2计算机控制分析方法2003 [兼容模式]

离散系统的稳定判据
Eliahu Ibraham Jury (1923-) American engineer, born in Baghdad, Iraq. He received his Doctor of Engineering Science degree from Columbia University of New York in 1953. He was professor of Electrical Engineering at the University of California, Berkeley, and the University of Miami.
【连续系统】 连续系统稳定与否取决于闭环系统特征根在 s 平面 上的位置。若特征根全在s左半平面，则系统稳定，只 要有一个根在s平面的右半平面或虚轴上，则系统不稳 定。 【离散系统】 根据s平面和z平面的映射关系，离散系统稳定的充 要条件是所有特征根全部位于z平面单位圆内，只要有 一个根在单位圆外，系统就不稳定；若系统的根位于 单位圆上，系统处于稳定边界，亦称为系统不稳定。
4. s平面上平行线与z平面映射关系
S平面与Z平面的相互关系
表1-4 平行线的映射
图1-3 实轴平行线的映射
图1-4 虚轴平行线的映射
S平面与Z平面的相互关系
5. s左半平面主带在z平面映射
S平面与Z平面的相互关系
6. s右半平面主带在z平面映射
图1-5 s平面主带左半平面的映射
图1-6 s平面主带右半平面的映射
离散系统的稳定判据
Define
离散系统的稳定判据
p0 Q z pn
P , s p0 p1 s pn s n
P z P z
If P(z) is Schur, while R(z) is not, then there must exist a λ in [0,1], such that P λ(z) has a root on the unit circle at the point
P , s p0 p1 s pn s n
离散系统的稳定判据
The coefficient of the root number consists of an open set Rouché Theorem: Let f(z) and g(z) be two functions that are analytic inside and on a simple closed contour C. if |g(z)|<|f(z)| for all z on C, f(z) and f(z)+g(z) have the same number of zeros (multiplicities included) inside C
4
离散系统的稳定判据
Apparently,
离散系统的稳定判据
Define
p 1 R z P z 0 Q z pn z n 1 pn p0
P z P z
p0 Q z pn
always of degree If P(z) satisfies
P z p0 p1 z pn z n
be a polynomial of degree n. We have the following necessary condition. If P(z) is Schur, then
pn p0
Define
1 Q z z n P p0 z n p1 z n 1 pn z p 1 R z P z 0 Q z z p n
that is R(z) Schur
We have the following equivalence: P(z) Schur
P z0 P z0
* z0 e j
p0 n 1 z0 P 0 pn z0
P(z) Schur
zR(z) Schur
(1-1)
若系统的输入为脉冲函数，R(z)=1,则系统输出为
b z m b z m 1 bm 1 z bm C z 0 n 1 n 1 a0 z a1 z an 1 z an
b z
i 0 n i i 0 i
m
m i
a z
n i
？
S平面与Z平面的相互关系
z esT
s j
S平面
？
映射
Z平面
S平面与Z平面的相互关系
z e( j)T eT e jT eT T
R z eT z T
复变量z的模R及相角θ 与复变量s的实部和虚 部的关系为： 1. s平面与z平面整体映射关系
s0 s2
c0 c2
系统不稳定！
z1,2 -0.735699 0.685928 i
单位圆外的解为：
离散系统的稳定判据
Jury判据怎么来的？
？
Schur Property: A polynomial is said to be Schur, if it has all its roots inside the unit circle. Now, let
D( z ) 3 z 4 z 3 z 2 2 z 1
利用Jury稳定性判据判断系统的稳定性 解：构造Jury阵列
z0 1 3 -8 7 15 19 z1 -2 1 -5 2 26 26 z2 -1 -1 2 -5 19 15 z3 1 -2 7 -8 z4 3 1
a0 a4 b0 b3
离散系统的稳定判据
Eliahu I. Jury (1923-)
Academician who initiated the field of discrete-time systems, pioneered the z-transforms and created the ‘Jury stability test’. “lifetime graduate student.” “this is indeed how I consider myself, for otherwise, my professional career will be obsolete and probably very limited.”
Look the three equations again
1 1 p 1 P P 0 P z0 0 pn z 0 z0 z0
Then
P z p0 p1 z pn z n Q z p0 z n p1 z n 1 pn
pi 1, i 1, 2, , n
反变换后
k k C k A1 p1k A2 p2 An pn Ai pik i 1
(1-4)
重根呢？是否还成立？ 为了求解系统的稳定性，就需要求出它的全部特征根? 和连续系统一样，判断离散系统稳定性并不必求出特征根 的具体数据，而只要了解特征根的位置就可以了? 连续系统是利用特征方程的系数来判定特征根实部的符号， 而在离散系统中，则应利用特征方程的系数来判定特征根 的模的大小。
z0 e j , 0, 2
that is
P z0 P z0
p0 n 1 z0 P 0 pn z0
Since P λ(z) is a real polynomial, the inverse of z0 is also a root
2. 角频率ω与z平面相角关系
表1-2 角频率ω与z平面相角关系
表1-1 S平面与Z平面关系
1
S平面与Z平面的相互关系
3. s平面上的主带与旁带在z平面映射关系
表1-3 主带与旁带映射到z平面
S平面与Z平面的相互关系
3. s平面上的主带与旁带在z平面映射关系
图1-1 主带映射
图1-2 旁带映射
S平面与Z平面的相互关系
3
离散系统的稳定判据
1. 朱里（Jury）稳定判据 设离散控制系统特征方程为
D( z ) an z n an 1 z n 1 a1 z a0 0
离散系统的稳定判据
表1-6 朱里阵列格式
其中a0，a1，…，an为实数。首先按多项式系数构造朱里阵列表 （见表1-6）
离散系统的稳定判据
Since P λ(z) is a real polynomial, the inverse of z0 is also a root
1 z0
离散系统的稳定判据
We have
离散系统的稳定判据
p0 n 1 z0 P 0 pn z0
n
P z0 P z0
Since
p P z0 0 P z0 0 pn2 p0 1 pn
P z0 0
P(z) is NOT Schur
2
zR z P z
p0 Q z pn
We have
Jury Criteria
If P(z) is Schur, while R(z) is not, then there must exist a λ in [0,1], such that P λ(z) has a root on the unit circle at the point
z0 e j , 0, 2
根据系统稳定性定义，如果系统对脉冲函数的响应C(k), 在k 趋于无穷时衰减为零，即 n (1-5) lim C k lim Ai pik 0