金融经济学之二

dRA (W ) 0, W dW
（2）阿罗-普拉特定理 对于递减绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的 增加，其对风险资产的投资逐渐增加，即他视风险资产为 正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财 富的增加，他对风险资产的投资减少，即他视风险资产为 劣等品；对于常数绝对风险厌恶的经济行为主体，他对风 险资产的需求与其初始财富的变化无关。
对于风险中性者而言，我们有
u( px1 (1 p) x2 ) pu( x1 ) (1 p)u( x2 )
其效用函数为线性效用函数。
U(x)
x
4.效用函数的凸凹性的局部性质 经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是 一种局部性质。即一个经济主体可以在某些情 况下是风险厌恶者，在另一种情况下是风险偏 好者。 弗里德曼-萨维奇（1948）解释了这种现 象。他们认为，效用函数是几个不同的部分组 成。在人们财富较少时，部分投资者是风险
T (W ) 1 u '(W ) RA (W ) u "(W )
T（W）越大表示个体能够容忍的风险越大，反之则
反。
三、风险厌恶度量的性质
绝对风险厌恶系数主要考察在初始财富相同的条件 下，具有不同风险厌恶程度的经济主体的风险性为特点。 而相对风险厌恶系数，则主要考察经济行为主体随个人财 富或消费收益的变化，对风险资产投资行为的变化。
u(W ) pu(W x1 ) (1 p)u(W x2 )
由于
W p(W x1 ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 p)(W x2 )
所以，上述不等式可改写为：
u( p(W x1 ) (1 p)(W x2 )) pu(W x1 ) (1 p)u(W x2 )
下仅反映个体主观因素的部分，我们可以得到一个比风险 溢价更为一般的风险厌恶侧度指标：
u "(W ) RA (W ) u '(W )
经济学家普拉特（Pratt,1964）和阿罗 （Arrow,1970）分别证明了在一定的假设条件下， 反映经济主体的效用函数特征的 u "(W ) 可以用来度量经济 u '(W ) 主体的风险厌恶程度。
即： u( px1 (1 p) x2 ) pu( x1 ) (1 p)u( x2 )
这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益 分布的期望值，而不是未来收益分布本身。即对 于风险厌恶的经济主体而言，确定性收益（数学 期望值）的效用大于效用的期望值。 基于这一性质，我们认为，风险厌恶者的效用 函数为凹函数。
厌恶的；随着财富的增加，投资者对风险有些漠 不关心；而在较高财富水平阶段，投资者则显示 出风险偏好。
二、风险厌恶的度量 1.确定性等价值与风险溢价 确定性等价值（certainty equivalence） 是指经济行为主体对于某一博彩行为的支付意 愿。即与某一博彩行为的期望效用所对应的数学 期望值（财富价值）。 风险溢价（risk premium）是指风险厌恶者 为避免承担风险而愿意放弃的投资收益。或让一 个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的 风险补偿。
1.相同财富水平下的经济主体风险厌恶的度量 对于具有相同财富水平的经济主体，我们可以用三种 不同的方法来比较两者之间的风险厌恶程度： （1）绝对风险厌恶度量 对于任意给定的初始财富水平W，如果下式成立， 则 表明经济主体i比经济主体 j更加厌恶风险： i j
RA RA
（2）风险溢价度量 对于任意给定的初始财富水平W，为避免相同的风险， 如果经济主体i比经济主体j需要更多的风险溢价补偿，则 经济主体i比经济主体j更厌恶风险：
通常可以从两个方面来刻画： （1）观察经济行为主体面对公平博彩时的行为 选择，即是愿意确定性地接受一个公平博彩的期 望价值还是宁愿接受这个博彩本身及其不确定性 的结果。 （2）经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴 含在这个博彩中的风险。或者说，让经济行为主 体参与这个博彩行为需要多少风险溢价补偿。
2.公平博彩（Fair Game） 公平博彩是指不改变个体当前期望收益的赌 ，其期望收益 局，如一个博彩的随机收益为 为 E ( ) 0 ，我们就称其为公平博彩。 当然，既然是博彩，通常隐含地假设其收益 的方差大于零，即其收益不会是确定值零。 或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益 只应当和入局费相等的博彩。
i (W ) j (W )
（3）效用函数的曲率 从几何上看，绝对风险厌恶系数代表了效用函数的曲率 （弯曲程度），如果经济主体i较经济主体更加厌恶风险，
则表明，经济主体i有比经济行为主体j更加凹的效用函数。 ui (W ) 更确切地讲，经济行为主体i的效用函数 是经济行为主体j的效用函数 u j (W ) 的一个凹变换，即存在 一个递增的、严格凹的函数G(· )，使得
ui (W ) G(u j (W ))
对于任意的W都成立。
（4）普拉特定理 假设 ui (W )和u j (W ) 是两个二次可微、严格单调递增的效 用函数，则以下三种表述是等价的： i j R R A 对所有的W，有 A ； 存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数G(· )， ui (W ) G(u j； (W )) 使得 任何公平博彩ε对经济主体i的风险溢价较经济主体j的 风险溢价高，即 i (W ) j (W )
定义：u是经济主体的VNM效用函数，W为 个体的初始禀赋，如果对于任何足 E ( ) 0 Var ( ) 0 的随机变量 ，有

u (W ) E[u (W )]

