2018学年高中数学选修1-2课件：第1章统计案例章末高效整合1精品
人教B版高中数学选修1-2课件：第一章统计案例本章整合
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知识建构
综合应用
真题放送
2
知识建构 专题1 专题2 专题3 专题4
综合应用
真题放送
专题1 相互独立事件 对于两个事件A,B,如果有P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独 立.A与B独立还可以理解为:事件A是否发生都对事件B发生的概率 没有影响,即事件A与B无关. 应用学生甲、乙、丙三人用计算机联网学习数学,每天独立完成 4 3 6 道数学题,已知甲及格的概率是 , 乙及格的概率是 , 丙及格的 5 5 7 概率是 , 三人各答一次, 求三人中只有一人答题及格的概率 10 是多少? 提示:甲、乙、丙三人每人答题及格是相互独立的,设甲、乙、 丙三人答题及格分别为事件A,B,C,则������������ ������ , ������ B ������ , ������ ������ C是互斥的.
=
100× (60×10-20×10)2 70×30×80×20
=
100 21
≈4.762.
由于4.762>3.841, 所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食 习惯方面有差异.
7
知识建构 专题1 专题2 专题3 专题4
综合应用
真题放送
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事 件空间 Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1, b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}. 其中ai表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj表示不喜欢甜品的学 生,j=1,2,3.Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能 的. 用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则 A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b 3)}. 7 事件A是由7个基本事件组成,因而 P(A) = .
2018学年高中数学选修1-2课件：第1章 统计案例1.2 精品
自主学习•新知突破
1．了解分类变量、列联表的含义．会作2×2列联表． 2．了解随机变量K2的含义以及观测值k的计算公式． 3．了解独立性检验的基本思路及其初步应用．
饮用水的质量是人类普遍关心的 问题． 据统 计 ， 饮 用优质水的 518人 中，身体状况优秀的有466人，饮用一 般水 的 312人 中， 身 体状况优秀的有 218人．
(2)2×2列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为 {x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：
x1
x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计
a＋b c＋d a＋b＋c＋d
1．分类变量及其关系的分析的理解 (1)这里的“变量”和“值”都应作为广义的变量和值来理 解，只要不属于同种类别都是变量和值，并不一定是取具体的 数值，如：男、女；上、下；左、右等． (2)频数分析是指用不同类别的事件发生的频率的大小比较 来分析分类变量是否有关联关系． (3)等高条形图更加形象直观地反映两个分类变量之间的差 异，进而推断它们之间是否具有关联关系．
3．下列关于随机变量 K2 的说法正确的是________．(填序 号)
①K2 在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无 关；
②K2 的值越大，两个事件的相关性就越大； ③K2 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只 对于两个分类变量适合； ④K2 的观测值 k 的计算公式为 k＝a＋bcn＋add－ab＋ccb＋d.
有酒精 无酒精 总计
有责任 650 700 1 350
无责任 150 500 650
总计 800 1 200 2 000
2018年高中数学人教A版选修1-2第1章统计案例1.1习题含解析.docx
人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修1-2 习题第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用课时过关·能力提升基础巩固1 关于线性相关的两个变量y 与 x 之间的回归直线方程叙述正确的是()A. 表示 y 与 x 之间的一种确定性关系B.表示 y 与 x 之间的函数关系C.表示 y 与 x 之间的最真实的关系D.表示 y 与 x 之间真实关系的一种效果最好的拟合答案 D2 四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论 :①y与 x 负相关 ,且②y 与 x 负相关 ,且③y 与 x 正相关 ,且④y 与 x 正相关 ,且其中一定不正确的结论的序号是()A. ①②B. ②③C.③④D.①④解析正相关指的是y 随 x 的增大而增大,负相关指的是y 随 x 的增大而减小,故一定不正确的为①④ ,应选 D .答案 D3 已知变量x,y 的取值如下表所示:x4 5 6y8 6 7若 y 与 x 线性相关 ,且线性回归方程为则的值为A .1B解析由题中表格 ,得代入线性回归方程,得 7=解得故选答案 A4 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得R2与残差平方和m 如下表 :甲乙丙丁2R0.82 0.78 0.69 0.85m 106 115 124 103则试验结果体现A,B 两变量有更强的线性相关性的同学是()A .甲 B.乙 C.丙 D.丁答案 D5根据如下样本数据x345678y4.0 2.5-0.5--0.5 2.03. 0得到的回归方程为则ABCD解析可大致画出散点图如图所示,可判断故选答案 A6 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了100 次和 150 次试验 ,并且利用线性回归方法 ,求得回归直线分别为l 1和 l2.已知两个人在试验中发现变量x 的观测数据的平均值都是 s,变量 y 的观测数据的平均值都是t,则下列说法正确的是 ()A. l 1和 l2有交点 (s,t)B.l 1与 l2相交 ,但交点不一定是 (s,t)C.l 1与 l2必定平行D.l 1与 l2必定重合解析由题意知 (s,t)是甲、乙两位同学所做试验的样本点的中心,而线性回归直线恒过样本点的中心,故选 A .答案 A7 已知线性回归方程则当时的估计值是解析将 x= 11 代入得答案 8.958 下表是某厂1~4 月份用水量 (单位 :百吨 )的一组数据 ,已知用水量y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系 ,其线性回归方程是则月份1 2 3 4用水量4.5 4 3 2.5y/百吨解析答案 5.259 在研究两个变量的相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条指数型曲线y= e bx+a的周围 ,令 z=ln y,求得回归直线方程为则该模型的回归方程为解析由 z=ln y得ln故故该模型的回归方程为答案10 为研究某灌溉渠道水的流速y(单位 :m/s)与水深 x(单位 :m) 之间的关系 ,测得 8 组数据如下 :水深1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.902.00 2.10x/m水的流速1.70 1.79 1.88 1.952.03 2.10 2.16 2.21y/(m·s-1)(1) 如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求出线性回归方程;(2)预测水深为 1.95 m 时水的流速 .