初二数学培优竞赛题

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初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)

初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)初二数学竞赛试题7套整理版（含答案）第一套试题1. 某数与它的四分之一之和的和是28，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28，化简得9/4x = 28，解得 x = 44.2. 有一个矩形，长是宽的3倍，如果长再加上宽再加上1的和等于50，求矩形的长和宽各是多少？解：设矩形的宽为x，则长为3x，根据题意可得方程 3x + x + 1 = 50，化简得 4x + 1 = 50，解得 x = 12，所以长为3 * 12 = 36，宽为12.3. 某个数的三次方减去它自身等于608，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x^3 - x = 608，化简得 x^3 - x - 608 = 0，因此需求解该方程的解x.4. 甲数和乙数之和是300，甲数比乙数大30，求甲数和乙数各是多少？解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可得方程 x + y = 300，x - y = 30，联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.5. 家长购买某品牌的饮料，每瓶售价为5元，如果购买10瓶，优惠50%，那么需要支付的价格是多少？解：购买10瓶优惠50%，相当于购买5瓶的价格，所以需要支付 5 * 10 * (1 - 50%) = 25元.第二套试题1. 学校图书馆购买300本新书，若图书馆中已有书籍500本，现将这些书按每排放10本的方式摆放，共需要多少排？解：新书300本加上原有书籍500本，共计800本书，每排放10本，所以需要 800 / 10 = 80排.2. 小明每天早上跑步30分钟，下午骑自行车25分钟，晚上游泳40分钟，求他一天中运动的总时长是多少分钟？解：小明一天早上跑步30分钟，下午骑自行车25分钟，晚上游泳40分钟，总时长为 30 + 25 + 40 = 95分钟.3. 甲、乙两人开始一起钓鱼，甲每分钟能钓2条鱼，乙每分钟能钓1条鱼，如果他们一起钓了45分钟，那么他们一共钓到了多少条鱼？解：甲每分钟能钓2条鱼，乙每分钟能钓1条鱼，他们一起钓了45分钟，所以甲和乙一共钓到了 2 * 45 + 1 * 45 = 135 条鱼.4. 某商品原价100元，现在打8折，过了一段时间后再降价，降到原价的85%，现在这个商品的售价是多少？解：原价100元，打8折后为 100 * (1 - 80%) = 80元，再降到原价的85%为 80 * 85% = 68元.5. 某人的年收入为12000元，每月生活费占月收入的1/5，那么这个人每月的生活费用是多少元？解：年收入12000元，月收入为 12000 / 12 = 1000元，生活费占收入的1/5，所以生活费用为 1000 * 1/5 = 200元.第三套试题1. 甲、乙两个人合作修一个房子，甲一个人修需要8天，乙一个人修需要12天，问他们一起修需要多少天？解：甲一个人修需要8天，乙一个人修需要12天，他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8天.2. 甲购买一本书花费了原价的3/4，折后价格为60元，问这本书的原价是多少？解：折后价格为60元，花费原价的3/4，所以原价为 60 / (3/4) = 80元.3. 甲、乙两人比赛，甲第一轮跑步用时1分钟，第二轮用时50秒，第三轮用时40秒；乙第一轮跑步用时55秒，第二轮用时45秒，第三轮用时35秒，问谁的平均速度更快？解：甲第一轮跑步用时1分钟，第二轮用时50秒，第三轮用时40秒，平均速度为 (60 + 50 + 40) / 3 = 50 秒/轮；乙第一轮跑步用时55秒，第二轮用时45秒，第三轮用时35秒，平均速度为 (55 + 45 + 35) / 3 = 45 秒/轮；所以甲的平均速度更快.4. 一只小狗每小时能跑5公里，一只小猫每小时能跑8公里，如果它们从同一地点同时出发并分别向东和西跑，4小时后它们相距了多少公里？解：小狗每小时能跑5公里，4小时后跑了5 * 4 = 20公里，小猫每小时能跑8公里，4小时后跑了8 * 4 = 32公里，所以它们相距了 32 -20 = 12 公里.5. 三个连续的偶数相加的和是60，求这三个数分别是多少？解：设第一个偶数为x，那么第二个偶数为x + 2，第三个偶数为x+ 4，根据题意可得方程 x + (x + 2) + (x + 4) = 60，求解该方程可得x及其对应的三个连续偶数.第四套试题1. 一个数的2倍加上5等于13，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 2x + 5 = 13，解得 x = 4.2. 甲乙两数相差22，乙数的2倍与甲数的3倍之和等于70，求甲、乙两数各是多少？解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可得方程 y - x = 22，2y + 3x= 70，联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.3. 一辆汽车以每小时80千米的速度行驶，行驶了1小时20分钟后停下来休息，求这段时间内汽车行驶的路程？解：汽车以每小时80千米的速度行驶，1小时20分钟共1.33 小时，所以汽车行驶的路程为 80 * 1.33 = 106.4 千米.4. 甲、乙两个人一起做一件工作，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时，他们一起完成这件工作需要多少小时？解：甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时，他们一起完成需要的时间为 1/(1/4 + 1/6) = 2.4小时.5. 一个数加上它的四分之一之和的和是28，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28，化简得9/4x = 28，解得 x = 44.第五套试题1. 一条宽10米的路，两边分别种植了向阳向每排7棵树或9棵树，每棵树之间距离相等，而且与路两边相邻树之间距离也相等，问道路中间最宽的地方有多宽？解：分别种植7棵树和9棵树，每棵树之间距离相等，所以道路中间最宽的地方为两排树之间的距离.2. 一个数与4的乘积减去2等于18，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 4x - 2 = 18，解得 x = 5.3. 甲、乙、丙三人合作种田，甲一个人种地需要10天，乙一个人种地需要12天，丙一个人种地需要15天，问他们三个人一起种地需要多少天？解：甲一个人种地需要10天，乙一个人种地需要12天，丙一个人种地需要15天，他们一起种地需要的时间为 1/(1/10 + 1/12 + 1/15) =4.8天.4. 某人共有100元，买了一本书花掉了原价的3/5，剩下的钱还能买另一本原价为80元的书吗？解：100元买了一本书花掉了原价的3/5，剩下的钱为 100 * (1 - 3/5) = 40元，剩下的钱不足以购买另一本80元的书.5. 一团面粉重800克，其中水分为15%，求这团面粉中水分的重量是多少克？解：面粉重800克，其中水分为15%，所以水分的重量为800 * 15% = 120克.第六套试题1. 一个数与它的五分之一之和的和是40，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/5)x + x = 40，化简得7/5x = 40，解得 x = 28.57.2. 甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2：5，如果他们一起完成这项工作需要3小时，求乙单独完成这项工作需要多少时间？解：甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2：5，设甲单独完成需要的时间为x，乙单独完成需要的时间为y，根据题意可得方程 2x + 5x = 3，解得 y = 7.5.3. 有两个相交的圆，圆心之间的距离为8，两圆的半径分别为5和3，求两圆相交的弦的长度是多少？解：两个圆的半径分别为5和3，圆心之间的距离为8，利用勾股定理可以求得两圆相交的弦的长度.4. 甲乙两个人一起做一件工作，甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要15小时，他们一起完成这件工作需要多少小时？解：甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要15小时，他们一起完成需要的时间为 1/(1/10 + 1/15) = 6小时.5. 甲给乙20元，乙给丙30元，丙给甲10元，这三个人一共交易了多少元？解：甲给乙20元，乙给丙30元，丙给甲10元，所以一共交易了20 + 30 + 10 = 60元.第七套试题1. 某数比它的2/3小12，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x - (2/3)x = 12，化简得 1/3x = 12，解得 x = 36.2. 甲、乙两个人一起修一条路，甲单独修需要8小时，乙单独修需要12小时，也有可能甲的速度是乙的倍数，问他们一起修需要多少小时？解：甲单独修需要8小时，乙单独修需要12小时，他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8小时.3. 某品牌的衣服原价为200元，现在打折8折，过了一段时间后再降价，降到原价的85%，现在这件衣服的售价是多少？解：原价200元，打8折后为 200 * (1 - 80%) = 160元，再降到原价的85%为 160 * 85% = 136元.4. 甲、乙两个人一起做工，甲一个小时能做1/3的工作量，乙一个小时能做1/4的工作量，问他们一起做一份工作需要多少时间？解：甲一个小时能做1/3的工作量，乙一个小时能做1/4的工作量，他们一起做一份工作需要的时间为 1/(1/3 + 1/4) = 12/7小时.5. 某人的年收入为12000元，每月花销占收入的1/4，那么这个人每月的花销是多少元？解：年收入12000元，。

