山东省高中数学《第一章 三角函数》章节复习与小结 新人教A版必修4
高中数学 第一章 三角函数小结课件 新人教A版必修4
【例3】 化简下列各式： (1) 1－tanθ·cos2θ＋1＋ta1nθ·sin2θ； (2)csoins2ππ－－ααsicnos3ππ－＋ααscions－π2＋π－ααcossin11292ππ－＋αα. 【分析】 利用三角函数间的关系、 (1)原式＝ 1－csoinsθθ·cos2θ＋1＋csoinsθθ·sin2θ ＝ cos2θ－cosθsinθ＋sin2θ＋sinθcosθ＝1. (2)原式 ＝－scionsα－sαin－π－coαsα[－－sinsinπα＋cαos]s2πin＋2πα＋ α
2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移
π 6
个
单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析
式；
(3)当x∈[0，1π2]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
【例1】 点P从(1,0)点出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时
针方向运动π3弧长到达Q点，则Q点坐标为( )
A．(12，
3 2)
B．(－ 23，－12)
C．(－12，－
3 2)
D．(－ 23，12)
【分析】 根据三角函数单位圆定义求解．
【解析】 设∠POQ＝θ，则θ＝π3. 又设Q(x，y)，则x＝cos3π＝12，y＝sinπ3＝ 23.故选A. 【答案】 A
间(－2π＋kπ，π2＋kπ)内均为增函数．
【例5】
函数f(x)＝3sin(2x－
π 3
)的图象为C，①图象C
关于直线x＝
1112π对称；②函数f(x)在区间(－
π 12
，152π)内是增
函数；③由y＝3sin2x的图象向右平移
π 3
个单位长度可以得
到图象C.
高一数学人教A版必修4第一章(三角函数)本章小结课件
1-(-
5 5
)2
=
-
2
5 5
.
6. 用 cosa 表示 sin4a-sin2a+cos2a.
解: sin4a-sin2a+cos2a = sin2a(sin2a-1)+cos2a = sin2a(-cos2a)+cos2a = cos2a(1-sin2a) = cos4a.
7. 求证:
(1) 2(1-sina)(1+cosa) = (1-sina+cosa)2; (2) sin2a+sin2b-sin2a·sin2b+cos2a·cos2b =1.
6. 终边位置确定三角函数值的正负
y
y
y
++ -o - x
-+
ox
-+
-+
ox
+-
sina
cosa
tana
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
7. 同角三角函数的关系
sin2a+cos2a=1,
sina cosa
=
tana
.
常用的变形:
sin2a=1-cos2a. cos2a=1-sin2a.
解: 由已知得 sin2x=4cos2x, 1-cos2x=4cos2x,
解得 cos x =
5 5
.
又由已知得 tanx =2,
则 x 是第一、第三象限角.
当 x 是第一象限角时,
cos x =
5 5
,
sin x =
1-(
5 5
)2=
2
5 5
;
当 x 是第三象限角时,
高中数学 第一章 三角函数章末复习课 新人教版必修4
1.三角函数的概念 重点掌握以下两方面内容： (1)理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度 与角度的换算. (2)掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速 利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的 定义域和一些简单三角函数的值域.
2.同角三角函数的基本关系式 能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒 等式的证明；能逆用公式sin2 α＋cos2α＝1巧妙解题. 3.诱导公式 能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函 数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式. 善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使 用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能 力和逻辑思维能力提高的目的.
当 m＝－1 时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.
(3)当 θ 在第一、二象限时，
sin θ＝
1－m2，tan θ＝
1－m2 m.
(4)当 θ 在第三、四象限时，
sin θ＝－
1－m2，tan θ＝－
1－m2 m.
规律方法 由于三角函数的值及性质受角所在象限的
影响，这就需要对角在不同象限的情况进行分类讨论.
