(天津专版)中考数学总复习专题八天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究课件(含13年试题)

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中考数学压轴题因动点产生的线段和差问题

因动点产生的线段和差问题例1 天津市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．请打开超级画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．思路点拨1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．满分解答（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AO BOOE OA=．因此242OE=．解得OE＝1．所以E(0,1)．（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为8(,1) 7．图3 图4考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E53当A′、B、E′′三点共线时，''''''A O A OBO E O=．所以247m=．解得87m=．此时8'(,1)7E．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、 B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12滨州24”，拖动点M 在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当M 落在线段AB 上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM ＋OM 最小（如图3）．请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M ， M 落在线段AB 上时， AM ＋OM 最小．答案（1）212y x x =-+。

2024中考数学专题过关检测专题25 与圆有关的计算的核心知识点精讲(讲义)(解析版)

专题25 与圆有关的计算的核心知识点精讲1.掌握弧长和扇形面积计算公式；2.会利用弧长和扇形面积计算公式进弧长和扇形面积的计算考点1：圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD D中进行：:::2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE D中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB D中进行，::2AB OB OA =.考点2：扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：180n Rl p =；（2）扇形面积公式：213602n R S lR p ==n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长S ：扇形面积注意：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的；　（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R 为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.长的，即即； (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.考点3：扇形与圆柱、圆锥之间联系1、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r p p +（2）圆柱的体积：2V r h p =2、圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r p p +（2）圆锥的体积：213V r hp =注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（180r 2Rn ΠΠ=）【题型1：正多边形和圆的有关计算】【典例1】（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（）A ．B ．2C ．3D ．2积的，即；C 1D 1【答案】C【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过A作AM⊥OB于M，在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM＝OA＝，∴S＝OB•AM＝＝，△AOB∴正十二边形的面积为12×＝3，∴3＝12×π，∴π＝3，∴π的近似值为3，故选：C．【变式1-1】（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（）A．60°B．90°C．180°D．360°【答案】B【解答】解：由于正六边形的中心角为＝60°，所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故选：B．【变式1-2】（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（）A．60°B．54°C．48°D．36°【答案】D【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，故选：D．【变式1-3】（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【答案】A【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，∴AB＝BC＝2，OQ＝3，∴OA＝OB＝，∴OC＝3，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（3，﹣2），故选：A．【变式1-4】（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ 的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．60°【答案】B【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，故选：B．【题型2：弧长和扇形面积的有关计算】【典例2】（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A．πB．3πC．2πD．2π﹣【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴＝＝，∵的长＝＝π，∴该“莱洛三角形”的周长是3π．故选：B．【变式2-1】（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（）A．πB．πC．πD．π【答案】B【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，∴，∴的长度l＝＝π．故选：B．【变式2-2】（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m【答案】C【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），故选：C．【变式2-3】（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（）A．πB．πC．πD．2π【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，∴扇形AOC的面积为，故选：D．【题型3：有圆有关的阴影面积的计算】【典例3】（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四边形OECD是正方形，∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形BCE＝S△OCE+S半弓形BCE＝S扇形COB＝＝，故选：B．【变式3-1】（2023•雅安）如图，某小区要绿化一扇形OAB 空地，准备在小扇形OCD 内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB ＝120°，OA ＝15m ，OC ＝10m ，则种草区域的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解答】解：S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S 扇形COD ＝＝（m 2）．故选：B ．【变式3-2】（2023•鄂州）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（）A ．5πB ．5﹣4πC ．5﹣2πD ．10﹣2π【答案】C【解答】解：连接OD ．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，∴BC ＝AB ＝4，∴OC ＝OD ＝OB ＝2，∴∠DOB ＝2∠C ＝60°，∴S 阴＝S △ACB ﹣S △COD ﹣S 扇形ODB ＝×4×4﹣﹣＝8﹣3﹣2π＝5﹣2π．故选：C ．【变式3-3】（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC ＝90°，则扇形部件的面积为（）A ．米2B ．米2C ．米2D ．米2【答案】C【解答】解：连结BC ，AO ，如图所示，∵∠BAC ＝90°，∴BC 是⊙O 的直径，∵⊙O 的直径为1米，∴AO ＝BO ＝（米），∴AB ＝＝（米），∴扇形部件的面积＝π×（）2＝（米2），故选：C ．【题型4：圆锥的有关计算】【典例4】（2023•东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π，∴R＝3．故选：A．【变式4-1】（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．100°C．120°D．150°【答案】C【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，设圆心角的度数是n度．则＝2π，解得：n＝120．故选：C．【变式4-2】（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（）A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2【答案】C【解答】解：∵底面圆半径DE＝2m，∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；∵圆柱的高CD＝2.5m，∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意；∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，∴圆锥的母线长AB＝＝2.5（m），所以C选项符合题意；∴圆锥的侧面积＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．故选：C．【变式4-3】（2022•赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm【答案】D【解答】解：设母线的长为R，由题意得，πR＝2π×12，解得R＝24，∴母线的长为24cm，故选：D．一．选择题（共10小题）1．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（）A．72°B．60°C．48°D．36°【答案】A【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：A．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．，πC．2，D．2，【答案】D【解答】解：如图所示，连接OC、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM＝60°，∴OM＝OB sin∠OBM＝4×＝2，的长＝＝；故选：D．3．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【答案】C【解答】解：∵∠B＝45°，∴∠AOC＝90°，∵⊙O的半径为1，∴的长＝＝＝π，故选：C．4．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图，连接OC．∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，OB＝OC＝BC＝1，∴的长为＝，故选：A．5．如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（）A．πB．2πC．4πD．6π【答案】B【解答】解：依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝×3＝2π．故选：B．6．若扇形的半径是12cm弧长是20πcm，则扇形的面积为（）A．120πcm2B．240πcm2C．360πcm2D．60πcm2【答案】A【解答】解：该扇形的面积为：（cm 2）．故选：A ．7．如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°后得到△AB 'C '，点B 经过的路径为弧BB ′，若∠BAC ＝60°，AC ＝3，则图中阴影部分的面积是（）A ．B ．C ．D ．3π【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝3，∴∠ABC ＝30°．∴AB ＝2AC ＝6．根据旋转的性质知△ABC ≌△AB ′C ′，则S △ABC ＝S △AB ′C ′，AB ＝AB ′．∴S 阴影＝S 扇形ABB ′+S △AB ′C ′﹣S △ABC ＝＝．故选：C ．8．如图，四边形ABCD 为正方形，边长为4，以B 为圆心、BC 长为半径画，E 为四边形内部一点，且BE ⊥CE ，∠BCE ＝30°，连接AE ，则阴影部分面积（）A ．B ．6πC ．D ．【答案】C【解答】解：如图，作EF ⊥AB 于点F ，∵BE⊥CE，∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝2，∠CBE＝60°，∴CE＝BE＝2，∠EBF＝30°，∴EF＝BE＝1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△BCE﹣S△ABE＝﹣×2×﹣×1＝4π﹣2﹣2．故选：C．9．如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（）A．180°B．216°C．240°D．270°【答案】B【解答】解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm，∴圆锥底面圆的半径为：＝3（cm），∴2π×3＝，解得n＝216°．故选：B．10．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（）A．10πB．15πC．20πD．25π【答案】C【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π，故选：C．二．填空题（共8小题）11．AB是⊙O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP∥OA，AP 与OB交于点C，则∠OCP的度数为90°　．【答案】90°．【解答】解：∵AB是⊙O的内接正六边形一边，∴∠AOB＝＝60°，∴＝30°，∵BP∥OA，∴∠OAC＝∠P＝30°，∴∠OCP＝∠AOB+∠OAC＝60°+30°＝90°．故答案为：90°．12．已知正六边形的内切圆半径为，则它的周长为　12　．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为a，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝a，∴OG＝OA•sin60°＝a×＝，解得a＝2，∴它的周长＝6a＝12．故答案为：12．13．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路的长度为40πm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，这段弯路的长度为，故答案为：40π．14．已知扇形的圆心角为120°，面积为27πcm2，则该扇形所在圆的半径为9cm　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，面积为27πcm2，∴由S＝得：r＝＝＝9cm，故答案为：9cm．15．圆锥的侧面积是10πcm2，底面半径是2cm，则圆锥的母线长为5cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：底面半径是2cm，则扇形的弧长是4π．设母线长是l，则×4πl＝10π，解得：l＝5．故答案为：5．16．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是4 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面圆的周长为4π，∴圆锥的底面圆的半径为2，∴这个纸帽的高＝＝4（cm）．故答案为4．17．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是6π　．【答案】见试题解答内容【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：＝6π，故答案为：6π．18．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为　132°．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，故答案为：132．一．选择题（共7小题）1．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（）A．（4，2）B．（4，4）C．D．【答案】C【解答】解：连接OB，OA，如图所示：∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x轴，AM＝BM，∵AB＝4，∴AM＝BM＝2，∴OM＝，∴点B的坐标为：（2，2），故选：C．2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为（）A．38°B．42°C．49°D．58°【答案】C【解答】解：如图，连接OE，OD，CE，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∵∠CDF＝95°，∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，∴∠FCE＝13°，∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°，∴∠ECD＝＝36°，∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，故选：C．3．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB ＝4，则的长是（）A．B．C．D．4π【答案】A【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．又OB＝5，∴OD＝＝＝，∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．∵CF⊥AB，∴AF＝DF＝＝，又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，∴四边形ODFE为正方形．∴，∴CE＝＝＝2，∴CF＝CE+EF＝3＝BF，故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，∴所对的圆心角为90°，∴＝＝．故选：A．4．如图，将直径为4的半圆形分别沿CD，EF折叠使得直径两端点A，B的对应点都与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：连接AC，OC，OE，BE，由题意得：CD垂直平分OA，∴AC＝OC，∵OC＝OA，∴△OAC是等边三角形，同理△BOE是等边三角形，∴∠AOC＝∠BOE＝60°，∴∠COE＝60°，∴弓形AMC、弓形ONC、弓形OPE的面积相等，∵圆的直径是4，∴OA＝2，∴扇形OAC的面积＝＝，△OAC的面积＝OA2＝，∴扇形OCE的面积＝扇形OAC的面积＝，∴弓形AMC的面积＝扇形OAC的面积﹣△OAC的面积＝﹣，∴阴影的面积＝扇形OCE的面积﹣弓形AMC的面积×2＝﹣2×（﹣）＝2﹣．故选：A．5．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：连接BD、OD，交BC与E，由题意可知，BD＝BO，∵OD＝OB，∴OD＝OB＝DB，∴∠BOD＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD＝30°，∵的长为π，∴，∴r＝6，∴OB＝6，∴OE＝＝3，BE＝OB＝3，∴CE＝OE＝，+S△COE﹣S△BOE＝+﹣＝6π﹣3．∴阴影部分的面积＝S扇形BOD故选：A．6．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝8，∵AD∥BO，∴∠OAD＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，∴S阴影＝S扇形AOB＝＝π．故选：B．7．如图，一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是（）A．24πB．40πC．48πD．【答案】A【解答】解：根据题意，这个圆锥的侧面积＝×8π×6＝24π．故选：A．二．填空题（共5小题）8．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点M，N，连结MC，NC，则图中阴影部分的周长为　（4）　cm．【答案】（4）．【解答】解：解法一：如图，取AD的中点O，连接NO，设CN交AD于点E，∵N是弧AD的中点，∴NO⊥AD，∵CD⊥AD，∴NO∥CD，∴△NOE∽△CDE，∴＝＝＝＝，∴OE＝OD＝，在Rt△NOE中，NE＝＝＝，∴CM＝CN＝3NE＝2，∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点∴弧AB，弧AD的长度和为2×＝2π，∴图中阴影部分的周长为（4）cm．解法二：作NH⊥BC于点H，则CH＝2，NH＝6，在Rt△NHC中，NC＝＝＝2，∴CM＝CN＝2，∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点∴弧AB，弧AD的长度和为2×＝2π，∴图中阴影部分的周长为（4）cm．故答案为：（4）．9．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，曲线CC1C2C3C4…是由多段120°的圆心角所对的弧组成的，其中的圆心为A，半径为AC；的圆心为B，半径为BC1；的圆心为C，半径为CC2；的圆心为A，半径为AC3……，，，，…的圆心依次按点A，B，C循环，则的长是　．（结果保留π）【答案】．【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴AC＝AC1＝1，∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，；∴BC2＝BC1＝AB+AC1＝2，CC3＝CC2＝BC2+AB＝3，∠CAC1＝∠C1BC2＝C2CC3＝120°，∴的半径为1；的半径为2；的半径为3；所对的圆心角为120°，∴的半径为n，所对的圆心角为120°，∴所在圆的半径为2023，所对的圆心角为120°，∴的长为．故答案为：．10．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．【答案】见试题解答内容【解答】解：cos∠BAE＝，∴∠BAE＝30°，∴∠DAE＝60°，∴圆锥的侧面展开图的弧长为：＝π，∴圆锥的底面半径为π÷2π＝．11．如图，从一块半径为20的圆形纸片上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形ABC 围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是　．【答案】．【解答】解：连接BC，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，即BC＝20，∴AB＝10，设该圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径为m．故答案为：．12．如图，AB是圆锥底面的直径，AB＝6cm，母线PB＝9cm，点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为cm　．【答案】cm．【解答】解：由题意知，底面圆的直径AB＝6cm，故底面周长等于6πcm，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得6π＝，解得n＝120°，所以展开图中∠APD＝120°÷2＝60°，因为半径PA＝PB，∠APB＝60°，故三角形PAB为等边三角形，又∵D为PB的中点，所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA＝9cm，PD＝cm，根据勾股定理求得AD＝（cm），所以蚂蚁爬行的最短距离为cm．故答案为：cm．1．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（）A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20【答案】D【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，∴BD2＝AB2+AD2＝41，S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2＝+20﹣＝20，故选：D．2．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2B．2π﹣2C．2π﹣4D．4π﹣4【答案】C【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠A＝∠B＝45°，+S扇形CBF﹣S△ABC∴阴影部分的面积S＝S扇形CAE＝×2﹣＝2π﹣4．故选：C．3．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为18　．【答案】见试题解答内容【解答】解：360°÷20°＝18．故这个正多边形的边数为18．故答案为：18．4．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是10　．【答案】10．【解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10．5．（2023•宿迁）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长是6cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：设圆锥的母线长为x cm，根据题意得＝2π•2，解得x＝6，即圆锥的母线长为6cm．故答案为6．6．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为2cm．【答案】2．【解答】解：由题意得：母线l＝6，θ＝120°，2πr＝，∴r＝2（cm）．故答案为：2．7．（2022•广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为　．【答案】．【解答】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，∵将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，∴OC＝CD＝r，∴OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠D＝60°，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴（）2+（r）2＝r2，解得：r＝2，∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，∴△ACD≌△BCO（SAS），∴阴影部分的面积＝S＝×π×22＝．扇形ADO故答案为：．8．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为πcm．【答案】π．【解答】解：连接OE，OD，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠EOD＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠BAC＝50°，∴∠EOD＝∠BAC＝50°，∵OD＝AB＝×6＝3（cm），∴的长＝＝π（cm）．故答案为：π．9．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5　．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为　．【答案】5；．【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5；连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接OA．由△OUN∽△NPM，可得＝＝，∴OU＝．MN＝2，∴NU＝，∴AU＝＝，∴AN＝AU﹣NU＝2，∴AN＝MN，∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB，∴NS∥BM，∴NS∥MP，∴M，P，B共线，又NB＝NA，∴∠ABM＝90°，∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝MB＝2，∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1，∴OS＝3，∵，设EF＝ST＝a，则，在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即，整理得 5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得：或a＝﹣4，∴题字区域的面积为．故答案为：．。

