初二数学培优竞赛题

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考场纪律：正常（ ） 不正常（ ）

初二数学培优竞赛题

1.已知△ABC,∠BAF=Rt ∠，∠D=75°，AB=AD,延长BA 作CE ⊥BA 交AB 于点E, ∠BAG=∠CAF （16分）

(1)画出与△ABC 面积相等的三角形（要求与图中的任意一条边重合）（4分） (2)当∠D=80°时其余条件不变△ABC 还与你画的三角形面积相等吗？为什么？ 那么如果∠BAF=80°呢？（任选一个你画的三角形证明）（6分）

(3)根据(2)(3)题你得出的结论说明在什么条件下才能使你画的三角形于与△ABC 的面积相同（6分）

2.已知直线y=x+3交x 于A ，y 于B ，直线y=-x+2,交x 于C ，y 于D,P 为AB 的中点，过点P,（4，0）两点画直线，交直线y=-x+2于Q （14分） (1)求A,B,C,D,P,Q 的坐标（3分）

(2)求直线P,（4，0）的函数表达式（2分） (3)求∠BPQ 的度数（5分）

(4)若直线AB 上有点K ，连结KQ ，当△PKQ 为等腰三角形时，求QK 的长以及△PKQ 的面积（4分）

3.已知函数y = -2*x + 3与函数y=ax+b 的夹角为30°（11分） （1）求a,b 的值（1分） （2）设函数y = -2*x + 3在第四象限交的第三个格点为P ，交y 于A 函数y=ax+b 交x 于B ，求ΔABP 的面积和周长（4分）

（3）如果直线l 平行于直线y=ax+b ，并与x 轴交于点C,且点C 与点B 对称，求ΔCAP 的

面积（3分）

（4）如果（3）中,其余条件不变，把点C与点B对称改为CA⊥直线y=ax+b，判断直线l 是否与函数y = -2*x + 3相交于点P，如果是说明理由，不是请给出证明（4分）

4.已知ΔABC,AB=AC=6cm,BC=4cm，O是BC的中点，将ΔABC旋转60°至ΔDBE,连结AF，FO（8分）

(1)求证：点E在∠A 的平分线上（1分）

(2)求ΔAFO的面积和AD的取值范围（2分）

(3)求AE的长（用两种方法求值）（2分）

(4)请根据此题，在为此题出一个小题，并写出解答过程（要求：不能太过简单）（3分）

5.阅读材料，解答下列问题：（11分）

材料：如图[1]已知△ABC和△CDE是有公共顶点C的两个正三角形，△ABC固定不动，点D在AB的延长线上运动，求证：点E在平行于AB的直线上运动

证明：因为l//AB△ABC和△CDE是两个正三角形,D在CA的延长线上

∴∠1=∠2=60°

∴EC//AB

∴点E在平行于AB的直线上运动。

题目：(1)如图[2]已知△ABC和△CDE是有公共顶点C的两个正三角形，△ABC固定不动，点D在一条固定的直线l上移动，l为∠ABC的角平分线

求证：点E在垂直AB于点A的直线上运动（3分）

题目（2）如图[3]已知△ABC和△CDE是有公共顶点C的两个正三角形，△ABC固定不动，点D在ΔABC的中垂线上运动，求证：点E在垂直于CA的直线上运动（2分）

题目（3）如果图变为[4]l1与l2分别为角A与角B的角平分线请你仿照材料及题目将它变为一道题，并给出解答。（6分）

6.如图是五边形ABCDE,DC⊥CB,∠CBE=30°，∠DEB=134°，∠ABC=44°,C(3.00，0.00), D(4.43，1.43),A(

7.83，4.83),求∠AEB的度数.( 本题中A,D两点坐标均为近似值但并不妨碍计算，计算时可以通过四舍五入简便计算）（10分)

7. 如图，已知：△ABN是正三角形，△DNC是含40°的RT△，∠NDC=40°,△ENC是含20°的RT△，∠ENC=20°,连结EA交DN于M,连结BM,EN,AD。N(2.78，0.00),C(5.39，0.00),E(5.39，0.95),A(1.39，2.41)(本题中N,C,E,A四点坐标均为近似值但并不妨碍计算，计算时可以通过四舍五入简便计算）（16分）

(1)求∠AMB的度数（4分）

(2)求证：BM=ME+EN（2分）

(3)请找出图形中有几个三角形相似，几个三角形是等腰三角形，并各任选一例证明（3分）

(4)有一个含30°底角的等腰三角形，一点与A点重合，另一点P在DN的延长线上运动，问当点运动时，第三个点Q是在直线上运动还是在曲线上运动，为什么？（6分）

(5)把第三个点Q与点B相连，请问当△ABQ为正三角形时,底角的度数为多少？（4分）

备用图

8. 如图△ABC,△DCE和△DEF叠放在一起，连结CD,∠AEF=∠ACB=∠ACD=RT∠，

∠EDF=18°，AE=CD=EF+EC，求证：(1)∠AFE -∠EFD= (1/2)∠AEF,(2)∠A+∠EDC=63°(8分)

―――――线―――――――――――――――――――

F

E

B

C

D

A

9.如图，△ABC 是等腰三角形，在AC 上取一点M 使∠ABM=60°，在BC 上取一点N 使∠BAN=50°，发现∠BMN=30°，求角C 的度数？（4分）

*10.给定矩形ABCD ，先作一个最大的圆P ，要在余下的矩形区域内用尺规再作一个最大的圆Q 。可是圆Q 的圆心如何确定呢？小明百思不得其解。请你帮他支招！（如图1）

小邓在做了这道题后不知道如何解答，于是他将题改成了：已知∠ABC=45°，定点P 在角内部，请在射线BC 上找一点Q ，使得Q 到AB 的距离等于PQ 。

但是小邓还是不会做于是请教了他的老师，老师说∠ABC 只要是任意锐角都可以。你会证