设变量 x, y 满足约束条件 2x 3y 6 0 ，则目标函数 z 2x 5 y 的最小值为
3x 2 y 9 0 （）
A. 4 B.6 C.10 D.17 【答案】：B 【考点】：线性规划 【解析】：如图，故最小值为 6.
------------------------------本题解析由张晓东老师提供
m3
【答案】：2 【考点】：四棱锥体积计算
爱智康高中数学研发部
第 6 页 共 16 页
【解析】：底面是以 2 为边长，1 为高的平行四边形，四棱锥高为 3，故V 2 1 3 1 2 。 3
本题考查四棱锥体积计算。
------------------------------本题解析由王可君老师提供
4 15
P( X
1)
C31C31 C31C41 C120
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (理科)解析版
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)． 柱体的体积公式V 柱体=Sh ， 圆锥的体积公式V =31Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 其中S 表示锥体的底面积，h 表示圆锥的高． h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则AB =（ ）（A ）{1}（B ）{4} （C ）{1,3}（D ）{1,4}【答案】D 【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D . 考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.（2）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. （3）在△ABC中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A 【解析】试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的． （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【答案】B 【解析】试题分析：依次循环：8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S ======结束循环，输出S 4=，选B.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.（5）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. 考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．（6）已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x - （B ）22344=1y x - （C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 【答案】D考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)． ②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．（7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ） （A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．（8）已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 【答案】C 【解析】试题分析：由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a=+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C. 考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 第Ⅱ卷 注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2 【解析】试题分析：(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，则110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．考点：复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈，a bi c di ac bd ad bc i a b c d R22()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b .-a bi（10）281(x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56-考点：二项式定理【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.【答案】2【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为1(21)32V=⨯⨯⨯=．故答案为2．3考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2BD DE x ==，所以1AC AE ==，因为AB 是直径，则BC =AD =在圆中BCE DAE ∆∆:，则BC EC AD AE =1x=，解得x =考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．（13）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．(14) 设抛物线222x pt y pt ⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE的面积为p 的值为_________.【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=，又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||A y =，由//CF AB 得EF CFEA AB =，即2EF CFEA AF ==，所以2CEF CEA S S ∆∆==ACF AEC CFE S S S ∆∆∆=+=132p ⨯=，p = 考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．三、解答题：本大题共6小题，共80分.（15）已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性 试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π+=-.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== ()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减. 考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．(16) （本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析试题解析：解：()I 由已知，有()1123442101,3C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为13. ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=， ()111133342107115C C C C P X C +===， ()11342104215C C P X C ===. 所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：概率，概率分布与数学期望 【名师点睛】求均值、方差的方法1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝a ξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．(17) （本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG∥平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3（Ⅲ）7()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0) A B C D E F G-------，.（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（II ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ .不妨设1x =，可得()21,1,1n =-.因此有222cos ,OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅，于是23sin,3OA n <>=，所以，二面角O EF C --的（III ）解：由23AH HF =，得25A H A =.因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此222cos ,BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅所以，直线BH 和平面CEF 考点：利用空间向量解决立体几何问题【名师点睛】1.利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题． (1)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)|a |＝a 2； (3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.(18) 已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211nnn n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()222111111111111212121nn n k k k kT d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论.考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．（19）（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[46,(+∞--∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||c OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由113||||||c O F O A F A +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MMMM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．（20）（本小题满分14分）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈, (I)求)(x f 的单调区间；(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3)1(20a x =-，计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -，||,|(|f f 的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，33120331aa +≤<≤-，②当334a ≤<时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，③当304a <<时，23313310<+<-<aa .试题解析：（Ⅰ）解：由b ax x x f ---=3)1()(，可得a x x f --=2)1(3)('. 下面分两种情况讨论：（1）当0≤a 时，有0)1(3)('2≥--=a x x f 恒成立，所以)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. （2）当0>a 时，令0)('=x f ，解得331ax +=，或331a x -=.当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：333),33+∞a. （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且10≠x ，由题意，得0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20a x =-， 进而b ax a b ax x x f ---=---=332)1()(00300. 又b a ax x ab x a x x f --+-=----=-32)1(38)22()22()23(000300 )(33200x f b ax a =---=，且0023x x ≠-，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 )()(01x f x f =，且01x x ≠，因此0123x x -=，所以3201=+x x ；（Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当3≥a 时，33120331aa +≤<≤-，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M .（2）当343<≤a 时，3321233133103321aa a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，331(3321()0(a f a f f +=-≥，331()3321()2(a f a f f -=+≤， 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为331(331([a f a f -+，因此 |}392||,392max{||})331(||,331(max{|b a a ab a a a a f a f M -----=-+=|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=41||1>++-=b a a . 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于41. 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理工类数学试题【全解全析版】
解析：依题意展开式的通项为
Tr 1
C8r ( x 2 ) 8 r (
1)r x
C
r 8
(
1)r
x16
3r
，令
16
3r
7
T4 1 C83 ( 1)3 x7 56x7 ，∴所以展开式中 x7 的系数为 -56
（ 11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形， 该四棱锥的三视图如 图所示（单位： m），则该四棱锥的体积为 _______m3.
