人大附中二轮复习文科三角函数
高三数学二轮专题复习 三角函数
三角函数二轮复习建议三角函数内容主要有两块；一是三角函数的图象和性质，二是三角恒等变换．近三年高考中基本上是一个小题（三角函数的图象与性质）、一个大题（三角恒等变换），大都是容易题和中等题，难度不大，容易得分，也是必须要得分的．第1~2课时 三角函数的图象和性质基本题型一：求三角函数的周期例 1 函数f (x )＝3sin(2x ＋π3)的最小正周期为 ；图象的对称中心是 ；对称轴方程是 ；当x ∈[0，π2]时，函数的值域是 ． 说明：1．函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图像与参数A ，w ，ϕ的关系；通过换元可将y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象转化为对y ＝A sin x 的图象的研究．2．对于三角函数的图象与性质，周期性是最本质的内容，周期与一个最高点就可决定决定整个三角函数的图象．3．此类问题呈现的形式有三种：①正面呈现，象例1的形式；②给出函数的一部分性质，如已知直线y ＝a (0＜a ＜A )与函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象的三个相邻交点的横坐标为2，4，8，写出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一个单调增区间；③以图象形式呈现，给出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一部分图象．例2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．说明：方法一 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，从而2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6． 方法二 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，所以f (x )的图像可以看作是sin x 的图像向右移了π6个单位，即向左移了11π6个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6． 基本策略：根据函数的图像先确定振幅A ，再确定周期T ．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f (x )的形式，再分别按照f (x )→f (x －a )，f (x )→f (ωx )，f (x )→f (x )＋k ，f (x )→Af (x )的变化特征写出变换后的函数解析式．例3 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？说明：对于此类以图形为背景的应用题，重点应放在变量的选择上．例4 已知函数f (x )＝2sin x (sin x －cos x )＋2，x ∈R ．（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）求函数在区间[π8，3π4]上的最大值和最小值； （3）若f (α)＝3－425，0＜α＜π2，求cos2α的值． 说明：此类题型的考查要求虽然不高，不要深挖，但在二轮复习中还要涉及一点．基本策略：利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (ω＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx ＋φ看作是一个角的大小，结合y ＝sin x 的单调区间和ωx ＋φ关于x 的单调性进行判断．第3~4课时 三角恒等变换例1 cos(－600°)＝ ．说明：利用诱导公式将其转化为特殊角的三角函数值，也可根据三角函数定义利用数形结合直接求值．例2 若3cosα＋4sinα＝5(0＜α＜π)，求tan(α＋π4)的值． 说明：1．重视最基本方法的运用，即把cosα，sinα当成未知数，通过解方程组求得cosα，Csinα；2．在三角函数求值中要注意两点：①根据角之间的关系选择适当的三角变换；②根据角所在象限确定三角函数值的符号，要加以说明（题目条件中已经给定，角的范围太大，需要由几个条件或解题过程中得到的结论共同确定）．例3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为 ． 说明：利用二倍角公式对f (x )进行化简，转化为用基本不等式求解的最值问题．例4 已知tan(π4＋α)＝12． (1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．基本策略：在化简过程中，通过变角、变名、变次，换元等将其转化为最简单的三角函数或简单的初等函数．第5~6课时 解三角形 例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3．（1）求△ABC 的面积；（2）若c ＝1，求a 的值．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3． （1）求sin C 的值；（2）求△ABC 的面积．说明：1．根据条件，结合图形灵活选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．2．向量中有关概念的理解，公式的正确使用．例3 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ⊥CD ，∠DBC ＝60°，AB ＝23，BD ＝4，求CD 的长．说明：这种以图形为载体的三角函数求值问题（与解三角形联系）在高考中也是一种常见题型，其关键是要弄清图中各种量（边、角）之间的关系，合理选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换进行求解．例4 (08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o 的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．说明基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．在二轮复习过程中，对于三角函数的复习应突出以下重点：1．三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性，充分体现数形结合的思想．2．三角函数与代数、几何、向量的综合联系，尤其是以图形为背景的一类数学问题．3．三角恒等变换的核心是根据角之间的关系，选择适当的三角公式，在求值时应强调三角函数值的符号由角所在象限确定．4．上述一些例题仅供参考，教学中应适当增加一些相似题、变式题，同时还需选择一定量的练习加以巩固．5．本单元二轮专题和课时建议：AO D B C H A O D B C A O D B C。
文科数学高考二轮复习专题篇三角函数2关于辅助角公式的一个定理及其应用
对于协助角公式的一个定理及其应用定理 1设函数 f (x) a sin x b cos x(a 2b20) ，则sin xaa2b2a2b2；(1)当且仅当cosxb时， f (x)max a2b2sin xaa2b2(2)当且仅当时，f (x)min a2b2．cosxba2b2a2b2证法 1由于 1 ，因此可设a2 b 2 a 2 b 2acos,bsin，得a 2b2 a 2b2f (x) a sin x b cosx a2b2ab2sin x bb2cos x a2b2 sin( x) (1)a 2a2sin x cosaa2b2(1)当且仅当x2k(k Z )即时，2bcosx sina2b2f (x) max a2b2．sin x cosaa 2b2(2)当且仅当x2k(k Z )即2cos x sin b时，a 2b 2f (x) min a2b2．证法 2由于函数f ()asinx bcos(a2b20)可化成f ( x)a22sin( x) x x b的形式，因此x0是f (x)的最值点x0是 f ( x) 的极值点f( x0 )0 b sin x0 a cos x0又由于b sin x0 a cos x0b2 sin 2 x0 a2 cos2 x0 a 2 (1 sin 2 x0 ) sin x0aa2b2sin x0aa2b2(同时选“ +”或同时选“” )(2) bcos x0a2b2明显， (2)bsin x0 a cos x0．因此， x0是f( x) 的最值点(2) ．由此可得欲证．注由恒等式 (1)及sin2cos21简单记忆定理．推论 1设函数 f (x) a sin x b cos x(a 2b20) ，则(1)当且仅当b sin x a cosx 时， f ( x)取到最值；(2)当且仅当b sin a cos时，曲线 y f ( x) 对于直线x对称．推论 2若函数 f (x) a sin x b cos x(a0, b0) (定义域是D)，则(1)当D0,时， f ( x) max a 2b2；2(2)当D, 3时， f (x)min a2b2．2推论 3若函数 f (x) a sin x b cos x(a0, b0) (定义域是D)，则(1)当D2,时， f ( x)max a2b2；(2)当D,0时， f ( x)min a2b2．2题 1 (2013年高考全国卷新课标I 理科第 15 题 )设当x时，函数 f ( x) sin x2cos x 获得最大值，则 cos．答案255解由定理1(1)得cos 225 ．55题 2(2008 年高考浙江卷理科第8 题)若cos2sin5，则 tan()1B.2C.1D.-2A.22答案B解设 f (x)2sin x cos x ，由题意得，当x时 f ( x) 取最小值，因此由定理1(2)得sin 212．,cos，得 tan55题 3(2006 年高考湖南卷理科第14 题 )若f ( x) a sin x4b sin x4(ab0)是偶函数，则有序实数对(a,b) 能够是____．(写出你以为正确的一组数即可)答案(a, a)(a0)解得f (x)absin x abcos x( ab0) ， f (x) 是偶函数即曲线y f ( x) 对于直22线 x 0 对称，因此由推论1(2)，得a bnis0abcos0 即b a0 ，因此(a,a)(a0) 22是所求的全部答案．题 4若函数 f (x)sin 2x a cos2x 的图像对于直线x8对称，则 a()A.2B.2C.1D.1答案D解题设即函数 g ( x)sin x acos x 的图像对于直线x对称，因此由推论 1(2)，4得 a sin1cos, a 1 ．44题 5已知函数 f (x) 2 sin x 4 cosx x,3．6(1)求函数 f ( x) 的值域；(2)求函数 f ( x) 的最值点．解(1) 由于函数 f ( x) 的定义域包括了一个周期,2，因此该函数的值域是6 625,25．s ix n1(2) 由定理1(1)知，当且仅当5x3即s26c ox5x arcsin55时函数 f ( x) 取到最大值．,2arcsin55sin x15由定理1(2) 知，当且仅当x3即26cosx5x arcsin5,2arcsin5时 (由于可证arcsin5)函数f ( x)取到最小值．556555所以函数 f ( x) 的最大值点是x a r c s i n ,2 a r c s i n，最小值点是55x55a r c s i n ,2 a r c s i n ．55题 6 (1)求函数 f ( x)2sin x 4 cos x(x[0, )) 的值域及最值点；(2)求函数g (x)2sin x 4 cosx x,2的值域及最值点．23sin x15(01解(1) 由定理 1知当且仅当x ) 即x arcsin时函数 f ( x) 取cosx2551sin x到最大值 2 5 ；当且仅当5 (0 x) (但此时x?) 时函数 f (x) 取到最小值2cosx52 5 ．因此函数 g (x) 没有极小值点且有独一的极大值点，又由于 f (0) 4, lim f ( x) 4 ，所x以函数 g ( x) 的值域是 ( 4,25] ，最大值点是 x arcsin1，无最小值点．5sin x152(2) 由定理1 知当且仅当x( 但此时 x ?) 时函数 g( x) 取到最2 2 3cosx5sin x152大值2 5；当且仅当x(但此时 x?) 时函数 g( x) 取到最小值cosx2 2352 5 ．因此函数 g( x) 没有极值点，即 g(x) 是单一函数，从而可得g (x) 是减函数，因此其值域是 (3 2,2] ，最大值点是x，无最小值点．2题 7 求函数 z 2t4 6 t 的值域及最值点．解设2t 4x, 6 t y ， 得 x 22 y 216(x 0, y 0)，因此可设x4 cos , y2 2 sin，得 z xy 4 cos2 2 sin．22设函数 f ( )2 2 sin4 cos．2sin 13arcsin 1即 x时函数 f ( ) 取到最由定理 1 知当且仅当cos2 233sin13；由定理 1 知当且仅当大值2 62 (但此时?) 函数 f ( ) 取到cos23最小值2 6 ．因此函数 f ( ) 的最小值是min f (0), ff2 2 ，从而可得函数 z 的值22域是 [22,2 6 ] ，最大值点是t 10，最小值点是 t 2 ．3题 8(同济大学 2004 年自主招生优异考生文化测试数学试卷第9 题 )试利用三角函数求函数求函数 f ( x)42 x2x 1x2的最大值与最小值．解可设 x sin22，得 f (x)1sin2cos2 3 ．2sin 215 (1arcsin1由定理 1知当且仅当2) 即时函数 f ( x) 取cos22255s i 2n155到最大值3；由定理 1知当且仅当(2) 即22c o2s511时函数 f(x) 取到最小值35．arcsin5222x－ y－ 1≤0，题 9(2014 年高考山东卷理科第9 题即文科第10 题 )已知 x，y 知足拘束条件2x－ y－ 3≥0，当目标函数z＝ ax＋ by(a>0，b>0) 在该拘束条件下取到最小值 2 5时，a2＋ b2的最小值为 ()A ． 5B． 4 C. 5D． 2答案B解由题设，得 2a b 2 5(a0, b 0) .可设a2b2t 2 (t 0) ，因此还可设 a t cos, b t sin 0.2由 2a b25 ，可得 t 2 5.求a2b2的最小值即求 t 的最小值，即求正数sin2cossin2cos 0的最大值．2由定理 1(1)知，当且仅当(sin, cos) 1 ,2时， sin2cos (R )取最大值555.因此当且仅当(sin, cos )12时， sin2cos 0取最大值 5 ，,552即 t 的最小值是 2．因此当且仅当 (a, b)4 , 2 时， a 2＋b 2 取最小值 4．5 5注 用柯西不等式求解题 9 最快．题 10 (1)(2014年高考辽宁卷理科第 16 题 ) 对 于 c 0 ， 当 非 零 实数 a, b 满 足4a 22ab 4b 2c 0 ，且使 2a b 最大时， 34 5 的最小值为 ．ab c(2)(2014年高考辽宁卷文科第 16 题) 对 于 c 0 ， 当 非 零 实 数 a, b 满 足4a 22ab b 2c 0 ，且使 | 2a b | 最大时， 1 2 4 的最小值为．a b c答案(1)2 (2) 1bc c o s222a解(1)可得b 1 5bc (c，因此可设2即2a20 )15b2c sin22ac cos1sin15sincos .15，得 2a bcbc2 sin5156a 3 10csin20由定理1 得，当且仅当4(二者的正负号一致，下同 )即时1010cbcos1042a b 最大，从而可求得答案．(2)同上可求．题 11 (2014 年高考山东卷理科第 15 题 )已知函数 y ＝ f( x)(x ∈ R )，对函数 y ＝ g(x)(x ∈ I)，定义 g(x)对于 f(x)的 “对称函数 ”为函数 y ＝ h(x)( x ∈I )，y ＝ h(x)知足：对随意 x ∈ I ，两个点 (x ，h(x))，(x ， g(x)) 对于点 (x ， f(x))对称．若 h(x)是 g(x)＝ 4－ x 2对于 f( x)＝ 3x ＋b 的 “对称函数 ”，且 h(x)＞ g(x)恒建立，则实数 b 的取值范围是 ________．答案 (2 10，＋ ∞)解 可得题意即 b4 x 2 3x 恒建立．由于2 x 2 ，因此可设 x 2cos (0 ) ，得 b 2(sin 3cos )(0 )恒建立．1sin10由推论 3(1) 知，当且仅当时， (sin3 cos )max10 ．因此所求b的3cos x10取值范围是 (2 10，＋∞)．。
