高一数学基础训练卷1-7

基础训练卷1
1.判断下列函数的奇偶性:
（1）2)(x x f = （2）x x f =
)( （3）|
3|1
|3|1)(+-
-=
x x x f 【解析】（1）2)(x x f =的定义域为R ，关于原点对称
22)()(x x x f =-=- ∴ )()(x f x f =-
∴ 2)(x x f =是偶函数。

（2）x x f =)(的定义域为[)+∞,0，不关于原点对称 ∴ x x f =)(即不是奇函数也不是偶函数。

（3）|
3|1
|3|1)(+--=
x x x f 的定义域是{}3|±≠x x ，关于原点对称
|
3|1
|3|1|)3(|1|)3(|1|3|1|3|1)(--+=--++-=+----=
-x x x x x x x f
∴ )()(x f x f -=- ∴ |
3|1
|3|1)(+--=
x x x f 是奇函数。

2.证明函数x
x f 1
)(=
在(0,+∞)上是减函数. 【证明】设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ， 则)(1x f －)(2x f =
11x －21x =2
11
2x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,
又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴x
x f 1
)(=
在(0,+ ∞)上是减函数. 3.已知全集S = {1，3，x 3
+ 3x 2
+ 2x }，A = {1，|2x – 1|}，如果ðS A = {0}，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.
【解析】∵ðS A = {0}，∴0∈S ，但0∉A ，∴x 3 + 3x 2
+ 2x = 0，x (x + 1) (x + 2) = 0， 即x 1 = 0，x 2 = –1，x 3 = –2.
当x = 0时，|2x – 1| = 1，A 中已有元素1，不满足集合的性质；
当x = –1时，|2x – 1| = 3，3∈S ； 当x = –2时，|2x – 1| = 5，但5∉S . ∴实数x 的值存在，它只能是–1.
基础训练卷2
1.已知函数()f x 对任意的,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x < （1）求(0)f 的值
（2）证明()f x 在R 上是减函数。

【解析】（1）(0)f ＝0
（2）设12,x x R ∈且12x x <，则210x x ->，21()0f x x ∴-<
[]212111()()()()f x f x f x x x f x -=-+-2111()()()f x x f x f x =-+- 21()0f x x =-< ∴()f x 在R 上是减函数
2.求下列函数的定义域： （1）)13(log 2+=x y
【解析】013>+x 3
1-
>∴x ∴定义域为{-
>x x |3
1
} （2）122+--=x x y
【解析】122
+--x x ≥0 122
-+x x ≤0 4-∴≤x ≤3 ∴定义域为{4|-x ≤x ≤3} (3)1
21
-=
x y 【解析】012≠-x
,12≠x 0≠∴x
∴定义域为{|x R x ∈且0≠x }
(4)11
lg
-+=x x y 【解析】1
1
-+x x >0
1-<∴x 或1>x
∴定义域为{1|-<x x 或1>x }
3.集合A = {x | –1＜x ＜1}，B = {x | x ＜a }， （1）若A ∩B =∅，求a 的取值范围；
（2）若A ∪B = {x | x ＜1}，求a 的取值范围. 【解析】（1）如下图所示：A = {x | –1＜x ＜1}，B = {x | x ＜a }，且A ∩B =∅，
∴数轴上点x = a 在x = – 1左侧 ∴a ≤-1
（2）如右图所示：A = {x | –1＜x ＜1}，B = {x | x
＜a }且A ∪B = {x | x ＜1}，
∴数轴上点x = a 在x = –1和x = 1之间. ∴–1＜a ≤1.
基础训练卷3
1.证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数.
【解析】设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则
)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),
由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f . ∴23)(+=x x f 在R 上是增函数. 2.已知集合}82{≤≤
=x x A , }61{<<=x x B , }{a x x C >=,R U =．
(1)求A B ，(C U A) B ；
(2)如果A C φ≠ ，求a 的取值范围.
【解析】(1) {}|18A B x x ⋃=<≤…………………………………4分 (C U A) B={x |1<x <2}.………………………………………………8分
(2) A C ⋂≠∅ ,8a ∴<.……………………………………………12分
3.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意的正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (4)＝1， (1)求证：f (1)＝0； (2)求f (
1
16
)； (3)解不等式f (x )＋f (x －3)≤1.
【解析】(1)证明：令x ＝4，y ＝1，则f (4)＝f (4×1)＝f (4)＋f (1).∴f (1)＝0. (2)f (16)＝f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (1)＝f (116×16)＝f (116)＋f (16)＝0，故f (1
16
)＝－
2.
(3)设x 1，x 2＞0且x 1＞x 2，于是f (x 1x 2
)＞0， ∴f (x 1)＝f (x 1x 2×x 2)＝f (x 1x 2
)＋f (x 2)＞f (x 2). ∴f (x )为x ∈(0，＋∞)上的增函数.
又∵f (x )＋f (x －3)＝f [x (x －3)]≤1＝f (4) ∴>6,3>0,3x x x x ⎧⎪
-⎨⎪-⎩
()≤4,⇒3＜x ≤4.
∴原不等式的解集为{x |3＜x ≤4}.
基础训练卷4
1.用定义法证明函数()()2
1,1
x f x x +=
-+∞+在上是减函数。

