牛吃草问题解题方法精析
牛吃草问题的详细解法
牛吃草问题的详细解法一、牛吃草问题基础概念。
1. 问题描述。
- 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿问题。
典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
2. 基本公式。
- 设每头牛每天的吃草量为1份。
- 草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数 - 对应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数 - 吃的较少天数)- 原有草量 = 牛头数×吃的天数 - 草的生长速度×吃的天数。
- 吃的天数 = 原有草量÷(牛头数 - 草的生长速度)- 牛头数 = 原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
二、牛吃草问题示例及解析。
1. 题目1。
- 有一片牧场，草每天都在匀速生长。
如果放养24头牛，6天可以把草吃完；如果放养21头牛，8天可以把草吃完。
问：- 要使草永远吃不完，最多放养多少头牛？- 如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？- 解析：- 设每头牛每天吃草量为1份。
- 首先求草的生长速度：(21×8 - 24×6)÷(8 - 6)=(168 - 144)÷2 = 12（份/天）。
要使草永远吃不完，那么牛每天的吃草量不能超过草的生长速度，所以最多放养12头牛。
- 由知草的生长速度为12份/天，先求原有草量：24×6 - 12×6 = 144 - 72 = 72（份）。
- 当放养36头牛时，设可以吃x天，根据原有草量 = 牛头数×吃的天数- 草的生长速度×吃的天数，可得72 = 36x-12x，24x = 72，解得x = 3天。
2. 题目2。
- 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。
那么这片草地可供21头牛吃几周？- 解析：- 设每头牛每周吃草量为1份。
- 草的生长速度(23×9 - 27×6)÷(9 - 6)=(207 - 162)÷3 = 15（份/周）。
牛吃草问题解题技巧讲解
牛吃草问题解题技巧讲解牛吃草问题是一种常见的数学问题，它涉及到物理、数学、经济学等多个领域，具有广泛的应用和重要的意义。
下面，我将为您讲解牛吃草问题的解题技巧。
一、牛吃草问题的基本特征牛吃草问题的基本特征如下:1. 有一个固定的牧场，面积足够大，可以容纳一定数量的牛。
2. 牧场中的草是不断生长的，每天生长速度相同。
3. 牛每天吃掉的草量与牛的数量成反比，即每头牛每天吃掉的草量是一定的。
4. 牛的数量发生变化，草的生长速度也会发生变化。
二、牛吃草问题的解题步骤1. 列出牛吃草问题的基本方程:草场每天的草量增加量 = 每头牛每天的吃草量×牛的数量草场的总草量 = 草场每天的草量增加量 + 每头牛每天的吃草量×牛的数量2. 确定变量和未知数:变量：牛的数量 n;未知数：草场每天的草量增加量 x;草场的总草量 y。
3. 分析问题，画出草场增长图:根据题目中给出的信息，画出草场增长图，确定变量和未知数。
4. 求解方程，解决问题:根据草场增长图和基本方程，解出方程，得到牛的数量 n 和草场每天的草量增加量 x。
5. 重复检查，确定答案:在解决问题的过程中，要不断重复检查求解的结果，确保答案正确无误。
三、牛吃草问题的变形和扩展牛吃草问题有多种变形和扩展，下面列举几种常见的情况:1. 多牧场牛吃草问题：在牛吃草问题中，一个牧场同时可供多头牛吃草，此时需要分别列出每头牛每天吃掉的草量和草场每天的草量增加量，然后根据草场增长图和基本方程求解。
2. 周期牛吃草问题：在牛吃草问题中，草的生长速度和牛的数量成周期变化，此时需要根据周期变化的特点，列出相应的方程和图形，然后求解。
3. 风险投资问题：在牛吃草问题中，牛的数量和草场每天的草量增加量不是固定的，而是受到风险投资的影响，此时需要根据实际情况，列出相应的方程和图形，然后求解。
以上就是我对牛吃草问题解题技巧的讲解，希望对您有所帮助。
小学奥数之牛吃草问题(附含答案解析)
小学奥数之牛吃草问题(附含答案解析) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。
”英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。
这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？解题关键：牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。
解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量4、最后求出可吃天数想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。
把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。
求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。
解：新长出的草供几头牛吃1天：（10×22-16×1O）÷(22-1O）=（220-160）÷12=60÷12=5（头）这片草供25头牛吃的天数：（10-5）×22÷（25-5）=5×22÷20=5.5（天）答：供25头牛可以吃5.5天。
----------------------------------------------------------------“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。
如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。
这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。
牛吃草问题(含例题、答案、讲解)
小学数学牛吃草问题知识点总结牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
小升初冲刺第2讲牛吃草问题基本公式：1）设定一头牛一天吃草量为“ 1”2）草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数）十（吃的较多天数一吃的较少天数）；3）原有草量=牛头数X吃的天数一草的生长速度X吃的天数；'4）吃的天数=原有草量十（牛头数—草的生长速度）；5）牛头数=原有草量十吃的天数+草的生长速度。