【训练 1】已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A>0，ω>0， |φ|<π2 )在一个周期内的简图如图所示，求函数 g(x)＝f(x)
－lg x 零点的个数.
解 显然 A＝2.由图象过(0，1)点，则 f(0)＝1，即 sin φ＝12，
π
π
又|φ|< 2 ，则 φ＝ 6 .
【训练 2】 函数 g(x)＝a－bsin 3x(b≠0)的最大值为32，最小值为
－12，求函数 f(x)＝－4asin 3bx 的周期和最值.
高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.3知识点总结含同步练习及答案
4π ． 3
解：（1）sin 585 ∘ = sin(360 ∘ + 225 ∘ ) = sin(180 ∘ + 45∘ ) = − sin(45∘ ) = − （2）
√2 ； 2
已知 sin(α − A．
解：B． 因为 选B．
1 3
π 1 π ） ) = ，则 cos( + α) 的值为（ 3 3 6 1 2√3 2√3 B．− C． D．− 3 3 3
π π π π π π π 1 + α = + (α − ) ，所以 cos( + α) = cos[ + (α − )] = − sin(α − ) = − ，故 6 2 3 6 2 3 3 3
高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式
一、学习任务
π 理解正弦、余弦、正切的诱导公式（2kπ + α(k ∈ Z) ，−α，π ± α ， ± α），能运用这些诱导公式 2 π 将任意角的三角函数化为 [0, ] 内的角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求 2 值及恒等式证明．
13π π π = tan(4π + ) = tan = √3； 3 3 3
√2 ； 2 13π
π 13π )；（2）cos(−420 ∘ )；（3）tan(− )． 4 6 π π √2 解：（1）sin(− ) = − sin( ) = − ； 4 4 2 1 （2）cos(−420 ∘ ) = cos(420 ∘ ) = cos(60∘ + 360 ∘ ) = cos 60∘ = ； 2 13π 13π π π √3 （3）tan(− ． ) = − tan = − tan( + 2π) = − tan = − 6 6 6 6 3
(完整word版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的看法的实行①按旋转方向不相同分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地址不相同分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，那么称为第几象限角．第一象限角的会集为k360k 36090 , k第二象限角的会集为k36090k 360180 , k第三象限角的会集为k360180k360270 , k第四象限角的会集为k360270k 360360 , k终边在 x 轴上的角的会集为k180 , k终边在 y 轴上的角的会集为k180 90 , k终边在坐标轴上的角的会集为k 90 ,k(2)终边与角α相同的角可写成α＋ k·360 °(k∈Z )．终边与角相同的角的会集为k 360, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝ 2π弧度； 180°＝π弧度．③半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，那么角的弧度数的绝对值是l r④ 假设扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为l，周长为C，面积为S，那么l r ，C2r l ，S1lr1r 2．222．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x， y)，它与原点的距离为r r x2y2，那么角α的正弦、余弦、正切分别是： sin α＝yr， cos α＝xr， tan α＝yx．〔三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦〕3．特别角的三角函数值1角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的根本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的根本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；〔在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意判断符号〕sin α(2)商数关系：＝tanα.〔3〕倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k ) tan其中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan(π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π引诱公式可概括为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假设是奇数倍，那么函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦) ；假设是偶数倍，那么函数名称不变，符号看象限是指：把πα看作锐角时，依照 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与要点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．〔 sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二〕2(3)巧用 “1〞的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ ＝tan24〔 〕齐次式化切法： tank ，那么 asinbcosa tanb ak b4m sinn cosm tannmkn三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法〔如y sin x 与 y cosx 的周期是〕。
