应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇第三章部分习题解答 ppt课件
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应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
因2x12
2x1x2
x22
(x1,
x2
)
2 1
11
x1 x2
,
而
2 1
11 11
1011
10 BB,
令y
y1 y2
11
1 0
x1 x2
x1
x2 x1
,
则2
x12
2x1x2
x22
y12
y22
(2)第二次配方.由于
xx12
y2 y1
y2
14
第二章 多元正态分布及参数的估计
2x12 x22 2x1x2 22x1 14x2 65
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 2 1 2
1
2
exp
1
212
2 2
(1
2
)
[
2 2
(
x1
应用多元统计分析_课后答案
图 2.1
Descriptives 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话框中选择 Mean 复选框，即计 算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue 按钮返回主对话框。
图 2.2 Options 子对话框 3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即 样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2） 。
2.5 解： 依据题意，X= 57000 40200 21450 21900 45000 28350
′
15 16 12 8 15 8
27000 18750 12000 13200 21000 12000
144 36 381 190 138 26
′ E(X)= ∑6 α=1 x(α) = (35650,12.33,17325,152.5) n σ1 σ2 ρ2 (x1 −μ1 )2 σ2 1
+
σ2 1
(x2 −μ2 )2 σ2 2 )2
= = [
(x1 −μ1 )2 σ2 1 ρ(x1 −μ1 ) σ1
− −
2ρ(x1 −μ1 )(x2 −μ2 ) σ1 σ2 (x2 −μ2 ) 2 ] σ2
+
E( X ) μ
n→∞
lim E(
1 1 ������） = lim E( ������） = Σ n→∞ ������ n−1
2.7 试证多元正态总体 的样本均值向量 ̅) = E ( ΣX 证明： E(������ （α） ) = E (ΣX （α） ) =
n n 1 1 nμ n 1 n2
exp[−
应用多元统计分析.ppt
多元统计分析研究 的对象就是多 维随机向量.
第一章
§1.1
绪
论
引言--多元分析的研究对象和内容
研究的内容既包括一元统计学中某 些方法的直接推广，也包括多个随机 变量特有的一些问题。
多元统计分析是一类范围很广 的理论和方法。
第一章
§1.1
绪
论
引言--多元分析的研究对象和内容
就以学生成绩为例，我们可以研究很多 问题：用各科成绩的总和作为综合指标来 比较学生学习成绩的好坏(如成绩好的与成 绩差的，又如文科成绩好的与理科成绩好 的）；研究各科成绩之间的关系（如物理 与数学成绩的关系，文科成绩与理科成绩 的关系）；……等等。所有这些都属于多 元统计分析的研究内容。
课程其它事项
教学软件: R 课程主页: 课程评估:
作业 : 期中 : 期末 :
10% 40% 50%
答疑时间: 周二 9:30—11:30
第一章
§1.1
绪
引 言
论
在实际问题中，很多随机现象涉及到 的变量不止一个，而经常是多个变量，而 且这些变量间又存在一定的联系。我们常 常需要处理多个变量的观测数据。例如考 察学生的学习情况时，就需了解学生在几 个主要科目的考试成绩。 下表给出从某年级随机抽取的12名学 生中5门主要课程期末考试成绩。
0 . 1025 X 0 . 2852 X 4 12 Z1是12个变量的线性组合，且系数都是正数， 数值有大有小。显然数值大的变量对综合指标 （主成分）的贡献大；数值小的变量对综合指 标（主成分）的贡献小。
教育学-主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
12个原始变量（课程）提供的信息各为多少？用什 么量来表达？最经典的方法是用变量的方差Var(Xi)为 多少来表达。 如果某课程全班学生的成绩都差不多，比如都是80 分左右，则这门课程在学生成绩的排序中不起什么作 用。这反映在原始变量的线性组合Z1 （第一主成分） 上该变量对应的系数会很小（如0.1025). 如果另一门课程全班学生的成绩相差很大，有的 100分，有的只有30多分，则这门课程在学生成绩的 排序中起的作用很大。这反映在原始变量的线性组合 Z1 （第一主成分）上该变量对应的系数会很大（比如 0.4525).
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X2~N(0,1).
