相似三角形常见题型

相似三角形的常见题型

【知识要点】

1.如何选择相似三角行判定定理：

①已知一个角对应相等的，常用（两角型或夹角与一组对应边成比例）

②已知一组对边成比例的，常用（夹角与一组对应边成比例）

③只知道边的关系的，常用（三边对应成比例）

【学堂练习】

1.如图，□ABCD中，直线PS分别交AB、CD的延长线于P、S交BC、AC、AD于Q、E、R，

图中相似三角形的对数（不含全等三角形）共有对。

2.如图，□ABCD中，AE交BC延长线于E交CD于F，BC∶ CE＝3∶ 2，则CF∶ FD= 。

A R

S D

C

Q

E

P

B

题1 题2

【经典例题】

例1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD. （1）求证：AF ：AD=AD ：AB （2）若AF=4，FB=5，求FD 的长.

例2、如图，∠1＝∠2，AE ＝12，AD ＝15，AC ＝20，AB ＝25。证明：△ADE ∽△ABC 。

例3、如图所示，E 边AB 延长线上一点，DE 交BC 于F ，交AC 于G ，

求证：（1）DG 2=GE·GF 。（2）AE

AB

CB CF

。

A

B D E

F A B F C

G D E

例4、 如图，△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，

EC 与AD 相交于点F 。

（1）求证：△ABC ∽△FCD ；

（2）若S BC FCD ∆==510，，求DE 的长。

例5．如图, △ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD 与BE 相交于点F.

(1) △AEF 与△ABE 相似吗?说说你的理由. (2)BD 2=AD·DF 吗?请说明理由.

例6．如图，AD ⊥AB ，BE ⊥AB ，AE 、BD 相交于点C ，CF ⊥AB ，垂足为F 。 （1）求证：111

AD BE CF

+=

。

D

A

F

B

E

C

【随堂练习】

1．如图所示，DE ∥BC ，

32=DB AD ，则

BC

DE

= 。 2．如图所示，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD=1.8cm ，EF=1.2cm ，CF=1cm ，则BF= 。 3．如图所示，DE ∥BC ，DF ∥AC ，则下列比例式正确的是（ ）。

A ．

BC DE BD AD = B ．FC BF EC AE = C ．BC DE AC DF = D ．BC

BF AC DF =

4. 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AD AC =1

3，AE ＝BE ，则有（ ）

A. △AED ∽△BED

B. △AED ∽△CBD

C. △AED ∽△ABD

D. △BAD ∽△BCD

5、如图，在ABC △中，90C =∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，

86AC BC ==，．求DE 的长．

6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，边AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，BG ⊥AB ， 交EF 于点G ．求证：CF 是EF 与FG 的比例中项．

A

B

C

D

E

第1题图

A

B

C

E D

F 第3题图

A B

C

E D

F

第2题图

A D B

C

E A C

B

G

E F

第4题图

相似三角形的应用

【知识要点】

1.如何构造相似三角形： (1)利用阳光下的影子:

人的影长

人的高度

旗杆影长旗杆高度 （同一刻时）

(2)利用标杆： (3)利用镜子反射：

【学堂练习】

1. 小颖测得2m 高的标杆在太阳下的影长为1.2m,同时又测得一棵树的影长为3.6m,请你帮助小颖计算出这棵树的高度.

2.如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ， 沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度。

3. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m 宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离

EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.

B

C

E

G

【经典例题】

例1、张同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，问学校旗杆的高度

2米

9.6米

例2、如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED。

例3、我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。

若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。