高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练：2.6 正态分布
苏教版高中数学选修2-3 2.6 正态分布学案
2018-2019学年苏教版选修2-3 2.6 正态分布学案[学习目标] 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．知识点一正态密度曲线正态密度曲线的函数表达式是P(x)＝12πσ22()2exμσ-－，x∈R，这里有两个参数μ和σ，其中μ是随机变量X的均值，σ2是随机变量X的方差，且σ>0，μ∈R.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．知识点二正态密度曲线图象的特征1．当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．2．正态曲线关于直线x＝μ对称．3．σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡．4．在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.知识点三正态分布1．若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a＜X≤b)恰好是正态密度曲线下方和x 轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．2．正态分布N(0,1)称为标准正态分布．知识点四正态总体在三个特殊区间内取值的概率值若X～N(μ，σ2)，则X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%，落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.题型一正态曲线例1如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|<20)．解 由图可知μ＝72，σ＝10， 故正态分布密度函数为P (x )＝12π·10e2(72)200x --，x ∈(－∞，＋∞)．则P (|X －72|<20)＝P (|X －μ|<2σ)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954.反思与感悟 利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x ＝μ与最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了．跟踪训练1 如图所示是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的正态密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝ 2. 于是正态密度函数的解析式是P (x )＝12π·e －(x －20)24，x ∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20， 方差是σ2＝(2)2＝2. 题型二 利用正态分布求概率例2 设ξ～N (1,22)，试求：(1)P (－1＜ξ≤3)； (2)P (3＜ξ＜5)；(3)P (ξ≥5)． 解 ∵ξ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P (－1＜ξ≤3)＝P (1－2＜ξ＜1＋2) ＝P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.683. (2)∵P (3＜ξ＜5)＝P (－3＜ξ＜－1)，∴P (3＜ξ＜5)＝12[P (－3＜ξ＜5)－P (－1＜ξ＜3)]＝12[P (1－4＜ξ＜1＋4)－P (1－2＜ξ＜1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜x ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜x ＜μ＋σ)] ＝12(0.954－0.683)＝0.135 5. (3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)＝12[1－P (－3＜ξ＜5)]＝12[1－P (1－4＜ξ＜1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)] ＝12(1－0.954)＝0.023. 反思与感悟 解答此类题目的关键在于将给定的区间转化为用μ加上或减去几个σ来表示；当要求服从正态分布的随机变量的概率所在的区间不对称时，不妨先通过分解或合成，再通过求其对称区间概率的一半解决问题．经常用到如下转换公式：①P (x ≥a )＝1－P (x ＜a )；②若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )2.跟踪训练2 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分)近似服从正态分布N (50,102)，求他在(30,60)分内赶到火车站的概率． 解 ∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P (30<X <60)＝P (30<X <50)＋P (50<X <60) ＝12P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＋12P (μ－σ<X <μ＋σ) ＝12×0.954＋12×0.683＝0.818 5. 即他在(30,60)分内赶到火车站的概率是0.818 5. 题型三 正态分布的实际应用例3 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120)内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． 解 (1)由ξ～N (100,100)知μ＝100，σ＝10. ∴P (80<ξ<120)＝P (100－20<ξ<100＋20)＝0.954， 即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为0.954. (2)P (90<ξ<110)＝P (100－10<ξ<100＋10) ＝0.683，∴P (ξ>110)＝12(1－0.683)＝0.158 5，∴P (ξ≥90)＝0.683＋0.158 5＝0.841 5. ∴及格人数为2 000×0.841 5＝1 683(人)．反思与感悟 解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中用到化归思想和数形结合的思想．跟踪训练3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．解 依题意，由80～85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．∵成绩服从正态分布N (80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.3%.由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85)内的同学占全班同学的12×68.3%＝34.15%.设该班有x 名同学，则x ×34.15%＝17， 解得x ≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在(70,90)内的同学占全班同学的95.4%. ∴成绩在(80,90)内的同学占全班同学的47.7%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.7%＝2.3%. 即有50×2.3%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人．1．如图是当σ取三个不同值σ1.σ2.σ3时的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1.σ2.σ3的大小关系是________．答案 σ1<σ2<σ3解析 由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以σ1<σ2<σ3.2．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，那么c ＝________. 答案 2解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c＝2.3．已知X ～N (0，σ2)且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 答案 0.1解析 ∵P (0≤X ≤2)＝P (－2≤X ≤0)＝0.4， ∴P (X >2)＝12(1－2×0.4)＝0.1.4．一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率． 解 依题意μ＝104，σ＝400.∴P (104－800<X <104＋800)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954. 由正态分布性质知P (X <104－800)＝P (X >104＋800) 故2P (X >10 800)＋P (104－800<X <104＋800)＝1， ∴P (X >10 800)＝1－0.9542＝0.023，故使用时间超过10 800小时的概率为0.023.1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质． 2．正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P (μ－σ<X <μ＋σ)，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (X <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )， 若b <μ，则P (X <μ－b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )2.。
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2.6正态分布双基达标(限时15分钟)1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝________.解析由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P(X＜3)＝P(X＞3)＝1 2.答案1 22．若随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则X在区间(－3,3]上取值的概率等于________．答案0.9973．设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________．解析∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.答案 24．已知X～N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝________.解析∵P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(X＞2)＝12(1－2×0.4)＝0.1.答案0.15．已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．解析由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x＝0.2时，正态曲线f(x)达到最高点．答案0.26．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝1 82π.(1)求正态分布密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72 mm～88 mm之间的零件大约占总数的百分之几．解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．因此得μ＝80，12π·σ＝182π，所以σ＝8.故正态分布密度函数的解析式是(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm～88 mm 间的零件大约占总数的68.26%.综合提高(限时30分钟)7．对于正态分布N(0,1)的概率密度函数P(x)＝，有下列四种说法：①P(x)为偶函数；②P(x)的最大值为12π；③P(x)在x＞0时是单调减函数，在x≤0时是单调增函数；④P(x)关于σ＝1对称．不正确的是________(填序号)．解析X～N(0,1)，∴曲线的对称轴为x＝μ＝0.答案④8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．解析由已知得μ＝116，σ＝8.∴P(92＜X≤140)＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，∴P (X ＞140)＝12(1－0.997 4)＝0.001 3，∴成绩在140以上的人数为13.