例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。
问：这片牧草可供25头牛吃多少天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：（200-150）-（20-10）=5 份10X 20=200份……原草量+20天的生长量原草量：200-20 X 5=100 或150-10 X 5=100份15X 10=150份……原草量+10天的生长量100 -（25-5 ）=5天［自主训练］牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：（180-150）-（20-10）=3 份9X 20=180份……原草量+20天的生长量原草量：180-20 X 3=120份或150-10 X 3=120 份15X 10=150份……原草量+10天的生长量120 -（18-3）=8天例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。
牛吃草问题的解题口诀及详细解题思路
牛吃草问题的解题口诀及详细解题思路【口诀】：每牛每天的吃草量假设是份数1，A头B天的吃草量算出是几？M头N天的吃草量又是几？大的减去小的，除以二者对应的天数的差值，结果就是草的生长速率。
原有的草量依此反推。
公式就是A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。
将未知吃草量的牛分为两个部分：一小部分先吃新草，个数就是草的比率；用一些草除以剩余的牛的数量，得出所需的天数。
牛吃草问题的例题解析整个牧场上的草长得又密又快。
27头牛6天可以吃草；23头牛可以在9天内吃掉这些草。
问21多少天才能把草吃完。
每牛每天的吃草量假设是1，则27头牛6天的吃草量是27X6=162，23头牛9天的吃草量是23X9=207；大的减去小的，207-162=45；二者对应的天数的差值，是9-6=3（天）结果就是草的生长速率。
所以草的生长速率是45/3=15（牛/天）；原有的草量依此反推。
公式就是A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。
所以原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）。
将未知吃草量的牛分为两个部分：一小部分先吃新草，个数就是草的比率；这就是说将要求的21头牛分为两部分，一部分15头牛吃新生的草；剩下的21-15=6去吃原有的草，所以所求的天数为：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）随着天气越来越冷，牧场上的草每天都在以固定的速度减少。
经过计算，牧场上的草可以喂20头牛5天，或者喂16头牛6天。
那么，11头牛能吃多少天呢？解答：设一头牛一天吃的草量为一份。
牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：（20+4）×5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。
总结:试着从变化中找出不变的量。
牧场上原来的草是不变的，新长出的草是变化的，但是因为它是匀速生长的，所以每天新长出的草量也是不变的。
正确计算草原上的原草和每天生长的新草，就能解决问题。
小升初数学牛吃草问题解题思路和技巧
小升初数学牛吃草问题解题思路和技巧牛吃草问题是小学五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，下面为大家分享小升初数学牛吃草问题解题思路和技巧，供大家参考!【一】解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变2、草场原有草的量不变。
草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。
新长出来草的数量随着天数在变而变。
因此孩子要弄清楚三个量的关系：第二：求出原有草量第三：题意让我们求什么(时间、牛头数)。
注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机【二】解题基本思路1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。
2、在求出〝每天新增长的草量〞和〝原有草量〞后，头数求时间时，我们用〝原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)〞求出天数。
3、天数求只数时，同样需要先求出〝每天新生长的草量〞和〝原有草量〞。
4、根据(〝原有草量〞+假设干天里新生草量)÷天数〞，求出只数【三】解题基本公式解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为：1、草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数)2、原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数3、吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度)4、牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度【四】下面举个例子例题：有一牧场，养牛27头，6天把草吃尽;养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢?并且牧场上的草是不断生长的。
一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有：(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
)(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
教你全面解决牛吃草问题
牛吃草问题集锦【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。
这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。
