高中数学课件-四种命题及充要条件
四种命题及充要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒/ p
p是q的必要不充分条件
p⇒/ q且q⇒p
p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p
集合法:A={x|p(x)},B={x|q(x)} ⑨ A⊆B A⊇B A=B ⑩ A⫋B A⫌B A⊈B且A⊉B
拓展延伸
1.否命题与命题的否定的区别:
(1)否命题是对原命题的条件和结论同时否定;
词语 (=)
(>)
(<)
都是
任意的 所有的 至多有 至少有 一个 一个
否定 词语
不等于 不大于 不小于 不是
(≠)
(≤)
(≥)
不都是 某个
某些
至少有 一个也 两个 没有
方法技巧
方法 1 四种命题及其真假的判定方法
1.命题真假的判定 给出一个命题,要判定它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它 是假命题,只需举一反例即可. 2.四种命题的关系的应用 掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题的等价性,当直接判断一个命 题的真假不易进行时,可以判断其逆否命题的真假. 例1 (2017广东肇庆一模,5)原命题:设a、b、c∈R,若“a>b”,则“ac2> bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有 ( C ) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
例5 设命题p:|4x-3|≤1,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要
不充分条件,则实数a的取值范围是 ( A )
A. 0, 12
C.(-∞,0]∪ 12 ,
解题导引
B. 0, 12
D.(-∞,0)∪ 12 ,
第一章第三节充分条件、必要条件与命题的四种形式
5．(教材习题改编)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则 “a＝1”是“N⊆M”的________条件．
解析：若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或 a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
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1．充分条件与必要条件的两个特征． (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即
D．既不充分又不必要条件
解析：|x|>1⇔x>1或x<－1，故x>1⇒|x|>1，但|x|>1x>1， ∴|x|>1是x>1的必要不充分条件．
答案：B
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2．(2019·福建高考)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是
“|a|＝5”的
()
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
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怎么考 1. 本部分主要考查四种命题的概念及其相互关系，考查
充分条件、必要条件、充要条件的概念及应用． 2. 题型主要以选择题、填空题的形式出现，常与集合、
不等式、几何等知识相结合命题.
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一、充分条件、必要条件与充要条件 1．“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q
的充分条件，q是p的 必要 条件． 2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的 充
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[精析考题]
[例1] (2019·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝
3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是
()
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
高二数学充分与必要条件1
；
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区块链项目 区块链应用 数字货币；
过/甚至有生灵の利爪/直接抓到马开身上/到马开身上留下壹道血痕/ 生灵确定恐怖の/它们都虹咯眼睛/都拼命似の扑向马开/要为人形生灵报仇/舞动の力量/都确定最强の攻击/ 壹抓而下/要确定别の修行者肯定会被撕裂/但到马开身上只确定留下咯壹道血痕/这就确定它の肉身/强悍恐怖/ 马开横推 而去/无敌天下般/真有至尊风范/强势の壹塌糊涂/到它手中抪知道沾染咯多少血液/真の如同战神/身上已经沾满咯血液/壹路杀伐而去/ 当然/它身上也留下咯抪少伤痕/血痕壹道道/触目惊心/ 上万の修行者/到这些生灵の厮杀下/只剩下五千抪到到咯/这确定惨烈の战斗/但每壹佫人依旧咬紧牙关/冲 杀而去/此刻/唯有拼命壹搏/还有壹线生机/ 众人也到咯马开/马开身下已经尸骨堆积如山咯/抪知道被它斩杀咯多少生灵/尽管每壹佫人都见到马开身上触目惊心交错の血痕/但依旧心生敬畏/ 这数万の修行者/无数都冲杀向马开/到这样の围攻下/马开只确定伤痕累累根本抪算确定伤/马开の战斗力这 次再次展现出来/ 着马开依旧声势如雷/如同战神壹样/抪少人都心中震动/这佫人真の确定越战越勇/杀咯这么多生灵/居然毫无力竭の趋势/ 杀戮依旧到持续/马开身上再次添加咯几道伤痕/身下の尸骨多咯许多/到它手中/抪知道死咯多少生灵/ "哈哈哈/如此大战/怎么能缺少我们/" 就到群雄和数万 生灵交手の时候/壹佫响亮の声音响起来/随着这佫身影响起/恐怖の威严暴动而下/ 冰凌王/晴文婷/慕纤纤/龙华皇子这些强者都出现/身后还有无数の修行者跟随它们前来/也有数万之多/ 这些人参与进来/原本处于绝对下风の群雄这时候才缓咯壹口气/士气大涨の它们/冲杀向无数の生灵/开始疯狂の 反扑起来/ 壹面倒の情况改变咯/两者开始势如破竹の厮杀起来/惨叫声抪绝于耳/时
高考数学总复习命题及其关系充分条件与必要条件PPT课件
[自主解答] (1)“存在集合 C 使得 A ⊆C，B ⊆∁UC”⇔ “A ∩B＝∅”．故 C 正确．
(2)当数列{an}的首项 a1＜0 时，若 q＞1，则数列{an}是递减 数列；当数列{an}的首项 a1＜0 时，要使数列{an}为递增数列，则 0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也 不必要条件．故选 D.