高中数学必修四第一章《三角函数》学案 三角函数章节复习与小结(教师版)
三角函数章节复习与小结 总第 16课时学习目标：1、对本章知识系统化，网络化。
2、通过本章学习，感受三角函数与实际生活的紧密联系，感受数学的价值. 学习重点：三角函数的图象与性质. 学习难点：三角函数知识的综合运用. 学习过程：一、问题背景1、三角函数章节有关知识点：⑴三角函数的定义，符号，任意角三角函数 ⑵三角函数线，弧长公式，弧度与角度的互化 ⑶同角三角函数关系式 ⑷诱导公式⑸三角函数的性质，定义域，值域，周期性，奇偶性，最值，对称轴，对称中心（6） 本章内容结构图：二、探究研究1 .一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积是：A ． ))1sin(cos 2(212R - B ．)1sin(cos 212RＣ．221R Ｄ．221cos 1sin R R -解析：D 。
２.设θ是第二象限角，则必有： Ａ.2cot2tanθθ>；Ｂ.2cot2tanθθ<；Ｃ.2cos2sinθθ>；Ｄ.2cos2sinθθ<解析：A 。
3. 已知Ｐ（-4k,3k ）(0≠k )是角α终边上一点，则ααcos sin 2+ 的值等于：同角三角函数 基本关系式诱导公式任意角的三角函数任意角的概念 )sin(ϕω+=x A y 图象和性质 正弦、余弦、正切函数的图象和性质 已知三角函数值求角 三角函数式的计算与化简，证明三角恒等式 角度制 弧度制弧长及面积公式 应用应用应用Ａ.52±Ｂ. 52 Ｃ. 52- Ｄ.51±解析：A 。
４.将函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，再使图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的２倍，得到x y cos =的图象，则)(x f 可能是：Ａ.)62cos()(π+=x x f Ｂ. )62cos()(π-=x x fＣ. )32cos()(π+=x x f Ｄ. )32cos()(π-=x x f解析：D 。
高中数学 第一章 三角函数本章总结提升课件 新人教A版必修4.pptx
例 1 (1)若 sin α<0 且 tan α>0，则 α 是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第终边经过点(－4，3)，则 cos α＝( )
4 A.5
3 B.5
C．－35
D．－45
6
整合创新
[答案] (1)C (2)D [解析] (1)由 sin α<0，知 α 的终边在第三象限或第四象限或 y 轴的负半轴上； 由 tan α>0，知 α 的终边在第一或第三象限．因此 α 是第三象限角． (2)根据题意，cos α＝ （－－4）4 2＋32＝－45.
本章总结提升
1
单元回眸
【知识网络】
2
单元回眸
【知识辨析】
判断下列说法是否正确．(请在括号中填“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )
(2)角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关．( )
(3)角 α 终边上点 P 的坐标为－12， 23，那么 sin α＝ 23，cos α＝－12；同理，
sin(θ＋π4 )＝35>0，所以
π
θ＋ 4 为第一
π
象限角，所以 cos(θ＋ 4 )＝
1－sin2（θ＋π4 ）＝45，所以
π
tan(θ－ 4 )＝tan(θ
4
＋π4 －π2 )＝－cot(θ＋π4 )＝－53＝－43.
5
13
整合创新
方法二：由 sin(θ＋π4 )＝35，得 sin θ＋cos θ＝35 2，两边分别平方得 2sin θ
[类型总述] (1)三角函数的定义域；(2)三角函数的值域．
例 4 (1)函数 y＝ 2sin x－1的定义域为( ) A.6π，56π B.2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z) C.2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z) D.kπ＋π6，kπ＋56π(k∈Z)
山东省高中数学《第一章 三角函数》归纳整合课件 新人教A版必修4
轴对称图形， 对 轴对称图形，对称轴方 称轴方程是 x＝ 中心对称图 π kπ，k∈Z；中心 形，对称中 程是 x＝kπ＋2，k∈Z； 对称性 kπ 对称图形， 对称 心 2 ，0(k 中心对称图形，对称中 π kπ＋ ，0 中心 心(kπ，0)k∈Z 2 ∈Z) k∈Z
π 2x＋ 的图象( 6
π 2x－ 的图象， 3
)． π B．向右平移 个长度单位 4 π D．向右平移 个长度单位 2
π A．向左平移 个长度单位 4 π C．向左平移 个长度单位 2
解析
π π y＝sin2x＋6＝sin2x＋12，
专题四
三角函数的性质
高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的 定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是 复合函数的单调性问题应引起重视．
【例 5】 函数 f(x)＝3sin
π 2x－ 的图象为 3
C.