5
32
ab b
4
4
a) ，
53 84
1
，故选 B．
8
效率评估：利用基底处理平面几量问题是一种常规方法，本题解法
1 就是以 { AB, AC} 作为基底来研究，
解法 2 是以以 { BA, BC} 作为基底来研究，实质一样，其基向量满足长度为
1 ，夹角为 ，本题设
3
AB a , Ac b 主要是为了表达方便和书写清楚，特别是在空间向量的问题的处理中，思路和书写时显得
4
y2 b2 =1（ b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐
近线相交于 A、 B、 C、 D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为
x2
（A）
4
3y2 =1
4
x2
（B）
4
4y2 =1
3
x2
（C）
4
y2 b2 =1
x2 y2
（ D）
=1
4 12
答案： D
由图像可知，在 [0,+ ) 上， f (x) 2 x 有且仅有一个解，
故在 ( ,0) 上， f (x) 2 x 有且仅有一个解， 由 1 a 3 ，知 1 3a 9 ，
2016天津高考试题及答案-理科数学
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么•如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+U . ()()()P AB P A P B =.•棱柱的体积公式V Sh =.• 棱锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示棱柱的底面面积， 其中S 表示棱锥的底面面积， h 表示圆柱的高. h 表示棱锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合}{4,3,2,1=A ，}{A x x y y B ∈-==,23，则=B A I （ ） （A ）}{1（B ）}{4（C ）}{3,1（D ）}{4,1 （2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++-.0923,0632,02y x y x y x 则目标函数y x z 52+=的最小值为（A ）4-（B ）6（C ）10（D ）17≤ ≥ ≥（3）在ABC ∆中，若13=AB ，3=BC ，ο120=∠C ， 则=AC （ ）（A ）1（B ）2（C ）3 （D ）4（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）8（5）设}{n a 是首项为正数的等比数列，公比为q 则“0＜q ”是“对任意的正整数n ，0212＜n n a a +-”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）已知双曲线14222=-byx ）＞（0b ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为b 2，则双曲线的方程为（ ）（A ）143422=-y x （B ）134422=-y x （C ）144222=-y x （D ）112422=-y x （7）已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81 （C ）41（D ）811 （8）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+++-+=0,1)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a＜（0＞a ，且1≠a ）在R 上单调递减，且关于x 的方程x x f -=2)(恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）]32,0(（B ）]43,32[≥ （第4题图）（C ）Y ]32,31[{43} （D ）Y )32,31[{43} 绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. （9）已知a ，∈b R ，i 是虚数单位，若a b =-+)i 1)(i 1(，则ba的值为_____________. （10）82)1(xx -的展开式中7x 的系数为_____________.（用数字作答）（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积 为_____________3m .（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，22==AE BE ，ED BD =，则线段CE 的长为_____________.（13）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增.若实数a 满足)2()2(1--f f a ＞，则a 的取值范围是_____________.（14）设抛物线⎩⎨⎧==pt y pt x 2,22（t 为参数，0＞p ）的焦点F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设)0,27(p C ，AF 与BC 相交于点E .若AF CF 2=，且ACE ∆的面积为23，则p 的值为_____________.三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数3)3cos()2sin(tan 4)(---=ππx x x x f .（Ⅰ）求)(x f 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论)(x f 在区间]4,4[ππ-上的单调性.（16）（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分 别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列 和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面⊥OBEF 平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2==BE AB .（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角C EF O --的正弦值； （Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且HF AH 32=，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.（18）（本小题满分13分）已知}{n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的*∈N n ，n b 是n a 和1+n a 的等比中项.（Ⅰ）设221n n n b b c -=+，*∈N n ，求证：数列}{n c 是等差数列；（Ⅱ）设d a =1，∑=-=nk kkn b T 212)1(，*∈N n ，求证21211d T nk k＜∑=.（19）（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x )3(＞a 的右焦点为F ，右顶点为A .已知FAeOA OF 311=+， 其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若HF BF ⊥，且MOA ∠≤MAO ∠，求直线l 的斜率的取值范围.（20）（本小题满分14分）设函数b ax x x f ---=3)1()(，∈x R ，其中a ，∈b R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； （Ⅲ）设0＞a ，函数)()(x f x g =，求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．412016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）一、选择题： （1）【答案】D （2）【答案】B （3）【答案】A （4）【答案】B （5）【答案】C （6）【答案】D （7）【答案】B （8）【答案】C第Ⅱ卷二、填空题： （9）【答案】2 （10）【答案】56- （11）【答案】2（12） （13）【答案】13(,)22(14) 三、解答题 （15）【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π+=-.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== ()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦I .所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【结束】 (16) 【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：210C ，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：112344C C C +，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为0,1,2.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望试题解析：解：()I 由已知，有()1123442101,3C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为13. ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=， ()111133342107115C C C C P X C +===， ()11342104215C C P X C ===. 所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：概率，概率分布与数学期望 【结束】 (17)【答案】 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF u u u r u u u r u u u r的方向为x轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-u u u r u u u r .设()1,,n x y z =u r 为平面ADF 的法向量，则1100n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =u r ，又()0,1,2EG =-u u u r ，可得10EG n ⋅=u u u r u r，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（II ）解：易证，()1,1,0OA =-u u u r为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-u u u r u u u r .设()2,,n x y z =u u r 为平面CEF 的法向量，则220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩.不妨设1x =，可得()21,1,1n =-u u r . 因此有222cos ,3OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅u u u r u u ru u u r u u r u u u r u u r ，于是2sin ,3OA n <>=u u u r u u r ，所以，二面角O EF C --（III ）解：由23AH HF =，得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-u u u r ，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，因此222cos ,21BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅u u u r u u ru u u r u u r u u u r u u r .所以，直线BH 和平面CEF所成角的正弦值为21. 考点：利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18)【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21nn n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211nnn n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()222111111111111212121nn n k k k kT d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论.试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.（II ）证明：()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+L所以()222211111111111112121212nn n k k k kT d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑.考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 （19）【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞Y 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||c OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M MM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【结束】 （20）【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3)1(20ax =-，计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -，||,|(|33f f -的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，33120331aa +≤<≤-，②当334a ≤<时，3321233133103321aa a a +≤<+<-<≤-，③当304a <<时，23313310<+<-<aa . 试题解析：（Ⅰ）解：由b ax x x f ---=3)1()(，可得a x x f --=2)1(3)('. 下面分两种情况讨论：（1）当0≤a 时，有0)1(3)('2≥--=a x x f 恒成立，所以)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.（2）当0>a 时，令0)('=x f ，解得331ax +=，或331a x -=. 