牛吃草问题又称为消长问题。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶（1）草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
1.旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了求增加人数的速度还有原来的人数2.有三块草地，面积分别是5，15，24亩。
草地上的草一样厚，而且长得一样快。
第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？3. 3.牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。
这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。
问：可供25头牛吃几天？2、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。
先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。
如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。
那么出水管比进水管晚开多少分钟？3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。
照此计算，可供多少头牛吃10天？4、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。
已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。
牛吃草问题解法与算法公式
牛吃草问题解法与算法公式Jenny was compiled in January 2021牛吃草问题问题解法与算法公式解题关键：牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。
解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量--生长的草量=消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数。
1、牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。
这片青草供给10头牛可以吃20天，供给15头牛吃，可以吃10天。
供给25头牛吃，可以吃多少天？分析：如果草的总量一定，那么，牛的头数与吃草的天数的积应该相等。
现在够10头牛吃20天，够15头牛吃10天，10×20和15×10两个积不相等，这是因为10头牛吃的时间长，长出的草多，所以，用这两个积的差，除以吃草的天数差，可求出每天的长草量。
①、求每天的长草量(10×20－15×10)÷(20－10)＝5(单位量)说明牧场每天长出的草够5头牛吃一天的草量。
②、求牧场原有草量因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，那么，10头牛去吃，每天只有10－5＝5(头)牛吃原有草量，20天吃完，原有草量应是：(10－5)×20＝100(单位量)或：10头牛吃20天，一共吃草量是10×20＝200(单位量)一共吃的草量－20天共生长的草量＝原有草量200－100＝100(单位量)③、求25头牛吃每天实际消耗原有草量因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，25头牛去吃，(吃的－长的＝消耗原草量)即：25－5＝20(单位量)④、25头牛去吃，可吃天数牧场原有草量÷25头牛每天实际消耗原有草量＝可吃天数100÷20＝5(天)解：(10×20－15×10)÷(20－10)＝50÷10＝5(单位量)-------每天长草量(10－5)×20＝5×20＝100(单位量)-------原有草量100÷(25－5)＝100÷20＝5(天)答：可供给25头牛吃5天。
(教)牛顿问题
牛顿问题一．知识概要“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。
难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。
解“牛吃草”问题的主要依据：1.草的每天生长量不变；2.每头牛每天的食草量不变；3.草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值4.新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：1.设定1头牛1天吃草量为“1”；2.草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；3.原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；4.吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；5.牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度。
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题、资源量问题、部分行程问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。
二．例题精讲【例 1】有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养18 头牛，那么10 天就把草吃完了；如果放养24 头牛，那么7 天就把草吃完了。
（1）如果放养32 头牛，多少天可以把草吃完？（2）要放养多少头牛，才能恰好14 天把草吃完？【解析】这片牧场上的牧草数量每天都在变化。
解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。
因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。
新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。
这是最常见的牛吃草问题，这类问题的难点在于牛吃草的同时，草还在生长. 假设一头牛一天吃1 个单位的草，会发现两种放养方法吃的总草量不同。
为什么会这样呢？因为两次草生长的天数不同，于是就可以算出草生长的速度了。