11 ①图象 C 关于直线 x＝ π 对称； 12 ②函数
专题一
任意角的三角函数的定义及三角函数线
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利 用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函 数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
【例 1】 求函数 y＝ sin x＋ 解 由题意知
1 cos x－2的定义域．
sin x≥0， sin x≥0， 即 1 1 cos x－2≥0， cos x≥2， 如图，结合三角函数线知：
3π y＝sin2x－ 4 的单调递增区间是
π 5π [kπ＋8，kπ＋ 8 ](k∈Z)．
(3)由
3π y＝sin2x－ 4 ， 8
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳.doc
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的集合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的集合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的集合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的集合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的集合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的集合为 k 180o 90o , k终边在坐标轴上的角的集合为k 90o ,k(2)终边与角 α相同的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 相同的角的集合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l r，C 2r l ，S 1 lr1 r2 ．2 22 ．任意角的三角函数定义设 α是一个任意角，角 α的终边上任意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx （三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）角度0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360函数角 a 的弧度0 π /6 π/4 π /3 π /2 2π /3 3π /4 5π/6 π3π /2 2πsina 0 1/2 √ 2/2 √ 3/2 1 √ 3/2 √ 2/2 1/2 0 -1 0 cosa 1 √ 3/2 √ 2/2 1/2 0 -1/2 -√ 2/2 -√ 3/2 -1 0 1 tana 0 √ 3/3 1 √ 3 -√ 3 -1 -√ 3/3 0 0二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．诱导公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan其中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan ．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos －α＝ sin α.2 2ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos 2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π诱导公式可概括为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数2 2倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα看成锐角时，根据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．． 2 ．．．果符号．B. 方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积转换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.6知识点总结含同步练习及答案
21 24 7.9 11.1
经长期观察，函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象．下面的函数 中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( A．y = 11 + 3 sin (
)
π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B．y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12 π D．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6
π π t + ) ， t ∈ [0, 24] 12 2 π B． y = 11 + 3 sin ( t + π) ， t ∈ [0, 24] 6 π C． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 6 π D． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 12
3. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + A cos
π (x − 6) ( 6
x = 1, 2, 3, ⋯ , 12 ) 来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28∘ C ， 12 月份的月平均气温最
低，为 18∘ C ，则 10 月份的平均气温值为
B．[1, 7]
D．[0, 1] 和 [7, 12]
2π π π 弧度，从而经过 t 秒转了 = t 弧度． 12 6 6 1 √3 π 而 t = 0 时， 点 A ( , ．经过 t 秒后点 A 的纵坐标为 ) ，则 ∠xOA = 2 2 3
2019-2020年高中数学 第一章 三角函数本章小结 新人教A版必修4