答案 139．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是________．解析 由已知得12πσ2＝12π，∴σ2＝1.由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以0＜σ1＜σ2＝1＜σ3.答案 0＜σ1＜σ2＝1＜σ310．设X ～N (0,1)．①P (－ε＜X ＜0)＝P (0＜X ＜ε)；②P (X ＜0)＝0.5；③已知P (－1＜X ＜1)＝0.682 6，则P (X ＜－1)＝0.158 7；④已知P (－2＜X ＜2)＝0.954 4，则P (X ＜2)＝0.977 2；⑤已知P (－3＜X ＜3)＝0.997 4，则P (X ＜3)＝0.998 7.其中正确的有________(只填序号)．解析 正态曲线关于y 轴对称，故①②正确．对于③，P (X ＜－1)＝12(1－P (|X |＜1))，＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，故③正确；对于④，P (X ＜2)＝12(1－P(|X|＜2))＋P(|X|＜2)＝12(1－0.954 4)＋0.954 4＝0.977 2；故④正确，同理⑤正确．答案①②③④⑤11．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其正态分布密度函数是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．(1)(203,215)；(2)(191,227)．解由于X的正态分布密度函数为f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，∴μ＝209，σ＝6.∴μ－σ＝209－6＝203，μ＋σ＝209＋6＝215.μ－3σ＝209－6×3＝209－18＝191，μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18＝227.因此光通量X的取值在区间(203,215)，(191,227)内的概率应分别是0.682 6和0.997 4.(1)于是光通量X在(203,215)范围内的灯泡个数大约是10 000×0.682 6＝6826.(2)光通量在(191,227)范围内的灯泡个数大约是10 000×0.997 4＝9 974. 12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛，∵X～N(60,100)，∴μ＝60，σ＝10.∴P(X≥90)＝12[1－P(30＜X＜90)]＝12(1－0.997 4)＝0.001 3.又P (X ≥90)＝13n ，∴13n ＝0.001 3.∴n ＝10 000.故此次参加竞赛的学生总数共有10 000人．(2)设受奖的学生的分数线为x 0.则P (X ≥x 0)＝22810 000＝0.022 8.∵0.022 8＜0.5，∴x 0＞60.∴P (120－x 0＜X ＜x 0)＝1－2P (X ≥x 0)＝0.954 4，∴x 0＝60＋20＝80.故受奖学生的分数线是80分．13．(创新拓展)已知电灯泡的使用寿命服从正态分布X ～N (1 500，1002)(单位：h)．(1)购买一个灯泡，求它的使用寿命不小于1 400小时的概率；(2)这种灯泡中，使用寿命最长的占0.13%，这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时？解 (1)P (X ≥1 400)＝1－P (X ＜1 400)＝1－1－P (1 400＜X ＜1 600)2＝1＋0.682 62＝0.841 3. (2)设这部分灯泡的使用寿命至少为x 0小时，则x 0＞1 500，则P (X ≥x 0)＝0.13%，P (X －1 500≥x 0－1 500)＝1－P (|X －1 500 ＜x 0－1 500)2＝0.13%， P (|X －1 500|＜x 0－1 500)＝1－0.26%＝0.997 4，所以x 0－1 500＝300，x 0＝1 800(小时)．。
高中数学苏教版选修2-3教案：2.6 正态分布2
§2.6 正态分布课时目标1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小.3。
会用正态分布去解决实际问题．1．正态密度曲线函数P（x）＝________________________的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参数(σ>0,μ∈R)．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．2．正态密度曲线图象的性质特征(1）当x<μ时,曲线______；当x〉μ时,曲线______；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为________;（2)正态曲线关于直线________对称；（3)σ越大，正态曲线越________；σ越小，正态曲线越________；(4）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为________．3．正态分布若X是一个随机变量,对__________________________________________________________________________________________________________ _________________,我们就称随机变量X服从参数μ和σ2的正态分布，简记为____________．4．3σ原则服从正态分布N（μ,σ2)的随机变量X只取________________之间的值,简称为3σ原则．具体地，随机变量X取值落在区间（μ－σ，μ＋σ）上的概率约为68。
3%.落在区间（μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%.落在区间（μ－3σ,μ＋3σ)上的概率约为99。
7%。
5．标准正态分布在函数P（x)＝错误!e－错误!，x∈R中，μ是随机变量X的________，σ2就是随机变量X的________,它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度．我们将正态分布________称为标准正态分布．通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．一、填空题1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f （x）＝错误!·e－错误!,则这个正态总体的平均数与标准差分别是________，________。
高中数学苏教版选修2-3：2.6 正态分布
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这里遇见你
3．正态分布 若 X 是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a<X≤b)恰好是
正态密度曲线下方和 x 轴上(a，b]上方 所围成的图形的面积，我们 就称随机变量 X 服从参数为 μ 和 σ2的正态分布，简记为 X～N(μ，σ2)．
4．标准正态分布 正态分布 N(0,1) 称为标准正态分布． 5．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为 68.3%；
[答案] ①③⑥⑦
缘分让我在这里遇见你缘分让我在
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[一点通] 解决正态曲线的性质问题，应对正态曲线的简单性 质要熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性，最高点的位置，曲线 左右无限延伸并逐渐降低，要结合正态曲线的图象理解并掌握．
缘分让我在这里遇见你缘分让我在
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3．设两个正态分布 N(μ1，σ21)(σ1＞0)和 N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度 函数图像如图所示．则下列说法正确的是________．
.求该正态分布的概率密度函数的解析式．
解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图
像关于 y 轴对称，即 μ＝0.
由于
1＝ 2πσ
1 ，得 2π·4
σ＝4，
故该正态分布的概率密度函数的解析式是
，x∈(－∞，＋∞).
缘分让我在这里遇见你缘分让我在
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[例 2] 关于正态曲线
，x∈(－∞，＋∞)，
缘分让我在这里遇见你缘分让我在
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[一点通] 由于标准正态分布表是针对 X≥0 设计的，若 X<0， 则须转换再查表，在查表前，可画个草图将所求的概率进行转化， 然后再查表．
苏教版高中数学_选修2-3_ 2.6_ 正态分布__ 作业
2.6 正态分布一、单选题1．正态分布N （1，9）在区间（2，3）和（-1，0）上取值的概率分别为m,n ，则（ ） A.m>n B.m<n C.m=n D.不确定 【答案】C 【解析】由正态分布曲线可知，图象对称轴为1 x ，则区间（2，3）和（-1，0）在对称轴距离相等的两边，由图象对称性可知在两区间内，所发生概率相等.2．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( ) A ．0.32 B ．0.68 C ．0.36 D ．0.64 【答案】C【解析】如图，由正态曲线的对称性可得 .故选C.3．在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩 ， ，若已知 ，则从哈市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于 的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】分析：根据正态分布的对称性求解即可. 详解： ， ，，故选D.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.4．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）． A ． B ． C ． D ．【解析】∵随机变量服从正态分布，，即对称轴是，，∴，∴，∴．故选．5．有下列三个结论：①命题“”的否定是“”；② “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；③随机变量服从正态分布，且，则其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】试题分析：①命题“”的否定是“”；由命题的否定知正确；② “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；错误，时直线与直线也互相垂直；③随机变量服从正态分布，且，，，错误.故选B考点：命题真假的判断6．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．B．C．D．【答案】C试题分析：因为已知随机变量 服从正态分布 ，所以正态曲线关于直线 对称，又 ，所以 ，，故选C ． 考点：正态分布7．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X ≤4)＝0.84，则P (X <0)＝( )． A ．0.68 B ．0.32 C ．0.16 D ．0.84 【答案】C【解析】P (X <0)＝P (X >4)＝1－P (X ≤4)＝0.16.二、填空题8．已知某厂生产一种产品的质量指标值 服从正态分布 ，则从该厂随机抽取的10000件产品中，质量指标值不低于81.91的产品约有_______件．附： 【答案】1587【解析】分析：由 服从正态分布 ，可得 ，根据正态曲线的性质可得结果.详解： 服从正态分布 ， ，，件产品中，质量指标值不低于 的产品约有 件,故答案为 .点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.9．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()020.3P X ≤≤=，则(4)P X >=__________． 【答案】0.2【解析】()()24020.3P X P X ≤≤=≤≤=,所以()()40.5240.2P X P X >=-≤≤= 10．当0,1μσ==时，正态曲线为线，且定义00()()x P x x Φ=<，由此得到Φ(0)= . 【答案】0.5 【解析】略三、解答题11．【2018湖北武汉高中毕业生2月调研】从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位： ）落在各个小组的频数分布如下表：．（I ）根据频数分布表，求该产品尺寸落在 ． ， ． 