( 精确到 0.01)分析根据已知数据 ,计算回归系数求得回归方程再进行估计解 (1)采用列表方法计算与回归系数如下i x i y i x i y i1 1.40 1.70 1.962. 3802 1.50 1.79 2.252. 6853 1.60 1.88 2.563. 008续表i x i y i x i y i4 1.70 1.95 2.89 3.3155 1.80 2.03 3.24 3.6546 1.90 2.10 3.61 3.9907 2.00 2.16 4.00 4.3208 2.10 2.21 4.41 4.641∑ 14.0015.8224.9227.993于是5,-人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2∑∑≈0.733 3,-≈1.977 5-0.733 3 ×1.75≈0.694 2.故 y 与 x 之的性回方程(2)将 x= 1.95 代入所求的性回方程,得≈2.12.算果表明当水深 1.95 m ,可以水的流速 2.12 m/s.能力提升1 已知量x 与 y 正相关 ,且由数据算得本平均数由数据算得的性回方程可能是AC解析由量 x 与 y 正相关 ,可知 x 的系数正 ,排除 C,D .而所有的回直必点由此排除B,故 A .答案 A2 某大学的女生体重y(位 :kg) 与身高 x(位 :cm) 具有性相关关系,根据一本数据(x i,y i)(i= 1,2,⋯,n), 用最小二乘法建立的回方程下列中不正确的是A. y 与 x 具有正的性相关关系B.回直本点的中心C.若大学某女生身高增加 1 cm,其体重增加0.85 kgD.若大学某女生身高170 cm, 可断定其体重必58.79 kg解析 D 中 ,若大学某女生身高170 cm,可断定其体重0.85×170-85.71= 58.79(kg) .故 D 不正确 .答案 D3 已知x与y之间的几组数据如下表:x1 2 3 4 5 6y0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为则以下结论正确的是AC∑-解析-故∑--答案 C★4 某市物价部门对本市的 5 家商场某商品一天的销售量及其价格进行调查,5 家商场该商品的价格 x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示:价格 x/元销售量y/件9 9.5 m 10.5 11 11 n 8 65已知销售量y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是且则解析由已知,得将点的坐标代入线性回归直线方程得又m+n= 20,解得 m= 10,n= 10.答案 105 关于x与y有如下数据:x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70为了对 x,y 两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型:甲乙则模型填甲或乙拟合的效果更好解析对于甲模型 ,∑∑对于乙模型因为所以甲模型拟合效果更好答案甲6 有一位同学家里开了一个小卖部,他为了研究气温对热茶销售杯数的影响,经过统计 ,得到一个卖出热茶杯数与当天气温的对比表:气温-5 0 4712 15 19 23 27 31 36x/℃热茶销售杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54y/杯(1) 求热茶销售杯数与气温的线性回归方程;(2)预测当气温为 -10 ℃时热茶的销售杯数 .分析根据样本点数据画出散点图,利用散点图直观分析热茶销售杯数y 与气温 x 具有线性相关关系,利用线性回归方程中参数的计算公式可得线性回归方程.解 (1)所给数据的散点图如图所示.由图可看出 ,这些点在一条直线附近,可以用线性回归方程来刻画y 与 x 之间的关系 .因为由公式计算得≈-2.352≈147.772,所以 y 对 x 的线性回归方程为(2)当气温为 -10 ℃时 ,由回归方程可以预测热茶的销售杯数为≈171.★7 假设关于某设备的使用年限x(单位 :年 )和所支出的维修费用y(单位 :万元 )的有关统计资料如下表所示 :使用年限 x/23456年维修费用 y/2.23.8 5.5 6.5 7.0万元若由资料知y 与 x 呈线性相关关系.(1) 求线性回归方程的回归系数(2)求 R2;(3)估计当使用年限为 10 年时 ,维修费用是多少 ?解 (1)由已知数据制成下表:i12345合计x i 2345620y i 2.23.85.56.57.025由此可得∑∑故∑-(2)R2= 1-≈0.958 7.∑(3)回归直线方程为当时故估计当使用年限为年时维修费用是万元。
2018高中数学人教A版选修1-2课件：第一章 统计案例 本章整合
综合应用 专题1 专题2 专题3 专题4
2.回归分析的方法:回归模型法. 基本步骤为: (1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变 量; (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的 关系; (3)由散点图确定回归方程的大致类型; (4)按一定规则估计回归方程中的参数; (5)得出结果后,可通过残差分析或利用R2来检查模型的拟合效果, 从而得到最佳模型.
综合应用 专题1 专题2 专题3 专题4
编号 残差e 编号 残差e
^ ^
1 0.36 6 -0.04
2 -0.32 7 0.28
3 0 8 -0.4
4 -0.68 9 -0.08
5 0.64 10 0.24
综合应用 专题1 专题2 专题3 专题4
(2)以零件数为横坐标,残差为纵坐标作出残差图如图所示.
^ ^
^
^ ^
^ ^
������=1 ������
∑ ������������ ������������ -������������ ������
������=1
������
∑
2 ������2 ������ -������������
, ������ = ������ − ������ ������, 其中������, ������为样本平均值.
^
^
综合应用 专题1 专题2 专题3 专题4
解:(1)由题意知 n=10, ������ =
������
1 ������ ∑ ������ ������ ������ =1
2
������ =
80 10
= 8, y =
1 n ∑ ������ ������ n i=1
高中数学人教版选修1-2_模块复习课 第一课 统计案例 (共54张PPT)精选ppt课件
【解析】依题意有
P=(-3x+161.5)(x-30)=-3x2+251.5x-4845
=-3(x- )2+ 2 5 1.5
2 5 -1 .45 2845.
所以当x=6 ≈42时1 2 ，P有最大值，约为426.
2 5 1.5 即预测销售单6 价为42元时，能获得最大日销售利润.
【方法技巧】求线性回归方程的基本步骤
每晚都打鼾
30
224
254
不打鼾
24
1 355
1 379
总计
54
1 579
1 633
【解析】由列联表中的信息 知打鼾人群中未患心脏病的 比例为0.88，即患有心脏病 的比例为0.12；同理不打鼾 人群中未患心脏病的比例为0.98，即患有心脏病的比 例为0.02.作出等高条形图(如图).
从该图中可以看出：打鼾样本中患心脏病的比例明显 多于不打鼾样本中患心脏病的比例.因此可以认为“打 鼾与患心脏病有关”.
所以y关于x的b线9 4 性7 3 7 4 回 9 4 归7 3 2 2 方 程5 2,为a 2 7 5 2 1 2 3 ,
y 5 x 3. 2
(3)当x=10时，y =22，|22-23|<2，当x=11时y ， =24.5
|24.5-25|<2，当x=13时， =29.5，|29.5-30|<2.