解答：设一头牛一天吃的草量为1 份． 18 头牛10 天一共吃草：18×10 =180（份）；24 头牛7 天一共吃草：24× 7 =168 （份）．如图，对比两次吃草的总量，吃的总量不同是因为18 头牛比24 头牛多吃了3 天（草多生长了3 天），而草每天生长：(180 ?168)÷ 3 = 4（份），于是草地原有草的总量为：180 ? 4×10 =140（份）．（1）放养的32 头牛中有4 头牛每天把新长的草吃完，剩下的牛吃原有的草，因此要把草地吃完需要140 ÷ (32 ? 4)= 5（天）．（2）要恰好14 天吃完，那么最后吃的总草量为140 + 4×14 =196（份），因此要在14天内吃完需要196 ÷14 =14（头）牛。
牛吃草问题经典例题及解题思路和方法
牛吃草问题经典例题及解题思路和方法牛吃草含义:“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。
这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
数量关系：草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数解题思路和方法：解决这类问题的关键是找出草的日常生长情况。
例1一块草，10头牛20天能把草吃完，15头牛10天能把草吃完。
有多少头牛能在五天内吃完草？解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。
求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量由此可知（20——10）天内草的生长量为1×10×20——1×15×10＝50因此，草每天的生长量为50÷（20——10）＝5（2）求原有草量原有草量＝10天内总草量——10内生长量＝1×15×10——5×10＝100（3）求5天内草总量5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125（4）求多少头牛5天吃完草因为每头牛每天吃的草量是1，所以每头牛5天吃的草量是5。
因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）五天内完成草地需要五头牛。
例2一艘船有漏洞，水匀速进入船内。
发现漏水的时候，已经有一部分水进了。
如果有12个人淘水，3个小时就能洗完；如果只有五个人在搜寻水，要10个小时才能洗出来。
要求17个人在几个小时内淘完。
解这是一道变相的“牛吃草”问题。
巧解应用题：掌握五大解题步骤轻松解决一块草地上牛吃草问题
巧解应用题：掌握五大解题步骤轻松解决一块草地上牛吃草问题英国大科学家牛顿曾经出过一道饶有趣味的题目，这就是著名的牛吃草问题：有一片牧场，已知饲牛 10 头，20 天把草吃完；若饲牛 15 头，则10 天把草吃完；饲牛 25 头，问几天把草吃完？解答此题的难点在于每天有新的草产生，草的数量总是在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在匀速变化。
因此，解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量。
牧场上原有的草总量是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为我们假设它是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。
正确计算草地上原有的草量及每天新长出的草量，问题就会迎刃而解。
一、基本知识点1、含义牛吃草问题又称消长问题或牛顿牧场，就是牛在牧场上吃草而草又不断生长的问题，它涉及到三种数量：原有的草、新长出的草、牛吃掉的草，人们把涉及到这三种量的应用题，叫作牛吃草问题，也就牛顿问题。
2、特点（1）随着时间的增长，每天有新的草产生，草的数量总是在不断变化；（2）草的增长速度不变，即每天新长出的草量不变；（3）草场原有草的量不变；（4）每头牛每天的食草量不变。
3、口诀每牛每天的吃草量假设是份数 1，A 头 B 天的吃草量是几，M 头N 天的吃草量又是几，大的减去小的，除以二者对应的天数差，结果就是每天长草量。
原有草量就是 A 头 B 天的吃草量减去 B 天乘每天长草量。
将未知吃草量的牛分为两个部分：部分牛先吃新草，个数就是草的比率；有的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。
4、数量关系（1）每天长草量=（对应牛的头数×吃得较多天数-对应牛的头数×吃得较少天数）÷（吃得较多天数-吃得较少天数）；（2）原有草量=牛头数×吃的天数-每天长草量×吃的天数；（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-每天长草量）；（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+每天长草量5、解题思路（1）假设 1 头牛 1 天吃草量为"1"；（2）求出每天长草量；（3）求出牧场原有草量；（4）求出每天实际消耗原有草量（牛吃的草量-每天长草量=消耗原有草量）；（5）求出可吃天数。
小学奥数牛吃草问题的解题方法
同⼀⽚牧场中的⽜吃草问题，⼀般的解法可总结为：
1、草的⽣长速度＝（对应⽜的头数×较多天数－对应⽜的头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数）
2、原来的草量＝对应⽜的头数×吃的天数－草的⽣长速度×吃的天数
3、吃的时间＝原来的草量÷（⽜的头数－草的⽣长速度）
4、⽜的头数＝原来的草量÷吃的天数＋的⽣长速度
例如：有⼀块1200平⽅⽶的牧场，每天都有⼀些草在匀速⽣长，这块牧场可供10头⽜吃20天，或可供15头⽜吃10天，另有⼀块3600平⽅⽶的牧场，每平⽅⽶的草量及⽣长量都与第⼀块牧场相同，问这⽚牧场可供75头⽜吃多少天？
分析：设１头⽜１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式⽅便分析
10头⽜ 20天 10×20＝200 ：原有草量＋20天⽣长的草量
15头⽜ 10天 15×10＝150 ：原有草量＋10天⽣长的草量
从上易发现：1200平⽅⽶牧场上20－10＝10天⽣长草量＝200－150＝50，即1天⽣长草量＝50÷10＝5；
那么1200平⽅⽶牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。
则3600平⽅⽶的牧场1天⽣长草量＝5×（3600÷1200）＝15；原有草量：100×（3600÷1200）＝300.
