一、微分的概念讲解

则当 x 很小时, 量 y0 的绝对误差估计式为:
| Δ y | | f ( x) f ( x0 ) | | f ( x0 )Δ x | | f ( x0 ) | x . 称 y | f ( x0 ) | x 为 y0 的绝对误差限, 而 y0 的
相对误差限则为
(3)
它既依赖于 Δ x , 也与 x 有关.
习惯上喜欢把Δ x 写成 d x ,于是 (3) 式可改写成
d y f ( x)d x , x I .
(4)
这相当于 y x 的情形, 此时显然有 d y dx Δ x .
(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看
成函数的微分与自变量的微分之商, 即

38792.39
cm3
,
V
1 2
πd02
d

π 422 0.05 2
138.54cm3 ;
V
|V0 |
1 2 1 6
πd02 πd03
d

3 d
d0
3.57 ‰.
Δ y AΔ x o(Δ x),
(1)
其中 A 是与 Δ x 无关的常数, 则称函数 f 在点 x0 可微, 并称 AΔx 为 f 在点 x0 处的微分, 记作
d y x x0 AΔ x, 或 d f ( x ) x x0 AΔ x . (2) 由定义, 函数在点 x0 处的微分与增量只相差一个
d2 y f ( x)d x2;
(6)
当 x 是中间变量( y f ( x), x (t) ) 时, 二阶微分
为
d2 y d( f ( x)dx ) f ( x)d xd x f ( x)d(d x)
f ( x)d x2 f ( x)d2 x.
(7)
u( x) v( x)d u( x) u( x)dv( x)
3.
d
v( x)

v2(x)
;
4. d ( f g( x)) f (u) g( x)d x , 其中 u g( x) .
由于 d u g( x)d x , 故运算法则 4 又可以写成
d y f (u)du . 它在形式上与(4)式完全一样, 不管 u 是自变量还
Q
y f (x)
Q
dy
Δy
P

R
它是点 P 处切线相
O
应于Δ x 的增量.
x0 x0 Δ x x
当 | Δ x | 很小时,两者之差 | Δy dy | QQ 相比于
| Δ x | 将是更小的量(高阶无穷小).更由于
Δy dy lim Δ x0 Δ x
QQ lim
6
6 60
2. 误差的估计
设数 x 是由测量得到的, y 是由函数 y f ( x) 经过
计算得到. 由于测量工具精度等原因, 存在测量误 差, 实际测得的值只是 x 的某个近似值 x0 . 由 x0 计 算得到的 y0= f (x0) 也是 y = f (x) 的一个近似值. 如
果已知测量值 x0 的误差限为 x , 即 | Δ x | | x x0 | x ,
§5.5 微 分
若在有限增量公式 y f (x0) x o( x)
中删去高阶无穷小量项 y 关于的x 一个线性近
似式, 这就是“微分”; 其中的线性因子f ( x0 )即为 导数.所以,微分和导数是一对相辅相成的概念.
一、微分的概念 二、微分的运算法则 三、高阶微分 四、微分在近似计算中的应用
d y f ( x) ,
(5)
dx
所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面
积分学部分中.
例1 d(x ) x 1 dx ;
d (sin x) cos x dx ; d (a x ) a x ln a dx .
二、微分的运算法则
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则: 1. d (u( x) v( x)) du( x) dv( x); 2. d( u( x)v( x)) v( x)du( x) u( x)dv( x);
三、高阶微分
若将一阶微分 d y f ( x)Δ x 仅看成是 x 的函数, 则当 f 二阶可导时, dy 关于 x 的微分为 d(d y) d( f ( x)Δ x ) f ( x)Δx Δx f ( x)d(Δx)
f ( x) (Δx)2 f ( x) (d x)2. 或写作 d2 y f ( x)d x2 , 称为 f 的二阶微分. 注 由于Δ x 与 x 无关, 因此 x 的二阶微分 d(Δ x) d(d x) d2 x 0, 它与 d x2 (d x)2, d( x2) 2 xd x 三者各不相同, 不可混淆.
Δ x0 RQ
f ( x0 ) 0 ,
故若
f
( x0 )

