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人教版必修2《直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质》知识点 练习 答案

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高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习

高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习

教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。

高中数学必修二 专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直(重难点突破)(含答案)

高中数学必修二 专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直(重难点突破)(含答案)

专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直一、考情分析二、考点梳理考点一直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点二平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点三知识拓展1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.四、题型分析重难点题型突破1 线面垂直例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A.若m⊂α，则m⊥βB.若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC.若m⊄α，m⊥β，则m∥αD.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α 【答案】C【解析】对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误.【变式训练1-1】、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确； 若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误.例2.如图所示，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证：(1) PH ⊥平面ABCD ； (2) EF ⊥平面PAB.【证明】 (1) 因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB. 因为PH 为△PAD 中边AD 上的高，所以PH ⊥AD.因为AB∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD. (2) 如图，取PA 的中点M ，连结MD ，ME.因为E 是PB 的中点，所以ME ＝12AB ，ME ∥AB.又因为DF ＝12AB ，DF ∥AB ，所以ME ＝DF ，ME ∥DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.重难点题型突破2 面面垂直例3. （安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′­FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】C【解析】①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积达到最大，故选C.例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB 边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2 5.(1)求证：PF⊥平面ABED；(2)求点A到平面PBE的距离．【解析】(1)证明：在题图2中，连接EF，由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF.在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，所以PF 为三棱锥P ­ABE 的高． 设点A 到平面PBE 的距离为h ，因为V A ­PBE ＝V P ­ABE ，即13×12×6×9×h ＝13×12×12×6×25，所以h ＝853，即点A 到平面PBE 的距离为853. 【变式训练4-1】、 (2018·北京高考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB . 因为PD ⊂平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .。

高一数学下册 第二单元 直线、平面垂直的判定及其性质知识点及练习题(含答案)

高一数学下册 第二单元 直线、平面垂直的判定及其性质知识点及练习题(含答案)

2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

Lpα2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 —2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1、“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是（）A、l⊂αB、l⊥αC、l∥αD、l⊂α或l∥α3、若两直线a⊥b，且a⊥平面α，则b与α的位置关系是（）A、相交B、b∥αC、b⊂αD、b∥α，或b⊂α4、a∥α，则a平行于α内的( )A、一条确定的直线B、任意一条直线C、所有直线D、无数多条平行线5、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 ( )A、一条直线不相交B、两条直线不相交C、无数条直线不相交D、任意一条直线都不相交6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是( )A、平行B、相交C、平行或相交D、平行、相交或在平面α内二、填空题7、过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.8、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.9、过一点可作________个平面与已知平面垂直.10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直.三、解答题12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条14、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？15、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l求证：AP在α内参考答案一、选择题1、B；2、D；3、D；4、D；5、D；6、D二、填空题7、无数，一，一，无数8、一，无数，无数，一9、无数10、一个11、一个三、解答题12、已知：a∥b,a⊥求证：b⊥α证明：设m 是α内的任意一条直线 αααα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥b m m b b a m a m a //13、已知：平面α和一点P 求证：过点P 与α垂直的直线只有一条证明：不论P 在平面α内或外，设直线PA α⊥，垂足为A （或P）若另一直线PB α⊥，设,PA PB 确定的平面为β，且a αβ=∴,PA a PB a ⊥⊥又∵,PA PB 在平面β内，与平面几何中的定理矛盾所以过点P 与α垂直的直线只有一条14、解：在ABC ∆和ABD ∆中，∵8,6,10AB m BC BD m AC AD m =====∴2222226810AB BC AC +=+== 2222226810AB BD AD +=+==∴90ABC ABD ∠=∠=即,AB BC AB BD ⊥⊥又∵,,B C D 不共线∴AB ⊥平面BCD ，即旗杆和地面垂直；15、证明：设AP 与l 确定的平面为β如果AP 不在α内， 则可设α与β相交于直线AM∵l ⊥α，∴l ⊥AM AP⊥l ，于是在平面β内过点A 有两条直线垂直于l ，这是不可能的所以AP 一定在α内 βαaP B A。

素素 人教版高中数学必修二《2.3.1 直线与平面垂直的判定》+《2.3.3 直线与平面垂直的性质》知识点

素素 人教版高中数学必修二《2.3.1 直线与平面垂直的判定》+《2.3.3 直线与平面垂直的性质》知识点

直线与平面垂直：
1.直线与平面垂直的判定定理 ，
直线与平面垂直的判定定理：
2.直线与平面垂直的相关结论：
3.《2.3.1 直线与平面垂直的判定》+《2.3.3 直线与平面垂直的性质》知识点
2020年4月24日
10:48
求证：过点 与 垂直的直线只有一条.
直线与平面垂直的相关结论：
3.
直线与平面垂直的性质定理：
4.直线与平面所成的角：
5.
平行四边形两条对角线的平方和等
于两条邻边平方和的两倍
即：
|
根据上面结论可证得：
备注：向量法证明略（见课本必修
四109页）
已知：三角形中，
为上的中点.
求证：
证明：过作,垂足为
则：
即：补充其他知识点（证明过程中用到的）：
6.。

人教版高中数学必修第二册8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的判定 同步练习(含答案

人教版高中数学必修第二册8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的判定 同步练习(含答案

人教版高中数学必修第二册8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角为()A.40°B.50°C.90°D.150°2.已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,给出下列命题:①m⊥n,m∥α,α∥β⇒n⊥β;②m⊥n,m⊥α,α∥β⇒n⊥β;③m⊥α,n∥β,α∥β⇒m⊥n;④m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β.其中正确的是()A.①②B.②③C.①④D.③④3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC4.若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角为()A.72°B.90°C.108°D.180°5.如图L8-6-10所示,若斜线段AB的长度是它在平面α上的射影BO的长度的2倍,则AB与平面α所成的角是()图L8-6-10A.60°B.45°C.30°D.120°6.如图L8-6-11,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O,则下列说法中正确的是()图L8-6-11A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心7.如图L8-6-12所示,△ABC是等腰三角形,BA=BC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,若AC=2,且BE⊥AD,则()图L8-6-12A.AB·BC=1B.AB·BC=2C.AE·CD=1D.AE·CD=28.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD,E为CD的中点,则()A.A1E⊥DD1B.A1E⊥DBC.A1E⊥D1C1D.A1E⊥DB1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.如图L8-6-13所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况)图L8-6-1310.平行四边形ABCD对角线的交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面之外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是.11.底面边长为a的正四棱锥的体积与棱长为a的正方体体积相等,则正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为.12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-6-14,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,AD=AB=12BC=1,PA=5,△PBC是正三角形.(1)求证:AB⊥平面PBC;(2)求点P到平面ABC的距离.图L8-6-1414.(10分)如图L8-6-15所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BD的中点.(1)求证:AF⊥平面BB1D1D;(2)求异面直线EF与BC所成的角的正切值.图L8-6-15=3 ,点P在棱AB 15.(5分)如图L8-6-16,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足上运动.设EP与平面BCD所成的角为θ,则sinθ的最大值为.图L8-6-1616.(15分)已知AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,D,E分别是VA,VC的中点.(1)判断直线DE与平面VBC的位置关系,并说明理由;(2)当△VAB是边长为22的正三角形时,求四面体V-DEB的体积.参考答案与解析1.B[解析]若两条直线平行,则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B.2.D[解析]若m⊥n,m∥α,α∥β,则n∥β或n与β相交,故①错误;若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β或n⊂β,故②错误;若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n,故③正确;若m⊥α,m∥n,α∥β,则n⊥β,故④正确.故选D.3.C[解析]∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.4.B[解析]当这个平面内经过斜足的直线l与这条直线在这个平面内的射影垂直时,直线l与这条直线垂直,所成的角为直角.又因为两直线所成角的取值范围为[0°,90°],所以直线l与这条直线所成角的最大值为90°.故选B.5.A[解析]∠ABO即是AB与平面α所成的角.在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=12,即∠ABO=60°.故选A.6.A[解析]由题意可知PA,PE,PF两两垂直,则PA⊥平面PEF,则PA⊥EF.由题意知PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,又PA∩PO=P,所以EF⊥平面PAO,所以EF⊥AO.同理可得AE⊥FO,AF⊥EO,所以O为△AEF的垂心.故选A.7.D[解析]取AC的中点O,连接OB,OE,记OE与AD的交点为F,则OB⊥AC.∵DC⊥平面ABC,OB⊂平面ABC,∴DC⊥OB,∵DC∩AC=C,∴OB⊥平面ADC,∴OB⊥AD.∵BE⊥AD,OB∩BE=B,∴AD⊥平面BOE,∴AD⊥OE.∵AE∥DC,∴∠DAE=∠ADC,又∠AFE=∠ACD=90°,∴∠AEO=∠CAD,∴tan∠AEO=tan∠CAD,∴ = ,即1 = 2,∴AE·CD=2.故选D.8.B[解析]连接AE.因为AB=2AD,E为CD的中点,所以 = =2,所以△ABD∽△DAE,所以∠DAE=∠ABD,所以∠EAB+∠ABD=90°,即AE⊥BD.因为A1A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1A⊥BD.又A1A∩AE=A,所以BD⊥平面A1AE,所以A1E⊥DB.9.AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形)10.垂直[解析]∵PA=PC,O是AC的中点,∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又∵AC∩BD=O,∴PO ⊥平面ABCD.11.32[解析]记该正四棱锥为S-ABCD,设其高SO=h,则13a2·h=a3,可得h=3a.因为该正四棱锥的侧棱与底面所成的角为∠SCO,且tan∠SCO=3 =32.12[解析]如图所示,连接BD,与AC交于点O,连接D1O,过点D作DE⊥D1O.易知BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角.由题意知AC⊥DB,AC⊥DD1,又DB∩DD1=D,所以AC⊥平面DD1O,可得AC⊥DE,又DE⊥D1O,AC∩D1O=O,所以DE⊥平面ACD1,所以DD1与平面ACD1所成的角为∠DD1O.设正方体的棱长为1,则在Rt△DD1O中,sin∠DD1O= 1 =13.解:(1)证明:∵AB=12BC=1,且△PBC是正三角形,∴PB=2.∵PA=5,∴AB2+PB2=PA2,∴AB⊥PB.又∵AB⊥BC,PB∩BC=B,PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AB⊥平面PBC.(2)设点P到平面ABC的距离为h.由(1)知AB⊥平面PBC,由V P-ABC=V A-PBC,得13S△ABC·h=13S△PBC·AB,即13×12×1×2×h=13×12×2×21,解得h=3,则点P到平面ABC的距离为3.14.解:(1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD,因为F为BD的中点,所以AF⊥BD.因为DD1⊥平面ABCD,AF⊂平面ABCD,所以AF⊥DD1.又DB∩DD1=D,DB⊂平面BB1D1D,DD1⊂平面BB1D1D,所以AF⊥平面BB1D1D.(2)连接D1B,D1C,如图所示.因为E,F分别为DD1,BD的中点,所以EF∥D1B,故异面直线EF与BC所成的角即为∠D1BC.又BC⊥平面D1DCC1,D1C⊂平面D1DCC1,所以BC⊥D1C,所以tan∠D1BC= 1 =2.15[解析]依题意可知,该几何体为正四面体.设顶点A在底面上的射影是O,则O是底面的中心,连接OB,过P作PH∥AO,交OB于H,连接HE.设正四面体的棱长为4a,PB=x(0<x ≤4a).在三角形PBE中,∠PBE=π3,由余弦定理得PE= 2+ 2- .因为AO⊥平面BCD,PH∥AO,所以PH⊥平面BCD,所以PH⊥HE,所以∠PEH是直线EP与平面BCD所成的角θ.在三角形AOB,又 = 4 ,所以所以sinθ= =中,x=2a时,sinθ16.解:(1)DE⊥平面VBC,证明如下:∵AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,∴AC⊥BC.∵过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,AC⊂平面ABC,∴AC⊥VC,∵BC∩VC=C,∴AC⊥平面VBC.∵D,E分别是VA,VC的中点,∴DE∥AC,∴DE⊥平面VBC.(2)∵△VAB是边长为22的正三角形,∴VB=VA,又∠VCB=∠VCA=90°,VC=VC,∴△VBC≌△VAC,∴BC=AC.∵BC2+AC2=AB2=8,∴AC=BC=2,∴VC=(22)2-22=2.∵D,E分别是VA,VC的中点,∴DE=12AC=1,∴四面体V-DEB的体积V V-DEB=V D-VBE=13×S△BEV×DE=13×12×S△VBC×DE=13×12×12×2×2×1=13.。