(2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有
YX 1X2 0 X 1X 1,当 估计
P{Y0}P{X11或 X11} P{X11}P{X11} (X1~N(0,1)) 2(1)0.317 04
若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知,
31
第三章 多元正态总体参数的检验
证明 记rk(A)=r.
若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是 X′AX与X′BX
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独 立的.
以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
32
第三章 多元正态总体参数的检验
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
P { X 2 x } P { X 1 x } ( x )
当x≥1时, P{X2x}
P{X2 1}P{1X2 1}P{1X2 x}
P{X11}P{1X11}P{1X1x}
P{X1x}(x) 17
第二章 多元正态分布及参数的估计
当-1≤x≤1时,
P{X2 x}P{X2 1}P{1X2 x} P{X1 1}P{xX1 1} P{X1 1}P{1X1 x} P{X1 x}(x)
它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
19
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-17 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为 f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面
f(x;μ,Σ)= a
是一个椭球面. (2) 当p=2且
比较上下式相应的系数,可得:
1
2 2
2
1 2
(2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有
YX 1X2 0 X 1X 1,当 估计
P{Y0}P{X11或 X11} P{X11}P{X11} (X1~N(0,1)) 2(1)0.317 04
若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知,
31
第三章 多元正态总体参数的检验
证明 记rk(A)=r.
若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是 X′AX与X′BX
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独 立的.
以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
32
第三章 多元正态总体参数的检验
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
P { X 2 x } P { X 1 x } ( x )
当x≥1时, P{X2x}
P{X2 1}P{1X2 1}P{1X2 x}
P{X11}P{1X11}P{1X1x}
P{X1x}(x) 17
第二章 多元正态分布及参数的估计
当-1≤x≤1时,
P{X2 x}P{X2 1}P{1X2 x} P{X1 1}P{xX1 1} P{X1 1}P{1X1 x} P{X1 x}(x)
它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
19
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-17 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为 f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面
f(x;μ,Σ)= a
是一个椭球面. (2) 当p=2且
比较上下式相应的系数,可得:
1
2 2
2
1 2
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇部分习题解答(00004)市公开课金奖市赛课一等奖课件
应用多元统计分析
第四章部分习题解答
第1页
1
第四章 回归分析
4-1
设
y1 y2
a 2a
1,
b
2
,
y3 a 2b 3,
1
2 3
~
N 3 (0,
2I3 ),
(1) 试求参数a,b
解:用矩阵表示以上模型:
则
Y
y1 y2 y3
1
2 1
201
a b
1 2 3
def
X
ˆ
aˆ bˆ
3
exp
1
2 2
[( y1 a0 )2
( y2
a0 )2
( y3
3a0 )2 ]
第4页
4
第四章 回归分析
令
L(a0 ,
a0
2)
L(a0 ,
2
)
2
2
2
[(
y1
a0
)
(
y2
a0 )
3(
y3
3a0
)
0
可得 令
ln
aˆ0
1 11
L(aˆ0 , 2 )
2
( y1
y2 3y3 )
3
2
2
令
ln L
2
3
2
2
1
2( 2 )2
[( y1
aˆ)2
]
0
可得
ˆ 2
1 3
( y1
aˆ)2
( y2
2aˆ
bˆ)2
( y3
aˆ
2bˆ)2
似然比统计量分母为
L(aˆ, bˆ,ˆ
2
)
(2
第四章部分习题解答
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1
第四章 回归分析
4-1
设
y1 y2
a 2a
1,
b
2
,
y3 a 2b 3,
1
2 3
~
N 3 (0,
2I3 ),
(1) 试求参数a,b
解:用矩阵表示以上模型:
则
Y
y1 y2 y3
1
2 1
201
a b
1 2 3
def
X
ˆ
aˆ bˆ
3
exp
1
2 2
[( y1 a0 )2
( y2
a0 )2
( y3
3a0 )2 ]
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第四章 回归分析
令
L(a0 ,
a0
2)
L(a0 ,
2
)
2
2
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[(
y1
a0
)
(
y2
a0 )
3(
y3
3a0
)
0
可得 令
ln
aˆ0
1 11
L(aˆ0 , 2 )
2
( y1
y2 3y3 )
3
2
2
令
ln L
2
3
2
2
1
2( 2 )2
[( y1
aˆ)2
]
0
可得
ˆ 2
1 3
( y1
aˆ)2
( y2
2aˆ
bˆ)2
( y3
aˆ
2bˆ)2
似然比统计量分母为
L(aˆ, bˆ,ˆ
2
)
(2
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def
2 ln n( X 0 )01( X 0 )
因
X
H 0下
~
N
p (0,
1 n
0 ),
H 0下
n( X 0 ) ~ N p (0, 0 )
所以由§3“一﹑2.的结论1”可知
2 ln ~ 2 ( p).
