【金识源】(3年高考2年模拟1年原创)最新2013版高考数学 专题12 极限与导数 理 (解析版)

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【金识源】(3年高考2年模拟1年原创)最新2013版高考数学专题12 极
限与导数理(解析版)
【考点定位】2014考纲解读和近几年考点分布
极限作为初等数学与高等数学的衔接点,每年必考,主要考查极限的求法及简单应用。

纵观近年来的全国卷与各省市的试卷,试题呈“小题”,在选择、填空题中出现,都属容易题;极限通常与其它数学内容联系而构成组合题,主要考查极限思想与方法的灵活应用能力;考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。

从各地的高考试卷看,考生在备考时,应从下列考点夯实基础,做到以不变应万变:(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(2)了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.(4)了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.导数是研究函数的工具,导数进入新教材之后,给函数问题注入了生机和活力,开辟了许多解题新途径,拓展了高考对函数问题的命题空间。

所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情,对函数的命题已不再拘泥于一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等,对研究函数的目标也不仅限于求定义域,值域,单调性,奇偶性,对称性,周期性等,而是把高次多项式函数,分式函数,指数型,对数型函数,以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象,试题的命制往往融函数,导数,不等式,方程等知识于一体,通过演绎证明,运算推理等理性思维,解决单调性,极值,最值,切线,方程的根,参数的范围等问题,这类题难度很大,综合性强,内容新,背景新,方法新,是高考命题的丰富宝藏。

解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。

定积分是本章的另一个重要的概念,它可以看作是导数在某一区间上的逆运算。

它是新课标新增加的内容之一,在以前的课本中没有出现定积分的概念,但随着新课标的实施与教育工作者对校本研究工作的开展,相信在2014年的高考试题中应该有所体现。

【考点pk】名师考点透析
考点一、数列的极限.
【名师点睛】
1.数列极限的定义:一般地,如果当项数n无限增大时,无穷数列{a n}的项a n无限地趋近于某个常数a(即|a n-a|无限地接近于0),那么就说数列{a n}以a为极限.注:a不一定是{a n}中的项.
2.几个常用的极限:①∞
→n lim C =C (C 为常数);②∞
→n lim
n
1=0;③∞→n lim q n
=0(|q |<1).
3.数列极限的四则运算法则:设数列{a n }、{b n },当∞
→n lim a n =a , ∞
→n lim b n =b 时,∞
→n lim (a n ±b n )=a ±b ;

→n lim (a n ·b n )=a ·b ; ∞
→n lim
n n b a =b
a
(b ≠0). 特别提示(1)a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则;(2)可推广到有限多个 【试题演练】 1求下列数列的极限: (1)∞
→n lim
7
57222+++n n n ;(2) ∞
→n lim (n n +2-n );(3)∞
→n lim (
22n +24n + (22)
n
). 分析:(1)因为分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则,可通过变形分子分母同除以n 2
后再求极限;(2)因n n +2与n 都没有极限,可先分子有理化再求极限;(3)因为极限
的运算法则只适用于有限个数列,需先求和再求极限.