则称个体是（严格）风险厌恶（risk aversion）；如果上述不等号方向相反，则称个 体是风险偏好（risk loving）；如果两边相等， 则称个体是风险中性（neutral）。
对于一个具有效用函数为U和初始禀赋为W 的经济主体，如果他不参加博彩，则其效用为U （W）。如果他愿意参加博彩，则他有p的概率 消费 W x1 ，1-p的概率获得 W x2 ，因此， 他的期望效用为 pu(W x1 ) (1 p)u(W x2 ) 根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个 风 险厌恶的经济主体而言，我们有：
dRR (W ) 如果 0 1; dW dRR (W ) 如果 0 1; dW dRR (W ) 如果 0 1 dW
四、几种常用的效用函数
金融经济学理论有时需要对个体的偏好做出某种假 设。其中，常用的一个假设是个体具有线性的风险容忍系 数（linear risk tolerance），满足这一假设的VNM 效用函数具有LRT形式：
1 W u (W ) ( ) , 0, 1, 1 1
在这种形式下，容易验证个体的风险容忍系数为其初始 财富的线性函数。
（3）相对风险厌恶的性质定理 对于递增相对风险厌恶的经济主体，其风险资产的财 富需求弹性小于1（即随着财富的增加，投资于风险资产 的财富相对于总财富的比例下降）；对于递减相对风险厌 恶的经济行为主体，风险资产的财富需求弹性大于1；对 于常数风险厌恶的经济行为主体，风险资产的需求弹性等 于1。 dW 对于在时期0具有初始财富W的经济主体，设 dW 为他的风险资产需求弹性，则有：
对于风险很小的公平博彩行为，也即预期收益为0且 预期收益的方差很小的博彩行为，如果效用函数是二次连 续可微的，我们可对上述等式的两边在W做泰勒级数展 开。
1 E[u (W ) u '(W ) u "(W ) 2 Re] u(W ) u '(W ) Re 2
这里，Re为高阶余项，由于是风险很小的公平博彩， 所以，Re可省略。由此，我们可以得到
因此，我们将 RA (W ) 称为经济主体的阿罗-普拉特绝对 风险厌恶系数（Arrow-Pratt absolute aversion） 在金融理论中，我们时常需要相对测度量，如证券投资 者关心的一般不是以多大的概率获得多少绝对收益，而是 以多大概率获得百分之几的收益。相应地，我们可以推导 出个体的相对风险测度。事实上，要得到相对意义上的风 险溢价，只需要将绝对风险厌恶系数的两边除以个体的初 始禀赋即可：
U(x) B
C A x 风险厌恶者的效用函数
同样地，我们可以得到风险偏好者和风险中性 者的效用函数的特征。 对于风险偏好者而言，我们有： u( px1 (1 p) x2 ) pu( x1 ) (1 p)u( x2 ) 且其效用函数为凸函数。
U(x)
B
C A x 风险偏好者的效用函数
2.风险厌恶与财富水平
在经济主体的财富水平发生变化时，仅仅区别投资者的 风险态度是不够的，还需要考察经济行为主体随个人初始 财富水平的变化而对风险资产投资数量的变化。即考察投 资者是将风险资产看着是正常品还是劣等品。
（1）定义 如果经济主体的绝对风险厌恶系数 RA () 是严格递减的 函 dRA (W ) 0, W 数，即 dW ，则这类经济行为主体是递减绝 dRA (W ) 0, W dW 对风险厌恶的；类似地，如果 ，则称 这类经济主体为递增绝对风险厌恶的。如果 则称这类经济行为主体是常数绝对风险厌恶的。
即如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃 的收益为ρ，则我们有：
E (u (W )) u (W )
这里，ε为公平博彩的随机收益（即报酬的微 小增量）， W为初始禀赋，ρ被称之为马科维兹 风险溢价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程 度越高。而W-ρ为确定性等价收益。

2.风险厌恶系数
我们将满足下式的博彩 ( p : x1 , x2 ) ，称为一个 公平博彩：
px1 (1 p) x2 0,0 p 1
3.风险态度的描述 公平博彩不改变个体原来的期望收益，但它 提供了个体增加或减少原来收入的机会。 风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平博 彩，这说明该个体在确定性收益和博彩之间更偏 好确定性收益，我们称该主体为风险厌恶者。 风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都 愿意接受公平博彩，则称该主体为风险偏好者。