2.3直线、平面垂直的判定与性质 答案版

2.3直线、平面垂直的判定与性质 答案版

2.3 直线、平面垂直的判定与性质答案版[知识点归纳]1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直．记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足．(3)判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.图形语言：如图所示．2．直线与平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，称它们所成的角是0°的角．因此直线与平面所成的角的范围是[0°，90°]．3．二面角(1)定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．(2)记法：棱为AB，面分别为α，β的二面角记为α－AB－β或在α，β(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记为P－AB－Q.如果棱为l，这个二面角记为α－l－β(如图(1))．(3)二面角的平面角：如图(2)，在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α，β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．(4)二面角的度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量．平面角是直角的二面角叫做直二面角．4．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．(3)判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.图形语言：如图所示．5．直线与平面垂直的基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．符号语言：l⊥α，m⊂α⇒l⊥m图形语言：如图所示．6．直线与平面垂直的性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．符号语言：l⊥α，m⊥α⇒l∥m.图形语言：如图所示．7．面面垂直的性质定理文字语言：两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．符号语言：α⊥β，α∩β＝m，l⊂β，l⊥m⇒l⊥α.图形语言：如图所示．[典例精析]题型一线面垂直的判定例如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC，求证：AC⊥平面PBD.【证明】设AC∩BD＝O，连结PO，因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，而PO∩BD＝O，PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD.(1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的主要方法．在论证中利用题设的已知条件，来寻找判定定理的条件是证明中的基本思路．(2)线面垂直的定义把线面垂直化为线线垂直，这种转化是空间问题向平面问题的转化．解决立体几何中的有关垂直关系的问题，常常要进行多次线线垂直和线面垂直之间的转化，这充分体现了数学化归思想的重要性和优越性．变式1．如图，三棱锥P－ABC，PC⊥平面ABC，D为PB上一点，且CD⊥平面PA B.求证：AB⊥平面PCB.【分析】由线面垂直，证得线线垂直，再由线线垂直证得线面垂直．【解答】证明：∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥A B.∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，CD⊥A B.又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCB.应用直线与平面垂直的判定定理是证明直线与平面垂直的主要方法．如果一个问题的条件中，出现较多的线线垂直或线面垂直，那么判定线面垂直时常会选择直线与平面垂直的判定定理．关键是找好平面内的两条相交直线与已知直线垂直．2．在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA=AB ，D 为PB 的中点，求证：AD ⊥PC ．【解答】证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC .∵AB ⊥BC ，PA ∩AB ＝A ∴BC ⊥平面PAB . 又∵AD ⊂平面PAB ，∴BC ⊥AD ， 又∵PA=AB ，D 为PB 的中点，∴AD ⊥PB ，又∵PB ∩BC ＝B ∴AD ⊥平面PBC, 又∵PC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥PC3．已知：正方体中，AC 是面对角线，BD'是与AC 异面的体对角线.求证：AC ⊥BD'证明：连接BD ，因为正方体ABCD-A'B'C'D'，所以DD ‘⊥平面ABCD 又因为AC ABCD ⊂平面，所以'AC DD ⊥因为AC 、BD 为对角线，所以AC ⊥BD 因为DD'∩BD=D ，所以AC ⊥平面D'DB 所以AC ⊥BD'4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .证明：连结AC ，则AC ⊥BD ，又BD ⊥A 1A ，AC ∩AA 1＝A ，AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ， ∴BD ⊥平面A 1AC ，A 1C ⊂平面A 1AC ， ∴BD ⊥A 1C .同理可证BC 1⊥A 1C .又BD ∩BC 1＝B ，BD ，BC 1⊂平面BC 1D ， ∴A 1C ⊥面BC 1D .5.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点，AC 与BD 的交点为O .(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：A 1O ⊥平面EBD .PABCD【分析】(1)欲证A 1E ⊥BD ，只需证BD 垂直于A 1E 所在的平面ACEA 1.(2)欲证A 1O ⊥平面EBD ，只需证A 1O 垂直平面EBD 内两条相交直线BD 和OE .由(1)知A 1O ⊥BD .欲证A 1O ⊥OE ，则需证A 1E 2＝A 1O 2＋EO 2或∠AOA 1＋∠EOC ＝90°.【解答】(1)∵AA 1⊥平面AC ，∴BD ⊥AA 1.又BD ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面AE ，∵A 1E ⊂平面AE ，∴A 1E ⊥BD .(2)连结OE .由(1)知BD ⊥平面AE ，∵A 1O ⊂平面AE ，∴BD ⊥A 1O .设正方体的棱长为2a ，则EO ＝3a ，A 1O ＝6a ，A 1E ＝3a ，∴A 1E 2＝A 1O 2＋EO 2，即A 1O ⊥OE .又OE ∩BD ＝O ，∴A 1O ⊥平面EBD .证线线垂直，可以考虑证一条直线垂直于另一条直线所在的平面，而证线面垂直的关键是将“线面垂直”问题转化为证明“线线垂直”的问题．在证线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的高(中线或角平分线)、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线、直角三角形(或给出线段的长度，经计算满足勾股定理)等等． 题型二 面面垂直的判定例 如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：(1)MN ∥平面PAD ；(2)平面PMC ⊥平面PDC. 证明 (1)取PD 的中点为Q ，连结AQ 、QN ， ∵PN ＝NC ，∴QN ∥12DC ，且QN ＝12DC.∵四边形ABCD 为矩形， ∴QN ∥AM ，且QN ＝AM ，∴MN ∥AQ. 又∵AQ ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ∴MN ∥平面PAD. (2)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴∠PAD ＝90°， ∴△PAD 为等腰直角三角形． ∵Q 为PD 中点， ∴AQ ⊥PD. ∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥AQ ，∴AQ ⊥平面PDC ，由(1)知MN ∥AQ ，∴MN ⊥平面PDC ，又∵MN ⊂平面PMC ，∴平面PMC ⊥平面PDC.变式 1.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，SC ⊥平面ABCD ，E 为SA 的中点．求证：平面EBD ⊥平面ABCD .【证明】连结AC ，与BD 交于点F ，连结EF .因为F 为平行四边形ABCD 对角线AC 与BD 的交点，所以F 为AC 的中点． 又E 为SA 的中点，所以EF 为△SAC 的中位线，所以EF ∥SC . 又SC ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面ABCD .2.如图，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点．(1)求证：平面SAC ⊥平面ABC ； (2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .【分析】(1)在平面ABC 内找两条相交直线垂直SD 即可，但证线线垂直时，要据已知条件，运用平面几何知识．(2)注意利用(1)的结论和线面垂直的定义．【解答】(1)∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥A C.连结BD ，在Rt △ABC 中，AD ＝DC ＝BD .又SA ＝SB ，△ADS ≌△BDS .∴SD ⊥BD .又AC ∩BD ＝D ，∴SD ⊥平面ABC . ∵SD ⊂平面SAC ∴平面SAC ⊥平面ABC .(2)∵AB ＝BC ，D 为AC 的中点，∴BD ⊥A C.又由(1)知SD ⊥平面ABC ，∴SD ⊥BD .又AC ∩SD ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .3.在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a . 求证：平面ABD ⊥平面BCD .【分析】可以先考虑用定义法找直二面角也可以用判定定理在一个平面内寻找一条与另一个平面垂直的直线即可．【解答】取BD 的中点E ，连结AE ，CE ，∵AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴AE ⊥BD ，CE ⊥BD .∴∠AEC 为二面角A －BD －C 的平面角．在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，AE ＝AB 2－BE 2＝22a .同理CE ＝22a .在△AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴AC 2＝AE 2＋CE 2，∴∠AEC ＝90°，即二面角A －BD －C 为直角．∴平面ABD ⊥平面BCD .要证两个平面垂直，利用两个平面互相垂直的定义，其基本思路是作出二面角的平面角，计算二面角的平面角为90°，得出结论．利用定理的关键是在其中一个平面内寻找一条与另一个平面垂直的直线．题型三线面垂直的性质例如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.【证明】∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1.∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.变式1.如图，P是矩形ABCD所在平面α外一点，且PA⊥α，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD.【证明】(1)设Q为CD中点，连结MQ、NQ，则MQ∥AD，NQ∥PD.∵MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，∴平面MNQ∥平面PAD，而MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥α，∴PA⊥CD.∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵NQ∥PD，∴CD⊥NQ.又∵CD⊥MQ且NQ∩MQ＝Q，∴CD⊥平面MNQ，∵MN⊂平面MNQ，∴MN⊥CD.2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝BC＝BB1，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1.【分析】(1)线线平行⇒线面平行；(2)线面垂直⇒线线垂直⇒线面垂直⇒线线垂直⇒线面垂直．【解答】证明：(1)连结AB1交A1B于E，则E是AB1的中点，连ED，∵D为AC的中点，∴B1C∥ED.又DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，∴侧面ABB1A1是正方形，∴AB1⊥A1B.∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B.又AB1∩AC1＝A，∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1.又A1B∩BB1＝B，∴B1C1⊥平面ABB1A1.证明线面垂直和面面垂直，通常转化为证明线线垂直，证明线线垂直又转化为证明线面垂直，即线面垂直是垂直关系的纽带，证明垂直关系时，要重视转化与化归的思想方法的应用．题型四面面垂直的性质例在矩形ABCD中，AB＝33，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在平面ABCD内的射影O恰好落在AB上．(1)求证：AD⊥BC′；(2)求证：平面DBC′⊥平面ADC′.【证明】(1)由题意知，C′O⊥面ABD，∵C′O⊂面ABC′，∴面ABC′⊥面ABD.又∵AD⊥AB，面ABC′∩面ABD＝AB，∴AD⊥面ABC′.∴AD⊥BC′.(2)∵BC′⊥C′D，BC′⊥AD，AD∩DC′＝D，∴BC′⊥面ADC′.∵BC′⊂面DBC′，∴面DBC′⊥面ADC′.【小结】已知面面垂直，可考虑利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以下三点：(1)两个平面垂直是前提条件；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式1.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.【分析】由题目可获取以下主要信息：①四边形ABCD是边长为a的菱形；②面PAD⊥面ABCD.解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．【证明】(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.∴AD⊥平面PBG.∴AD⊥PB.题型五线面角、二面角的计算例如图，在三棱锥O－ABC中，∠OAB＝∠OAC＝60°，AB＝AC＝AO＝a，BC＝2a，D为BC的中点．(1)求证：OD⊥平面ABC；(2)求OA与平面ABC所成的角．【分析】(1)利用已知证OD⊥BC，OD⊥AD.(2)由(1)∠OAD为OA与平面ABC所成的角，解直角三角形求得结果．【解答】(1)∵AB＝AC＝AO＝a，∠OAB＝∠OAC＝60°，∴△OAB，△OAC为正三角形．∴OB＝OC＝a.∵BC＝2a，∴OB2＋OC2＝BC2，∴△OBC为等腰直角三角形．取BC的中点D，连结OD，AD，则OD⊥BC，且AD＝22a，OD＝22a.又OA＝a，∴AD2＋OD2＝OA2，OD⊥AD.又AD∩BC＝D，∴OD⊥平面ABC.(2)由(1)知，∠OAD为OA与平面ABC所成的角．在Rt △OAD 中，OD ＝22a ，OA ＝a ，∴sin ∠OAD ＝OD OA＝22，∴∠OAD ＝45°.即OA 与平面ABC 所成的角为45°.求直线和平面所成的角关键是确定直线在平面内的射影．为此必须在这条直线上某一点处作一条(或找一条)平面的垂线．但是要注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．变式 1.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角．【解答】如图，连结A 1C 1，交B 1D 1于E ，则有A 1C 1⊥B 1D 1，连结BE . ∵DD 1⊥平面A 1C 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1，∴DD 1⊥A 1C 1.∴A 1E ⊥DD 1.又∵A 1E ⊥B 1D 1，∴A 1E ⊥平面BD 1. ∴∠A 1BE 就是A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角． 在Rt △A 1BE 中，A 1E ＝12A 1C 1＝12A 1B ，∴∠A 1BE ＝30°，即A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角为30°. 【小结】求斜线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 2.在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝a ，对角线AC ＝a ，BD ＝2a .求二面角A－BD －C 的大小．【分析】先由二面角的定义以及二面角的两个半平面所在的三角形作出二面角的平面角，构造出三角形，再解三角形．【解答】取BD 的中点为O ，分别连结AO ，CO ，因为AB ＝AD ，BC ＝CD ，所以AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，所以∠AOC 即为二面角A —BD —C 的平面角．因为AB ＝AD ＝a ，BD ＝2a ，所以AO ＝22a .因为BC＝CD＝a，BD＝2a，所以OC＝22 a.在△AOC中，OC＝22a，OA＝22a，AC＝a，OA2＋OC2＝AC2.所以∠AOC＝90°.即二面角A－BD－C为90°.本题提供了求二面角大小的方法：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即利用线线、线面、面面的垂直关系说明所作的角就是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在三角形计算出三角函数值，其中作图是关键．本题用的是等腰三角形三线合一的性质也就是利用定义上在两个半平面内分别作棱的垂线，作出二面角的平面角.3.如图，在正方体中，二面角D1－AC－D的正切值是________．【解析】连结BD，交AC于O点，连结OD1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC.又∵AC⊥BD，BD，D1D⊂平面ODD1，BD∩D1D＝D，∴AC⊥平面ODD1，∵OD1⊂平面ODD1，∴OD1⊥AC.∴∠D1OD是二面角D1－AC－D的平面角．在Rt△ODD1中，设DD1＝a，则OD＝22a，∴tan∠D1OD＝DD1OD＝a22a＝ 2.即二面角D1－AC－D的正切值是 2.4.如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P－AB－C的大小为______．【解析】如图，取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角．在△PAB中，PM＝2232＝1，同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°.5.正方体ABCD－A1B1C1D1中．求：(1)直线D1C与平面AC所成角的大小；(2)二面角D1－BC－D的大小．【分析】寻找或作出线面角、二面角的平面角．【解答】(1)∵D1D⊥平面AC，∴∠D1CD是直线D1C与平面AC所成的角．在△D1CD中，D1D⊥CD，D1D＝CD，∴∠D1CD＝45°.即直线D1C与平面AC所成角为45°.(2)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥CD，BC⊥CC1，∴BC⊥平面D1C.∴BC⊥D1C，BC⊥CD，∴∠D1CD是二面角D1－BC－D的平面角．由(1)知∠D1CD＝45°.∴二面角D1－BC－D的大小是45°.(1)立体几何的计算并非单纯的数字计算，而是与作图和证明相结合的．立体几何计算题的主要步骤可以归纳为作(作出图形，添加必要的辅助线、或作出所要的几何量、或进行必要的转化)——证(证明所作的几何量即为所求)——算(计算出所求的几何量)．(2)要注意控制求空间角的难度．题型六平面的翻折问题如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后A点的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD.(1)求证：平面PBC⊥平面PDC；(2)在折叠的四边形PBCD中，作PE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，试证明∠PFE即为二面角P－BC－D的平面角，并求∠PFE的正切值．【分析】(1)利用面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．【解答】(1)证明：折叠前，在四边形ABCD中，∵AD＝AB，∠BAD＝90°，∴△ABD为等腰直角三角形．又AD∥BC，∴∠DBC＝45°，∵∠BCD＝45°，∴∠BDC＝90°.折叠后，∵平面PBD⊥平面BCD，CD⊥BD，平面PBD∩平面BCD=BD∴CD⊥平面PBD.又PB⊂平面PBD，∴CD⊥P B.又PB⊥PD，PD∩CD＝D，∴PB⊥平面PD C.又PB ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDC .(2)折叠后，PE ⊥BD ，又平面PBD ⊥平面BCD ，平面PBD ∩平面BCD=BD ∴PE ⊥平面BCD .∴PE ⊥BC ， 又EF ⊥BC ，PE ∩EF ＝E ， ∴BC ⊥平面PEF ，PF ⊂平面PEF ，∴PF ⊥BC ，∴∠PFE 即为二面角P －BC －D 的平面角． 设AB ＝AD ＝a ，则BD ＝2a .∴PE ＝22a ＝BE .在Rt △BEF 中，EF ＝BE ·sin 45°＝22a ×22＝a2. 在Rt △PEF 中，tan ∠PEF ＝PE EF＝22a12a＝2.在空间中作平行线或垂直必须有平面的衬托，即转化为平面问题后再作图，而利用面面垂直作面的垂线就是最主要的作面的垂线的方法，尤其是在作二面角的平面角时，若是找到了二面角的一个平面的垂线，问题就迎刃而解了．题型七 开放性问题例 如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，△PAD 是正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD .(1)若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB ；(3)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．【分析】(1)要证直线与平面垂直，已知平面PAD ⊥平面ABCD ，只要证明BG ⊥AD 即可．(2)由于AD ∥BC ，故只要证BC ⊥PB .(3)是开放性的问题，可以选取特殊点，比如取F 为PC 的中点来讨论．【解答】(1)证明：连结PG ，∵△PAD 是正三角形，G 为AD 的中点，∴PG ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，PG ⊥平面ABCD .∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，∴BG ⊥AD .又AD ∩PG ＝G ，∴BG ⊥平面PAD .(2)证明：由(1)知BG ⊥AD ，PG ⊥AD ，且BG ∩PG ＝G ，∴AD ⊥平面PBG ，∴AD ⊥PB . (3)当F 为PC 的中点时，平面DEF ⊥平面ABCD .证明如下：在△PBC中，FE∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，FE ∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PG B.由(1)知PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.变式1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.【分析】从结论出发逆推找条件．【解答】连结A1B，∵A1D1∥BE，∴A1，B，E，D1共面．∵A1D1⊥平面A1B，∴A1D1⊥AB1，又A1B⊥AB1，∴AB1⊥平面A1E，∴AB1⊥D1E.∴D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.连结DE，∵D1D⊥平面DBC，D1D⊥DE，∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是棱BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF.即当点F是CD 的中点时，D1E⊥平面AB1F.开放性问题的两种思路，思路一：观察、分析，先指出满足条件的点，再证明．思路二：从结论出发逆推找条件．[强化训练]一、选择题1.直线l与平面α内的无数条直线垂直，则( )A．l和平面α平行B．l和平面α垂直C．l在平面α内D．不确定【解析】l和平面α平行、l和平面α垂直及l在平面α内都是有可能的．【答案】 D2．设两个平面互相垂直，则( )A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面内C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直【答案】 B3．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α解析：选B. A中α，γ可以相交；C中如图：a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.4．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b与α相交解析：选C.由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.5．(2013·濮阳高一检测)若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1 B．2 C．3 D．0解析：选C.①正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n.又l⊥α，∴n⊥α；②正确．∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α.又n⊥α，∴l∥n；③正确，由线面垂直的定义可知其正确．故正确的有3个．【答案】a⊥β6.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC ∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面．因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．答案 C7.如图所示，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB 平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．答案 D8．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，l ⊂α，l ⊥m ，则l ⊥β解析 根据面面垂直的性质定理逐一判断．选项A 缺少了条件：l ⊂α，选项B 缺少了条件：α⊥β；选项C 缺少了条件：α∩β＝m ，l ⊥m ；选项D 具备了面面垂直的性质定理的全部条件，故选D.答案 D9．设α、β、γ为三个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，有以下条件： ①α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ； ②α∩γ＝m ，α⊥β，β⊥γ； ③α⊥β，α∥γ，m ∥γ；④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.其中，能够得出m ⊥β的是( ) A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．③④解析:α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，但m 不一定垂直β，①错误；两个相交平面都垂直一个平面，则它们的交线也垂直这个平面，②正确；由α⊥β，α∥γ，得到γ⊥β.若m ∥γ，则m 有可能平行于β，③错误；由n ⊥α，n ⊥β，得到α∥β，因为m ⊥α，所以m ⊥β，④正确．答案 B10.如图，等边三角形ABC 的边长为1，BC 边上的高为AD ，若沿AD 折成直二面角，则A 到BC 的距离是( )A ．1B ．22 C ．144 D ．32解析 折叠后BD ＝DC ＝12，且∠BDC 为二面角的平面角，∠BDC ＝90°，∴BC ＝22.取BC 中点E ，连接DE ，则DE ⊥BC ，易证AE ⊥BC ，故AE 的长为所求距离．∵AD ＝32，DE ＝12BC ＝24.∴AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫242＝144. 答案 C11．下列命题正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．①② B ．①②③ C ．②③④ D ．①②④解析 由性质定理可得①②正确． 答案 A 12．下列命题：①若两个平面互相垂直，则其中一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ②垂直于两个平行平面中的一个平面的平面，也垂直于另一个平面； ③若直线a ⊥平面 α，a ⊂β，则α⊥β；④若直线a ⊂平面α，a ⊥m ，a ⊥n ，且m ⊂面β，n ⊂面β，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析 ②③正确，利用定义． 答案 B 二、填空题1．已知平面α、β，直线a ，且α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则直线a 与平面β的位置关系是________．8．在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝6，BC ＝8，EC ⊥平面A BC ，且EC ＝12，则ED ＝________.解析：如图，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB ＝10，∴CD ＝5.在Rt △ECD 中，EC ＝12，∴ED ＝13. 答案：132．设直线l ，m ，平面α，β，则由l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m 能得出，α与β的位置关系是________． 答案：平行3．已知直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面α，m ∩n ＝M ，直线a ⊥m ，a ⊥n ，直线b ⊥m ，b ⊥n ，则直线a ，b 的位置关系是________．解析：由题意知a ⊥α，b ⊥α，∴a ∥b . 答案：平行4．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α； ②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ；③若m ，n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α，则α∥β. ④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.其中正确命题的序号是________．解析：用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④正确，②中m ，n 可能平行或异面，③在平面α内，过直线m 上一点作n ′∥n ，则在α内有两条相交直线都与β平行．所以α∥β正确．答案：①③④5.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β，④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题是________．解析：①③正确；对②，α⊥β⇒l ∥m 或异面或相交；对④，l ⊥m ⇒α∥β或α与β相交． 答案：①③6．若斜线段AB 是它在平面α的射影长的2倍，则AB 与平面α所成角为________． 解析：线面角α的余弦值为12，所以α＝60°.答案：60°7．已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC ⊥BD ，则平行四边形ABCD 一定是________．解析：如图，∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥BD .∵PC ⊥B D ，∴BD ⊥平面PAC ， ∴AC ⊥BD . 答案：菱形8.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，若PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数为________． 解析：由PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，∴△PAB ，△PAC 都是直角三角形且PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC .∴BC ⊥PC . ∴△PBC 是直角三角形，△ABC 是直角三角形． 答案：49．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中(侧棱垂直于底面且底面为正三角形的三棱柱)，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是___________． 解析 作BD ⊥AC 于D 则D 为AC 中点，又∵CC 1⊥BD ，∴BD ⊥面ACC 1A 1. 连结C 1D ，则∠BC 1D 即为BC 1与面ACC 1A 1所成角．在Rt △BC 1D 中，sin ∠BC 1D ＝BD BC 1＝323＝12.∴∠BC 1D ＝π6. 答案 π610．如图所示，三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，二面角B —PA —C 的大小等于________．解析 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC .∴∠BAC 是二面角B —PA —C 的平面角， 又∠BAC ＝90°.则二面角B —PA —C 的平面角是90°.答案 90°11．棱长都相等的三棱锥(即正四面体)ABCD 中，相邻两个平面所成的二面角的余弦值为________．解析 取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，∵四面体ABCD 是正四面体，∴BC ⊥AE ，BC ⊥ED . ∴∠AED 为二面角A —BC —D 的平面角． 设正四面体的棱长为1，则AE ＝32，DE ＝32，AD ＝1.在△ADE 中可求得cos ∠AED ＝13.答案1312．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为________．解析 如图，过E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，连接DF .易知平面BCC 1B 1⊥平面ABCD ，交线为BC ，所以EF ⊥平面ABCD .∠EDF 即为直线DE 与平面ABCD 所成的角．由题意，得EF ＝12CC 1＝1，CF ＝12CB ＝1，所以DF ＝CF 2＋DC 2＝ 5.在Rt △EFD 中，tan ∠EDF ＝EFDF＝15＝55.所以直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为55.答案 5513．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 1与底面ABCD 所成角的正切值为________． 【解析】 ∵C 1C ⊥平面ABCD ，∴AC 为AC 1在底面ABCD 内的射影，∴∠C 1AC 为AC 1与底面ABCD 所成的角，在Rt △ACC 1中，设CC 1＝a ，则AC ＝2a ，∴tan ∠C 1AC ＝C 1C AC＝a2a＝22.【答案】2214．若P 是△ABC 所在平面外一点，而△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，PA ＝6，那么二面角P －BC －A 的大小为________．解析：取BC 的中点O ，连接OA ，OP ，则∠POA 为二面角P －BC －A 的平面角，OP ＝OA ＝3，PA ＝6，所以△POA 为直角三角形，∠POA ＝90°.答案：90°15．如图，四面体P －ABC 中，PA ＝PB ＝13，平面PAB ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则PC ＝________.解析：取AB 的中点E ，连接PE ，PA ＝PB ，∴PE ⊥AB.又平面PAB ⊥平面ABC ，∴PE ⊥平面ABC ，连接CE ，所以PE ⊥CE. ∠ABC ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝27，PE ＝PA2－AE2＝6，CE ＝BE2＋BC2＝43，PC ＝PE2＋CE2＝7.答案：716．如图所示，在三棱锥D —ABC 中，若AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则平面ADC 与平面BDE 的关系是________．解析：易知BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴AC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面ADC ，∴平面ADC ⊥平面BDE . 答案：垂直17．平面四边形ABCD ，其中AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝2，AB ⊥AD ，沿BD 将△ABD 折起，使得AC ＝1，则二面角A －BD －C 的平面角的正弦值为________．解析：取BD 中点E ，连接AE ，CE.∵AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴AE ⊥BD ，CE ⊥BD ， ∴∠AEC 为二面角A －BD －C 的平面角． △DAB 中，AB ＝AD ＝1，AB ⊥AD ，∴AE ＝22. △BC D 中，BC ＝CD ＝2，BD ＝2，∴CE ＝62.又AC ＝1，∴△AEC 中，AE2＋AC2＝CE2，∠EAC ＝90°.∴sin ∠AEC ＝AC EC ＝26＝63.答案：6318.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，则AC ⊥BD.∵PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，∴PA ⊥BD.∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面PAC ，∴BD ⊥PC. ∴当DM ⊥PC(或BM ⊥PC)时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD.答案：DM ⊥PC(或BM ⊥PC 等)三、解答题1．(2013·石家庄高一检测)已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，PA ＝AD ＝4，E 为BC 的中点．求证：DE ⊥PE.证明：在△ADE 中，AD2＝AE2＋DE2，∴AE ⊥DE ，∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥DE.又PA ∩AE ＝A ，PA ⊂平面PAE ，AE ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE ⊥PE.2．(2012·吉林高一检测)如下图，已知PA ⊥圆O 所在平面，AB 为圆O 的直径，C 是圆周上的任意一点，过A 作AE ⊥PC 于E .求证：AE ⊥平面PBC .证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ，∵AC ⊥BC ，AC ∩PA ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AE ， 又∵PC ⊥AE ，BC ⊥PC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .3．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝5，AB ＝4，AD ＝3.求直线PC 与平面ABCD 所成的角．解：如图，连接AC ，因为PA ⊥平面ABCD ，则AC 是PC 在平面ABCD 上的射影．所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成的角．在△PA C 中，PA ⊥AC ，PA ＝5，AC ＝AB2＋AD2＝ 42＋32＝5.即直线PC 与平面ABCD 所成的角为45°.4．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是SA 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD.证明：连接AC ，交BD 于点F ，连接EF ，∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF ∥SC.∵SC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD.∵EF ⊂平面EDB ，∴平面EDB ⊥平面ABCD.5．如图，△ABC 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 是BE 的中点，求证：(1)DF ∥平面ABC ；(2)AF ⊥BD.证明：(1)取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，可得FG ∥AE ，FG ＝12AE. ∵CD ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ，∴CD ∥AE.又∵CD ＝12AE.∴FG ∥CD ，FG ＝CD. ∵FG ⊥平面ABC ，∴四边形CDFG 是矩形，DF ∥CG.又∵CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC.(2)Rt △ABE 中，AE ＝2a ，AB ＝2a ，F 为BE 的中点，∴AF ⊥BE.∵△ABC 是正三角形，∴CG ⊥AB ，∴DF ⊥AB.又∵DF ⊥FG ，FG ∩AB ＝G ，∴DF ⊥平面ABE.又∵AF ⊂平面ABE ，∴DF ⊥AF.∵BE ∩DF ＝F ，∴AF ⊥平面BDF.又∵BD ⊂平面BDF ，∴AF ⊥BD.6.如图，P 是矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P －CD －B 为45°.(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求证：平面PEC ⊥平面PCD.。