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(aa +-，单调递增区间为)331,(a --∞，),331(+∞+a. （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且10≠x ，由题意，得0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20a x =-， 进而b ax a b ax x x f ---=---=332)1()(00300.又b a ax x ab x a x x f --+-=----=-32)1(38)22()22()23(000300)(33200x f b a x a =---=，且0023x x ≠-，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足)()(01x f x f =，且01x x ≠，因此0123x x -=，所以3201=+x x ；（Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理： （1）当3≥a 时，33120331aa +≤<≤-，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M . （2）当343<≤a 时，3321233133103321aa a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)331()3321()0(a f a f f +=-≥，)331()3321()2(a f a f f -=+≤，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]331(),331([af a f -+，因此 |}392||,392max {||})331(||,)331(max {|b a a ab a a a a f a f M -----=-+= |})(392||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--= 414334392||392=⨯⨯⨯≥++=b a a a . （3）当430<<a 时，23313310<+<-<aa ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， )331()3321()0(a f a f f +=-<，)331()3321()2(af a f f -=+>， 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]2(),0([f f ，因此|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=41||1>++-=b a a . 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于41. 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【结束】。
2016年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)
2016年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）参考公式：• 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+；• 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；• 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；• 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年天津，理1，5分】已知集合}{1,2,3,4A =，}{32,B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）（A ）}{1 （B ）}{4 （C ）{}1,3 （D ）{}1,4【答案】D【解析】把1,2,3,4x =分别代入32y x =-得：1,4,7,10y =，即{}1,4,7,10B =，∵{}1,2,3,4A =，∴{}1,4A B =，故选D ．【点评】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小．一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏．（2）【2016年天津，理2，5分】设变量x ，y 满足约束条件解．（2）利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．（4）（4）【2016年天津，理4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】B【解析】第一次判断后：不满足条件，248S =⨯=，2n =，4i >；第二次判断不满足条件3n >；第三次判断满足条件：6S >，此时计算862S =-=，3n =，第四次判断3n >不满足条件，第五次判断6S >不满足条件，4S =．4n =，第六次判断满足条件3n >，故输出4S =，故选B ．【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．（5）【2016年天津，理5，5分】设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q 则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n na a -+<”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，若“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n na a -+<”不一定成立，例如：当首项为2，12q =-时，各项为2，1-，12，14-，…，此时()2110+-=>，1110244⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭； 而“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”，前提是“0q <”，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要而不充分条件，故选C ．【点评】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．（6）【2016年天津，理6，5分】已知双曲线()222104xy b b -=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）223144xy -= （B ）224143x y -= （C ）222144x y -= （D ）221412x y -=【答案】D【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为224x y +=，双曲线两条渐近线方程为2b y x =±，设,2b A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则∵四边形ABCD 的面积为2b ，∴22x bx b ⋅=，∴1x =±，将1,2b A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入224x y +=，可得2144b +=，∴212b =，∴双曲线的方程为221412x y -=，故选D ．【点评】求双曲线的标准方程关注点：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为()2210Ax By AB =<＋．②若已知渐近线方程为0mx ny +=，则双曲线方程可设为()22220m x n y λλ-=≠．（7）【2016年天津，理7，5分】已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）（A ）58- （B ）18 （C ）14 （D ）118【答案】B【解析】由DD 、E 分别是边AB 、BC 的中点，2DE EF =，()()AF BC AD DF AC AB ⋅=+⋅-()()2213133112224442AB DE AC AB AB AC AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，311111144228=-⋅⋅⋅-=，故选B ．【点评】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简． 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．（8）【2016年天津，理8，5分】已知函数2(43)3,0()log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩（0a >，且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ （B ）23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （D ）123,334⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【答案】C【解析】()log 11ay x =++在[)0,+∞递减，则01a <<，函数()f x 在R 上单调递减，则()()234020104303log 011a a a a a -⎧≥⎪⎪<<⎨⎪+-⋅+≥++⎪⎩；解得，1334a ≤≤；由图象可知，在[)0,+∞上，()2f x x =-有且仅有一个解，故在(),0-∞上，()2f x x =- 同样有且仅有一个解，当32a >即23a >时，联立()24332x a a x +-+=-，则()()2424320a a ∆=---=，解得34a =或1（舍去），当132a ≤≤时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，故选C ．【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2016年天津，理9，5分】已知a ，R b ∈，i 是虚数单位，若()()1i 1i b a +-=，则a b 的值为 ．【答案】2【解析】∵()()()1i 1i 11i b b b a +-=++-=，,R a b ∈，∴110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：21a b =⎧⎨=⎩，∴2a b =．【点评】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)()()i,(,,.)++=-++∈a b c d ac bd ad bc a b c d R ，22i ()()i i +++-=++a b ac bd bc ad c d c d (,,.)∈a b c d R ，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数i(,)+∈a b a b R 的实部为a 、虚部为b 22+a b 为i -a b ． （10）【2016年天津，理10，5分】821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】56-【解析】()()8216318811r r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1637r -=，解得3r =．∴821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为()338156C -=-．【点评】（1）求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n r ≥）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．（11）【2016年天津，理11，5分】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为 3m ．【答案】2【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积2212m S =⨯=，棱锥的高3m h =，312m 3V Sh ==． 【点评】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．（12）【2016年天津，理12，5分】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，22BE AE ==，BD ED =，则线段CE 的长为 ．【答案】23【解析】过D 作DH AB ⊥于H ，∵22BE AE ==，BD ED =，∴1BH HE ==，2AH =，1BH =，∴2•2DH AH BH ==，则2DH =，在Rt DHE ∆中，则 22213DE DH HE =+=+=，由相交弦定理得：CE DE AE EB ⋅=⋅，∴233AE EB CE DE ⋅===． 【点评】1、解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2、应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．（13）【2016年天津，理13，5分】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()()122a f f ->-，则a 的取值范围是 ．【答案】13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，∴()f x 在区间()0,+∞上单调递减，则()()122a f f ->-，等价为()()122a f f ->，即1222a --<<，则112a -<，即1322a <<． 【点评】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．（14）【2016年天津，理14，5分】设抛物线222x pty pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，0p >）的焦点F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7,02C p ⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ．若2CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值为 ．【答案】6【解析】抛物线222x pty pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，0p >）的普通方程为：22y px=焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，如图：过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7,02C p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ．2CF AF =，3CF p=，32AB AF p ==，(),2A p p，ACE ∆的面积为32，12AE AB EF CF ==，可得13AFCACESS ∆∆=．即：11323232p p ⨯⨯⨯=，解得6p =．