的概率；（II ）求这50件产品尺寸的样本平均数 ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III ）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸 服从正态分布 ， ，其中 近似为样本平均值 ， 近似为样本方差 ，经计算得 ． ．利用该正态分布，求 ． ．附：（I ）若随机变量 服从正态分布 ， ，则． ， ． ； （II ） ． ． ．【答案】（I ）0．16；（II ）22．7；（III ）0．1587． 【解析】试题分析：（I ）由题意可得产品尺寸落在 ． ， ． 内的概率． ．（II ）由平均数公式可得样本平均数为 ． ．（III ）由题意可得 ． ， ． ．则 ． ． ． ． ． ， ． ． ． 试题解析：（I ）根据频数分布表可知，产品尺寸落在 ． ， ． 内的概率． ．（II ）样本平均数． ． ． ． ． ． ． ． ． （III ）依题意 ， ．而 ． ， ． ，则 ． ． ． ． ． ． ． ． ．．． ． ． ． ．12．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位： C ）的数据，如下表：（1）求出y 与x 的回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ～()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数 2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)P X <<.附：①回归方程ˆˆˆybx a =+中， ˆˆˆay bx =-.若X ～()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=. 【答案】（1）0.5612.ˆ92yx =-+（23）0.8185 【解析】试题分析：(1)利用题意结合公式求得ˆˆ,ba ，据此可得回归方程为： y 0.56x 1ˆ 2.92=-+； (2) 由b0.60ˆ5=-<知y 与x 之间是负相关，可预测该店当日的销售量y0.56x 12.929.56ˆ=-+= (千克) (3)由题意可得： P(3.8X 13.4)P(μσX μ2σ)<<=-<<+ 0.8185=. 试题解析： 解：(1) ∵令5n =,∴()90.56712.ˆ92ˆˆay bx =-=--⨯=（或者： ∴所求的回归方程是0.5612.ˆ92yx =-+ (2) 由0.560ˆb=-<知y 与x 之间是负相关， 将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.5612.929ˆ.56yx =-+= (千克)（或者： (3)由(1)知，又由得 3.2σ=从而(3.813.4)(2)P X P X μσμσ<<=-<<+ .()(2)P X P X μσμμμσ=-<<+<<+0.8185=点睛：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.13．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，则成绩不及格的人数占多少？【答案】15.87%【解析】试题分析：设学生的得分情况为随机变量，根据题目已知条件可得，根据正态曲线关于对称知，不及格的学生的比，据此计算可得结果.试题解析：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10.∵P(60<X≤80)＝P(70－10<X≤70＋10)＝0.6826.∴P(X<60)＝ [1－P(60<X≤80)]＝×(1－0.682 6)＝0.1587.即不及格学生占15.87%.视频。
高中数学2.6正态分布教案苏教版选修2-3
2.6 正态分布教学目标（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（3）会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X在某一个范围内的概率．教学重点，难点（1）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（2）求满足标准正态分布的随机变量X在某一个范围内的概率．教学过程一．问题情境1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；回顾曲边梯形的面积()baS f x dx=⎰的意义．2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm）：175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182上述数据的分布有怎样的特点？二．学生活动为了研究身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图．第一步对数据分组（取组距4d=）；第二步列出频数（或频率）分布表；第三步作出频率分布直方图，如图2-6-2．由图2-6-2可以看出，上述数据的分布呈“中间高，两边底，左、右大致对称”的特点．可以设想，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．再观察此概率密度曲线的特征．三．建构数学1． 正态密度曲线：函数22()2(),x P x x Rμσ--=∈的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参数（ 0σ>，R μ∈）．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．2．正态密度曲线图象的性质特征：（1）当x μ<时，曲线上升；当x μ>时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x 轴为渐进线；（2）正态曲线关于直线x μ=对称；（3）σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；（4）在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1．3．正态分布：若X 是一个随机变量，对任给区间(,],()a b P a x b <≤恰好是正态密度曲线下方和X 轴上(,]a b 上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为2~(,)X N μσ． 4． 正态总体在三个特殊区间内取得的概率值：具体地，如图所示，随机变量X 取值（1）落在区间(,)μσμσ-+上的概率约为0068.3，即()0.683P X μσμσ-<≤+=；（2）落在区间(2,2)μσμσ-+上的概率约为0095.4，即(22)0.954P X μσμσ-<≤+=；（3）落在区间(3,3)μσμσ-+上的概率约为0099.7，即(33)0.997P X μσμσ-<≤+=．5． 3σ原则： 服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称为3σ原则．6．标准正态分布：事实上，μ就是随机变量X 的均值，2σ就是随机变量X 的方差，它们分别反映X 取值的平均大小和稳定程度．我们将正态分布(0,1)N 称为标准正态分布．通过查标准正态分布表（见附表1）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．7．非标准正态分布转化为标准正态分布：非标准正态分布2(,)X N μσ 可通过X z μσ-=转化为标准正态分布(0,1)z N ．四．数学运用1．例题：例1．一台机床生产一种尺寸为10mm 的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm ）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y 服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式． 解：由题意得1(10.210.1109.89.910.39.7109.910.1)1010μ=+++++++++=， 22222221[(10.210)(10.110)(1010)(9.810)(9.910)(10.310)10σ=-+-+-+-+-+- 2222(9.710)(1010)(9.910)(10.110)]0.03+-+-+-+-=，即10μ=，20.03σ=． 所以Y的概率密度函数为250(10)3(),xP x x R --=∈．例2．若随机变量~(0,1)Z N ，查标准正态分布表，求：（1）( 1.52)P Z ≤；（2）( 1.52)P Z >；（3）(0.57 2.3)P x <≤；（4）( 1.49)P Z ≤-．解：（1）( 1.52)0.9357P Z ≤=．（2）( 1.52)1( 1.52)P Z P Z >=-≤10.93570.0643=-=．（3）(0.57 2.3)( 2.3)(0.57)0.98930.71570.2736P x P Z P Z <≤=≤-≤=-=；（4）( 1.49)( 1.49)P Z P Z ≤-=≥1( 1.49)10.9319P Z =-≤=-0.0681=．例3．在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即(90,100)X N ．试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？解： 法一（将非标准正态分布转化为标准正态分布）： 70909011090(70110)()(22)(2)(2)101010X P X P P Z P Z P Z ---<<=<<=-<<=≤-≤- [](2)1(2)2(2)120.977210.95440.954P Z P Z PZ =≤--≤=≤-=⨯-=≈．法二（3σ原则）：因为(90,100)X N ，所以90,10μσ===．由于正态变量在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率是0.954，而该正态分布 29021070μσ-=-⨯=，290210110μσ+=+⨯=，所以考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率就是0.954．2．练习：课本77P 练习 第1，2题．五．回顾小结：1．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；2．正态总体在三个特殊区间内取得的概率值；3．求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率的方法．六．课外作业：课本78P 习题2．6 第1，2，3，4题．。
苏教版数学高二- 选修2-3导学案 2.6《正态分布》
2.6 正态分布 导学案一、学习目标（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（3）会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率．二、学习重难点（1） 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（2） 求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率．三、学习过程 一、问题情境1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；回顾曲边梯形的面积()baS f x dx =⎰的意义．2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm ）： 164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178 164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181 181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174 159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172 163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171 185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172 179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182 上述数据的分布有怎样的特点？二、学生活动为了研究身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图． 第一步 ； 第二步 ；第三步三．建构数学1． 正态密度曲线：函数22()2(),2x P x x R μσπσ--=∈的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参数（0σ>，R μ∈）。