提示：两者说法不相同．“p 的一个充分不必要条件是 q” 等价于“q 是 p 的充分不必要条件”，显然这与“p 是 q 的充 分不必要条件”是截然不同的．
1．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 B ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1， 0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不 充分条件．
[答案] (1)C (2)D (3)①④
充要条件问题的常见类型及解题策略 (1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三 步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论， 从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系． (2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题 目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验 证得到的必要条件是否满足充分性． (3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充 分必要性，判断是否成立即可．
B．若 x≤1，则 x＞0
C．若 x≤1，则 x≤0
D．若 x＜1，则 x＜0
数学常用逻辑用语(高中数学课件)
用常 语用
逻 辑
知识网络
命题及其关 系
简单的逻辑联结 词
四种命题
充分条件与必要条件
或
并集
且
交集 运算
非或 补集
全称量词与存在 量词
量词
全称表达的，可以判断真假 的陈述句称为命题． 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假 的语句称为假命题．
注、等价法（转化为逆否命题）
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条
件,则A为C的（ ）条Ａ件
A.充要
B必要不充分
C充分不必要 D不充分不必要
练习4、
1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
逆否命题：若 q 则 p
结论1：要写出一个命题的另外三个命 题关键是分清命题的题设和结论（即 把原命题写成“若P则Q”的形式）
注意：三种命题中最难写 的是否命题。
结论2：（1）“或”的否定为“且”， （2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不
都”。
三、四种命题之间的 关系
原命题
若p则q
充分非必要条件
2) 若A B且B A，则甲是乙的
必要非充分条件
3）若A B且B A，则甲是乙的
既不充分也不必要条件
4）若A=B ，则甲是乙的充分且必要条件。
注意点
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相 推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间 的区别与联系； ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间 的区别与联系
四种命题及充要条件
四种命题及充要条件第一部分考点精要1．四种命题及相互之间的关系：一个命题与它的逆否命题是等价的．2．充分、必要条件的判定：(1)若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(2)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．第二部分学法指导1．正确写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键在于：(1)将命题改写成“若p则q”的形式；(2)依据概念要求写出其他三种命题．2．判断命题的真假性，若能用“互为逆否的两个命题等价”的性质进行转化，通常能事半功倍．3．注意“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念．“否命题”同时否定条件与结论．4．判断××条件要注意以下两点：(1)在判断的时候，一定要从p能否推出q，q能否推出p两方面去判断(即正推与反推)．对于p⇒q，要能够证明，而对于p⇒/q，只需举一例即可．因此有时判断命题p⇒q困难，应转化为举反例判断其逆否命题⌝q⇒/⌝p是否成立．(2)“p是q的××条件”与“q的××条件是p”表述不同，但意思相同．在解题时，务必将后者转化为前者，以免出错．5．反证法与常见否定．(1)用反证法证明命题的一般步骤为：①假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立。
②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾．③由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确．(2)反证法的第一步是否定结论，在解决实际问题中，需掌握以下词语的否定.题型一：四种命题例1、设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．评析：对于命题，要注意大前提以及命题的条件和结论，在写命题的其他形式时，大前提一般不动，只是对条件和结论作相应的处理．可以利用等价关系来判断命题的真假题型二：条件的判定与关系例2：若函数f(x)是R上的增函数，则“a＋b>0”是“f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件B． C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12答案：C解析：由a ＋b >0，有a >－b ，b >－a ，∵f (x )是R 上的增函数，∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，∴f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )，正推成立．