初二数学《二次根式》竞赛培优精选题(含解析)

二次根式竞赛培优题（含解析）一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．39940002．计算：=（）A．B．C．D．3．的结果是（）A．B．C．D．4．的值是（）A．B．C．1D．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共24小题）6.已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为．7．化简=．8．化简．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为．10．方程的解是x=11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=．12．计算：=（其中a＞0）13．的值为．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=．15．若n为整数，且是自然数，则n=．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：．20．计算﹣20062的结果是．21．设=．22．若，，则x6+y6的值是．23．当时，的值为．24．已知，，则k=．25．当1≤x≤2时，经化简等于．26．计算=．27．已知x=，那么+1的值是．28．化简：，得到．29．=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．二次根式竞赛培优题（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．3994000【分析】设1998=a，把被开方数变形后，利用多项式的乘法法则计算后，加上a2再减去a2，前三项结合提取a2，剩下的三项利用完全平方公式化简，接着三项合并后提取2a，整体再利用完全平方公式化简，从而得到被开方数为一个数的完全平方，利用化简公式=|a|及a大于0即可得到最后结果．【解答】解：设1998=a，则1997×1998×1999×2000+1=（a﹣1）a（a+1）（a+2）+1=a4+2a3+a2﹣a2﹣a2﹣2a+1=a2（a+1）2﹣2a（a+1）+1=[a（a+1）﹣1]2，所以==1998×1999﹣1=3994001．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，考查了换元的思想，本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点，同时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征，以及注意二次根式的化简公式=|a|的运用．2．计算：=（）A．B．C．D．【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为，将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得出结论．【解答】解：∵=（）=（）=（）=（﹣）∴分别取n=1，2，3， (40)原式=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键．3．的结果是（）A．B．C．D．【分析】把每个加数分母有理化，然后通分计算即可．【解答】解：=（）=．故选：D．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．4．的值是（）A．B．C．1D．【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现，，，据此作答．【解答】解：由题意可知第k项是∴原式=（++=1﹣=1﹣=．故选：B．【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6【分析】找到1000＜5×x2＜2000中符合x的整数值即可得出答案．【解答】解：由题意得：与=20，是同类二次根的被开方数一定为5，由此及题意可：1000＜5×x2＜2000，x可取15、16、17、18、19，共5个．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的知识，有一定难度，关键是根据同类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足．二．填空题（共24小题）6．已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为3998000．【分析】由等式可知=x1，=x2，…解得x1=x2=x3=…=x1999=2，由此代入求得数值即可．【解答】解：∵，∴=x1，=x2，…∴x1=x2=x3=…=x1999=2，∴x1+2x2+3x3+…+1999x1999=2×（1+2+3+ (1999)=2×（1999+1）×1999÷2=3998000．故答案为：3998000．【点评】此题考查二次根式的化简求值，解答此题的关键是找出对应关系，求出x1、x2、x3、…、x1999的值．7．化简=2011．【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质得到=，然后根据同样的方法由内到外依次化简即可得到答案．【解答】解：∵=，∴原式=======2011．故答案为2011．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了平方差公式．8．化简后2．【分析】由于===﹣1，其他根式也可以进行同样的化简，然后合并同类二次根式即可求解．【解答】解：=﹣1+﹣++++++=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为10．【分析】利用不等式≤，结合S1+S2+S3+…+S n ＞10，解不等式即可．【解答】解：∵S i表示第i个三角形的面积，由不等式≤n，得≤n=n，而S1+S2+S3+…+S n=，S1+S2+S3+…+S n＞10，∴n＞10，即n2（n+1）＞800，n为正整数，n的最小值为9．但n=9时，代入S1+S2+S3+…+S n＜10，不符合题意，故n=10．【点评】本题考查了二次根式的运用．利用均值不等式和不等式的传递性解题．10．方程的解是x=2011【分析】将各分式中的分母有理化，再通分，注意观察抵消规律．【解答】解：原方程化为：+++…+=，通分得=，解得x=2011．故答案为：2011．【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用．关键是将各分式的分母有理化，寻找抵消规律．11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=﹣．【分析】首先将M式中各个分式进行分母有理化，再求出N式的值，代入代数式求值即可解答．【解答】解：将M分母有理化可得M=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1．N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994=（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+┉+（1993﹣1994）=﹣1×997=﹣997，∴==﹣．故答案为﹣．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．12．计算：=4（其中a＞0）【分析】仔细观察会发现有以下规律：第1项加上第8项等于1，第2项加上第7项等于1，依此类推最后求得的结果4．【解答】解：第一项与最后一项相加得：+，=+，=，=1，同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1；所以原式=1+1+1+1=4．故应填：4．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，同时也考查了学生的逻辑思维能力，是一道不错的规律型问题．13．的值为1998999.5．【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系，可用换元法解题，设k=2000，将所求算式转化为关于k的算式，将被开方数配成完全平方式，开平方，再将k的值代入即可．【解答】解：设k=2000，原式=====，当k=2000时，原式=1998999.5．故本题答案为：1998999.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，当算式数字较大，并且数字之间有联系时，用换元法解题，可使运算简便．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k=8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．15．若n为整数，且是自然数，则n=﹣14或﹣7或﹣2或5．【分析】设=p，再把等式两边同时乘以4，利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式，列出关于p、n的方程组，求出n 的值即可．【解答】解：∵设=p（P为非负整数），则n2+9n+30=p2，∴4n2+36n+120=4p2，∴（2n+9）2+39=4p2，∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）=39，∴或或或，解得或或或，∴n=﹣14或﹣7或﹣2或5．故答案为：﹣14或﹣7或﹣2或5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为2012.5．