M包含的基本事件有：(AC)、(AD)、(BC)、(BD)、
(CD)，所以P(M)=5 . 6
【补偿训练】某研究性学习小组对春季昼夜温差大小 与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分 别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每 天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
2018学年高中数学人教A版课件选修1-2 第一章 统计案例 1-1 精品
“相关指数 R2、残差图”在回归分析中的作用
n
yi－^yi2
i＝1
1．相关指数 R2 是用来刻画回归效果的，由 R2＝1－
可知，R2 越
n
yi－ y 2
i＝1
大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．
2．残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是残差点比较均匀地分布在 水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报的精 度也越高．
非线性回归分析
[探究共研型]
探究 1 如何解答非线性回归问题？
【提示】 非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已 知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象 作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换， 把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：
6
6
所以 (yi－^yi)2≈0.013 1 8， (yi－ y )2＝14.678 4.
i＝1
i＝1
所以，R2＝1－01.40.16378184≈0.999 1， 回归模型的拟合效果较好．
(3)由残差表中的数值可以看出第 3 个样本点的残差比较大，需要确认在采 集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立 回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过 0.15 的狭窄的水 平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧 长度与拉力成线性关系．
探究 2 已知 x 和 y 之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的 为哪一个？
x
1
2
y
3
5.99
①y＝3×2x－1; ②y＝log2x； ③y＝4x; ④y＝x2.
人教A版高中数学选修1-2《第一章统计案例》章末复习课课件
学习目标
1.会求线性回归方程，并用回归直线进行预报. 2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
1.最小二乘法 对于一组数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n，如果它们线性相关，则线性回归方
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
^^ ^
(2)请根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程y＝bx＋a；
0＋1＋2＋3＋4
解 因为 x ＝
5
＝2，
5＋7＋8＋11＋19
y＝
5
＝10，
0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，
02＋12＋22＋32＋42＝30，
^ 132－5×2×10
^
^
所以b＝ 30－5×22 ＝3.2，a＝ y －b x ＝3.6.
解答
反思与感悟
独立性检验问题的求解策略 (1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略 地判断两个变量的相关性. (2)K2统计量法：通过公式
nad－bc2 k＝a＋bc＋da＋cb＋d
先计算观测值k，再与临界值表作比较，最后得出结论.
跟踪训练2 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶 图表示30人的饮食指数，如图所示.(说明：图中饮食指数低于70的人，饮 食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主). (1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲 属30人的饮食习惯； 解 30位亲属中50岁以上的人多以食蔬 菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主.
男生 女生 合计
喜爱打篮球 10
不喜爱打篮球 6
合计 48
高中数学 第一章 统计案例章末归纳总结课件 新人教A版选修1-2
二、独立性检验 1．判断两个分类变量之间是否有关系可以通过等高条形图 作粗略判断．需要确知所作判断犯错误的概率情况下，可进行 独立性检验，独立性检验可以得到较为可靠的结论． 2．独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成 2×2 列联表． (2)根据公式计算 K2 的值． (3)比较 K2 与临界值的大小关系作统计推断．
独立性检验
用水的调查表：
干净水 不干净水
总计
下表是某地区的一种传染病与饮
得病 52 94 146
不得病 466 218 684
总计 518 312 830
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理 由；
(2)若饮用干净水得病的有5人，不得病的有50人，饮用不 干净水得病的有9人，不得病的有22人．按此样本数据分析这 种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差 异．
典例探究学案
回归分析 已知对两个变量x、y的观测数据
如下表： x 35 40 42 39 45 46 42 50 58 48 y 5.90 6.20 6.30 6.55 6.53 9.52 6.99 8.72 9.49 7.50
(1)画出x、y的散点图； (2)求出回归直线方程．
[解析] (1)散点图如下图所示．
1.线性回归方程中的系数、及相关指数R2，独立性检验统 计量K2公式复杂，莫记混用错．
2．相关系数r是判断两随机变量相关强度的统计量，相关 指数R2是判断线性回归模型拟合效果好坏的统计量，而K2是判 断两分类变量相关程度的量，应注意区分．
3．在独立性检验中，当K2≥6.635时我们有99%的把握认为 两分类变量有关，是指“两分类变量有关”这一结论的可信度 为99%而不是两分类变量有关系的概率为99%.
高二数学选修1-2全册课件2、1章末
a＝70
c＝35
b＝30
d＝65
100
100
合计
105
950×65－35×30)2 K2 ＝ ≈24.56 100×100×105×95
由于K2>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A
后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”． [点评] 本题比较新颖，将统计学与古典概型、组合 联系在一起，难度不大，但考查知识全面，而且还需要一 定的识图表能力，是今年命题一热点方向．
人 教 A 版 数 学
10
^ a≈7.37－0.1752×44.5＝－0.4175. ^ ∴回归直线方程为y＝0.1752x－0.4175.
第一章
统计案例
[例2] 想象一下一个人从出生到死亡，在每个生日都 测量身高，并作出这些数据散点图，这些点将不会落在一 条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回 归来分析．下表是一位母亲给儿子作的成长记录. 年龄/周岁 身高/cm 年龄/周岁 身高/cm 3 4 5 6 7 8 9 90.8 97.6 104.2 110.9 115.6 122.0 128.5 10 11 12 13 14 15 16 134. 140. 147.6 154.2 160.9 167.5 173.0 2 8
R2≈0.999，
所以残差平方和为4.53，相关指数为0.999，故该函数
模型能够较好地反映年龄与身高的关系.
人 教 A 版 数 学
第一章
统计案例
[例3]
(2010·辽宁理，18)为了比较注射A，B两种药
物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这
200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药 物A，另一组注射药物B. 下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱 疹面积单位：mm2)
2018学年高中数学选修1-1课件：章末高效整合1 精品
2．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x＜a}，则“A⊆B”是
“a＞5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}， 所以 A⊆B⇔a＞4，而 a＞5⇒a＞4，且 a>4⇒/ a＞5， 所以“A⊆B”是“a＞5”的必要不充分条件．
(2)原命题为真命题．其逆命题为：如果一个整数可以被5 整除，那么它的末位数是0，是假命题，由于逆命题为假命 题，所以否命题也是假命题．
(3)原命题的逆否命题为“若a2＋b2＝0，则实数a，b同时 为0”，显然4或x2＋5x－ 24≠0显然为真命题．
6．理解全称量词与存在量词，掌握否定方法 (1)确定命题中所含量词的意义，是全称命题和特称命题的 判断要点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词． (2)可以通过“举反例”否定一个全称命题，同样也可以举 一例证明一个特称命题．而肯定全称命题或否定特称命题都需 要推理判断． (3)含有一个量词的命题的否定：将全称量词改为存在量词 或将存在量词改为全称量词，并否定结论． 注意：一般命题的否定，直接否定结论即可．
已 知 命 题 p ： ∃x∈R ， 不 等 式 x2 ＋ 2ax ＋ 4≤0 是 假 命 题，命题q：函数f(x)＝－(7－3a)x是减函数，若p∧q为假，p∨q 为真，求实数a的取值范围．
[思维点击] 由p∧q为假，p∨q为真知p，q一真一假，因 此需求p，q中a的范围后对p，q进行分类讨论．
答案： B
全称命题与特称命题
【点拨】 1.全称命题与特称命题 含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是 特称命题． 判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全 称命题为假命题，只需举出反例． 判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题 为假时，要有严格的逻辑证明．
2018学年高中数学人教A版课件选修1-2 第一章 统计案例 章末分层突破 精品
(2)用 y＝13x＋1 作为拟合直线时，y 的实际值与所得的 y 值的差的平方和为 s1＝1－432＋(2－2)2＋(3－3)2＋4－1302＋5－1312＝73.
