上海市奉贤区2017届高三4月调研测试(二模)数学试题含答案

2016-2017学年第二学期奉贤区调研测试高三数学卷201704考试时间120分钟，满分150分一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）1．函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=x x f 2cos π的最小正周期是________． 2．若关于,x y 的方程组⎩⎨⎧=+=+21y x y ax 无解，则=a ________．3．已知{}n a 为等差数列，若16a =，350a a +=，则数列{}n a 的通项公式为________．4． 设集合{}{}23A x x ,B x x t =-≤=<，若A B =∅，则实数t 的取值范围是______．5．设点()9,3在函数()()()log 10,1a f x x a a =->≠的图像上，则()f x 的反函数()1f x -=________．6．若,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数2z x y =+的最大值是________．7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为06=-+y x ，圆C 的参数方程为[)()πθθθ2,02sin 2cos 2∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆心C 到直线l 的距离为________． 8． 双曲线2213y x -=的左右两焦点分别是12,F F ，若点P 在双曲线上，且21PF F ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是________．9． 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．10．已知数列{}n a 是无穷等比数列，它的前n 项的和为n S ，该数列的首项是二项式71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的x 的系数，公比是复数iz 311+=的模，其中i 是虚数单位，则n n S ∞→lim =_____．11．已知实数x 、y 满足方程()()22111x a y -++-=，当0y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为________．12．设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足 643214321=-+-+-+-x x x x ，则这样的排列有________个．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分） 13． 已知x ，y R ∈，且0x y >>，则下列不等式中成立的是 （ ） A ．110xy -> B ．sin sin 0x y -> C ．11()()022x y -< D ．ln ln 0x y +>14．若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ）A ．()1xy f x e =+ B ．()1x y f x e-=--C ．()1x y f x e =-D ．()1xy f x e =-+15．矩形纸片ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；……；依次将宽BC n 等分，每个小矩形按图（1）分割并把n 2个小扇形焊接成一个大扇形．当n ∞→时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为 （ ）A ．小于2πB ．等于2πC ．大于2πD ．大于6.116．如图，在ABC ∆中，,,BC a AC b AB c ===．O 是ABC ∆的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于 （ ） A ．::a b c B．111::a b cC ．s :s :s inA inB inCD ．cos :cos :cos A B C三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．如图，圆锥的底面圆心为O ，直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，且222AB PO ==．（1）求异面直线PC 与OE 所成的角的大小； （2）求二面角P AC E --的大小．18．已知美国苹果公司生产某款iphone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()x R 万美元，且()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=40,400007400400,64002x x xx x x R（1）写出年利润W （万美元）关于年产量x （万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．19．如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且2OA =，AOB ∠的角平分线交半圆于点C ． （1）若3=⋅，求cos AOC ∠的值； （2）若,,A B C 三点共线，求线段AC 的长．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（*n N ∈）．（1）求{}na 的通项公式；（2）设1122++-=n n n b b ，81=b ，n T 是数列{}nb 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n T T ≥恒成立； （3）设11(1)(1)n n nn a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n N ∈均有n R λ< 恒成立，求λ的最小值．21．