【点评】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）若()0,P x y 为抛物线()220y px p =>上一点，由定义易得02pPF x =+；若过焦点的弦AB 的端点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则弦长为12AB x x p =++，12x x +可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2016年天津，理15，13分】已知函数()4tan sin cos 323f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性． 解：（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．()4tan cos cos 34sin cos 333f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134sin cos 32sin cos 332x x x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()sin 231-cos23sin 23cos2=2sin 23x x x x x π==-．所以， ()f x 的最小正周期22T ππ==．（2）令23z x π=-，函数2sin y z=的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减． 【点评】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证． 对于三角函数来说，常常是先化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．（16）【2016年天津，理16，13分】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）由已知，有()1123442101,3C C C P A C +==所以，事件A 发生的概率为13．（2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342104015C C C P X C ++===，()111133342107115C C C C P X C +===，()113424215C C P X C ===．所以，随机变量X 分布列为：X0 1 2 P 415 715 415随机变量X 的数学期望()4740121151515E X =⨯+⨯+⨯=． 【点评】求均值、方差的方法（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；（2）已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；（3）如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．（17）【2016年天津，理17，13分】如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==． （1）求证：//EG 平面ADF ；（2）求二面角O EF C --的正弦值； （3）设H 为线段AF 上的点，且23AH HF =，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．解：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),A B C ----(11,0),D ，(1,1,2),E --(0,0,2),F (1,0,0)G -．（1）()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-．设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ ．不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面．（2）易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量．依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-．设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩．不妨设1x =，可得()21,1,1n =-．因此有2226cos ,OA n OA nOA n ⋅<>==-⋅，于是23sin ,OA n<>=，所以，二面角O EF C --的正弦值为3．（3）由23AH HF =，得25AH AF =．因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此2227cos ,BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅直线BH 和平面CEF 7．【点评】1、利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．2、利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．（1）0a ≠，0b ≠，·0a b a b ⊥⇔＝；（2）2a a ；（3）cos ,a ba b a b⋅=． （18）【2016年天津，理18，13分】已知{}na 是各项均为正数的等差数列，公差为d ．对任意的N n *∈，n b 是na 和1n a +的等比中项．（1）设221nn nc b b +=-，N n *∈，求证：数列}{nc 是等差数列； （2）设1ad =，221(1)nknkk T b ==-∑，N n *∈，求证21112nk kT d=<∑． 解：（1）由题意得21nn n b a a +=，有22112112nn nn n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}nc 是等差数列．（2）()()()2222221234212nn nT b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+所以()222211111111111112121212nnnk k k kT d k k d kk d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑．【点评】分组转化法求和的常见类型（1）若nnna b c ±＝，且{}nb ，{}nc 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}na 的前n 项和．（2）通项公式为na =⎩⎨⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{}n b ，{}nc 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．（19）【2016年天津，理19，14分】设椭圆22213x y a +=(3a >的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113eOF OA FA+=，其中O 为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ．若BF HF ⊥，且MOA ∠≤MAO ∠，求直线l 的斜率的取值范围．解：（1）设(),0F c ，由113cOF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c=，因此24a=，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设直线l 的斜率为k ()0k ≠，则直线l 的方程为()2y k x =-．设(),B B B x y ，由方程组()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，整理得()2222431616120kx k x k +-+-=．解得2x =，或228643k x k-=+，由题意得228643Bk x k -=+， 从而21243Bkyk -=+．由（1）知，()1,0F ，设()0,HH y ，有()1,HFH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭．由BF HF⊥，得BF HF ⋅=，所以222129404343Hky k k k -+=++，解得29412H k y k-=．因此直线MH 的方程为219412k y x k k-=-+．设(),MM M xy ，由方程组219412(2)k y x k k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩消去y ，解得2220912(1)M k x k +=+．在MAO∆中，||||MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔≤，即()22222MMMMx y x y -+≤+，化简得1Mx ≥，即22209112(1)k k +≥+，解得6k ≤或6k ≥．所以，直线l 的斜率的取值范围为66,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．【点评】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． （20）【2016年天津，理20，14分】设函数()3()1f x x ax b =---，x ∈R ，其中a ，b ∈R ．（1）求()f x 的单调区间； （2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=；（3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于．．．14．解：（1）由()()31f x x ax b =---，可得()()2'31f x x a =--．下面分两种情况讨论：①当0a ≤时，有()()2'310f x x a =--≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞．②当0a >时，令()'0f x =，解得31a x =+31ax =-当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表： x3,13a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭ 313a - 331,133a a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 313a + 31,3a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x ＋ 0 － 0 ＋ ()f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以()f x 的单调递减区间为331a a ⎛-⎝⎭，单调递增区间为3,1a ⎛-∞ ⎝⎭，31a⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．（2）因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >，且01x≠，由题意，得()()2'310f x x a =--=，即()2013a x -=，进而()()300002133a af x x ax b x b =---=---． ()()()()()3000000082322222123333a a af x x a x b x ax a b x b f x -=----=-+--=---=，且0032x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数满足()()1f x f x =，且10x x ≠，因此1032x x =-，所以1023x x +=．（3）设()g x 在区间[]0,2上的最大值为M ，{}max ,x y 表示,x y 两数的最大值．下面分三种情况同理：①当3a ≥时，331021a a≤<≤，由（1）知，()f x 在区间[]0,2上单调递减，所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为()()2,0f f ⎡⎤⎣⎦，因此()(){}{}max 2,0max 12,1M f f a b b ==----{}max 1(),1()a a b a a b =-++--+1(),01(),0a ab a b a a b a b -+++≥⎧=⎨--++<⎩，所以12M a a b =-++≥．②当334a ≤<时，233323101121aa a a≤<<<≤+1）和（2）知，()233011a a f f f ⎛⎛≥=+ ⎝⎭⎝⎭，()233211a a f f f ⎛⎛≤+=-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为331,1a a f f ⎡⎤⎛⎛⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，33max 1,1a a M f f ⎧⎫⎛⎛⎪⎪=+- ⎨⎬ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭22max 3399a a a a b a a b ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭()()22max 3399a a a a b a a b ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭223313399444a a ab =+≥⨯⨯=．③当304a <<时，330112a a<<<，由（1）和（2）知，()233011a a f f f ⎛⎛<-=+ ⎝⎭⎝⎭，()233211a a f f f ⎛⎛>+= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为()()0,2f f ⎡⎤⎣⎦，因此()(){}{}max 0,2max 1,12M f f b a b ==----()(){}max 1,1a a b a a b =-++--+11||4a ab =-++>．综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14． 【评析】1、求可导函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数()f x 的定义域（定义域优先）；（2）求导函数()f x '；（3）在函数()f x 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．（4）由()()()00f x f x >'<'的解集确定函数()f x 的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2、由函数()f x 在(),a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ （或()0f x '≤）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (理科)解析版
本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分,共150分,考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页。