2019-2020年高中数学第一章三角函数本章小结新人教A版必修4►专题归纳三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．►例题分析例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)； (2)y ＝ 3tan x ＋ 3.分析：本题主要考查三角函数的定义域及数形结合的思想，列出满足条件的不等式(组)，结合单位圆中正弦线或余弦线、正切线求解，也可以作出函数的图象，由函数图象写出解集．解析：(1)⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1＞0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x ＞12.∴⎩⎨⎧2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3（k ∈Z ），2k π＋π6＜x ＜2k π＋5π6（k ∈Z ）.∴2k π＋π3≤x ＜2k π＋5π6(k ∈Z)．∴函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域是⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋56π(k ∈Z)．(2)3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－33. ∴k π－π6≤x ＜k π＋π2，∴函数y ＝3tan x ＋3的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π6≤x ＜k π＋π2，k ∈Z .点评：(1)注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题． (2)求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．例2已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求α的三个三角函数值．分析：利用三角函数的比值定义求解． 解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ， 故sin α＝y r ＝－45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝－43.点评：利用三角函数定义解题时，注意距离r 是一正数． ►跟踪训练1．若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号．解析：∵θ为第四象限，∴0＜cos θ＜1＜π2，－π2＜－1＜sin θ＜0，∴sin(cos θ)＞0，cos(sin θ)＞0，∴sin(cos θ)·cos(sin θ)＞0.►专题归纳在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．►例题分析例3 化简下列各式：(1)sin 3（π＋α）cos （－α）cos （π－α）tan 3（π＋α）cos 3（－α－π）＋cos （α＋3π）sin 2（α＋3π）cos 2⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan （α＋5π）tan （π＋α）cos 3（π＋α）；(2)tan （－510°）cos （－210°）cos 120°tan （－600°）sin （－330°）＋sin 29°cos 61°－tan 36°tan 54°.分析：熟练诱导公式，关键是符号的正负． 解析：(1)原式＝－sin 3αcos α（－cos α）tan 3α（－cos 3α）＋（－cos α）sin 2αsin 2αtan αtan α（－cos 3α）＝－sin 3αcos 2αsin 3αcos 3α·cos 3α＋cos αsin 4αsin 2αcos 2α·cos 3α＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1. (2)原式 ＝－tan 510°cos 210°cos 120°－tan 600°（－sin 330°）＋sin 29°cos 61°－sin 36°cos 36°·sin 54°cos 54°＝－tan （360°＋150°）cos （180°＋30°）cos （180°－60°）tan （2×360°－120°）sin （360°－30°）＋1－sin 36°cos 36°·cos 36°sin 36°＝－tan 150°（－cos 30°）（－cos 60°）tan （－120°）（－sin 30°）＝tan （180°－30°）cos 30°cos 60°tan （－180°＋60°）sin 30°＝－tan 30°cos 30°cos 60°tan 60°sin 30°＝－33×32×123×12＝－36. 点评：所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数的种类尽可能的少．例4 已知tan α＝2，求sin 2α－3sin αcos α＋1的值．分析：巧用“1”的变换，1＝sin 2α＋cos 2α，将所求式化为“关于sin α、cos α的齐次分式”，然后化成关于tan α的函数再求值．解析：∵tan α＝2，1＝sin 2α＋cos 2α， ∴原式＝ sin 2α－3sin αsin α＋(sin 2α＋cos 2α) ＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×4－3×2＋14＋1＝35.点评：解答该类问题要注意两类：(1)先化成“关于sin α、cos α的齐次分式”型的三角函数式；(2)由cos α≠0，分子、分母可同除以cos n α(n 为齐次式的幂指数)得到关于tan α的函数，代入tan α的值，即可求得结论．►跟踪训练2．求下列各式的值： (1)（1－tan θ）·cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ·sin 2θ；(2)sin （2π－α）cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin⎝⎛⎭⎫9π2＋α.解析：(1)原式 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin θcos θ·cos 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos θsin θ·sin 2θ ＝cos 2θ－cos θsin θ＋sin 2θ＋sin θcos θ＝1. (2)原式＝sin（－α）（－cos α）（－sin α）cos⎝⎛⎭⎫π2＋α（－cos α）sin（π－α）[－sin（π＋α）]sin⎝⎛⎭⎫π2＋α＝（－sin α）（－cos α）（－sin α）（－sin α）（－cos α）sin αsin αcos α＝sin3αcos α－sin2αcos2α＝－sin αcos α＝－tanα.