高一必修2-直线、平面垂直的性质及判定(习题及答案)

高一必修2-直线、平面垂直的性质及判定(习题及答案)

高一必修2 直线、平面垂直的性质及判定（习题及答案）典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）．A ．过直线外一点作与该直线垂直的直线B ．过直线外一点与该直线平行的平面C ．过平面外一点与平面平行的直线D ．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（ ）．A ．（1）、（2）B ．（2）、（3）C ．（3）、（4）D ．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性． 故选D ．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点，G 为棱BC 上的点，且1BB EF ⊥，EG FC ⊥1，求FG D 1∠．典型例题三例3 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD ．分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明⊥OE 平面1ACD ，只要在平面1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直．证明：连结D B 1、D A 1、BD ，在△BD B 1中，∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点，∴D B EO 1//．∵⊥11A B 面D D AA 11，∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影．又∵D A AD 11⊥，∴11DB AD ⊥．同理可证，C D D B 11⊥．又∵111D CD AD = ，1AD 、⊂C D 1面1ACD ，∴⊥D B 1平面1ACD ．∵EO D B //1，∴⊥EO 平面1ACD ．另证：连结CE AE 、，O D 1，设正方体1DB 的棱长为a ，易证CE AE =．又∵OC AO =，∴AC OE ⊥．在正方体1DB 中易求出： a a a DO DD O D 2622222211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=，a a a OB BE OE 232222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=， ()a a a E B B D E D 232222212111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=． ∵21221E D OE O D =+，∴OE O D ⊥1． ∵O AC O D = 1，O D 1、⊂AC 平面1ACD ，∴⊥OE 平面1ACD ．说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．典型例题四例4 如图，在△ABC 中，90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥．分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证MN SC ⊥，可证⊥SC 面AMN ，为此须证AN SC ⊥，进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ，而已知SB AN ⊥，所以只要证BC AN ⊥即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．证明：∵⊥SA 面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴BC SA ⊥．∵ 90=∠B ，即BC AB ⊥，A SA BA = ，∴⊥BC 平面SAB ．∵⊂AN 平面SAB ．∴AN BC ⊥．又∵SB AN ⊥，B BC SB = ，∴⊥AN 平面SBC ．∵⊂SC 平面SBC ，∴SC AN ⊥，又∵SC AM ⊥，A AN AM = ，∴⊥SC 平面AMN ．∵⊂MN 平面AMN ．∴MN SC ⊥．另证：由上面可证⊥AN 平面SBC ．∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影．∵SC AM ⊥，∴SC MN ⊥．说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知⊥SA ⊙O 所在平面，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上任意一点（C 与B A 、不重合）．过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点N M 、，求证：SC AN ⊥．典型例题五例5 如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ⋅=．分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．证明：过H 点作HD 垂直BC 于D 点，连AD ．∵α⊥AH ，∴AD 在平面α内射影为HD ．∵HD BC ⊥，α⊂BC ，∴AD BC ⊥．在Rt △ABH 中有：BA BH =θcos ① 在Rt △BHD 中有：BHBD =αcos ② 在Rt △ABD 中有：BA BD =βcos ③ 由①、②、③可得：αθβcos cos cos ⋅=．说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为θ，则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2πθ，．典型例题六例6 如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离．分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点B 与平面GEF 平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．证明：连结AC BD 、，EF 和BD 分别交AC 于O H 、，连GH ，作GH OK ⊥于K ．∵ABCD 为正方形，F E 、分别为AD AB 、的中点，∴BD EF //，H 为AO 中点．∵EF BD //，⊄BD 平面GFE ，∴//BD 平面GFE ．∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离．∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥．∵⊥GC 面ABCD ，∴EF GC ⊥．∵C AC GC = ，∴⊥EF 平面GCH ．∵⊂OK 平面GCH ，∴OK EF ⊥．又∵GH OK ⊥，H EF GH = ，∴⊥OK 平面GEF ．即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离．∵正方形边长为4，2=CG ， ∴24=AC ，2=HO ，23=HC ．在Rt △HCG 中，2222=+=CG HC HG ． 在Rt △GCH 中，11112=⋅=HG GC HO OK ． 说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长CB 交FE 的延长线于M ，连结GM ，作ME BP ⊥于P ，作CG BN //交MG 于N ，连结PN ，再作PN BH ⊥于H ，可得⊥BH 平面GFE ，BH 长即为B 点到平面EFG 的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．典型例题七例7 如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SC SB SA ==．(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；(2)若直角边BC BA =，求证：BD ⊥面SAC ．分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．证明：(1)在等腰SAC ∆中，D 为AC 中点，∴AC SD ⊥．取AB 中点E ，连DE 、SE ．∵BC ED //，AB BC ⊥，∴AB DE ⊥．又AB SE ⊥，∴AB ⊥面SED ，∴SD AB ⊥．∴SD ⊥面ABC （AB 、AC 是面ABC 内两相交直线）．(2)∵BC BA =，∴AC BD ⊥．又∵SD ⊥面ABC ，∴BD SD ⊥．∵D AC SD = ，∴BD ⊥面SAC ．说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．典型例题八例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．分析：由线面垂直的判定定理知，只需在α内找到两条相交直线与b 垂直即可．证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥．又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ．说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．典型例题九例9 如图所示，已知平面α 平面β=EF ，A 为α、β外一点，α⊥AB 于B ，β⊥AC 于C ，α⊥CD 于D ．证明：EF BD ⊥．分析：先证A 、B 、C 、D 四点共面，再证明EF ⊥平面ABCD ，从而得到EF BD ⊥． 证明：∵α⊥AB ，α⊥CD ，∴CD AB //．∴A 、B 、C 、D 四点共面．∵α⊥AB ，β⊥AC ，EF =βα ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥．又A AC AB = ，∴EF ⊥平面ABCD ．∴BD EF ⊥．说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“A 、B 、C 、D 四点共面”非常重要，仅由EF ⊥平面ABC ，就断定BD EF ⊥，则证明是无效的．典型例题十例10 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．(1)求证：SB NH ⊥；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴BM AM ⊥．∵SA ⊥平面α，α⊂BM ，∴MB SA ⊥．∵A SA AM = ，∴BM ⊥平面SAM ．∵AN ⊂平面SAM ，∴AN BM ⊥．∵SM AN ⊥于N ，M SM BM = ，∴AN ⊥平面SMB ．∵SB AH ⊥于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴SB NH ⊥．解(2)：由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ．∵AH SB ⊥且HN SB ⊥，∴SB ⊥平面ANH ，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴SAB ∆、SAM ∆均为直角三角形．∵BM ⊥平面SAM ，∴BAM ∆、BMS ∆均为直角三角形．∵AN ⊥平面SMB ，∴ANS ∆、ANM ∆、ANH ∆均为直角三角形．∵SB ⊥平面ANH ，∴SHA ∆、BHA ∆、SHN ∆、BHN ∆均为直角三角形． 综上，图中共有11个直角三角形．(4)由SA ⊥平面AMB 知，AM SA ⊥，AB SA ⊥，BM SA ⊥．由BM ⊥平面SAM 知，AM BM ⊥，SM BM ⊥，AN BM ⊥．由AN ⊥平面SMB 知，SM AN ⊥，SB AN ⊥，NH AN ⊥．由SB ⊥平面ANH 知，AH SB ⊥，HN SB ⊥．综上，图中共有11对互相垂直的直线．说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．典型例题十一例11 如图所示，︒=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，︒=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角．分析：求PA 与平面α所成角，关键是确定PA 在平面α上射影AO 的位置．由PAC PAB ∠=∠，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO 位置，构造直角三角形则需用三垂线定理．解：如图所示，过P 作α⊥PO 于O ．连结AO ，则AO 为AP 在面α上的射影，PAO ∠为PA 与平面α所成的角．作AC OM ⊥，由三重线定理可得AC PM ⊥．作AB ON ⊥，同理可得AB PN ⊥．由PAC PAB ∠=∠，︒=∠=∠90PNA PMA ，PA PA =，可得PMA ∆≌PNA ∆，∴PN PM =．∵OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影，∴ON OM =．所以点O 在BAC ∠的平分线上．设a PA =，又︒=∠60PAM ，∴a AM 21=，︒=∠45OAM ， ∴a AM AO 222==． 在POA ∆中，22cos ==∠PA AO PAO ， ∴︒=∠45PAO ，即PA 与α所成角为︒45．说明：(1)本题在得出PA 在面α上的射影为BAC ∠的平分线后，可由公式βαθcos cos cos ⋅=来计算PA 与平面α所成的角，此时︒==∠60θPAC ，α=∠PAO ，︒==∠45βCAO ．(2)由PA 与平面α上射影为BAC ∠平分线还可推出下面结论：四面体ABC P -中，若PAC PAB ∠=∠，PBC PBA ∠=∠，则点A 在面ABC 上的射影为ABC ∆的内心．典型例题十二例12 如图所示，在平面β内有ABC ∆，在平面β外有点S ，斜线AC SA ⊥，BC SB ⊥，且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等，设点S 与平面β的距离为cm 4，BC AC ⊥，且cm AB 6=．求点S 与直线AB 的距离．分析：由点S 向平面β引垂线，考查垂足D 的位置，连DB 、DA ，推得AC DA ⊥，BC DB ⊥，又︒=∠90ACB ，故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点．解：作SD ⊥平面β，垂足为D ，连DA 、DB ．∵AC SA ⊥，BC DB ⊥，∴由三垂线定理的逆定理，有：AC DA ⊥，BC DB ⊥，又BC AC ⊥，∴ACBD 为矩形．又∵SB SA =，∴DB DA =，∴ACBD 为正方形，∴AB 、CD 互相垂直平分．设O 为AB 、CD 的交点，连结SO ，根据三垂线定理，有AB SO ⊥，则SO 为S 到AB 的距离．在SOD Rt ∆中，cm SD 4=，cm AB DO 321==， ∴cm SO 5=．因此，点S 到AB 的距离为cm 5．说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算．典型例题十三例13 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证SB AE ⊥，可证⊥AE 平面SBC ，为此须证BC AE ⊥、SC AE ⊥，进而转化证明⊥BC 平面SAB 、⊥SC 平面AEFG ．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，∴BC SA ⊥．又∵ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥．∴⊥BC 平面ASB ．∵⊂AE 平面ASB ，∴AE BC ⊥．又∵⊥SC 平面AEFG ，∴AE SC ⊥．∴⊥AE 平面SBC ．又∵⊂SB 平面SBC ，∴SB AE ⊥，同理可证SD AG ⊥．说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性．典型例题十四例14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．已知：BAC ∠在平面α内，点α∉P ，AB PE ⊥，AC PF ⊥，α⊥PO ，垂足分别是E 、F 、O ，PF PE =．求证：CAO BAO ∠=∠．证明：∵α⊥PO ，∴OE 为PE 在α内的射影．∵PE AB ⊥，α平面⊂AB ，∴OE AB ⊥．同理可证：OF AC ⊥．又∵α⊥PO ，PF PE =，OF OE =，∴CAO BAO ∠=∠．说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线．由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知︒=∠90ACB ，S 为平面ACB 外一点，︒=∠=∠60SCB SCA ，求SC 与平面ACB 所成角．典型例题十五例15 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ）解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异面，因此应打“×”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”号．(5)三条共点直线两两垂直，设为a ，b ，c 且a ，b ，c 共点于O ，∵b a ⊥，c a ⊥，0=c b ，且b ，c 确定一平面，设为α，则α⊥a ，同理可知b 垂直于由a ，c 确定的平面，c 垂直于由了确定的平面，∴该命题应打“√”号．说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．典型例题十六例16 如图，已知空间四边形ABCD 的边AC BC =，BD AD =，引CD BE ⊥，E 为垂足，作BE AH ⊥于H ，求证：BCD AH 平面⊥．分析：若证BCD AH 平面⊥，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH 垂直平面BCD 中两条相交直线即可．证明：取AB 中点F ，连CF 、DF ，∵BC AC =，∴AB CF ⊥．又∵BD AD =，∴AB DF ⊥，∴CDF AB 平面⊥，又CDF CD 平面⊂，∴AB CD ⊥又BE CD ⊥，∴ABE CD 平面⊥，AH CD ⊥，又BE AH ⊥，∴BCD AH 平面⊥．典型例题十七例17 如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ，那么α//a ．已知：直线α⊄a ，b a 直线⊥，α⊥b ．求证：α//a ．分析：若证线面平行，只须设法在平面α内找到一条直线'a ，使得'//a a ，由线面平行判定定理得证．证明：(1)如图，若a 与b 相交，则由a 、b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b ab a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵． (2)如图，若a 与b 不相交， 则在a 上任取一点A ，过A 作b b //'，a 、'b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβααα////,,////'''''''''''a a a a a a a b a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵． 典型例题十八例18 如图，已知在ABC ∆中，︒=∠60BAC ，线段ABC AD 平面⊥，DBC AH 平面⊥，H 为垂足．求证：H 不可能是DBC ∆的垂心．分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明．证明：如图所示，假设H 是DBC ∆的垂心，则DC BH ⊥．∵DBC AH 平面⊥，∴AH DC ⊥，∴ABH DC 平面⊥，∴DC AB ⊥．又∵ABC DA 平面⊥，∴DA AB ⊥，∴DAC AB 平面⊥，∴AC AB ⊥，这与已知︒=∠60BAC 矛盾，∴假设不成立，故H 不可能是DBC ∆的垂心．说明：本题只要满足︒≠∠90BAC ，此题的结论总成立．不妨给予证明．典型例题十九例19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）．①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线a ⊥平面α，α⊂b ，α⊂c ，且A c b = ，则b a ⊥，c a ⊥，即平面α内两条直交直线b ，c 都垂直于同一条直线a ，但b ，c 的位置关系并不是平行．另外，b ，c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时，b ，c 的位置关系是异面．③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，ABCD D A 平面//11，但11111A D A B A = ，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．∴应选B ．例20 设a ，b 为异面直线，AB 为它们的公垂线(1)若a ，b 都平行于平面α，则α⊥AB ；(2)若a ，b 分别垂直于平面α、β，且c =βα ，则c AB //．分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明α⊥AB ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明c AB //．图１ 图２ 证明：(1)如图1，在α内任取一点P ，设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为'a ， 设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为'b∵α//a ，α//b ，∴'//a a ，'//b b又∵a AB ⊥，b AB ⊥，∴'a AB ⊥，'b AB ⊥，∴α⊥AB ．(2)如图2，过B 作α⊥'BB ，则a BB //'，则'BB AB ⊥又∵b AB ⊥，∴AB 垂直于由b 和'BB 确定的平面．∵β⊥b ，∴c b ⊥，α⊥'BB ，∴c BB ⊥'．∴c 也垂直于由'BB 和b 确定的平面．故AB c //．说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线'BB ，构造出平面，即由相交直线b 与'BB 确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得．例21 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．分析：证明1//BD EF ，构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键．由于EF 是AC 和D A 1的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用．证明：连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥，∴11C A EF ⊥．又D A EF 1⊥，1111A C A D A = ，∴D C A EF 11平面⊥． ①∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂，∴111C A BB ⊥．∵四边形1111D C B A 为正方形，∴1111D B C A ⊥，1111B BB D B = ，∴D D BB C A 1111平面⊥，而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥．同理11BD DC ⊥，1111C C A DC = ，∴D C A BD 111平面⊥． ②由①、②可知：1//BD EF ．例22 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，a PC PB PA ===，求P 点到平面ABC 的距离．分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长． 解：过P 作ABC PO 平面⊥于O 点，连AO 、BO 、CO ，∴AO PO ⊥，BO PO ⊥，CO PO ⊥∵a PC PB PA ===，∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆，∴OC OB OA ==，∴O 为ABC ∆的外心．∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴a CA BC AB 2===，ABC ∆为正三角形， ∴a AB AO 3633==，∴a AO PA PO 3322=-=． 因此点P 到平面ABC 的距离a 33． 说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识．(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结．例23 如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，棱51=AA ，12=AB ，求直线11C B 和平面11BCD A 的距离．分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解．解：如图，∵BC C B //11，且1111BCD A C B 平面⊄，11BCD A BC 平面⊂，∴1111//BCD A C B 平面．从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求．过点1B 作B A E B 11⊥于E ，∵11ABB A BC 平面⊥，且B B AA E B 111平面⊂，∴E B BC 1⊥．又B B A BC =1 ，∴111BCD A E B 平面⊥．即线段E B 1的长即为所求，在B B A Rt 11∆中，13601251252211111=+⨯=⋅=B A BB B A E B ， ∴直线11C B 到平面11BCD A 的距离为1360． 说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解．例24 AD 、BC 分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为︒30，cm AD 8=，BC AB ⊥，BC DC ⊥．求线段BC 的长．分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线AD 、BC 所成的角、垂直关系转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出BC 之长．解：如图，在平面α内，过A 作BC AE //，过C 作AB CE //，两线交于E ． ∵BC AE //，∴DAE ∠就是AD 、BC 所成的角，︒=∠30DAE ．∵BC AB ⊥，∴四边形ABCE 是矩形．连DE ，∵CD BC ⊥，CE BC ⊥，且C CE CD = ，∴CDE BC 平面⊥．∵BC AE //，∴CDE AE 平面⊥．∵CDE DE 平面⊂，∴DE AE ⊥． 在AED Rt ∆中，得34=AE ，∴)(34cm AE BC ==．说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段．。