【分析】根据新定理得f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1；f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1，由此得到f（）+f（）=1（n≥2的整数），所以原式=+．【解答】解：f（）=，∵f（）==，f（）=，则f（）+f（）=1，f（）==，f（）==，则f（）+f（）=1，∴f（）+f（）=1，∴=+=2012.5．故答案为2012.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了阅读理解能力．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．【分析】根号里面的式子大于等于0，从而可得≥0，﹣≥0，从而能得出u和v的值，继而可得出答案．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而=0，2u﹣v=0，u=v，又v=，∴u=，∴u2﹣uv+v2=．故答案为．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或．【分析】由是正整数可得，a是含﹣2的代数式；再由是整数，可得化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，据此确定a的值．【解答】解：∵是正整数，∴a是含﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，∴a=或．故答案为：或．【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：答案不唯一；如（288，8，8），（48，24，8）．【分析】由于三个复合二次根式的和为1，则它们的被开方数为完全平方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（）2（x，y为正整数，x＞y），然后通过正整数的含义，得到x，y为两个相邻正整数，即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后是﹣1，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，第三个复合二次根式化简后必为，最后求的a，b，c的值．【解答】解：因为几个复合二次根式的和为1，则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数．设==x+y﹣2，（x，y为正整数，x＞y），所以有=x+y，﹣=﹣2．∴a+1=（x+y）2，a=4xy，∴（x﹣y）2=1，即x﹣y=1．则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后为﹣1，而要消掉，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，要消掉，则第三个复合二次根式化简后必为．最后正好为﹣=1．所以=（﹣1）2=3﹣=3﹣，则a=8，同理得b=24，c=48．故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48．故答案为8，24，48．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．20．计算﹣20062的结果是2005．【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再开平方，然后再来求值．【解答】解：∵2005×2006×2007×2008+1=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1=（20052+3×2005+1）2∴=20052+3×2005+1；∴﹣20062=20052+3×2005+1﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）+3×2005+1=2005；故答案为：2005．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出20052﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）的值．21．设=．【分析】把已知条件的左边相乘得，这样出现了所求代数式，设=z，代入变形所得的等式，逐步变形，消去x、y，即可求得z．【解答】解：据条件式令=z，则（1）式化为：z+xy+=9，即有9﹣z=xy+，平方得，81﹣18z+z2=x2y2+（x2+1）（y2+4）+2xy（2），又由z2==x2（y2+4）+y2（x2+1）+2xy，代入（2）得，81﹣18z=4，所以．即=，故答案为：．【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，多次利用已知条件求解．22．若，，则x6+y6的值是40．【分析】根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．【解答】解：由题意得：x2+y2=2++2﹣=4，x2﹣y2=2+﹣（2﹣）=2，x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=8，又（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6+x2y4+y2x4，∴可得：x6+y6=32﹣x2y2（x2+y2）=32+2×4=40．故答案为：40．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，有一定难度，关键是熟练运用平方差及完全平方公式．23．当时，的值为．【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果计算即可．【解答】解：原式=﹣，∵，∴=2005，∴x＜，∴原式=﹣+x，=x，当时，原式=．故答案为．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a（a≥0）的应用．24．已知，，则k=﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式=﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知=+2﹣4=﹣2，∴4+=+2，依此类推得：=+2，∴k=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．25．当1≤x≤2时，经化简等于2．【分析】先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】解：∵1≤x≤2，∴=+=+1+1﹣=2．故答案为：2．【点评】考查了二次根式的性质，解题的关键是将根号内的式子配成完全平方式．26．计算=2010．【分析】因为=，=，=，…，可发现=1+=1+1﹣，=1+=1+﹣…，依此类推再把1+1﹣，1+﹣…相加可得问题答案．【解答】解：原式=++++…+，=1+1﹣+1+﹣+1+﹣+1+﹣…+1+﹣，=2010+（1﹣+﹣+﹣…+﹣），=2010+（1﹣），=2010．【点评】本题考查了二次根式的化简，在化简中注意有关数列的规律．27．已知x=，那么+1的值是2．【分析】先根据分母有理化得到x=﹣1，所以x+1=，然后将代数式化为含有（x+1）2的形式，把x+1的值代入求出代数式的值．【解答】解：∵x==﹣1，∴x+1=．原式=（3x3+10x2+5x+4）=[（3x3+6x2+3x）+3x2+（x2+2x+1）+3]=[3x（x+1）2+3x2+（x+1）2+3]=[3x•2+3x2+2+3]=[（3x2+6x+3）+2]=[3（x+1）2+2]=（3×2+2）=2．故答案是：2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，先根据分母有理化把x的值化简，得到x+1=，再把代数式化成含有x+1的形式，然后代入代数式可以求出代数式的值．28．化简：，得到1．【分析】将被开方数的分子、分母提公因式，约分，再开平方，约分即可．【解答】解：原式=（）1004=（）1004（）1004=1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，关键是将被开方数的分子、分母提公因式，约分．29．=﹣3．【分析】因为=，代入并通分计算即可．【解答】解：原式===﹣1﹣1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查二次根式的混合运算，关键是求=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）设n=1999，从而可将根号里面的数化为完全平方的形式，继而可得出答案．（2）分别将各二次根式配方可得出答案．（3）将分子及分母分别化简，然后运用提公因式的知识将分子及分母简化，继而得出答案．（4）设=a，=b，=c，从而可将原式化简，继而可得出答案．【解答】解：（1）设n=1999，则原式===n2+3n+1，故原式=20002+1999；（2）原式=+++++++=﹣1+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣，=﹣1，=3﹣1，=2；（3）原式=，=，=+，=﹣；（4）设=a，=b，=c，则原式=++，=，=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，难度较大，注意换元法及完全平方知识的运用．。