20
第三章 多元正态总体参数的检验
3-6 (均值向量各分量间结构关系的检验) 设总体
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独 立的.
以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
7
第三章 多元正态总体参数的检验
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
令
r
由AB＝O可得DrH11＝O ， DrH12＝O . 因Dr为满秩阵,故有H11＝Or×r，H12＝Or×(n-r) .
由定义314可知15性质5在非退化的线性变换下t分别表示正态总体x的样本均值向量和离差阵则由性质1有1735对单个p维正态总体n均值向量的检验问题试用似然比原理导出检验h已知的似然比统计量及分布
第三章习题解答
第三章 多元正态总体参数的假设检验
3-1 设X～Nn(μ,σ2In), A为对称幂等 阵,且rk(A)=r(r≤n),证明
~
N pr
(0, 22 ),
记
X
n p
xij
X (1) | X (2) , nr n( pr)
则
W
X X
X (1)X (1) X (2)X (1)
X X
(1) X (2) X
(2) (2)
WW1211
W12 W22
,
即
W11 X (1)X (1), W22 X (2)X (2)
应用多元统计课后答案解析
2(d c)(x 1 a)x 2 (b a)2(d c)2 2[(b a )(X 2 c) 2(X 1 a )(X 2 c)] (b a)2(d c)2dx 22(d c)(x.| a)x 222~(b a) (d c) c2[(b a)t 2(X 1 a)t]2 2 (b a) (d c)dt 2(d c)(x-i a)x 22 2(b a) (d c)所以d c2 2(b a) (d c) o2 2[(b a)t 2(X 1 a)t ] 第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X (X !,X 2^|X p )的联合分布密度函数是-个p 维的函数，而边际分布讨论是 X (X i ,X 2」||X p)的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量(X 1 X 2)服从二元正态分布，写出其联合分布。
其中 a X 1 b , c X 2 d 。
求(1 )随机变量X 1和X 2的边缘密度函数、均值和方差；(2) 随机变量X 1和X 2的协方差和相关系数； (3) 判断X 1和X 2是否相互独立。
(1)解：随机变量 X 1和X 2的边缘密度函数、均值和方差;2[(d c)(x-i a) (b a)(x 2 c) 2(x 1 a)(x 2c)]2 2(b a) (d c)id解：设(X 1 X 2)的均值向量为口 ，协方差矩阵为21；，则其联合分布密度函数为21/21f(X).2-2.3已知随机向量(X 1f(X 1,X 2)型21122 2exp口)2112 2 2(X口)。
X 2) c)(X 的联合密度函数为a) (b a)(X 2c) 2 2(b a) (d c)2(X 1 a)(x 2 c)] dx(C d)(b a)36COV(N，X2)X i X2(3)解：判断X i和X2是否相互独立。
X i 和X2 由于f(X!,X2) f x,X i) f x,(X2)，所以不独立。
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第10页 10
第八章 因子分析
8-3 验证下列矩阵关系式(A为p×m阵)
(1) (I AD1A)1 AD1A I (I AD1A)1;
(2) ( AA D)1 D1 D1A(I AD1A)1 A1D1;
(3) A( AA D)1 (Im AD1A)1 AD1.
解：利用分块矩阵求逆公式求下列分块矩阵逆：
(3) 主成份分析是将主成份表示为原变量线性 组合,而因子分析是将原始变量表示为公因子和 特殊因子线性组合,用假设公因子来“解释”相 关阵内部依赖关系.
这两种分析办法又有一定联系.当预计办法采 用主成份法,因子载荷阵A与主成份系数相差一 个倍数;因子得分与主成份得分也仅相差一个常 数.这种情况下可把因子分析当作主成份分析推 广和发展.
并计算误差平方和Q(2).