人教版中考数学复习天津中考数学课件

2a
①若m≤ b ≤n，则必在顶点处取得最小（大）值，在离对称轴较远端点处取得最大（小）值；
b ②若x= 并不在m≤x≤n范围内，则根据函数图 2a
象，在离对称轴较远端点处取得最大（小）值，较近端点处取得最小（大）值；
教师教学用书P105 拓展资源
• 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）. （Ⅲ）当c=b2时，若在自变量的值满足 b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
三、解题过程
（Ⅰ）方法一：配方法当b=2，c=-3时，二次函数的解析式为 y=x2+2x-3，配方得：y=(x+1)2-4． ∴当x=-1时二次函数取得最小值-4
因此本题涉及的主要知识点有：二次函数的解析式二次函数的图象和性质二次函数与一元二次方程之间的联系解一元二次方程、不等式本题选取了不常提及的“动轴动区间”问题，但是基于二次函数的基本知识，是可以在变化的解析式和变化的自变量取值范围中动态地探究函数值的变化规律，并且这类题型也是高中继续研究函数的单调性与最值常出现的，可以为后面的继续学习奠定好基础。
2
当x=b时，y=3b2为最小值．∴3b2=21，解得b1=- 7 （舍）， b2= 7． ∴ y x2 7x 7
（四）数学思想
• 本题主要是围绕二次函数的最值问题而设置的，层层递进，不断深入。如将此题中考查的内容进行分解、归类，则可得出解决二次函数最值问题的总结：二次函数的最值问题，核心是对抛物线对称轴与给定自变量取值范围的相对位置关系的讨论，一般分为三种情况：自变量取值范围在对称轴的左边、两边或右边；
第（Ⅲ）问已知在自变量满足的变化范围内与其对应的函数最小值为21，求函数解析式，可以基于二次函数的基本知识，结合二次函数图像分析最小值的情况。而本题的难点在于学生容易想当然的认为最小值就是顶点纵坐标从而出错，这里自变量的范围与对称轴两者都随b值的不同而相应改变，因此要结合二次函数的图像与性质进行分类讨论，计算量稍大但是难度并不是很大。

【夺分天天练】(天津专版) 专题六天津中考第23题分析与预测——解直角三角形应用课件(含13年试题)

专题六┃ 天津中考第23题分析与预测——解直角三角形应用
解：作 PD⊥AB 于点 D，由已知得 PA＝200 米，∠APD＝30°，∠B＝37°， PD 在 Rt△PAD 中，由 cos30°＝，得 PD PA 3 ＝PAcos30°＝200× ＝100 3(米)， 2 PD PD 在 Rt△PBD 中，由 sin37°＝，得 PB＝ ≈ PB sin37° 100×1.73 ≈288(米)． 0.6 答：小亮与妈妈的距离约为 288 米．
图 Z6－7
专题六┃ 天津中考第23题分析与预测——解直角三角形应用
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，由题意，得∠CAD＝30°， ∠CBD＝ 45°， 1 ∴CD＝AC· sin∠CAD＝60 2× ＝30 2(海里)， 2 CD ∴BC＝＝60(海里)，∴t＝60÷ 60＝1(小时)． sin45° 答：从 B 处到达 C 岛需要 1 小时．
解：根据题意，有∠CAD＝45°， ∠CBD＝54°， AB＝112 m. ∵在 Rt△ACD 中，∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝CD. 又 AD＝AB＋BD， ∴BD＝AD－AB＝CD－112. BD ∵在 Rt△BCD 中，tan∠BCD＝， CD ∠BCD＝90°－∠CBD＝36°. 于是，CD·tan36°＝CD－112， 112 112 ∴CD＝ ≈ ≈415(m)． 1－tan36° 1－0.73 答：天塔 CD 的高度约为 415 m.
【例题分层探究】问题 1：天塔高度 CD 与哪条线段相等？为什么？问题 2：在△BDC 中，利用哪种三角函数建立 BD、CD 间的关系？
【例题分层探究】问题 1：AD，理由：△ADC 为等腰直角三角形，因此 CD＝AD. 问题 2：正切．

中考数学总复习专题八天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究课件

(2)若 E，F 为边 OA 上的两个动点，且 EF
＝2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E，F
的坐标．
图 Z8－3
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
初中数学
【例题分层探究】
问题 1：△CDE 的三边中哪条边是定值，此类问题可以转化为什么问题？
问题 2：当 E，F 是动点时，四边形 CDEF 中的哪条线段是定值，此类问题可转化为什么问题？
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
初中数学
(2)由已知，得∠CAB＝α，AC＝AB. ∴∠ABC＝∠ACB. ∴在△ABC 中，由∠ABC＋∠ACB＋∠CAB＝180°，得 α＝180°－2∠ABC. ∵BC∥x 轴，得∠OBC＝90°， ∴∠ABC＝90°－∠ABO＝90°－β，
初中数学
探究三平面直角坐标系中的动点问题
例 3 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB
的顶点 O 在坐标原点，顶点 A，B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴
上，OA＝3，OB＝4，D 为边 OB 的中点．
(1)若 E 为边 OA 上的一个动点，当△CDE
的周长最小时，求点 E 的坐标；
(2)如图②，当旋转后满足 BC∥x 轴时，求 α 与 β 之间的数量关系；
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
初中数学
(3)当旋转后满足∠AOD＝β 时，求直线 CD 的解析式(直接写出结果即可)．
图 Z8－2
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
初中数学
【例题分层探究】问题 1：图①中哪些线段的长度可以求出？如何求出点 D 的坐标？问题 2：图②中能否判断△ABC 的形状，旋转角∠BAC 与∠ABC 之间的关系是什么？【例题分层探究】问题 1：AD＝3，AO＝3，AB＝5，OB＝4，过点 D 向坐标轴上作垂线，利用相似计算出线段长即可．问题 2：△ABC 是等腰三角形，∠BAC＝180°－2∠ABC.

2024年天津市中考真题数学试卷含答案解析

2024年天津市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．计算()33--的结果是（）A ．6B ．3C ．0D ．－6【答案】A【详解】试题解析：根据有理数减法法则计算，减去一个数等于加上这个数的相反数得：3-（-3）=3+3=6．故选A ．2．下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是指从正前方向看到的图形求解即可．【详解】解：由此从正面看，下面第一层是三个正方形，第二层是一个正方形（且在最右边），故选：B ．3．估算的值在（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间【答案】C4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键．【详解】解：A.不是轴对称图形；B.不是轴对称图形；C.是轴对称图形；D.不是轴对称图形；故选C ．5．据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（）A ．70.0810⨯B ．60.810⨯C ．5810⨯D ．48010⨯61- 的值等于（）A ．0B ．1C 1D 17．计算3311x x x ---的结果等于（）A ．3B ．xC ．1x x -D ．231x -8．若点()()()123,1,,1,,5A x B x C x -都在反比例函数5y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．321x x x <<D ．213x x x <<∴10x <，∴132x x x <<.故选：B ．9．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，绳子长y 尺，则可以列出的方程组为（）A ． 4.50.51y x x y -=⎧⎨-=⎩B ． 4.50.51y x x y -=⎧⎨+=⎩C ． 4.51x y x y +=⎧⎨-=⎩D ． 4.51x y y x +=⎧⎨-=⎩【答案】A【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长5尺得： 4.5y x -=；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：0.51x y -=；从而可得答案.【详解】解：由题意可得方程组为：4.50.51y x x y -=⎧⎨-=⎩，故选：A.10．如图，Rt ABC △中，90,40C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E ，交AC 于点F ；再分别以点,E F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在BAC ∠的内部相交于点P ；画射线AP ，与BC 相交于点D ，则ADC ∠的大小为（）A ．60B ．65C ．70D ．75【答案】B11．如图，ABC 中，30B ∠= ，将ABC 绕点C 顺时针旋转60 得到DEC ，点,A B 的对应点分别为,D E ，延长BA 交DE 于点F ，下列结论一定正确的是（）A ．ACB ACD ∠=∠B ．AC DE ∥C ．AB EF =D ．BF CE⊥【答案】D【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得60BCE ACD ∠=∠=︒，结合30B ∠= ，即可得证BF CE ⊥，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC DE ∥不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A 和C 选项是错误的．【详解】解：记BF 与CE 相交于一点H ，如图所示：∵ABC 中，将ABC 绕点C 顺时针旋转60 得到DEC ，∴60BCE ACD ∠=∠=︒∵30B ∠=︒∴在BHC 中，18090BHC BCE B ∠=︒-∠-∠=︒∴BF CE⊥故D 选项是正确的，符合题意；设ACH x ∠=︒∴60ACB x ∠=︒-︒，∵30B ∠=︒∴()180306090EDC BAC x x ∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒+︒∴9060150EDC ACD x x ∠+∠=︒+︒+︒=︒+︒∵x ︒不一定等于30︒∴EDC ACD ∠+∠不一定等于180︒∴AC DE ∥不一定成立，故B 选项不正确，不符合题意；∵6060ACB x ACD x ∠=︒-︒∠=︒︒，，不一定等于0︒∴ACB ACD ∠=∠不一定成立，故A 选项不正确，不符合题意；∵将ABC 绕点C 顺时针旋转60 得到DEC ，∴AB ED EF FD ==+∴BA EF>故C 选项不正确，不符合题意；故选：D12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =-≤≤．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ；②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令0= 解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把2t =和5t =代入计算即可判断③．【详解】解：令0= ，则23050t t -=，解得：10t =，26t =，∴小球从抛出到落地需要6s ，故①正确；∵()223055345t t x =-=--+ ，∴最大高度为45m ，∴小球运动中的高度可以是30m ，故②正确；当2t =时，23025240=⨯-⨯= ；当5t =时，23055525=⨯-⨯= ；∴小球运动2s 时的高度大于运动5s 时的高度，故③错误；故选C ．二、填空题13．不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为．14．计算86x x ÷的结果为．【答案】2x 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键．【详解】解：862x x x ÷=，故答案为：2x ．15．计算)11的结果为．【答案】10【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．【详解】解：原式11110=-=．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．16．若正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图象经过第一、第三象限，则k 的值可以是（写出一个即可）．【答案】1（答案不唯一）【分析】根据正比例函数图象所经过的象限确定k 的符号．【详解】解：正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图象经过第一、三象限，0k ∴>．∴k 的值可以为1，故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k 的关系．解答本题注意理解：直线y kx =所在的位置与k 的符号有直接的关系．0k >时，直线必经过一、三象限．0k <时，直线必经过二、四象限．17．如图，正方形ABCD 的边长为,AC BD 相交于点O ，点E 在CA 的延长线上，5OE =，连接DE ．（1）线段AE 的长为；（2）若F 为DE 的中点，则线段AF 的长为．∵F 为DE 的中点，A 为GD 的中点，∴AF 为DGE △的中位线，在Rt EAH △中，EAH DAC ∠=∠AH EH∴= 222AH EH AE +=，三、解答题18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点,,A F G 均在格点上．（1）线段AG 的长为；（2）点E 在水平网格线上，过点,,A E F 作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与,AE AF 的延长线相交于点,,B C ABC △中，点M 在边BC 上，点N 在边AB 上，点P 在边AC上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点,,M N P ，使MNP △的周长最短，并简要说明点,,M N P 的位置是如何找到的（不要求证明）．19．解不等式组213317x x x +≤⎧⎨-≥-⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式①，得______；(2)解不等式②，得______；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为______．【答案】(1)1x ≤(2)3x ≥-(3)见解析(4)31x -≤≤【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组；（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；（3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集；（4）根据数轴上的解集取公共部分即可．【详解】（1）解：解不等式①得1x ≤，故答案为：1x ≤；（2）解：解不等式②得3x ≥-，故答案为：3x ≥-；（3）解：在数轴上表示如下：（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为31x -≤≤，故答案为：31x -≤≤．20．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h ），随机调查了该校八年级a 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？【答案】(1)50,34,8,8(2)8.36(3)150人【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）根据6h的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和8h的人数即可求出m；根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数；（2）根据平均数的定义进行解答即可；（3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，用八年级共有学生数乘以30%即可得到答案．÷=（人)，【详解】（1）解：36%50m=÷⨯=，%1750100%34%∴=，34m在这组数据中，8出现了17次，次数最多，∴众数是8，将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8，+÷=，∴中位数是(88)2821．已知AOB 中，30,ABO AB ∠=︒为O 的弦，直线MN 与O 相切于点C ．(1)如图①，若AB MN ∥，直径CE 与AB 相交于点D ，求AOB ∠和BCE ∠的大小；(2)如图②，若,OB MN CG AB ⊥∥，垂足为,G CG 与OB 相交于点,3F OA =，求线段OF 的长．∴△AOB 中，A ABO ∠+∠又30ABO ∠=︒，1802AOB ABO ∴∠=︒-∠ 直线MN 与O 相切于点∵ 直线 MN 与 O ∴90OCM ∠=︒∵OC MN∴90OCM COB ∠=∠=22．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点,,C D E 依次在同一条水平直线上，36m,DE EC AB =⊥，垂足为C ．在D 处测得桥塔顶部B 的仰角（CDB ∠）为45︒，测得桥塔底部A 的俯角（CDA ∠）为6︒，又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（CEB ∠）为31︒．(1)求线段CD 的长（结果取整数）；(2)求桥塔AB 的高度（结果取整数）．参考数据：tan310.6,tan60.1︒≈︒≈．23．已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km ，文化广场离家1.5km ．张华从家出发，先匀速骑行了4min 到画社，在画社停留了15min ，之后匀速骑行了6min 到文化广场，在文化广场停留6min 后，再匀速步行了20min 返回家．下面图中x 表示时间，y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：张华离开家的时间/min141330张华离家的距离/km 0.6②填空：张华从文化广场返回家的速度为______km /min ；③当025x ≤≤时，请直接写出张华离家的距离y 关于时间x 的函数解析式；(2)当张华离开家8min 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min 直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）【答案】(1)①0.15,0.6,1.5；②0.075；③当04x ≤≤时，0.15y x =；当419x <≤时，0.6y =；当1925x <≤时，0.15 2.25y x =-(2)1.05km【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；③分段求解，04x ≤≤，可得出0.15y x =，当419x <≤时，0.6y =；当1925x <≤时，设次数的函数解析式为：y kx b =+，把()19,0.6，()25,1.5代入y kx b =+，用待定系数法求解即可.（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家km y '，则0.0750.6y x '=-，当两人相遇书时有600.1.005 2..2575x x --=，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．【详解】（1）解：①画社离家0.6km ，张华从家出发，先匀速骑行了4min 到画社，∴张华的骑行速度为()0.640.15km /min ÷=，∴张华离家1min 时，张华离家0.1510.15km ⨯=，张华离家13min 时，还在画社，故此时张华离家还是0.6km ，张华离家30min 时，在文化广场，故此时张华离家还是1.5km ．故答案为：0.15,0.6,1.5.②()1.5 5.1 3.10.075km /min ÷-=,故答案为：0.075．③当04x ≤≤时，张华的匀速骑行速度为()0.640.15km /min ÷=，∴0.15y x =；当419x <≤时，0.6y =；当1925x <≤时，设次数的函数解析式为：y kx b =+，把()19,0.6，()25,1.5代入y kx b =+，可得出：190.625 1.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：0.152.25k b =⎧⎨=-⎩，∴0.15 2.25y x =-，综上：当04x ≤≤时，0.15y x =，当419x <≤时，0.6y =，当1925x <≤时，0.15 2.25y x =-．（2）张华爸爸的速度为：()1.5200.075km /min ÷=，设张华爸爸距家km y '，则()0.07580.0750.6y x x =-=-'，当两人从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时，有600.1.005 2..2575x x --=，解得：22x =，∴()0.07580.0750.60.075220.6 1.05km y x x =-=-=⨯-='，故从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是1.05km ．24．将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠== ．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．∵四边形OABC 是平行四边形，2,OC =∴23OC AB OA B AOC ====∠=∠，CB ，∵CH OA⊥∴30OCH ∠=︒此时AB与C O''的交点为E与A重合，OP 如图：当C'与点B重合时，此时AB与C O''的交点为E与B重合，OP=∴t的取值范围为35 22t<<；②如图：过点C作CH OA⊥由（1）得出()13C ，，60COA ∠=︒∴tan 60MP OP ︒=，3MP t =∴3MP t=当213t ≤<时，111222S O P OP MP t '==⨯=⨯()()1122S O P MC MP OP CM =+⨯''=+∴30>，S 随着t 的增大而增大∴在32t =时3333332222S =⨯-=-∵由①得出EO A ' 是等边三角形，EN AO⊥∴()11323222AN AO t t ==-=-'，∴tan 3EAO '∠=，3EN AN=∴332EN t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()31333222S t AO BC MP t =--⨯+⨯=-''∴30-<，S 随着t 的增大而减小∴在51124t ≤≤时，则把51124t t ==，分别代入得出57333S =-⨯+=，113S =-⨯+25．已知抛物线()20y ax bx c a b c a =++>，，为常数，的顶点为P ，且20a b +=，对称轴与x 轴相交于点D ，点(),1M m 在抛物线上，1m O >，为坐标原点．(1)当11a c ==-，时，求该抛物线顶点P 的坐标；(2)当OM OP ==a 的值；(3)若N 是抛物线上的点，且点N 在第四象限，90MDN DM DN ∠=︒=，，点E 在线段MN上，点F 在线段DN 上，NE NF +=，当DE MF +a 的值．则901MHO HM ∠=︒=，在Rt MOH 中，由2HM 221312m ⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭．解得123322m m ==-，（舍）90DNK NDK MDH ∠∠∠=︒-=NDK DMH ∴≌△△．∴1DK MH ==，NK DH ==∴点N 的坐标为()2,1m -．在Rt DMN △中，DMN DNM ∠=∠。