高中数学(人教版必修2)直线、平面平行的判定及其性质配套练习(有答案)

高中数学(人教版必修2)直线、平面平行的判定及其性质配套练习(有答案)

§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定一、基础过关1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交C．n⊂αD．n∥α或n⊂α2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．6．已知不重合的直线a，b和平面α.①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，其中正确命题的个数是________．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC.8. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.二、能力提升9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.三、探究与拓展13. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)答案1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C1 6．17．证明如图，连接BD交AC于F，连接EF.因为F为正方形ABCD对角线的交点，所以F为AC、BD的中点．在三角形DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B.又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.8．证明连接OF，∵O为正方形DBCE对角线的交点，∴BO＝OE，又AF＝FE，∴AB∥OF，⎭⎬⎫AB⊄平面DCFOF⊂平面DCFAB∥OF⇒AB∥平面DCF.9．A10．D11．1212．证明取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG∥CD，FG＝12CD，BE∥CD，BE＝12CD，所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE，所以BF∥平面A′DE.13．证明如图所示，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.∵KB∥AD，∴DQBQ＝AQQK.∵AP＝DQ，AE＝BD，∴BQ＝PE.∴DQBQ＝APPE.∴AQQK＝APPE.∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有( )A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′ B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立． 上述结论中，正确的是( )A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角． 二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角． 三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45°7．(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解 如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°， 即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、基础过关1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则() A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的() A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α5．直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b的位置关系是________．6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．8. 如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.二、能力提升9．下列命题正确的是() A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直11．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC 与面α的位置关系为________．12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．三、探究与拓展13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．答案1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)2.2.2平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.2.2.3 直线与平面平行的性质一、基础过关1．a ，b 是两条异面直线，P 是空间一点，过P 作平面与a ，b 都平行，这样的平面( ) A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有D ．有无数个2. 如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°3. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面4．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A ．至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条D ．没有5．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7. ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .8. 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD∥平面EFGH.二、能力提升9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l310．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．10题图11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________.12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.答案1．C 2．C 3．A 4．B5．①②⇒③(或①③⇒②) 6.223a7．证明 如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理， 则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， 则有AP ∥GH .8．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ⊂平面ACD ，∴EF ∥CD . 而EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH . 9．A 10.平行四边形 11．m ∶n12．(1)证明 因为BC ∥AD ，AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，所以BC ∥平面P AD .又平面P AD ∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l . (2)解 MN ∥平面P AD . 证明如下：如图所示，取PD 中点E . 连接EN 、AE .又∵N 为PC 中点，∴EN 綊12AB∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.13．证明连接A 1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，又∵C1D⊂平面AC1D，BD1⊄平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定2．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”) (1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； (2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．2011．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB1.∵OB21＝OB2＋BB21＝32，PB21＝PD21＋B1D21＝94，OP2＝PD2＋DO2＝34，∴OB21＋OP2＝PB21.∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面P AC.13．解(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝2－13＝33.∴∠BAH＝30°.(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CCA1＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，∴B1C＝233.∴tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A—BE—P的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC .(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由． 三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝2，BC ＝ 6.(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．＝3，则∠PBA＝60°.在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ， ∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ， 使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角． 13．(1)证明 连接BD ，∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5， ∴PD ⊥AC .∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则a 与β的关系为________． 7. 如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .8. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC . 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶310．设α－l －β是直二面角，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行11．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面； ②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面； ③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 12．如图所示，在多面体P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点， 求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积． 三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ， 且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 9．A 10．C 11．①②③12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ， ∴面MBD ⊥面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO 是二面角A 1－BD －C 的平面角，设AC ＝a ，则C 1O ＝22a ，C 1D ＝2a ＝2C 1O ⇒∠C 1DO ＝30°，故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.章末检测一、选择题1．下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则() A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()。

高中数学必修二2.3 直线、平面垂直的判定及其性质课堂练习及答案

高中数学必修二2.3 直线、平面垂直的判定及其性质课堂练习及答案

2.3直线、平面垂直的判定及其性质●知识梳理直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

PaL2注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3直线与平面、平面与平面垂直的性质●知能训练一．选择题1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A．α⊥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β2．在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）A．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为B．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为C．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为D．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为3．如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A．B．C．D．4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．在翻折过程中，可能成立的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．③④5．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的表面积为（）A．16πB．24πC．32πD．48π6．设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c7．已知平面α⊥平面β，点A∈α，则过点A且垂直于平面β的直线（）A．只有一条，不一定在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，一定在平面α内D．有无数条，一定在平面α内8．如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角9．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF=G．现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P-AEF中必有（）A．AP⊥△PEF所在平面B．AG⊥△PEF所在平面C．EP⊥△AEF所在平面D．PG⊥△AEF所在平面11．如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5 B．8 C．10 D．613．经过一条直线与一个平面垂直的平面个数是（）A．1 B．2 C．无数D．以上答案都不正确A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：315．已知点E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条16．三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，若H在△ABC内，则H 为△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．垂心或内心17．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部18．如图是一个几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题19．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）20．已知平面α，β和直线，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．（i）当满足条件时，有m∥β；（ii）当满足条件时，有m⊥β．（填所选条件的序号）21．已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，CD∈平面α，CD⊥AC，则面面垂直的有．22．设△ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA1⊥平面α于点A1，BB1⊥平面α于点B1，CC1⊥平面α于点C1，G、G1分别是△ABC和△A1B1C1的重心，若AA1=7，BB1=3，CC1=5，则GG1= ．23．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α则n∥α；②若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中所有真命题的序号是．24．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为．25．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值等于．26．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有对．第24题第25题第26题三．解答题27．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、AD1的中点，求证：（Ⅰ）直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）直线AC1⊥平面PQMN．28．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．29．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积．30．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．求证：BC⊥平面ACD；【参考答案】1-5 BCABD 6-10 CCDDA 11-15 BBDAB 16-18 AAB19. DM⊥PC（或BM⊥PC等）20.③⑤；②⑤21.平面ABC⊥平面ACD 22.5 23.①②24.线段CB1 25. 1 26.527.证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AD1，∵AD1∥BC1，且F、P分别是AD、DD1的中点，∴FP∥AD1，∴BC1∥FP，又FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）如图，连接AC、BD，则AC⊥BD，∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CC1⊥BD；又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，又AC1⊂平面ACC1，∴BD⊥AC1；又∵M、N分别是A1B1、A1D1的中点，∴MN∥BD，∴MN⊥AC1；同理可证PN⊥AC1，又PN∩MN=N，∴直线AC1⊥平面PQMN．28. （Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，∵AB∩AC=A，∴AA1⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，∴直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点，则O 为AC1的中点．连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，∴MD∥OE，MD=OE，连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO，∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，∴DE∥平面A1MC，∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC．29.（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E-A B C=S△ABC•AA1=×××1×2=30.解：（Ⅰ）在图1中，可得AC＝BC＝2取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，（4分）∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD（6分）另解：在图1中，可得AC＝BC＝2从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC⊂面ABC，从而BC⊥平面ACD。