人大附中高三二轮复习文科解析几何
文科解析几何 2014期末1. （本题共14分）丰台已知抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA ，OB 的斜率之积为12-,求证：直线AB 过x 轴上一定点.2.（本小题共14分）海淀 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，右顶点A 在 圆F ：222(1)(0)x y r r -+=>上.（Ⅰ）求椭圆C 和圆F 的方程；（Ⅱ）已知过点A 的直线l 与椭圆C 交于另一点B ，与圆F 交于另一点P .请判断是否存在斜率不为0的直线l ，使点P 恰好为线段AB 的中点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.3.（本题满分14分）朝阳已知椭圆C 两焦点坐标分别为1(2,0)F -,2(2,0)F ，一个顶点为(0,1)A -.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为(0)k k ≠的直线l ，使直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，满足AM AN =. 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.4.（本小题共13分）东城 已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为32，右焦点为(3,0)． （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点且斜率为k 的直线与椭圆交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 若1212220x x y y a b+=，求斜率k 的值.5．（本小题满分14分）西城已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D . 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.6.(本小题满分13分)昌平 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为23，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线l 与椭圆C 交于两点,A B .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足+=uu r uu u r uu u r OA OB tOP （O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.7．（本小题满分14分）石景山 已知椭圆：（）过点(20)，，且椭圆的离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段MN 的中点，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.答案：1.解：（Ⅰ）因为抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，所以1,22p p ==. 得到抛物线方程为24y x =.----------------------------------4分（Ⅱ）①当直线AB 的斜率不存在时设A 22(,),(,)44t t t B t - 因为直线,OA OB 的斜率之积为12-,所以221244tt t t -=-化简得232t =. 所以(8,),(8,)t B t -,此时直线AB 的方程为8x =.----------------7分②当直线AB 的斜率存在时设直线的方程为,(,),(,)A A B B y kx b A x y B x y =+联立方程24y x y kx b⎧=⎨=+⎩化简得2440ky y b -+=.------------------9分 根据韦达定理得到4A B b y y k=,因为直线,OA OB 的斜率之积为12-, 所以得到12A B A B y y x x =-即20A B A B x x y y +=.--------------------11分 得到222044A B A B y y y y +=, 化简得到0A B y y =（舍）或32A B y y =-.--------------------12分 又因为432,8A B b y y b k k==-=-,所以8,(8)y kx k y k x =-=-. 上所述，直线AB 过定点（8，0）.-------------------------14分2. （本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分 又由题意可得12c a =，所以2a =， --------------2分 所以2223b a c =-=, ----------------------------------3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ---------------------------------4分 所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分 代入圆F 的方程，可得21r =,所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分 （Ⅱ）法1：假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件， -----------------------------7分由22(2),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分 设11(,)B x y ，则21216243k x k +=+, ---------------------------------9分 可得中点22286(,)4343k k P k k -++， --------------------------------11分 由点P 在圆F 上可得2222286(1)()14343k k k k --+=++ 化简整理得20k = --------------------------------13分 又因为0k ≠，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------------14分 （Ⅱ）法2：假设存在直线l 满足题意.由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径， -----------------------------7分所以OP AB ⊥. ------------------------------8分 由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==. --------------------------------9分设点11(,)B x y ，则由题意可得2211143x y +=. --------------------------------10分 又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分所以22222211111||3(1)3444x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分 这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分3..解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>.则依题意 2c =，1b =，所以2223a b c =+= 于是椭圆C 的方程为2213x y += ….4分 （Ⅱ）存在这样的直线l . 依题意，直线l 的斜率存在 设直线l 的方程为y kx m =+，则 由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(31)6330k x kmx m +++-=因为2222364(31)(33)0k m k m ∆=-+->得22310k m -+>……………… ①设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)P x y ，则12221226313331km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩于是000223,3131km m x y kx m k k =-=+=++ 因为AM AN =，所以AP MN ⊥. 若0m =，则直线l 过原点，(0,0)P ，不合题意.若0m ≠，由0k ≠得，0011y k x +=-，整理得2231m k =+…② 由①②知，21k <， 所以11k -<< 又0k ≠，所以(1,0)(0,1)k ∈- . ….14分4.（共13分）解：（Ⅰ）依题意有3c =，又32c a =，即2a =，221b a c =-=． 故椭圆方程为2214x y +=． …………………………………………………5分 （Ⅱ）因为直线AB 过右焦点(3,0)，设直线AB 的方程为 (3)y k x =-. 联立方程组2214(3).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 并整理得2222(41)831240k x k x k +-+-=． 故21228341k x x k +=+，212212441k x x k -=+．212122(3)(3)41k y y k x k x k -=-⋅-=+． 又1212220x x y y a b +=，即121204x x y y +=．所以22223104141k k k k --+=++， 可得22k =±．…………………………………13分 5．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分 由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以 114k ->，解得 34k <. 因为 0k >，所以 304k <<. ………… 5分 （Ⅱ）解：结论：四边形ABDC 不可能为梯形. ……………… 6分 理由如下：假设四边形ABDC 为梯形. ……………… 7分 由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=， 由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 8分 同理，得211x k=--. ……………… 9分 对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线BD 的斜率为1222x k =-， ……………… 10分抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的斜率为2222x k =--. ………………11分 由四边形ABDC 为梯形，得//AB CD 或//AC BD .若//AB CD ，则22k k =--，即2220k k ++=， 因为方程2220k k ++=无解，所以AB 与CD 不平行. ………………12分若//AC BD ，则122k k -=-，即22210k k -+=， 因为方程22210k k -+=无解，所以AC 与BD 不平行. ……………13分所以四边形ABDC 不是梯形，与假设矛盾.因此四边形ABDC 不可能为梯形. ……………14分 6(本小题满分13分)解：（I ）因为所求椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为223c =,所以3c =. 设过焦点且垂直于长轴的直线为x c =.因为过焦点且垂直于长轴的直线l 被椭圆截得的弦长为1， 代入椭圆方程解得：2b y a=±，即212b a =. 由22223,,1,2c a b c b a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,1,3.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以所求椭圆的方程为： 2214x y +=. ……… 6分 （Ⅱ）设过点(3,0)M 的直线l 的斜率为k ,显然k 存在. （1）当0k =时，0+==uu r uu u r r uu u r OA OB tOP ，所以0t =.（2）当0k ≠时，设直线l 的方程为(3)y k x =-. 由22(3),14=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消y 并整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=.当2422244(14)(364)0k k k ∆=-+->时，可得2105k <<. 设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则21222414k x x k +=+，212236414k x x k -⋅=+. 因为OA OB tOP +=uu r uu u r uu u r , 所以121200(,)(,)++=x x y y t x y . 所以20122124()(14)k x x x t t k =+=+ , 012122116()[()6](14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+. 由点P 在椭圆上得222222222(24)1444(14)(14)k k t k t k +=++. 解得222236991414k t k k ==-++. 因为2105k <<，所以24045k <<.所以291145k <+<.所以2511914k <<+. 所以295914k <<+.所以299514k -<-<-+.所以2909414k<-<+. 所以204t <<.所以(2,0)(0,2)t ∈- . 综合(1) (2)可知(2,2)t ∈- ………13分。
高三二轮复习三角函数 图像和性质解答题专题2015.09.19
《三角函数》二轮复习 图像和性质解答题专题【学习目标】 知识目标：通过对三角函数图象和性质的认识，能够熟练应用三角函数的性质解决相关问题； 能力目标：1.通过对三角公式的理解，能够熟练应用公式对函数进行化简，特别是辅助角公式的灵活应用；2.通过对三角函数图象的深刻理解，能够熟练进行三角函数图像变换；3.通过对三角函数图象和性质的理解，利用数形结合的思想能够熟练求出三角函数的单调区间、最值、对称中心、对称轴等。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