答卷前,考生务必将自己地，准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用款形码。
答卷时,考生务必将结果涂写在答题卡上,答在试题上地无效。
考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1，每小题选出结果后,用铅笔将答题卡上对应题目地结果标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他结果标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分参考公式：假如事件 A,B 互斥,那么 ·假如事件 A,B 相互独立, P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．柱体地体积公式V 柱体=Sh, 圆锥地体积公式V =31Sh 其中 S 表示柱体地底面积其中 其中S 表示锥体地底面积,h 表示圆锥地高．h 表示棱柱地高．一，选择题：在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.（1）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）（A ）{1}（B ）{4}（C ）{1,3}（D ）{1,4}【结果】D 【思路】试题思路：{1,4,7,10},A B {1,4}.B == 选D .考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合地运算,容易出错地地方是审错题意,误求并集,属于基本题,难点系数较小.一要注意培养良好地答题习惯,避免出现粗心错误,二是明确集合交集地考查立足于圆素互异性,做到不重不漏.（2）设变量x ,y 满足约束款件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+地最小值为（ ）（A ）4-（B ）6（C ）10（D ）17【结果】B考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应地是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数地几何意义,是求直线地截距，两点间距离地平方，直线地斜率，还是点到直线地距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法，值域范围.（3）在△ABC 中,若AB ,BC=3,120C ∠= ,则AC = （ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【结果】A 【思路】试题思路：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.考点：余弦定理【名师点睛】1.正，余弦定理可以处理四大类解三角形问题,其中已知两边及其一边地对角,既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正，余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化,从而达到知三求三地目地．（4）阅读右边地程序框图,运行相应地程序,则输出S 地值为（ ）（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【结果】B 【思路】试题思路：依次循环：8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S ======结束循环,输出S 4=,选B.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图地考查,侧重于对流程图循环结构地考查.先明晰算法及流程图地相关概念,包括选择结构，循环结构，伪代码,其次要重视循环起点款件，循环次数，循环终止款件,更要通过循环规律,明确流程图研究地数学问题,是求和还是求项.（5）设{a n }是首项为正数地等比数列,公比为q ,则“q <0”是“对任意地正整数n ,a 2n −1+a 2n <0”地（ ）（A ）充要款件 （B ）充分而不必要款件（C ）必要而不充分款件 （D ）既不充分也不必要款件【结果】C 【思路】试题思路：由题意得,22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-,故是必要不充分款件,故选C.考点：充要关系【名师点睛】充分，必要款件地三种判断方式．1．定义法：直接判断“若p 则q ”，“若q 则p ”地真假．并注意和图示相结合,例如“p ⇒q ”为真,则p 是q 地充分款件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ,q ⇒p 与非p ⇒非q ,p ⇔q 与非q ⇔非p 地等价关系,对于款件或结论是否定式地命题,一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ,则A 是B 地充分款件或B 是A 地必要款件。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题(理科)解析版
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理)试题本试卷分为第I卷(选择题)和第n (非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
至3页，第n卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号•2•本卷共8小题，每小题5分，共40分参考公式：如果事件A , B互斥，那么P(A U B)=P(A)+P(B).柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S表示柱体的底面积其中h表示棱柱的高.如果事件A , B相互独立，P(AB)=P(A) P(B).1圆锥的体积公式V =丄Sh3其中S表示锥体的底面积，h表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)已知集合A 41,2,3,4}, B={y|y=3x-2, x A}, 则 B =()(A) {1} ( B) {4} (C) {1,3} ( D) {1,4}【答案】D【解析】试题分析：B ={1,4,7,10},A A B={1,4}.选D.考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小•一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏•x —y 2 _0,（2）设变量x, y满足约束条件2x・3y_6_0,则目标函数z =2x 5y的最小值为（）I3x 2y -9 乞0.并交回。
（A）-4 （B）6 （C）10 （D）17【答案】B【解析】试题分析；可行域为一"三角形A5C 5.其内部，其中: ■: 1盲z = 53点5时取最小值£选3.考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围（3）在△ABC 中，若AB= ..13,BC=3，/C =120’，则AC=（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得13=9 - AC2，3AC= AC =1,选A.考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.2 •利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的.（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）8fj = -ir J,『■出$ _ }>—X - >.结柬J【答案】B【解析】试题分析：依次循环：S =8,n =2;S=2,n =3;S=4,n =4结束循环，输出S = 4，选B.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要 通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项（5）设｛a n ｝是首项为正数的等比数列， 公比为q,则q<0”是 对任意的正整数n, a 2n-i +a 2n <0”的（）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，a 2ni ' a2n ：：： 0 ：二 ai （q 2n ^2 • q 2n ‘）：：： 0= q 2（n J ） （q • 1） ：：：0：= q •（-：：,-1），故是必要不充分条件，故选 C.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法.1 •定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假•并注意和图示相结合，例如“ p ? q ”为真，则p 是q 的充分条件.2•等价法：利用p ? q 与非q ?非p , q ? p 与非p ?非q , p ? q 与非q ?非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.3 •集合法：若 A ? B,则A 是B 的充分条件或 B 是A 的必要条件；若 A = B,则A 是B 的充要条件.2 2X y（6）已知双曲线与=1 （ b >0）,以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两4 b 2条渐近线相交于 A 、B C D 四点，四边形的 ABCD 勺面积为2b ,则双曲线的方程为（）【答案】D【解析】. 16 i故双曲融据为姬D.•先明晰算法及流程图的相关概(A )(B ) 2 2—14 3(C )=1(D )=1 12试题分析：根据对称性.不娟设A 在第一家限，4 占\ -- ” -——7^ :考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点:(1) 确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a, b 的值，常用待定系数法.(2) 利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论.①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax 2+ By 2= 1(AB< 0).②若已知渐近线方程为 m 灶ny = 0，则双曲线方程可设为nnx 2- n 2y 2=入(入工0).(7)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D, E 分别是边AB, BC 的中点，连接DE 并延长到点F , 使得DE=2EF1(B)8【答案】 【解析】AF =AD DF ^a 3(b _a) 一2 4选B.考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积； 二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简•平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言一一“坐标语言”，实质是“形”化为“数” •向量的坐标运算，使得向量 的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.x + (4a 一 3)x + 3a x w 0(8)已知函数f (x )'(a >0,且a ^ 1)在R 上单调递减，且关于 x 的方 Jog a (x+1)+1,x^0程| f(x)|=2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是()22 312 3 1 2 3(A ) ( 0,]( B ) [―,](C )[―,]【1{ } ( D ) [- ,) 一 { —}33 43 34334【答案】C 【解析】工3 - 4a - 01 3试题分析：由f (x)在R 上递减可知：1乞a 乞3，由方程|f(x)|=2-x 恰好有两|3aZ1,0<av1 3 4 1 1 2 3 个不相等的实数解，可知3a - 2,1-2, a ,又T a 时，抛物线目=£ (4a-3)x • 3aa 3 3 4，则AF BC 的值为((A )试题分析：设齐,芯 b ,••• DM AC 2](b - a) , DF2= |DE £(b_a), 2 4BC a b -b 244-----，故8 4 8。
2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(天津卷,解析版)
2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）一、选择题1．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{1,4} 【答案】D【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B == 选D. 【考点】集合运算2．设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17 【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B. 【考点】线性规划3．在△ABC中，若AB ，120C ∠=,则AC= （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 【考点】余弦定理4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B 【解析】试题分析：依次循环：8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S ======结束循环，输出S 4=，选B.【考点】循环结构流程图 5．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n ＜0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(n n n n n a a a q q qq q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系6．已知双曲线2224=1x y b-（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x - （B ）22344=1y x - （C ）2224=1x y b - （D ）2224=11x y - 【答案】D【解析】试题分析：根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，∴22422x x y bb y x y ⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩， ∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 【考点】双曲线渐近线7．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811 【答案】B【解析】试题分析：设BA a = ，BC b = ，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==- ，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+ ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+= ，故选B.