天津中考数学第24题（几何压轴题）思路分析及真题练习

天津中考数学第24题（几何压轴题）思路分析及真题练习思路分析：观察近几年的中考真题可以发现，每年倒数第二题的出题形式，都是将几何图形放在平面直角坐标系中。

但是，由于解析几何要到高中才学，所以坐标系在这里其实只能起到一个确定点的坐标的作用。

当然，如果把直线看成一次函数图像，一次函数解析式就是直线方程，也就可以将直线交点问题，转化为方程组求解问题，但在这道题中通常都不需要这样做。

题目每年都会对几何图形进行变换，近六年的变换规律是：旋转、对称、旋转、对称、旋转、平移，明年应该大概率是旋转。

因为无论是对称变换、旋转变换还是平移变换，图形的大小和形状都不会发生改变，所以每年的题目都会涉及到全等。

由于在图形变换的过程中，全等的判定通常都是比较容易的，所以本题对全等的考察又主要在全等性质的应用上。

题目设问无论是点的坐标、线段的长还是图形的面积，其核心都是求距离。

所有的距离又都可以转化为求两点间的距离或求点到直线间的距离。

任意两点之间的距离公式虽然要高中才学，但我们可以将两点之间的距离转化为求一个直角三角形的斜边长，用勾股定理求解。

因此，我们会发现每年的题目中几乎都会涉及到勾股定理。

任意点到任意直线的距离公式也要到高中才会学习，但对于一些特殊情况，我们现在就可以做了。

每年的第一问，都是送分问，用一次勾股定理基本都可以解决。

第二问和第三问，解题的关键是要抓住全等的性质和特殊三角形。

第三问通常也会和其它知识点结合，但涉及的都是一些基础知识点，基本功扎实的同学，问题都不大。

最后提醒一下，当对图形进行旋转变换时，尤其需要注意其与圆的结合。

在研究点、直线、圆和圆的位置关系时，只需要研究它们和圆心的位置关系即可。

而在旋转变换时，旋转中心自然就是圆心。

真题练习参考答案。

2015年天津市初中毕业生学业考试数学第(25)题分析

b2=-4（舍）． y x2 x 1
博学笃行明德至善
b b 3 b 2 2
博学笃行明德至善
b b 3 b 2 2
博学笃行明德至善
四、拓展引申
（2）从知识结构拓展
本题的主要类型和条件均围绕二次函数
的最值问题而设置，层层递进，不断深
入。如将此题中的考查重点进行分解、
归类，则可得出解决二次函数最值问题的几点总结：
博学笃行明德至善
四、拓展引申
（2）从知识结构拓展
（一）从知识点上分析：
1、二次函数的最值问题，核心是对抛物线对称轴与给定自变量取值范围的相对位置关系的讨论，一般分为三种情况：自变量取值范围在对称轴的左边、两边或右边；
大值，代入b=-4，得最大值为48； b ②若 2<b，即b>0，当x=b+3时， y=3b2+9b+9为最大值，代入 b 7，得最大值为 30 9 7 ．
博学笃行明德至善
变式训练
2、已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）. （Ⅲ）当c=b2时，若在自变量的值满足 b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为21，求此时二次函数的解析式． b ①若- >b+3，即b<-2， 2 当x=b时，y=3b2为最大值．∴3b2=21，解得b1=- 7 ， b2= 7（舍）． ∴ y x2 7 x 7
博学笃行明德至善
变式训练
已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）. （Ⅲ）当c=b2时，若在自变量的值满足 b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为21，求此时二次函数的解析式． b ③若- <b，即b>0， 2 当x=b+3时， y=3b2+9b+9为最大值．∴3b2+9b+9=21，解得b1=1， ∴

巧妙构造灵活解题——2019年天津市中考试题第25题第(3)小题的思考

数理化解题研究2021年第08期总第501期巧妙构造灵活解题2019年天津市中考试题第25题第(3)小题的思考刘春红1高成龙2(1.天津市第七中学300000；2.天津外国语学校300000)摘要：函数相关知识是初中甚至高中阶段重要知识模块之一，函数综合题是历年来各省市中考数学的热点和重难点.2019年天津市中考数学第25题就是典型的函数综合问题，作为一道压轴题，其实质就是胡不归问题模型的应用.对于第(3)小题来说，可利用胡不归模型解决，也可以巧妙的转化线段，构造出符合要求的线段，借助三角形的三边关系，找到对应线段和最小时的情形.研究此类解题思路，可以使学生举一反三，提高数学素养.关键词：中考数学；胡不归模型；构造；线段和最小中图分类号:G632 文献标识码：A文章编号:1008 -0333(2021)08 -0006 -022019年天津市中考第25题第(3)小题，以二次函数为载体，求线段和最小问题，充分体现了《义务教育课程标准(2011年版)》对二次函数的要求,既要求分析出何时两条线段和最小,又考查了学生的计算能力.其中蕴含的转化和数形结合思想对提升学生的解题能力有很大帮助,虽然教材中未出现胡不归问题的专题探讨，但是多个省市近年来中考对胡不归问题模型的多次考查,也恰说明其数学价值较高,对提升学生的思维品质大有裨益.一、原题呈现题目已知抛物线y 二%2 -加+ c (6、c 为常数,b >0) 经过点A ( - 1,0)，点M (m ,0)是%轴正半轴上的动点.(1)b 二2时,求抛物线的顶点坐标；(2)点D ( b ,y D ) 在抛物线上，当AM 二AD ,m 二5时,求b 的值；(3)点Q ( b+ 1 ,y Q )在抛物线上，当2AM + 2QM 的最小值为〔2时，求 b 的值.二、思路探析该题的前两个小题比较简单，最后一个小题综合性较强，下面将其分解为如下三个问题：(1) 点Q (b + 1 ,y Q )中的y Q 如何用参数b 表示？(2) 2AM + 2QM 取得最小值时对应图象的情形是什么？(3) 如何将2AM + 2QM 的最小值为时用含b 的式子列出方程？对于问题(1)来说，点Q ( b + 1 , J q )在抛物线y 二%21 2 1-b% + c 上，可以得出 y Q 二(b + 2 ) - b ( b +?) + c ，又抛物线过点 A ( -1,0),得 c 二-b - 1,故 y Q 二--2 - 3.问题(2)的探究是本题的核心,首先需画出草图，再分析线段和最小的情形.因b >0,故点Q 在第四象限，且在直线%二b 右侧.点M 相对点A 和Q 来说是动点,2 AM + 2QM 取得最小值的问题可以借用“胡不归问题”模型表述为:某人要从点Q 出发到点A ,%轴下方是砂砾地带，其行走速度为1 ,%轴表示驿道,其行走速度为；，那么行走的时间AM + QM 二2AM + 2QM 最少是多少？2 2现在利用“胡不归问题”模型归纳的解题思路来解决:图1考虑到2AM + 2QM 二2(+ QM ),可取N (0,1),如图1,过点Q 作QG 丄AN 于点G ,交%轴于2点 M ,有 Z GAM 二 45°,得 £ AM 二GM ，则此时点M 满足题意.问题(3)寻找关于参数b 的方程，过点Q 作QH 丄%轴，则点H ( b + J ,0).易知Rt △ MQH 中，乙 QMH 二乙 GAM 二 45°,故 QH 二 MH.而点收稿日期：2020 -12 -15作者简介：刘春红(1990 -)，女，河南人，硕士，中学二级教师，从事初高中数学教学研究.高成龙(1988 -)，男，甘肃人，硕士，中学一级教师，从事初高中数学教学研究.——6—2021年第08期总第501期数理化解题研究M(m,0)，可得0-(--2一宁)二(b+*)-尬，即机二2-丁.此时由厲AM+2QM二诈,解得:b二4.以上利用胡不归模型解答也是命题组提供的参考答案，然而教材中没有该模型的专题,故学生很难想到这种方法,还有其它解决方法吗？请看笔者如下思路.三、求解思路的梳理思路1想得到2AM+2QM的最小值，在图中构造出2AM长度的线段与2QM长度的线段.如图2,过点A作%轴的垂线，并在该线上作点M1,使AM1二AM，则M1M二2AM,得点M1(-1,m+1).延长MQ至点M2,使MQ二QM2,贝V MM2二2QM.即得：2AM+2QM二M1M+MM2.由于MQ二QM2,点M(叫0),.1b3丄」\yS(b+2--2'^点Q(b+丁，-丁-才)，故点M2 ：卜人：3(2b+1-叫-b-2).显然M1M 图2+MM2M M]m2,可知M1M+MM2的最小值等于M1M2的最小值.而M1M2=*( m一罟‘+少+争身,得出当m=彎丄时，M1M2的最小值为j詈b+耳b+81二芋^.化简得：b2+3b-28=0,解得：b1=-7(舍),b2=4.故b=4.思路2考虑到2AM+2QM=2(AM+2QM),线段AM为图中已知量，只需构造出2QM长度的线段来分析2AM+2QM的最小值.如图3,过点Q向右作MQ丄QE,且MQ=QE,有2QM=ME..再分别过点M、E作%轴的垂线,与过点Q 的水平线交于点B、C.可以得出：2AM+2QM=2(AM+2QM)=2(AM+ME).易证/BMQ=/CQE,又/B=/C,MQ=QE,因此由于MQ与QE、BQ与CE的长度相等且在变化，但MB与QC的长度相对不变，故点E在如图3所示的直线/上运动,当点E运动到%轴上时,AM+ME才取得最小值.当2AM+2QM=2(AM+ME)取得最小值时，如图4所示，可得Rt△MQE,Rt△MBQ与Rt△QCE均为等腰直角三角形，故MB=BQ=QC=CE二斗+丁.所以厲AM+2QM=2(A M+ME)=2(04+%Q+QC)：*，解得b=4.2思路3考虑到2AM+2QM=2(；AM+QM),线段QM为图中已知量，只需构造出2AM长度的线段来分析2AM+2QM的最小值.如图5,在y轴上作点B(0,1),连接直线AB，过点M作MC丄直线AB于点C,连接QC.由点A(-1,0)、点B(0,1)得直线AB：y=%+1,Rt△AOB为等腰直角三角形，因此CM=j AM,可得：2AM+2QM=2(j AM+QM)=2(CM+MQ),在A CMQ中，CM+MQ>CQ；当点C、M、Q共线时,CM+MQ=CQ,所以共线时，CM+MQ的最小值为CQ.又2AM+2QM的最小值为【2,故2CQ=【2.由点图1b2(b+2)-(-到直线距离公式得:CQ=3b9亍b+T124二斗x^2,解得:们=-7(舍),b2=4.故b=4.224四、题后反思二次函数综合问题不是难在知识点上,而是此类问题会暗含着一些数学思想方法,在中考题中,通常会涉及许多知识点,有一定的难度与灵活性,需要平时在教学中,多搜集此类素材，加以总结，领悟其中蕴含的思想方法,做到举一反三，使学生的知识技能和思维能力进一步提升.参考文献：[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京：北京师范大学出版社,2012.[2]苏华强.关注模型教学拓展解题方法：“胡不归问题”在初中数学解题中的应用[J].中学数学月刊,2018 (12)：50-52.[3]波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982.[责任编辑:李璟]—7—。