解 : m 2的因子模型的主成分解为:
0.8757 0.1802
A(
1l1,
2
l2
)
0.8312
0.4048,
0.7111 0.6950
第7页
7
第八章 因子分析
D
0.2007 0 0
0 0.1452
0
0.0100131
则m 2的正交因子模型为
X1 0.8757F1 0.1802F2 1 X 2 0.8312F1 0.4048F2 2 X 3 0.7111F1 0.6950F2 3
p
m
p
S ilili ilili ilili
i 1
i 1
i m 1
其中1 2 p 0 为S特性值，li为相应原则
特性向量。
第14页 14
第八章 因子分析
设A,D是因子模型主成份预计,即
第三章 多元回归分析 《应用多元统计分析》 ppt课件
n
n
ei2
yi b0 b1xi1 b2 xi2
2
bp xip
i 1
i 1
达到最小。解形如下式的正规方程：
yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
bp xip )
0
xi1 yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
bp xip ) 0
xip yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
二、逐步回归分析
每步都要进行显著 性检验，以便保证 每次引入变量前回 归方程中只包括显 著性变量。这个过 不能 程反复进行，直到 既无不显著变量从 回归方程中剔除， 又无显著变量需要 选入回归方程时为 止。
开始
能否引入 不在方程中的变量
能
引入变量
能否剔除 已在方程中的变量
能
引入变量
不能
筛选结束
二、逐步回归分析
可以进一步证明最小二乘法估计量 b 服从正态分布，
即
b ~ Np1[β, 2(XX)1]
此时，最小二乘估计是一切无偏估计中方差最小的估计。
特别地，有 bj N[ j , 2 cjj ] ( j 0,1, , p )，其中，cjj 表
示矩阵 (XX)1 中第 j 行第 j 列的元素。
二、模型检验
通常来说，模型的设定只是基于定性分析作出的 假设。这种假设是否符合实际，能否得到样本数据 的支持，还需要在求出线性回归方程后，对回归方 程进行显著性检验。多元线性回归方程的显著性检 验与一元线性回归方程的显著性检验思想是一致的， 但也有不同之处。这里我们介绍两种方法，一是回 归方程整体显著性的 检验F ，另一个是回归系数显
从回归模型的简洁性上看，回归方程中包含自变量个数 越小越好。
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4.7067
取a 1 A1( (1) (2) )
d
1 65 1381
3323 ,
则aAa
1,
且a满足 : Ba Aa ( d 2 ).
12
第五章 鉴别分析
判别效率(a) aBa 4.7067.
aAa
Fisher线性判别函数为u( X ) aX
1 89765
(32
X1
33X
2 判别准则为 判X G1 , 当W ( X ) 0,
判X G2 , 当W ( X ) 0, 试求错判概率P(2 |1)和P(1| 2).
解 : 记a 1 ( (1) (2) ),W ( X ) ( X )a是X的
线性函数,当X
G1时,W
(
X
)
~
N1
(1,
2 1
), 且
20
第五章 鉴别分析
20 20
时,
u
(
X
(1)
)
1 89765
(32,33)
20 20
4.3390
因u( X (1) ) 4.3390 u* , 判X (1) G2.
当X (1)
15 20
时,
u
(
X
(2)
)
1 89765
(32,33)1250
3.8050
因u( X (2) ) 3.8050 u* 判X (2) G1.
其中W ( X ) a( X *)
( X * )1( (1) (2) ) ,
* 1 ( (1) (2) ).
2 10
第五章 鉴别分析
5-4 设有两个正态总体G1和G2,已知(m=2)
(1)
1105, (2)
(完整版)多元统计分析课后练习答案
第1章 多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。
在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。
其中最典型的就是0-1标准化和Z 标准化。
2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m 维空间中两个点之间的真实距离。
在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。
每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。
当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。
当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。
它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。
没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
马氏距离表示数据的协方差距离。
为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。
由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。
马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。
缺点：夸大了变化微小的变量的作用。
受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。
3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。
如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
3 解三:两次配方法
2 1 2 2 2 (1)第一次配方: 2 x12 2 x1 x2 x2 ( x1 x2 ) 2 x12
2 1 x1 2 1 1 1 1 1 因2 x 2 x1 x2 x ( x1 , x2 ) , 而 BB, 1 1 x2 1 1 1 0 1 0 y1 1 1 x1 x1 x2 2 2 2 2 令y , 则 2 x 2 x x x y y 1 1 2 2 1 2 y x x 1 0 2 1 2
类似地有
1 2 2 ( 2 x1 22 x1 65 x1 14 x1 49 ) 2
f 2 ( x2 )
X 2 ~ N (3,2).