【教学重点】化简整理，整体代换思想；【教学难点】整体代换思想，数形结合思想的应用；【模拟题练习】1.（15年海淀一模理）（本小题满分13分）已知函数2π()sin ()4f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程； （Ⅱ）求π()3f x -的单调递减区间.2.．（15年西城一模理）（本小题满分13分）设函数π()4cos sin()3f x x x =-，x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1=y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离.教师复备或学生笔记3.（15年丰台一模理）（本小题共13分）已知函数21()coscos2222xxxf x ωωω=+-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．4．（15年石景山一模理）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. (Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C，且a =1c =，求b .5.（15年东城二模理）（本小题共13分）已知函数2sin 22sin ()sin x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值； （Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．6.(2015届海淀期末) （15）（本小题满分13分）函数π()cos(π)(0)2f x x ϕϕ=+<<的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出ϕ及图中0x 的值；（Ⅱ）设1()()()3g x f x f x =++，求函数()g x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值.已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x （Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 、8. (2015届东城期末)（15）（本小题共13分）已知函数()sin()(,0,0,||2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R 部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．已知函数2())cos()2cos ()1444f x x x x πππ=+++--，x ∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0,]2π上的最大值和最小值及相应的x 的值．10.(2015届昌平期末) 15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． ( I ) 求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的最大值及取得最大值时的x 值．11.（2015届大兴期末）已知函数22()3sin cos cos ()f x x x x x x =++∈R .（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调减区间； （Ⅱ）若2)(0=x f ，0π[0]2x ∈，，求0x 的值.12.（15年房山一模文）（本小题共13分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）当1[6,]3x ∈--时，求函数()y f x =的最大值与最小值及相应的x 的值．13.（15年延庆一模文） （本小题满分13分）直角坐标系xoy 中，锐角α的终边与单位圆的交点为P ，将OP 绕O 逆时针旋转到OQ ，使α=∠POQ ，其中Q 是OQ 与单位圆的交点，设Q 的坐标为),(y x .（Ⅰ）若P 的横坐标为53，求x y；（Ⅱ）求y x +的取值范围.14.（15年海淀二模文）（本小题满分13分） 已知函数()4sin cos 2f x x x =-. （Ⅰ）求π()6f ；（Ⅱ）求函数的最小值.()f x15．（15年西城二模文）（本小题满分13分） 已知函数cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间.16.（15年东城二模文）（本小题共13分）已知函数)π322cos()3π2cos()(+++=x x x f ，()cos 2g x x =. （Ⅰ）若)2π,4π(∈α，且353)(-=αf ，求()g α的值； （Ⅱ）若x ]3π,6π[-∈，求)()(x g x f +的最大值.已知函数x x x x x f 2sin )cos sin 32(cos )(-+⋅=． （Ⅰ）求函数)(x f 在区间π[,π]2上的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若0()2,f x =且0(0,2π)x Î，求0x 的值．18.（15年丰台二模文）（本小题共13分）已知函数2()2cos ()12f x x ωπ=+（其中0>ω，∈x R ）的最小正周期为2π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果[0,]2απ∈，且58)(=αf ，求αcos 的值．已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+的单调递增区间.20.（2015北京卷）（本小题满分13分）已知函数()2sin 2xf x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值。
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习29---三角函数与解三角形热点问题
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第29讲三角函数与解三角形热点问题核心热点真题印证核心素养三角函数的图象与性质2022·全国Ⅰ，7；2022·全国Ⅲ，16；2022·天津，8；2019·全国Ⅰ，11；2019·北京，9；2019·全国Ⅲ，12；2019·天津，7；2018·全国Ⅱ，10；2018·全国Ⅰ，16；2018·全国Ⅲ，15直观想象、逻辑推理三角恒等变换2022·全国Ⅰ，9；2022·全国Ⅱ，2；2022·全国Ⅲ，9；2019·全国Ⅱ，10；2019·浙江，18；2018·浙江，18；2018·江苏，16；2018·全国Ⅱ，15；2018·全国Ⅲ，4逻辑推理、数学运算解三角形2022·全国Ⅰ，16；2022·全国Ⅲ，7；2022·北京，17；2022·天津，16；2022·新高考山东，17；2022·浙江，18；2019·全国Ⅰ，17；2019·全国Ⅲ，18；2019·北逻辑推理、数学运算京，15；2019·江苏，15；2018·全国Ⅰ，17三角函数的图象与性质(必修4P147复习参考题A 组第9题、第10题)题目9 已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x . (1)求它的递减区间； (2)求它的最大值和最小值．题目10 已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合．[试题评析]两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后利用三角函数的性质求解. 【教材拓展】 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z}， f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．探究提高 1.将f (x )变形为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数．2．把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【链接高考】(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R. (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数， 所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)， 即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由于x ∈R ，知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[－1,1]，因此，所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.三角函数与平面向量【例题】(2021·湘赣十四校联考)已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(3，cos x )，且函数f (x )＝m ·n .(1)若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (x )＝23，求sin x 的值；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝7，△ABC 的面积为332，且f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝73b sin C ，求△ABC 的周长．[自主解答]解 (1)f (x )＝m ·n ＝(sin x ，－1)·(3，cos x ) ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∵f (x )＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝13.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝223.∴sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝13×32＋223×12＝3＋226. (2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝73b sin C ， ∴2sin A ＝73b sin C ，即6sin A ＝7b sin C ． 由正弦定理可知6a ＝7bc . 又∵a ＝7，∴bc ＝6.由已知△ABC 的面积等于12bc sin A ＝332，∴sin A ＝32. 又∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.由余弦定理，得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2＝7，故b 2＋c 2＝13， ∴(b ＋c )2＝25，∴b ＋c ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对边、角进行互化． 2．这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、余弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”．【尝试训练】(2021·沧州质检)已知a ＝(53cos x ，cos x )，b ＝(sin x,2cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋|b |2.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调减区间；(3)当π6≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解 f (x )＝a ·b ＋|b |2＝53cos x sin x ＋2cos 2x ＋sin 2x ＋4cos 2x ＝53sin x cos x ＋sin 2x ＋6cos 2x ＝532sin 2x ＋1－cos 2x 2＋3(1＋cos 2x ) ＝532sin 2x ＋52cos 2x ＋72＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72.(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．(3)∵π6≤x ≤π2，∴π2≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴1≤5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72≤172. ∴当π6≤x ≤π2时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，172.解三角形【例题】(12分)(2022·全国Ⅱ卷)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ．(1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． [规范解答]解 (1)由正弦定理和已知条件得用正弦定理化角为边BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①2′由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．② 由①②得cos A ＝－12. 用余弦定理化边为角4′因为0<A <π，所以A ＝2π3.6′ (2)由正弦定理及(1)得AC sin B＝AB sin C＝BC sin A＝23，8′从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B ． 故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B＝3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 两角和正弦公式的逆用10′又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 三角函数性质的应用12′❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出0<A <π就有分，没写就扣1分，第(2)问中0<B <π3也是如此．❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos A ，第(2)问中ACsin B＝AB sin C＝BC sin A＝23等．❸保证正确得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如第(1)问中，cos A ＝－12，若计算错误，则第(1)问最多2分；再如第(2)问3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3化简如果出现错误，则第(2)问最多得2分．……利用正弦、余弦定理，对条件式进行边角互化……由三角函数值及角的范围求角……由正弦、余弦定理及条件式实现三角恒等变换……利用角的范围和三角函数性质求出最值……检验易错易混，规范解题步骤得出结论【规范训练】(2022·浙江卷)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2b sin A －3a ＝0. (1)求角B 的大小；(2)求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围． 解 (1)由正弦定理，得2sin B sin A ＝3sin A ，故sin B ＝32，由题意得B ＝π3. (2)由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝2π3－A . 由△ABC 是锐角三角形，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 .由cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝－12cos A ＋32sin A ，得 cos A ＋cos B ＋cos C ＝32sin A ＋12cos A ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12∈⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32. 故cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.1．