新增考点 优选法与试验设计初步

优选法与试验设计初步考纲要求：（1）掌握0.618法、分数法及其适用范围，能运用这些方法解决一些简单的实际问题，知道优选法的思想方法；（2）了解斐波那契数列{}n F ，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数 知道1n nF F -和黄金分割的关系； （3）知道对分法、盲人爬山法、和分批试验法，了解目标函数为多峰情况下的处理方法；（4）了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法及其优选的思想方法；（5）了解正交实验的思想和方法，能应用这种方法思考和解决一些简单的实际问题.考点解析：考点1 什么叫做优选法一、要点归纳1. 如果影响试验的某个因素（记为x ）处于某种状态(记为0x x =)时，试验结果最好，那么这种状态（0x x =）就是这个因素（x ）的 .2. 对试验中相关因素的最佳点的选择问题，称为 .3. 利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点，从而解决优选问题的科学试验方法，称为 .4. 优选法是一种旨在 . 在科学试验和生产工艺条件选择中，它可用以合理安排试验，以较少的试验次数找到合理的配方、合适的工艺条件等.它所依据的是 的较快的计算方法.5. 在进行合理的试验安排中，对试验情况的考虑及试验次数的计数，常常用 等计数方法和原理.二、典例解析例1、下列各问题中，不属于优选问题的是（ ）.A 用热水器洗澡时，把开关调到“合适”的位置.B 举重运动员在比赛时，选第一次抓住的重量.C 足球比赛中，上下半场交换场地.D 营养师在调配饮料时，选取合适的“配方”考点2 单峰函数一、要点归纳1. 函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的最大值点(或最小值点)C ，而在最大值点(或最小值点) C 的左侧，函数单调增加(减少)；在C 的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间[],a b 上的 ，其中C 点叫做 ，最大值(或最小值)称为 .2. 单峰函数 连续函数，也 连续函数.3. 如果函数()f x 在区间(),a b 上有唯一的极值点，则()f x 在区间[],a b 上 单峰函数.4. 如果函数()f x 在区间[],a b 上是单调函数，则()f x 在区间[],a b 上是 .5. 若函数()f x 在区间[],a b 上是单峰函数，C 是最佳点，如果在区间[],a b 上任取12,x x ，如果在试验中效果较好的点是1x ，则必有C 和1x 在2x 的 ，若以2x 为分界点，含1x 点的区间范围是函数的一个 .二、典例解析例1、下列函数中：①2()3f x x x =-；②[]()sin2(2,2)f x x x =∈-;③()31()f x x x N =+∈;④3()2f x x x =-其中单峰函数是 .例2、已知32()26f x x x m =-+在区间[]3,2-上是单峰函数，则下列哪个存优范围最小（ ）.A []2,2- .B []1,1- .C 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .D 11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例3、某主要因素对应的目标函数如图所示，若c 是最佳点，则下列说法中正确的是（ ）.A ,d e 都是好点.B 区间[],a d 是一个存优范围.C d 不是好点.D ,a b 是分界点a c d e b例4、已知3221()2323f x x ax a x =-++的定义域是[]0,4 （1）若()f x 的最佳点是3x =，求a 的值；（2）若()f x 是单峰函数，求a 的取值范围.三、达标训练1. 关于单峰函数，有下列说法：①在区间[],a b 上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；②在区间[],a b 上的单调函数不是单峰函数；③区间上[],a b 的单峰函数可以是不连续函数.其中正确的有 .2. 函数()ln(1)1(0)xf x e x x =-+-≥峰值点（即在何处取峰值）是 .3. 已知函数32()331f x x ax x =+++.（1）若()f x 在[)0,+∞上单调，求a 的取值范围；（2）若()()3g x f x x =-在[]1,4-上是单峰函数，求a 的取值范围.考点3 黄金分割法一、要点归纳1. 黄金分割常数用ω表示，其值ω= ，其近似值是 .2. 利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做 ，又叫 .3. 利用黄金分割法寻找最佳点，为了合理地选取实验点，需要注意两点：①每次要进行比较的两个试验点，应关于 .②每次舍去的区间长与舍去前的区间长的比例数大约是 .4. 在原始的因素范围[],a b 上确定第一个试验点1x 的方法是: 1x = ，在此基础上确定第二个试验点2x = ，即这可以概括为“ ”.5. 