动力学第四次课

三、 保守力和 势 能 1、保守力 重力的功 在地面附近质量为m 的 物体从 a 到 b，求重力的功。
W p mg d r
(a ) (b)
y
dr
b
a o
mg
x
(b)


( mgj ) (d xi d yj )
mg d y mg( ya yb )
v1
m1 m2 x x0 m1 m2
x0
k
m1
m2
Q
h
P
m1 m2 v
m1 m2
10
0
碰撞后m1停止运动。
(3) m1<m2 ，m2到达R时恰好停止，问原来x0为多少？
1 2 mv2 m2 gh 2
v2 2gh
2m1v10 v2 m2 m1
gh x0 (m2 m1 ) 2m1
m1 m2 m，v20 0 v1 v2 v10 ...........(1)
2 2 v12 v2 v10 ............(2) 2 2 2 （1）式平方 v1 v2 2v1 v2 v10
v1 v2 0
质量相同的两个物体，如 果一个碰前静止，则碰后 分离的速度彼此垂直。
v10 k m1 x0
例4、航天器的宇宙速度 (1)第1宇宙速度 绕地球飞行的最低速度 v12 mg m 地球半径Re＝6.37x106m Re
v
mg
v1 gRe 7.9 103 ms 1
(2)第2宇宙速度（人造行星） 物体飞离地球引力范围所需的最小初速度
GM e m 1 GM e m 1 2 2 mv0 mv 2 Re 2 R GMe m 1 2 mv0 0 要飞离地球必须 R , v 0 2 Re mM mg G 2 e 2GM e Re v0 v2 2 gRe 11.2 103 ms1 Re
1、完全非弹性碰撞 两个物体碰撞后不再分开——称完全非弹性碰撞
v1
碰前
v2
m2
碰后
V
m1v1 m2 v2 m 1 m2 V
m1
损失的动能
1 2 2 1 1 1 2 2 2 2
m1 v 1 m 2 v 2 V m1 m 2
1 2 2
E m v m v m1 m2 V
弹力作功
万有引力作功
保守内力的功
1 1 2 2 A kx 1 kx 2 2 2
Gm1 m 2 A r1 Gm1 m 2 r2
与始末位置有关的函数
由位形决定的能量函数称为势能函数，简称势能。 用EP表示。 2 A12 F dr E p1 E p 2 E p 2 E p 1 Δ E p
1
保
系统由位形1变到位形2的过程中， 保守内力的功等于其势能的减少(增量的负值) 。
A12
2
1
F dr E p1 E p 2
保
若选定势能零点为 则
E P 2 =0
f保 .d r
系统在任意位形的势能等 于从此位形变到势能零点 时，保守力所做的功
EP1
( 零点)
A
m
r dr rdr
AAB
rB rA
r
M
f
dr
r dr
B
GMm f r2
GMm rdr 3 r
1 1 GMm( ) rB rA 1 1 GMm( ) rA rB
GMm f 3 r r
引力的功只取决于两质点间的始末距离rA,rB ， 而与移动的路径无关（对所有有心力都成立）
（2）对心碰撞
碰前 v10
m1 碰后
v 20
m2
两个球对心碰撞： 设碰撞前后各个速度都沿同一方向
v1
v2
m1v1 m2 v2 m1v10 m2 v20
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v1 m2 v2 m1v10 m2 v20 2 2 2 2
v1
m1 m2 v10 2m2 v 20
常见的势能函数 弹力势能 重力势能 万有引力势能
EP
1 kx 2 2
E P mgh
EP
Gm1 m 2 EP r
EP
EP
0
r
0
x
0
h 两质点相距 无限远时的 势能为零
自然长度时的 势能为零
地球表面为 势能零点
四、功能原理
机械能守恒定律
质点系的动能定理 A外 + A内 = Ek2 - Ek1 内力可分为非保守内力和保守内力 A内 = A内非 A内保 = A内非 EP1 EP 2 A外＋A内非 EP1 EP 2 Ek 2 Ek1
( 1)
注意： 势能零点的选择可以任意。 势能零点的选择不同,势能的值不同,但不影响 两势能之差，即不影响保守力的功。A ΔE
12保
p
＊ 说明： 只有物体之间存在相互作用的保守内力时，才 存在相应的势能，只对保守内力才能定义势能 ＊势能属于有相互作用的系统，不属于某一物体
说“某物体的势能”是一种简略说法。
m1v0 m1 m2 v0
与弹簧垂直
得小球和子弹的共同速度为
v0
m1
l0
o
l
m1v0 v0 m1 m
m
v