(2019·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ， 3c sin B ＝4a sin C ． (1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B＝c sin C，得b sin C ＝c sin B ．又由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a . 因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6 ＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R.(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)， ∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2.3．已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长．解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12. (2)f (C )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12， ∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3. 又(a ＋b )2－2ab cos π3＝7＋2ab ， ∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7， 故△ABC 的周长为4＋7.4．(2021·东北三省三校联考)已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2tan A ＝a 2tan B ，2sin 2A ＋B 2＝1＋cos 2C .(1)求角A 的大小； (2)若点D 为AB 上一点，满足∠BCD ＝45°，且CD ＝32－6，求△ABC 的面积． 解 (1)由2sin 2A ＋B2＝1＋cos 2C 得1－cos(A ＋B )＝2cos 2C ，即2cos 2C －cos C －1＝0， 解得cos C ＝－12(cos C ＝1舍去)，故C ＝120°. 因为asin A ＝bsin B ，b 2tan A ＝a 2tan B ，所以sin 2B sin A cos A ＝sin 2A sin B cos B， 即sin A ·cos A ＝sin B cos B ，故sin 2A ＝sin 2B ，因此A ＝B 或A ＋B ＝90°(舍去)，故A ＝30°.(2)由(1)知△ABC 为等腰三角形，设BC ＝AC ＝m ，由S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD 得12m 2·sin 120°＝12m · CD ·sin 45°＋12m ·CD ·sin 75°，整理得32m＝CD⎝⎛⎭⎪⎫22＋2＋64＝()32－6×32＋64，解得m＝23，故S△ABC＝12m2·sin 120°＝3 3.5．(2021·郑州调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S＝b2＋c2－a24.(1)若a＝6，b＝2，求cos B；(2)求sin(A＋B)＋sin B cos B＋cos(B－A)的最大值．解(1)∵S＝b2＋c2－a24，∴12bc sin A＝b2＋c2－a24，即sin A＝b2＋c2－a22bc＝cos A，则tan A＝1，又A∈(0，π)，∴A＝π4.由正弦定理asin A ＝bsin B，得622＝2sin B，∴sin B＝66，又a>b，∴cos B＝1－16＝306.(2)由第(1)问可知，A＝π4，sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＋sin B cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4 ＝22sin B ＋22cos B ＋sin B cos B ＋22cos B ＋22sin B ＝2(sin B ＋cos B )＋sin B cos B ，令t ＝sin B ＋cos B ，则t 2＝1＋2sin B cos B ，sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )＝2t ＋12(t 2－1)， 令y ＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32，t ∈(0，2]， ∴当t ＝2，即B ＝π4时， sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )取得最大值52.。
人大附中高三二轮复习文科导数
文科导数 2014期末1. （本题共14分）丰台已知函数32211()+232f x x ax a x =-.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的极值点； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.2．（本小题共13分）海淀已知函数()()e x f x x a =+，其中a 为常数.（Ⅰ）若函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2()e f x ≥在[0,2]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围.3.（本题满分13分）朝阳已知函数322()f x x ax a x =--，其中0a ≥.（Ⅰ）若(0)4f '=-，求a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[]0,2上的最小值.4.（本小题共13分）东城已知函数()ln (0)f x x ax a =->. （Ⅰ）当2a =时，求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()0f x <，求a 的取值范围.5．（本小题满分13分）西城已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.6.(本小题满分13分)昌平设函数2()ln ,,=-∈R f x a x bx a b .（Ⅰ）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12=-y ,求实数,a b 的值； （II ）若1b =，求函数()f x 的最大值.7.（本小题满分13分）海淀期中如图，已知点(11,0)A ，函数1y x =+的图象上的动点P 在x 轴上的射影为H ，且点H 在点A 的左侧.设||PH t =，APH ∆的面积为()f t .（I ）求函数()f t 的解析式及t 的取值范围； （II ）求函数()f t 的最大值. 8．（本小题满分14分）朝阳期中已知函数21()(3)3ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设点00(,())A x f x 为函数()f x 的图象上任意一点，若曲线()f x 在点A 处的切线的斜率恒大于3-，求m的取值范围．9．（本小题满分13分）石景山已知函数x e x f x2)(-=（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 使不等式()f x mx <成立，求实数m 的取值范围.H AO Pxy答案：1.解：（Ⅰ）当1a =时，3211()232f x x x x =+-.------------------------1分 所以2()2f x x x '=+-.--------------------------------------3分 令()0f x '=得，122,1x x =-=.-------------------------------4分'()f x 与()f x 变化规律如下表：x(-∞,-2)-2 (-2,1) 1 (1,+∞) ()f x ' + 0 - 0 + ()f x↑极大值 ↓极小值↑所以函数()f x 的极大值点为-2，极小值点为1.-------------------6分 （Ⅱ）22()2f x x ax a '=+- ---------------------------------------8分令()0f x '=,得122,x a x a =-=.---------------------------------9分 （1）当0a =时,2()0f x x '=≥, ()f x 在的单调递增区间为(,)-∞+∞-----10分 （2）当0a >时，'()f x 与()f x 变化规律如下表：x(-∞,-2a ) -2a (-2a ,a ) a(a ,+∞)()f x ' + 0 - 0+ ()f x↑极大值 ↓极小值↑所以f (x )的增区间是(-∞,-2a )和(a ,+∞)，减区间是(-2a ,a )------- 12分 （3）当0a <时，'()f x 与()f x 变化规律如下表：x(-∞,a ) a (a ,-2a ) -2a(-2a ,+∞)()f x ' + 0 - 0+ ()f x↑极大值 ↓极小值↑所以f (x )的增区间是(-∞,a )和(-2a ,+∞)，减区间是(a ,-2a ) 综上所述，当0a =时,2()0f x x '=≥,f (x )在R 上单调递增；当0a >时，f (x )的增区间是(-∞,-2a )和(a ,+∞)，减区间是(-2a ,a )；当0a <时，f (x )的增区间是(-∞,a )和(-2a ,+∞)，减区间是(a ,-2a ).--14分 （无综上所述不扣分）2．（本小题共13分）解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分 因为1y x a =++是增函数，所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. ---5分 （Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分(),'()f x f x 的情况如下：x (,1)a -∞--1a --(1,)a --+∞'()f x -0 +()f x↘极小值↗--------------------------------------10分①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ， 若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2e a ≥，所以此时，2e a ≥；-----11分 ②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，所以a 不存在；-------12分 ③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f ,若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,所以此时，a 不存在. -----------13分 综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞.3. 解：（Ⅰ）已知函数322()f x x ax a x =--，所以22()32f x x ax a '=--，2(0)4f a '=-=-，又0a ≥，所以2a =. 又(1)5,(1)5f f '=-=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为50x y +=. ………….…..…5分 （Ⅱ）[]0,2x ∈，22()32()(3)f x x ax a x a x a '=--=-+ 令()0f x '=，则12,3ax x a =-=. （1）当0a =时，2()30f x x '=≥在[]0,2上恒成立，所以函数()f x 在区间[]0,2上单调递增，所以min ()(0)0f x f ==；（2）当02a <<时，在区间[0,)a 上，()0f x '<，在区间(,2]a 上，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[0,)a 上单调递减，在区间(,2]a 上单调递增，且x a =是[]0,2 上唯一极值点，所以3min ()()f x f a a ==-；（3）当2a ≥时，在区间[]0,2上，()0f x '≤（仅有当2a =时(2)0f '=），所以()f x 在区间[]0,2上单调递减 所以函数2min ()(2)842f x f a a ==--. 综上所述，当02a ≤<时，函数()f x 的最小值为3a -，2a ≥时，函数()f x 的最小值为2842a a -- ………………13分4.（共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，因为(ln 2f x x x =-）， 所以112'(2xf xx x-=-=）(0)x >． 所以，当102x <<时，'()0f x >；当12x >时，'()0f x <．所以，函数(f x ）的单调递增区间为1(0,)2，递减区间为1(,)2+∞． 且函数(f x ）在12x =时，取得极大值11(ln 122f =-），无极小值． ……6分 （Ⅱ）因为11'(ax f x a x x-=-=），又0a >，所以，当10x a<<时，'()0f x >；当1x a >时，'()0f x <．即函数(f x ）在1(0,)a 上单调递增；在1(,)a +∞单调递减． 所以函数(f x ）在1x a =时，取得最大值11(ln 1f a a=-）． 因为对于任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x <， 所以1(0f a <），即1ln 10a-<，可得1e a >． 即a 的取值范围是1(,)e+∞． ……………13分5.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e x f x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++． …………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：x(,1)a -∞--1a --(1,)a --+∞()f x '-+()f x↘ ↗……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．所以当10a --≤，即1a -≥时，()f x 在[0,4]上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为min ()(0)f x f a ==； ……………… 8分 当401a <--<，即51a -<<-时，()f x 在(0,1)a --上单调递减， ()f x 在(1,4)a --上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为1min ()(1)e a f x f a --=--=-；………………10分 当41a --≥，即5a -≤时，()f x 在[0,4]上单调递减，故()f x 在[0,4]上的最小值为4min ()(4)(4)e f x f a ==+. ………………12分所以函数()f x 在[0,4]上的最小值为1min4, 1,()e , 51,(4)e , 5.a a a f x a a a ---⎧⎪=--<<-⎨⎪+-⎩≥≤ ……13分 6.(本小题满分13分)解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞.'()2af x bx x=-， 因为曲线()f x 在1x =处与直线12y =-相切，所以'(1)20,1(1),2f a b f b =-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩解得1,1.2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩……6分(Ⅱ) 当1b =时，2()ln f x a x x =-.