不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线． 2．正态密度曲线图象的性质特征：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．正态分布：若X 是一个随机变量，对任给区间(,],()a b P a x b <≤恰好是正态密度曲线下方和X 轴上(,]a b 上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为2~(,)X N μσ．4． 正态总体在三个特殊区间内取得的概率值： 具体地，如图所示，随机变量X 取值 （1）落在区间(,)μσμσ-+上的概率约为0068.3，即()0.683P X μσμσ-<≤+=；（2）落在区间(2,2)μσμσ-+上的概率约为0095.4，即 ； （3）落在区间(3,3)μσμσ-+上的概率约为0099.7，即 ； 5． 3σ原则： 服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称为3σ原则．6．标准正态分布：事实上，μ就是随机变量X 的均值，2σ就是随机变量X 的方差，它们分别反映X 取值的平均大小和稳定程度．我们将正态分布(0,1)N 称为标准正态分布．通过查标准正态分布表（见附表1）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．7．非标准正态分布转化为标准正态分布： 非标准正态分布2(,)XN μσ可通过X z μσ-=转化为标准正态分布(0,1)z N ．四．数学运用1．例题：例1．若随机变量~(0,1)Z N ，查标准正态分布表，求： （1）( 1.52)P Z ≤； （2）( 1.52)P Z >； （3）(0.57 2.3)P x <≤； （4）( 1.49)P Z ≤-．例2．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即~(90,100)N ξ．试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？2．练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~ 2(100,5)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）A. (90,110]B. (95,125]C. (100,120]D.(105,115] 2、已知X~N (0,1)，则X 在区间 (,2)-∞- 内取值的概率等于（ ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02283、设离散型随机变量X~N(0,1),则(0)P X ≤ ＝ ;(22)P X -<< .4、若已知正态总体落在区间 (0.3,)+∞的概率为0.5，则相应的正态曲线在x= 时达到最高点。
高中数学苏教版选修2-3：2.6 正态分布
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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体健康，学业有成，金榜题名！
[思路点拨] 根据正态分布曲线的性质可直接判断． [精解详析] 根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲 线是一条关于直线 x＝μ 对称，在 x＝μ 处于最高点并由该点向左、 右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于 x 轴的上方， 曲线形状由 σ 决定，而且当 μ 一定时，比较若干个不同的 σ 对应 的正态曲线，可以发现 σ 越大，曲线越“扁平”，σ 越小，曲线越 “尖陡”．故①③⑥⑦正确．
②正态密度曲线关于直线 x＝σ 对称；
③正态密度曲线与 x 轴一定不相交；
④正态密度曲线与 x 轴一定相交；
⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；
⑥曲线对称轴由 μ 确定，曲线的形状由 σ 决定；
⑦当 μ 一定时，σ 越大，曲线越“扁平”，σ 越小，曲线越“尖陡”．
其中正确的是________(填序号)．
(1)
，μ，σ(σ>0)都是实数
(2)
(3)
(4)
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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体健康，学业有成，金榜题名！
解析：本题考查正态密度函数，可对照
f(x)＝
，
其中指数部分的 σ 应与系数的分母处的 σ 保持一致，系数为
正数且指数为负数．
(1)有两处错误，分别是 2π·σ 错为 2πσ，指数错为正数．(3)
轴及最大值，然后结合
可知 μ 及 σ 的值．
[精解详析] 从给出的正态密度曲线可知，该正态密度曲线关
于直线
x＝20
对称，最大值是 2
1 ，所以 π
μ＝20.
1＝ 2π·σ 2
1 ，解得 π
σ＝
苏教版高中数学选修2-32.6 正态分布课时作业
2.6正态分布一、填空题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为________．2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，(X<4)＝0.84，则(X≤0)＝________. 3．如图所示的是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是________．(填序号)①σ1>1>σ2>σ3>0②0<σ1<σ2<1<σ3③σ1>σ2>1>σ3>0④0<σ1<σ2＝1<σ34．若随机变量X的密度函数为f(x)＝12π22x-，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为1，2，则1，2的关系为________．5．对于总体密度曲线是函数f(x)＝12πσ22()2xμσ－－，x∈R的图象的正态总体有以下问题：①正态曲线关于直线x＝μ对称；②正态曲线关于直线x＝σ对称；③正态曲线与x轴一定不相交；④正态曲线与x轴一定相交，其正确的命题是________．6．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且(ξ<4)＝0.8，则(0<ξ<2)＝________.7．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若(ξ＞＋1)＝(ξ＜－1)，则的值为________．8．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若(ξ>3)＝(ξ＜－1)，则(ξ)＝________.9．据抽样统计显示，在某市的公务员考试，考生的综合评分X服从正态分布N(60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生的名次是第________名．10．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．二、解答题11．已知随机变量X N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且(72<X<88)＝0.683.(1)求参数μ，σ的值；(2)求(64＜X≤72)．12.一台机床生产一种尺寸为10 的零件，现在从抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：)：10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求η的正态分布密度函数．13．从某企业生产的某种产品抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2(同一组的数据用该组区间的点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N(μ，σ2)，其μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差2.①利用该正态分布，求(187.8<<212.2) ；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品质量指标值位于区间(187.8, 212.2)的产品件数，利用①的结果，求(X)．附：150≈12.2.答案精析1．0解析均值即为其对称轴，∴μ＝0.解析 由X N (2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x ＝2，则 (X ≤0)＝ (X ≥4)＝1－ (X <4)＝1－0.84＝0.16.3．④解析 当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f (x )＝12π －x 22在x ＝0处取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．4． 1＝ 2解析 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以 1＝ 2.5．①③解析 利用正态函数图象的基本特征判断．6．0.3解析 ∵ (ξ<4)＝0.8，∴ (ξ≥4)＝0.2.由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，(ξ≤0)＝ (ξ≥4)＝0.2，∴ (0<ξ<4)＝1－ (ξ≤0)－ (ξ≥4)＝0.6.∴ (0<ξ<2)＝12(0<ξ<4)＝0.3. 7．2解析 ∵ ＋1与 －1关于ξ＝2对称，∴(c ＋1)＋(c －1)2＝2，∴ ＝2. 8．1解析 根据题意ξ N (μ，σ2)，∴μ＝3＋(－1)2＝1，∴ (ξ)＝μ＝1.解析 依题意， (60－20<x <60＋20)＝0.954，(X >80)＝12(1－0.954)＝0.023，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.023＝230(人)．所以该生的综合成绩在所有考生 的名次是第231名．10.38解析 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ， ，显然(A )＝ (B )＝ ( )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB ) ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率＝⎝⎛⎭⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.11．解 (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又 (72<x <88)＝0.683.结合 (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，可知σ＝8.(2)因为 (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝ (64<X <96)＝0.954.又因为 (X ≤64)＝ (X >96)，所以 (X ≤64)＝12(1－0.954)＝12×0.046＝0.023.所以 (X >64)＝0.977.又 (X ≤72)＝12 1－ (72<X <88)＝12×(1－0.683)＝0.158 5，所以 (X >72)＝0.841 5，(64<X ≤72)＝ (X >64)－ (X >72)＝0.135 5.12．解 依题意得μ＝110(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10.σ2＝110(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＝0.03.即μ＝10，σ2＝0.03.所以η的正态分布密度函数为f(x)＝106π·－50(x－10)23.13．解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，N(200,150)，从而(187.8<<212.2)＝(200－12.2<＜200＋12.2)＝0.683.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.683，依题意知X B(100，0.683)，所以(X)＝100×0.683＝68.3.。
数学选修2-3课后训练：2.6 正态分布 含解析 精品