75头⽜⾥，若有15头⽜去吃每天⽣长的草，剩下60头⽜需要300÷60＝5（天）可将原有草吃完，即它可供75头⽜吃5天。
牛吃草3例题思路详解
牛吃草3例题思路详解牛吃草问题是一个经典的数学问题，它涉及到牛在草地上吃草的问题，需要解决如何让牛吃到最多的草并且草地不被破坏的问题。
下面我们就通过三个例题来详细解析牛吃草问题的解题思路和方法。
例题1：假设有一片草地，每天草都会均匀地生长，一头牛每天吃1单位的草，这片草地可供这头牛无限期地吃下去吗？思路解析：1. 假设草地原有草量为C，每天新生长的草量为R，牛每天吃的草量为S。
2. 牛吃草的过程可以看作是一个消耗和补充的过程，当牛消耗的草量等于新生长的草量时，草地上的草量保持不变；当牛消耗的草量大于新生长的草量时，草地上的草量就会减少；当牛消耗的草量小于新生长的草量时，草地上的草量就会增加。
3. 因此，要判断这片草地是否能够供这头牛无限期地吃下去，需要找到一个合适的条件，使得牛能够一直吃到足够的草，同时草地上的草量不会减少。
解题方法：设这片草地可供这头牛无限期地吃下去，那么每天新生长的草量应该等于牛每天消耗的草量加上原有的草量。
即R = S + C。
当C = 0时，即原有的草被牛全部吃掉后，每天新生长的草量仍然能够满足牛的消耗，那么这片草地就可以供这头牛无限期地吃下去。
例题2：假设有一片草地，一头牛和一只羊每天分别吃1单位的草和0.5单位的草。
这片草地上的草最多能够供这头牛和这只羊共同无限期地吃下去吗？思路解析：这个问题与上一个问题类似，但是需要考虑两只动物对草地的破坏程度。
因此需要找到一个合适的条件，使得两只动物能够吃到最多的草并且草地上的草量不会减少。
解题方法：与上一个问题类似，需要找到一个条件使得每天新生长的草量能够满足两只动物的总消耗量加上对草地的破坏程度。
具体来说，需要找到一个条件使得R = S + 0.5(S + C) + C'，其中C'是草地被破坏的草量。
当C'足够大时，即草地被破坏的程度不严重时，仍然可以供这头牛和这只羊共同无限期地吃下去。
例题3：假设有一片草地，其中有一部分已经被这头牛吃掉了若干次，那么再让这头牛去吃这片草地的新长出的草，这片草地能够供这头牛无限期地吃下去吗？思路解析：这个问题需要考虑草地被多次破坏的情况，因此需要找到一个条件使得牛能够吃到最多的新长出的草并且草地上的总草量不会减少。
如何解“牛吃草问题”
娄斌（山东省枣庄市台儿庄区明远实验小学）如何解“牛吃草问题”一例题一块牧场上长满了草一块牧场上长满了草，，草每天都匀速生长草每天都匀速生长。
这片草可供13头牛（每头牛每天的吃草量相同每头牛每天的吃草量相同））吃10天，或可供21头牛吃5天。
（1）这片草可供25头牛吃几天头牛吃几天？？（2）这片草可供几头牛吃20天？分析题目可知，牧场上原有的草量是固定的，每天新长出的草量也是固定的，新长出的总草量＝每天新长出的草量×天数，若干天牧场可提供的总草量＝原有的草量＋新长出的总草量。
假设1头牛1天能吃1份的草，则13头牛10天吃草1×13×10＝130（份），21头牛5天吃草1×21×5＝105（份）。
为什么前一种吃法比后一种多了130－105＝25（份）呢？这是因为前一种吃法比后一种多了10－5＝5（天），多出的25份草是5天长出来的。
可以算出牧场上每天长出的草量是25÷5＝5（份）。
小朋友，“牛吃草问题”是英国科学家牛顿在17世纪提出的，又称为“消长问题”或“牛顿问题”。
“牛吃草问题”中主要涉及三个量：草的数量（原有的草量、每天新生长或减少的草量）、牛的数量、时间。
如何解答这类问题呢，下面我们一起来看一下。
13头牛10天吃草130份，这10天牧场上新长出的草量是10×5＝50（份），牧场上原有的草量是130－50＝80（份）。
（1）计算这片草可供25头牛吃几天头牛吃几天，，可以这样思考可以这样思考：：因为牧场上每天长出5份草，可以让其中的5头牛专门吃新长出的草，剩下的25－5＝20（头）牛吃牧场上原有的80份草，这样问题就变成了牧场上原有的草可以供20头牛吃几天？因为20头牛1天要吃草1×20＝20（份），所以原有的80份草可供20头牛吃80÷20＝4（天），即这片草可供25头牛吃4天。
（2）计算这片草可供几头牛吃20天，可以这样思考可以这样思考：：20天牧场上新长出的总草量是20×5＝100（份），这20天牧场可提供的总草量是80＋100＝180（份），平均每天能提供的草量是180÷20＝9（份）。