要判断逆推是否成立比较困难，可转化为判断其逆否命题：“a ＋b ≤0⇒f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )”，可依上推知该命题成立，∴逆推成立．选C.评析：判断充要条件问题时，要考虑p ⇒q 与q ⇒p 两个方面是否都成立；另外对于原命题不好判断时，可以考虑它的逆否命题，利用互为逆否的命题为等价命题来解决．题型三：充要条件的综合运用例4、证明一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 分析：此题应从判别式和根与系数的关系入手解题．证明：充分性：若ac <0，则b 2－4ac >0，且ca<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根．必要性：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．则Δ＝b 2－4ac >0，且x 1x 2＝ca<0，∴ac <0.评析：该例的叙述格式是“B 成立的充要条件是A ”，因此由A ⇒B 是充分性，由B ⇒A 是必要性，这种问题还有另一种叙述格式：p 是q 成立的充要条件，这时由p ⇒q 是充分性，由q ⇒p 是必要性，在解决这类问题时，要弄清属于哪种叙述格式，避免在论证中将充分性与必要性搞混．同类演练：“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”的充要条件是( ) A ．“(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立” B ．“(x 2＋2x )max ≥(ax )min 在x ∈[1,2]上恒成立” C ．“[x 2＋(2－a )x ]max ≥0在x ∈[1,2]上恒成立” D ．“[x 2＋(2－a )x ]min ≥0在x ∈[1,2]上恒成立”答案：D解析：不等式两边的x 取值具有同时性，不能分开求解，应选D. 例1、不等式x 2－2x －3≤0成立的充分不必要条件是( ) A ．－1≤x ≤3 B ．0≤x ≤4 C ．－1<x ≤3 D ．x ＝5 答案：C解：不等式等价于－1≤x ≤3，∵由－1<x ≤3可推得－1≤x ≤3，而逆推不成立，∴－1<x ≤3是不等式x 2－2x －3≤0成立的充分不必要条件． 即不等式x 2－2x －3≤0成立的充分不必要条件是－1<x ≤3.应选C.第四部分 随 堂 检 测1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B解析：原命题：条件——一个数是负数．结论——这个数的平方是正数． 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2、(2017·高考山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧¬q C ．¬p ∧q D.¬p ∧¬q答案：B解析：因为方程x 2－x ＋1＝0的根的判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又对于二次函数y ＝x 2－x ＋1，其图象开口向上，所以x 2－x ＋1>0恒成立，所以p 为真命题．对于命题q ，取a ＝2，b ＝－3，22<(－3)2，而2>－3，所以q 为假命题，¬q 为真命题．因此p ∧¬q 为真命题．选B.33．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }，则( ) A ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充要条件D ．“x ∈P ”既不是“x ∈Q ”的充分条件也不是“x ∈Q ”的必要条件 答案：A解析：P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }，∴P ⊆Q ，但Q P∴x ∈P ⇒x ∈Q 但x ∈Q /⇒x ∈P ，∴“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件． 4、下列命题：①“若x ＝2，则x 2＝4”的否命题；②“若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 全为零”的逆否命题； ③“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题． 其中真命题的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C解析：x ≠2但x ＝－2，也有x 2＝4，①是假命题； ∵x ，y ∈R ，由x 2＋y 2＝0必有x ＝y ＝0，∴其逆否命题也为真，②是真命题；由a ＝0或b ＝0，必有ab ＝0，∴③是真命题，选C.5、“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件 答案：A解析：由方程有实数解，有Δ＝1－4m ≥0∴m ≤14.由“m <14”可推出“m ≤14”，但反之不成立，所以“m <14”是“m ≤14”的充分不必要条件．选A.6．(2018·湖北新联考调研)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.[－1，1] 答案：D解析：“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，所以(－1，4)⊆(2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.7．设A ，B ，C 是三个集合，则“A ∩B ＝A ∩C ”是“B ＝C ”的__________条件． 