【证明】原函数可变形为()1
11
f x x =++，设()1212,1,x x x x ∈-+∞<且，则
()()12f x f x -=1211
1111x x +
--
++()()
211211x x x x -=++ 21210x x x x >∴-> 121,10,20x x x >-∴+>+> ()()120f x f x ∴-> ()()12f x f x ∴>
∴()()2
1,1
x f x x +=
-+∞+在上是减函数。

2.已知()f x 是定义在(2,2)-上的减函数，并且(1)(12)0f m f m --->，求实数m 的取值范围．
【证明】∵f (x )在(－2，2)上是减函数
∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )
∴⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232
1
3
1211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)
3.若集合A ＝{2，4，3
2
27a a a --+}，B ＝{1，a ＋1，2
22a a -+，2
1(38)2
a a -
--、3237a a a +++ }，且A ∩B ＝{2，5}，试求实数a 的值．
【解析】∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A 且5∈A ， 则3
2
27a a a --+＝5⇒(a －2)(a －1)(a ＋1)＝0，
∴a ＝－1或a ＝1或a ＝2．
当a ＝－1时，B ＝{1，0，5，2，4}，与A ∩B ＝{2，5}矛盾，∴a ≠－1． 当a ＝1时，B ＝{1，2，1，5，12}，与集合中元素互异性矛盾，∴a ≠1． 当a ＝2时，B ＝{1，3，2，5，25}，满足A ∩B ＝{2，5}．故所求a 的值为2．
基础训练卷5
1.已知集合S = {x | 1＜x ≤7}，A = {x | 2≤x ＜5}，B = {x | 3≤x ＜7}. 求： （1）()()S S C A C B （2）()S C A B 【解析】如图所示，可得
A ∩
B = {x | 3≤x ＜5}，A ∪B = {x | 2≤x ＜7}，
ðS A = {x | 1＜x ＜2，或5≤x ≤7}，ðS B = {x | 1＜x ＜3}∪{7}. 由此可得：（1）(ðS A )∩(ðS B ) = {x | 1＜x ＜2}∪{7}； （2）ðS (A ∪B ) = {x | 1＜x ＜2}∪{7}；
2.讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.
【解析】∵22
2332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =
∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；
若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数.
3.函数()f x 是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()x
f f x f y y
=- （1）求(1)f 的值．
（2）若(6)1f =，解不等式1(3)()2f x f x
+-< 【解析】①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0． ②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()6
36
(
==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f x
f x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，
故不等式等价于：.23153036
)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<+<>>+x x x x
x
基础训练卷6
1.若)(x f 是奇函数，)(x g 是奇函数，)(x h 定义域关于原点对称，且)()()(x g x f x h ∙=，证明：)(x h 是偶函数。

【证明】 )(x f 是奇函数 )(x g 是奇函数 ∴ )()(x f x f -=-，)()(x g x g -=-
)(x h 定义域关于原点对称
)()()]([)()()()(x g x f x g x f x g x f x h ∙=-∙-=-∙-=-
∴)()(x h x h =- ∴ )(x h 是偶函数 2.已知函数2()21f x x =-．
（1）用定义证明()f x 是偶函数；
（2）用定义证明()f x 在(,0]-∞上是减函数；
（3）作出函数()f x 的图像，并写出函数()f x 当[1,2]x ∈-时的最大值与最小值． y
o
x
【证明】（1）函数()f x 的定义域为R ，对于任意的x R ∈，都有
22()2()121()f x x x f x -=--=-=，∴()f x 是偶函数． （2）在区间(,0]-∞上任取12,x x ，且12x x <，则有
22221212121212()()(21)(21)2()2()()f x f x x x x x x x x x -=---=-=-⋅+， ∵12,(,0]x x ∈-∞，12x x <，∴12120,x x x x -<0,+< 即1212()()0x x x x -⋅+>
∴12()()0f x f x ->，即()f x 在(,0]-∞上是减函数．
（3）最大值为(2)7f =，最小值为(0)1f =-．
3.在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+= 某公司每月最多生产100台报警系统装置。

生产x 台的收入函数为2203000)(x x x R -=（单位元），其成本函数为4000500)(+=x x C （单位元），利润的等于收入与成本之差. (1)求出利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp ；
(2)求出的利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp 是否具有相同的最大值； (3)你认为本题中边际利润函数)(x Mp 最大值的实际意义.
【解析】(1)N x x x x x C x R x p ∈∈-+-=-=],100,1[,4000250020)()()(2.
)(x Mp )()1(x p x p -+=),4000250020(]4000)1(2500)1(20[22-+---+++-=x x x x
x 402480-=，N x x ∈∈],100,1[；
(2)N x x x x p ∈∈+--=],100,1[,74125)2
125(20)(2，故当=x 62或63时，=max )(x p 74120（元）。

因为)(x Mp x 402480-=为减函数
当1=x 时有最大值2440。

故不具有相等的最大值.
(3)边际利润函数区最大值时，说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.。