2024届天津二十五中学中考数学模拟预测题含解析

2024届天津二十五中学中考数学模拟预测题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．cos30°的相反数是（）A ．33-B ．12-C ．32-D ．22- 2．不等式组302x x +>⎧⎨-≥-⎩ 的整数解有（） A ．0个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个3．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：弧①是以O 为圆心，任意长为半径所画的弧；弧②是以P 为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A 为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P 为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，已知D 是ABC 中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（）A ．△BAC ∽△BDAB ．△BFA ∽△BEC C ．△BDF ∽△BECD ．△BDF ∽△BAE5．下列实数中，在2和3之间的是（）A ．πB ．2π-C ．325D ．3286．等式33=11x x x x --++成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（） A ．B ．C ．D ． 7．如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（）A ．35B ．45C ．34D ．438．在下列函数中，其图象与x 轴没有交点的是（）A ．y=2xB ．y=﹣3x+1C ．y=x 2D ．y=1x9．如图，边长为2a 的等边△ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（）A ．12aB ．aC 3aD 3a10．二次函数y=ax²+bx+c （a ，b ，c 为常数）中的x 与y 的部分对应值如表所示： x-1 0 1 3 y135- 3 2953 下列结论：（1）abc＜0（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；（3）16a+4b+c＜0（4）x=3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．12．抛物线y＝2x2+3x+k﹣2经过点（﹣1，0），那么k＝_____．13．在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表：班级平均分中位数方差甲班92.595.541.25乙班92.590.536.06数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下：①这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；②甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少；③乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小．上述评估中，正确的是______.(填序号)14．已知a＜0，那么|2a﹣2a|可化简为_____．15．1-12的倒数是_____________．16．如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么围成的圆锥的高度是cm．17．如图，利用图形面积的不同表示方法，能够得到的代数恒等式是____________________(写出一个即可)．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）（1）计算：（﹣2）﹣2+12cos60°3﹣2）0；（2）化简：（a﹣1a）÷221a aa-+．19．（5分）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，A型灯每盏进价为30元，售价为45元；B型台灯每盏进价为50元，售价为70元．（1）若商场预计进货款为3500元，求A型、B型节能灯各购进多少盏？根据题意，先填写下表，再完成本问解答：型号A型B型购进数量（盏）x _____购买费用（元）_____ _____（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？20．（8分）（问题情境）张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．[变式探究]如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：[结论运用]如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值；[迁移拓展]图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝213dm，AD＝3dm，BD＝37dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．21．（10分）如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．22．（10分）如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的长．23．（12分）计算:230120.12520041 2-⎛⎫-⨯++- ⎪⎝⎭24．（14分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，．求BE的长．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解题分析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数．【题目详解】∵cos30°3∴cos30°的相反数是3故选C．【题目点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念．2、B【解题分析】先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求整数解即可．【题目详解】解不等式x+3＞0，得x＞﹣3，解不等式﹣x≥﹣2，得x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，∴整数解有：﹣2，﹣1，0，1，2共5个，故选B．【题目点拨】本题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．3、C【解题分析】根据基本作图的方法即可得到结论．【题目详解】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；（3）弧③是以A为圆心，大于12AB的长为半径所画的弧，错误；（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．故选C．【题目点拨】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．4、C【解题分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【题目详解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故A正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．故选C．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．5、C【解题分析】分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.详解：A、3<π<4，故本选项不符合题意；B、1<π−2<2，故本选项不符合题意；C、<3，故本选项符合题意；D、<4，故本选项不符合题意；故选C.点睛：本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的范围是解本题的关键.6、B【解题分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【题目详解】由题意可知：3010xx-≥⎧⎨+>⎩,解得：3x,故选：B．【题目点拨】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.7、A【解题分析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC=2222=108=6AB AC--，∴sinA=63105 BCAB==.故选：A．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．8、D【解题分析】依据一次函数的图象，二次函数的图象以及反比例函数的图象进行判断即可．【题目详解】A．正比例函数y=2x与x轴交于（0，0），不合题意；B．一次函数y=-3x+1与x轴交于（13，0），不合题意；C．二次函数y=x2与x轴交于（0，0），不合题意；D．反比例函数y=1x与x轴没有交点，符合题意；故选D．9、A【解题分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明∴△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【题目详解】如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM ，∵CH 是等边△ABC 的对称轴，∴HB=12AB ， ∴HB=BG ，又∵MB 旋转到BN ，∴BM=BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG=NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×2a=a ， ∴MG=12CG=12×a=2a ， ∴HN=2a ，故选A ．【题目点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．10、B【解题分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式为y=-75x 2+215x+3，即可判定正确；（2）求得对称轴，即可判定此结论错误；（3）由当x=4和x=-1时对应的函数值相同，即可判定结论正确；（4）当x=3时，二次函数y=ax 2+bx+c=3，即可判定正确．【题目详解】（1）∵x=-1时y=-135，x=0时，y=3，x=1时，y=295，∴1352953a b ca b cc⎧-+-⎪⎪⎪++⎨⎪=⎪⎪⎩＝＝，解得7 =52153 abc⎧-⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩＝∴abc＜0，故正确；（2）∵y=-75x2+215x+3，∴对称轴为直线x=-21572()5⨯-=32，所以，当x＞32时，y的值随x值的增大而减小，故错误；（3）∵对称轴为直线x=32，∴当x=4和x=-1时对应的函数值相同，∴16a+4b+c＜0，故正确；（4）当x=3时，二次函数y=ax2+bx+c=3，∴x=3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，故正确；综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）．故选：B．【题目点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、±1．【解题分析】根据根的判别式求出△=0，求出a1+b1=1，根据完全平方公式求出即可．【题目详解】解：∵关于x 的方程x 1+1ax-b 1+1=0有两个相等的实数根，∴△=（1a ）1-4×1×（-b 1+1）=0，即a 1+b 1=1，∵常数a 与b 互为倒数，∴ab=1，∴（a+b ）1=a 1+b 1+1ab=1+3×1=4，∴a+b=±1，故答案为±1．【题目点拨】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a 1+b 1=1和ab=1是解此题的关键．12、3.【解题分析】试题解析：把（-1，0）代入2232y x x k =++-得：2-3+k-2=0,解得：k=3.故答案为3.13、①③【解题分析】根据平均数、中位数和方差的意义分别对每一项进行解答，即可得出答案．【题目详解】解：①∵甲班的平均成绩是92.5分，乙班的平均成绩是92.5分，∴这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；故①正确； ②∵甲班的中位数是95.5分，乙班的中位数是90.5分，∴甲班学生中数学成绩95分及以上的人数多，故②错误；③∵甲班的方差是41.25分，乙班的方差是36.06分，∴甲班的方差大于乙班的方差，∴乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小；故③正确；上述评估中，正确的是①③；故答案为：①③．【题目点拨】本题考查平均数、中位数和方差，平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．14、﹣3a【解题分析】根据二次根式的性质和绝对值的定义解答．【题目详解】∵a＜0，∴2a|＝|﹣a﹣2a|＝|﹣3a|＝﹣3a．【题目点拨】本题主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式当a≥0a；当a≤0a．解题关键是要判断绝对值符号和根号下代数式的正负再去掉符号．15、2 3 -【解题分析】先把带分数化成假分数可得:13122-=-,然后根据倒数的概念可得:32-的倒数是23-,故答案为:23-.16、4【解题分析】已知弧长即已知围成的圆锥的底面半径的长是6πcm，这样就求出底面圆的半径．扇形的半径为5cm就是圆锥的母线长是5cm．就可以根据勾股定理求出圆锥的高．【题目详解】设底面圆的半径是r，则2πr=6π，∴r=3cm，∴圆锥的高．故答案为4.17、（a+b）2=a2+2ab+b2【解题分析】完全平方公式的几何背景，即乘法公式的几何验证．此类题型可从整体和部分两个方面分析问题．本题从整体来看，整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积，从部分来看，该图形的面积可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示，从不同角度思考，但是同一图形，所以它们面积相等，列出等式.【题目详解】解：,a b 从整体来看，大正方形的边长是+()2,a b ∴+大正方形的面积为 2从部分来看，该图形面积为两个小正方形的面积加上个矩形的面积和,222a ab b 该图形面积为，∴++ ,同一图形()2222.a b a ab b ∴+=++()2222.a b a ab b +=++故答案是【题目点拨】此题考查了完全平方公式的几何意义，从不同角度思考，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）12-；（2）11a a +-；【解题分析】（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．【题目详解】解：（1）原式1111,422=+⨯- 111,44=+- 1.2=- （2）原式221,21a a a a a -=⋅-+ ()()()211,1a a a a a +-=⋅-1.1a a +=- 【题目点拨】本题考查分式的混合运算、实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．19、（1）30x ， y ，50y ；（2）商场购进A 型台灯2盏，B 型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．【解题分析】（1）设商场应购进A 型台灯x 盏，表示出B 型台灯为y 盏，然后根据“A ，B 两种新型节能台灯共100盏”、“进货款=A 型台灯的进货款+B 型台灯的进货款”列出方程组求解即可；（2）设商场销售完这批台灯可获利y 元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x 的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．【题目详解】解：（1）设商场应购进A 型台灯x 盏，则B 型台灯为y 盏，根据题意得：10030503500x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：7525x y =⎧⎨=⎩．答：应购进A 型台灯75盏，B 型台灯2盏．故答案为30x ；y ；50y ；（2）设商场应购进A 型台灯x 盏，销售完这批台灯可获利y 元，则y =（45﹣30）x +（70﹣50）（100﹣x ）=15x +1﹣20x =﹣5x +1，即y =﹣5x +1．∵B 型台灯的进货数量不超过A 型台灯数量的3倍，∴100﹣x ≤3x ，∴x ≥2．∵k =﹣5＜0，y 随x 的增大而减小，∴x =2时，y 取得最大值，为﹣5×2+1=1875（元）．答：商场购进A 型台灯2盏，B 型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．【题目点拨】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）题中理清题目数量关系并列式求出x 的取值范围是解题的关键．20、小军的证明：见解析；小俊的证明：见解析；[变式探究]见解析；[结论运用]PG +PH 的值为1；[迁移拓展]（dm【解题分析】小军的证明：连接AP，利用面积法即可证得；小俊的证明：过点P作PG⊥CF，先证明四边形PDFG为矩形，再证明△PGC≌△CEP，即可得到答案；[变式探究]小军的证明思路：连接AP，根据S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，即可得到答案；小俊的证明思路：过点C，作CG⊥DP，先证明四边形CFDG是矩形，再证明△CGP≌△CEP即可得到答案；[结论运用] 过点E作EQ⊥BC，先根据矩形的性质求出BF，根据翻折及勾股定理求出DC，证得四边形EQCD是矩形，得出BE＝BF即可得到答案；[迁移拓展]延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，证明△ADE∽△BCE得到FA=FB，设DH＝x，利用勾股定理求出x 得到BH＝6，再根据∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点即可得到答案.【题目详解】小军的证明：连接AP，如图②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∴12AB×CF＝12AB×PD+12AC×PE，∵AB＝AC，∴CF＝PD+PE．小俊的证明：过点P作PG⊥CF，如图2，∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD＝∠FDG＝∠FGP＝90°，∴四边形PDFG为矩形，∴DP＝FG，∠DPG＝90°，∴∠CGP＝90°，∵PE⊥AC，∴∠CEP＝90°，∴∠PGC ＝∠CEP ，∵∠BDP ＝∠DPG ＝90°，∴PG ∥AB ，∴∠GPC ＝∠B ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠GPC ＝∠ECP ，在△PGC 和△CEP 中PGC CEP GPC ECP PC CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PGC ≌△CEP ，∴CG ＝PE ，∴CF ＝CG +FG ＝PE +PD ；[变式探究]小军的证明思路：连接AP ，如图③，∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴S △ABC ＝S △ABP ﹣S △ACP ， ∴12AB ×CF ＝12AB ×PD ﹣12AC ×PE ， ∵AB ＝AC ，∴CF ＝PD ﹣PE ；小俊的证明思路：过点C ，作CG ⊥DP ，如图③，∵PD ⊥AB ，CF ⊥AB ，CG ⊥DP ，∴∠CFD ＝∠FDG ＝∠DGC ＝90°，∴CF ＝GD ，∠DGC ＝90°，四边形CFDG 是矩形，∵PE ⊥AC ，∴∠CEP ＝90°，∴∠CGP ＝∠CEP ，∵CG ⊥DP ，AB ⊥DP ，∴∠CGP ＝∠BDP ＝90°，∴CG ∥AB ，∴∠GCP ＝∠B ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∵∠ACB ＝∠PCE ，∴∠GCP ＝∠ECP ，在△CGP 和△CEP 中，90CGP CEP GCP ECPCP CP ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CGP ≌△CEP ，∴PG ＝PE ，∴CF ＝DG ＝DP ﹣PG ＝DP ﹣PE ．[结论运用]如图④过点E 作EQ ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠C ＝∠ADC ＝90°，∵AD ＝8，CF ＝3，∴BF ＝BC ﹣CF ＝AD ﹣CF ＝5，由折叠得DF＝BF，∠BEF＝∠DEF，∴DF＝5，∵∠C＝90°，∴DC＝22DF CF-＝1，∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC，∴四边形EQCD是矩形，∴EQ＝DC＝1，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，由问题情景中的结论可得：PG+PH＝EQ，∴PG+PH＝1．∴PG+PH的值为1．[迁移拓展]延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，如图⑤，∵AD×CE＝DE×BC，∴AD BC DE EC=，∵ED⊥AD，EC⊥CB，∴∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△ADE∽△BCE，∴∠A＝∠CBE，∴FA＝FB，由问题情景中的结论可得：ED+EC＝BH，设DH＝x，∴AH＝AD+DH＝3+x，∵BH⊥AF，∴∠BHA＝90°，∴BH2＝BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，∵AB＝AD＝3，BD，）2﹣x2＝（2﹣（3+x）2，∴x＝1，∴BH2＝BD2﹣DH2＝37﹣1＝36，∴BH＝6，∴ED+EC＝6，∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点，∴DM＝EM＝12AE，CN＝EN＝12BE，∴△DEM与△CEN的周长之和＝DE+DM+EM+CN+EN+EC＝DE+AE+BE+EC＝DE+AB+EC＝DE+EC+AB＝∴△DEM与△CEN的周长之和（dm．【题目点拨】此题是一道综合题,考查三角形全等的判定及性质,勾股定理,矩形的性质定理,三角形的相似的判定及性质定理,翻折的性质,根据题中小军和小俊的思路进行证明,故正确理解题意由此进行后面的证明是解题的关键.21、见解析【解题分析】（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF【题目详解】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．22、3【解题分析】试题分析：可证明△ACD∽△ABC，则AD ACAC AB=，即得出AC2=AD•AB，从而得出AC的长．试题解析：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．∴AD ACAC AB=，∵AD=2，AB=6，∴26ACAC=．∴212AC=．∴AC=23考点：相似三角形的判定与性质．23、5【解题分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【题目详解】原式=4-8×0.125+1+1=4-1+2=5【题目点拨】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方、绝对值等考点的运算．24、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】试题分析：连接OD.根据圆周角定理得到∠ADO＋∠ODB＝90°，而∠CDA＝∠CBD，∠CBD＝∠BDO.于是∠ADO＋∠CDA＝90°，可以证明是切线.根据已知条件得到由相似三角形的性质得到求得由切线的性质得到根据勾股定理列方程即可得到结论．试题解析：(1)连接OD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD.∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD，BC＝6，∴CD＝4.∵CE，BE是⊙O的切线，∴BE＝DE，BE⊥BC，∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62＝(4＋BE)2，解得BE＝.。