此后含有子弹的小球对O点的角动量守恒：
(m1 m)l0v0 m1 m lv sin
小球在运动过程中只有弹力做功，小球弹簧系统机械能守恒;
1 1 1 2 2 (m1 m)v k (l l0 ) m 1 m v 2 0 2 2 2
M外 0
L 常矢量
变力作功
Aab d A
a a
b
b
F d r
质点系的三个运动定理： 动量定理
t2
ห้องสมุดไป่ตู้
角动量定理
t2
动能定理
F外dt P
t1
M 外dt L
t1
A外 A内 EK
内力能改变系统的总动能
一对力的功
d A d A1 d A2 f1 d r 12 r 一对力所做的功与 r 1、 2 无关即
讨论
1、机械守恒时： ( EK 2 EP 2 ) ( EK 1 EP1 )
ΔEk ΔE p
Ep Ep
＝A内保
A内保>0 A内保<0
Ek Ek
保守内力作功是系统势能与动能相互转化 的手段和度量。 2. 对于一个孤立系统（与外界无相互作用）
A外 0
A内 非 E2 E1
例1:水平光滑平面上有一轻质弹簧，一端固定，另一端系 一质量为m的小球。劲度系数为k，最初静止，自然长度l0.
今有质量为m1的子弹沿水平 方向垂直于弹簧以速度v0射 中小球而不复出。求此后当 弹簧长度为l时，小球速度v 的大小及它的方向与弹簧轴 线的夹角θ .
v0
m1
l0
o
l
m
v

解:
射入小球过程中，二者动量守恒：
m1 m 2
v2
m2 m1 v 20 2m1v10
m 2 m1
讨论
1、m1 = m2
v1 v 20 v 2 v10 彼此交换速度
2、m2 >>m1 且 v20= 0
v1 v10 v2 0
1 弹回 2不动
v1
m1 m2 v10 2m2 v 20
m1 m 2
v2
m2 m1 v 20 2m1v10
m 2 m1
讨论
3、m2 >>m1 且 v20≠ 0
v1 v10 2v20
v1 , m1
v2 v20
轻的物体速度增加（当两 个物体相向运动时） 重的物体速度不变
v20 m2
m1 ,v10
这种轻的物体碰撞前被重物 吸引，碰撞后又被高速抛回 的现象被称为弹弓效应

1 L1

2
f d r
1 L 2

2
f d r
f
dr
0
L2
m
1
若力的功不仅与质点的始末位置有关，还与路径有关 ——非保守力 例如：滑动摩擦力，粘滞力，爆炸力等
2、势能 保守内力作功与路径无关，只与始末相对位置有关 重力作功 A mgh1 mgh2 （始末位形）
ya
(a) yb
重力做功只与始末位置有关
弹性力的功
F
F kxi dr dxi d A F d r kxdx
A
x2 x1
O
x1 x x2 x
1 1 2 2 kx d x kx 1 kx 2 2 2
弹力作功只与始末位置有关。
万有引力作功 Mm dA f dr G 3 r dr r
R
1 2 1 2 kx0 m1v10 2 2
k
m1
m2
Q
h
v10 k m1 x0
m1离开弹簧时速度
P
完全弹性碰撞,动量守恒、机械能守恒：
v1
m1 m2
m1 m2
v10
2m1v10 v2 m2 m1
m1弹回后弹簧压缩x:
R
1 2 1 kx m1v12 2 2