用 y＝12x＋12作为拟合直线时，y 的实际值与所得的 y 值的差的平方和为 s2 ＝(1－1)2＋(2－2)2＋3－722＋(4－4)2＋5－922＝12.
一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为 此进行了 10 次试验，测得的数据如下表：
零件数 x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间 y/min 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127 经分析加工时间 y 与零件个数 x 线性相关，并求得回归直线方程为^y＝0.670x ＋55.133.
因为 s1>s2，故直线 y＝12x＋12的拟合程度更好.
独立性检验
独立性检验是判断两个分类变量之间是否有关系的一种方法．在判断两个 分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是 否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论．
独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成 2×2 列联表． (2)根据公式计算 K2 的观测值 k. (3)比较 k 与临界值的大小关系作统计推断．
单位成本(元/件) 73 72 71 73 69 68
n
xiyi－n x y
i＝1
b＝
，a＝ y －b x (用最小二乘法求线性回归方程系数公式
n
x2i －n x 2
i＝1
n
n
注：xiyi＝x1y1＋x2y2＋…＋xiyi＋…＋xnyn，x2i ＝x21＋x22＋…＋x2i ＋…＋x2n)．
2018高中数学人教A版选修1-2课件：第一章 统计案例 1-2
试根据上表画出等高条形图,并结合等高条形图分析血液中含有 酒精与对事故负有责任是否有关系.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
解:等高条形图如图所示:
图中两个深色条的高分别表示司机血液中有酒精和无酒精样本中 对事故负有责任的频率,从图中可以看出,司机血液中有酒精样本 中对事故负有责任的频率明显高于司机血液中无酒精样本中对事 故负有责任的频率.由此可以认为司机血液中含有酒精与对事故负 有责任有关系.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
知识梳理
2.等高条形图 (1)等高条形图与表格相比,能更直观地反映出两个分类变量间是 否相互影响,常用等高条形图展示列联表数据的频率特征.
(2)观察等高条形图发现 变量之间有关系.
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典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
独立性检验原理的应用 【例2】 打鼾不仅影响别人休息,而且可能与患某种疾病有关.下表 是一次调查所得的数据:
患心脏病 每一晚都打鼾 不打鼾 总计 30 24 54 未患心脏病 224 1 355 1 579 总计 254 1 379 1 633
根据独立性检验原理,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下 认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系?
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与
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2018_2019学年高中数学第一章统计案例章末复习课件北师大版选修1_2
由题意，得 P(A1)＝160＝35，
P(A1A2)＝160×59＝13， 1
∴P(A2|A1)＝PPAA1A12＝33＝59. 5
解析 答案
(2)小张参加某电视台举办的百科知识竞赛的预选赛，只有闯过了三关的 人才能参加决赛.按规则：只有过了第一关，才能去闯第二关；只有过了 第二关，才能去闯第三关.对小张来说，过第一关的概率为0.8，如果不按 规则去闯第一关，而直接去闯第二关能通过的概率为0.75，直接去闯第三 关能通过的概率为0.5. ①求小张在第二关被淘汰的概率； 解 记“小张能过第一关”为事件A，“直接去闯第二关能通过”为事件 B，“直接闯第三关能通过”为事件C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.75，P(C) ＝小张0.5在. 第二关被淘汰的概率为 P(A B )＝P(A)[1－P(B)]＝0.8×(1－0.75)＝0.2.
当 x＝6 时，y＝778，778－12<2.
∴该小组所得线性回归方程是理想的.
解答
类型二 条件概率与独立事件
例2 (1)一个盒子中有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一
支，第一次取后不放回，若已知第一支是好的，则第二支也是好的概率
5 9 为___. 解析 设Ai(i＝1,2)表示“第i支是好的”.
因患感冒而就诊的人数y，得到如下资料：
日期
昼夜温差x(℃)
就诊人数y(个)
1月10日
10
22
2月10日
11
25
3月10日
13
29
4月10日
12
26
5月10日
8
16
6月10日
6
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4 组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验. (1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率； 解 设抽到相邻两个月的数据为事件A. 试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据，共有15种情况，每种 情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种， ∴P(A)＝155＝13.