初二数学培优试题集

目录培优卷二 ............................................................................................................................................. 培优卷三 .............................................................................................................................................培优卷一1.已知，如图（），点（ 1， 3）在函数y = k （ x＞0）的图像上，矩形 ABCD 的边 BC 在 xx轴上， E 是对角线 BD 的中点，函数y =k（ x＞0）的图像又经过A、 E 两点，点 E 的横坐标x为 m，解答以下问题：砂啦在2010 GradeEightMathDesignedByHuZheyang砂啦在（1）求 k 的值（2）求点 C 的坐标（用 m 表示）（3）当∠ ABD=45°时，求 m 的值2.如图 (1.2) ，BD=CD，AE:DE=1:2,延伸 BE交 AC于 F，且 AF=5cm，求 AC 长。

13.如图（），已知一次函数y = 3 x + 1图像与x轴、y轴分别交于A、B 两点，点C、D 都在 x 轴正半轴， C 为 OD 的中点， D 点坐标为（ 2， 0），若两钝角∠ ABD=∠ BCD。

（1）说明 BD2 = DC ·DA（2）求直线BC的分析式1（3）若P为直线BD上一点，且S△CDP=2S△CDB，求P点的坐标。

培优卷二4.已知，△ ABC，AB=10。

（1）如图（），若 D、 E 分别是 AC、 BC 边的中点，求DE长（2）如图（），若 A1 2把 AC 边三平分，过1、A2作 AB 边的平行线，分别交BC边于、 A A点 B1 2 1122、B，求 AB+AB（3）如图（ 1.6 ），若 A1、A2、、 A10把 AC 边十一平分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点 B1、B2、、 B10，依据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2 B2 ++A10B105.如图（），四边形 ABCD中，AD=CD，∠ DAB=∠ ACB=90°，过点 D 作 DE⊥ AC，垂足为 F，DE 与 AB 订交于点 E。

初二下数学培优试卷答案

一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -1/2D. 无理数答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数比的数，因此选项C正确。

2. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则下列等式中正确的是（）A. a+c=2bB. a+b=2cC. a-b=2cD. b-c=2a答案：A解析：等差数列的性质是相邻两项之差相等，所以a+c=2b。

3. 已知函数f(x)=2x-1，则函数g(x)=f(x+1)的解析式是（）A. g(x)=2x+1B. g(x)=2x-3C. g(x)=2x+3D. g(x)=2x-1答案：B解析：将f(x)中的x替换为x+1，得到g(x)=2(x+1)-1=2x+2-1=2x+1。

4. 在直角坐标系中，点A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)构成的三角形是（）A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不等边三角形答案：C解析：计算AB、BC、AC的长度，发现它们分别是√5、√5、√5，因此三角形ABC是直角三角形。