在确定第n 个试验点n x 时，如果存优区间的好点是m x ，则n x = .6. 精度是反映试验效率的数值，它与 有关，0.618法中n 次试验后的精度n δ= .在达到精度δ条件下的试验的次数n 应满足： .二、典例解析例1、下列关于黄金分割常数ω的说法中： ①152ω-+=；②0.618ω≈；③11ωω=+；④方程210x x +-=的根是ω. 其中正确的是 .变式1： 若直角三角形中一个内角的正弦值是黄金分割常数ω152ω⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，则称这样的 直角三角形为黄金直角三角形.若,,a b c 是黄金直角ABC ∆的三边，且c a b >>.则下列各结论中： ①a c ω=；②b cω=；③2a bc =；④ sin cot A A =. 其中正确的是 . 变式2：如果一个矩形的两边之比是0.618，则称这样的矩形为黄金矩形，已知一个黄金矩 形的一边是1m ，则这个矩形的面积是 2m .( 结果保留两位小数)变式3： 若一个数列{}n a 的前项与后项的比是152ω-+=，称这个数列是黄金数列.设{}n b 是一个黄金数列，且21b =，则下列说法中： ①3512b -=；②{}n b 是等比数列；③312b b b =+；④ 21n n n b b b ++=+. 正确的有 .例2、若试验的因素范围是[]10,100，用黄金分割法来确定试验点，则第一个试验点是（ ）.A 0.618 .B 6.18 .C 61.8 .D 65.6例3、配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10mL 到110mL 之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是（ ）.A 35mL.B 40.9mL .C 33.6mL .D 86.4mL 例4、用0.618法确定试点，则经过5次试验后，存优范围缩小为原来的（ ）.A 0.618 .B 40.618 .C 50.618 .D 60.618三、达标训练1. 用0.618法选取试点，试验区间为[]2,4，若第一个试点1x 处的结果比2x 处好，且12x x >，则第三个试点应选取在 .2. 若某实验的因素范围是[]100,1100，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量.分别以n a 表示第n次试验的加入量（结果都取整数）（1）1a = ；（2）若干次试验后的存优范围包含在区间[]700,750内，则5a = .3. 用黄金分割法对某试验进行优选，要达到精度0.1的要求需要 次试验.4. 配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10mL 到110mL 之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，误差不能超过0.5mL ，则需要做 次试验.（lg 0.6180.209≈-）5. 用0.618法进行优选法时，若某次存优范围[]2,b 上的一个好点是2.382，则b 的值为 .一、要点归纳1. 0.618法不能用于一切优选问题，如某些问题的试验范围是由不连续的点组成，此时一般用 进行优选问题.2. 分数法的基本思想是 来确定第一个试验点的值，后续试点都可以用“ ”的方法来确定.3. 无穷连分数是一个 ，如111111111111ω==++++++ . 4. 斐波那契数列{}n F 的前两项为 ，从第三项起，每一项是其相邻的前两项的和，即： ，其通项公式是 .5. 用分数法安排试点时，若可能的试点总数正好是某一个 ，则前两个试点放在因素范围的和 位置上.若可能的试点总数大于某一个 ，而小于 ，先分析能否减少试点数，把所有可能的试点数减少为 ；如果不能减少，则采取试点范围之外，虚设几个试点，凑成 个试点.6. 在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从 个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是 .7. 在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从个试点中找出最佳点.二、典例解析例1、111123=++ . 变式1：若11429n =+，则n = . 变式2：若11191213n >++，则不等式的解集为 . 变式3：设222,x =+++ 则x = .例2、在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.8,1.2,K K ΩΩ1.8,3,3.5,4,5K K K K K ΩΩΩΩΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第一个试点值的电阻是（ ）.A 0.8K Ω .B 1.8K Ω .C 3K Ω .D 3.5K Ω例3、某试验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法需要从20个试验点中找到最佳点，则需要做试验的次数是 次.三、达标训练1. 