0,
则得到
lim
Δ x0
QQ RQ

0.
这说明当
Δ x 0 时, QQ 还是 RQ 的高阶无穷小量.
若函数 f 在区间 I 上每一点都可微,则称 f 是 I 上 的可微函数. f ( x) 在 I 上的微分记为
d y f ( x)Δ x, x I ,
于是 y 2t cos t 2, y 2cos t 2 4 t 2 sin t 2.由 (6) 得
d2 y ( 2cos t 2 4t 2 sin t 2 ) dt 2. 解法二 依 (7) 式得
d2 y f ( x)d x2 f ( x)d2 x sin xd x2 cos xd2 x sin t 2. ( 2t dt )2 cos t 2.2dt 2
( 2cos t 2 4t 2 sin t 2 )d t 2. 如果将 f ( x)d2 x 漏掉就会产生错误.
四、微分在近似计算中的应用
1. 函数值的近似计算
由于 Δ y f ( x0 )Δ x o(Δ x), 故当 Δ x 很小时, 有
Δ y d y. 由此得
f ( x0 Δ x) f ( x0 ) f ( x0 )Δ x. (8)
它比 (6) 式多了一项 f ( x)d2 x, 当 x (t) 时,
d2 x (t)dt 2 不一定为 0, 而当 x 为自变量时,
d2 x 0.
例4 设 y f ( x) sin x , x (t) t 2, 求 d2 y.
解法一 先将 x (t) 代入 y f ( x), 得 y sin t 2,
表示为 x 的线性部分 f ( x0 )Δ x ,与关于Δ x 的高
阶无穷小量部分 o(Δ x) 之和.所以 f 在点 x0 可微, 且 d y x x0 f ( x0 )Δ x .
微分概念的几何解释, 示于下图:
f 在点 x0 的增量为 Δy RQ,
而微分是 dy RQ,
y
依次下去, 可由 n 1 阶微分求 n 阶微分: dn y d (dn1 y) d( f (n1)( x) dxn1) f (n)( x)d xn .
对 n 2 的 n 阶微分均称为高阶微分. 高阶微分不
具有形式不变性. 当 x 是自变量时, y f ( x) 的二
阶微分是
是中间变量 ( 另一个变量的可微函数 ) , 上式都成 立. 这个性质称为“一阶微分形式不变性”. 例2 求 y x2 ln x cos x2 的微分. 解 d y d ( x2 ln x cos x2 ) d ( x2 ln x ) d (cos x2)
ln x d ( x2 ) x2d( ln x) sin x2d(x2 ) x ( 2ln x 1 2sin x2 )dx.
sin x x, tan x x, ln1 x x, ex 1 x.
例5 试求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ).
解
sin 33

sin(
π 6

π 60
),
取
f ( x) sin x,
x0

π 6
,

x

π 60
,
由公式 (9) 得到
sin 33 sin ( π ) cos ( π ) π 0.545 .
y
| y0 |
f ( x0 ) f ( x0 )
x .
(11)
例6 设测得一球体直径为 42cm, 测量工具的精度 为 0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时引起的
绝对误差限和相对误差限.
解 以 d0 = 42, d 0.05 计算的球体体积和误差估
计分别为:
V0

1 6
πd03
记 x x0 Δ x , 即当 x x0 时，(8) 式可改写为
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ).
(9)
(9) 式的几何意义是当 x 与 x0充分接近时, 可用点
P( x0, f ( x0 )) 处的切线近似代替曲线, 这种线性近 似的方法可以简化一些复杂的计算问题. 公式 (9) 分别用于sin x, tan x, ln(1+x), ex ( x0= 0 ), 可得近似计算公式 ( 试与等价无穷小相比较 ):
于是
Δy A o(1). Δx
f
( x0 )

lim
Δ x 0
Δy来自百度文库Δx

lim ( A
Δ x0

o(1))

A
,
即 f 在点 x0 可导, 且 f ( x0 ) A . (充分性) 设 f 在点 x0 处可导,则由 f 的有限增量 公式 Δ y f ( x0 )Δ x o(Δ x), 说明函数增量 Δ y 可
关于Δ x 的高阶无穷小量,而 d y 是Δ x 的线性函数.
更通俗地说, dy 是 Δ y 的线性近似.
定理 1 函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在
点 x0 可导, 且 d f ( x) x x0 f ( x0)Δ x .
证 (必要性) 如果 f 在点 x0 可微, 据 (1) 式有
一、微分的概念
微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的 线性部分, 请先看一个具体例子. 设一边长为 x 的正方形, 它的面积 S = x 2 是 x 的函 数. 如果给边长 x 一个增量 Δ x , 正方形面积的增量 Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 : Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x )2.因 此, 当边长 x 增加一个微小量 Δx 时, Δ S 可用Δx
的线性部分来近似. 由此产生的误差是一个关于 Δ x 的高阶无穷小量 (Δ x)2, 即以 Δ x 为边长的小 正方形(如图).
x2
xΔ x
Δx 2
xΔ x
定义 5 设函数 y f ( x), x U ( x0 ). 如果增量
Δ y f ( x0 Δ x) f ( x0 ) 可以表示成
这里在 d(cos x2 ) sin x2d( x2 ) 2 x sin x2dx 的计算中, 用了一阶微分形式不变性. 例3 求 y ex32 x1 的微分. 解 d y ex32x1 d( x3 2x 1)
( 3x2 2 )ex32x1 d x .