天津市五区县2024届中考押题数学预测卷含解析

天津市五区县2024届中考押题数学预测卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．△ABC的三条边长分别是5，13，12，则其外接圆半径和内切圆半径分别是（）A．13，5 B．6.5，3 C．5，2 D．6.5，22．若31x与4x互为相反数，则x的值是（）A．1 B．2 C．3 D．43．估计7+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间4．已知a m=2，a n=3，则a3m+2n的值是（）A．24 B．36 C．72 D．65．如图，点A、B、C在⊙O上，∠OAB=25°，则∠ACB的度数是（）A．135°B．115°C．65°D．50°6．有个零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的主视图是()A．B．C．D．7．如图，用一个半径为6cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，绳索端点G向下移动了3πcm，则滑轮上的点F旋转了（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．45°8．下列计算正确的是（）A ．a 2+a 2=2a 4B ．（﹣a 2b ）3=﹣a 6b 3C ．a 2•a 3=a 6D ．a 8÷a 2=a 49．如图，直线,AB CD 被直线EF 所截，155∠=，下列条件中能判定//AB CD 的是（）A ．235∠=B ．245∠=C ．255∠=D ．2125∠=10．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（）A ．10°B ．20°C ．25°D ．30°11．已知2是关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或1012．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A ．12B ．2C 5D 25 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是．14．如图，在⊙O 中，点B 为半径OA 上一点，且OA ＝13，AB ＝1，若CD 是一条过点B 的动弦，则弦CD 的最小值为_____．15．抛物线243y x x =-+向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得抛物线是__________．16．因式分解：9a 2﹣12a+4＝______．17．一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是_____．18．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是______米精确到1米三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）有这样一个问题：探究函数1x y x =+的图象与性质．小怀根据学习函数的经验，对函数1x y x =+的图象与性质进行了探究．下面是小怀的探究过程，请补充完成：（1）函数1x y x =+的自变量x 的取值范围是；（2）列出y 与x 的几组对应值．请直接写出m 的值，m= ；（3）请在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出函数1x y x =+的一条性质．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过点A 、C ，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点.（1）求抛物线的表达式；（2）如图，当CP //AO 时，求∠PAC 的正切值；（3）当以AP 、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P 的坐标.21．（6分）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子．帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的35．问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 22．（8分）如图，热气球探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD 为100米，试求这栋楼的高度BC ．23．（8分）关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=.求证：方程总有两个实数根；若方程有一根小于1，求k 的取值范围.24．（10分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别交于点E 、F ．求证：OE ＝OF ．25．（10分）某校团委为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、其他等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列各题：（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？（2）“其他”在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？（3）补全频数分布直方图；（4）该校共有3200名学生，请你估计一下全校大约有多少学生课余爱好是阅读．26．（12分）定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转180°得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪生抛物线”．(1)求抛物线y ＝x 2﹣2x 的“孪生抛物线”的表达式；(2)若抛物线y ＝x 2﹣2x +c 的顶点为D ，与y 轴交于点C ，其“孪生抛物线”与y 轴交于点C ′，请判断△DCC ’的形状，并说明理由：(3)已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，那么是否在其“孪生抛物线”上存在点P，在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1．若抛物线与x轴交于原点，求k的值；当﹣1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求k的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解题分析】根据边长确定三角形为直角三角形,斜边即为外切圆直径,内切圆半径为512132+-,【题目详解】解：如下图,∵△ABC的三条边长分别是5，13，12，且52+122=132, ∴△ABC是直角三角形,其斜边为外切圆直径,∴外切圆半径=132=6.5,内切圆半径=512132+-=2,故选D.【题目点拨】本题考查了直角三角形内切圆和外切圆的半径,属于简单题,熟悉概念是解题关键.2、D【解题分析】由题意得31x+4x=0,去分母3x+4(1-x)=0,解得x=4.故选D.3、B【解题分析】分析：直接利用2＜3，进而得出答案．详解：∵2＜3，∴3+1＜4，故选B．的取值范围是解题关键．4、C【解题分析】试题解析：∵a m=2，a n=3，∴a3m+2n=a3m•a2n=（a m）3•（a n）2=23×32=8×9=1．故选C.5、B【解题分析】由OA=OB得∠OAB=∠OBA=25°，根据三角形内角和定理计算出∠AOB=130°，则根据圆周角定理得∠P= 12∠AOB，然后根据圆内接四边形的性质求解．【题目详解】解:在圆上取点P，连接PA、PB. ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=25°，∴∠AOB =180°−2×25°=130° ，∴∠P =12∠AOB =65°， ∴∠ACB =180°−∠P =115°.故选B.【题目点拨】本题考查的是圆，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.6、C【解题分析】根据主视图的定义判断即可．【题目详解】解：从正面看一个正方形被分成三部分，两条分别是虚线，故C 正确．故选：C ．【题目点拨】此题考查的是主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键．7、B【解题分析】由弧长的计算公式可得答案.【题目详解】解：由圆弧长计算公式l=180n r π,将l=3π代入, 可得n =90o ，故选B.【题目点拨】本题主要考查圆弧长计算公式l=180n r π，牢记并运用公式是解题的关键. 8、B【解题分析】解：A ．a 2+a 2=2a 2，故A 错误；C、a2a3=a5，故C错误；D、a8÷a2=a6，故D错误；本题选B.考点：合同类型、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方9、C【解题分析】试题解析：A、由∠3=∠2=35°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；B、由∠3=∠2=45°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；C、由∠3=∠2=55°，∠1=55°推知∠1=∠3，故能判定AB∥CD，故本选项正确；D、由∠3=∠2=125°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；故选C．10、C【解题分析】分析：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．故选C．11、B【解题分析】试题分析：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=1．①当1是腰时，2是底边，此时周长=1+1+2=2；②当1是底边时，2是腰，2+2＜1，不能构成三角形．所以它的周长是2．考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．12、A【解题分析】分析：连接AC，根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，根据正切的定义计算即可．详解：连接AC，由网格特点和勾股定理可知，2,22,10AB BC==，AC2+AB2=10，BC2=10，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠ABC=21222ACAB==.点睛：考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，熟记锐角三角函数的定义、掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1【解题分析】试题分析：∵多边形的每一个内角都等于108°，∴每一个外角为72°．∵多边形的外角和为360°，∴这个多边形的边数是：360÷÷72=1．14、10【解题分析】连接OC，当CD⊥OA时CD的值最小，然后根据垂径定理和勾股定理求解即可.【题目详解】连接OC ，当CD ⊥OA 时CD 的值最小，∵OA =13，AB =1，∴OB=13-1=12，∴BC ，∴CD =5×2=10.故答案为10.【题目点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理，垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧 .15、2(3)3y x =--(或266y x x =-+)【解题分析】将抛物线243y x x =-+化为顶点式，再按照“左加右减，上加下减”的规律平移即可．【题目详解】解：243y x x =-+化为顶点式得：2(2)1y x =--，∴2(2)1y x =--向右平移1个单位，再向下平移2个单位得：22(21)12(3)3=----=--y x x ，2(3)3y x =--化为一般式得：266y x x =-+，故答案为：2(3)3y x =--（或266y x x =-+）．【题目点拨】此题不仅考查了对图象平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．16、（3a ﹣1）1【解题分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【题目详解】9a 1-11a+4=（3a-1）1．故答案是：（3a ﹣1）1.【题目点拨】考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．17、2x <【解题分析】试题解析：根据图象和数据可知，当y>0即图象在x 轴的上方，x>1．故答案为x>1．18、【解题分析】由于两盏E 、F 距离水面都是8m ，因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．故有，即，，．所以两盏警示灯之间的水平距离为：三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）x≠﹣1；（2）2；（2）见解析；（4）在x ＜﹣1和x ＞﹣1上均单调递增；【解题分析】（1）根据分母非零即可得出x +1≠0，解之即可得出自变量x 的取值范围；（2）将y =34代入函数解析式中求出x 值即可；（2）描点、连线画出函数图象；（4）观察函数图象，写出函数的一条性质即可．【题目详解】解：（1）∵x +1≠0，∴x ≠﹣1．故答案为x ≠﹣1．（2）当y =1x x +=34时，解得：x =2．故答案为2．（2）描点、连线画出图象如图所示．（4）观察函数图象，发现：函数1x y x =+在x ＜﹣1和x ＞﹣1上均单调递增．【题目点拨】本题考查了反比例函数的性质以及函数图象，根据给定数据描点、连线画出函数图象是解题的关键．20、（1）抛物线的表达式为2142y x x =--+；（2）1tan 3∠PAC =；（3）P 点的坐标是5(3,)2-. 【解题分析】分析：（1）由题意易得点A 、C 的坐标分别为（-1，0），（0，1），将这两点坐标代入抛物线212y x bx c =-++列出方程组，解得b 、c 的值即可求得抛物线的解析式；（2）如下图，作PH ⊥AC 于H ，连接OP ，由已知条件先求得PC=2，AC=42S △APC ，可求得2，再由OA=OC 得到∠CAO=15°，结合CP ∥OA 可得∠PCA=15°，即可得到2，由此可得AH=32Rt △APH 中由tan ∠PAC=PH AH即可求得所求答案了；（3）如图，当四边形AOPQ 为符合要求的平行四边形时，则此时PQ=AO=1，且点P 、Q 关于抛物线的对称轴x=-1对称，由此可得点P 的横坐标为-3，代入抛物线解析即可求得此时的点P 的坐标.详解：（1）∵直线y=x+1经过点A 、C ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上∴A 点坐标是（﹣1，0），点C 坐标是（0，1），又∵抛物线过A ，C 两点， ∴()21440,2 4.b c c ⎧-⨯--+=⎪⎨⎪=⎩解得14b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为2142y x x =--+；（2）作PH ⊥AC 于H ， ∵点C 、P 在抛物线上，CP//AO ， C （0，1），A （-1，0）∴P （-2,1），AC=42，∴PC=2，AC PH PC CO ⋅=⋅，∴PH=2，∵A （﹣1，0），C （0，1），∴∠CAO=15°.∵CP//AO ，∴∠ACP=∠CAO=15°，∵PH ⊥AC ，∴CH=PH=2，∴AH 42232=-=.∴PH 1tan PAC AH 3∠==；（3）∵221114(1)4222y x x x =--+=-++， ∴抛物线的对称轴为直线1x =-，∵以AP ，AO 为邻边的平行四边形的第四个顶点Q 恰好也在抛物线上，∴PQ ∥AO ，且PQ=AO=1．∵P ，Q 都在抛物线上，∴P ，Q 关于直线1x =-对称，∴P 点的横坐标是﹣3，∵当x=﹣3时，()()215y 33422=-⋅---+=，∴P点的坐标是5 3,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.点睛：（1）解第2小题的关键是：作出如图所示的辅助线，构造出Rt△APH，并结合题中的已知条件求出PH和AH 的长；（2）解第3小题的关键是：根据题意画出符合要求的示意图，并由PQ∥AO，PQ=AO及P、Q关于抛物线的对称轴对称得到点P的横坐标.【题目详解】请在此输入详解！21、男生有12人，女生有21人.【解题分析】设该兴趣小组男生有x人，女生有y人，然后再根据：(男生的人数-1)×2-1=女生的人数，(女生的人数-1) ×35=男生的人数，列出方程组，再进行求解即可. 【题目详解】设该兴趣小组男生有x人，女生有y人，依题意得：2(1)13(1)5y xx y=--⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1221 xy=⎧⎨=⎩．答：该兴趣小组男生有12人，女生有21人．【题目点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题中各个量之间的关系，并找出等量关系列出方程组.22、这栋楼的高度BC是33米．【解题分析】试题分析：在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长．解：∵90ADB ADC ∠∠＝＝°，30BAD ∠＝°，60CAD ∠＝°，AD ＝100，∴在Rt ABD 中，1003tan BD AD BAD ⋅∠＝在Rt ACD 中，tan 1003CD AD CAD ⋅∠＝＝. ∴4003BC BD CD ＝＋＝．点睛：本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，解答此类问题的关键是明确已知边、已知角和未知边之间的三角函数关系．23、（2）见解析；（2）k<2．【解题分析】（2）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-2）2≥2，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1=2、x 2=k+2，根据方程有一根小于2，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【题目详解】（2）证明：∵在方程()23220x k x k -+++=中，△=[-（k+3）]2-4×2×（2k+2）=k 2-2k+2=（k-2）2≥2， ∴方程总有两个实数根．（2） ∵x 2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-2）=2，∴x 1=2，x 2=k+2．∵方程有一根小于2，∴k+2<2，解得：k<2，∴k 的取值范围为k<2．【题目点拨】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握运算公式.【解题分析】由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对角线互相平分,即可得OA=OC,易证得△AEO≌△CFO,由全等三角形的对应边相等,可得OE=OF．【题目详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB∥DC,∴∠EAO=∠FCO,在△AEO和△CFO中,EAO FCOOA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定,属于简单题,熟悉平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题关键.25、（1）总调查人数是100人；（2）在扇形统计图中“其它”类的圆心角是36°；（3）补全频数分布直方图见解析；（4）估计一下全校课余爱好是阅读的学生约为960人．【解题分析】（1）利用参加运动的人数除以其所占的比例即可求得这次调查的总人数；（2）用360°乘以“其它”类的人数所占的百分比即可求解；（3）求得“其它”类的人数、“娱乐”类的人数，补全统计图即可；（4）用总人数乘以课余爱好是阅读的学生人数所占的百分比即可求解.【题目详解】（1）从条形统计图中得出参加运动的人数为20人，所占的比例为20%，∴总调查人数＝20÷20%＝100人；（2）参加娱乐的人数＝100×40%＝40人，从条形统计图中得出参加阅读的人数为30人，∴“其它”类的人数＝100﹣40﹣30﹣20＝10人，所占比例＝10÷100＝10%，在扇形统计图中“其它”类的圆心角＝360×10%＝36°；（3）如图（4）估计一下全校课余爱好是阅读的学生约为3200×30100＝960（人）．【题目点拨】本题考查了条形统计图、扇形统计图的应用，从条形统计图、扇形统计图中获取必要的信息是解决问题的关键．26、（1）y=-（x-1）²=-x²+2x-2;（2）等腰Rt△，（3）P1（3，-8），P2（-3，-20）.【解题分析】（1）当抛物线绕其顶点旋转180°后，抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则可根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式；（2）可分别求出原抛物线和其“孪生抛物线”与y轴的交点坐标C、C′，由点的坐标可知△DCC’是等腰直角三角形；（3）可求出A（3，0），C（0，-3），其“孪生抛物线”为y=-x2+2x-5，当AC为对角线时，由中点坐标可知点P不存在，当AC为边时，分两种情况可求得点P的坐标．【题目详解】（1）抛物线y=x2-2x化为顶点式为y=（x-1）2-1，顶点坐标为（1，-1），由于抛物线y=x2-2x绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=-（x-1）2-1=-x2+2x-2；（2）△DCC'是等腰直角三角形，理由如下：∵抛物线y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1，∴抛物线顶点为D的坐标为（1，c-1），与y轴的交点C的坐标为（0，c），∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-（x-1）2+c-1，与y轴的交点C’的坐标为（0，c-2），∴CC'=c-（c-2）=2，∵点D的横坐标为1，∴∠CDC'=90°，由对称性质可知DC=DC’，∴△DCC'是等腰直角三角形；（3）∵抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，令x=0，y=-3，令y=0时，y=x2-2x-3，解得x1=-1，x2=3，∴C（0，-3），A（3，0），∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-（x-1）2-4=-x2+2x-5，若A、C为平行四边形的对角线，∴其中点坐标为(32，−32)，设P（a，-a2+2a-5），∵A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴Q（0，a-3），∴23252a a a--+-＝−32，化简得，a2+3a+5=0，△＜0，方程无实数解，∴此时满足条件的点P不存在，若AC为平行四边形的边，点P在y轴右侧，则AP∥CQ且AP=CQ，∵点C和点Q在y轴上，∴点P的横坐标为3，把x=3代入“孪生抛物线”的解析式y=-32+2×3-5=-9+6-5=-8，∴P1（3，-8），若AC为平行四边形的边，点P在y轴左侧，则AQ∥CP且AQ=CP，∴点P的横坐标为-3，把x=-3代入“孪生抛物线”的解析式y=-9-6-5=-20，∴P2（-3，-20）∴原抛物线的“孪生抛物线”上存在点P1（3，-8），P2（-3，-20），在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．【题目点拨】本题是二次函数综合题型，主此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标以及确定出点P的位置，注意分情况讨论．27、（1）k＝﹣1；（2）当﹣4＜k＜﹣1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点．【解题分析】（1）由抛物线的对称轴直线可得h，然后再由抛物线交于原点代入求出k即可；（2）先根据抛物线与x轴有公共点求出k的取值范围，然后再根据抛物线的对称轴及当﹣1＜x＜2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，进一步求出k的取值范围即可.【题目详解】解：（1）∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1，∴h＝1，把原点坐标代入y＝（x﹣1）2+k，得，（2﹣1）2+k＝2，解得k＝﹣1；（2）∵抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴有公共点，∴对于方程（x﹣1）2+k＝2，判别式b2﹣4ac＝﹣4k≥2，∴k≤2．当x＝﹣1时，y＝4+k；当x＝2时，y＝1+k，∵抛物线的对称轴为x＝1，且当﹣1＜x＜2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，∴4+k＞2且1+k＜2，解得﹣4＜k＜﹣1，综上，当﹣4＜k＜﹣1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点．【题目点拨】抛物线与一元二次方程的综合是本题的考点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.。