牛吃草问题及变形题目详细分析
牛吃草问题及变形题目详细分析牛吃草问题属于应用题模块，是经典的奥数题型之一，也是考试中经常会涉及到的考点。
下边是牛吃草的五大经典类型，大家可以来学习一下。
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。
难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。
“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量＝每天生长量×天数同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度＝(对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数)÷(较多天数－较少天数)；⑶原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；⑷吃的天数＝原来的草量÷(牛的头数－草的生长速度)；⑸牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。
例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。
这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。
问：可供25头牛吃几天？分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。
总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。
牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。
下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。
设1头牛一天吃的草为1份。
那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。
前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。
知识点牛吃草问题解题方法
知识点牛吃草问题解题方法设定一头牛一天吃草量为“1”，解题的基本3个步骤如下：（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×较多天数－相应的牛头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数）；※因为较多天数新长的草就多，总量就多，所以用对应的牛头数×较多天数－相应的牛头数×较少天数。
这个差就是两个条件相差的那几天长出的草量，所以用它除以天数差，可以求出草生长的速度。
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；※首先要知道原有草量是固定不变的，原有草量可以这样计算：用其中任意一个条件的总草量-新长的草量。
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；※牛头数－草的生长速度，这个步骤可以这样理解，分出一部分牛(可以叫做幸福牛)专门吃新长的草，例如每天长3份草，就派3头牛吃新草，这样正好每天新长的草都被这3头牛吃完，剩下的就是原草，这样就可以不用考虑新草的影响，只需要计算剩下的牛吃完原草用的天数即可。
而原草量是固定的，这样问题就简化成了简单的工程问题，工作天数=工作量÷工效，即天数=原草量÷吃原草的牛头数。
上面这3步是最基本的牛吃草问题的公式，孩子们一定要理解，不能生搬硬套。
例题：牧场上有一片牧草，每天按一定速度生长，这片牧草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天。
问可供18头牛吃几天?按照上面的步骤：（1）草的生长速度=(9×20-15×10)÷(20-10)=3(份/天)（2）两个条件，利用哪个都可以，这里我们用第一个：9头牛吃20天原有草量＝9×20-3×20=120(份)（3）吃的天数＝120÷(18-3)=8(天)所以18头牛可以吃8天。
