人教版数学八年级下册第19章19.2 特殊的平行四边形 课时同步训练
2020-2021学年八年级数学人教版下册第十九章 19.2.2一次函数 同步练习题
19.2一次函数【知识点】1.一次函数的定义：一般地，形如____________(k,b是常数，k________0)的函数，叫做一次函数．当b=0时，y=kx+b即______________,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．2.一次函数y=kx+b(k≠0).(1)图象是____________________；(2)其性质有：①k＞0，y随x增大而____________________；①k＜0，y随x增大而____________________；(3)图象的平移规律：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y = kx 平移____________个单位长度得到(当b > 0 时，向上平移；当b < 0 时，向下平移).3.求一次函数的解析式:(1)确定正比例函数的解析式需要______________个条件，确定一次函数的解析式需要______________个条件.(2)用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：①设：先设一次函数的解析式为____________________；①代：将已知条件代入解析式中，建立____________________；(3)解：解方程或方程组，确定____________________；(4)写：写出解析式.【例题讲解】1.已知y＝(k－1)x∣k∣+(k2－4)是一次函数.(1)求k的值；(2)求x＝3时，y的值；(3)当y＝0时，x的值.2.已知一次函数y=(2m+4)x+(2n－4)．(1)m为何值时，y随x的增大而减小？(2)m,n为何值时，函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上？3.已知正比例函数y=kx的图象经过点P(2，3),如图19－27－1.(1)求这个正比例函数的解析式；(2)将该直线向上平移3个单位长度，求平移后所得直线的解析式.4.已知一个一次函数y=kx+b(k≠0),当自变量x=－2时，函数值y=－1;当x=3时，y=－3．求这个一次函数的解析式.5.如图，过点A(0,3)的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B.(1)求该一次函数的解析式；(2)若该一次函数的图象与x轴交于点D，求△BOD的面积.【举一反三】1.已知y=(m－1)x2－|m|+n+3.(1)当m,n取何值时，y是x的一次函数？(2)当m,n取何值时，y是x的正比例函数？2.已知函数y＝(2m－1)x+m－4．(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．3.已知函数y＝x+2.(1)画出这个函数的图象；(2)判断点A(－3，1)是否在该函数的图象上，并说明理由；(3)将该直线向下平移2个单位长度，则所得新直线的解析式为___________.4.如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A(2，4)，B(－2，－2)两点，与y轴交于点C.(1)求k，b的值，并写出一次函数的解析式；(2)求点C的坐标.5.已知一次函数的图象经过点(1，1)和(－1，－5).(1)求此函数的解析式；(2)求此函数的图象与x轴、y轴的交点坐标及它的图象与两坐标轴所围成的三角形面积.【知识操练】1.下列函数中，不是一次函数的是()7A. y＝x+4B. y＝3xC. y＝2－3xD. y＝x2.表示一次函数图象的是()3.一次函数y=－2x+4的图象与y轴的交点坐标是()A. (0，4)B. (4，0)C. (2，0)D. (0，2)4.若3y－4与2x－5成正比例，则y是x的()A.正比例函数B.一次函数C.没有函数关系D.以上均不正确5.若点P(1，2)在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的解析式是()A. y ＝－2xB. y ＝2xC. y ＝－4xD. y ＝4x6. 已知一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象经过(2，－1)，(－3，4)两点，则它的图象不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 下列说法正确的是__________________(填序号).∣正比例函数一定是一次函数； ∣一次函数一定是正比例函数； ∣若y －1与x 成正比例，则y 是x 的一次函数； ∣若y =kx +b ，则y 是x 的一次函数.8. 已知函数y ＝－3x +b ，当x ＝－1时，y ＝－1，则b ＝______________.9. 已知一次函数y ＝－2x +b 的图象经过A(21，1)，则此一次函数的表达式为________________.10. 如图，在平面直角坐标系x O y 中，四边形OABC 是平行四边形，且A(4，0)，B(6，2)，则直线AC 的解析式为____________．11. 已知一次函数的图象经过点(0，2)与(1，0). 求这个一次函数的解析式.12. 在一次函数y =2x +3中，y 随x 的增大而______________(填“增大”或“减小”)，当0≤x ≤5时，y 的最小值为______________.13. 把直线y =2x －1向下平移4个单位长度，所得直线的解析式是__________________．14. 点A(－1，y 1)，B(3，y 2)是直线y =kx +b (k ＜0)上的两点，则y 1－y 2__________0. (填“＞”“＜”或“=”)15. 已知直线y =2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B.