5. 已知等腰三角形ABC的底边AB=8，腰AC=BC=6，则底角B的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B解析：等腰三角形的底角相等，因此底角B的度数为45°。

二、填空题（每题5分，共25分）1. 若x^2-5x+6=0，则x的值为__________。

答案：2，3解析：因式分解x^2-5x+6=(x-2)(x-3)，所以x的值为2或3。

2. 若sinα=√2/2，则cosα的值为__________。

答案：√2/2解析：在单位圆上，sinα=√2/2对应的角度是45°，所以cosα的值也是√2/2。

3. 若一个正方形的边长为a，则它的面积是__________。

答案：a^2解析：正方形的面积是边长的平方，所以面积为a^2。

八年级数学培优题精选18例（含答案）

八年级数学培优题精选18例（含答案）例题1、如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的 B' 处，点 A 对应点为 A' ，且 B'C = 3 ，则 AM 的长是（B）A、1.5B、2C、2.25D、2.5例题2、如图，一只蚂蚁沿着边长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过三个面爬到点B ，如果它运动的路径是最短，则AC 的长度是多少？答案：AC =2√10 / 3。

例题3、如图所示，是由8 个全等的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成一个大正方形，如果最大的正方形的面积是 25 ，最小正方形的面积为 1 ，直角三角形的较长直角边为 a ，较短直角边为 b ，则 a^2 - b^2 是多少？答案：a^2 - b^2 = 5 。

例题4、如图，一辆小汽车在一条城市街路上沿东西方向行驶，某一时刻刚好行驶到距车速检测仪 A 点距离为 40 米的 C （位于 A 点北偏东30° 处）处，过了 3 秒钟，到达 B 点，（位于 A 点北偏西45°）此时小汽车距车速检测仪间的距离为 60 米，若规定小汽车在城街路上行驶的速度不得超过 25 米/秒，请问这辆汽车是否超速？解：过点 A 作AD⊥BC 于点 D ，由题意知：∠DBA = 45° ，∴ BD = AD ，∵ AB = 60 米，∴ BD = √（AB^2 - AD^2）= 30√2 米，由题意知：∠DAC = 30° ，AC = 40 米，∴ DC = 1/2 AC = 20米，∴ BC = BD + CD = （30√2 + 20）米，∴ v = （30√2 + 20）÷ 3 ≈ 24 米/秒 < 25="" 米/秒="">∴ 这辆汽车不超速。

例题5、实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简后为（A ）A、7B、-7C、2a - 15D、无法确定例题6、对实数 a , b ，定义新运算☆ 如下：a ☆ b =例如2 ☆ 3 = 2^(-3) = 1/8 , 计算[ 2 ☆ ( -4 ) ] × [ (-4) ☆ (-2) ] = ?答案： 1 。

初二数学竞赛试题及答案

初二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 4B. 2/3C. √2D. 0.5答案：C2. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，那么第三边长可能是：A. 1B. 2C. 5D. 7答案：C3. 计算下列表达式的值：(3x - 2) / (x + 1)，当x = 2时，结果为：A. 1/3B. 1C. 4D. 5答案：C4. 一个数的平方是其本身的数有：A. 0和1B. 0和-1C. 1和-1D. 0和2答案：A5. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是：A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A6. 一个数的立方是-8，这个数是：A. 2B. -2C. 3D. -3答案：B7. 一个数的绝对值是其本身，这个数可能是：A. 正数B. 负数C. 0D. 正数或08. 计算下列表达式的值：(2x + 3) / (x - 1)，当x = 2时，结果为：A. 5B. 7C. 9D. 11答案：B9. 一个等腰三角形的两边长分别为5和8，那么其周长可能是：A. 18B. 21C. 26D. 30答案：C10. 一个数的相反数是-3，这个数是：A. 3B. -3C. 0D. 6答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。

12. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。

答案：813. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是______。

答案：60°14. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。

答案：215. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是______或______。

答案：5或-5三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知一个直角三角形的两个直角边长分别为6和8，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10。