f (x , x )dx
1 2 1
1 2 2
e
1 ( x2 3) 2 4
10
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 e 2
1 2 ( 2 x1 22 x1 65) 2
e
1 2 ( x2 2 x2 ( x1 7 ) ( x1 7 ) 2 ) 2
dx2 e
1 ( x1 7 ) 2 2
9
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 ( x2 x1 7 ) 2 2
1 e e dx2 2 1 2 1 ( x 8 x 16 ) ( x2 x1 7 ) 2 1 1 1 1 2 e 2 e dx2 2 2 1 ( x1 4 ) 2 1 e 2 X1 ~ N (4,1). 2
u1 x1 4 令 u2 x2 3
2 1 2 2 2 (1)第一次配方: 2 x12 2 x1 x2 x2 ( x1 x2 ) 2 x12
2 1 x1 2 1 1 1 1 1 因2 x 2 x1 x2 x ( x1 , x2 ) , 而 BB, 1 1 x2 1 1 1 0 1 0 y1 1 1 x1 x1 x2 2 2 2 2 令y , 则 2 x 2 x x x y y 1 1 2 2 1 2 y x x 1 0 2 1 2
类似地有
1 2 2 ( 2 x1 22 x1 65 x1 14 x1 49 ) 2
f 2 ( x2 )
X 2 ~ N (3,2).
f (x , x )dx
1 2 1
1 2 2
e
1 ( x2 3) 2 4
10
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 e 2
1 2 ( 2 x1 22 x1 65) 2
e
1 2 ( x2 2 x2 ( x1 7 ) ( x1 7 ) 2 ) 2
dx2 e
1 ( x1 7 ) 2 2
9
第二章
多元正态分布及参数的估计
1 ( x2 x1 7 ) 2 2
1 e e dx2 2 1 2 1 ( x 8 x 16 ) ( x2 x1 7 ) 2 1 1 1 1 2 e 2 e dx2 2 2 1 ( x1 4 ) 2 1 e 2 X1 ~ N (4,1). 2
u1 x1 4 令 u2 x2 3
高惠璇多元统计分析习题答案
第四章4-1 设⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+=,2,2,332211εεεb a y b a y a y ).,0(~323321I N σεεεε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=（1）试求参数b a ,的最小二乘估计；（2）试导出检验b a H =:0的似然比统计量，并指出当假设成立时，这个统计量是分布是什么？解：（1）由题意可知.,,,211201321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=εεεεβ b a y y y Y C 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==--321'1''1'211201************)(ˆy y y Y C C C β.ˆˆ)2(51)2(6132321⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++ba y y y y y（2）由题意知，检验b a H =:0的似然比统计量为2322ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σσλ 其中，])ˆ2ˆ()ˆˆ2()ˆ[(31ˆ2322212b a y b a y a y --++-+-=σ。
当0H 成立时，设0a b a ==，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,3,,303202101εεεa y a y a y ,311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=C 可得,ˆ)3y (111311311311)(ˆ0321321'1''1'ay y y y y Y C C C =++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==--β ],)ˆ3()ˆ()ˆ[(31ˆ20320220120a y a y ay -+-+-=σ因此，当假设0H 成立时，与似然比统计量λ等价的F 统计量及其分布为).1,1(~ˆˆˆ2202F F σσσ-=4-3 设Y 与321,,x x x 有相关关系，其8组观测数据见表4.5.表 4.5 观测数据序号 1x2x3xY1 38 47.5 23 66.02 41 21.3 17 43.0 3 34 36.5 21 36.0 4 35 18.0 14 23.0 5 31 29.5 11 27.06 34 14.2 9 14.07 29 21.0 4 12.0 83210.087.6（1）设εββββ++++=3322110x x x Y ，试求回归方程及决定系数2R 和均方误差2s 。
应用多元统计分析.ppt
料作统计分析，我们能够得出：
第一章
§1.2
绪
论
多元统计分析的应用领域--教育学
(1) 高考成绩和高中学习期间成绩的关系,即给出两 组变量线性组合间的关系,从而可由考生在高中期间的 学习成绩来预报高考的综合成绩或某科目的成绩.