►专题归纳理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝A sin(ωx＋φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义，对于三角函数的图象和性质，不仅考查图象及其变换，还需根据图象识别出函数性质，并能够灵活运用有关性质解决生活生产中的问题．►例题分析例5已知函数y＝f(x)＝lg cos 2x，(1)求它的定义域、值域；(2)讨论它的奇偶性；(3)讨论它的周期性；(4)讨论它的单调性．解析：充分考虑y＝cos 2x的性质，注意对数的真数要大于0的限制条件．(1)要使函数f(x)＝lg cos 2x有意义，则cos 2x＞0，即－π2＋2kπ＜2x＜π2＋2kπ，k∈Z.－x4＋kπ＜x＜π4＋kπ，k∈Z.∴函数的定义域为{x|－π4＋kπ＜x＜π4＋kπ，k∈Z}．由于在定义域内0＜cos 2x≤1.∴lg cos 2x≤0，∴函数的值域(－∞，0]．(2)∵函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝lg cos[2·(－x)]＝lg cos 2x＝f(x)，∴函数是偶函数．(3)∵cos 2x的周期为π，即cos2(x＋π)＝cos 2x.∴f(x＋π)＝lg cos2(x＋π)＝lg cos 2x＝f(x)．∴函数的周期为π.(4)y ＝lg u 是增函数．当x ∈⎝⎛⎦⎤－π4＋k π，k π(k ∈Z)时，u ＝cos 2x 是增函数．当x ∈⎣⎡⎭⎫k π，π4＋k π(k ∈Z)时，u ＝cos 2x 是减函数．因此，函数y ＝lg cos 2x 在⎝⎛⎦⎤－π4＋k π，k π(k ∈Z)上是增函数，在⎣⎡⎭⎫k π，π4＋k π(k ∈Z)上是减函数．点评：本题可画出y ＝cos 2x 的图象，借助图象直观写出cos 2x ＞0的条件下函数的性质． 例6 已知f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，是否存在常数a ，b ∈Q 时，使得f (x )的值域为[－3，3－1]？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由．分析：本题主要考查正弦函数图象的单调性、值域和分类讨论的思想，先确定2x ＋π6的范围，然后对a 的正负值进行讨论，使最大值为3－1，最小值为－3，解方程得到a ，b 是否是有理数即可．解析：∵f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴π2≤2x ≤3π2，∴2π3≤2x ＋π6≤5π3. ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤32，且f (x )∈[－3，3－1]．(1)当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧－2a ×32＋2a ＋b ＝－3，－2a ×（－1）＋2a ＋b ＝3－1.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝（3－5）∉Q.∴b 无解．(2)当a ＝0时，f (x )＝b 无最值，不符合要求．(3)当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－2a ×32＋2a ＋b ＝3－1，－2a ×（－1）＋2a ＋b ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＜0，b ＝1.∴存在常数a ＝－1，b ＝1满足a ，b ∈Q ，且使f (x )的值域为[－3，3－1]． 点评：(1)值域是在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4条件下存在，并非x ∈R.(2)题中没有给出a 的范围，且a 的值影响f (x )的单调性，从而影响值域，因此需要对a进行讨论，注意讨论要全面，a ，b ∈Q ，不能遗漏a ＝0的情况．►跟踪训练3．(1)求函数y ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的最大值和最小值及相应的x 值；(2)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．解析：(1)当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－1，即x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z.∴当x ＝－23π＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最大值1＋2＝3.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，即x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z.∴当x ＝π3＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最小值1－2＝－1.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12.当a ＞0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得大值12a ＋3.∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a ＜0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3.∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1.►例题分析例7 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)图象的一部分如下图所示． (1)求此函数的一个解析式；(2)将函数y ＝sin x 的图象如何变化，可以得到(1)中求出的函数的图象． 解析：(1)由题图可知，A ＝22，T4＝6－2＝4，∴T ＝16，∴ω＝π8.将点(2，22)代入y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ，得22＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.即φ＝2k π＋π4(k ∈Z)，令k ＝0，得φ＝π4.∴所求函数的解析式是y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.