人教版必修2《直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质》知识点 练习 答案

人教版必修2《直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质》知识点 练习 答案

直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质一、知识点：1、直线与平面的位置关系有且只有三种：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧；：；：；：没有公共点直线与平面平行有且只有一个公共点直线与平面相交直线在平面外有无数个公共点直线在平面内 2、平面与平面的位置关系有两种： ⎩⎨⎧；：；：有且只有一条公共直线两个平面相交没有公共点两个平面平行3、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补；4、①直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行， 则该直线与此平面平行；简称“线线平行⇒线面平行”；用数学符号表示为：，，b a αα⊂⊄ a ∥b （3个条件，缺一不可）⇒a ∥α；②直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行；简称“线面平行⇒线线平行”；用数学符号表示为：a ∥α，b ，a =⊂βαβ （3个条件，缺一不可）⇒a ∥b ；5、①平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；简称“线面平行⇒面面平行”； 用数学符号表示为：P ，b ，a ，b a =⊂⊂ ββa ∥α，b ∥α5个条件，缺一不可）⇒β∥α；②平面与平面平行的判定定理：如果两个平行平面同时和第三个平面 相交，它们的交线平行；简称“面面平行⇒线线平行”； 用数学符号表示为：α∥β，b a ，==γβγα （3个条件，缺一不可）⇒a ∥b ；6、证明直线与平面平行的另一种方法：先证明这条直线所在的平面与另一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行。

二、范例精讲例1 已知a ，b ，c 是三条不重合的直线，，αβ，γ是三个不重合的平面， ①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ； ②a ∥γ，b ∥⇒γa ∥b ； ③a ∥c ，c ∥a ⇒α∥α； ④a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α； ⑤，a α⊄，b α⊂a ∥b ⇒a ∥α。

其中正确的命题个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 例2 下列说法正确的是（ ）A.直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；B.若a 直线在平面α外，a ∥α；C.若直线，b a φ= 直线α⊂b ，则a ∥α；D.若直线a ∥b ，，b α⊂则a ∥α或α⊂a 。

高中 直线平面垂直判定与性质讲义及习题

高中 直线平面垂直判定与性质讲义及习题

直线/平面垂直的判定与性质知识点及习题1．直线与平面垂直判定(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．1．（2011 广东理18）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点．（1）证明：AD 平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．．【变式1】如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是为多少2．如图所示，已知∠BOC在平面内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=，求OA和平面所成的角．【变式2】．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小．解析：取BC的中点E，连接AE、DE，直线/平面垂直的判定与性质习题一选择1.下列命题中正确的个数是( )①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直．A．0B．1 C．2 D．32.（2010 山东）在空间，下列命题正确的是A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行3．两异面直线在平面α内的射影（）A．相交直线B．平行直线C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能4．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．—定不存在5．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）A．必相交B．必为异面直线C．垂直D．无法确定6．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD 内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A．圆内接四边形B．矩形C．圆外切四边形D．平行四边形7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离等于（）A ．B ．C ．3D ．4 二、填空题1．AB 是平面α的斜线段，其长为a ，它在平面α内的射影A ′B 的长为b ，则垂线A ′A _________．2．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l ＝β∩γ，l ⊥α，m α和m ⊥γ，现给出以下四个结论：①α∥γ且l ⊥m ；②αγ且m ∥β③αβ且l ⊥m ；④αγ且l ⊥m ；其中正确的为“________”．（写出序号即可）3．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．4．如图，正方形ABCD ，P 是正方形平面外的一点，且P A ⊥平面A BCD 则在△P AB 、△PBC 、△PCD 、△P AD 、△P AC 及△PBD 中，为直角三角形有_________个．5．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________． 三、解答题1．如图，在长方体AC 1中，已知AB ＝BC ＝a ，BB 1＝b （b ＞a ），连结BC 1，过B l 作B 1E ⊥BC 1交CC 1于E ，交BC 1于Q ，求证：AC ⊥平面EB l D 1552552．如图在△ABC中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC所在平面，又点A在SC和SB上的射影分别是P、Q．3．已知在如图中，∠BAC在平面α内，点P α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF，求证：∠BAO＝∠CAO，4.如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．求证：平面CBD⊥平面BDM．5.已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且．求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小．6.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．。

【同步速递】专题2.3 直线、平面垂直的判定及其性质-人教版高一数学(必修2)(Word版含解析)

【同步速递】专题2.3 直线、平面垂直的判定及其性质-人教版高一数学(必修2)(Word版含解析)

一、直线与平面垂直的判定1．直线与平面垂直（1）定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．（2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．（3）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．2．直线与平面垂直的判定定理（1）直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．（2）在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．3．直线和平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面_______________，但不和这个平面_______________，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_______________叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引_______________，过_______________和_______________的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_______________，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于_______________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于_______________．因此，直线与平面所成的角α的范围是_______________．二、平面与平面垂直的判定1．二面角【温馨提示】二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角的大小反映了两个相交平面的位置关系．知识剖析（1）二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．（2）平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．2．平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_______________，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作_______________．（2）画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的_______________垂直．如图所示．3．平面与平面垂直的判定定理【温馨提示】平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题（即空间问题）转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题（即平面问题）来解决．三、直线与平面垂直的性质定理⇒_______________【温馨提示】直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．直线与平面垂直的性质（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．四、平面与平面垂直的性质定理【温馨提示】平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．垂直关系之间的相互转化K知识参考答案：一、1．任意一条垂线垂面垂足2． 相交 垂直3．（1）相交 垂直交点 垂线 垂足 斜足 锐角 （2）二、1． 半平面 半平面 棱 面 棱 角平面角 直角2．（1）直二面角 （2）横边3． 垂线 垂直 三、平行平行四、 一个平面内 交线 垂直垂直1．线面垂直判定定理的应用证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的角平分线、中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．【例1】如图，在中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．（1）求证：SD⊥平面ABC；（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．【答案】证明详见解析．2．面面垂直判定定理的应用证明平面与平面垂直的方法：【例2】如图，四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB．（1）求证：平面SAC⊥平面SBD；（2）求证：平面SAC⊥平面ABCD．【答案】证明详见解析．【名师点睛】根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要证明线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．3．直线与平面所成的角求直线与平面所成的角的方法：（1）求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．（2）求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．【例3】在三棱锥中，平面，如图所示．（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明详见解析．（2）．（2）由（1）知、、两两垂直，如图，取的中点，连接、，过作的垂线，为垂足，由得，又由平面，得，则平面，于是，故平面，则就是直线与平面所成的角．在中，，，则．即与平面所成角的正弦值为．4．二面角求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．【例4】已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将和分别沿DE、CE 折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角P－CD－E的大小为_______________．【答案】【解析】如图，取CD中点F，连接PF、EF．【名师点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点．为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析．（2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解．一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．5．垂直的综合应用【例5】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，平面，为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．【答案】证明详见解析．【例6】如图，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角D－AP－C的正弦值；（3）若M为PB的中点，求三棱锥M－BCD的体积．【答案】证明详见解析．（2）∵P A⊥PC，且P A⊥PB，∴∠BPC是二面角D－AP－C的平面角．由（1）知BC⊥平面P AC，则BC⊥PC，∴．则二面角D－AP－C的正弦值为．（3）∵为的中点，为的中点，∴，且，由（1）知P A⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC．∵，∴．【名师点睛】本题的题设条件有三个：①是直角三角形，；②是正三角形；③D是AB的中点，PD＝DB＝10．解答本题（1），只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直；对于（2），首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值；解答第（3）小题的关键是用等体积法求解．6．直线与平面垂直的性质定理的应用线面垂直的性质定理、公理4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行．【例7】如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1．【答案】证明详见解析．【名师点睛】当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．7．平面与平面垂直的性质定理的应用在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．【例8】已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．求证：l⊥γ．【答案】证明详见解析．【解析】证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，∵α⊥γ，β⊥γ，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，∵PA与PB 相交，又PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ．证法2：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，又n⊂β，∴m∥β，又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l，∴l⊥γ．【名师点睛】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关键．通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．8．平面与平面垂直的性质定理的应用【例9】如图，，点P在所确定的平面γ外，于点，于点．求证：．【错解】因为，，所以．所以，所以．【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由得，而忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即．【正解】因为，所以．又，所以平面．因为，所以．【易错点睛】应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点．9．不能正确找出二面角的平面角【例10】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，且，，求二面角的大小．【错解】如图，过A在底面ABCD内作AE⊥CD于E，连接PE．∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面PAE．又∵PE⊂平面PAE，∴CD⊥PE，∴∠PEA为二面角P－CD－B的平面角．（以下略）【错因分析】点E的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按三垂线法直接作出．在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角．【正解】∵，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD．又∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD．又∵P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC．又∵PC⊂平面P AC，∴PC⊥CD，∴∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．∵在中，，∴∠PCA＝45°．故二面角P－CD－B的大小为45°．10．定理的条件不全导致判断不准确【例11】已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是A．3 B．2 C．1 D．0【错解】由面面垂直的性质可知，②④正确，故选B．【错因分析】④中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内．【正解】如图，在正方体中，对于①，，，与是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②正确；对于③，，但不垂直于平面，故③错误；对于④，过平面内的点，作，因为平面，，所以，但不垂直于平面，故④错误．所以正确命题的个数是1．故选C．【易错点睛】对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在平面内．1．如图，已知四棱锥P–ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD2．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起到A′BD，使面A′BD⊥面BCD，连接A′C，则在四面体A′BCD的四个面中，互相垂直的平面有①面ABD⊥面BCD；②面A′CD⊥面ABD；③面A′BC⊥面BCD；④面ACD⊥面ABC．A．1个B．2个C．3个D．4个3．设平面α∩平面β=l，点A，B∈α，点C∈β，且A，B，C均不在直线l上，给出四个命题：①⇒α⊥β；②⇒α⊥平面ABC；③⇒l⊥平面ABC；④AB∥l⇒l∥平面ABC．其中正确的命题是A．①与②B．②与③C．①与③D．②与④4．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．若l⊥m，m=α∩β，则l⊥αB．若l∥m，m=α∩β，则l∥αC．若α∥β，l与α所成的角相等，则l∥mD．若l∥m，l⊥α，α∥β，则m⊥β5．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有A．1条B．2条C．3条D．4条6．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有__________条．7．已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证：面ADB⊥面SBC．8．如图ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．求证：DE⊥面PBC．9．如图，在三棱锥A–BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．求证：CD⊥平面ABD．10．已知两条直线a，b与三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是A．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥βB．α⊥γ，且β⊥γC．a⊂α，b⊂α，a∥b D．a⊥α，且a⊥β11．在三棱锥P–ABC中，不能推出平面PAC⊥平面PBC的条件是A．BC⊥PA，BC⊥PC B．AC⊥PB，AC⊥PCC．AC⊥BC，PA⊥PB D．平面PAC⊥平面ABC，BC⊥AC 12．如图所示，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ACB=90°，连结PB、PC，则图形中互相垂直的平面有A．一对B．两对C．三对D．四对13．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD ⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE．（1）证明：平面ADE⊥平面BCE；（2）求点D到平面ACE的距离．14．如图，四棱锥P–ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，且PA⊥AB，PA⊥PC．证明：平面PAD⊥平面PDC．15．如图，空间四边形PABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°；过点B作BE，BF分别垂直于AP，CP于点E，F．（1）求证：AC⊥面PAB；（2）求证：PC⊥EF．16．（2017•新课标全国Ⅲ）在正方体中，E为棱CD的中点，则A．B．C．D．17．（2017•浙江）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则A．B．C．D．18．（2018•江苏节选）在平行六面体中，．求证：．19．（2018•北京文）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）求证：EF∥平面PC D．20．（2018•新课标Ⅰ文节选）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．证明：平面平面；21．（2018•新课标Ⅱ文节选）如图，在三棱锥中，，，为的中点．证明：平面．22．（2017•江苏）如图，在三棱锥中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且．求证：（1）EF∥平面；（2）．23．（2017•新课标全国Ⅲ节选）如图，四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=B D．证明：平面ACD⊥平面AB C．24．（2017•山东）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD．（1）证明：∥平面B1CD1；（2）设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1．25．（2017•北京）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．26．（2017•天津）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．27．（2017•新课标全国Ⅱ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．（1）证明：直线平面；（2）若的面积为，求四棱锥的体积．1．【答案】C2．【答案】C【解析】由题意直线AB⊥平面BCD，直线CD⊥平面ABD，所以面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，共有3对，故选C．3．【答案】D【解析】①不正确，∵l⊥AB，l⊥AC时，平面α与平面β的夹角不一定为90°；②正确，∵l⊥AC，l⊥BC，AC∩BC=C，∴α⊥平面ABC；③不正确，∵AB∥l时，明显不会l⊥平面ABC；④正确，∵AB∥l，且A，B，C均不在直线l上，故l∥平面ABC．故选D．4．【答案】D【解析】对于A，l可能在平面α内，所以A错误；对于B，l可能在平面α内，所以B 错误；对于C，l，m可能平行、相交、异面，所以C错误；对于D，因为l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又因为α∥β，所以m⊥β，正确．故选D．5．【答案】D【解析】∵PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PO⊥AC，又∵AC⊥BO，PO∩BO=O，∴AC⊥平面PBD，因此，平面PBD中的4条线段PB、PD、PO、BD都与AC垂直．故选D．6．【答案】4【解析】∵PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥PO，∵BO⊥AC，BO∩PO=O，∴AC⊥平面PBD，∴AC⊥PB，AC⊥BD，AC⊥PD，AC⊥PO，∴在图中与AC垂直的直线有4条．故答案为：4．7．【答案】证明详见解析．【解析】∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC，∴BC⊥面SAC，∴BC⊥AD，又∵SC⊥AD，SC∩BC=C，∴AD⊥面SBC．AD⊂平面ADB，则平面ADB⊥平面SBC．8．【答案】证明详见解析．9．【答案】证明详见解析．【解析】三棱锥A–BCD中，AB⊥平面BCD，且CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；又CD⊥BD，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，且AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD．10．【答案】D【解析】对于选项A，由于平面α内的两条直线a和b不一定是两条相交直线，尽管有a∥β，b∥β，也不能推出α∥β．对于选项B，由于垂直于同一个平面的两个平面α和β可能平行、也可能相交，不能推出α∥β．对于选项C，根据平面α内有两条平行线，不能推出α∥β．对于选项D，由于两个平面α、β垂直于同一条直线，故有α∥β，故选D．11．【答案】C【解析】对于选项A，由线面垂直的判定，容易得到BC⊥平面PAC；再根据面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面PBC；对于选项B，由线面垂直的判定，容易得到AC⊥平面PAC；再根据面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面PBC；对于选项D，由平面PAC ⊥平面ABC，BC⊥AC得到BC⊥平面PAC，由面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面PBC；所以选项C不能判定平面PAC⊥平面PBC．故选C．12．【答案】C【解析】∵PA垂直于△ABC所在平面，连结PB、PC，∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB ⊥平面ABC，又∵PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC，∵PA垂直于△ABC所在平面，∴PA⊥BC，又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．∴图形中互相垂直的平面有3对．故选C．13．【答案】证明详见解析．（2）如图，连接BD交AC于点M，则点M是BD的中点，所以点D与点B到平面ACE的距离相等．因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离．因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．又因为AE=BE所以△AEB是等腰直角三角形，因为AB=2，所以BE=2sin45°=，又在Rt△CBE中，CE=，所以BF=．故点D到平面ACE的距离是．14．【答案】证明详见解析．15．【答案】证明详见解析．【解析】（1）∵PB⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，∴PB⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，又PB∩AB=B，∴AC⊥面PAB；（2）由（1）的结论，由BE⊂平面PAB，∴AC⊥BE，又由BE⊥AP，AC∩AP=A，∴BE⊥平面PAC，∴BE⊥PC．∵BF⊥PC，BF∩BE=B，∴PC⊥平面BEF，∴PC⊥EF．16．【答案】C【解析】由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E ⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C．17．【答案】B【解析】设O为三角形ABC的中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此，所以选B．18．【答案】证明详见解析．【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥B C．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1B C．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1B C．19．【答案】证明详见解析．（3）如图，取中点，连接．∵分别为和的中点，∴，且．∵四边形为矩形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面．20．【答案】证明详见解析．【解析】由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面AB C．21．【答案】证明详见解析．22．【答案】证明详见解析．【解析】（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以．又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC．（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面．因为平面，所以．又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC．【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．23．【答案】证明详见解析．24．【答案】（1）证明详见解析．（2）证明详见解析．【解析】（1）如图，取的中点，连接，由于是四棱柱，所以，因此四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因为，，分别为和的中点，所以，又平面，平面，所以因为所以又平面，，所以平面又平面，所以平面平面．25．【答案】（1）证明详见解析．（2）证明详见解析．（3）．【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直．26．【答案】（1）；（2）证明详见解析；（3）．【解析】（1）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．（2）因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点考查内容，而证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，而线线垂直又可通过线面垂直得到，用几何法求线面角，关键是找到斜线的射影，斜线与其射影所成的角就是线面角．27．【答案】证明详见解析．【解析】（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD．又，，故BC∥平面PAD．（2）取AD的中点M，连结PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°，得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD．【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．。