因为222()22'()2ax a x a f x x x x x---+=-==, （1）当0a =时，'()2f x x =-. 因为0x >时，'()0f x <， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，无最大值. （2）当0a <时，202ax ->， 所以0x >时，'()0f x <， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，无最大值.（3）当0a >时，2()()22'()a a x x f x x-+-=. 因为'()0f x >时，02ax <<， '()0f x <时，2a x >， 所以()f x 在(0,)2a 上单调递增，在(,)2a+∞上单调递减. 所以max ()()ln 2222==-a a a af x f . ………13分 7.（本小题满分13分）解：（I ）由已知可得1x t +=，所以点P 的横坐标为21t -,----------------------------2分因为点H 在点A 的左侧，所以2111t -<，即2323t -<<. 由已知0t >，所以023t <<，----4分所以2211(1)12,AH t t =--=-所以APH ∆的面积为21()(12),0232f t t t t =-<<.-----6分（II ）233'()6(2)(2)22f t t t t =-=-+- --------------------------7分 由'()0f t =，得2t =-（舍）,或2t =. --------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况如下：t(0,2)2 (2,23) '()f t+ 0 -()f t↗极大值↘------------------------------------12分 所以当2t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分 8.解：（Ⅰ） 依题意，()f x 的定义域为()0,+∞，3()(3)m f x x m x '=-++2(3)3x m x m x-++=(3)()x x m x --=.①当0m ≤时，令()0f x '>，解得3x >，所以函数()f x 在(3,)+∞上是增函数；②当03m <<时,令()0f x '>，解得0x m <<或3x >，所以函数()f x 在(0,)m 和(3,)+∞上是增函数；③当3m =时,2(3)()0x f x x-'=≥在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞是增函数； ④当3m >时,令()0f x '>，解得03x <<或x m >，所以函数()f x 在(0,3)和(,)m +∞上是增函数. 综上所述，①当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞；②当03m <<时，函数()f x 的单调递增区间是()0,m 和()3,+∞； ③当3m =时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；④当3m >时，函数()f x 的单调递增区间是()0,3和(),m +∞. ┅┅┅┅┅┅7分 （Ⅱ）因为函数()f x 在点00(,())A x f x 处的切线的斜率大于3-， 所以当()00,x ∈+∞时，0003()(3)3mf x x m x '=-++>-恒成立.即当()00,x ∈+∞时，20030x mx m -+>恒成立. 方法1：设0()h x =2003x mx m -+，函数0()h x 的对称轴方程为02m x =. （ⅰ）当0m =时，0()h x =200x >在()00,x ∈+∞时恒成立. (ⅱ) 当02m>时，即0m >时，在()00,x ∈+∞时，函数0()0h x >成立，则方程0()0h x = 的判别式2120m m ∆=-<，解得012m <<.(ⅲ)当02m<时，即0m <时，0()h x 在()0,+∞上为增函数，0()h x 的取值范围是()3,m +∞，则在()00,x ∈+∞时，函数0()0h x >不恒成立.综上所述，012m ≤<时，在函数()f x 的图象上任意一点A 处的切线的斜率恒大于3-. 方法2：由20030x mx m -+>在()00,x ∈+∞时恒成立，得()00,x ∈+∞时，200(3)m x x ->-. （ⅰ）当03x =时，200(3)m x x ->-恒成立；（ⅱ）当003x <<时，上式等价于2003x m x >-，2000()3x h x x =-，由于此时0()h x 为减函数，0()h x 的取值范围是(),0-∞，只需0m ≥；（ⅲ）当03x >时，200(3)m x x ->-上式等价于2003x m x <-，设2000()3x h x x =-，则0()h x =2000(3)6(3)93x x x -+-+-009363x x =-++-，当03x >时，0()12h x ≥（当且仅当06x =时等号成立）.则此时12m <.则在()0,+∞上，当012m ≤<时，在函数()f x 的图象上任意一点A 处的切线的斜率恒大于3-. ┅┅ 14分。
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题一三角函数和解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形
第二篇 专题一 第2讲一、选择题1．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( A ) A ．53B ．23C ．13D ．59【解析】由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53. 2．若sin α＝－35，且a ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则1－tanα21＋tanα2＝( D ) A ．12B ．－12C ．2D ．－2【解析】sin α＝－35，可得2sin α2cosα2sin 2α2＋cos 2α2＝－35，所以2tanα2tan 2α2＋1＝－35，解得tan α2＝－3或tan α2＝－13，又a ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴tan α2＝－3，故1－tanα21＋tanα2＝1－(－3)1＋(－3)＝－2.故选D.3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝2，且2a cos B －a cos C ＝c cos A ＋a －b ，则△ABC 面积的最大值是( B )A ．32B ．3C ．2D ．5【解析】由正弦定理得：2sin A cos B －sin A cos C ＝sin C cos A ＋sin A －sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin (A ＋C )＋sin A －sin B ＝sin A ， 又由0＜A ＜π，可得sin A ＞0， 则有cos B ＝12，又0＜B ＜π，则sin B ＝32， 由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，所以a 2＋c 2＝ac ＋4≥2ac ，所以ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， 则S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝3，故选B.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( D )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7【解析】在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin (A ＋B )＝2sin C cos C ，∵sin (A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ， 即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，即a ＋b ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.5．设α，β为锐角，且2α－β＝π2，tan αcos βx ＋sin β＝1，则x ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】∵2α－β＝π2，∴β＝2α－π2，∴tan αcos ⎝⎛⎭⎫2α－π2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2α－π2＝1，即tan αsin 2αx －cos 2α＝1，∴x ＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin 2α＝1，故选A.6．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(a －b )·sin A ＝c sin C －b sin B ，若△ABC 的面积为33，则c 的最小值为( A )A ．23B ．43C ．2D ．4【解析】∵(a －b )·sin A ＝c sin C －b sin B ，∴a 2－ab ＝c 2－b 2，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0＜C ＜π， ∴C ＝π3，∵S ＝12ab sin C ＝33，∴ab ＝12，∵c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝12(当且仅当a ＝b ＝23时取等号)， ∴c ≥23，∴c 的最小值为23， 故选A.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝23，c ＝3，A ＋3C ＝π，则下列结论正确的是( D )A ．cos C ＝63B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S △ABC ＝2【解析】因为A ＋3C ＝π，A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝2C .由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得23sin 2C ＝3sin C ，即232sin C cos C ＝3sin C ，所以cos C ＝33，故A 错误；因为cos C ＝33，所以sin C ＝63，所以sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223，故B 错误；因为cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝－13，所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝⎛⎭⎫－13×63＝69，则cos A ＝539，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(23)2＋32－2×23×3×539＝1，所以a ＝1，故C 错误；S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×69＝2，故D 正确．8．已知f (x )＝12(1＋cos 2x )sin 2x (x ∈R )，则下面结论不正确的是( D )A ．f (x )的最小正周期T ＝π2B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的最大值为14D ．f (x )的最小正周期T ＝π【解析】因为f (x )＝14(1＋cos2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )，∵f (－x )＝f (x )，∴T ＝2π4＝π2，f (x )的最大值为18×2＝14.故选D.二、填空题9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12，则sin 2α－cos 2α1＋cos2α＝__－56__． 【解析】因为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12，所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝12， 即1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13，所以sin 2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ＋a sin C ＝2a sin B －csin B －sin A ，则A＝__π4__.【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得b ＋ac ＝2a sin B －cb －a， 整理得b 2－a 2＝2ac sin B －c 2， 即b 2＋c 2－a 2＝2ac sin B ＝2bc sin A ， 由余弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， ∴2bc cos A ＝2bc sin A ，即cos A ＝sin A ， ∴tan A ＝1，∴A ＝π4.11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝a ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C ，a ＝2，c ＝263，则角C ＝__π4__．【解析】由b ＝a ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C ，得sin B ＝sin A ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C .因为sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin (A ＋C )，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋33sin A sin C (sin C ≠0)，所以cos A ＝33sin A ，所以tan A ＝ 3.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝csin C，得sin C ＝22.因为0＜C ＜2π3，所以C ＝π4. 12．(2022·山东省师范大学附中月考)在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ，且4a 2＝b 2＋2c 2，则S a 2的最大值为6．【解析】由题意知，4a 2＝b 2＋2c 2⇒b 2＝4a 2－2c 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 整理，得2ac cos B ＝－3a 2＋3c 2⇒cos B ＝3(c 2－a 2)2ac， 因为⎝⎛⎭⎫S a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ac sin B a 22＝⎝⎛⎭⎫c sin B 2a 2＝c 2(1－cos 2B )4a 2， 代入cos B ＝3(c 2－a 2)2ac，整理得⎝⎛⎭⎫S a 22＝－116⎝⎛⎭⎫9×c 4a4－22×c 2a 2＋9，令t ＝c 2a 2，则⎝⎛⎭⎫S a 22＝－116(9t 2－22t ＋9)＝－116⎝⎛⎭⎫3t －1132＋1036，所以⎝⎛⎭⎫S a 22≤1036，所以S a 2≤106，故S a 2的最大值为106. 三、解答题13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin C cos A ＝22sin A sin B ，22b ＝3c .(1)求A ；(2)若D 是AB 边的中点，CD ＝5，求△ABC 的面积． 【解析】(1)因为3sin C cos A ＝22sin A sin B ， 由正弦定理，可得3c cos A ＝22b sin A . 结合22b ＝3c ，则有sin A ＝cos A ，所以tan A ＝1， 又因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＝π4. (2)因为22b ＝3c ，D 是AB 边的中点，所以AD ＝2b 3. 在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋b 2－2AD ·b cos A ，即(5)2＝⎝⎛⎭⎫2b 32＋b 2－2·2b 3·b cos π4， 解得b ＝3或b ＝－3(舍去)， 则c ＝2 2.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×22×22＝3.。