【考点】向量数量积8．已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a ＞0,且a≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23] {34}（D ）[13，23） {34}【答案】C【解析】试题分析：由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334 ，故选C.【考点】函数性质综合应用二、填空题9．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【解析】试题分析：(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，则110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2． 【考点】复数相等10．281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.（用数字作答）【答案】56-【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，3r =，所以7x 的338(1)56C -=-．故答案为56-．【考点】二项式定理11．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.【答案】2【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为1(21)323V =⨯⨯⨯=．故答案为2． 【考点】三视图12．如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE=2AE=2，BD=ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】3【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x=，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为AB是直径，则BC ==AD =BCE DAE ∆∆:，则BC EC AD AE =，即1x=，解得x =【考点】相交弦定理13．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22【解析】试题分析：由题意()f x 在(0,)+∞上递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->或化为1(2))a f f ->，则12a -<，112a -<，解得1322a <<，即答案为13(,)22． 【考点】利用函数性质解不等式14．设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点A作l 的垂线，垂足为B.设C （72p,0），AF 与BC 相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为p 的值为_________.【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=，又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||A y ，由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2E F C FE A A F==，所以22C E F C S S ∆∆==，ACF AEC CFES S S ∆∆∆=+=，所以132p ⨯=，p =【考点】抛物线定义三、解答题15．已知函数f （x ）=4tanxsin （2x π-）cos （3x π-）（Ⅰ）求f （x ）的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f （x ）在区间[,44ππ-]上的单调性. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性试题解析：（Ⅰ） 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π+-=-.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （Ⅱ）解：令2,3z x π=-函数2s i ny z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式16．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. （Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：210C ，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：112344C C C +，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为0,1,2.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望 试题解析：解：（Ⅰ）由已知，有()1123442101,3C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为13. （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=， ()111133342107115C C C C P X C +===， ()11342104215C C P X C ===. 所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 【考点】概率，概率分布与数学期望17．如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ；（Ⅱ）求二面角O-EF-C 的正弦值； （Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且AH=23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（Ⅰ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==- .设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n = ，又()0,1,2EG =-，可得10E Gn ⋅= ，又因为直线E G A D F ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（Ⅱ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面O E F 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==- .设()2,,n x y z =为平面C E F 的法向量，则220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ .不妨设1x =，可得()21,1,1n =- .因此有222cos ,3OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅，于是2sin ,3OA n <>= ，所以，二面角O EF C --的正弦值为3. （Ⅲ）解：由23A H H F =，得25A H A F =.因为()1,1,2AF =- ，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，因此222cos ,BH n BH n BH n ⋅<>==⋅所以，直线BH 和平面CEF所成角的正弦值为. 【考点】利用空间向量解决立体几何问题18．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.（Ⅰ）设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；（Ⅱ）设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211nnn n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()22211111111111212121nnnk k k kT d k k dk k ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论. 试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.（Ⅱ）证明：()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+所以()222211111111111112121212nn n k k k kT d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 【考点】等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和19．设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||cOF OA FA +=，得113()c c a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k ky B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MM M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程20．设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈, （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ） 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3)1(20ax =-，计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -，||,|(|f f 的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，33120331a a +≤<≤-，②当334a ≤<时，3321233133103321aa a a +≤<+<-<≤-，③当304a <<时，23313310<+<-<aa . 试题解析：（Ⅰ）解：由b ax x x f ---=3)1()(，可得a x x f --=2)1(3)('. 下面分两种情况讨论：（1）当0≤a 时，有0)1(3)('2≥--=a x x f 恒成立，所以)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.（2）当0>a 时，令0)('=x f ，解得331ax +=，或331a x -=. 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(aa +-，单调递增区间为)331,(a --∞，),331(+∞+a. （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且10≠x ，由题意，得0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20a x =-， 进而b ax a b ax x x f ---=---=332)1()(00300. 又b a ax x a b x a x x f --+-=----=-32)1(38)22()22()23(000300 )(33200x f b a x a =---=，且0023x x ≠-，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足)()(01x f x f =，且01x x ≠，因此0123x x -=，所以3201=+x x ；（Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理： （1）当3≥a 时，33120331aa +≤<≤-，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M .（2）当343<≤a 时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)331()3321()0(a f a f f +=-≥，)331()3321()2(af a f f -=+≤，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]331(),331([af a f -+，因此 |}392||,392max{||})331(||,)331(max{|b a a ab a a a a f a f M -----=-+=|})(392||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--= 414334392||392=⨯⨯⨯≥++=b a a a . （3）当430<<a 时，23313310<+<-<aa ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， )331()3321()0(a f a f f +=-<，)331()3321()2(a f a f f -=+>， 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]2(),0([f f ，因此|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=41||1>++-=b a a . 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于41. 【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式。
2016年高考理数真题试卷(天津卷)
第1页，总19页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2016年高考理数真题试卷（天津卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共9题)A={1，2，3，4}，B={y|y=3x ﹣2，x∈A}，则A∩B=（ ） A . {1} B . {4} C . {1，3} D . {1，4}2. （2016•天津）已知函数f （x ）= （a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程│f （x ）│=2x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A . （0， ]B . [ ， ]C . [ ， ] { }D . [ ， ）{ }3. （2016•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )答案第2页，总19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 2B . 4C . 6D . 84. （2016•天津）已知∈ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ， 使得DE =2EF ， 则 的值为( ) A . B . C . D .5. （2016•天津）在∈ABC 中，若 ,BC =3，,则AC =( )A . 1B . 2C . 3D . 46. （2016•天津）设变量x ， y 满足约束条件 则目标函数 的最小值为( )A .B . 6C . 10D . 177. （2016•天津）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ， 则“q <0”是“对任意的正整数n ， a 2n −1+a 2n <0”的( )A . 充要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件8. （2016•天津）已知双曲线（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双。