高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定及其性质课堂练习及答案

高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定及其性质课堂练习及答案
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2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
知识梳理
直线与平面垂直的判定
1、定义 ： 如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
L 与平面 α 互相垂
直，记作 L⊥ α，直线 L 叫做平面 α 的垂线，平面 α 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面
垂直时 , 它们唯一公共点 P 叫做垂足。
B． 如 果 平 面 α 不 垂 直 于 平 面 β ， 那 么 平 面 α 内 一 定 不 存 在 直 线 垂 直 于 平 面 β
C． 如 果 平 面 α ⊥ 平 面 γ ， 平 面 β ⊥ 平 面 γ ， α ∩ β =l ， 那 么 l ⊥ 平 面 γ
D． 如 果 平 面 α ⊥ 平 面 β ， 那 么 平 面 α 内 所 有 直 线 都 垂 直 于 平 面 β
．Байду номын сангаас
25．如图，正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是棱 BC、DD 1 上的点，如果 B 1E ⊥平面 ABF ，
则 CE 与 DF 的和的值等于
．
26．如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA=a ， PB=PD=
5 个面中，互相垂直的面有
∵ AD 1 ∥ BC 1 ， 且 F 、 P 分 别 是 AD 、 DD 1 的 中 点 ， ∴ FP∥ AD 1 ， ∴ BC 1 ∥ FP ， 又 FP? 平 面 EFPQ ， 且 BC 1 ?平 面 EFPQ ， ∴ 直 线 BC 1 ∥ 平 面 EFPQ ；
（ Ⅱ）如图 ，
连 接 AC 、 BD ， 则 AC ⊥ BD ， ∵ CC 1 ⊥ 平 面 ABCD ， BD ? 平 面 ABCD ， ∴ CC 1 ⊥ BD ； 又 AC ∩ CC 1 =C ， ∴ BD ⊥ 平 面 ACC 1 ，

最新人教版高中数学必修二第二章《直线与平面垂直的判定》精选习题(含答案解析)

最新人教版高中数学必修二第二章《直线与平面垂直的判定》精选习题(含答案解析)

最新人教版高中数学必修二第二章《直线与平面垂直的判定》精选习题（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中正确说法的个数为( )A.1B.2C.3D.42.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是( )A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直3.(2021·南昌高二检测)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥底面ABC，垂足为点H，则点H在( )A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部4.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定5.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.6.如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是( )A.AC=BCB.VC⊥VDC.AB⊥VCD.S△VCD·AB=S△ABC·VO7.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角8.(2021·温州高二检测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E二、填空题(每小题5分，共10分)9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)10.(2021·青岛高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D 所成的角为________.三、解答题(每小题10分，共20分)11在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB.(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ.(2)直线AC1⊥平面PQMN.参考答案与解析1【解析】选B.①正确，因为n∥β，α∥β，所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；②错误，α∥β，m⊥α⇒m⊥β，因为m⊥n，则可能n⊂β；③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则可能n⊂β且m⊂β；④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.2【解析】选C.因为ABCD为菱形，所以DB⊥AC，又MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD.又AC∩MC=C，所以BD⊥平面ACM.又AM⊂平面AMC，所以BD⊥AM，又BD与AM不共面，所以MA与BD垂直但不相交.3【解析】选B.作C1H⊥AB，因为∠BAC=90°，且BC1⊥AC，所以AC⊥平面ABC1，所以AC⊥C1H，因为AB∩AC=A，所以C1H⊥平面ABC，即点H在底面的垂足在AB边上. 4【解析】选B.因为PB⊥α，AC⊂α，所以PB⊥AC，又AC⊥PC，PB∩PC=P，所以AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.故△ABC为直角三角形.5【解析】选A.如图，设AB=a，则AA1=2a，三棱锥C-BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为α.因为=，即××a×ah=×a2×2a，解得h=a.所以sinα==.6【解析】选B.因为VA=VB，AD=BD，所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB.又VO∩VD=V，VO⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，所以AB ⊥平面VCD ，又CD ⊂平面VCD ，VC ⊂平面VCD ， 所以AB ⊥VC ，AB ⊥CD.又AD=BD ，所以AC=BC(线段垂直平分线的性质)，因为VO ⊥平面ABC ， 所以V V-ABC =S △ABC ·VO. 因为AB ⊥平面VCD ， 所以V V-ABC =V B-VCD +V A-VCD =S △VCD ·BD+S △VCD ·AD =S △VCD ·(BD+AD) =S △VCD ·AB ，所以S △ABC ·VO=S △VCD ·AB ，即S △VCD ·AB=S △ABC ·VO.综上知，A ，C ，D 正确.7【解析】选C.因为SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，所以连接BD ，则BD ⊥AC ，又AC ⊥SD ，可得AC ⊥SB ，故A 正确；因为AB ∥CD ，AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以AB ∥平面SCD ，故B 正确；因为AB ∥CD ，所以∠SCD 为AB 与SC 所成角，∠SAB 为SA 与DC 所成角，显然∠SCD ≠∠SAB ，故C 不正确.由AC ⊥平面SBD ，记AC 与BD 交于O ，连接SO ，则∠ASO 为SA 与平面SBD 所成角，∠CSO 为SC 与平面SBD 所成角，显然∠ASO=∠CSO.8【解析】选C.A 选项，ABC-A 1B 1C 1是三棱柱，则CE ∥B 1C 1，所以，CEB 1C 1是一个平面，CC 1与B 1E 共面；B 选项，因为AC 与AB 的夹角是60°，所以AC 和平面ABB 1A 1不垂直；C 选项，E 是BC 的中点，则AE ⊥BC ，又因为BB 1⊥平面ABC ，所以AE ⊥BB 1，又BC ∩BB 1=B ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，所以AE ⊥B 1C 1；D 选项，A 1C 1∥AC ，AC 和平面AB 1E 相交，所以A 1C 1与平面AB 1E 不平行. 9【解析】如图所示，连接B 1C ，由BC=CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可.因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可.(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1=90°等) 答案：∠A 1C 1B 1=90°(答案不唯一)10【解析】连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO ， 因为A 1C 1⊥B 1D 1， A 1C 1⊥BB 1，故A1C1⊥平面BB1D1D，所以A1B在平面BB1D1D内射影为OB，所以∠A1BO即为A1B与平面BB1D1D所成角.设正方体棱长为a，则A1B=a，A 1O=A1C1=a，所以sin∠A1BO===，所以∠A1BO=30°.答案：30°11【解析】(1)连接ED,因为AB=BC,AE=EC,D为AC中点,所以AC⊥DE,AC⊥DB,DE∩DB=D,又EF∥DB,所以E,F,B,D四点共面,所以AC⊥平面EFBD, 所以AC⊥FB.(2)取FC中点I,连接GI,HI,则有GI∥EF,HI∥BC,又EF∥DB,所以GI∥BD,又GI∩HI=I,BD∩BC=B,所以,平面GHI∥平面ABC,因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.12【证明】(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N，所以直线AC1⊥平面PQMN.。

【精品】高中数学 必修2_直线、平面垂直的性质 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础

【精品】高中数学 必修2_直线、平面垂直的性质 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础

直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题； 2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题． 【要点梳理】要点一：直线与平面垂直的性质 1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ 图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒ 图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面． 要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二：平面与平面垂直的性质 1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥I 图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．要点三：垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆： 线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清． 平面之内两直线，两线交于一个点， 面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找， 若是这样还不好，辅助线面是个宝． 先作交线的垂线，面面转为线和面， 再证一步线和线，面面垂直即可见． 借助辅助线和面，加的时候不能乱， 以某性质为基础，不能主观凭臆断， 判断线和面垂直，线垂面中两交线． 两线垂直同一面，相互平行共伸展， 两面垂直同一线，一面平行另一面． 要让面和面垂直，面过另面一垂线， 面面垂直成直角，线面垂直记心间． 【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a ，b 为异面直线，AB 是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）． （1）若a ，b 都平行于平面α，求证：AB ⊥α；（2）若a ，b 分别垂直于平面α，β，且c αβ=I ，求证：AB ∥c ．【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB ⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB ∥c ．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P ，设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为a ＇，设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为b ＇．∵a ∥α，b ∥α，∴a ∥a ＇，b ∥b ＇． 又∵AB ⊥a ，AB ⊥b ，∴AB ⊥a ＇，AB ⊥b ＇， ∴AB ⊥α．（2）如图，过B 作BB ＇⊥α，则AB ⊥BB ＇． 又∵AB ⊥b ，∴AB 垂直于由b 和BB ＇确定的平面．∵b ⊥β，∴b ⊥c ，∵BB ＇⊥α，∴BB ＇⊥c ． ∴c 也垂直于由BB ＇和b 确定的平面． 故c ∥AB ．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】 B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．高清：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD ⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