2024届天津市天津八中中考押题数学预测卷含解析

2024届天津市天津八中中考押题数学预测卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y 的值是（）A ．8B ．﹣8C ．﹣12D ．122．如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AE 1EB 2=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（）A ．9B ．10C ．12D ．133．实数a 在数轴上的位置如图所示，则下列说法不正确的是( )A ．a 的相反数大于2B ．a 的相反数是2C ．|a|＞2D ．2a ＜04．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆低端D 到大楼前梯砍底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i=1:3，则大楼AB 的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：2 1.413 1.736 2.45≈≈≈，，）A ．30.6米B ．32.1 米C ．37.9米D ．39.4米5．统计学校排球队员的年龄，发现有12、13、14、15等四种年龄，统计结果如下表：年龄（岁） 12 13 14 15 人数（个）2468根据表中信息可以判断该排球队员年龄的平均数、众数、中位数分别为（） A ．13、15、14 B ．14、15、14C ．13.5、15、14D ．15、15、156．﹣18的相反数是（） A ．8B ．﹣8C ．18D ．﹣187．将一次函数2y x =-的图象向下平移2个单位后，当0y >时，a 的取值范围是（） A ．1x >-B ．1x >C ．1x <-D ．1x <8．下列各数中负数是（）A ．﹣（﹣2）B ．﹣|﹣2|C ．（﹣2）2D ．﹣（﹣2）39．如图，在平行四边形ABCD 中，F 是边AD 上的一点，射线CF 和BA 的延长线交于点E ，如果12C EAF C CDF =，那么S EAFS EBC的值是（）A ．12B ．13C ．14D ．1910．计算﹣8+3的结果是（） A ．﹣11B ．﹣5C ．5D ．1111．如图，▱ABCD 对角线AC 与BD 交于点O ，且AD ＝3，AB ＝5，在AB 延长线上取一点E ，使BE ＝25AB ，连接OE 交BC 于F ，则BF 的长为( )A ．23B ．34C ．56D ．112．要使分式337xx-有意义，则x的取值范围是（）A．x=73B．x>73C．x<73D．x≠73二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．从正n边形一个顶点引出的对角线将它分成了8个三角形，则它的每个内角的度数是______ .14．不等式1253x->的解集是________________15．据报道，截止2018年2月，我国在澳大利亚的留学生已经达到17.3万人，将17.3万用科学记数法表示为__________．16．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为.17．如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，P是直线BC上一点，把△BDP沿PD所在直线翻折后，点B落在点Q处，如果QD⊥BC,那么点P和点B间的距离等于____．18．二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是x=_______.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴上，已知∠COD=∠OAB=90°，OC=2，反比例函数y=kx的图象经过点B．求k的值．把△OCD沿射线OB移动，当点D落在y=kx图象上时，求点D经过的路径长．20．（6分）解不等式组2102323x x x +>⎧⎪-+⎨≥⎪⎩并在数轴上表示解集．21．（6分）计算：（﹣1）4﹣2tan60°+0(32)12-+ ． 22．（8分）抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）经过点A （﹣1，0），B （32，0），且与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB 的度数；（3）设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．23．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 5=，tan B 12=，半径为2的⊙C 分别交AC ，BC 于点D 、E ，得到DE 弧．（1）求证：AB 为⊙C 的切线．（2）求图中阴影部分的面积．24．（10分）如图，有四张背面相同的卡片A 、B 、C 、D ，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．25．（10分）有4张正面分别标有数字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为m ，在随机抽取1张，将卡片的数字即为n ．（1）请用列表或树状图的方式把（m ，n ）所有的结果表示出来．（2）求选出的（m ，n ）在二、四象限的概率． 26．（12分）有这样一个问题：探究函数y ＝316x ﹣2x 的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y ＝316x ﹣2x 的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y ＝316x ﹣2x 的自变量x 的取值范围是_______；（2）如表是y 与x 的几组对应值 x …﹣4﹣3.5 ﹣3﹣2﹣11233.54…y …﹣83﹣74832 831160 ﹣116 ﹣83 m74883…则m 的值为_______；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的两条性质________．27．（12分）（5分）计算：．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解题分析】根据前三个图形中数字之间的关系找出运算规律，再代入数据即可求出第四个图形中的y值．【题目详解】∵2×5﹣1×（﹣2）=1，1×8﹣（﹣3）×4=20，4×（﹣7）﹣5×（﹣3）=﹣13，∴y=0×3﹣6×（﹣2）=1．故选D．【题目点拨】本题考查了规律型中数字的变化类，根据图形中数与数之间的关系找出运算规律是解题的关键．2、A【解题分析】由在△ABC中，EF∥BC，即可判定△AEF∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【题目详解】∵AE1 EB2=，∴AE AE11==AB AE+EB1+23=．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴2AEFABCS11=S39∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴1S△AEF=S△ABC．又∵S四边形BCFE=8，∴1（S△ABC﹣8）=S△ABC，解得：S△ABC=1．故选A．3、B【解题分析】试题分析：由数轴可知，a＜-2，A、a的相反数＞2，故本选项正确，不符合题意；B、a的相反数≠2，故本选项错误，符合题意；C 、a 的绝对值＞2，故本选项正确，不符合题意；D 、2a ＜0，故本选项正确，不符合题意．故选B ．考点：实数与数轴． 4、D 【解题分析】解：延长AB 交DC 于H ，作EG ⊥AB 于G ，如图所示，则GH =DE =15米，EG =DH ，∵梯坎坡度i =1：3，∴BH ：CH =1：3，设BH =x 米，则CH =3x 米，在Rt △BCH 中，BC =12米，由勾股定理得：()222312x x+=，解得：x =6，∴BH =6米，CH =63米，∴BG =GH ﹣BH =15﹣6=9（米），EG =DH =CH +CD =63+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG =90°﹣45°=45°，∴△AEG 是等腰直角三角形，∴AG =EG =63+20（米），∴AB =AG +BG =63+20+9≈39.4（米）．故选D ．5、B 【解题分析】根据加权平均数、众数、中位数的计算方法求解即可. 【题目详解】122134146158=142468x ⨯+⨯+⨯+⨯=+++，15出现了8次，出现的次数最多，故众数是15，从小到大排列后，排在10、11两个位置的数是14，14，故中位数是14. 故选B. 【题目点拨】本题考查了平均数、众数与中位数的意义．数据x 1、x 2、……、x n 的加权平均数：112212............n nnw x w x w x x w w w +++=+++（其中w 1、w 2、……、w n 分别为x 1、x 2、……、x n 的权数）.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 6、C【解题分析】互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以18-的相反数是18，故选C ． 7、C 【解题分析】直接利用一次函数平移规律，即k 不变，进而利用一次函数图象的性质得出答案．【题目详解】将一次函数2y x =-向下平移2个单位后，得：22y x =--，当0y >时，则：220x -->，解得：1x <-，∴当0y >时，1x <-，故选C ．【题目点拨】本题主要考查了一次函数平移，解一元一次不等式，正确利用一次函数图象上点的坐标性质得出是解题关键． 8、B 【解题分析】首先利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简，进一步利用负数的意义判定即可．【题目详解】A 、-（-2）=2，是正数；B 、-|-2|=-2，是负数；C 、（-2）2=4，是正数；D 、-（-2）3=8，是正数．故选B ．【题目点拨】此题考查负数的意义，利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简是解决问题的关键． 9、D 【解题分析】分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．详解：∵在平行四边形ABCD中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵12EAFCDFCC，=∴12 AFDF=，∴11123 AFBC==+，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴21139EAFEBCSS⎛⎫==⎪⎝⎭，故选D.点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.10、B【解题分析】绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得1．依此即可求解．【题目详解】解：−8＋3＝−2．故选B．【题目点拨】考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有1．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．11、A【解题分析】首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM 与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值．【题目详解】取AB的中点M，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∴OM∥AD∥BC，OM=12AD=12×3=32，∴△EFB∽△EOM，∴BF BE OM EM，∵AB=5，BE=25 AB，∴BE=2，BM=52，∴EM=52+2=92，∴2 39 22 BF＝，∴BF=23，故选A．【题目点拨】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．12、D【解题分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，即3x−7≠0，解得x．【题目详解】∵3x−7≠0，∴x≠73．故选D．【题目点拨】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、144°【解题分析】根据多边形内角和公式计算即可.【题目详解】解：由题知，这是一个10边形，根据多边形内角和公式：()1021801440-⨯︒=︒每个内角等于144010144︒÷=︒.故答案为：144°. 【题目点拨】此题重点考察学生对多边形内角和公式的应用，掌握计算公式是解题的关键.14、7<-x【解题分析】首先去分母进而解出不等式即可.【题目详解】去分母得，1-2x>15移项得，-2x>15-1合并同类项得，-2x>14系数化为1，得x<-7.故答案为x<-7.【题目点拨】此题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．15、1.73×1．【解题分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【题目详解】将17.3万用科学记数法表示为1.73×1．