(2)将y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上所有点的横坐标变为原来的8π倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的图象，再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的图象上所有点的纵坐标变为原来的22倍(横坐标不变)，得y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的图象．点评：知图求式中函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定一般利用关键点法，三角函数的图象变换关键要搞清先伸缩后平移与先平移后伸缩的不同．►跟踪训练4．要在宽为6米的教室当中装一盏电灯，电灯装在距离正中桌面的高是多少米时，才能使两边靠墙的课桌得到的亮度最大⎝⎛已知：电灯对课桌的亮度E ＝I b 2cos α，I 为电灯的光度，b 、α)如图所示？解析：由题设E ＝I cos αb 2及b ＝3sin α，得E ＝I 9sin 2αcos α，要使靠墙课桌得到最大亮度，即E 值最大，∵I9是常数，且(sin 2αcos α)2＝cos 2α·(1－cos 2α)2＝12·2cos 2α·(1－cos 2α)·(1－cos 2α)，又∵α为锐角，且2cos 2α＋(1－cos 2α)＋(1－cos 2α)＝2为定值．∴当2cos 2α＝1－cos 2α，即cos α＝13时，(sin 2αcos α)2最大，亦即E 最大，这时h＝3tan α＝322(米)．►例题分析例8 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的对称轴和对称中心．分析：函数取最值时的x 值的是对称轴的x 值，图象与x 轴交点为对称中心． 解析：由3x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π3＋π12(k ∈Z)为其对称轴．由3x ＋π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π3－π12(k ∈Z)，∴⎝⎛⎭⎫k π3－π12，0(k ∈Z)为其对称中心．。
必修四第一章三角函数复习和小结
年级高一学科数学版本苏教版课程标题必修四第一章三角函数复习与小结编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破1. 三角函数的概念三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。
2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。
3. 三角函数的图象与性质三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。
4. 三角函数的应用主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。
三角函数来源于测量学和天文学。
在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。
三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。
本章主要利用数形结合的思想。
在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。
二、重难点提示重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与正弦函数y＝sinx的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。
难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y＝Asin（ωx＋φ）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。
一、知识脉络图：二、知识点拨：1. x y sin =与x y cos =的周期是π。
2. )sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期为ωπ2=T 。
3. 2tanxy =的周期为2π。
高中数学第一章三角函数本章小结课件a必修4a高一必修4数学课件
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[分析] (1)用最低点和周期确定 A，ω，φ 得解析式；(2)按 变换顺序逐个写每一步变形后的解析式；(3)由 x∈[0，1π2]确定 ωx ＋φ 的范围，再由 y＝sinx 确定最值．
[解] (1)∵T＝2ωπ＝π，∴ω＝2，又 f(x)min＝－2. ∴A＝2，由 f(x)的最低点为 M，∴sin(43π＋φ)＝－1. ∵0<φ<π2，∴43π<43π＋φ<116π. ∴43π＋φ＝32π，∴φ＝π6. ∴f(x)＝2sin(2x＋π6)．
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(2)把 y＝sinx 向左平移6π个单位，得到 y＝sinx＋π6；然后纵 坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到 y＝sin2x＋6π；再 使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到 y＝12sin2x＋6π， 最后把函数 y＝12sin2x＋6π的图象向下平移 1 个单位，得到 y＝12 sin2x＋π6－1 的图象．
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(3)证明三角恒等式或条件等式，是三角变换中的一个基本 题型，证明三角恒等式要充分观察要证等式的特点，利用同角三 角函数关系或诱导公式，通过切化弦化异次为同次，对三角恒等 式进行恒等变形是证明三角恒等式的关键，证明三角恒等式常用 “由左向右”“由右向左”以及分析法、综合法等．
(2)由 f(α)＝sinα·cosα＝18可知， (cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α
＝1－2sinα·cosα＝1－2×18＝34，
又∵π4<α<2π，∴cosα<sinα，
即
cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－
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三角函数章节复习与小结
1、对本章知识系统化，网络化。
2、通过本章学习，感受三角函数与实际生活的紧密联系，感受数学的价值.