下列关于分数法的叙述中：①分数法是用分数值近似代替黄金分割法常数，分数法与0.618法并无其他不同；②分数法在第一个试点确定后，后续试点都可以用“加两头，减中间”的方法来确定；③在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从11n F +-个试点中保证找出最佳点；④在目标函数为单峰的情形，只有安排分数法安排试验，才能通过n 次试验，保证从1n F -个试点中找出最佳点.其中正确的叙述有 .2. 配置某种饮料，需要加入某种配料.经验表明，加入量超过120ml 肯定不好，用120ml 的锥形量杯加入量，该量杯的量程分为12格，每格代表10ml ，若用分数法安排各试验点的测试，则第二次的试点值是 ml.一、要点归纳1. 试验时对每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，这种方法称为 .2. 从试验的效果来看，对分法比0.618法的效果 ，每次可以去掉 存优区间.但并不是所有的试验都可以用对分法，如果每做一次试验，根据结果可以决定 ，就可以用对分法.3. 对分法的操作步骤：第一次在试验因素范围[],a b 的 1x （12a b x +=）处做，然后根据试验结果判断下 次试验的方向，若试验结果表明1x 取小了，那么存优范围是 ；若试验结果表明1x 取大了，那么存优范围是 . 这样，每试验一次，存优范围就 .4. 用对分法寻找最佳点时，n 次试验后的精度为n δ= .二、典例解析例1、有一条1000m 长的输电线路出现了故障，在线路的开始端处有电，在末端处没有电，现在用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在（ ）.A 500m 处 .B 250m 处 .C 750m 处 .D 250m 或750m 处例2、用对分法进行试验时，3次试验后的精度为 .三、达标训练1. 蒸馒头的问题里，当放碱太少时，馒头不好吃，碱放多了也不好吃，要找到合适的放碱量，则采用（ ）好些..A 黄金分割法 .B 分数法 .C 对分法 .D 盲人爬山法2. 用对分法寻找最佳点时，达到精度为0.01的要求需要 次试验. （lg0.50.301≈-）考点6 盲人爬山法一、要点归纳1. 盲人爬山法是一种 的优选法，其依据的原理就是 .2. 盲人爬山法的操作步骤：先找一个起点A (可以根据经验或估计)，在A 点做试验后可以向该因素的减少方向找一点B 做试验，如果好，就 ；如果不好，就往 做试验，这样一步一步地提高.如果增加到E 点，再增加F 点时反而坏了，这时可以从点E 减少增加的步长，如果还是没有E 点好，则 就是该因素的最佳点.3. 盲人爬山法的效果与 关系很大，另外， 对试验效果关系也很大，在实践中往往采用 的办法.二、典例解析例1、关于盲人爬山法，下列说法中，不正确的是（ ）.A 盲人爬山法是一种采用小步调整策略的优选法.B 盲人爬山法的原理就是单峰函数的最佳点与好点在差点的同侧.C 盲人爬山法应用于某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题上.D 盲人爬山法在实践中往往采取“两头大，中间小”，即先在各方向上用大步试探开始例2、小明家安装了太阳能热水器，水管水温最高时可达075C ，安装技术员小刘告诉小明，在使用过程中，先不要直接打开开关，站在淋浴头下洗，这样容易烫伤，最好先根据个人情况调试好开关（开关从左往右表示水温依次加高）至合适的水温，再去冲洗.这种寻找“合适”水温的方法是（ ）.A 黄金分割法 .B 分数法.C 对分法 .D 盲人爬山法考点7 分批试验法一、要点归纳1. 分批试验法是为了 而采用的方法，即把全部试验分 ，一批同时安排 ，同时进行比较，一批一批做下去，直到找出最佳点.2. 分批试验法可分为 和 两种.3. 在均匀分批试验法中，假设每批做2n 个试验.(1) 首先2n 个均分点122,,,n x x x ⋅⋅⋅把试验范围均分为 份，若i x 是好点，则存优范围是 .(2) 再将()11,i i x x -+均分为 份，即将2n 个试验点均匀地安排在 ，在未做过试验的 个分点上再做试验.(3) 如此反复，就能找到最佳点.用这个方法，第一批试验后存优范围为原来的 ，以后每批试验后，存优范围都为前次留下的 .4. 比例分割分批试验法适合 的情形.5. 在比例分割分批试验法中，假设每批做2n 个试验.每批试验个数 试验范围等分数 第一批试验点 图示2 7 3，4 2⨯⨯24 17 5，6，11，12 4⨯⨯4⨯⨯46 31 7，8，15，16，23，24 6⨯⨯6⨯⨯6⨯⨯66. 如果不能确定目标函数是“单峰”还是“多峰”，一般可采用下面两种方法：（1）先不管是“单峰”还是“多峰”，用 去做，找到一个“峰”后， 如果达到预先要求，就先用于生产，以后再找其他更高的“峰”（即 ）.（2）用均匀法做一批试验（试点划分的比例最好按 划分），看它是否有“多峰”现象，如果有，则 ，在 的范围内做试验，把这些“峰”找出来再比较.