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，左焦点是1F .（1）若左焦点1F 与椭圆E 的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3Q 在椭圆E 上.求椭圆E 的方程；（2）过原点且斜率为()0t t >的直线1l 与（1）中的椭圆E 交于不同的两点,G H ，设()()0,2,1,011A B ，求四边形11AGB H 的面积取得最大值时直线1l 的方程；（3）过左焦点1F 的直线2l 交椭圆E 于,M N 两点，直线2l 交直线()0x p p =->于点P ，其中p 是常数，设1MF PM λ=，1NF PN μ=，计算μλ+的值（用b a p ,,的代数式表示）.奉贤高三二模练习卷参考答案一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分） 1、2π； 2、1；3、n a =82n -；4、1t ≤-；5、21x +；6、3；7、 8、,⎫⎛+∞-∞⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ；9、28π； 10、70； 11； 12、9；二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）13、C; 14、A;15、C; 16、D;三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17、【解答】（1）证明：方法（1）∵PO 是圆锥的高，∴PO ⊥底面圆O ，根据中点条件可以证明OE ∥AC ， 2分 PCA ∠或其补角是异面直线PC 与OE 所成的角； 1分2,2AC PC PA ======= 2分所以3PCA π∠= 1分异面直线PC 与OE 所成的角是3π1分（1）方法(2)如图,建立空间直角坐标系,(()()),,0,,P B A C, 3分()1,1,0E 1分 ()0,1,1=,()2,0,2-=,()0,2,2=,设与夹角θ,xyz21222cos =⨯==θ 2分 异面直线PC 与OE 所成的角3π1分 （2）、方法（1）、设平面APC 的法向量()1111,,z y x n = ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n111100==，()1,1,11-=∴n 3分 平面ACE 的法向量()1,0,02=n 1分设两平面的夹角α,则33131cos =⨯==α 2分 所以二面角P AC E --的大小是arccos3． 1分 方法（2）、取AC 中点为D ，连接,PD OD ，又圆锥母线PA AC =，∴PD AC ⊥∵底面圆O 上OA OC =∴OD AC ⊥又E 为劣弧CB 的中点，即有E ∈底面圆O∴二面角P AC E --的平面角即为PDO ∠ 3分 ∵C 为半圆弧AB 的中点，∴090AOC ∠=又直径AB =∴112OD AC == ∵PO ⊥底面圆O 且OD ⊂底面圆O ，∴PO OD ⊥又PO =Rt PDO ∆中，PD = 3分∴3OD cos PDO PD ∠== 所以二面角P AC E --的大小是arccos 3 1分18、【解答】（1）当040x <≤时，()()21640(4006)(1640)638440W xR x x x x x x x =-+=--+=-+-； 3分 当40x >时，()()()27400400004000016401640736016W xR x x x x x xx x ⎛⎫=-+=--+=-- ⎪⎝⎭ 3分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<-+-=40,40000167360400,4038462x x x x x x W ； （2）当040x <≤时，()226384406326104W x x x =-+-=--+；∴当32x =时，()max 326104W W ==； 3分当40x >时，400007360167360W x x =--≤-当且仅当4000016x x=，即50x =时，()max 505670W W ==57603分 ∵61045760>∴当32x =时，W 的最大值为6104万美元． 2分 19、【解答】（1）以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设AOC θ∠=，()2,0A()cos ,sin C θθ，()cos2,sin 2B θθ， 2分 ()θθsin ,2cos -=AC ， ()θθ2sin ,22cos -=AB 2分 AB AC ⋅()()cos 2cos 22sin sin 2θθθθ=--+uu u r uu u rcos cos22cos22cos sin sin 24θθθθθθ=--++22cos 2cos 44cos cos 6θθθθ=--+=--+ 2分 24cos cos 63θθ∴--+=3cos ,cos 14θθ==-（舍去） （不舍扣1分） 3分（2）,,A B C 三点共线，所以cos 22sin 2cos 2sin θθθθ-=- 2分 3cos 4θ∴= 1分214212cos 2AC θ∴=+-⨯⨯⨯=AC ∴= 2分19（1）方法二、设AOC θ∠=，+=，+= 2分()()⋅+⋅+⋅+=+⋅+=⋅∴22分 ()()412cos 212cos cos 42cos 2cos πθπθθθθ=+⨯⨯-+⨯⨯-+=-- 2分24cos cos 63θθ∴--+=3cos ,cos 14θθ==-（舍去） 3 分20、【解答】（1） 由22n n S a =-，得1122n n S a ++=- 两式相减，得1122n n n a a a ++=-∴ 12n n a a += 2分 数列{}na 为等比数列，公比2q =又1122S a =-，得1122a a =-，12a =∴ 2nn a = 2分（2）1122++-=n n n b b 11122n nn nb b ++=- 1分 ()()111122n n b b n =+-⨯-，()25nn b n =- 2分 方法一当5n ≤时，()25nn b n =-0≥ 1分因此，1234T T T T <<< >>=65T T 1分 ∴ 对任意*n N ∈均有45n T T T =≥，故4k =或5。