中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的内涵和应用

在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。

一、独立同分布下的中心极限定理及其应用

在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：

定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记

n

n X Y n i i n σμ-=

∑=1 则对任意实数y ，有 {}⎰∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22

（1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为

n

Y n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(σϕϕ 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。

于是，特征函数)(t ϕ有展开式

)(2

11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ 从而有

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n

t t n )(21lim )(lim 22ϕ22t e - 而22

t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。

定理1的结论告诉我们：只有当n 充分大时,n Y 才近似服从标准正态分布

)1,0(N ，

而当n 较小时，此种近似不能保证。也就是说，在n 充分大时，可用)1,0(N 近似计算与n Y 有关事件的概率，而n 较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。当)1,0(~N Y n 时，则有),(~),,(~22

1n N X n n N X n i i σμσμ∑=

经过多方面的理论研究，我们可知定理1主要适用于以下两个方面；

应用一：求随机变量之和n S 落在某区间的概率（例如例2.）。

应用二：已知随机变量之和n S 取值的概率，求随机变量的个数n 。

在日常生活中，我们会发现其实有很多的例子均可用林德伯格-勒维中心极限定理来解决。在此我们从中选择了几个典型而又带有新意的例子，仅供大家参考。

例1．用中心极限定理说明在正常的射击条件下，炮弹的射程服从或近似服从正态分布。[1]

解：设a 为理论射程，ξ为实际射程，则η=ξ-a 为实际射程对理论射程的偏差，显然ξ=η+a ，故只需证η～N(μ，2σ)。

由于在实际射击中，有很多不可控制的随机因素在不断变化，所以造成了实际射程对理论射程的偏差，若设1ξ：射击时炮身振动引起的偏差，2ξ：炮弹外形差异引起的偏差，3ξ：炮弹内火药的成分引起的偏差，4ξ：射击时气流的差异引起的偏差……，n ξ：……，显然有

η=∑=n i i 1

ξ

∵影响实际射程的因素是大量的，

∴这里的n 一定很大，

又∵炮身的振动、炮弹的外形、火药的成分、气流的变化…….这些因素之间没有什么关系(或有微弱关系)。

∴由它们引起的1ξ，2ξ，……n ξ可看做是相互独立的。

而正常的射击条件也就是对射程有显著影响的因素已被控制，所以1ξ，2ξ，……n ξ所起的作用可看做是同样微小。

∴由中心极限定理可知η～N(μ，2σ)。

∵η可正，可负且相会均等 ∴p=0 ∴η～N(0，2σ)。

则),(~2σηξa N a +=

从这个例子来看，虽然看上去有点复杂，但是我们还是很清晰地可以看到如果一个随机变量能表示成大量独立随机变量的和，并且其中每一个随机变量所起的作用都很微小，则这个随机变量服从或近似服从正态分布，这给我们的计算带来很大方便。

现在的旅游、汽车等行业越来越受欢迎，为了体现中心极限定理的重要性，我们不妨从现实生活中的热门行业说起，看看它到底起到怎样的重要性。

例2．某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为λ=2的泊松分布，若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率。[1]

解：设i ξ为第i 天出售的汽车的数量，则36521......ξξξξ+++=为一年的总销量，由2)()(==i i Var E ξξ，知=)(ξE 365×2=730

利用中心极限定理得

P(ξ>700)=1-P(ξ≤700)≈1—

)730730700(-Φ=1-Φ(一1．11)=0.8665

从此例可以看出，中心极限定理揭示了离散型随机变量与连续型随机变量的内在关系，即离散型随机变量的极限分布是正态分布。

事实上，在现实生活中的很多方面，我们都能清晰地看到中心极限定理的存在。那么在理论中，我们也可用它来解决一些比较抽象的问题，比如下面的极限求解问题。

例3．利用中心极限定理证明：

21!lim 0=∑=-∞→n k k n n k n e [1] 证明：设{k ξ}独立同分布且k ξ～P(1)，k=1，2…….

则a=()k E ξ=l ，2σ=()k Var ξ=1

∵由泊松分布的可加性知∑=n

k k 1ξ～P(n) ∴n n k k n k n i i n k k e k n k P n P -====∑∑∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤0011!

ξξ

又∵由中心极限定理知：