人教版高中数学必修二第2章直线、平面垂直的判定及其性质(一)

人教版高中数学必修二第2章直线、平面垂直的判定及其性质(一)

直线、平面垂直的判断及其性质（一）一、单项选择题 (共 10 道，每道10 分 )1.若直线 a 与 b 垂直， b⊥ α，则 a 与α的地点关系是 (（人教)A 版）A. B. ∥C. D.或∥答案： D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的地点关系2.在空间中，以下命题：①假如直线a， b 都与直线平行，那么a∥b；②假如直线 a 与平面β内的直线 b 平行，那么 a∥β；③假如直线 a 与平面β内的直线 b， c 都垂直，那么 a⊥ β；④假如平面β内的直线 a 垂直于平面α，那么α⊥ β．此中正确的选项是 ()A. ①③B.①④C.②④D.②③答案： B解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的地点关系3.给出以下对于互不同样的直线m，，n，平面α，β及点A的四个命题：①若，，点，则与m不共面；②若 m，是异面直线，∥ α，m∥α，且n⊥，n⊥m，则n⊥ α；③若∥ α，m∥ β，α∥ β，则∥ m；④若，，，∥ β，m∥β，则α∥ β．此中假命题是 ()A.①B.②C.③D. ④答案： C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的地点关系4.如图，在正方体中，P是CD上的动点，则直线与直线所成的角为()A.30 °B.45 °C.60 °D.90 °答案： D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判断5.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A 1B 1C1D1中，E 是 BC 1的中点，则直线 DE 与平面 ABCD 所成角的正切值为()A. B.C. D.答案： B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角6.如图，在三棱锥S-ABC 中，底面是边长为1 的正三角形，O 为△ ABC的中心，侧棱长均为 2，则侧棱与底面所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案： D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角7.如图，在三棱锥中，已知平面，，，则二面角的正切值是()A. B.C. D.答案： D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法8.将边长为 a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使，则三棱锥D-ABC的体积为()A. B.C. D.答案： D解题思路：试题难度：三颗星知识点：棱柱、棱锥、棱台的体积9.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 4 的正方形，侧棱PA 垂直于底面，且PA=3，则直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正切值为()A. B.C. D.答案： D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角10.（上接试题9）异面直线PB 与 CD 所成角的正切值为()A. B.C. D.答案： A解题思路：试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角。

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直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质一、知识点： 1、直线与平面垂直： ⑴空间中两直线垂直⎩⎨⎧异面垂直相交垂直⑵直线与平面垂直定义：如果直线l 与平面α内任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直；记作α⊥l ，l 叫α的垂线，α叫l 的垂面； 垂线上任意一点M 到垂足P 之间的线段长度叫点M 到平面α的距离； ⑶如果α⊥l ，则l 与α内任意一条直线都垂直；⑷ ①直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；简称为“线线垂直⇒线面垂直”；用数学符号表示为：P ，n ，m ，n m =⊂⊂ ααm ，l ⊥n l ⊥（5个条件，特别是相交不能丢）⇒α⊥l ；②直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行； 用数学符号表示为：αα⊥⊥，b a a ⇒∥b ； 2、平面与平面垂直：⑴二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；这条直线叫二面角的棱；这两个半平面叫二面角的面；记作二面角Q l P l ----或βα ⑵二面角的求法①作：在棱l 上任取一点O ，分别向两个半平面作棱l 的垂线OM ，ON ，则 MON ∠就是所求的二面角平面角； ②找：已经作好，把它找出来即可；⑶两个平面垂直定义：当两个平面相交，所成二面角平面角为90时，就说这两个平面互相垂直；⑷①两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；简称为“线面垂直⇒面面垂直”； 用数学符号表示为：，a α⊂⇒⊥βa βα⊥；②两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；简称为“面面垂直⇒线面垂直”； 用数学符号表示为：l ，，=⊥βαβα ，a α⊂l a ⊥（4个条件，缺一不可）⇒β⊥a3、求角：①直线与直线所成的角[]900，∈θ；②直线与平面所成的角：直线和它在平面内的射所成的角[]900，∈θ；③平面与平面所成的角（二面角）[]1800，∈θ4、求距离：①点到直线的距离:从一点作直线的垂线,该点到垂足间的线段长度.②点到平面的距离：从一点向平面作垂线，该点到垂足间的线段长度。

③直线到平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离。

即直线只有平行于平面时，才存在直线到平面的距离。

5、熟记一些常见的定理或性质：⑴如果两条平行线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； ⑵垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面；⑷过一点有且只有一条直线与一个平面垂直； ⑸过一点有且只有一个平面与一条直线垂直；⑹如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任何直线与另一个平面平行。

二、范例精讲例1已知不同直线a ，b 及不重合平面γβα，，，则下列条件能推出α∥β的是（ ） A.a ∥α，b ∥β，a ∥b ； B.，，b a γγ⊥⊥βα⊂⊂，b a ； C.，，b a βα⊥⊥a ∥b ； D.，，b a βα⊂⊂a ∥，b β∥α。

例2.如图,AA 1是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于A,B 的任意一点,AA 1=AB=2.（1） 求证:B C ⊥平面A 1AC;（2）令AC=x,三棱锥A 1-ABC 的体积为V,用x 的代数式表示V; （3）求V 的最大值.A1B例3.如图,四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1的正方形,PA ⊥CD,PA=1,PD=2, （1）求证:PA ⊥平面ABCD;（2）求四棱锥P-ABCD 的体积. PA DB C例4.如图, 在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为菱形,60=∠BAD ,Q 为AD 的中点,PA=PD, 求证:平面PQB ⊥平面PAD.PD C QA B例5.设m,n 是两条不同的直线,βα，是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A.βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n ，m ，n m B.α∥，n ，m αβ⊥∥n m ⊥⇒β C.，n ，m αβα⊥⊥∥n m ⊥⇒β D.m ，=βα β⊥⇒⊥n m n例6.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1底面ABC 是直角三角形,，ABC 90=∠BC=BB 1且A 1C AC 1=D, BC 1 B 1C=E,（1）求证:A 1B 1⊥平面BCC 1B 1 （2）A 1C ⊥BC 1 （3）DE ⊥平面BCC 1B 1A 1 C 1B 1D EA CB例7.如图, 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求（1）A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角. （2）BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值.D 1 C 1 A 1 B 1D C A B例8.在正三角形ABC 中,AD ⊥BC 于D,沿AD 折成二面角B-AD-C 后,BC=31AB,求二面角B-AD-C的余弦值.三、练习（一）应用定理及性质判断正误1. 若l 为一条直线，γβα、、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ① βαγβγα⊥⇒⊥⊥，②βαγβγα⊥⇒⊥//,；③ βαβα⊥⇒⊥l l ,//，其中正确的命题有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（ ） A.若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B.若m αα∥,n ∥,则m ∥nC.若,m n αα⊂∥,则m ∥nD.若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 3.已知a 、b 、c 是直线，α、β是平面，给出下列五种说法： ① 若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ； ② 若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥； ③ 若//a β，b β⊂，则//a b ；④ 若a 与b 异面，且//a β，则b β与相交； ⑤ 若//a c ，//αβ，a α⊥，则c β⊥． 其中正确说法的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.如图，正方形ABCD ，P 是正方形平面外的一点，且PA ⊥平面A BCD 则在△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PAD 、△PAC 及△PBD 中，为直角三角形有_________个．5.l l m l ,,γβγβα =满足：，，与平面若直线∥那么必有和,,,γαα⊥⊂m m （ ） A.m l ⊥⊥且γα B.m 且γα⊥∥β C.m m l 且⊥∥β D.α∥β且γα⊥（二）求角问题1.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为（ ）A.030B.045C.060D.0902.在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60DAB ∠=，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60，求：（1）直线PA 与底面ABCD 所成的角； （2）四棱锥P ABCD -的体积．3.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角 C 1—BD —C 的大小为（ ）A.300B.450C.600D.9004.右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中，二面角D’-AB-D 的 大小是（ ）A. 300B.450C. 600D. 9005.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_________ ______6.如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱。

（1）求证：BD ⊥平面ACC 1A ；（2）若二面角C 1-BD-C 的大小为60°，求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值。

ABC DA 1B 1C 1D 1OPDCBAABA’CCEBC7.正方体ABCD-1111D C B A 中，过顶点B,D,C 1作截面，则二面角B-DC 1-C 的余弦值为（ ）A.1B.21C.33D.2（三）求距离问题1.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，AB=1。

若二面角1C AB C --的 大小为︒60，则点1C 到直线AB 的距离为 。

2.的体积，则三棱锥＝折起，使沿对角线的正方形将边长为ABC D a BD AC ABCD a -（ ）A.63aB.123aC.3122aD.3123a3．已知△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC 所在平面外一点P 到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是（ ）A ．7B ．9C ．11D ．134.已知二面角βα--l 为60度，如果平面α内一点A 到平面β距离为3，那么点A 在平面β内的射影A '到平面α的距离为（ ）A.21B.23C.1D.25.如图，圆柱的轴截面 为垂足，，在底面圆周上，为正方形，点F DE AF E ABCD ⊥（1）求证：DB AF ⊥；（2）已知圆柱的底面圆半径为1,，的体积比为圆柱与三棱锥π3ABE D -求点E 到平面ABCD 的距离. 6.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离为 （ ）A ．23 B ．22 C ．21D ． 33D 1A（四）应用定理及性质证明1.已知在三棱锥S--ABC 中，∠ACB=900，又SA ⊥平面ABC ， AD ⊥SC 于D ，求证：AD ⊥平面SBC ，2.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）O C 1∥面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ．3.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝2，AC BC ==90ACB ∠=，⑴求证：平面AB 1C ⊥平面BB 1C ； ⑵求点B 到平面AB 1C 的距离。

332D 1ODB AC 1B 1A 1C4.如图，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC（Ⅰ）PA ∥平面BDE ；（Ⅱ）平面PAC ⊥平面BDE ．5.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,AC BD F =.(1) 求证:CE ⊥BD ； (2) 求证:CE //平面1A BD ； (3) 求三棱锥1D A BC -的体积.FED 1C 1B 1A 1D CBA6.如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD ，,2,,60a PD PB a AC PA ABC ====︒=∠点E 是PD 的中点，证明：（1）.⊥PA 平面ABCD;(2).//PB 平面EAC.7.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，.21,1,90====⊥=∠AD BC AB SA ABCD SA ABC ，面(1)求证：;SBC SAB 面面⊥(2)求SC 与底面ABCD 所成角的正切值;DBAEPS CADB8.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证MN⊥面PCD.9.四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD于A，且PA=AB=a，E、F是侧棱PB、PC的中点，（1）求证：EF∥平面PAB ；2（2）求直线PC与底面ABCD所成角θ的正切值；2EC直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质答案一、知识点： 1、直线与平面垂直： ⑴空间中两直线垂直⎩⎨⎧异面垂直相交垂直⑵直线与平面垂直定义：如果直线l 与平面α内任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直；记作α⊥l ，l 叫α的垂线，α叫l 的垂面； 垂线上任意一点M 到垂足P 之间的线段长度叫点M 到平面α的距离； ⑶如果α⊥l ，则l 与α内任意一条直线都垂直；⑷ ①直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；简称为“线线垂直⇒线面垂直”；用数学符号表示为：P ，n ，m ，n m =⊂⊂ ααm ，l ⊥n l ⊥（5个条件，特别是相交不能丢）⇒α⊥l ；②直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行； 用数学符号表示为：αα⊥⊥，b a a ⇒∥b ； 2、平面与平面垂直：⑴二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；这条直线叫二面角的棱；这两个半平面叫二面角的面；记作二面角Q l P l ----或βα ⑵二面角的求法①作：在棱l 上任取一点O ，分别向两个半平面作棱l 的垂线OM ，ON ，则 MON ∠就是所求的二面角平面角； ②找：已经作好，把它找出来即可；⑶两个平面垂直定义：当两个平面相交，所成二面角平面角为90时，就说这两个平面互相垂直；⑷①两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；简称为“线面垂直⇒面面垂直”； 用数学符号表示为：，a α⊂⇒⊥βa βα⊥；②两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；简称为“面面垂直⇒线面垂直”； 用数学符号表示为：l ，，=⊥βαβα ，a α⊂l a ⊥（4个条件，缺一不可）⇒β⊥a3、求角：①直线与直线所成的角[]900，∈θ；②直线与平面所成的角：直线和它在平面内的射所成的角[]900，∈θ；③平面与平面所成的角（二面角）[]1800，∈θ4、求距离：①点到直线的距离:从一点作直线的垂线,该点到垂足间的线段长度.②点到平面的距离：从一点向平面作垂线，该点到垂足间的线段长度。

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