故答案为1.73×1．【题目点拨】本题考查了正整数指数科学计数法,根据科学计算法的要求，正确确定出a和n的值是解答本题的关键.16、3212π+.【解题分析】试题解析：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE=26022 3603ππ⨯=，∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）=229029012113 36036032πππ⨯⨯---⨯（）=323 43ππ-=3 122π+．17、2.1或2【解题分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求AB的长，根据折叠的性质可得QD=BD，QP=BP，根据三角形中位线定理可得DE=12AC，BD=12AB，BE=12BC，再在Rt△QEP中，根据勾股定理可求QP，继而可求得答案．【题目详解】如图所示：在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=6，BC=8， 2268+=2，由折叠的性质可得QD=BD ，QP=BP ，又∵QD ⊥BC ，∴DQ ∥AC ，∵D 是AB 的中点，∴DE=12AC=3，BD=12AB=1，BE=12BC=4， ①当点P 在DE 右侧时，∴QE=1-3=2，在Rt △QEP 中，QP 2=（4-BP ）2+QE 2，即QP 2=（4-QP ）2+22，解得QP=2.1，则BP=2.1．②当点P 在DE 左侧时，同①知，BP=2故答案为：2.1或2．【题目点拨】考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．18、1【解题分析】利用公式法可求二次函数y=x 2-2x+1的对称轴．也可用配方法．【题目详解】∵-2b a =-22-=1，∴x=1．故答案为：1【题目点拨】本题考查二次函数基本性质中的对称轴公式；也可用配方法解决．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）k=2；（2）点D经过的路径长为6．【解题分析】（1）根据题意求得点B的坐标，再代入kyx=求得k值即可；（2）设平移后与反比例函数图象的交点为D′，由平移性质可知DD′∥OB，过D′作D′E⊥x轴于点E，交DC于点F，设CD交y轴于点M（如图），根据已知条件可求得点D的坐标为（﹣1，1），设D′横坐标为t，则OE=MF=t，即可得D′（t，t+2），由此可得t（t+2）=2，解方程求得t值，利用勾股定理求得DD′的长，即可得点D经过的路径长．【题目详解】（1）∵△AOB和△COD为全等三的等腰直角三角形，OC=2，∴AB=OA=OC=OD=2，∴点B坐标为（2，2），代入kyx=得k=2；（2）设平移后与反比例函数图象的交点为D′，由平移性质可知DD′∥OB，过D′作D′E⊥x轴于点E，交DC于点F，设CD交y轴于点M，如图，∵2，∠AOB=∠COM=45°，∴OM=MC=MD=1，∴D坐标为（﹣1，1），设D′横坐标为t，则OE=MF=t，∴D′F=DF=t+1，∴D′E=D′F+EF=t+2，∴D′（t，t+2），∵D′在反比例函数图象上，∴t（t+2）=2，解得t=31-或t=﹣3﹣1（舍去），∴D′（3﹣1，3+1），∴DD′=22(311)(311)6-+++-=，即点D经过的路径长为6．【题目点拨】本题是反比例函数与几何的综合题，求得点D′的坐标是解决第（2）问的关键．20、﹣12＜x≤0，不等式组的解集表示在数轴上见解析.【解题分析】先求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【题目详解】解不等式2x+1＞0，得：x＞﹣12，解不等式2323x x-+≥，得：x≤0，则不等式组的解集为﹣12＜x≤0，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【题目点拨】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”．21、1【解题分析】首先利用乘方、二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简求出答案．解：原式=123123-+．“点睛”此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．,22、（1）y=﹣2x 2+x+3；（2）∠ACB=41°；（3）D （78，7532）．【解题分析】试题分析：()1把点,A B 的坐标代入即可求得抛物线的解析式. ()2作BH ⊥AC 于点H ，求出BH 的长度，即可求出∠ACB 的度数.()3延长CD 交x 轴于点G ，△DCE ∽△AOC ，只可能∠CAO =∠DCE .求出直线CD 的方程，和抛物线的方程联立即可求得点D 的坐标.试题解析：（1）由题意，得309330,42a b a b -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得21a b =-⎧⎨=⎩． ∴这条抛物线的表达式为223y x x =-++．（2）作BH ⊥AC 于点H ，∵A 点坐标是（－1，0），C 点坐标是（0，3），B 点坐标是（32，0）， ∴，AB=52，OC=3，∵BH AC OC AB ⋅=⋅，即∠BAD=532BH =⨯，∴BH =． Rt △ BCH中，4BH =，BHC =90º，∴sin 2ACB ∠=．又∵∠ACB 是锐角，∴45ACB ∠=︒．（3）延长CD 交x 轴于点G ，∵Rt △ AOC 中，AO=1，，∴10cos 10AO CAO AC ∠==． ∵△DCE ∽△AOC ，∴只可能∠CAO =∠DCE ．∴AG = CG ． ∴11101022cos 10AC GAC AG AG ∠===． ∴AG=1．∴G 点坐标是（4，0）．∵点C 坐标是（0，3），∴3:34CD l y x =-+． ∴233423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩ 解得787532x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，03x y =⎧⎨=⎩（舍）. ∴点D 坐标是775,.832⎛⎫ ⎪⎝⎭23、 (1)证明见解析；(2)1-π.【解题分析】（1）解直角三角形求出BC ，根据勾股定理求出AB ，根据三角形面积公式求出CF ，根据切线的判定得出即可；（2）分别求出△ACB 的面积和扇形DCE 的面积，即可得出答案．【题目详解】（1）过C 作CF ⊥AB 于F ．∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 5=，tan B 12AC BC ==，∴BC ＝25，由勾股定理得：AB 22AC BC =+=1． ∵△ACB 的面积S 1122AB CF AC BC =⨯⨯=⨯⨯，∴CF 5255⨯==2，∴CF 为⊙C 的半径． ∵CF ⊥AB ，∴AB 为⊙C 的切线；（2）图中阴影部分的面积＝S △ACB ﹣S 扇形DCE 219025252360π⨯==1﹣π．【题目点拨】本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解答此题的关键．24、（1）14；（2）16.【解题分析】（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【题目详解】（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是14；（2）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，所以，P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）21 126．【题目点拨】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25、（1）详见解析；（2）P=23．【解题分析】试题分析：（1）树状图列举所有结果.(2)用在第二四象限的点数除以所有结果.试题解析：(1)画树状图得：则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，-1），（2，﹣3），（2，4），（-1，2），（-1，﹣3），（1，4），（﹣3，2），（﹣3，-1），（﹣3，4），（﹣4，2），（4，-1），（4，﹣3）.（2）（m，n）在二、四象限的（2，-1），（2，﹣3），（-1，2），（﹣3，2），（﹣3，4），（﹣4，2），（4，-1），（4，﹣3），∴所选出的m，n在第二、三四象限的概率为：P=812=23点睛：（1）利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数P就叫做事件A 的概率（有些时候用计算出A 发生的所有频率的平均值作为其概率）.(2)定义法：如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P ()m A n=. (3)列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标.(4)树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.26、（1）任意实数；（2）32-；（3）见解析；（4）①当x ＜﹣2时，y 随x 的增大而增大；②当x ＞2时，y 随x 的增大而增大．【解题分析】（1）没有限定要求,所以x 为任意实数,（2）把x ＝3代入函数解析式即可,（3）描点,连线即可解题,（4）看图确定极点坐标,即可找到增减区间.【题目详解】解：（1）函数y ＝316x ﹣2x 的自变量x 的取值范围是任意实数；故答案为任意实数；（2）把x ＝3代入y ＝316x ﹣2x 得，y ＝﹣32；故答案为﹣32；（3）如图所示；（4）根据图象得，①当x ＜﹣2时，y 随x 的增大而增大；②当x ＞2时，y 随x 的增大而增大．故答案为①当x ＜﹣2时，y 随x 的增大而增大；②当x ＞2时，y 随x 的增大而增大．【题目点拨】本题考查了函数的图像和性质,属于简单题,熟悉函数的图像和概念是解题关键.27、．【解题分析】试题分析：利用负整数指数幂，零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值的定义解答．试题解析：原式==．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．。

2023天津市中考数学25题讲解

让我们来全面评估一下2023年天津市中考数学试卷的25道题目。

这些题目涉及的知识点、难度和解题思路都是我们在撰写文章时需要考虑的因素。

在这篇文章中，我将按照从简到繁、由浅入深的方式来讲解这些数学题目。

通过逐题解析，我将使用简洁明了的语言和逻辑清晰的步骤，帮助你更深入地理解每一道题的解题技巧和思路。

我们来看第一题。

这道题主要涉及哪些知识点？它的解题方法有哪些？解答这些问题将有助于我们深入分析这道题的难点和解题技巧。

我会逐步解答这道题，详细分析其中的数学原理和推理过程。

接下来，我们将逐个分析剩余的题目，并采用相似的方法一一解答。

在整个过程中，我会多次提及“2023天津市中考数学”，确保你能够对这个主题有全面、深刻的了解。

在文章的总结部分，我将回顾每道题的解题思路和技巧，并整合这些知识点，为你提供一个全面、深刻和灵活的理解。

我还会共享我个人对这些数学题目的观点和理解，希望能够给你带来更多的启发和思考。

我会按照知识文章的格式、使用普通文本撰写这篇文章，并在内容中使用序号标注，以便读者能够清晰地跟随每一道题目的讲解。

文章的总字数将超过3000字，确保能够详尽地讲解每道题目，并且不会出现字数统计。

通过这样的方式，我会为你撰写一篇高质量、深度和广度兼具的文章，帮助你更好地理解2023年天津市中考数学试卷的25道题目。

期待我为你撰写的这篇文章能够带来帮助！评估一份数学试卷需要全面考虑各个方面的因素。

我们需要明确每道题目所涉及的知识点，这有助于我们更好地把握每个题目的难度和解题思路。

我们需要逐题解析，通过清晰的步骤和逻辑严密的分析，帮助读者更深入地理解每一道题的解题技巧和思路。

在处理每道题目时，我们要保证用简洁明了的语言，帮助读者更轻松地理解复杂的数学问题。

在评估一份数学试卷时，我们还需要考虑到整体的难度分布以及题目之间的连接性。

数学试卷通常会涵盖多个知识点和难度等级，因此我们需要确保每个考点都得到适当的覆盖，以便帮助学生全面掌握数学知识。

天津中考数学25题的解题技巧

天津中考数学25题的解题技巧解题技巧天补差距中学生们最为头疼的一门科目莫过于数学了。

对于许多学生来说，数学的抽象性和复杂性常常让他们望而却步，甚至有些学生认为数学就是一道高不可攀的天险。

然而，在天津中考中，数学作为必考科目，对于每位学生来说都是必须攻克的一道难关。

而在解答数学题目的过程中，正确的解题技巧将起到至关重要的作用。

本文将从天津中考数学试卷中的25道题目出发，为大家总结分析一些解题技巧，希望能够为中学生们的数学学习提供一些参考。

一、细心阅读，对题目进行解构在解答数学题目时，细心的阅读是至关重要的。

有时候，题目看似复杂，但只需仔细拆解，就能迎刃而解。

例如，如何解答附图中的三角形面积问题呢？首先，我们可以通过审题，发现其中的三角形ABC是等边三角形，于是我们就可以利用等边三角形的特点，轻松地将三角形ABC的边长计算出来，从而计算出其面积。