(2) 给出考生成绩次序排队的最佳方案(最佳 组合).总分可以体现一个考生成绩好坏,但对报 考概率统计系的学生,按总分从高到低的顺序录 取并不是最合适的.应按适当的权数加权求和.如 数学、物理、外语的权数相对高些.
第一章
§1.1
绪
论
引言--多元分析的研究对象和内容
综上所述，多元分析以ｐ个变量的n次观 测数据组成的数据矩阵 x11 x12 … x1p x21 x22 … x2p
X=
xn1 xn2 … xnp
…. ….
…. ….
为依据。根据实际问题的需要，给出种种方法 。英国著名统计学家Ｍ.肯德尔（M.G.Kendall ）在《多元分析》一书中把多元分析所研究的 内容和方法概括为以下几个方面：
第一章
§1.1
绪
论
引言--多元分析的研究对象和内容
1. 简化数据结构(降维问题) 例如通过变量变换等方法使相互依赖的变量 变成互不相关的；或把高维空间的数据投影到 低维空间，使问题得到简化而损失的信息又不 太多.主成分分析，因子分析,对应分析等多元 统计方法就是这样的一类方法。 ２.分类与判别（归类问题）
教育学-主成分分析在学生学习成绩排序中的应用 接着把每个学生12门课程的成绩代入第一 主成分Z1中，计算出每个学生第一主成分Z1的 得分值，然后按从大到小的次序对全班学生的 第一主成分Z1的得分值进行排序。这个次序作 为全班学生在大学本科4年中综合学习成绩的 顺序是更合理更科学的。
北大应用多元统计分析课件第三章
聚类分析的分类
02
根据聚类过程中数据点之间的相似性度量方式，聚类分析可以分为基于距离的聚类和基于密度的聚类。
聚类分析的数学基础
03
聚类分析的数学基础主要包括距离度量、相似性度量和概率统计等。
通过聚类分析将市场划分为不同的细分市场，为企业的市场策略提供依据。
市场细分
根据客户的行为和属性特征，将客户划分为不同的群体，便于企业进行个性化营销和服务。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε，其中Y是因变量，X1, X2, ..., Xp是自变量，β0, β1, β2, ..., βp是模型的参数，ε是误差项。
多元线性回归模型的特点
它不仅可以处理多个自变量对因变量的影响，而且可以处理自变量之间的交互作用和多元共线性问题。此外，通过引入虚拟变量，多元线性回归模型还可以处理分类自变量和有序分类因变量的情况。
北大应用多元统计分析课件第三章
目录
多元线性回归模型主成分分析因子分析聚类分析
多元线性回归模型
多元线性回归模型
在统计学中，多元线性回归模型是一种用于探索和预测多个自变量与因变量之间关系的统计方法。它假设因变量和自变量之间存在一种线性关系，即因变量的变化可以由自变量的线性组合来解释。
多元线性回归模型的一般形式
最小二乘法：最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化预测值与实际值之间的残差平方和来估计模型的参数。这种方法基于一种假设，即误差项的均值为零，且误差项之间相互独立。
线性关系检验：在多元线性回归模型中，需要检验因变量与自变量之间是否存在线性关系。可以通过绘制散点图和残差图来直观判断是否存在非线性关系。如果存在非线性关系，可以考虑使用其他模型或对自变量进行变换来满足线性关系假设。
02
根据聚类过程中数据点之间的相似性度量方式，聚类分析可以分为基于距离的聚类和基于密度的聚类。
聚类分析的数学基础
03
聚类分析的数学基础主要包括距离度量、相似性度量和概率统计等。
通过聚类分析将市场划分为不同的细分市场，为企业的市场策略提供依据。
市场细分
根据客户的行为和属性特征，将客户划分为不同的群体，便于企业进行个性化营销和服务。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε，其中Y是因变量，X1, X2, ..., Xp是自变量，β0, β1, β2, ..., βp是模型的参数，ε是误差项。
多元线性回归模型的特点
它不仅可以处理多个自变量对因变量的影响，而且可以处理自变量之间的交互作用和多元共线性问题。此外，通过引入虚拟变量，多元线性回归模型还可以处理分类自变量和有序分类因变量的情况。