答案：必要不充分8．命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为__________． 答案：若a ≤b ，则2a≤2b －1 9.以下判断：①⎩⎪⎨⎪⎧ a >0b >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >0ab >0 ②⎩⎪⎨⎪⎧ a <0b <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b <0ab >0③⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >2ab >1 ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >2a －1b －1>0其中正确的判断序号是________． 答案：①②④解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0b －1>0，又∵两数同为正数，它们的和与积必为正数，反之也成立． ∴①、④正确；②中正推成立，逆推也成立，∴②也正确．③中正推成立，但a ＝5，b ＝13时逆推不成立，∴③错．410、已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件．那么：(1)s 是q 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？(3)p 是q 的什么条件？ 解：已知r 、p 、q 、s 的关系如下图由图知：(1)∵q ⇒s ⇒r ⇒q ，∴s 是q 的充要条件． (2)∵r ⇒q ⇒s ⇒r ，∴r 是q 的充要条件． (3)∵q ⇒s ⇒r ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．评析：“⇒”可直观显示各条件之间的关系，在解决较多个条件的问题时经常用到，要细心体会．11．(2017∙山东模拟)已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0．若﹁p 是﹁q 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0且a ＜0得3a ＜x ＜a ，所以p ：3a ＜x ＜a ，即集合A ＝{x |3a ＜x ＜a }．由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，所以q ：－2≤x ≤3， 即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为﹁q ⇒﹁p ，所以p ⇒q ． 所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a ＜0⇒－23≤a ＜0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－23，0． 12、已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x －1.给定p ：x <π4或x >π2，x ∈R .q ：－2<f (x )－m <2.若¬p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：由q 可得⎩⎪⎨⎪⎧m >f （x ）－2m <f （x ）＋2.因为¬p 是q 的充分条件，所以在π4≤x ≤π2的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧m >f （x ）－2m <f （x ）＋2恒成立．又f (x )＝2⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －23cos 2x －1＝2sin 2x －23cos 2x ＋1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 由π4≤x ≤π2，知π6≤2x －π3≤2π3，所以当x ＝5π12时，f (x )max ＝5， 当x ＝π4时，f (x )min ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧m >5－2m <3＋2，即3<m <5.所以m 的取值范围是(3，5)．。
命题及其关系充分条件与必要条件(共58张PPT)
必要
,q是p的_____条件 p是q的 充分不必要 p⇒q且q
_______必__要__不条充件分
p
p是q的
p q且
_______充__要__条件 q⇒p
p是q的_既__不__充条分件也不必p要⇔q
p是q的 ________________ _条件
p q
q且 p
2.必备结论 教材提炼 记一记
(1)四种命题中的等价关系:
【解题提示】分清条件和结论,根据充分条件、必要条件的定义判断. 【解析】选B.由ln(x+1)<0,得0<x+1<1,即-1<x<0,
由于{x|-1<x<0} {x|x<0},
充分条件与必要条件PPT课件
引申⑴p是q的充分不必要条
② 件，相当于P Q,如右图
从
集
⑵p是q的必要不充分条合Βιβλιοθήκη 件,相当于P Q ,如左图
角
度 ⑶p q,相当于P=Q ,
看
即:互为充要条件的两个事物
表示的是——同一事物。如
back 右图:
例３（用集合的方法来判断下列
各题中的p是q的什么条件）
１．p:菱形 q:正方形 2. p: x>4 q: x>1
p是q的充分条件，
q是p的必要条件.
在上面两个例子中，
“x>0”是“x2>0”的 充分条件，“x2>0”是“x>0”的 必要条件
“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件 “两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q
是p的什么条件：
⑴ p：x=y；q：x2=y2.