文科高考数学重难点02 三角函数与解三角形(解析版)
重难点02 三角函数与解三角形【高考考试趋势】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出,三角试题每年都考,而且文理有别,或"一大一小",或"三小",或"二小"("小"指选择题或填空题,"大"指解答题),解答题以简单题或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内.备考时要熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化鉴于新课标核心素养的要求，三角函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试试点.考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦余弦定理的应用.本专题在以往高考常见的题型上，根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升.【知识点分析以及满分技巧】三角函数与解三角形：从返几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有，1.三解恒等变换与三角函数的图象、性质相结合；2.三角恒等变换与解三角形相结合；3.平面向量、不等式、数列与三角函数和解三角形相结合，难度一般不大，属中档题型.三角函数图形的性质以及应用：对于选择题类型特别是对称中心，对称轴等问题选项中特殊点的带入简单方便，正确率比较高.总额和性的问题一般采用换元法转化成最基本的函数问题去解答.对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形.解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式的时候应注意不等式等号成立的条件.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2020·贵溪市实验中学高三月考（文））在中，角，，所对的边分别ABC :A B C 为，，，且，则的最大值是（ ）a b c BC c bb c +A ．8B ．6C ．D ．4【答案】D【分析】由已知可得：，11sin 22bc A a =所以，2sin a A =因为，所以222cos 2b c a A bc +-=2222cos sin 2cos b c a bc AA bc A +=+=+所以，222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭所以的最大值是4c bb c +故选：D2．（2020·南昌市新建一中（文））在中，内角，，所对应的边分别为ABC :A B C a ，，，且，若，则边的最小值为（）b c sin 2sin 0a B b A +=2a c +=b AB ．C ．2D【答案】D【分析】根据由正弦定理可得，sin2sin 0a B b A +=sin sin2sin sin 0A B B A +=即，，2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=sin 0,sin 0A B ≠≠ ，，∴1cos 2B =-23B π∴=由余弦定理可得．()2222222cos 4b a c ac B a c ac a c ac ac=+-=++=+-=- ．2a c +=≥ 1ac ∴≤ 即．，243bac ∴=-≥，b ≥故边.b 故选：D ．3．（2020·吉林高三其他模拟（文））在中，内角，，所对的边分别为，ABC :A B C a ，，且，，在边上，且，则b c 3a =b =c =M AB BM CM =AMAB=（ ）A ．B ．C ．D ．14133423【答案】C【分析】因为，BM CM =所以为等腰三角形，MBC △因为，，．3a =b =c =由条件可得，222cos2a c b B ac +-==所以，解得3·cos 22BC BM B ==BM =所以AM AB BM =-=可得．34AM AB =故选：．C 4．（2020·河南郑州市·高三月考（文））已知的三个内角，，对应的边分ABC :A B C 别为，，，且，，成等差数列，则a b c sin 2a C π⎛⎫- ⎪⎝⎭()cos 4b B π-()cos 3c A π-的形状是（ ）ABC :A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形【答案】C【分析】，，sin cos 2a C a Cπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()cos 4cos b B b B π-=，()cos 3cos c A c Aπ-=-依题意得，2cos cos cos b B a C c A =--根据正弦定理可得，()2sin cos sin cos cos sin B B A C A C =-+即，()2sin cos sin sin B B A C B=-+=-又，则，sin 0B ≠1cos 2B =-又，所以，()0,B π∈23B π=故的形状是钝角三角形．ABC :故选：C ．5．（2020·安徽六安市·六安一中高三月考（文））已知的三个内角，，所ABC :A B C 对的边分别为，，，满足，且a b c 222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则的形状为（ ）sin sin 1A C +=ABC :A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为的非等腰三角形D ．顶角为的等腰三角形120120【答案】D【分析】因为，222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+所以，2221sin (1sin )1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+所以，222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-根据正弦定理可得，即，222a cb ac +-=-222122a c b ac +-=-所以，因为，所以，所以，1cos 2B =-0B π<<120B = 60A C += 由得，sin sin 1A C +=sin sin(60)1A A +-=得，sin sin 60cos cos 60sin 1AA A +-=得，1sin sin 12A A A +-=得，1sin 12A A +=得，因为为三角形的内角，所以，，sin(60)1A +=A 30A = 30C =所以为顶角为的等腰三角形.ABC :120故选：D6．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·高三月考（文））将函数的图象向右平2sin 2y x =移个单位得到函数的图象．若，则的值为（02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭()f x 50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕ）A ．B ．C ．D ．12π8π6π3π【答案】A依题意，函数，由得()()2sin 22)i (2s n 2f x x x ϕϕ-=-=50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故5124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52sin 222sin 22124ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯-=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，5sin 262sin 2ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22cos 22ϕϕϕ+=2cos 2ϕϕ=故，又，则，故，即.tan 2ϕ=02πϕ<<02ϕπ<<26πϕ=12πϕ=故选：A.7．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与αβ，轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则x α()21，()4cos 5αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（ ）sin β=ABCD【答案】C【分析】因为角的终边过点，所以是第一象限角，α()21，α所以sin α==cos α==因为，，所以为第一象限角，，0,2πβ⎛⎫∈⎪⎝⎭()4cos 5αβ+=αβ+所以，()sin 35αβ+==所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455==故选：C.8．（2020·罗山县楠杆高级中学高三月考（文））函数的()()cosln 2xx f x x e e π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】因为，()()()πcos ln sin ln 2x x x x f x x e e x e e --⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭所以，()()()()()sin ln sin ln x x x x f x x x e e x e e f x ---=-+=-+=-即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D ，()f x又因为，当且仅当时取等号，2xxy e e-=+≥=0x =所以，()ln ln 2ln10x x e e -+≥>=当时，，当时，，[)0,πx ∈sin 0x ≥[)π,2πx ∈sin 0x ≤所以，当时，，当时，，故排除A 、B ，[)0,πx ∈()0f x >[)π,2πx ∈()0f x ≤故选：C ．二、填空题9．（2020·新疆实验高三月考（文））在中，ABC :BC =，则外接圆的面积为______.222cos cos sin sin C A B B C --=ABC :【答案】π【分析】，222cos cos sin sin C A B B C --=，()()2221sin 1sin sin sin C A B B C∴----=即.222sin sin sin sin A C B B C --=由正弦定理得，222222a cb ac b --=⇒-=+由余弦定理得，所以，2222cos a c b bc A =+-cos A =，则，0A π<< 4A π=设的外接圆半径为，则，则,ABC :R 2sin BCRA =1R =则外接圆的面积为：，ABC :2R ππ=故答案为：.π10．（2020·山西高三期中（文））中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC :函数有极值点，则的取值范围是()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭______.【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】由题意，函数，()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+可得，()2222()f x x bx a c ac '=+++-因为函数有极值点，所以有两个不同的实数根，()f x 2222()0x bx a c ac +++-=可得，整理得，222(2)4()0b a c ac ∆=-+->222ac a c b >+-又由，2221cos 222a c b ac B ac ac +-=<=因为，所以，可得，(0,)B π∈3B ππ<<52333B πππ<-<当时，即时，取得最小值，最小值为；23B ππ-=23B π=cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 1π=-当时，即时，此时，233B ππ-=3B π=1cos 2cos 332B ππ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭所以的取值范围是.cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭三、解答题11．（2020·山东济南市·高三开学考试）在四边形中，，是上的ABCD A C ∠=∠E AD 点且满足与相似，，，.BED ∆ABD ∆34AEB π∠=6DBE π∠=6DE =（1）求的长度；BD （2）求三角形面积的最大值.BCD【答案】（1）2）36+【分析】（1），4BED AEB ππ∠=-∠=在三角形中，，BDE sin sin DE BD DBE BED =∠∠即，6sinsin 64BD ππ=所以612=BD =（2）因为，所以，BED ABD ∆∆:C A ∠=∠=6DBE π∠=在三角形中，，BDC 2222cos 6BD DC BC DC BCπ=+-::所以，2272DCBC BC =+:所以，722DCBC BC ≥::所以，(72DCBC ≤:所以，((11sin 7218264BCD S DC BC π∆=≤⨯=::所以三角形面积的最大值为BCD 36+12．（2020·北京海淀区·人大附中高三月考）已知，(2sin ,sin cos )mx x x =-，记函数．,sin cos )n x x x =+ ()f x m n =⋅ （1）求函数取最大值时的取值集合；()f x x （2）设函数在区间是减函数，求实数的最大值．()f x ,2m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m【答案】（1） ；（2）.,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭56π【分析】（1）由题意，得，()2cos 22sin(26f x m n x x x π=⋅=-=- 当取最大值时，即，此时()f x sin(2)16x π-=22()62x k k Z πππ-=+∈所以的取值集合为．x ,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）由得3222262k x k πππππ+≤-≤+，41022266k x k ππππ+≤≤+536k x k ππππ+≤≤+所以的减区间，()f x 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当，得是一个减区间，且1k =5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦52,36πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，5,,236m πππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以， 5(,]26m ππ∈所以的最大值为.m 56π13．