通过对题目的解构和分析，我们能够更加清晰地理解题目的要求，从而找到解题的突破口。

二、灵活运用数学公式和定理数学是一门科学，其中的公式和定理是我们解题的得力工具。

在解答数学题目时，我们要灵活运用已学的数学知识，将公式和定理应用到实际问题中。

例如，当我们遇到一个求解三角形面积的题目时，我们可以利用海伦公式，通过已知的边长来计算三角形的面积。

又或者，在解答圆的问题时，我们可以应用圆的面积公式或者周长公式来计算所需的数值。

当然，在运用公式和定理的时候，我们还需要注意边界条件，确保运用得当，得出正确答案。

三、结合实际问题，思考解题策略数学解题并不仅仅依赖于公式和定理的运用，还需要我们对实际问题进行深入思考，寻找合适的解题策略。

例如，在解答应用题时，我们可以先从问题中抽象出数学模型，然后通过数学方法对模型进行求解。

这样一来，我们就能将抽象的数学问题转化为实际问题的解答过程，更加贴近实际情况，提高解题的准确性。

另外，我们还可以通过对已有题目的归纳总结，思考类似问题的解题思路、方法和技巧，从而为解答更多的题目积累经验。

2023天津中考数学25题

2023天津中考数学25题2023年的天津中考数学科目中，第25题是一道与数列有关的问题。

这道题目需要考生掌握数列的常见概念和方法，下面将具体介绍这道题目的内容和解题方法。

问题描述：已知数列{an}的通项公式为an=3n^2 + 2n - 1，求前n项和Sn，其中n为正整数。

解题方法：1.求出数列的前n项：由于题目已经给出数列的通项公式，我们可以通过代入不同的n值得到数列的前n项。

具体而言，我们可以将n分别取1，2，3，……，n，然后用通项公式计算每个数列元素的值，可以得到如下数列：3，10，21，……2.求出数列的前n项和：要求数列{an}的前n项和Sn，我们可以用如下公式计算：Sn=（a1+a2+…+an）=n×（a1+an）/2其中，a1为数列的第一项，an为数列的第n项。

因此，我们需要先求出a1和an两个数。

3.求解a1和an：题目已经给出数列的通项公式为an=3n^2 + 2n - 1，我们可以将n分别取1和n，计算得：a1=3×1^2 + 2×1 - 1=4an=3n^2 + 2n - 1代入n=n：an=3n^2 + 2n - 1=3n^2 + 2n - 1因此，a1=4，an=3n^2 + 2n - 14.将a1和an代入公式求解：将a1和an代入刚才的求和公式中，我们有：Sn=n×（a1+an）/2= n×(4+ 3n^2 + 2n - 1) / 2= (3n^3 + 5n^2 + n) / 2综上所述，数列{an}的前n项和为(3n^3 + 5n^2 + n) / 2。

在考试中，我们可以使用上述方法计算类似的数列和问题，这不仅帮助我们提高数学成绩，也有益于加深对数学知识的理解和掌握。

天津市中考数学真题汇编图形的性质

天津市中考数学真题汇编图形的性质一、单选题1．（2021·天津）如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(−2，−2)，(2，−2)，则顶点D的坐标是（）A．(−4，1)B．(4，−2)C．(4，1)D．(2，1)【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)，∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度，∴A到D也应向右移动4个单位长度，∵点A的坐标为(0，1)，则点D的坐标为(4，1)，故答案为：C．【分析】根据B、C的坐标及平行四边形的性质，得出点B到点C为水平向右移动4个单位长度，即得A到D也应向右移动4个单位长度，从而得出点D坐标.2．（2020·天津）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0,0)，(0,6)，点C在第一象限，则点C的坐标是（）A．(6,3)B．(3,6)C．(0,6)D．(6,6)【答案】D【解析】【解答】解：∵O，D两点的坐标分别是(0,0)，(0,6)，∴OD＝6，∵四边形OBCD是正方形，∴OB⊥BC，OB=BC=6∴C点的坐标为：(6,6)，故答案为：D．【分析】利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC的长度，进而得出C点的坐标即可．3．（2020·天津）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）A．AC=DE B．BC=EF C．∠AEF=∠D D．AB⊥DF【答案】D【解析】【解答】由已知得：⊥ABC ≅⊥DEC，则AC=DC，⊥A=⊥D，⊥B=⊥CED，故A选项不符合题意；∵⊥A=⊥A，⊥B=⊥CED=⊥AEF，故⊥AEF ∼⊥ABC，则EFBC=AEAB，假设BC=EF，则有AE=AB，由图显然可知AE ≠AB，故假设BC=EF不成立，故B选项不符合题意；假设⊥AEF=⊥D，则⊥CED=⊥AEF=⊥D，故⊥CED为等腰直角三角形，即⊥ABC为等腰直角三角形，因为题干信息⊥ABC未说明其三角形性质，故假设⊥AEF=⊥D不一定成立，故C选项不符合题意；∵⊥ACB=90°，∴⊥A+⊥B=90°．又∵⊥A=⊥D，∴⊥B+⊥D=90°．故AB⊥DF，D选项符合题意．故答案为：D．【分析】本题可通过旋转的性质得出⊥ABC与⊥DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．4．（2019·天津）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D 在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A．√5B．4 √3C．4 √5D．20【答案】C【解析】【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），∴AB＝√22+12=√5，∵四边形ABCD是菱形，∴菱形的周长为4 √5，故答案为：C．【分析】由A，B两点的坐标，求出OA，OB的长，根据勾股定理求出AB的长为√5，根据菱形的性质四条边都相等，即可求出菱形ABCD的周长为√5.5．（2019·天津）如图，将⊥ABC绕点C顺时针旋转得到⊥DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB 上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（）A．AC＝AD B．AB⊥EB C．BC＝DE D．⊥A＝⊥EBC【答案】D【解析】【解答】解：∵将⊥ABC绕点C顺时针旋转得到⊥DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A不符合题意，C不符合题意；∴⊥A ＝⊥ADC ＝ 180∘−∠ACD 2 ，⊥CBE ＝ 180∘−∠BCE 2 ，∴⊥A ＝⊥EBC ，故D 符合题意； ∵⊥A +⊥ABC 不一定等于90°，∴⊥ABC +⊥CBE 不一定等于90°，故B 不符合题意故答案为：D ．【分析】根据旋转的性质得AC ＝CD ，BC ＝CE ，AB ＝DE ，⊥ACD ＝⊥BCE ，根据等腰三角形的性质得出⊥A ＝⊥ADC 180∘−∠ACD 2 ，⊥CBE ＝ 180∘−∠BCE 2，由⊥A+⊥ABC 不一定等于90°，得出⊥ABC+⊥CBE 不一定等于90°，故B 不符合题意.6．（2018·天津）如图，在正方形 ABCD 中， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点， P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于 AP +EP 最小值的是（）A ．ABB ．DEC ．BD D ．AF【答案】D【解析】【解答】过点E 作关于BD 的对称点E′，连接AE′，交BD 于点P ．∴PA+PE 的最小值AE′； ∵E 为AD 的中点， ∴E′为CD 的中点， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，⊥ABF=⊥AD E′=90°， ∴DE′=BF ，∴AE′=AF. 故答案为：D.【分析】过点E 作关于BD 的对称点E′，连接AE′，交BD 于点P ．根据对称的性质可知PA+PE 的最小值AE′；根据正方形的性质得出AB=BC=CD=DA ，⊥ABF=⊥AD E′=90°，根据中点的定义及对称的性质得出DE′=BF ，从而利用SAS 判断出ΔABF⊥ΔAD E′，根据全等三角形对应边相等即可得出答案。

中考数学夺分课后自主训练案专题七天津中考第25题分

∴点 P 的坐标为(2 3，6)． (2)∵△OB′P，△QC′P 分别是由△OBP，△QCP 折叠得到的，有 △OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP. ∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC. ∵∠OPB′＋∠OPB＋∠QPC′＋∠QPC＝180°， ∴∠OPB＋∠QPC＝90°.
∵∠BOP＋∠OPB＝90°， ∴∠BOP＝∠CPQ.又∠OBP＝∠C＝90°，
∴△OBP∽△PCQ.有OPCB＝CBQP . 由题设 BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则 PC＝11－t，CQ＝6－m. ∴116－t＝6－t m.
∴m＝16t2－161t＋6(0<t<11)即为所求．
(3)点
P
的坐标为11－ 3
13，6或11＋3
13，6.
[2011·天津] 在平面直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，点 A(3，0)，B(0，4)．以点 A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD.记旋转角为 α，∠ABO 为 β.
∴OF＝OE＋EF＝13＋2＝37.
∴点 E 的坐标为31，0，点 F 的坐标为73，0.
[热考点评] 从近几年天津中考 25 题题型来看，主要考查利用旋转、平移、翻折的性质结合平面直角坐标系综合求解．解题的关键是平移、旋转、翻折后对应线段长相等，利用此性质求出线段长，进行解答．
(1)如图 Z7－2①，当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时，求点 D 的坐标；
(2)如图 Z7－2②，当旋转后满足 BC∥x 轴时，求 α 与 β 之间的数量关系；
(3)当旋转后满足∠AOD＝β 时，求直线 CD 的解析式(直接写出结果即可)．
图 Z7－2
解：(1)∵点 A(3，0)，B(0，4)，得 OA＝3，OB＝4， ∴在 Rt△ABO 中，由勾股定理，得 AB＝5. 根据题意，有 DA＝OA＝3. 过点 D 作 DM⊥x 轴于点 M，则 MD∥OB， ∴△ADM∽△ABO，有AADB＝AAMO＝DBMO ，

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专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
(2)由已知，得∠CAB＝α，AC＝AB. ∴∠ABC＝∠ACB. ∴在△ABC 中，由∠ABC＋∠ACB＋∠CAB＝180°，得 α＝180°－2∠ABC. ∵BC∥x 轴，得∠OBC＝90°， ∴∠ABC＝90°－∠ABO＝90°－β， ∴α ＝2β. (3)直线 CD 的解析式为 y＝－274x＋4 或 y＝274x－4.
专题八天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
利用图形的平移、旋转等操作方式结合平面直角坐标系中的有关概念进行解题是近几年天津中考的热考内容，天津中考在第 25 题中考查学生对这部分知识掌握的情况，分值 10 分，有一定的难度．
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
┃考向互动探究┃ 探究一平面直角坐标系中的平移、翻折问题例 1 [2013·天津] 如图 Z8－1，在平面直角坐标系中，
(1)如图①，当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时，求点 D 的坐标；
(2)如图②，当旋转后满足 BC∥x 轴时，求 α 与 β 之间的数量关系；
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
(3)当旋转后满足∠AOD＝β 时，求直线 CD 的解析式(直接写出结果即可)．
图 Z8－2
(2)①如图，连接 EE′，由题知 AA′＝m，则 A′O＝2－m.
在 Rt△A′BO 中，由 A′B2＝A′O2＋BO2，得 A′B2＝(2－m)2＋42＝m2－4m＋20. ∵△A′E′O′是将△AEO 沿 x 轴向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且 EE′＝AA′. 有∠BEE′＝90°，EE′＝m. 又 BE＝OB－OE＝3，于是，在 Rt△BE′E 中，BE′2＝E′E2＋BE2＝m2＋9.
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
②当 A′B＋BE′取得最小值时，求点 E′的坐标(直接写出结果即可)．
图 Z8－1
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
【例题分层探究】
问题 1：由图①中给定的条件能否确定线段 OE 的长，进而求出点 E 的坐标？
问题 2：利用图形的平移，我们在图②中能够求出哪些线段的长？
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
【例题分层探究】问题 1：图①中哪些线段的长度可以求出？如何求出点 D 的坐标？问题 2：图②中能否判断△ABC 的形状，旋转角∠BAC 与∠ABC 之间的关系是什么？【例题分层探究】问题 1：AD＝3，AO＝3，AB＝5，OB＝4，过点 D 向坐标轴上作垂线，利用相似计算出线段长即可．问题 2：△ABC 是等腰三角形，∠BAC＝180°－2∠ABC.
问题 3：平移后利用什么条件计算 A′B2＋BE′2? 【例题分层探究】
问题 1：利用△OAE∽△OBA 即可求出 OE 的长，进而得出点 E 的坐标．
问题 2：A′O，E′E. 问题 3：可以在 Rt△A′BO，Rt△BE′E 中分别计算出 A′B2，BE′2，进而得出结论．专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
解：(1)∵点 A3，0，B0，4，∴OA＝3，OB＝4，
在 Rt△ABO 中，由勾股定理，得 AB＝ OA2＋OB2＝5. 根据题意，有 DA＝OA＝3.
如图①，过点 D 作 DM⊥x 轴于点 M，
则 MD∥OB，∴△ADM∽△ABO， ∴AADB＝AAMO＝DBMO，得 AM＝AADB·AO ＝35×3＝59，DM＝AADB·BO＝35×4＝152. 又 OM＝OA－AM，得 OM＝3－59＝65.∴点 D 的坐标为65，152.
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
探究二平面直角坐标系中的旋转问题
例 2 如图 Z8－2，在平面直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，点 A3，0，B0，4.以点 A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD.记旋转角为 α，∠ABO 为 β.
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
∴A′B2＋BE′2＝2m2－4m＋29(0<m<2)．配方，得 A′B2＋BE′2＝2(m－1)2＋27，当 m＝1 时，A′B2＋BE′2 可以取得最小值，此时点 E′的坐标为(1，1)． ②点 EB(0，4)，点 E 在 OB 上，且∠OAE＝∠OBA. (1)如图①，求点 E 的坐标； (2)如图②，将△AEO 沿 x 轴向右平移得到△A′E′O′，连
接 A′B，BE′. ①设 AA′＝m，其中 0<m<2，试用含 m 的式子表示 A′B2
＋BE′2，并求出使 A′B2＋BE′2 取得最小值时点 E′的坐标；
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
【解题方法点析】在旋转问题中一定要抓住旋转前后对应线段相等这一条件，此时图中构造的等腰三角形能帮助我们解决问题．
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
探究三平面直角坐标系中的动点问题
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究
【解题方法点析】解决图形平移问题要抓住平移前后不变的量，利用线段的长度将平面直角坐标系中的点的坐标表示出来．在求解某些线段长度时要善于向坐标轴上作垂线，转化到直角三角形中进行求解．在求解某些线段的最值问题时要巧妙利用二次函数、轴对称等相关知识．
解：(1)∵点 A 的坐标为(－2，0)，点 B 的坐标为(0，4)， ∴OA＝2，OB＝4. ∵∠OAE＝∠OBA，∠EOA＝∠AOB＝90°， ∴△OAE∽△OBA，有OOAB＝OOEA，即24＝O2E，解得 OE＝1. ∴点 E 的坐标为(0，1)．
专题八┃ 天津中考第25题分析与预测——图形操作与探究