2018年高三数学(北师大版)选修1-2精品学案：第一章 统计案例 第1课时 回归分析
第1课时回归分析1.会对两个变量的相关关系进行分析、判断.2.了解回归分析的基本思想,会对两个变量的具体问题进行回归分析.3.掌握运用最小二乘法建立回归模型的基本步骤和方法.重点:熟练掌握回归分析,建立回归模型,求各相关指数的步骤.难点:如何求回归直线方程以及对相关系数r的理解和运用.我们每个人都有自己的身高和体重,那么如果把身高和体重分别作为变量,它们能够构成函数关系吗?问题1:散点图在考虑两个量的关系时,为了对变量之间的关系有一个大致的了解,人们通常将变量所对应的点描出来,这些点就组成了变量之间的一个图,通常称这种图为变量之间的散点图.问题2:相关关系与线性回归相关关系:对于两个变量,当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系分为线性相关和非线性相关.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系,相关关系是一种非确定性关系.线性回归:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.问题3:线性相关系数r=称为两个变量数据(x i,y i)(i=1,2,…,n)的线性相关系数.r用来刻画两个变量的线性回归效果:当r>0时,表明两个变量正相关;当r<0时,表明两个变量负相关;r的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间越不存在线性相关关系.问题4:线性回归分析的步骤对于一组具有线性相关关系的数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n).(1)画散点图:看散点图是否呈条状分布.(2)求回归直线方程(最小二乘法):b=,=x i,=y i,其中(,)为样本中心点,回归直线方程必经过样本中心点(,),得a= -b;(3)得出相关结论:回归直线方程为y=a+bx,利用回归直线方程进行预测.“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀,有可能会在美国的德克萨斯州引起一场龙卷风.”这就是洛伦兹1979年12月在华盛顿的“美国科学促进会”上的一次演讲中提出的“蝴蝶效应”.这次演讲给人们留下了极其深刻的印象.从此以后,所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走,名声远扬.“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省,不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩,而且在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力.1.下列关系不属于相关关系的是().A.父母的身高与子女的身高B.人的身高与体重C.居民的收入与消费D.正方体的表面积和体积【解析】相关关系是一种非确定性关系,而D项是确定的关系,为函数关系,故选D.【答案】D2.设两个变量x与y之间具有线性相关关系,相关系数是r,回归方程为y=a+bx,那么必有().A.b与r符号相同B.a与r符号相同C.b与r符号相反D.a与r符号相反【解析】因为b与r的分母均为正,且分子相同,所以b与r同号.【答案】A3.某医院用光电比色检验尿汞时,得到尿汞含量x(毫克/升)与消化系数y的一组数据如下表:若x与y具有线性相关关系,则回归直线方程是.【解析】利用公式b==26.95,a=-b=28.7,从而回归直线方程为y=26.95x+28.7.【答案】y=26.95x+28.74.某10名同学的数学、物理、语文成绩如下表:试分别研究他们的数学成绩与物理成绩的关系、数学成绩与语文成绩的关系,你能发现什么规律?【解析】可求出物理成绩与数学成绩的相关系数r≈0.87,从而认为物理成绩与数学成绩之间具有很强的线性相关关系.而由语文成绩与数学成绩的相关系数|r|≈0.092很接近0,说明语文成绩与数学成绩不具有线性相关关系.因此,数学成绩好的同学,一般来说物理成绩也较好,它们之间的联系较紧密,而数学成绩好的同学,语文成绩可能好也可能差,它们之间的关系不大.相关关系的判断与分析有下列关系:①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系;②曲线上的点与该点的坐标之间的关系;③苹果的产量与气候之间的关系;④森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系;⑤学生与他(她)的学号之间的关系.其中有相关关系的是(填写你认为正确的序号).【方法指导】根据相关关系的概念进行判断.【解析】【答案】①③④【小结】相关关系是一种非确定性关系,是指两个变量之间有关系,但是两者之间的关系还受其他因素的影响,只是影响大小的问题.回归直线过样本中心点(,)的性质的应用观察两个相关变量的如下数据:则两个变量间的回归直线方程为().A.y=0.5x-1B.y=xC.y=2x+0.3D.y=x+1【方法指导】根据回归直线方程y=a+bx经过样本中心点(,)可计算出结果.【解析】∵=0,=0,回归直线方程经过样本中心点(,),代入所给选项中检验,可知,只有y=x 符合条件.【答案】B先判定相关性,再求回归直线方程某种图书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关,经统计得到数据如下:检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否有线性相关关系?如果有,求出y 对x的回归方程.【方法指导】本题是非线性回归分析问题,不妨设变量u=,题意要求对u与y作相关性检验,如果它们具有线性相关关系,就可以进一步求出y对u的回归直线方程,这时,再回代u=,就得到了y对x的回归曲线方程.【解析】将上表数据列表分析如下:∴=42.1,=1772.41,=3.14,n=10,10=1321.94,可以求得r=0.9998,由r=0.9998,因此变量y 与之间具有较强的线性相关关系.∵b====-0.02,∴a=-b=3.14-(-0.02)×42.1=3.98.∴y与x的回归方程为y=3.98-0.02x.[问题]当x=1时,由回归方程得y=3.96,而实际上y=10.15,为什么有这么大的偏差?上述回归方程是y与x的回归方程吗?[结论]因为y与之间具有较强的线性相关关系,而y与x之间没有明显的线性相关关系,故应先通过变量变换(即换元),令u=,并通过对u与y作相关性检验,求出y对u的回归直线方程,最后再回代u=,得到y对x的回归方程.于是正确解如下:首先作变量变换,令u=,则题目所给数据变成如下表所示的数据:可以求得r≈0.9998,因此变量y与u之间具有较强的线性相关关系,并且b≈8.973,a=-b≈1.125,最后回代u=可得y=+1.125.因此y与x的回归方程为y=+1.125.【小结】本题中y与x之间不具有线性相关关系,因而是非线性回归分析问题,对此类回归分析问题,应先求线性相关系数r,利用r来判断两个变量之间是否具有线性相关关系.当|r|越接近1时,认为线性相关关系越强,可以求回归直线方程,并可用求得的回归直线方程来预测变量的取值;当|r|越接近0时,认为两个变量之间线性相关关系越不显著,这时求回归直线方程没有多大的实际价值,要采用变量变换(即换元法)转化为线性回归问题求解.由施肥量x.【解析】散点图为:通过图像可知是正相关.已知x、y,且y=0.95x+a,求a的值.【解析】由表中数据得=2,=4.56,由于线性回归方程一定经过样本中心点(,),即(2,4.56),在回归直线方程y=bx+a中,代入点(2,4.56)得a=-b=4.56-0.95×2=2.66.10其中x为高一数学成绩,y为高二数学成绩.(1)y与x是否具有相关关系;(2)如果y与x具有相关关系,求回归直线方程.【解析】(1)由已知表格中的数据,利用计算器进行计算得=71,=72.3,x i y i=51467,=50520,=52541.则r==≈0.78.即认为x与y之间具有线性相关关系.(2)y与x具有线性相关关系,设回归直线方程为y=a+bx,则b==≈1.22,a=-b=72.3-1.22×71=-14.32,所以y关于x的回归直线方程为y=1.22x-14.32.1.对相关系数r,下列说法正确的是().A.r越大,两变量的线性相关程度越大B.r越小,两变量的线性相关程度越大C.