如果算术方法实在难以理解，可以用方程(组)设原有草x份，草每天长y份，根据总草量列方程：x+20y=9×20；x+10y=15×10；解得x=120，y=3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
牛吃草问题解题方法精析
知識網絡
牛吃草問題又稱為消長問題，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。
典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。
由於吃的天數不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨吃的天數不斷地變化。
解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是︰
（1）草的生長速度
＝對應的牛頭數⨯吃的較多天數－相應的牛頭數⨯吃的較
少天數
÷（吃的較多天數－吃的較少天數）；
（2）原有草量＝牛頭數⨯吃的天數－草的生長速度⨯吃的天數；` （3）吃的天數＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；
（4）牛頭數＝原有草量÷吃的天數＋草的生長速度。
這四個公式是解決消長問題的基礎。
由於牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。
牧場上原有的草是不變的，新
長的草雖然在變化，但由於是勻速生長，所以每天新長出的草量應該是不變的。
正是由於這個不變量，才能夠導出上面的四個基本公式。
自學指導
解答牛吃草問題，困難在於草的量不停在變！它每天都在均勻地生長，時間越長，草的總量越多。
草的總量由兩部分組成︰（1）某個期限前原有的草量；（2）這個期限後，每天新增的草量。
因此，必須設法找出這兩個量來。
解決牛吃草問題的關鍵是了解牧場草的生長情況，即原有的草量及每天新增的草量。
題目給出的條件涉及3個量，即牛數、草量和天數。
使用比較的方法可以求得上述的兩種量。
為方便比較，要使兩種情況的草場面積一致。
了解有關牧場草的情況之後，再研究牛的情況。
一般可以從兩個不同的角度考慮︰天數固定，草場的草的總量就知道；每天新增加的草量已知，就可以對牛的吃草情況進行分配。
有時候，也可以用追及問題的想法去處理牛吃草問題。
解決牛吃草問題必須求出草的生長速度和草原上原有的草量，這是解決問題的關鍵。
在大多數情況下，牛吃草問題的解決分成以下幾個步驟︰應用基本公式（1）和（2），分別求出草的生長速度
和原有的草量；根據題目的要求選擇基本公式（3）或（4）來解答題中的所求問題。
經典例題
「例1」牧場上的青草，每周長一樣密，一樣快。
如果這片牧場可供24頭牛吃6周，
2 0頭牛吃10周，那麼這片牧場可供18頭牛吃_____周。
15周
思路剖析
解決本題抓住三點︰
1.把每頭牛每天的吃草量看作是〝一個單位〞；
2.求出牧草每天的生長量(不會因牛的多少而改變)；
3.求出牧場上原來的草量(牛未吃之前的草量)。
「例2」牧場上長滿牧草，每天勻速生長，這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。
問供25頭牛可吃幾天？5天
點撥
本題的難點在於草的總量未定，並且草會隨時間的增長而增長。
第一步先求出草每天的生長量；
第二步求出原有的草量；
第三步設想用幾頭牛去吃新生的草，剩下的牛去吃原有的草。
所需天數即為所求。
「例3」有一塊草地，每天草生長的速度相同。
現在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80隻羊吃12天。
如果一頭牛一天的吃草量相當於4隻羊一天的吃草量，那麼這片草地可供10頭牛和60隻羊一起吃多少天？8天
思路剖析
這道題目中吃草的既有牛，又有羊，並且牛和羊每天的吃草量是不同的，
所以我們就要統一在牛（或羊）的條件下討論問題。
因為一頭牛一天的吃草量相當於4隻羊一天的吃草量，
所以80隻羊相當於20頭牛，60隻羊相當於15頭牛。
本題就可以這樣來轉化︰有一塊草地，每天草的生長速度相同。
這片草地可供16頭牛吃20天或20頭牛（實際上是80隻羊）吃12天，