1、三角函数章节有关知识点：
⑴三角函数的定义，符号，任意角三角函数 ⑵三角函数线，弧长公式，弧度与角度的互化 ⑶同角三角函数关系式 ⑷诱导公式
⑸三角函数的性质，定义域，值域，周期性，奇偶性，最值，对称轴，对称中心
本章内容结构图：
二、新课导学 ※ 探索新知
1 .一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积是： A.
))1sin(cos 2(2
12R - B.)1sin(cos 21
2R
C.
2
2
1R D.221cos 1sin R R - ２.设θ是第二象限角，则必有： Ａ.2
cot
2
tan
θ
θ
>；Ｂ. 2
cot
2
tan
θ
θ
<；
Ｃ. 2
cos
2
sin
θ
θ
>；Ｄ. 2
cos
2
sin
θ
θ
<
3. 已知Ｐ（-4k,3k ）(0≠k )是角α终边上一点，则ααcos sin 2+ 的值等于： Ａ.52± Ｂ. 5
2
Ｃ. 5
2-
Ｄ.5
1±
４.将函数
()x f y =的图象沿x 轴向左平移6
π
个单位，再使图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的２倍，得到x y cos =的图象，则)(x f 可能是：
Ａ.)6
2cos()(π
+
=x x f
Ｂ. )6
2cos()(π-=x x f Ｃ. )3
2cos()(π+=x x f Ｄ. )3
2cos()(π-=x x f
5 .在ABC ∆中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则
A B C ∆形状是
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、等腰直角三角形
D 、等腰或直角三角形
6 .比较大小：
.4
7cos ,101sin ,23cos -
___________________.
7 .已知,2
1cos sin 1-=+x x 则=-x x
sin 1cos _________.
8 .已知)(x f 为奇函数，且)()4(x f x f =+，则____________)2006
(=f .
※ 典型例题
例1 已知,5
7
cos sin =+αα且1tan >α，求αcos 的值。
例2设ααcos ,sin 是方程012442=-+-m mx x 的两根，παπ
22
3<<，求m 和α
例3 设)
cos()(cos 223
)2
sin()2(sin cos 2)(2
23θθπθπ
θπθθ-+++-++-+=f ，求)3
(π
f 的值。
例4 已知)4
2sin(log )(5.0π
-
=x x f ，
（1）求定义域，值域，单调增区间 （2）判断周期性和奇偶性
例5 不等式20cos 4cos sin 3422≤+--≤a x x x 恒成立，求a 的取值范围。
三、小结反思
1、本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数，同角三角函数间的关系、诱导公式及三角函数的图象和性质等。
2、三角函数是具有周期变化现象的主要数学模型，三角函数的图象能充分体现其函数的性质.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1、已知)0)(4,3(<--a a a B 是角α终边上一点，则αsec 的值是 （ ） A 、3
5
- B 、35 C 、45- D 、45
2、设θ是第三象限的角，且满足2
sin
|2
sin
|θ
θ
-=，则
2
θ
是 （ ） A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角
3、函数)
tan 1lg(1
sin 2x x y +-=的定义域是 。
4、已知函数)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，当9
π
=x 时，取得最小值21-
，当9
4π
=x 时，取得最大值2
1
，则其解析式为 。
5、已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：
①)()2(x f x f -=+
π
；②对任意属于⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡127,12ππ的21,x x ，当21x x <时都有m x f x f ≥>≥)()(221成立。
试解答下列各题：
⑴证明：)(x f 的周期函数； ⑵求m 的值； ⑶若)(x f 满足)3(
)3
(x f x f --=+π
π
，求满足不等式0)3
sin 4(>+π
πx f 的x 的集合。