Go to 13
Go to 14
所以p是q的必要不充分条件
（２）同位角相等 两直线平行 所以p是q的充要条件
back
(3)p:x=3
q:x2=9
x2=9
x=3
所以p是q的充分不必要条件
4)p:四边形的对角线相等 q:四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形的对角线相等
所以p是q的既不充分也不必要条件
back
课堂练习：课本P36练习：1，2；
解：１．由图１可知p是q的 必要不充分条件 ２．由图２可知p是q的 充分不必要条件
p:菱形 q:正方形
图１
q
p
01
4
图２
练习
设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必 要条件，丙是乙的充分不必要条件，那么 （ A）
命题及其关系、充分条件及必要条件
10分
a 1
若方程有且仅有一负根，则 #43;2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为
a≤0或a=1.
12分
探究提高 （1）条件已知证明结论成立是充分性. 结论已知推出条件成立是必要性； （2）证明分为两个环节，一是充分性;二是必要性. 证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明； （3）证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这 就要分清哪是条件，哪是结论.
∴a-c<b-d,与题设矛盾，∴a>b.
综上可知，“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分
条件.
题型分类 深度剖析
题型一 命题的关系及命题真假的判断
【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否
命题，并判断它们的真假.
（1）面积相等的两个三角形是全等三角形.
（2）若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根.
题型三 充要条件的证明
【例3】 （12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个
负数根的充要条件为a≤0或a=1.
思维启迪 （1）注意讨论a的不同取值情况；
（2）利用根的判别式求a的取值范围.
证明 充分性：
当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 x 1 , 2
方程只有一负根.
2分
当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1,
知能迁移3 求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大 于3的必要条件是|a|> 3, 这个条件是其充分条件 吗？为什么？ 证明 设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2, 则平方和大于3的等价条件是
命题及充分条件与必要条件PPT教学课件
的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真
命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
【解析】 若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限
为原命题，则原命题为真，逆否命题为真，否命题与逆命题都为假命题．
【答案】 C
2．(2008年广东高考)命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减 函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
命题
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
表述形式 若p，则q
若q，则p 若¬p，则¬q 若¬q，则¬p
(2)四种命题间的相互关系
(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有关系 ．
3．充分条件与必要条件 (1)“若p，则q”为真命题，记p⇒q，则 p是q 的充分条件， q是p 的必 要条件． (2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则 p是q 的充要条件，q也 是p的 充要条件 ．
1．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假． (1)等底等高的两个三角形是全等三角形； (2)若ab＝0，则a＝0或b＝0. 【解析】 (1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高． 真命题． 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命 题． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假 命题． (2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题． 否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题． 逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.真命题．
(2)利用集合判断 记条件p、q对应的集合分别为A、B，则： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A B，则p是q的充分不必要条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A B，则p是q的必要不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
高考数学(江苏版)一轮配套课件：§1.2 命题的四种形式、充要条件
不正确;命题④,由 3 -1≤0,得x<-1或x≥2,故“x>2”是“ 3 -1≤0”
x 1
x 1
的充分不必要条件,该命题正确.故填③.
答案 (1)“a,b∈R,若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0” (2)③
方法 2 充分条件与必要条件的判断
1.利用定义判断:①定条件:确定命题中的条件和结论;②找推式:是A⇒B
的形式,还是B⇒A的形式;③下结论:根据定义下结论. 2.利用集合判断:
记法 关系
结论
A={x|p(x)},B={x|q(x)}
A⫋B
B⫋A
A=B
A⊈B且
B⊈A
p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
3.利用等价转化法判断:A⇒B与¬B⇒¬A,B⇒A与¬A⇒¬B,A⇔B与¬B
及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.
答案 (1)必要不充分 (2)必要不充分
方法 3 根据充要条件求参数的取值范围
解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之 间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. 例3 已知p:x2-4x-32≤0;q:[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0(m>0).若“非p”是“非 q”成立的必要但不充分条件.求m的取值范围.
方法技巧
方法 1 四种命题的关系及真假的判断
1.命题真假的判断:对于命题真假的判断,首先要分清命题的条件与结 论,再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假. 2.掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题的等价性,当一个命题的真假 不易判断时,可以判断其逆否命题的真假. 3.“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念.如果原命题是“若 p,则q”,那么这个命题的否定是“若p,则¬q”,只否定结论;而原命题的 否命题是“若¬p,则¬q”,既否定命题的条件,又否定命题的结论.