八年级数学竞赛培优专题及答案 02 乘法公式

专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用即将公式反过来逆向使用； 4．变用即能将公式变换形式使用；5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题）（2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值．（西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值；（2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ．（广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为．（《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+，求证：2003200320032003x y a b +=+．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）专题02 乘法公式例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．例2 （1）B x －y ＝（2a ＋4a ＋a ）＋（2b －8b ＋16）＝()22a +＋()24b -≥0，x ≥y ．（2）B 3个等式相加得：()23a -＋()21b +＋()21c -＝0，a ＝3，b ＝－1，c ＝1．a ＋b ＋c ＝3－1＋1＝3．例3 （1）167 （2）4 （3）－5050例4718 提示：由a ＋b ＝1，2a ＋2b ＝2得ab ＝－12，利用1n a +＋1n b +＝（n a ＋n b ）（a ＋b )－ab (1n a -＋1n b -)可分别求得3a ＋3b ＝52，4a ＋4b ＝72，5a ＋5b ＝194，6a ＋6b ＝264，7a ＋7b ＝718．例5 （1）设n 为自然数，则n （n ＋1)(n ＋2)(n ＋3）＋1＝()2231n n ++ （2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝24006001．例6（1）设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①.3,2,1333222c b a c b a c b a2①－②，得ab ＋b c ＋a c ＝21-，∵333c b a ++－3ab c ＝（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）， ∴ab c ＝31（333c b a ++）－31（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）＝31×3－31×1×（2＋21）＝61．（2）将②式两边平方，得,4222222222444=+++++a c c b b a c b a ∴()2222224442224a c c b b a c b a ++-=++ ＝4－2()[])(22c b a abc ac bc ab ++-++＝4－2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1612212＝625．A 级1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C10.原有136或904名学生．设⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②①.1208,120822m x m xm ，n 均为正整数，且m ＞n ，①－②得（m ＋n ）（m －n ）＝240＝5324⨯⨯．2m ，2n 都是8的倍数，则m ，n 能被4整除，m ＋n ，m －n 均能被4整除．得⎩⎨⎧=-=+460n m n m 或⎩⎨⎧=-=+1220n m n m ， ∴⎩⎨⎧==2812n m 或⎩⎨⎧==416n m8x ＝2m －120＝904或8x ＝2m －120＝136．11.因为a ＝910＋338－2＝（910－1）＋（338－1）＝999 999 999＋37×（238＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）．所以37|999 999 999，且37|37×（238＋38＋1），因此a 是37的倍数．12.第2003行式子为：()2222004200420032003+⨯+＝()2120042003+⨯．第n 行式子为：()()222211++++n n n n ＝()221++n n ．证明略B 级 1．1．0942．76 提示：由13＋a ＝9＋b ＝3＋c 得a －b ＝－4，b －c ＝－6，c －a ＝10 3．13 4．156 5．D6.C 提示：（x ＋y ）（x －y ）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：⎩⎨⎧------=-------=+.1,7,41,49,287,2009,1,7,41,49,287,2009;2009,287,49,41,7,1,2009,287,49,41,7,1y x y x 故（x ，y ）共有12组不同的表示． 7．B 8．C9．提示：不存在符合条件的整数对（m ，n ），因为1954不能被4整除．10．设所求两位数为AB ，由已知得22BA AB -＝2k （k 为整数），得2119.k A B A B =⨯+⨯-而11A B +=⎧11A B +=⎧解得65A B =⎧⎨=⎩或56A B =⎧⎨=⎩，即所求两位数为65，5611. 设2222x y a bx y a b+=+⎧⎨+=+⎩①②, 则由2,-①②得22xy ab = ③②-③, 得22()()x y a b -=-, 即x y a b -=- x y a b ∴-=-或x y b a -=-分别与x y a b +=+联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x by a =⎧⎨=⎩2003200320032003x y a b ∴+=+12. (1)22284786,=⨯=- 2220124503504502=⨯=-, 故28和2012都是神秘数（2）22(22)(2)4(21),k k k +-=+为4的倍数（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. 22(21)(21)8n n n +--=,故两个连续奇数的平方差不是神秘数。