2.6 正态分布练习1．在某市日前进行的2009年高三第二次模拟考试中，参加考试的2 000名理科学生的数学成绩在90～110分的人数为800人，统计结果显示，理科学生的数学成绩服从正态分布N(90，σ2)，则2 000名理科学生的数学成绩不低于110分的人数是__________．2．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ＞2)等于__________．3．若随机变量ξ～N(2,100)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于__________．4．某实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有__________人．5．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝__________.6．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为__________．7．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为__________．8．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，.求该正态分布的概率密度函数的解析式．9．设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，求c的值．10．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1 200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？参考答案1.答案：200解析：由2 000名理科学生的数学成绩在90～110分的人数为800人，得P(90≤ξ＜110)＝8002000＝25.又考试成绩服从正态分布N(90，σ2)，所以P(ξ≥110)＝1212510-=，故相应人数为200人．2.答案：0.1解析：由正态分布曲线的性质知P(0≤ξ≤2)＝0.4，∴P(－2≤ξ≤2)＝0.8.∴P(ξ＞2)＝12×(1－0.8)＝0.1.3.答案：2解析：由于ξ的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2.∴k＝2.4.答案：100解析：因为成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，正态密度曲线的图象关于x＝100对称，故成绩在100分到120分之间的人数也约占总人数的13，成绩低于80分和高于120分的各占一半，即占总人数的16，因此成绩不低于120分的学生约有600×16＝100(人)．5.答案：0.954解析：∵P(ξ＞2)＝0.023，∴P(ξ＜－2)＝0.023，故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝0.954.6.答案：1解析：正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1.7.答案：(24.94,25.06)解析：因为正态总体的数据在区间(25－2×0.03,25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．8.解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y轴对称，即μ＝0.=，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是232()xP x-=，x∈(－∞，＋∞)．9.解：由ξ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x=2对称(如图所示)，又P(ξ＞c+1)=P(ξ＜c－1)，故有2－(c－1)=(c+1)－2，所以c=2.10.解：设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500,202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.997，该区间即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有 1 200×(1－0.997)＝1 200×0.003≈4(人)．。
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第2章 2.6 正态分布 Word版含答案
正态分布．了解正态密度曲线及正态分布的概念，认识正态密度曲线的特征．(重点、难点)．会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率，会用正态分布解决实际问题．(重点)[基础·初探]教材整理正态密度曲线阅读教材～第三自然段，完成下列问题．．正态密度曲线的函数表达式是()＝－，∈，这里有两个参数μ和σ，其中μ是随机变量的均值，σ是随机变量的方差，且σ>，μ∈.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．．正态密度曲线图象具有如下特征：()当<μ时，曲线上升；当>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以轴为渐近线；()正态曲线关于直线＝μ对称；()σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；()在正态曲线下方和轴上方范围内的区域面积为.．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( ) ()服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( )()正态曲线是一条钟形曲线．( )()离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．( )【解析】()×因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．()√因为离散型随机变量最多取有限个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．()√由正态分布曲线的形状可知该说法正确．()×因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．【答案】()×()√()√()×．把一条正态曲线沿着横轴方向向右移动个单位，得到一条新的曲线，下列说法中不正确的是．(填序号)①曲线仍然是正态曲线；②曲线和曲线的最高点的纵坐标相等；③以曲线为正态分布的总体的方差比以曲线为正态分布的总体的方差大；④以曲线为正态分布的总体的均值比以曲线为正态分布的总体的均值大.【解析】正态曲线向右平移个单位，σ不发生变化，故③错误．【答案】③教材整理正态分布阅读教材第四自然段～部分，完成下列问题．．正态分布：若是一个随机变量，则对任给区间(，]，(<≤)恰好是正态密度曲线下方和轴上(，]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量服从参数为μ和σ的正态分布，简记为～(μ，σ)．()称为标准正态分布．．正态变量在三个特殊区间内取值的概率若～(μ，σ)时，()落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为，()落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为，()落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为.由于落在(μ－σ，μ＋σ)内的概率为，落在该区间之外的概率仅为，属小概率事件，因而认为极大可能取(μ－σ，μ＋σ)内的值．．中心极限定理在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．。
数学苏教版选修2-3课后导练：2.6 正态分布含解析
课后导练基础达标若设随机变量ξ～N(μ，σ2),且P(ξ≤c）=P(ξ>c），则c的值为（）A.0B.μC。
-μD.σ解析：由正态曲线，知曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称，其概率为图象与x轴以及垂直于x轴的直线所围成的图形的面积,则有c=μ，答案为B.答案:B2。
利用标准正态分布表，求标准正态总体N（0，1)在（-0。
5,1。
5）内取值的概率( ）A。
0。
624 7 B。
0。
375 3 C。
0。
246 7 D。
1解析：P（—0。
5<x〈1。
5)=Φ（1.5）-Φ（—0。
5）=Φ(1。
5）-［1—Φ（0。
5）]=Φ(1。
5）+Φ（0。
5)-1=0.933 2+0.691 5—1=0.624 7.故选A。
答案:A3.若随机变量X~N（5，22)，则P（3<X≤7)=________，P（X≤3）=_________,P(X〉7)=___________。
解析:∵P(μ-σ<X≤μ+σ）=0.682 6,P(3〈X≤7）=P(5-2〈X≤5+2)=0。
682 6,结合图象P(X≤3）=P(X>7）,P（X≤3）=P（X〉7）=1[1-P(3〈X≤7)]2=0。
157 7。
答案:0.682 6 0.157 7 0.157 74.灯泡厂生产的白炽灯泡寿命为ξ（单位：小时）,已知ξ～N （1 000,302）,要使灯泡的平均寿命为1 000小时的概率不小于99。
7%,应将灯泡的寿命控制在多少小时以上?解析:∵ξ～~N (1 000，302），∴ξ在（1 000-3×30,1 000+3×30）,即(910，1 090）内取值的概率为0。
997,故应将灯泡的寿命控制在910小时以上.5.某中学高考数学成绩近似地服从正态分布N （100,102),求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比.解析：P （X 〉120）=1-P (X ≤120)=1—［P (80≤X ≤120)+P （X <80)]，又P (X >120)=P （X 〈80)，∴P (X 〉120)=21［1—P （80≤X ≤120)］= 21 （1—0。
苏教版高中数学选修2-3__2.6_ 正态分布_ 作业
2.6 正态分布一、单选题 1．若()2,X N μσ~，()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，若()10,4Z N ~，则()6P Z <=（ ）A ．0.3174B ．0.1587C ．0.0456D ．0.0228 【答案】D 【解析】随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，()220.9544P X μσμσ-<<+=， ()10,4Z N ~， ()6140.9544P X ∴<<=，10,2μσ==，所以 D. 2．设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=,则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10 【答案】B【解析】由正态密度函数的定义可知,总体的均值10μ=，方差24σ=，即2σ=.故选B .3．已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，且(P 4)0.8ξ<=，则(P 02)ξ<<=（ ）A 、6.0B 、4.0C 、3.0D 、2.0 【答案】C 【解析】试题分析：因为(P 4)0.8ξ<=，所以(P 0.3)42=<<ξ，由正态分布曲线的对称性知：(P 02)ξ<<=3.0。
考点：正态分布。
点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题。
4．已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.4 【答案】A 【解析】试题分析：随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，∴曲线关于1x =对称，∴(01)(12)0.4P P ξξ<<=<<=，∴(02)2(01)0.8P P ξξ<<=<<=，故选：A ． 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．5．甲、乙两类水果的质量（单位： kg ）分别服从正态分布()()221122,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量1=0.4kg μB ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D【解析】由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，∴μ1=0.4,μ2=0.8，故A 正确，C 正确， ∵甲图象比乙图象更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确； ∵乙图象的最大值为1.99,∴δ2≠1.99，故D 错误。
苏教版数学高二-选修2-3试题 2.6正态分布