二、典例解析例1、（1）对试验范围是(0,6)的单因素进行均分分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（ ）.A 2，5 .B 2，4 .C 3，4 .D 4，5变式1：对试验范围是(2,8)的单因素进行均分分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（ ）.A 3，5 .B 4，7 .C 4，6 .D 5，6变式2：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(20,100)，若准备每批做3个试验，则第一批试验点的值应该是 .（2）用均分分批试验法在试验范围(2,8)内安排2个试验点，通过试验结果表明有一个是好点，则试验后的存优范围是原来的（ ）.A 13 .B 23 .C 14 .D 12变式1：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(1,100)，若准备 每批做2个试验，第一批试验后的存优范围是原来的 ，第二批试验后的存优范围是上一批试验后存优范围的 .变式2：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(1,100)，若准备每批做4个试验，第一批试验后的存优范围是原来的 ，第二批试验后的存优范围是上一批试验后存优范围的 .变式3：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(20,100)，若准备每批做3个试验，则第一批试验后的存优范围是原来的 .例2、（1）对试验范围是(0,7)的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点变式1：对试验范围是(1,8)的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（ ）.A 3，6 .B 3，4 .C 4，5 .D 5，6变式2：对试验范围是(2,19)的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做4个试验，则这四个试验点的值分别是（ ）.A 3，4，5，6 .B 9，10，13，14 .C 7，8，11，12 .D 15，16，17，18（2）用比例分割分批试验法在试验范围(2,9)内安排2个试验点：5，6，通过试验结果表明有一个是好点，则试验后的存优范围是原来的（ ）.A 57 .B 47 .C 37 .D 27三、达标训练1. 下列说法中，正确的是（ ）.A 分批试验法因为是分批进行，所以总的试验次数少.B 分批试验法因为是为了减少试验周期，兼顾试验设备、代价等方面，加快试验进度而采用的方法.C 分批试验法中，均匀分批法比比例分割分批法要好.D 分批试验法中，每次的存优范围变化率都相同2. 某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(2,6)，若第一批试验均分4份，取三个试验点，其值分别为 进行试验,若好点值是4，则存优范围是 .3. 某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(2,6)，若每批做2个试验，则从第n 批开始，每批试验后的存优范围是上一批试验后存优范围的12，那么n 的值 为 .4. 对试验范围是(0,7)，采用分批试验法，第一批取的试验点的值是3，4，则这种分批试验法是 .5. 在比例分割分批试验法中，每批安排2n 个试验点，这2n 个试验点可将试验范围等分为n a 份，第一批的试验点的第一个值是n b 开始取，为此教材中给出了具体的表格，表格中只列出了一 部分值：每批试验个数试验范围等分数 第一批试验点 图示 2 7 3，4 2⨯⨯2 417 5，6，11，12 4⨯⨯4⨯⨯4 6 31 7，8，15，16，23，24 6⨯⨯6⨯⨯6⨯⨯6 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅2nn a n b ，1n b +,⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅如：2317,7,a b ==⋅⋅⋅， 则(1)44,a b 的值分别为 ;(2)n a = , n b = .考点8 多因素优选问题一、要点归纳1．在优选问题中，影响试验结果的因素不只一个，而是有多个因素，这就是 .双因素问题是最常见的多因素问题，处理双因素问题，一般采用 来解决.2. 对于双因素的降维法，一般是先 ，对另一个因素进行优选，然后 ， 再对 进行优选，依次继续，直到找到最佳点.3. 处理双因素问题的常见优选方法有 ， ， ， .先用横纵坐标分别表示两个因素，试验的第一步是：先将因素Ⅰ固定 ，对因素Ⅱ进行 ，得到一个最佳点1A .再将因素Ⅱ固定 ，对因素Ⅰ进行单因素优选，得到一个最佳点1B ，然后比较1A 与1B 的试验结果，丢弃平面区域.从第二次试验后开始，存优范围将变为前一次的 .5. 从好点出发法对某一因素进行优选试验时，另一因素 （除第一次外）.若 ，则试验到此结束.6. 平行线法（1）平行线法用于双因素问题中，若一个因素不容易调整，而另一个因素容易调整的情形;（2）步骤：①先将 （记为因素Ⅰ，并用纵坐标表示）固定在因素范围的 处，用 对另一个因素（记为因素Ⅱ，并用横坐标表示）进行优选，得到最值点A ;②然后再将 固定在其因素范围的 处，再用单因素法对 进行优选，得到最值点B .