那麼25頭牛（實際上是10頭牛加60隻羊，相當於25頭牛）可以吃多少天？
這是一個標準的消長問題。
「例4」一片牧草，可供9頭牛吃12天，也可供8頭牛吃16天。
現在一開始只有4頭牛在吃，從第7天起增加了若干頭牛來再
吃6天，吃完了所有的草。
假設草每天均勻生長，並且每頭
牛每天的吃的草量相等，那麼從第7天起增加了多少頭牛？
10頭牛
思路剖析
根據題目的條件可知吃草的總天數是12天，12天的青草總量很容易求得，青草總量分成兩部分，前6天只有4頭牛吃草；後6天增加了若干頭。
我們可以從青草總量扣去4頭牛6天所吃的草量，就是後6天增加若干頭牛後吃的草量。
「例5」由於天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度減少。
經過計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或者供16頭牛吃6天，那麼這片牧場上的草可供11頭牛吃幾天？8天
思路剖析
與一般的消長問題不同，本題的草不僅沒有生長出來，而且還在不斷地減少。
但是草的量是均勻地減少的，所以我們同樣可以用類似的方法來求解，不過過程略有不同。
「例6」有一隻船漏了一個洞，水以均勻的速度進入船內，發現漏洞時船已經進了一些水。
如果用12個人淘水，要3個小時才能淘完。
如果只有5個人淘水，要10個小時才能淘完。
現在要想在2個小時內淘完，需要多少人淘水？17人
思路剖析
本題雖然不是“牛吃草”，但是問題的本質是一樣的，所以我們的解題步驟也可以採取類似的步驟。
「例7」某畫展早上10點開門，但早有人排隊等候入場，以第一個觀眾到來時起，每分鐘觀眾來的人數都一樣多。
如果開了3個入場口，9分鐘以後就不再有人排隊；如果開5個入場口，5分鐘以後就沒有人排隊。
請問︰第一個觀眾是甚麼到來的？早上9點15分
思路剖析
觀察題意，本題恰是牛吃草問題的應用。
由於每分鐘觀眾來的人數一樣多，類似於牛吃草問題裏的草的增長速度；而開門前的總人數類似於牛吃草問題裏的原有草量。
「例8」有兩個頑皮的孩子逆自動扶梯行駛的方向行走。
男孩每秒可以走3級梯級，女孩每秒可以走2級梯級，結果從扶梯的一端到達另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒。
請問︰該扶梯共有多少級梯級？150級
思路剖析
本題與牛吃草問題類似，其中扶梯的梯級總數相當於總的草量；而自動扶梯運行的速度則相當於草的增長速度。
並且上樓的速度
要分成兩部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。
「例9」有快、中、慢三輛車同時從同一地點出發，沿同一公路追趕前面的一個騎車人。
這三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人。
現在知道快車每小時走24千米，中速車每小時走20千米，那麼，慢速車每小時走多少千米？19千米
✍思路剖析
雖然本題表面上不像牛吃草問題，但仔細分析後，條件的結構轉化後就與牛吃草問題沒有什麼多大的分別！事實上，“三輛車與騎車人的距離”相當於“原有的草量”，“車”相當於“牛”，“騎車人的速度”就相當於“草的生長速度”，三輛車與騎車人的距離均勻地增加類似於牛吃草問題中新生的草均勻地生長一樣！我們可以用“牛吃草”的一般解題方法逐步分析，求出慢車的速度。
✍點撥
消長問題（即牛吃草問題）的解法有一般性，掌握這種解法必須理解每一個步驟的算術意義，亦即公式的由來。
建議多注意例4與例9中的第二種解法，因為第二種解法的步驟類似於用公式來求解，但
它用分析的方法使得每一步的思路清晰。
同樣要注意有許多題型是可以轉化為消長問題的，如例6、例7和例8。
在解題時注意不要把“草在勻速生長”這一條件忘了，如果缺少這一個條件，它只是一個一般的工程問題而已。
「例10」有3個牧場長滿草，第一牧場33公畝，可供22頭牛吃54天，第二牧場28公畝，可供17頭牛吃84天，第三牧場40
公畝，可供多少頭牛吃24天（每塊地每公畝草量相同而且草
都是勻速生長）？35頭牛
✍思路剖析
解題的關鍵仍是設法找到每公畝地原有的草量和每天每公畝地
新長出的草量。
✍點撥
牛吃草問題涉及三種數量，原有的草、新長出的草、牛吃掉的草。
牛吃草問題解法上大體分三步：
一、求新生草量；二、求原有草量；三、給出問題的解。