|r|越大,两变量的线性相关程度越大;|r|越小,两变量的线性相关程度越小D.|r|≤1,且|r|越接近1,两变量的线性相关程度越大;|r|越接近0,两变量的线性相关程度越小【解析】由两个变量的相关系数公式r=可知,相关程度的强弱与|r|和1的接近程度有关,|r|越接近1,两变量的线性相关程度越大,|r|越接近0,两变量的线性相关程度越小.【答案】D2.工人月工资y(元)关于劳动生产率x(千元)的回归方程为y=650+80x,下列说法正确的个数是().①劳动生产率为1000元,工资约为730元;②劳动生产率提高1000元,则工资约提高80元;③劳动生产率提高1000元,则工资约提高730元;④当月工资为810元,劳动生产率约为2000元.A.1B.2C.3D.4【解析】①②④正确,注意单位的一致性,故选C.【答案】C3.若预报体重y(kg)和身高x(cm)之间的线性回归方程为y=0.849x-85.712,如果要找到体重为41.638 kg的人,(填“一定”或“不一定”)在身高为150 cm的人群中.【解析】体重不仅受身高的影响,还受其他因素的影响.【答案】不一定4.某个体服装店经营某种服装,一周内获纯利润y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如下:已知=280,=45309,x i y i=3487.(1)求,;(2)一周内获纯利润y与该周每天销售件数x之间是否线性相关?如果线性相关,求出回归直线方程.【解析】(1)=(3+4+5+6+7+8+9)=6,=(66+69+73+81+89+90+91)≈79.86.(2)根据已知=280,=45309,x i y i=3487,得相关系数r=≈0.973.所以纯利润y与每天销售件数x之间具有显著的线性相关关系.利用已知数据可求得回归直线方程为y=4.746x+51.386.(2013年·湖南卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y与x负相关且y=2.347x-6.423;②y与x负相关且y=-3.476x+5.648;③y与x正相关且y=5.437x+8.493;④y与x正相关且y=-4.326x-4.578.其中一定不正确的结论的序号是().A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】由正相关、负相关的性质可知在①中,斜率为2.347>0,不可能负相关;在④中,斜率为-4.326<0,不可能正相关,故①④一定不正确.选D.【答案】D1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是().A.圆的面积与半径B.球的体积与半径C.角度与它的正弦值D.一个考生的数学成绩与物理成绩【解析】由题意知A表示圆的面积与半径之间的关系S=πr2;B表示球的体积与半径之间的关系V=πr2;C表示角度与它的正弦值y=sin α,以上所说的都是确定的函数关系,相关关系不是确定性的关系,故选D.【答案】D2.在对两个变量x,y进行线性回归分析时有下列步骤:①对所求出的回归方程作出解释;②收集数据(x i,y i),其中i=1,2,…,n;③求线性回归方程;④求相关系数;⑤根据所搜集的数据绘制散点图.如果根据可靠性要求能够作出变量x,y具有线性相关结论,那么在下列操作顺序中正确的是().A.①②⑤③④B.③②④⑤①C.②④③①⑤D.②⑤④③①【解析】根据线性回归分析思想可知,两个变量x,y进行线性回归分析时,应先收集数据(x i,y i),然后绘制散点图,再求相关系数和线性回归方程,最后对所求的回归方程作出解释,因此选D.【答案】D3.如图所示有5组数据,去掉后,剩下的4组数据的线性相关性更强.【解析】根据散点图判定两变量的线性相关性,样本数据点越集中在某一直线附近,这两变量的线性相关性越强,显然去掉D(3,10)后,其余各点更能集中在某一直线附近,即线性相关性更强.【答案】D(3,10)4.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间由如下一组数据:(1)画出散点图;(2)检验相关系数r的显著性水平;(3)求月总成本y与月产量x之间的回归直线方程.【解析】(1)画出散点图,如图所示.(2)r==≈0.99,这说明每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间存在显著的线性相关关系.(3)设回归直线方程y=bx+a,利用计算a,b,得b≈1.215,a=-b≈0.974,即回归直线方程为y=1.215x+0.974.5.设一个回归方程为y=3-5x,当变量x增加一个单位时().A.y平均增加3个单位B.y平均减小5个单位C.y平均增加5个单位D.y平均减小3个单位【解析】-5是斜率的估计值,说明x每增加一个单位,y平均减少5个单位.【答案】B6.对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其回归方程的截距为().A.a=y+bxB.a=+bC.a=y-bxD.a=-b【解析】回归直线方程中的截距即为a,由公式=b+a得a=-b,故选D.【答案】D7.许多因素都会影响贫穷,教育也许是其中之一,在研究这两个因素的关系时收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据,建立的回归直线方程为y=0.8x+4.6,则成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数.(填“大于0”或“小于0”)【解析】一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%,收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右.【答案】大于08.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料:若由资料知y对x呈线性相关关系.试求:(1)线性回归方程y=bx+a的回归系数a,b;(2)估计使用年限为10年时的维修费用.【解析】(1)制表如下:于是b===1.23,a=-b=5-1.23×4=0.08.(2)由(1)知回归直线方程为y=1.23x+0.08,当x=10时,y=1.23×10+0.08=12.3+0.08=12.38,即估计使用10年时的维修费用是12.38万元.9.若y与x之间的一组数据如下:则拟合这5对数据的回归直线一定经过的点是.【解析】根据回归直线y=bx+a一定过样本中心点(,),且==2,==4,知点(2,4)一定在回归直线上.【答案】(2,4)10.某工业部门进行一项研究,分析该部门的产量与生产费用之间的关系,从这个工业部门内随机抽选了10个企业作样本,有如下资料:完成下列要求:(1)计算x与y的相关系数;(2)这两个变量之间是否线性相关?若线性相关,求回归直线方程y=bx+a.【解析】(1)制表如下:r=≈0.808.即x与y的相关系数r≈0.808.(2)因为r较接近1,所以x与y之间具有很强的线性相关关系.则b=≈0.398,a=165.7-×77.7b≈134.8,所以回归直线方程为y=0.398x+134.8.。
2018年高三数学(北师大版)选修1-2精品学案：第一章 统计案例 章末小结