2.6 正态分布一、填空题1．若P(x)＝12πe－（x－1）22(x∈R)，则下列判断正确的是________．①有最大值，也有最小值；②有最大值，无最小值；③无最大值，有最小值；④无最大值，也无最小值．【解析】这是当μ＝1，σ＝1时的正态分布密度函数，所以其在x＝1时取得最大值，无最小值．【答案】②2．如图2－6－3所示的是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3按从小到大的顺序排列是________．图2－6－3【解析】图象越陡峭的，概率分布越集中，σ越小，故σ1<σ2<σ3.【答案】σ1<σ2<σ33．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________．【解析】由对称性，P(X≤μ)＝1 2.【答案】1 24．已知随机变量X～N(2.5，0.12)，则X落在区间(2.4，2.6)中的概率是________．【解析】P(2.4<X<2.6)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683.【答案】0.6835．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ 在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为________．【解析】由对称性知，P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8.【答案】 0.86．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．【解析】 由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝μ＝10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，即P(10≤ξ≤11)＝0.2，又P(ξ≥10)＝0.5，∴P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.【答案】 0.37．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于________．【解析】 ∵最高点为(10，12)，∴12πσ＝12，∴σ2＝2π，即V(X)＝2π. 【答案】 2π8．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩X 服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的人数所占的百分比约为________．【解析】 根据正态分布参数的意义，可知正态密度曲线关于直线x ＝90对称，由60分以下的人数占10%可知120分以上的人数占10%，所以60分至120分之间的人数占80%，故90分至120分之间的人数占40%.【答案】 40%二、解答题9．若随机变量ξ～N(0，1)，查标准正态分布表，求：(1)P(ξ≤1.24)；(2)P(ξ>2.35)；(3)P(ξ<－1.24)；(4)P(|ξ|<1.54)．【解】 (1)P(ξ≤1.24)＝0.892 5；(2)P(ξ>2.35)＝1－P(ξ≤2.35)＝1－0.990 6＝0.009 4；(3)P(ξ<－1.24)＝P(ξ>1.24)＝1－P(ξ≤1.24)＝1－0.892 5＝0.107 5；(4)P(|ξ|＜1.54)＝P(－1.54<ξ<1.54)＝P(ξ<1.54)－P(ξ≤－1.54)＝2P(ξ<1.54)－1＝2×0.938 2－1＝0.876 4.10．一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布，其中μ＝8，σ＝0.2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长度不到7 m ．这时，他应该让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋，还是让钢筋工停止加工，检查钢筋切割机？【解】 设这批钢筋的长度为X m ，则X ～N(8，0.22)，所以钢筋长度在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，即在区间(7.4，8.6)内的概率为0.997，而质检员在检查时发现有的钢筋长度不到7 m ，即出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为钢筋切割机出现了问题，应停工检查．11．若某省2014年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500，1002)，现有考生75 000名，计划招生30 000名，试估计录取分数线．【解】 设录取分数线为μ，则分数超过μ的概率为录取率．即P(ξ≥μ)＝30 000750 000＝0.4. ∵ξ～N(500，1002)，∴P(ξ≥μ)＝P(ξ－500100≥μ－500100) ＝1－P(ξ－500100<μ－500100) ＝0.4.∴P(ξ－500100<μ－500100)＝0.6. 查标准正态分布表可得μ－500100≈0.25. ∴μ＝525.∴可以估计录取分数线为525分．。
苏教版高中数学选修2-3 2.6 正态分布课时作业
2.6 正态分布一、基础达标1.已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线 (x )在x ＝________时达到最高点.2.已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2).若 (ξ>2)＝0.023，则 (－2≤ξ≤2)等于________.3.设随机变量X 服从正态分布，且相应的正态密度函数为 (x )＝16π－x 2－4x ＋46，则μ＝________，σ＝________.4.若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于________.5.已知随机变量x N (2，σ2)，若 (x <a )＝0.32，则 (a ≤x <4－a )＝________.6.对于标准正态分布N (0,1)的正态密度函数 (x )＝12π· －x 22，下列说法正确的有__________(只填序号).① (x )为偶函数；② (x )的最大值是12π； ③ (x )在x >0时是单调递减函数，在x ≤0时是单调递增函数；④ (x )关于x ＝1对称.7.已知某种零件的尺寸X (单位： )服从正态分布，其正态分布曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且 (80)＝182π. (1)求正态分布的正态密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72 88 (不包括72 及88 )间的零件大约占总数的百分比.二、能力提升8.设X N(0,1).①(－ε<X<0)＝(0<X<ε)；②(X<0)＝0.5；③已知(－1<X<1)＝0.683，则(X<－1)＝0.1585；④已知(－2<X<2)＝0.954，则(X<2)＝0.977；⑤已知(－3<X<3)＝0.997，则(X<3)＝0.9985.其正确的有____________(只填序号).9.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且(ξ<4)＝0.8，则(0<ξ<2)等于________.10.为了了解某地区高三男生的身体发状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X( g)服从正态分布N(μ，22)，且正态密度曲线如图所示，若体重大于58.5 g小于62.5 g属于正常情况，则这1000名男生属于正常情况的人数约为________.11.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2).若(ξ>2)＝0.023，则(－2≤ξ≤2)等于________.12.一台机床生产一种尺寸为10 的零件，现在从抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：)：10.2，10.1，10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求η的正态密度函数.三、探究与创新13.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0.(1)求0的值；(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2 400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？答案精析1.0.2解析 由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x ＝0.2时，正态曲线 (x )达到最高点.2.0.954解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于直线x ＝0对称.又 (ξ>2)＝0.023，∴ (ξ<－2)＝0.023，∴ (－2≤ξ≤2)＝1－ (ξ>2)－ (ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954.3.2 3解析 由 (x )＝12π×3 －(x －2)22(3)2，得μ＝2，σ＝ 3. 4.2π解析 由正态分布密度曲线上的最高点为(10，12)知12π·σ＝12，∴V (X )＝σ2＝2π. 5.0.36解析 由正态分布图象的对称性可得：(a ≤x <4－a )＝1－2 (x <a )＝0.36.6.①②③7.解 (1)∵正态密度曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数.∴正态分布曲线关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处达到峰值，∴μ＝80.又12πσ＝182π，∴σ＝8，故正态分布的正态密度函数的解析式为(x )＝182π－(x －80)2128. (2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.∴零件的尺寸X 位于区间(72,88)内的概率为0.683.故尺寸在72 88 (不包括72 及88 )间的零件大约占总数的68.3 .8.①②③④⑤解析 正态曲线关于y 轴对称，故①②正确.对于③， (X <－1)＝12(1－ ( X <1))， ＝12(1－0.683)＝0.158 5， 故③正确；对于④， (X <2)＝12(1－ ( X <2))＋ ( X <2) ＝12(1－0.954)＋0.954＝0.977； 故④正确，同理⑤正确.9.0.3解析∵ (ξ<4)＝0.8，∴ (ξ>4)＝0.2.由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，(ξ<0)＝ (ξ>4)＝0.2，∴ (0<ξ<4)＝1－ (ξ<0)－ (ξ>4)＝0.6.∴ (0<ξ<2)＝12(0<ξ<4)＝0.3. 10.683解析 依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故 (58.5<X <62.5)＝ (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，从而属于正常情况的人数为1 000×0.683＝683.11.解 依题意得μ＝110(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10. σ2＝110(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2 ＝0.03.即μ＝10，σ2＝0.03.所以η的正态分布密度函数为 (x )＝106π· －50(x －10)23. 12.0.954解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于直线x ＝0对称.又 (ξ>2)＝0.023，∴ (ξ<－2)＝0.023，∴ (－2≤ξ≤2)＝1－ (ξ>2)－ (ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954.13.解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50， (700＜X ＜900)＝0.954.由正态分布的对称性，可得0＝ (X ≤900)＝ (X ＜800)＋ (800＜X ＜900) ＝12＋12(700＜X ≤900)＝0.977. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y . 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7， (X ≤36x ＋60y )≥ 0.由(1)知， 0＝ (X ≤900)，故 (X ≤36x ＋60y )≥ 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数 ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y . 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 (5,12)，Q (7,14)，R (15,6).由图可知，当直线 ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点 时，直线 ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z 2 400最小，即 取得最小值. 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.。
苏教高一下数学选修2-3 第二章 2.6正态分布 练习题课件
A．0.86
B．0.64
C．0.36
D．0.14
解析 因为学生成绩X服从正态分布N(105，100)，所以P(X>105)＝0.5. 因为P(90≤X<105)＝0.36，所以P(105<X≤120)＝P(90≤X<105)＝0.36，所以P(X>120)＝
0.5－P(105<X≤120)＝0.5－0.36＝0.14，故选D.