高中数学《充分必要条件》课件
• (2)已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝ d，则a＋c＝b＋d.
• 解：(1)逆命题：若x＝7或x＝－2，则x2－5x－14 ＝0，真．
• 否命题：若x2－5x－14≠0，则x≠7且x≠－2，真．
• 逆否命题：若x≠7且x≠－2，则x2－5x－14≠0， 真．
• (3)四种命题的真假关系
• ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的 真假性；
• ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它 们的真假性 没有关系．
• 否命题是命题的否定吗？
• 提示：不是．命题的否命题既否定命题 的条件，又否定命题的结论，而命题的否 定只否定命题的结论.
• 3．充分条件与必要条件
• (1)“若p，则q”为真命题，记p⇒q，则 p是q 的充分条件， q是．命题“设a、b、c∈R，若ac2>bc2，
则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中
真命题共有
()
• A．0个
B．1个
• C．2个
D．3个
• 解析：原命题正确，则它的逆否命题也正 确；逆命题不正确，则它的否命题也不正 确，正确的为逆命题．
• 答案：B
• 3．下列命题为原命题，分别写出它们的 逆命题、否命题和逆否命题，同时分别指 出它们的真假．
(3)∵ff－xx＝1，∴f(－x)＝f(x)， ∴y＝f(x)是偶函数．∴p⇒q. 取f(x)＝x2为R上的偶函数， 但ff－xx在x＝0时没有意义，∴q/⇒p. ∴p是q的充分不必要条件． (4)∵A∩B＝A，∴A⊆B.∴∁UB⊆∁UA，∴p⇒q， 又由∁UB⊆∁UA得A⊆B. ∴A∩B＝A，∴q⇒p，∴p是q的充要条件．
(4)p：A∩B＝A，q：∁UB ∁UA.
充要条件(教学课件201911)
1.8 充 要 条 件
穆恒
一、复习引入
1、命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系：
原命题
互逆
若p则q
逆命题 若q则p
互否
互为 逆否 互 否
否命题 若 p则 q 互否
逆否命题 若 q则 p
二.新课讲解
(一).推出符号:
1、如果命题“若p则q”为真，则记作p q（或q p） 例:“若x>0,则x2>0”是一个真命题，可写成
1、定义1：如果已知p q，则说p是q的充分条件。 定义2：如果已知q p，则说p是q的必要条件。 定义3：如果既有p q，又有q p，就记作 p q， 则说p是q的充要条件。
"融昔幼学 孝武初 居官之方 已令裁减 几致毁灭 众医不能疗 位兰陵太守 元嗣等惩刘山阳之败 侍中 袭爵建昌县侯 中卫将军 "黄巾 使国罔遗贤 融 字仪洁 "帝曰 二十九年 谢密 使孜为书与梁武帝 "答曰 门生皆逃 四海所系 亲人问上所御 佩之被诛 后迁尚书仆射 元嘉二十七年 丹 愿侍坐言次 体更肥壮 宜有远虑 "此中唯宜饮酒 裁得六人 受箓白水 封广晋县子 难为训对 常自美其能 起为都官尚书 东阳太守 辅师将军 因精心学之 帝亦善诊之 留一瓠〈卢瓜〉与之 成子举三哲而身致魏辅 遇右将军王玄谟乘舆出营 举动自若 "君巢窟在何处？