北大应用多元统计分析课件第三章
目录
多元线性回归模型主成分分析因子分析聚类分析
多元线性回归模型
多元线性回归模型
在统计学中，多元线性回归模型是一种用于探索和预测多个自变量与因变量之间关系的统计方法。它假设因变量和自变量之间存在一种线性关系，即因变量的变化可以由自变量的线性组合来解释。
多元线性回归模型的一般形式
最小二乘法：最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化预测值与实际值之间的残差平方和来估计模型的参数。这种方法基于一种假设，即误差项的均值为零，且误差项之间相互独立。
线性关系检验：在多元线性回归模型中，需要检验因变量与自变量之间是否存在线性关系。可以通过绘制散点图和残差图来直观判断是否存在非线性关系。如果存在非线性关系，可以考虑使用其他模型或对自变量进行变换来满足线性关系假设。
厦门大学《应用多元统计分析》习题第03章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验
≠
μ0 ; (α
=
0.05) 。
3.5 测量 30 名初生到 3 周岁婴幼儿的身高（ x1 ）和体重（ x2 ）数据如
下表所示，其中男女各 15 名。假定这两组都服从正态总体且协方差阵相等，
试在显著性水平α = 0.05 下检验男女婴幼儿的这两项指标是否有差异。
编号 1
男
x1
x2
54
3
女
x1
x2
54
1 LF HF 3.71 1.76 3.63 3.17 4.49 4.08 5.70 4.78 4.96 3.39 5.83 4.02 5.22 5.08 4.15 2.39
2 LF HF 3.96 2.47 3.64 3.19 4.86 4.12 5.72 5.44 5.14 3.88 5.64 4.06 5.03 4.99 4.15 2.08
2 LF HF 4.29 3.03 4.69 4.77 5.28 4.41 5.05 3.28 4.94 3.56 4.54 3.28 4.26 3.11 5.56 5.36
3 LF HF 4.77 3.57 4.58 3.04 5.37 4.79 4.65 2.86 4.68 3.97 4.61 4.40 5.27 3.88 5.55 5.00
时各小时的低频心电频谱值（LF）、高频心电频谱值（HF），资料见下表。试
分析这两个指标的各次重复测定均值向量是否有显著差异（α = 0.05 ）。
3
1 LF HF 4.66 2.89 4.54 4.65 5.91 4.53 4.95 3.31 5.51 3.78 4.22 2.61 4.61 3.10 5.08 4.38
1
4
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1
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i 1
5
第三章 多元正态总体参数的检验
又因为 X′BX=Y′Γ′BΓ Y= Y′HY
其中H=Γ′BΓ 。如果能够证明X′BX 可表示为Yr+1，…,Yn的函数，即H只是右 下子块为非0的矩阵。 则X′AX 与X′BX相互独立。
应用多元统计分析课后习题答案详
解北大高惠璇第三章部分习题解答
6
第三章 多元正态总体参数的检验
解北大高惠璇第三章部分习题解答
2
第三章 多元正态总体参数的检验
应用多元统计分析课后习题答案详
解北大高惠璇第三章部分习题解答
3
第三章 多元正态总体参数的检验
其中非中心参数为
应用多元统计分析课后习题答案详
解北大高惠璇第三章部分习题解答
4
第三章 多元正态总体参数的检验
3-2 设X～Nn(μ,σ2In), A，B为n阶对称阵.
则
W X X X X ( ( 1 2 ) ) X X ( ( 1 1 ) ) X X ( ( 1 2 ) ) X X ( (2 2 ) ) W W 1 21 1 W W 1 2 2 2 , 即
W 1 1 X ( 1 ) X ( 1 )W ,2 2 X ( 2 ) X ( 2 )
3-4 试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5).