2.6 正态分布
题型3 正态分布的应用
解
刷基础
2.6 正态分布
易错点 错用正态曲线的对称性
刷易错
10．若随机变量X服从正态分布N(0，1)，且P(X≤1)＝0.841 3，求P(－1<X≤0)．
解 因为P(X≤1)＝0.841 3， 所以P(X>1)＝1－0.841 3＝0.158 7， 所以P(X≤－1)＝0.158 7， 所以P(－1<X≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.
刷基础
2．[贵州思南中学2019高二月考]已知三个正态分布密度函数
的图像如图所示，则( D ) A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
(x∈R, i＝1，2，3)
解析 正态分布密度函数为 ∵正态曲线关于直线x＝μi对称， ∴μ1<μ2＝μ3. ∵σ越小曲线越“瘦高”，
Байду номын сангаас
2.6 正态分布
刷基础
题型3 正态分布的应用
9．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件 ．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的茎叶图如图所示(单位： μm)．
苏教版高中数学 选修2-32.6_ 正态分布_ 作业
2.6 正态分布一、单选题1．随机变量X 服从正态分布N(0,1)，若X 落在区间（-2，-1）和（1，2）上取值的概率分别为p 1、p 2,则A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1=p 2D ．不确定【答案】C【解析】2．已知随机变量X 服从正态分布 ， ，则 ( )A ．0.89B ．0.22C ．0.11D ．0.78【答案】C【解析】【分析】由随机变量 服从正态分布 ，可得这组数据对应的正态曲线的对称轴 ，利用正态曲线的对称性，即可得到结论.【详解】随机变量 服从正态分布 ，这组数据对应的正态曲线的对称轴 ，，，，，故选C.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.3．已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且(0)0.1P X ≤=，则(12)P X ≤≤=（ ） A.0.1 B.0.4 C.0.6 D.0.9【答案】B【解析】试题分析：随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，∴曲线关于1x =对称，∴(2)(0)0.1>=≤=，故选：B．P X P X考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．4．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.A．1 193B．1 359C．2 718D．3 413【答案】B【解析】正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]= ×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．点睛：正态曲线的性质：（1）曲线在轴的上方，与轴不相交 .（2）曲线是单峰的，它关于直线=μ对称（由得）（3）曲线在=μ处达到峰值（4）曲线与轴之间的面积为15．若随机变量服从分布～，且，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设 ，则 ，根据对称性， ， 则 ，即 ，故 故选：B ．6．某地市高二理科学生有 名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，若按成绩分层抽样的方式取 份试卷进行分析，则应从 分以上的试卷中抽取( )A ． 份B ． 份C ． 份D ． 份【答案】B【解析】因为 ， ，所以根据分层抽样，选B.7．随机变量X 服从正态分布()23,σ,且()40.84P X ≤=,则(24)P X <<=A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84【答案】C【解析】由题()(4)1410.840.16P x P x >=-≤=-=,又随机变量X 服从正态分布()23,σ，则对称轴3X =，则(2)(4)0.16P x P x <=>=，可得()(24)4(2)0.840.160.68P x P x P x <<=≤-<=-=．故本题答案选C ．二、填空题8．某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布 ， ,已知 ，估计该班学生数学成绩在120分以上的有______人.【答案】【解析】由题意可知 ，所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为50×0.14=4（人）.故填7.9．若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2),且P(X<1)= ,P(X>2)=0.4,则P(0<X<1)=____.【答案】0.1【解析】【分析】由题意，可得随机变量服从正态分布，再利用正态曲线的对称性，即可求解.【详解】由P(X<1)=知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),∴正态曲线关于直线x=1对称,∵P(X<2)=1-P(X>2)=0.6,∴P(0<X<1)=P(X<2)-P(X<1)=0.6-0.5=0.1.【点睛】本题主要考查了正态分布中概率的计算问题，其中明确正态分布曲线的对称性和概率的计算方法是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10．已知某次数学考试的成绩服从正态分布，则名考生中成绩在分以上的人数为__________．（附：若，则，，）【答案】【解析】分析：由题意首先确定的值，然后结合正态分布的对称性整理计算即可求得最终结果.详解：由已知得，则P(104<X≤120）=P(<X≤)=0.9544，P(X>120）=(1-0.9544）=0.0228，则成绩在120以上的人数为0.0228×10000=228.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.三、解答题11．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？（参考数据：若，则；；）【答案】（1）10000；（2）80【解析】分析：（1）设出参赛人数的分数，根据分数符合正态分布，根据成绩在90分以上（含90分）的学生有13名，列出大于90分的学生的概率，成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的0.0013，列出比例式，得到参赛的总人数．（2）设受奖的学生的分数线为x0．由P（X≥x0）==0.0228<0.5，可得x0>60．进一步得知P（120-x0<X<x0）=1-2P（X≥x0）=0.9544，即可得x0=60+20=80，故受奖学生的分数线是80．详解：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P(X＞90)＝ [1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3∴学生总数为：＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8.设分数线为x.则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.∴x0＝60＋2×10＝80(分)．点晴：正态分布问题，注意三个关键点：（1）对称轴；②标准差；③分布区间。
高中数学苏教版选修2-3教案：2.6正态分布1汇总
正态分布一、教学目标一、知识与技能1、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；2、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.二、过程与方法讲授法与引导发现法.通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成.三、情感态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神.二、教学重点与难点重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义；难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义.三、教学方法讲授法与引导发现法四、教具准备黑板，多媒体，高尔顿试验板五、教学过程设计创设情境学生上台演示高尔顿板试验. 创设情境，为导入新知做准备.学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考.学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的.让学生演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣•让学生体验“正态分布曲线“的生成和发现历程.1.用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律.引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程.通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”,为引入新知搭桥铺路，形成正迁移.建构概念⑴ 将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表.⑵ 以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。