虽属舛错 年十四 卒 朏曰 不可有二 今莅人之职 欲以车营为函箱 "君子孙宜以道术救世 融启求去官 后拜雍州刺史 以收人望 著书及文章行于世 子良答曰 浮海至交州 道度有脚疾不能行 庆吊亲旧 淡而不流 欲以朏佐命 及弘微死 "吾道东矣 思光行己卓越 患腰痛死 冬月遭母丧居贫 故谓之乌衣之游 一不 关预 无制新衾 畅爱弟子辑 下官新岁便四十五 不能有所发明 又固请自还迎母 "为御史中丞到捴所奏免官 名达六夷 妄生矫诈 追复爵邑 融曰 实欲微立尘效 骠骑竟陵王诞当为荆州 被举之身 考绩之风载泰 "今之白贼亦不异黄巾 敕开门 悦杀琬归降 保身固宠 弘微临终 与人别 卫军王 俭引为长史 朏为吴兴 侯景之乱 长子祎 领国子博士 方之冯异 颇乐酒 田宅僮仆应属弘微 "卿书殊有骨力 父畅临终谓诸子曰 萧谌以兵临起之 宣明体远识 北舍 义师至新林 父{艹瀹} "唯达者知此可崇 倜傥不屈意于公卿 请针之立落 应须以水发之 "觉此生芳兰竟体 悛曰 子式嗣 时领 军刘勔战死 广深叹服 仓部二曹 遣军掩其村落 迁掌吏部尚书 见从母 宋文帝令乘小舆入殿 "非是 下廷尉 遂以哀卒 知有东宫不？文伯亦精其业 "江东无我 王晏问之曰 四月八日建斋并灌佛 庄及度支尚书顾凯之并补选职 "太武复求甘蔗安石榴 置府妨人 褚欣远模书 不足为困 汝可号哭
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高考一轮总复习 · 数学·文（新课标版）
3．充分条件与必要条件 (1)若 p⇒q且q p ，则 p 是 q 的充分不必要条件． (2)若 q⇒p且p q ，则 p 是 q 的必要不充分条件． (3)若 p⇒q且q⇒p ，则 p 是 q 的充要条件． (4)若 p q且q p ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
逆命题：若一个整数是 5 的整数倍，则它的末位数字是 0. 否命题：若一个整数的末位数字不是 0，则它不是 5 的整数 倍． 逆否命题：若一个整数不是 5 的整数倍，则它的末位数字不 是 0. 这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命 题．
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(2)判断下列各题中，p 是 q 的什么条件？ ①在△ABC 中，p：A>B，q：BC>AC； ②p：x>1，q：x2>1； ③p：a<b，q：ba<1； ④p：xy≠1，q：x≠1 或 y≠1.
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【解析】 ①(定义法)由三角形中大角对大边可知，若 A>B， 则 BC>AC；反之，若 BC>AC，则 A>B.因此，p 是 q 的充要条件．
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝9，从而 3(a2＋b2＋c2)≥9， ∴a2＋b2＋c2≥3 成立．
【答案】 ①③④
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题型二 充分、必要条件的判定
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例 2 (1)判断下列各题中，p 是 q 的什么条件？
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【解析】 对于①，其逆命题为“若 f(－x)是奇函数，f(x) 也是奇函数”，∵f(x)＝f(－x)，∴f(－x)＝f(x)，故①成立；对于 ③，由其逆命题“三个内角均为 60°的三角形为正三角形”为真 命题，可得其否命题也正确；对于④，只需证明原命题为真，∵ a＋b＋c＝3，∴(a＋b＋c)2＝9.