奥数培优超常思维竞赛数学初二年级试卷及答案

初二年级超常思维竞赛数学试卷考试时间：100分钟满分150分1.如图所示，左侧有一组排列好的方格，经过空间平面的顺时针或逆时针方向旋转之后，成为五个选项中的一组，那么正确的一组方格为( ).2.若一切非零实数x和y满足x=1y ，则(x−1x)(y+1y)=（）.A.2x2B.2y2C.x2+y2D.x2−y2E.y2−x23.正方形ABCD的边长为36，点E在AB边上且到B的距离为12，点F为BC边的中点，点G在CD边上且到C的距离为12. 则在△EFG之内且在△AFD之外区域的面积为( ).A.133B.144C.155D.166E.1774.如果4(√x+√y−1+√z−2)=x+y+z+9，那么xyz的值是().A.0B.2C.15D.120E.1505.在20182+2016×2017×2019×2020；20192+2017×2018×2020×2021；20202+2018×2019×2021×2022；20212+2019×2020×2022×2023这四个数中共有( )个是完全平方数.A.0B.1C.2D.3E.46.若√a+√b=1，又√a=m+a−b2，√b=n−a−b2，其中m，n均为有理数，则有( ).A.mn=12B.m2+n2=12C.m+n=12D.m−n=12E.m2−n2=147.把一个矩形剪去一个正方形，所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边之比为( ).A.(1+√5)：2B.3：2C.(1+√3)：2D.(1+√6)：2E.(1+√5)：(1−√3)8.设x>0，y>0，√x(√x+2√y)=√y(6√x+5√y)，则x+xy−y2x+√xy+3y的值为( ). A.14 B.13C.12D.1E.29.根式√810+41084+411的值等于（）. A.√2B.16C.32D.12E.512. 510.如图所示，已知菱形ABCD 的两条对角线长分别为a ，b ，分别以每条边为直径向菱形内作半圆，则四条半圆弧围成的花瓣形面积(阴影部分的面积)为( ).A.π(a 2+b 2)B.18π(a 2+b 2)−ab 2C.12π(a 2+b 2)−ab 2D.18π(a 2+b 2)+ab 2E.12π(a 2+b 2)+ab11.两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的体积之比是p ：1，而在另一个瓶子中是q ：1.若把两瓶溶液混合在一起，则混合溶液中的酒精与水的体积之比是( ).A.p+q 2B.p 2+q 2p+qC.2pq p+qD.2(p 2+pq+q 2)3(p+q)E.p+q+2pq p+q+212.小明将一块正方形的钟面画成一块投镖的靶板，利用“钟点位置”作为边界线(如图). 如果t 是8个三角形之一(例如，12点与1点间的区域)的面积，q 是4个角上的四边形之一(例如，1点与2点间的区域)的面积，那么qt =( ).A.2√3−2B.32C.√5+12D.√3E.213.一矩形R 的边长为a 和b ，其中a <b ，要得到边长为x ，y (x <a ，y <a )的矩形，使其周长为R 的周长的13，面积为R 的面积的13，这样的不同矩形的个数为( ).A.0B.1C.2D.4E.无限多14.已知周长为28cm 的长方形ABCD ，如图所示，以A 为圆心，AD 为半径画弧交AB 于A 1，以B 为圆心，BA 1为半径画弧交BC 于A 2，依此类推，即依次以C ，D ，A ，B 为圆心，用同样方法画弧，分别得交点A 3，A 4，A 5，A 6，若点A 6与点C 重合，则长方形的长和宽分别为( ) cm .A.12，2B.11，3C.10，4D.9，5E.8，615.如图所示，两面墙间的距离为w ，它们之间的P 点处有一个梯子，梯子的长度为a ，梯子向一侧墙靠去，上端触墙于Q 点，Q 到地面的距离为k ，此时梯子与地面成45°角，梯子向另一侧墙靠去，上端触墙于R 点，R 到地面的距离为ℎ，此时梯子与地面成75°角，那么两墙间的距离w 为( ).A.aB.RQC.kD.ℎ+k 2E.ℎ16.P 是高为ℎ的等边三角形内部一点，设P 到各边的距离分别为x ，y ，z ，若以x ，y ，z 为长度的三条线段可以构成一个三角形，则x ，y ，z 各自所应满足的条件是( ). A.x <ℎ，y <ℎ，z <ℎ B.x <ℎ2，y <ℎ2，z <ℎ2C.x ≤ℎ2，y ≤ℎ2，z ≤ℎ2 D.x <ℎ3，y <ℎ3，z <ℎ3E.x ≤ℎ3，y ≤ℎ3，z ≤ℎ317.如图所示，把正方形ABCD的对角线AC分成n段，以每一段为对角线作正方形，设这n个小正方形的周长为p，正方形ABCD的周长为l，则p与l的关系是( ).A.p>lB.p≥lC.p=lD.p≤lE.p<l18.若x+y+z=30，3x+y−z=50，其中x，y，z皆为非负数，则M=5x+4y+2z的取值范围是( ).A.100≤M≤110B.110≤M≤120C.120≤M≤130D.130≤M≤140E.M的范围无法确定19.如图所示，展示了12个排成一圈的30°−60°−90°三角形，并使每个三角形的斜边恰好为相邻下一个，其中m和n 大三角形的较长直角边. 图中第4个和最后一个三角形以阴影标记，其周长之比可以表示为mn为互素正整数. 则m+n的值为（）.A.333B.334C.335D.336E.33720.已知存在正整数m和n，使得x=m+√n是等式x2−10x+1=√x(x+1)的一个解，则m+n的值为（）.A.11B.22C.33D.44E.5521.如图所示，ABCD是正方形，BF//AC，AEFC是菱形，则∠ACF与∠F的度数之比是（）.A.7：1B.6：1C.5：1D.4：1E.3：122.已知a =√43+√23+1，那么，3a +3a 2+1a 3的值是（）.A.√23B.13C.14D.15E.123.正方形A 与正方形B 毗邻，正方形B 又与正方形C 毗邻. 如图所示，这3个正方形的底边都在同一条直线上，其左上角的顶点共线. 若A 的面积为24，B 的面积为36，则C 的面积为（）.A.48B.50C.52D.54E.以上都不对24.各边不相等的△ABC 的两条高的长度分别是4和12，若第三条高的长度也是整数，则它的最大值是（）.A.4 B.5 C.6 D.7 E.以上都不对25.如图中的(1)(2)(3)(4)是同样的小等边三角形，(5)(6)也是等边三角形且边长为(1)的2倍，(7)(8)(9)(10)是同样的等腰直角三角形，(11)是正方形. 那么，以(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)为平面展开图的立体图形的体积是以(1)(2)(3)(4)为平面展开图的立体图形体积的（）倍.A.2B.4C.8D.16E.以上都不对26.n 为正整数，若2n 有28个正因子，3n 有30个正因子，则6n 的正因子的个数为（）.A.32 B.33 C.34 D.35E.3627.矩形ABCD 的尺寸为70×40，对角线AC 上标记的18个点(包括A 和C )将对角线分成17等份，AB 边上标记的22个点(包括A 和B )将该边分成21等份. 我们进而构建如图所示的17个无交叠的三角形，每个三角形的2个顶点即为矩形边上相邻的2点，而另一顶点则是矩形对角线上的一点. 如此，在矩形边的21等份中，只有左侧17等份被用来作为这些三角形的底. 则这17个三角形的面积之和为（）.A.600B.700C.800D.900E.100028.小明的父亲在小明过生日时送给小明一个L形的生日蛋糕. 小明的父亲让小明只用一刀将蛋糕切为三块，以便将蛋糕分给小明的弟弟及妹妹. 因此，小明可以如图(a)(b)的方式切，但不可以如图(c)的方式切.但小明的父亲说切完后，必须让弟弟和妹妹先挑选，他们一定是挑比较大块的，而小明只能挑选最后剩下的那块. 所以小明要设法使切完后的三块蛋糕中，最小的那块要越大越好. 若小明达成了目标，则小明能分到的那块蛋糕的面积为（）cm2.A.60B.70C.80D.90E.400329.环形跑道周长为400米，甲、乙两人同时同地顺时针沿环形跑道跑，甲每分钟跑52米，乙每分钟跑46米，甲、乙两人每跑100米休息1分钟. 问：甲需（）分钟追上乙.A.14713B.145213C.142313D.139413E.以上都不对30.一间4m×4m房间的地板可以被8块1m×2m的地毯以不同形式覆盖，如图所示的三种不同的形式如下：则共有（）种不同的覆盖形式.A.28B.32C.36D.40E.以上都不对初二年级超常思维竞赛数学试卷答案考试时间：100分钟满分150分。