连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图.在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距.教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解.教学环节学生经过回忆，易得：长方形面积代表相应区间内数据的频率.师生互动教学内容设计意图引导学生得到：此 时小球与底部接触时的 坐标X 是一个连续型 随机变量.启发学生回忆：频 率分布直方图中面积对 应频率，不难理解，图 中阴影部分的面积，就 可以看成多个矩形面积 的和，也就是X 落在区 间(a,b ］的频率；再结合 定积分的意义，阴影部 分面积就是正态密度函 数在该区间上的积分 值，这样，概率与积分 间就建立了一个等量关 系.这个步骤实现了 由离散型随机变量到 连续型随机变量的过 渡.通过设疑，引起 学生对问题的深入思 考，加深对定积分几 何意义的理解.直接问X 落在 区间(a,b ］上的概 率，学生不容易反应 过来，改为问面积的 意义后，便于学生理 解该问题.师生互动 设计意图(3)随着试验次数增多，折线图 就越来越接近于一条光滑的曲线.从描述曲线形状的角度自然引入 了正态密度函数的表达式：分析表达式特点： 解析式中前有一个系数 1 ，后面是一个以.2二匚为底数的指数形式，幕(xf)2指数为 一2；_2,解析式中含两个常数二和， 还含有两个参数和 二，分别指总体随机变 量的平均数和标准差， 可用样本平均数和标准 差去估计.与旧教材不同的 是，该处在学生从形 的角度直观认识了正 态曲线之后才给出曲 线对应的表达式，这 样处理能更直观，学 生更易理解正态曲线 的来源.2.继续探究：当我们去掉咼尔顿 板试验最下边的球槽，并沿其底部建 立一个水平坐标轴，其刻度单位为球 槽的宽度，用X 表示落下的小球第- 次与高尔顿板底部接触时的坐标.提出问题：图中阴影部分面积有 什么意义？教学内容建构概念在前面分析的基础上，引出正态分布概念：一般地，如果对于任何实数v,随机变量X满足：P(av X ＜b}=^^x^x,贝V 称X的分布为正态分布，常记作N (比＜i2)如果随机变量X服从正态分布，则记作X〜N(出＜r2).教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法。
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2.6正态分布
双基达标(限时15分钟)
1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝________.
解析由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P(X＜3)＝P(X＞3)＝1 2.
答案1 2
2．若随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则X在区间(－3,3]上取值的概率等于________．
答案0.997
3．设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________．
解析∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是c＋1＋c－1
2＝2，∴c＝2.
答案 2
4．已知X～N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝________.
解析∵P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝0.4，
∴P(X＞2)＝1
2(1－2×0.4)＝0.1.
答案0.1
5．已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．
解析由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x＝0.2时，正态曲线f(x)达到最高点．答案0.2
6．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增
函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝
1 82π
.
(1)求正态分布密度函数的解析式；
(2)估计尺寸在72 mm～88 mm之间的零件大约占总数的百分之几．解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，
所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．
因此得μ＝80，
1
2π·σ
＝
1
82π
，所以σ＝8.
故正态分布密度函数的解析式是
(2)由μ＝80，σ＝8，得
μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm～88 mm 间的零件大约占总数的68.26%.
综合提高(限时30分钟)
7．对于正态分布N(0,1)的概率密度函数P(x)＝，有下列四种说法：①
P(x)为偶函数；②P(x)的最大值为1
2π
；③P(x)在x＞0时是单调减函数，在x≤0
时是单调增函数；④P(x)关于σ＝1对称．不正确的是________(填序号)．解析X～N(0,1)，∴曲线的对称轴为x＝μ＝0.
答案④
8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．
解析由已知得μ＝116，σ＝8.
∴P(92＜X≤140)＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，
∴P(X＞140)＝1
2(1－0.997 4)＝0.001 3，
∴成绩在140以上的人数为13.
答案13
9．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是________．
解析 由已知得1
2πσ2＝12π
，
∴σ2＝1.
由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以0＜σ1＜σ2＝1＜σ3.
答案 0＜σ1＜σ2＝1＜σ3
10
．设X ～N (0,1)．
①P (－ε＜X ＜0)＝P (0＜X ＜ε)；
②P (X ＜0)＝0.5；
③已知P (－1＜X ＜1)＝0.682 6，
则P (X ＜－1)＝0.158 7；
④已知P (－2＜X ＜2)＝0.954 4，
则P (X ＜2)＝0.977 2；
⑤已知P (－3＜X ＜3)＝0.997 4，
则P (X ＜3)＝0.998 7.
其中正确的有________(只填序号)．
解析 正态曲线关于y 轴对称，故①②正确．
对于③，P (X ＜－1)＝1
2(1－P (|X |＜1))，
＝1
2(1－0.682 6)＝0.158 7，
故③正确；对于④，P (X ＜2)
＝1
2(1－P (|X |＜2))＋P (|X |＜2)
＝1
2(1－0.954 4)＋0.954 4＝0.977 2；
故④正确，同理⑤正确．
答案 ①②③④⑤
11．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其正态分布密度
函数是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．
(1)(203,215)；(2)(191,227)．
解由于X的正态分布密度函数为
f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，
∴μ＝209，σ＝6.
∴μ－σ＝209－6＝203，μ＋σ＝209＋6＝215.
μ－3σ＝209－6×3＝209－18＝191，
μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18＝227.
因此光通量X的取值在区间(203,215)，(191,227)内的概率应分别是0.682 6和
0.997 4.
(1)于是光通量X在(203,215)范围内的灯泡个数大约是10 000×0.682 6＝6
826.
(2)光通量在(191,227)范围内的灯泡个数大约是10 000×0.997 4＝9 974. 12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
解(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛，
∵X～N(60,100)，∴μ＝60，σ＝10.
∴P(X≥90)＝1
2[1－P(30＜X＜90)]
＝1
2(1－0.997 4)＝0.001 3.
又P(X≥90)＝13
n，∴
13
n＝0.001 3.∴n＝10 000.
故此次参加竞赛的学生总数共有10 000人．(2)设受奖的学生的分数线为x0.
则P (X ≥x 0)＝22810 000＝0.022 8.
∵0.022 8＜0.5，∴x 0＞60.
∴P (120－x 0＜X ＜x 0)＝1－2P (X ≥x 0)＝0.954 4，
∴x 0＝60＋20＝80.故受奖学生的分数线是80分．
13．(创新拓展)已知电灯泡的使用寿命服从正态分布X ～N (1 500，1002)(单位：h)．
(1)购买一个灯泡，求它的使用寿命不小于1 400小时的概率；
(2)这种灯泡中，使用寿命最长的占0.13%，这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时？
解 (1)P (X ≥1 400)＝1－P (X ＜1 400)
＝1－1－P (1 400＜X ＜1 600)2＝1＋0.682 62
＝0.841 3. (2)设这部分灯泡的使用寿命至少为x 0小时，
则x 0＞1 500，则P (X ≥x 0)＝0.13%，
P (X －1 500≥x 0－1 500)
＝1－P (|X －1 500 ＜x 0－1 500)2
＝0.13%， P (|X －1 500|＜x 0－1 500)＝1－0.26%＝0.997 4，
所以x 0－1 500＝300，x 0＝1 800(小时)．。