（2020·宁夏固原市·固原一中高三月考（文））已知函数．()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭x ∈R（1）求的最小正周期；()f x （2）求在闭区间上的值域．()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）；（2）.π11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知，有21()cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =⋅-1sin 2cos 2)4x x =-+，11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的最小正周期；∴()f x 22T ππ==（2）∵，，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,366x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦当，即时，取得最大值为，236x ππ-=4x π=()f x 14当，即时，取得最小值为，232x ππ-=-12x π=-()f x 12-的值域为.()f x ∴11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））在的中，角，，的对边分ABC :A B C别为，且a b c ，，sin (sin sin )sin 0a A b A B c C ++-=（1）求角；C （2）若，求的取值范围.2c =+a b 【答案】（1）；（2）.23C π=2⎛ ⎝【分析】：（1）由，及正弦定理得sin (sin sinB)sin 0a A b A c C ++-=，2220a ab b c ++-=由余弦定理得，又，所以；2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-0C π<<23C π=（2）由及，得，即，2220a ab b c ++-=2c =224a ab b ++=2()4a b ab +-=所以，所以，当且仅当221()4()4ab a b a b =+-≤+a b +≤a b ==成立，又，所以，2a b c +>=2a b <+≤所以的取值范围为.+a b 2⎛ ⎝15．（2020·黑龙江高三月考（文））在中，角，，所对的边分别为，ABC :A B C a b，，，．c sin 3sin b A B =222b c a bc +-=（1）求外接圆的面积；ABC :（2）若的周长．BC ABC :【答案】（1）；（2）9.3π【分析】解：（1）因为，又，即，所以，sin 3sin b A B =sin sin a b A B =sin sin b A a B =3a =由，得，设外接圆的半径为2221cos 22b c a A bc --==3A π=ABC :R 则，所以外接圆的面积为．12sin a R A=⋅==ABC :3π（2）设的中点为，则．因为，BC D AD =()12AD AB AC =+ 所以，()()222221127||2444AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++= 即，又，，则 ，2227c b bc ++=222b c a bc +-=3a =22918bc b c =⎧⎨+=⎩整理得，解得或（舍去），则．所以的周长为9．()2290b -=3b =3-3c =ABC :。
人大附中月考实战卷(2)(集合、函数、三角函数、导数)
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、设全集{}{}06,sin 2,2=-+∈==∈==x x R x B x y N y A R U ，则图中阴影部分表示的集合为 （ ）{}{}{}{}3,2 . D 2,3 . C 3 . B 2 . --A2、下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的是 （ ）x y x y e e y x y A xx 241cos . D ln . C 2 . B . ==-==- 3、在用二分法求方程的近似解时，若初始区间长度为1，精确度要求是0.05，则取中点的次数是 （ ）6 . D 5 . C 4 . B 3 . A4、函数)6cos()2sin(23x x y -++=ππ的最大值为 ( ) 13 . D 213 . C 413 . B 413 . A 5、"11"<<-a 是函数“x x x f 3)(3==在区间),2(a a -上有最大值”的（ ）既不充分也不必要条件充要条件必要不充分条件充分不必要条件 . D . C . B . A 6、已知==+∈αααα2tan ,210cos 2sin ,则R ( ) 34 . D 43 . C 43 . B 34 . --A 7、设⎰⎰==1 0 10 sin ,cos xdx b xdx a ，下列关系式成立的是 ( ) 1 . D b . C 1 . B . =+<<+>b a a b a b a A8、若d c b a <<<，且函数))()(())()(()(d x c x b x c x b x a x x f ---+---=有三个零点0,,x c b ，则0x 一定在 ( )内内内内),( . D ),( . C ),( . B ),( . d a b a d a A +∞-∞9、在△ABC ，内角A,B,C 所对的边长分别为c b a ,,，已知=∠>=+B ,,21c o s s i n c o s s i n 则且b a b A B c C B a ( ) 65 . D 32 . C 3 . B6 . ππππA 10、5)(),2()2(,1)1()(-==-=+='x x f y x f x f f R x f 在则曲线上处处可导，且在已知偶函数处的切线的斜率为： （ ）2 . D 1 . C 1 . B 2 . --A11、有下列命题：关于函数x x x f 2cos 2sin )(-=.2sin 2 4)( )( )0,8( )( 4 )( 的图像个单位，可得到的图像向左平移④将；的图像的一个对称中心是③点的一条对称轴；是②直线；的最小正周期为①函数x y x f y x f y x f y x x f y ======ππππ ②③④①③④②④①③ . D . C . B . A （ ）12、的取值范围是：内恒小于零，则实数在已知函数a x x x f x a a )23,1(log 2)(12-+-= ( )1161 . D 410 . C 1610 . B 1161 . ≠≤<<≤<<≤a a a a a A 且二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13、.____44,14log 3的值为则若xx x -+= ._____,02 A )1,2()(1423=++=+-+++=c b a a y x c bx ax x x f 则处的切线方程，且在点的图像过点、已知函数15、.______12sin )112cos 2(12tan 32=--16、已知a 为常数，函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点)(,2121x x x x <，则下列结论正确的是_________2)(. 0)( . 10 . 210 . 2121-<<<<<<<x f x f x x a ④③②①三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）.tan 1cos 22sin )2(2sin )1(.454,54)4sin(2的值求的值；求已知x x x x x x +-<<=+πππ18、（本小题满分12分）的取值范围。
北京大学附中高考数学二轮复习 考前抢分必备专题训练 三角函数
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将函数y ＝cosx 的图象向左．．平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( )A ．π6B ．2π3C ．4π3D ．11π6【答案】C2．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4xcos θ+cot θ=0有重根，则θ的弧度数为( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π12【答案】B3．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin2α=( ) A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】A 4．已知sin()cos(2)()cos()tan f παπααπαα--=--，则31()3f π-的值为( )A ．12 B ．13-C ．12-D ．13【答案】C 5．若*2sin sinsin(),777n n S n N πππ=+++∈则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( ) A ．16 B ．72C ．86D ．100【答案】C6．已知cos()12cos ,0,52tan()cos()tan παπαααπαα+=-<<+-则的值为( ) A ．26 B ．26-C ．612-D ．612【答案】D7．函数)32cos(π--=x y 的单调递增区间是( )A ．)(322,342Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B ． )(324,344Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππC ．)(382,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D ． )(384,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 【答案】D8．设α角属于第二象限，且2cos2cos αα-=，则2α角属于( )A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限【答案】C9．将函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为( ) A ．1sin y x =-B ．1sin y x =+C ．1cos y x =-D ．1cos y x =+【答案】C10．定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 23()cos 21x f x x =的图象向左平移6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是( ) A ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B11．已知f （x ）＝sin （x+2π），()cos()2g x x π=-，则()f x 的图象( ) A ．与g （x ）的图象相同B ．与g （x ）的图象关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得到g （x ）的图象 D ．向右平移2π个单位，得到g （x ）的图象【答案】D12．若tan 2θ=，则cos2θ＝( )A ．45B ．－45C ．35D ．－35【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．与160终边相同的角，则=α【答案】360160,k k Z ⨯+∈14．已知角,(0,)2παβ∈，且tan()3,sin 2sin(2)αββαβ+=-=+，则α= .【答案】4π 15．292925sincos()tan()634πππ+-+-= 【答案】016．若函数)2sin()(ϕ+=x A x f （0>A ,22πϕπ<<-）的部分图像如图，则=)0(f .【答案】-1三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．向量)1,(sin θ=a ，)3,(cos θ=b ，且//a b ，其中)2,0(πθ∈.(1)求θ的值；(2)若20,53)sin(πωθω<<=-，求cos ω的值.【答案】（1）.30),2,0( =∴∈θπθ (2）)6sin(6sin )6cos(6cos )66cos cos πωππωπππωω---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∴）（3413433.525-=⨯-⨯= 18．在ABC ∆内，c b a ,,分别为角A ，B ，C 所对的边，a,b,c 成等差数列，且a=2c 。
北京市人大附中20xx届高三第二次模拟考试 数学文
北京市人大附中20xx届高三第二次模拟考试数学文人大附中20xx届高三第二次模拟考试卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[20xx·菏泽期末]已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．[20xx·武邑中学]设为锐角，，，若与共线，则角（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．[20xx·丹东期末]下列函数为奇函数的是（）A．B．C．D．4．[20xx·渭南质检]如图，执行所示的算法框图，则输出的值是（） A．B．C．D．5．[20xx·吉林实验中学]函数的部分图像如下图，且，则图中的值为（） A．1 B．C．2 D．或26．[20xx·赣中联考]李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步，50步B．20步，60步C．30步，70步D．40步，80步7．[20xx·育才中学]如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．4 B．8 C．D．8．[20xx·嵊州期末]若实数，满足约束条件，则的取值范围是（） A．B．C．D．9．[20xx·天津期末]在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，，则等于（）A．B．C．2 D．10．[20xx·衡水金卷]若函数图像上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”．若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（）A．0 B．2 C．4 D．611．[20xx·乌鲁木齐一模]已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，且为的中点，则的值为（）A．3 B．2或4 C．4 D．212．[20xx·xx联考]已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[20xx·淮安一模]已知集合，，则________．14．[20xx·孝感八校]将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若最小正周期为，则__________．15．[20xx·淮南一模]过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是________．16．[20xx·乐山期末]如图，在三棱锥中，、、分别为、、中点，且，，则异面直线与所成的角的大小为_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[20xx·达州期末]已知是数列的前项和，，．（1）证明：当时，；（2）若等比数列的前两项分別为，求的前项和．18．[20xx·濮阳一模]进入12月以业，在华北地区连续出现两次重污染天气的严峻形势下，我省坚持保民生，保蓝天，各地严格落实机动车限行等一系列“管控令”．