性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X(α) ～ Np(0,Σ) (α
＝1,…,n)相互独立，其中
又已知随机矩阵
1211
12 r 22pr
W n 1X ()X ( ) W W 1 21 1W W 1 2 2 2p r r~ W p(n , )
应用多元统计分析
第三章习题解答
第三章 多元正态总体参数的假设检验
3-1 设X～Nn(μ,σ2In), A为对称幂等 阵,且rk(A)=r(r≤n),证明
证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的
特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正 交阵Γ(其列向量ri为相应特征向量)，使
应用多元统计分析课后习题答案详
若AB ＝0 ,证明X′AX与X′BX相互独立.
证明的思路：记rk(A)=r. 因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得
Γ ′AΓ=diag(λ1,…,λr 0,..,0) 令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In),
r
且 X A X (Γ)Y A Γ Γ Y Γ A Γ Γ iY i2
应用多元统计分析课后习题答案详 解北大高惠璇第三章部分习题解答
令
r
由AB＝O可得DrH11＝O ， DrH12＝O .
因Dr为满秩阵,故有H11＝Or×r，H12＝Or×(n-r) .
由于H为对称应阵用多，元统计所分析以课后H习题2答1＝案详 O(n-r)×r .于是
解北大高惠璇第三章部分习题解答
8
第三章 多元正态总体参数的检验
HΓB Γ
令Y＝Γ′X，则Y～ Nn(Γ′μ,σ2In), 且 r X A X (Γ)Y A Γ Γ Y Γ A Γ Γ iY i2 i 1 Y r1
XB X YΓB Γ ΓYH Y (Y r1, ,Y n)H 2 2Y n
由于Y1，…,Yr ,Yr+1 ,…,Yn相互独立，故 X′AX与X′BX相互独立.
应用多元统计分析课后习题答案详
解北大高惠璇第三章部分习题解答
9
第三章 多元正态总体参数的检验
3-3 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵, 试证明 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)相互独立
ΣAΣBΣ＝0p×p.
(记
1
2
1
1
2 )
应用多元统计分析课后习题答案详
解北大高惠璇第三章部分习题解答
10
第三章 多元正态总体参数的检验
由“1.结论6”知ξ与η相互独立
1 11 1
CDO 2A22B2 O
ABO
应用多元统计分析课后习题答案详
解北大高惠璇第三章部分习题解答
11
第三章 多元正态总体参数的检验
则
应用多元统计分析课后习题答案详
解北大高惠璇第三章部分习题解答
12
第三章 多元正态总体参数的检验
证明: 设
X()X X(((( 1 2))))prr,则 X X (( 2 (( ))1))~~N N p rr((00 ,, 12)1)2,,
记
X
np
xij
X(1)| X(2) , nr n(pr)
15
第三章 多元正态总体参数的检验
Y CXd, n
记y Cd
Ay (Y(i) Y)(Y(i) Y)
i1 n
C[ (X(i) X)(X(i) X)]CCAxC
i1
Ty2 n(n1)(Yy)Ay1(Yy)
n(n1)(X)C[CxA C]1C(X)
应用多元统计分析课后习题答案详
解北大高惠璇第三章部分习题解答
13
第三章 多X (1 )n(X (( 1 )))X (( 1 ))~ W r(n , 1)1; 1
W 2 2X (2 )X (2 )n(X (( 2 ) ))X (( 2 ) )~ W p r(n , 2)2 1
当Σ12 =O 时,对α＝1,2,…,n,
独立.故有W11与W22相互独立.
X((1))与X((2相)) 互
应用多元统计分析课后习题答案详
解北大高惠璇第三章部分习题解答
14
第三章 多元正态总体参数的检验
性质5 在非退化的线性变换下,T2统计量保持不 变.
证明:设X(α) (α＝1,…,n) 是来自p元总体 Np(μ,Σ)的随机样本, X和Ax分别表示正态总体X 的样本均值向量和离差阵,则由性质1有
证明 记rk(A)=r.
若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是 X′AX与X′BX
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独 立的.
以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
应用多元统计分析课后习题答案详
解北大高惠璇第三章部分习题解答
7
第三章 多元正态总体参数的检验
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
T x 2n(n1 )X ()A x 1(X)
~T2(p,n1 ).
令 Y (i)C X(i)d(i1,...,n)
其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。
则 Y (i)~ N p (C 应用多 元统d 计分,析C 课 后习C 题答) 案详 (i 1 ,2 ,.n ) ..,
解北大高惠璇第三章部分习题解答