2016年高考理科数学天津卷-答案
A B{1,4}=中元素代入y3x=【考点】集合思想；定义法；集合．2AC BCcosC，2x bx 2b =，∴112=，故选，AF BC (AD DF)(AC AB)=+-221313311AB DE (AC AB)AB AC (AC AB)AC AB AC AB 2224442⎫⎛⎫+-=+-=--⎪ ⎪⎭⎝⎭，1111114228-=，故选B ．3)03a log+≥由图像可知，在[0,)+∞上，34⎤⎧⎫⎨⎬⎥⎦⎩⎭，故选CE DE AE EB =， AE EB 12DE 33⨯=32三、解答题15.【答案】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为x x k ,k Z 2⎧⎫π≠+π∈⎨⎬⎩⎭．πAB 12⎡=-⎢⎣所以，当πx 4⎡∈-⎢⎣【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图像．16.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有112344210C C C1P(A)C3+==所以，事件A发生的概率为13．17.【答案】解：依题意，，如图，以O为点，分别以AD，BA，OF的方向为x轴，y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)-，B(1,1,0)--，C(1,1,0)-D(1,1,0)，E(1,1,2)--，F(0,0,2)，G(1,0,0)-．（Ⅰ）AD (2,0,0)=，AF (1,1,2)=-．设1n (x,y,z)=11n AD 0n AF 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，y 2z 0+=．不妨设z 1=，可得1n (0,2,1)=，又EG (0,1,=，可得1EG n 0=， ADF ∥平面．（Ⅱ）易证，OA (1,1,0)=-依题意，EF (1,1,0)=，CF (1,1,2)=-．设2n (x,y,z)=22n EF 0n CF 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，y 2z 0+=．不妨设x 1=，可得2n (1,1,1)=-222OA n 6OA,n 3OA n ==-，于是23sin OA,n 3=所以，二面角O EF C --的正弦值为2因为AF (1,1,2)=-，所以22AH AF ,55⎛==- ，从而2BH ,5⎛= 222BH n 7BH,n 21BH n ==-．和平面CEF 所成角的正弦值为（Ⅰ）通过证明1EG n 0=，又因为直线（Ⅲ）求出24BH ,5⎛⎫= ⎪⎝，利用向量的夹角公式求出直线18.【答案】解：（Ⅰ）由题意得2n n n 1b a a +=，有22n n 1n n 1n 2n n 1n 1c b b a a a a 2da +++++=-=-=，22n 2n n(a a )a )2d2d 2+++==2211n 12d ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭． （Ⅰ）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列19.【答案】解：（Ⅰ）设F(c,0)，由113c OF OA FA +=，即113cc a a(a c)+=-， ，有FH (1,=-，9BF 4k ⎛-= ，得BF HF 0=，3+6,4⎤⎡+∞⎥⎢⎦⎣方程，利用根与系数的关系求得11H BF HF (1x ,y )(1,y )0=---=，整理得到【考点】椭圆的简单性质．20.【答案】解：（Ⅰ）由3f (x)(x 1)ax b =---，可得2f '(x)3(x 1)a =--．下面分两种情况讨论：。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(天津卷,参考
2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高．h 表示锥体的高．第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B I =（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{1,4}（2）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（A ）4-（B ）6 （C ）10 （D ）17（3）在△ABC 中，若=13AB ,BC =3，120C ∠=o,则AC =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（5）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的 （A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - （7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF BC →→g 的值为 （A ）58-（B ）18（C ）14（D ）118（8）已知函数f （x ）=2(4),0,log (1)13,30)a x a a x x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程│f（x ）│=2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]U {34}（D ）[13，23）U {34} 第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1+i )(1-bi ）=a ，则ab的值为_______. （10）281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.（第11题图）（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.(13)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)＞f （-2），则a 的取值范围是______.(14)设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E . 若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为_________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (15) 已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-)-3.(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.（16）（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2. （I）求证：EG∥平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.（20）（本小题满分14分）设函数f(x)=（x-1）3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R。
2016年天津高考数学理科答案与解析
2016年天津高考数学（理科）答案与解析1．D【解析】{}1234A =，，，，{}14710B =，，，，∴{}14A B =I ，，选D ． 2．B 【解析】(3，0)z min =6z =2x +5y =0可行域如上图所示，则当取点(3,0)时，25z x y =+取得最小值为6 3．A【解析】设AC x =由余弦定理得：29131cos120232x x +-︒==-⋅⋅ 2243340x x x x -=-⇒+-=1x =或4-（舍），∴1AC =，选A ．4．B【解析】第一次：8s =，2n = 第二次：2s =，3n =第三次：4s =，4n =，满足3n >，输出4s =.5．C【解析】设数列的首项为1a ，则222122212111=(1)0n n n n n a a a q a q a q q ----+=++<，即1q <-，故0q <是1q <-的必要不充分条件．6．D 【解析】xyD CBA渐近线:2b OB y x =设002b B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则0012228b b x x ⋅⋅=，∴01x =，∴12b B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴222124b +=，∴212b =∴221412x y -=7．【解析】BFE DCBABC AC AB =-u u u v u u u v u u u vAF AD DF =+u u u v u u u v u u u v 1322AB DE =+u u u v u u u v 1324AB AC =+u u u v u u u v∴()1324BC AF AC AB AB AC ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1113311111222442=⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅1313144288=+--=，选B ． 8．C 【解析】由log (1)1a y x =++在[0,)+∞上递减，则01a << 又由()f x 在R 上单调递减，则：20(4-3)03(0)113343402a a f a a⎧+⋅+≥=⎪⇒⎨-≥⎪⎩≤≤ 由图像可知，在[0,+)∞上，()2f x x =-有且仅有一个解， 故在(,0)-∞上，()2f x x =-同样有且仅有一个解， 当32a >即23a >时，联立2(43)32x a x a x +-+=-， 则2(42)4(32)0a a ∆=---=，解得：34a =或1（舍），当32a 1≤≤时，由图像可知，符合条件. 综上：∴123334a ⎡⎤⎧⎫∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭U ，选C ．9．2ab= 【解析】()()11i bi a +-=，1b i bi a ++-=，∴1b a +=12b a =⎧⎨=⎩，2ab= 10．56- 【解析】()3552781C 56xx x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，∴系数为-5611．2【解析】121323V ==×××32112【解析】连接OD ，可得，BOD BDE :△△，∴23BD BO BE =⋅=∴BD DE =AEC DEB Q :△△，AE CEDE BE=2EC，EC ∴ECDBA13．1322a << 【解析】由()f x 是偶函数可知，()0-∞，单调递增；()0+∞，单调递减又()(12a f f ->，(f f =可得，12a -<即112a -<∴1322a <<14．P =【解析】x 、y 满足函数22y px =；,02p F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭3CF p ∴=，3=2AB AF p=可得：()A p 易知AEB FEC V :V ，12AE AB FE FC ==，故1113332ACE ACF S S p ==⨯⨯△△2p ==26p ∴= 0p >Q，∴p =15．【解析】()ππ4tan sin cos 323f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭134sin cos 32x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)sin 231cos 23x x =+-- sin 232x x = π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(Ⅰ)定义域ππ2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，,2ππ2T ==（Ⅱ）ππ44x -≤≤，5πππ2636x --≤≤，设π23t x =-，∵sin y t =在5ππ62t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，时单调递减，在ππ26t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时单调递增5π6-π2由5πππ2632x -≤-≤-解得ππ412x --≤≤，由πππ2236x -≤-≤解得ππ124x -<≤ ∴函数()f x 在ππ124⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调增，在ππ412⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上单调减16．【解析】（Ⅰ）设事件A ：选2人参加义工活动，次数之和为4()112343210C C C 1C 3P A +== （Ⅱ）随机变量X 可能取值 0，1，2()222334210C C C 40C 15P X ++=== ()11113334210C C C C 71C 15P X +=== ()1134210C C 42C 15P X ===()7811515E X =+= 17．【解析】（Ⅰ）证明：找到AD 中点I ，连结FI ，∵矩形OBEF ,∴EFOB ∥∵G 、I 是中点，∴GI 是ABD △的中位线∴GI BD ∥且12GI BD =∵O 是正方形ABCD 中心∴12OB BD =∴EF GI ∥且EF GI = ∴四边形EFIG 是平行四边形 ∴EG FI ∥ ∵FI ⊂面ADF ∴EG ∥面ADF （Ⅱ）O EF C --正弦值解：如图所示建立空间直角坐标系O xyz -I z yxABCDEFGHO()00B ，，)00C，，()02E ，，()002F ，， 设面CEF 的法向量()1n x y z =，，()()()()110000220n EF x y z n CF x y z z ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，，，，，得：01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴)101n =u r，∵OC ⊥面OEF ，∴面OEF 的法向量()2100n =u u r，，12cos n n <u u r u u r ，12sin n n <u r u u r ，（Ⅲ）∵23AH HF =∴)224020555AH AF ⎫===⎪⎪⎭u u u u r u u u r ，， 设()H x y z ，，∴()405AH x y z ⎫=+=⎪⎪⎭u u u u r ，，得：045x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩45BH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，2cos BH n <u u u r u r ， 18．