第一章章末小结1.回归分析(1)回归分析步骤:回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.其步骤:收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预测.(2)线性回归模型:y=bx+a,其中= x i,= y i,2.相关系数样本相关系数:对于变量y与x的一组观测值,把r==叫作变量y与x之间的样本相关系数,简称相关系数,用它来衡量两个变量之间的线性相关程度,|r|≤1.当r>0时,表明两个变量正相关;当r<0时,表明两个变量负相关.|r|越接近1,相关程度越大;|r|越接近0,相关程度越小.3.条件概率与相互独立事件(1)条件概率的定义设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.(2)条件概率相关性质①0≤P(B|A)≤1.②若P(B)≠0,则P(AB)=P(B)P(A|B);若P(A)≠0,则P(AB)=P(A)P(B|A).(3)相互独立事件的定义设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.(4)相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都是相互独立的.(5)如果一系列的事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1·A2·…·A n)=P(A1)·P(A2)·…·P(A n).4.χ2的计算公式及其特点(1)根据2×2列联表与构造的随机变量χ2= (其中n=a+b+c+d是样本容量)来计算χ2的值.(2)当数据量较大时,统计学中已有明确的结论,随机事件χ2≥x0发生的概率如下:当χ2≤2.706时,没有充分的证据判定变量A、B有关联,可以认为变量A、B是没有关联的;当χ2>2.706时,有90%的把握判定变量A、B有关联;当χ2>3.841时,有95%的把握判定变量A、B有关联;当χ2>6.635时,有99%的把握判定变量A、B有关联.由于抽样的随机性,由样本得到的推断有可能正确,也有可能错误.利用χ2进行独立性检验,可以对推断正确的概率做出估计,样本容量n越大,估计越准确.题型1:线性回归方程已知关于某设备的使用年数x和支出的维修费用y(万元),由资料统计得5组数据(x i,y i)(i=1,2,3,4,5),由资料知y与x线性相关,并且由统计的五组数据得平均值分别为=4,=5.4,若用5组数据得到的线性回归方程y=bx+a去估计使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1.1万元.(1)求回归直线方程;(2)估计使用年数为10年时,维修费用约是多少.【解析】(1)因为直线y=bx+a经过定点(,),又=4,=5.4,所以5.4=4b+a,又8b+a-(7b+a)=1.1,解得b=1.1,a=1,所以回归方程为y=1.1x+1.(2)将x=10代入线性回归方程得y=12.所以,估计使用年数为10年时,维修费用约是12万元.【小结】回归方程一定过中心点(,).本题运用方程的思想,采用待定系数法求解.线性回归方程类似于一次函数的解析式,故有问题可类比一次函数,将问题转化为求函数值.题型2:线性回归模型问题一台机器使用时间较长,但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,:(1)求变量y与x的相关系数,并对其相关性做出判断;(2)如果y与x有线性相关关系,求回归直线方程;(3)若在实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个,那么,机器的运转速度应控制在什么范围内?【方法指导】(((【解析】(1)=12.5,=8.25,x i y i=438,4 =412.5,=660,=291,所以r===≈≈0.9954.所以y与x有很强的线性相关关系.(2)由(1)可求得b=0.7286,a=-0.8571,所以y=0.7286x-0.8571.(3)要使y≤10,得0.7286x-0.8571≤10,所以x≤14.901.所以机器的转速应控制在14.901转/秒以下.【小结】若能从散点图直观地判断相关关系,就利用散点图进行判断;若散点图不明显时,我们就要根据相关系数r进行判断.在求回归直线方程时学会合理进行运算很关键,为准确运算,可先列表求出相关数据,然后求解.题型3:非线性相关问题:检测每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系.如有,求出y对x的回归方程.【方法指导】本题是非线性回归分析问题,不妨设变量u=,题意要求对u与y作相关性检验,如果它们具有线性相关关系,就可以进一步求出y对u的回归直线方程,这时,再代回u=,就得到了y对x的回归曲线方程.【解析】首先作变量置换u=,题目所给数据变成如下表所示的10对数据:经计算得r=0.9998,从而认为u与y之间具有线性相关关系,由公式得a=1.125,b=8.973,所以y=1.125+8.973u.最后代入u=,可得y=1.125+.【小结】在某些情况下可以借助于线性回归模型,研究呈现非线性相关关系的两个变量之间的关系,分析哪个模型拟合效果更好.题型4:相互独立事件的概率甲、乙两人都进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,两人之间相互没有影响.计算:(1)两人都击中目标的概率;(2)恰有一人击中目标的概率;(3)至少有一人击中目标的概率.(2(3【解析】设“甲击中目标”记为事件A,“乙击中目标”记为事件B,A与B相互独立.(1)两人各射击一次都击中目标即为事件AB,由事件A与B相互独立,得P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.8=0.64;(2)P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()·P(B)=0.8×0.2+0.2×0.8=0.32;(3)P()=P()P()=(1-P(A))·(1-P(B))=(1-0.8)×(1-0.8)=0.04,1-P()=1-0.04=0.96.【小结】把一个复杂的事件拆分成几个互斥或者相互独立的事件,是解决较为复杂概率问题的根本方法.题型5:独立性检验模型为了考察某种药物预防疾病的效果,任选105只动物做试验,其中55只服用此种药,50只未服用此种药,之后发现服药的55只中有10只患病,未服药的50只动物中有20只患病,请判断此种药物是否有效.根据公式:χ2=≈6.1>3.841.所以我们有95%以上的把握判断该药物有效.【小结】在实际问题中,独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系,得到的结论可能犯错误,这是数学中的统计思维与确定性思维的不同之处,但我们可以利用统计分析的结果去预测实际问题的结果.用独立性检验的方法准确地判断两个变量的关联性,但要注意其一般步骤及准确计算.1.(2014年·湖北卷)得到的回归方程为=bx+a,则().A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0【解析】作出散点图如下:观察图像可知,回归直线=bx+a的斜率b<0,当x=0时,y=a>0.故a>0,b<0.【答案】B2.(2014年·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是().表1表2表3表4A.成绩B.视力C.智商D.阅读量【解析】A中,a=6,b=14,c=10,d=22,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52,χ2==.B中,a=4,b=16,c=12,d=20,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52,χ2==.C中,a=8,b=12,c=8,d=24,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52,χ2==.D中,a=14,b=6,c=2,d=30,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52,χ2==.∵<<<,∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量.【答案】D一、选择题1.设某产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为-0.97,这说明二者之间存在着().A.高度相关B.中度相关C.弱度相关D.极弱相关【答案】A2.设有回归直线方程y=2-1.5x,当变量x增加1个单位时().A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位【解析】设变量x增加1个单位后y变为y',则y'=2-1.5(x+1)=2-1.5x-1.5=y-1.5.【答案】C3.已知对一组观测值(x i,y i)作出散点图后,确定其具有线性相关关系.若对于y=bx+a,求得b=0.51,=61.75,=38.14,则回归直线方程为().A.y=0.51x+6.6475B.y=6.6475x+0.51C.y=0.51x+42.30D.y=42.30x+0.51【答案】A4.若事件M、N相互独立,则下列三个结论:①M与相互独立;②N与相互独立;③与相互独立.其中正确的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】由两个事件相互独立的概念可以判定.【答案】D5.