→n lim (5n 2+7)不存在,∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误: ①∞
→n lim (n n +2-n )
= ∞
→n lim
n n +2-∞
→n lim n =∞-∞=0;②原式=∞
→n lim
n n +2-∞
→n lim n =∞-∞不存在.对于(3)要避免出
现原式=∞
→n lim
22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim 22n
n
=0+0+…+0=0这样的错误. 2.已知数列{n a }是由正数构成的数列,1a =3,且满足lg n a =lg 1n a -+lg c ,其中n 是大于1的
整数,c 是正数.(1)求数列{n a }的通项公式及前n 和n s ;(2)求∞
→n lim
1
122+-+-n n n n a a 的值.
考点二、函数的极限.根限的四则运算法则.
【名师点睛】1.函数极限的概念:(1)如果+∞
→x lim ()f x =a 且-∞
→x lim ()f x =a ,那么就说当x 趋向于
无穷大时,函数()f x 的极限是a ,记作∞
→x lim ()f x =a ,也可记作当x →∞时,()f x →a.
(2)一般地,当自变量x 无限趋近于常数x 0(但x 不等于x 0)时,如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时,函数()f x 的极限是a ,记作0
lim x x →()f x =a ,也可记作当x →x 0时,
()f x →a .
(3)一般地,如果当x 从点x =x 0左侧(即x <x 0)无限趋近于x 0时,函数f (x )无限趋近于常数a ,就说a 是函数()f x 在点x 0处的左极限,记作-→0
lim x x ()f x =a .如果从点x =x 0右侧(即x >x 0)无
限趋近于x 0时,函数()f x 无限趋近于常数a ,就说a 是函数 ()f x 在点x 0处的右极限,记作
+
→0lim x x ()f x =a .
2.极限的四则运算法则:如果0
lim x x →()f x =a , 0
lim x x →()g x =b ,那么0
lim x x →[()f x ±()g x ]=a ±b ;
lim x x →[()f x ·()g x ]=a ·b ; 0
lim
x x →)()(x g x f =b
a
(b ≠0). 特别提示(1)上述法则对x →∞的情况仍成立;(2)0
lim x x →[C ()f x ]=C 0
lim x x →()f x (C 为常数); (3)0
lim x x →[()f x ]n
=[0
lim x x →()f x ]n
(n ∈N *)
【试题演练】
3.求下列函数的极限:(1) 2
lim →x (
)
2
1
442---x x (2)∞→x lim ())((b x a x ++-x )(3) 0lim →x ||x x ;(4) 2
π
lim

x .2
sin
2cos cos x x x
-
考点三、函数的连续性
【名师点睛】
1.函数的连续性.一般地,函数()f x 在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件:
(1)函数()f x 在点x =x 0处有定义;(2)0
lim x x →()f x 存在;(3)0
lim x x →()f x =0()f x .如果函数
y =()f x 在点x =x 0处及其附近有定义,而且0
lim x x →()f x =0()f x ,就说函数()f x 在点x 0处连续.
2.如果()f x 是闭区间[a ,b ]上的连续函数,那么()f x 在闭区间[a ,b ]上有最大值和最小值.
3.若()f x 、()g x 都在点x 0处连续,则()f x ±()g x , ()f x ·g (x ),
)
()
(x g x f (()g x ≠0)也在点x 0处连续.若()u x 在点x 0处连续,且()u x 在u 0=0()u x 处连续,则复合函数(())f u x 在点x 0处也连
续.
特别提示(1)连续必有极限,有极限未必连续(2)从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f ”是可以交换顺序的.
【试题演练】
4.讨论函数()f x =⎪⎩

⎨⎧<-==>)0(1;0),0(0
),0(1x x x x 处的连续性在点
考点四、导数的概念
【名师点睛】函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆,那么函数y 相应地有增量y ∆=f (x 0+x ∆)-f (x 0),比值
x
y
∆∆叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率,即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时,x
y ∆∆有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,
并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。

即f (x 0)=0
lim
→∆x x
y
∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明:(1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→∆x 时,
x y ∆∆有极限。

如果x
y
∆∆不存在极限,就说函数在点x 0处不可导,或说无导数.(2)x ∆是自变量x 在x 0处的改变量,0≠∆x 时,而y ∆是函数值的改变量,可以是零。

由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤:
(1)求函数的增量y ∆=f (x 0+x ∆)-f (x 0);(2)求平均变化率x
y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)
()(00;
(3)取极限,得导数f’(x 0)=x
y
x ∆∆→∆0lim。

【试题演练】
5.求函数y=
24
x
的导数。

考点五、导数的基本运算
【名师点睛】1.常见函数的导出公式. (1)0)(='C (C 为常数)(2)1
)(-⋅='n n
x
n x (3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos -='
2.两个函数的和、差、积的求导法则
法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: (.)'
'
'
v u v u ±=±
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即:.)('
'
'
uv v u uv +=
若C 为常数,则'
'
'
'
'
0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: .)(''
Cu Cu =
法则3两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:⎪⎭

⎝⎛v u ‘=2
''v uv v u -(v ≠0)。

3.形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。

复合函数求导步骤:分解——求导——回代。

法则:y '|X = y '|U ·u '|X
【试题演练】 6.(1)求)1
1(32
x x x x y ++
=的导数;
(2)求)11)(1(-+=x
x y 的导数; (3)求2cos 2sin x
x x y -=的导数;(4)求y=x x sin 2的导数;(5)求y =
x
x x x x 9532-+-的导数.。

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