某市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的态度，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计，得到如下的列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车9020110有私家车7040110合计16060220（1）根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”；（2）为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境染污起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按是否拥有私家车分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少有1人没有私家车的概率．附：，其中．19．[20xx·菏泽期末]如图所示，在四棱锥中，，都是等边三角形，平面平面，且，．（1）求证：平面平面；（2）是上一点，当平面时，三棱锥的体积．20．[20xx·乌鲁木齐一模]已知椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．21．[20xx·陕西一模]已知函数，．（1）求函数的图像在处的切线方程；（2）证明：；（3）若不等式对任意的均成立，求实数的取值范围．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[20xx·武邑中学]选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．23．[20xx·佛山质检]已知函数，．（1）若，求的取值范围；（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围．文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由题意，，对应点为，在第四象限，故选D．2．【答案】B【解析】由题意，，又为锐角，∴．故选B．3．【答案】D【解析】和非奇非偶函数，是偶函数，是奇函数，故选D．4．【答案】D【解析】按照图示得到循环一次如下：，；，；，；，；，；，；，；，；，．不满足条件，得到输出结果为：4．故答案为：D．5．【答案】B【解析】由题意可得，，又，∴，又，∴或，，由周期，得，∴，故选：B．6．【答案】B【解析】设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B．7．【答案】D【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中，题中三视图所对应的几何体为四棱锥，该几何体的体积为：．本题选择D选项．8．【答案】D【解析】画出表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线，由图可知，当直线经过时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时有最小值，无最大值，的取值范围是，故选D．9．【答案】C【解析】∵，且，，∴由正弦定理可得：，由于，可得：，∴由余弦定理，可得：，可得：，∴解得：，或（舍去）．故选：C．10．【答案】A【解析】当时，，故函数在区间，上递减，在上递增，故在处取得极小值．根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当时，函数图像与的图像有两个交点，即，．11．【答案】B【解析】设，，，两式相减得，，为的中点，，，代入，解得或4，故选B．12．【答案】B【解析】由题可知，故，∵函数恰有4个零点，∴方程有4个不同的实数根，即函数与函数的图象恰有4个不同的交点．又，在坐标系内画出函数函数的图象，其中点，的坐标分别为，．由图象可得，当时，函数与函数的图象恰有4个不同的交点，故实数b的取值范围是．选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】，所以．14．【答案】【解析】，向右平移个单位后得到函数，函数的最小正周期是，那么，故填：． 15．【答案】【解析】设，得，即，所以点的运动轨迹是直线，所以，则．16．【答案】【解析】由三角形中位线的性质可知：，，则或其补角即为所求，由几何关系有：，由余弦定理可得：，则，据此有：异面直线与所成的角的大小为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．【答案】（1）见解析．（2）．【解析】（1）证明：当时，···········3分，···········5分．···········6分（2）解：由（1）知，，···········7分，···········8分等比数列的公比，···········9分又，···········10分．···········12分18．【答案】（1）在犯错误概率不超过的前提下，不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车”有关；（2）0.8．【解析】（1）．···········4分所以在犯错误概率不超过的前提下，不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车”有关．···········6分（2）设从没有私家车的人中抽取人，从有私家车的人中抽取人，由分层抽样的定义可知，解得，···········7分在抽取的6人中，没有私家车的2人记为，有私家车的4人记为，，，，则所有的基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种．···········9分其中至少有1人没有私家车的情况有16种． (11)分记事件为“至少有1人没有私家车”，则．···········12分19．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】（1）因为，，，所以，所以，，又因为是等边三角形，所以，所以，·······2分因为平面平面，平面平面，所以平面，···········4分因为平面，所以平面．···········6分（2）过点作交于，过点作交于，因为，平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以平面平面，···········7分因为平面，所以平面．因为，所以，在直角三角形中，，，所以，所以，···········9分在平面内过作于，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，所以是点到平面的距离，···········10分过点作于，则，由，得，所以，因为，所以．······12分20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意，有，···········3分∴椭圆方程．···········4分（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为，由得，···········5分∴，得，···········6分设，，，则，由得，···········7分代入椭圆方程得，···········8分由得，···········9分∴，···········10分令，则，∴．···········12分21．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】（1）∵，∴．···········1分又由，···········2分得所求切线：，即所求切线为．···········4分（2）设，则，令，得，···········5分得下表：1单调递增极大值单调递减∴，即．···········8分（3），，．（i）当时，；···········9分（ii）当时，，不满足不等式；···········10分（iii）当时，设，，令，得下表：单调递增极大值单调递减+-∴，即不满足等式．综上，．···········12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，得，故直线的普通方程为，···········2分由，得，所以，即，故曲线的普通方程为；···········5分（2）据题意设点，则，···········8分所以的取值范围是．···········10分23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），···········1分若，则，得，即时恒成立，···········2分若，则，得，即，···········3分若，则，得，即不等式无解，···········4分综上所述，的取值范围是．···········5分（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，，······7分因为，所以当时，，·····9分即，解得，结合，所以的取值范围是．·····10分欢迎访问“高中试卷网”——。
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文科三角函数 2014期末
1.（本题共13分）丰台
在△ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别是,,a b c ，已知23,c 22,a == 60O A ∠=.
（Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）求b 边的长
2．（本小题共13分）海淀 函数cos2()2sin sin cos x f x x x x
=++. （Ⅰ）求π()4
f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.
3.（本题满分13分）朝阳
已知函数22()3sin 2sin cos cos 2f x x x x x =++-. （Ⅰ）求()4f π的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.
4.（本小题共13分）东城 已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =-+．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若(0,)2απ∈，且()1f α=，求α的值．
5．（本小题满分13分）西城 已知函数()3cos f x x ω=，π
()sin()(0)3
g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π. （Ⅰ）若6()2
f α=，[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x
g x =+的单调增区间.
6.(本小题满分13分)昌平
已知∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，3cos 3
C =，3a =. (Ⅰ)求sin B ；
(Ⅱ)求∆ABC 的面积.
答案：
1.解： （Ⅰ）正弦定理sin sin a c A C
=，-----------------------------------3分 所以sin 22sin 602sin 223c A C a ︒=
==-------------------------6分 （Ⅱ）由余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=，----------------------------9分 得2812cos 6042b b
+-︒=，解得，b =26±.----------------------12分 B 的值为26+--------------------------------------------13分
2．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）πcos ππ02()2sin 22ππ4422sin cos 4422
f =+=+=++. ------------------------3分 （Ⅱ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4
x k k ≠-∈Z . 因为cos2()2sin sin cos x f x x x x
=++ 22cos sin 2sin sin cos x x x x x -=++ --------5分 cos sin x x =+ π2s i n ()4
x =+， ----------------7分 所以()f x 的最小正周期2πT =. -------------------------------------9分 因为函数sin y x =的对称轴为ππ+,2
x k k =∈Z , ------------------------------11分 又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4
x k k =∈Z , 所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4
x k k =∈Z .-----------------------------------13分 3.解： （Ⅰ）依题意2()2sin sin 21f x x x =+-=sin 2cos2x x - =2sin(2)4x π-. 则()2sin(2)1444
f πππ=⨯-=. ………….7分 （Ⅱ）()f x 的最小正周期Τ2π==π2
. 当ππ2π22242
k x k ππ-≤-≤+时，即π3πππ88k x k -≤≤+时,()f x 为增函数. 则函数()f x 的单调增区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-
+⎢⎥⎣⎦
,k ∈Z . ………….13分 4.（共13分）
解：（Ⅰ）因为2()3sin 2(2cos 1)f x x x =--3sin 2cos 2x x =-
2s i n (2)6
x π=-，所以()f x 的最小正周期为π． ………………8分 （Ⅱ）因为()1f α=，所以1sin(2)62απ
-=．因为(0,)2απ∈， 所以52(,)666απππ-∈-．所以266
αππ-=．故6απ=． ………13分 5．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为π
()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以 2||
ωπ=π，解得2ω=．…… 3分 由 6()2f α=，得63cos 22α=， 即 2cos 22
α=， ………… 4分 所以 π22π4
k α=±
，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888
α∈--. ……………… 6分 （Ⅱ）解：函数 π()()3cos 2sin(2)3
y f x g x x x =+=+- ππ3cos 2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分 13sin 2cos 222x x =+πsin(2)3x =+， ………10分 由 2πππ2π2π232
k k x -++≤≤， ………………11分 解得 5ππππ1212
k k x -+≤≤． ………………12分 所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212
k k k -+∈Z ,.…………13分 6.(本小题满分13分)
解：(Ⅰ) 因为,,A B C 为∆ABC 的内角，且3A π
=，3cos 3C =，所以6sin 3
=C . 所以sin sin()=+B A C sin cos cos sin =+A C A C
33162323=⨯+⨯ 366
+=. ……7分 (Ⅱ) 在∆ABC 中，由正弦定理sin sin =a c A C ，解得22=c . 所以∆ABC 的面积为13223sin 22+==S ac B . ………13分。