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班级姓名学号座位号
考场纪律：正常（）不正常（）
初二数学培优竞赛题
1.已知△ABC,∠BAF=Rt ∠，∠D=75°，AB=AD,延长BA 作CE ⊥BA 交AB 于点E, ∠BAG=∠CAF （16分）
(1)画出与△ABC 面积相等的三角形（要求与图中的任意一条边重合）（4分） (2)当∠D=80°时其余条件不变△ABC 还与你画的三角形面积相等吗？为什么？那么如果∠BAF=80°呢？（任选一个你画的三角形证明）（6分）
(3)根据(2)(3)题你得出的结论说明在什么条件下才能使你画的三角形于与△ABC 的面积相同（6分）
2.已知直线y=x+3交x 于A ，y 于B ，直线y=-x+2,交x 于C ，y 于D,P 为AB 的中点，过点P,（4，0）两点画直线，交直线y=-x+2于Q （14分） (1)求A,B,C,D,P,Q 的坐标（3分）
(2)求直线P,（4，0）的函数表达式（2分） (3)求∠BPQ 的度数（5分）
(4)若直线AB 上有点K ，连结KQ ，当△PKQ 为等腰三角形时，求QK 的长以及△PKQ 的面积（4分）
3.已知函数y = -2*x + 3与函数y=ax+b 的夹角为30°（11分）（1）求a,b 的值（1分）（2）设函数y = -2*x + 3在第四象限交的第三个格点为P ，交y 于A 函数y=ax+b 交x 于B ，求ΔABP 的面积和周长（4分）
（3）如果直线l 平行于直线y=ax+b ，并与x 轴交于点C,且点C 与点B 对称，求ΔCAP 的
面积（3分）
（4）如果（3）中,其余条件不变，把点C与点B对称改为CA⊥直线y=ax+b，判断直线l 是否与函数y = -2*x + 3相交于点P，如果是说明理由，不是请给出证明（4分）
4.已知ΔABC,AB=AC=6cm,BC=4cm，O是BC的中点，将ΔABC旋转60°至ΔDBE,连结AF，FO（8分）
(1)求证：点E在∠A 的平分线上（1分）
(2)求ΔAFO的面积和AD的取值范围（2分）
(3)求AE的长（用两种方法求值）（2分）
(4)请根据此题，在为此题出一个小题，并写出解答过程（要求：不能太过简单）（3分）
5.阅读材料，解答下列问题：（11分）
材料：如图[1]已知△ABC和△CDE是有公共顶点C的两个正三角形，△ABC固定不动，点D在AB的延长线上运动，求证：点E在平行于AB的直线上运动
证明：因为l//AB△ABC和△CDE是两个正三角形,D在CA的延长线上
∴∠1=∠2=60°
∴EC//AB
∴点E在平行于AB的直线上运动。

题目：(1)如图[2]已知△ABC和△CDE是有公共顶点C的两个正三角形，△ABC固定不动，点D在一条固定的直线l上移动，l为∠ABC的角平分线
求证：点E在垂直AB于点A的直线上运动（3分）
题目（2）如图[3]已知△ABC和△CDE是有公共顶点C的两个正三角形，△ABC固定不动，点D在ΔABC的中垂线上运动，求证：点E在垂直于CA的直线上运动（2分）
题目（3）如果图变为[4]l1与l2分别为角A与角B的角平分线请你仿照材料及题目将它变为一道题，并给出解答。

（6分）
6.如图是五边形ABCDE,DC⊥CB,∠CBE=30°，∠DEB=134°，∠ABC=44°,C(3.00，0.00), D(4.43，1.43),A(
7.83，4.83),求∠AEB的度数.( 本题中A,D两点坐标均为近似值但并不妨碍计算，计算时可以通过四舍五入简便计算）（10分)
7. 如图，已知：△ABN是正三角形，△DNC是含40°的RT△，∠NDC=40°,△ENC是含20°的RT△，∠ENC=20°,连结EA交DN于M,连结BM,EN,AD。

N(2.78，0.00),C(5.39，0.00),E(5.39，0.95),A(1.39，2.41)(本题中N,C,E,A四点坐标均为近似值但并不妨碍计算，计算时可以通过四舍五入简便计算）（16分）
(1)求∠AMB的度数（4分）
(2)求证：BM=ME+EN（2分）
(3)请找出图形中有几个三角形相似，几个三角形是等腰三角形，并各任选一例证明（3分）
(4)有一个含30°底角的等腰三角形，一点与A点重合，另一点P在DN的延长线上运动，问当点运动时，第三个点Q是在直线上运动还是在曲线上运动，为什么？（6分）
(5)把第三个点Q与点B相连，请问当△ABQ为正三角形时,底角的度数为多少？（4分）
备用图
8. 如图△ABC,△DCE和△DEF叠放在一起，连结CD,∠AEF=∠ACB=∠ACD=RT∠，
∠EDF=18°，AE=CD=EF+EC，求证：(1)∠AFE -∠EFD= (1/2)∠AEF,(2)∠A+∠EDC=63°(8分)
―――――线―――――――――――――――――――
F
E
B
C
D
A
9.如图，△ABC 是等腰三角形，在AC 上取一点M 使∠ABM=60°，在BC 上取一点N 使∠BAN=50°，发现∠BMN=30°，求角C 的度数？（4分）
*10.给定矩形ABCD ，先作一个最大的圆P ，要在余下的矩形区域内用尺规再作一个最大的圆Q 。

可是圆Q 的圆心如何确定呢？小明百思不得其解。

请你帮他支招！（如图1）
小邓在做了这道题后不知道如何解答，于是他将题改成了：已知∠ABC=45°，定点P 在角内部，请在射线BC 上找一点Q ，使得Q 到AB 的距离等于PQ 。

但是小邓还是不会做于是请教了他的老师，老师说∠ABC 只要是任意锐角都可以。

你会证
明吗？请你帮助小邓解决他的问题，再解决老师的问题，最后解决小明的问题。

（本题为附加题总分30分，每个问题各10分，请你发挥你的数学能力，再次题中一展风采吧,请把证明内容写在下方）。