某学校开展研究性学习活动,:对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是().A.y=2x-2B.y=()xC.y=log2xD.y=(x2-1)【解析】将给定的点代入比较即可.【答案】D6.下面是一个2×2列联表:则表中a+b+c+d等于().A.125B.128C.133D.147【解析】∵a+21=73,∴a=52,又由b+46=73+27,知b=54.∵c+d=27,∴a+b+c+d=133.【答案】C7.在研究变量x和y的线性相关性时,甲、乙二人分别做了研究,利用最小二乘法得到线性回归方程l1和l2,两人计算的相同,也相同,下列说法正确的是().A.l1与l2重合B.l1与l2一定平行C.l1与l2相交于点(,)D.无法判断l1和l2是否相交【解析】回归直线方程过点(,).【答案】C8.设有一个回归方程y=3-3.5x,若变量x增加一个单位,则().A.y平均增加3.5个单位B.y平均增加3个单位C.y平均减少3.5个单位D.y平均减少3个单位【解析】x的系数为-3.5,所以减少.【答案】C9.某市通过随机询问100,得到如下的2×2列联表:得到的正确结论是().A.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”【解析】χ2=≈3.030,因为χ2>2.706,所以说有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.【答案】C10.某道路的A、B、C三处都设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是().A.B.C.D.【解析】××=.【答案】A二、填空题11.有下列关系:(1)人的年龄与他(她)的身高之间的关系;(2)圆的体积与半径之间的关系;(3)直线上的点与该点的坐标之间的关系.其中有相关关系的是(填写你认为正确的序号).【答案】(1)12.从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,则两个变量的这种相关关系称为.【答案】正相关13.对四对变量y与x进行相关性检验,已知n是观测值的组数,r是相关系数.且已知:(1)n=7,r=0.9533;(2)n=15,r=0.3012;(3)n=17,r=0.4991;(4)n=3,r=0.9950.则变量y与x的线性关系很强的是.【解析】统计学中常用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱,|r|≤1,|r|越接近于1,则y与x的线性关系越强.【答案】(1)(4)14.已知随机事件A的概率P(A)=0.5,事件B的概率P(B)=0.6,事件AB的概率P(AB)=0.4,则条件概率P(B|A)=.【解析】P(B|A)===0.8.【答案】0.815.幂函数曲线y=ax b,作变换u=ln y,v=ln x,c=ln a,得线性函数.【解析】将u=ln y,v=ln x,c=ln a代入y=ax b,消去x、y得u=c+bv.【答案】u=c+bv三、解答题16.因冰雪灾害,某柑橘基地果树严重受损,为此有关专家提出一种拯救果树的方案,该方案需分两年实施且相互独立.该方案预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0、0.9、0.8的概率分别为0.2、0.4、0.4;第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4.(1)求两年后柑橘产量恰好达到灾前产量的概率;(2)求两年后柑橘产量超过灾前产量的概率.【解析】(1)令A表示两年后柑橘产量恰好达到灾前产量这一事件,则P(A)=0.2×0.4+0.4×0.3=0.2.(2)令B表示两年后柑橘产量超过灾前产量这一事件,则P(B)=0.2×0.6+0.4×0.6+0.4×0.3=0.48.17.某工厂积极响应节能减排的号召,经过技术改造后,降低了能源消耗,下表提供了该厂记录的某种产品的产量x(吨):根据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系.(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;(2)已知该厂技改前100吨此种产品的生产能耗为90吨.试根据求出的线性回归方程,预测生产100吨此产品的生产能耗比技改前降低多少吨?【解析】(1)==4.5,==3.5,=86,x i y i=66.5,b===0.7,a=-b=3.5-0.7×4.5=0.35.故线性回归方程为y=0.7x+0.35.(2)根据回归方程预测生产100吨产品消耗的能耗约为0.7×100+0.35=70.35.故耗能减少了90-70.35=19.65吨.18.企业为了研究员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,随机抽取了189名员工进行调查,其中积极支持企业改革的调查者中,工作积极的有54人,工作一般的有32人,而不太赞成企业改革的调查者中,工作积极的有40人,工作一般的有63人.(1)根据以上的数据建立一个2×2列联表;(2)对于人力资源部的研究项目,根据以上数据是否可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关系?【解析】(1)(2)由公式得χ2=≈10.759,因为10.759>6.635,所以有99%以上的把握说抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性是有关的,也可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的. 19.(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a;(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量.【解析】(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来求回归直线方程,对预处理后的数据,容易算得=0,=3.2,b==6.5,a=-b=3.2.由上述计算结果,知所求回归直线方程为:y-257=b(x-2010)+a=6.5(x-2010)+3.2,即y=6.5x-12804.8.(2)利用回归直线方程,可预测2016年的粮食需求量约为6.5×(2016-2010)+260.2=6.5×6+260.2=299.2万吨.20.某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数神笛2005神笛2005(1)由以上统计数据填下面2×2列联表并问分析 “月收入以5000为分界点”对“延迟退休年龄”(2)若参加此次调查的人中,有9人为公务员,现在要从这9人中,随机选出2人统计调查结果,其中a 、b 恰为统计局工作人员,求两人至少有1人入选的概率.【解析】(1)2×2χ2=≈6.27>3.841.所以有95%以上的把握认为“月收入以5000为分界点”对“延迟退休年龄”的态度有差异.(2)设9人分别为a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h ,k ,则选出的2人所有可能的情况为:ab ,ac ,ad ,ae ,af ,ag ,ah ,ak ;bc ,bd ,be ,bf ,bg ,bh ,bk ;cd ,ce ,cf ,cg ,ch ,ck ;de ,df ,dg ,dh ,dk ;ef ,eg ,eh ,ek ;fg ,fh ,fk ;gh ,gk ;hk.共36种,其中a 、b 至少有1人入选的情况有15种,∴a 、b 两人至少有1人入选的概率为P==.21.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪动.已知开关第一次闭合后,出现红灯和绿灯的概率都是,从开关第二次闭合起,若前一次出现红灯,则下一次出现红灯的概率是,出现绿灯的概率是;若前一次出现绿灯,则下一次出现红灯的概率是,出现绿灯的概率是.(1)第二次闭合后出现红灯的概率是多少?(2)前三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少?【解析】(1)概率P 1=P (红红)+P (绿红)=×+×=.(2)概率P 2=P (红绿绿)+P (绿红绿)+P (绿绿红)=××+××+××=.。