【解析】⑴22112112n n n n n n n n C b b a a a a d a +++++=-=-=⋅21212()2n n n n C C d a a d +++-=-=为定值．∴{}n C 为等差数列⑵2213211(1)nk n k n k T b C C C -==-=++⋅⋅⋅+∑21(1)42n n nC d -=+⋅212(1)nC d n n =+-（*） 由已知22212123122122()4C b b a a a a d a d a d d =-=-=⋅=+= 将214C d =代入（*）式得22(1)n T d n n =+∴2111112(1)nnk k kT d k k ===+∑∑21111(1)2311221k k d ⋅=⋅⋅++--+-+212d<，得证 19． 【解析】F B(x B , y B )lkAMOH（Ⅰ）113e OF OA FA+=∴1a +=解之得2a =∴椭圆方程为：22143x y += （Ⅱ）由已知，设斜率为k (0)k ≠，方程为(2)y k x =-设()B B B x y ，00((2))M x k x -，，01()x MOA MAO ∠∠≥≤，()H H O y ，2222221(34)161612043(2)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩，0∆>成立 由韦达定理221612234B k x k -⋅=+，∴228634B k x k -=+，212(2)34B B ky k x k -=-=+ 001:(2)()HM l y k x x x k --=--令0x =，得012H y k x k k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵HF FB ⊥，∴(1)(1)0H B B FH FB y x y ⋅=-⋅-=u u u v u u u v，， 即20228612111203434B H B k k x y y k x k k k k -⎡⎤⎛⎫-+=--+-= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦ ∴202920112(1)k x k +=+≥，∴283k ≥∴kk ≤．20.【解析】（1）()()31f x x ax b=---()()2'31f x x a =--① 0a ≤，单调递增；②0a >，()f x 在,1⎛-∞ ⎝单调递增，在11⎛ ⎝单调递减，在1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增 （2）由()0'0f x =得()2031x a -=∴()()()320000131f x x x x b =----()()200121x x b =----()()()()32000032223132f x x x x b -=----- ()[]200018896x x x b =---+-()()200=121x x b ----()()()00132=f x f x f x ∴-=1023x x ∴+=（3）欲证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14，只需证在区间[02]，上存在12,x x ， 使得121()()2g x g x -≥即可①当3a ≥时，()f x 在[]02，上单调递减(2)12f a b =-- (0)1f b =--1(0)(2)2242f f a -=->≥递减，成立当03a <<时，311f a b ⎛⎛⎛-=-- ⎝⎝⎝a b =-+-23a b =--11f a b ⎛⎛+=- ⎝⎝23a b =--- ∵(2)12f a b =-- (0)1f b =--∴(2)(0)22f f a -=-若304a <≤时，()()102222f f a -=-≥，成立当34a >时，411132f f ⎛⎛-+= ⎝⎝，成立。
16年高考真题——理科数学(天津卷)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学一．选择题：本大题共8小题，每小题5分。
1．已知集合{}4,3,2,1=A ，{}A x x y y B ∈-==,23|，则=B A （ ） （A ）{}1（B ）{}4（C ）{}3,1（D ）{}4,12．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-0923063202y x y x y x ，则目标函数y x z 52+=的最小值为（ ） （A ）4-（B ）6（C ）10（D ）173．在ABC ∆中，若13=AB ，3=BC ，0120=∠C ，则=AC （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）85．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0<q ”是“对任意的正整数n ，0212<+-n n a a ”的（ ） （A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件6．已知双曲线()222140y b bx -=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于D C B A ,,,四点，四边形的ABCD 的面积为b 2，则双曲线的方程为（ ）（A ）224314y x -= （B ）224413y x -= （C ）22241x y b -= （D ）221412x y -=7．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）1（C ）41（D ）8118．已知函数()()()()()()24001log 11033a x a x f x a x x a x ⎧+<⎪=<≠⎨++≥⎪⎩-+在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）⎥⎦⎤ ⎝⎛32,0 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,32 （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡4332,31 （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡4332,31二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2016年高考理科数学试卷天津卷答案
AD
9
4 x2
，在圆中 BCE :
DAE ，则 BC AD
EC
，即
AE
2 2 x ，解得
9
4 x2
1
x2
3
．
3
（13）【答案】 (1 , 3) 22
【解析】由 f x 是偶函数可知， ，0 单调递增； 0， 单调递减
又 f 2a1 f 2 ， f 2 f 2
可得， 2 a1
3
m
，所以
AF
AD DF =
4
3m
1
n ， BC
m n ， AF BC
(3m
1
n) (m n)
3 m2
1 n2
1
mn
42
42
4 24
3 1 1 1 .故选 B. 428 8
（8）【答案】C
【解析】当 x 0 时， f ( x) 单调递减，必须满足 4a 3 0 ，故 0 a
三角形区域 ABC(包含边界),其中 A(0,2),B(3,0),C(1,3).根据目标函数的几何意义,可知当
直线 y 2 x z 过点 B(3,0)时,z 取得最小值 2×3+5×0=6. 55
解法二 由题意知,约束条件
所表示的平面区域的顶点分别为
A(0,2),B(3,0),C(1,3).将 A,B,C 三点的坐标分别代入 z 2x 5y ，得 z=10,6,17,故 z 的最小
3
，此时函
2
4
数 f ( x) 在 [0, ) 上单调递减，若 f ( x) 在 R 上单调递减，还需 3a 1，即 a 1 ，所 3
1 以
a
3 ．当 x 0 时，函数 y |
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I 卷
注意事项：
1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分
参考公式：
如果事件 A ，B 互斥，那么·如果事件 A ，B 相互独立，
P(A ∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)．
柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh
其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积，
h 表示柱体的高．h 表示锥体的高．
第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =
（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{1,4}
（2）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩
则目标函数25z x y =+的最小值为
（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17
（3）在△ABC 中，若AB BC =3，120C ∠= ,则AC =
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
（5）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任
意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的
（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件
（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件
（6）已知双曲线2
2
24=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为
（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）14
422=-y x （D ）2
224=11x y - （7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF BC →→ 的值为
（A ）58-（B ）18（C ）14（D ）118
（8）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≥++<+-+0
,1)1(log ,0,3)34(2x x x a x a x a （a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关
于x 的方程│f （x ）│=2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是
（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23] {34}（D ）[13，23） {34
} 第II 卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1+i)(1-b i ）=a ，则a b
的值为_______. （10）281
()x x
-的展开式中7x 的系数为__________.(用数字作答) （11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.
（第11题图）
（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.
(13)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)
＞f （，则a 的取值范围是______.
(14)设抛物线2
22x pt y pt
⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l
的垂线，垂足为B .设C （
72
p ,0），AF 与BC 相交于点E . 若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为则p 的值为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(15) 已知函数f(x)=4tanxsin(2x π
-)cos(3x π
-)(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44
ππ-]上的单调性.
（16）（本小题满分13分）
某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
（II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2.
（I ）求证：EG ∥平面ADF ；
（II ）求二面角O -EF -C 的正弦值；
（III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =23
HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.
（18）（本小题满分13分）
已知{n a }是各项均为正数的等差数列，公差为d 。
对任意的n *N ∈,n b 是n a 和1+n a 的等比中项。
(I)设n c =221n n b b -+，n *N ∈，求证：数列{n c }是等差数列；
(II)设1a =d ，T n =
2
21)1(k k
n k b ∑=-，n *N ∈，求证：∑=n
k k T 11<221d .
（19）（本小题满分14分） 设椭圆22a x +33y =1（a >3）的右焦点为F ，右顶点为A.已知FA
e OA OF 311=+,其中O 为原点，e 为椭圆的离心率。
(I)求椭圆的方程；
(II)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （点B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若B F ⊥HF ,且∠MOA ≤∠MAO,求直线l 的斜率的取值范围。
（20）（本小题满分14分）
设函数f (x )=（x-1）3-ax -b,x ∈R ，其中a ,b ∈R 。
(I)求f (x )的单调区间；
(II)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)=f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3；
(III)设a ＞0,函数g (x )=∣f (x )∣,求证：g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于．．．4
1.
历年全国高考试题/gaokaoshiti。