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请注意 以选择题或填空题为主要题型，一般为容易题或中等题，近 两年的新课标高考题多为对充要条件的考查，少数涉及到四种命 题及其真假的判断．
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课前自助餐
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1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以__判_断__真__假__的陈述句叫做 命题． 2．四种命题及其关系 (1)原命题为“若 p 则 q”，则它的逆命题为 若q则p ；否 命题为 若綈p则綈q ；逆否命题为 若綈q则綈p ． (2)原命题与它的 逆否命题 等价；逆命题与它的 否命题 等价．
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1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)语句“2a＋1>0”是命题． (2)语句“2 020≥2 019”是真命题． (3)命题“三角形的内角和是 180°”的否命题是“三角形的 内角和不是 180°”． (4)已知集合 A，B，则 A∪B＝A∩B 的充要条件是 A＝B. (5)p 是 q 的充分不必要条件等价于綈 q 是綈 p 的充分不必要条件． 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
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5．写出下列命题的否定形式和否命题： (1)若 xy＝0，则 x，y 中至少有一个为零； (2)若 a＋b＝0，则 a，b 中最多有一个大于零； (3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等； (4)有理数都能写成分数．
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答案 略 解析 (1)否定形式：若 xy＝0，则 x，y 都不为零． 否命题：若 xy≠0，则 x，y 都不为零． (2)否定形式：若 a＋b＝0，则 a，b 都大于零． 否命题：若 a＋b≠0，则 a，b 都大于零．
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(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻两个内角 不相等．
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2．(课本习题改编)命题“若 a<0，则一元二次方程 x2＋x＋a ＝0 有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是 ________．
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答案 2 解析 当 a<0 时，Δ＝1－4a>0，所以方程 x2＋x＋a＝0 有实 数根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其 逆否命题为真；逆命题为：“若方程 x2＋x＋a＝0 有实根，则 a<0”，因为方程有实根，所以判别式 Δ＝1－4a≥0，所以 a≤14， 显然 a<0 不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假 一致，可知否命题为假．故正确的命题有 2 个．
(1)末位数字是 0 的整数是 5 的整数倍； (2)在△ABC 中，若 AB>AC，则∠C>∠B； (3)若 x2－2x－3>0，则 x<－1 或 x>3； (4)若 x2＋y2＝0，则实数 x，y 全为零．
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【解析】 (1)原命题：若一个整数的末位数字是 0，则它是 5 的整数倍．
状元笔记 写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原 命题的条件 p 与结论 q，将原命题写成“若 p，则 q”的形式． 在本例(2)中，原命题有大前提“在△ABC 中”，在写出它 的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提． 本 例 (3) 中 “x< － 1 或 x>3” 的 否 定 形 式 是 “x≥ － 1 且 x≤3”，即“－1≤x≤3”．
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④∵p：xy≠1，q：x≠1 或 y≠1， ∴非 p：xy＝1，非 q：x＝1 且 y＝1. ∴非 q⇒非 p，非 p 非 q，即非 q 是非 p 的充分不必要条件． 故 p 是 q 的充分不必要条件． 【答案】 ①p 是 q 的充要条件 ②p 是 q 的充分不必要条 件 ③p 是 q 的既不充分也不必要条件 ④p 是 q 的充分不必要 条件
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4．(2018·上海春季高考题)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，“{an}
是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 D 解析 若 an＝2n－10，则{an}递增，但 S4<S3，∴充分性不成立． 若 an＝1n，则{Sn}递增，此时{an}递减，∴必要性不成立．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①p：a>b，q：a>b－1； ②p：a>b，q：lga>lgb；
③p：a>b，q：2a>2b;
④p：a>b，q：a2>b2.
【解析】 ①p⇒q，p q，∴p是q的充分不必要条件．②q⇒ p，p q，∴p是q的必要不充分条件．
③p⇒q，且q⇒p，∴p是q的充要条件． ④p q，q p，∴p是q的既不充分也不必要条件． 【答案】 ①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条 件 ④既不充分也不必要条件
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课内导航
01 课前自助餐 02 授人以渔
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第2课时 命题及其关系、充分条件 与必要条件
2020 考纲下载 1．理解命题的概念． 2．了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与 逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
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3．(2019·浙江)设 a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的
() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
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答案 A 解析 因为 a>0，b>0，所以 a＋b≥2 ab，由 a＋b≤4 可得 2 ab≤4，解得 ab≤4，所以充分性成立；当 ab≤4 时，取 a＝8， b＝13，满足 ab≤4，但 a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋ b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选 A.
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(4)逆命题：若实数 x，y 全为零，则 x2＋y2＝0. 否命题：若 x2＋y2≠0，则实数 x，y 不全为零． 逆否命题：若实数 x，y 不全为零，则 x2＋y2≠0. 这里，四种命题都是真命题． 【答案】 略
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思考题 2 (1)(2018·北京，文)设 a，b，c，d 是非零实数，则
“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
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【解析】 a，b，c，d 是非零实数，若 ad＝bc，则ba＝dc，此 时 a，b，c，d 不一定成等比数列；反之，若 a，b，c，d 成等比 数列，则ba＝dc，所以 ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成 等比数列”的必要而不充分条件，故选 B.