③若点A 比B 点好，则去掉 ；若A 点比B 点差，则去掉 .④然后按 法找出因素Ⅰ的第三好点，对因素Ⅱ进行单因素优选，⋅⋅⋅，如此继续下去，直到找到满意的结果为止.7. 双因素盲人爬山法在试验范围区域上从某点出发，向 四个方向前进一步，如向右前进一步，若得到的点要好，再 前进一步，若不好，则改变前进方向，⋅⋅⋅，若在某处D 的四个方向的点都不比D 好，就认为这个双因素单峰问题的最佳点是 .二、典例解析例1、（1）下列关于纵横对折法和从好点出发法的叙述中，正确的是（ ）.A 两种方法都是处理多因素优选问题的试验方法.B 纵横对折法每次的好点都是在因素范围的中点处.C 从好点出发法主要是对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上（第一次除外）.D 从好点出发法每次丢弃的平面区域比纵横对折法要多，所以试验效果要好（2）右图是一个纵横对折法某次试验后得到两个 因素Ⅱ试验点1A ,1B ，比较试验结果表明1B 比1A 好， 40则存优范围（Ⅰ，Ⅱ分别表示两个因素） 1A是 . 301B20 因素Ⅰ10 15 30例2、右图是某双因素优选试验中的图示，试验好点的生成顺序是1122,,,,A B A B ⋅⋅⋅，则这种试验方法应该是（ ） 时间.A 纵横对折法 10.B 从好点出发法 8.C 平行线法 7.D 盲人爬山法52.2 2.7 33.5压力例3、（1）右图是某双因素试验结果图，则这种方法应该是（ ）.A 纵横对折法 因素Ⅱ.B 从好点出发法 10.3820 1 因素Ⅰ（2）用平行线法进行双因素单峰问题优选时，在用0.618法先固定某因素，然后再对另一因素进行单因素优选，则每次去掉的试验范围区域面积占存优范围区域面积的 （用小数表示）.例4、右图是某双因素单峰函数的优选试验中所用的盲人爬山法的示意图，由此图可知下列说法中： 因素Ⅱ（1）试验表示先从A 点出发；（2）C 点比B 点好，但比D 点差； （3）F 比E 点好，但比D 点差.正确的说法有（ B ）.A 1个 .B 2个.C 3个 .D 0个 因素Ⅰ三、达标训练1. 下列四个优选方法中，哪一个方法不是用于双因素优选法（ ）.A 纵横对折法 .B 对分法 .C 平行线法 .D 盲人爬山法2. 某一平行线法优选问题中的图如右图所示，则图中a = , b = .因素Ⅰ1b0.618a0 1 因素Ⅱ1.下列函数图像不是单峰函数的图像的是（ ）2.下列函数在区间[－2,7]上是单峰函数的是（ ）(A) 32231y x x =++, (B) 221y x x =+- (C) cos y x = (D) 2sin y x x =+.3.下列哪些函数在区间[1,5]上是单峰函数(1) 312y x x =-, (2) 45y x =-- (3) cot 3y x =+ (4) lg y x =.4．黄金分割常数是下列哪一个方程的根(A) 210x x ++=, (B) 210x x -+= (C) 210x x +-= (D) 210x x --=.O Y X O Y X O Y X O YX(A)(B)(C)(D)(A)12, (B) 14 (C) 1 (D) 512-. 6．确定第n 个试点n x 时，存优范围内相应的好点是m x ，那么有(A) n x =小+大—m x , (B) m x =小+大—n x (C) m x =大+小—n x (D) n x =大—小—m x .7．黄金分割常数ω的近似分数列为（ ） 8．在1n F -个试点中，用分数法去找到最佳点只需要的试验次数为().A n ()1B n - ().1C n + ().2D n9．若试验范围是0130mL ，用分数法去找到最佳点，用10mL 、20mL 、30mL 120mL 把试验范围分为13格，则试点12,x x 分别等于（ ）().50,80A ().80,50B ().80,100C ().80,30D10.．调酒师为了调制一种鸡尾酒.每100k 烈性酒中需要加入柠檬汁的量1000g 到2000g 之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量.(1) 写出这个试验的操作流程.(2) 如果加入柠檬汁误差不超出1g ，问需要多少次试验? 11．阿托品是一种抗胆碱药.为了提高产量、降低成本，利用优选法选择合适的脂化工艺条件.根据分析，主要因素为温度与时间，定出其试验范围为 温度：55℃~75℃，时间：30min~210min.用从好点出发法对工艺条件进行优选:参照生产条件，先固定温度为55℃,用单因素法优选时间，得最优时间为A ：150min ，再固定时间为150min ，用单因素法优选温度，得最优温度为B ：67℃，再固定温度为67℃，用单因素法再优选时间，得最优时间为C ：80min ，再固定时间为80min ，又对温度进行优选，结果还是67℃好.实际中采用这个工艺进行生产，平均产率提高了多少?210301507555A B 67C 112358(), , , , , , ,235813n n F A F + 1112358(),, , , , , , ,1235813n n F B F + 12358(), , , , , ,35813n n F C F + ()1,2,3,5,8,13D。