(1)求A ，B 两点的坐标；(2)过点B 作直线BP 与x 轴相交于点P ，且使OP=2OA ，求∣ABP 的面积.16. 已知函数y ＝(2m +1)x +m －3.(1)若函数图象经过原点，求m 的值；(2)若函数图象在y 轴的截距为－2，求m 的值；(3)若函数的图象平行于直线y ＝3x －3，求m 的值；(4)若这个函数是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围．17. 已知y －1与x 成正比例，且x ＝2时，y ＝7.(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当x ＝－2时，求y 的值.18. 陈明同学乘车从学校出发回家，他离家的路程y (km )与所用时间x (h )之间的关系如图.(1)求y 与x 之间的关系式；(2)求学校和陈明同学家的距离.19. 如图，一次函数232+-=x y 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC=90°，求过B ，C 两点的直线的解析式.20. 有这样一个问题：探究函数y ＝x +∣x －2∣的图象与性质.小明根据学习函数的经验，对函数y ＝x +∣x －2∣的图象与性质进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完成：(1)化简函数解析式，当x ≥2时，y ＝___________；当x ＜2时，y ＝____________.(2)根据(1)中的结果，请在图19－27－4中的坐标系中画出函数y ＝x +∣x －2∣的图象；(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_______________21. 如图，在平面直角坐标系中，过点B(6，0)的直线与直线OA 相交于点A(4，2)．(1)直线OA的解析式为________________；直线AB的解析式为_______________(直接写出答案，不必写过程);(2)求△OAC的面积;(3)一动点M沿路线O→A→C运动，当S△OCM＝3时，求点M的坐标．。
19.2 特殊平行四边形 (第3课时)19.2.2菱形(菱形的性质)
证明：因为四边形ABCD是菱形， 证明：因为四边形ABCD是菱形， ABCD是菱形 所以AB=AD 菱形的四条边都相等）。 AB=AD（ 所以AB=AD（菱形的四条边都相等）。 ABD中 在△ABD中， 又因为BO=DO BO=DO， 又因为BO=DO， B 所以AC⊥BD AC平分 BAD。 AC⊥BD， 平分∠ 所以AC⊥BD，AC平分∠BAD。 同理： AC平分 BCD； 平分∠ 同理： AC平分∠BCD； BD平分 ABC和 ADC。 平分∠ BD平分∠ABC和∠ADC。
矩形
两组对边 分别平行 平行 四边形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 邻边相等 叫做菱形
AB=BC 四边形ABCD是菱形 是菱形 四边形 ABCD
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 如何利用折纸、剪切的方法， 确地剪出一个菱形的纸片？ 确地剪出一个菱形的纸片？
他是这样做的： 他是这样做的：将一张长方形的纸 对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可.你知道其中的道理吗？ 打开即可 你知道其中的道理吗？ 你知道其中的道理吗
D O A C B
菱形的性质Leabharlann 菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的一切性质； ）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边都相等； ）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直， ）菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角； 并且每一条对角线平分一组对角； （4）菱形是轴对对称图形；也是中心对称图形。 ）菱形是轴对对称图形；也是中心对称图形。
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1.已知菱形的周长是12cm， 1.已知菱形的周长是12cm，那 已知菱形的周长是12cm 3cm 么它的边长是______. 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中 ABC＝60度 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 菱形ABCD 60度 BAC＝ 60度 则∠BAC＝_______. B
人教版数学八年级下册第19章19.1平行四边形课时同步训练
第十九章 四边形 19．1平行四边形19．1．2 平行四边形的判定 第1课时（共3课时）课前预习篇1．平行四边形的定义：两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形．2．平行四边形的判定：两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形； 两组对角分别 相等 的四边形是平行四边形；对角线 互相平分 的四边形是平行四边形．典例剖析篇【例1】已知：如图，在□ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在□ABCD 的4条边上，且AE=CF ，BH=DG ．•求证：EF 与GH 互相平分．【解析】由已知条件分析可知，要证明EF 与GH 互相平分，只要证明四边形HFGE 是平行四边形即可．本题相等的线段比较多，很容易证明三角形全等，进而证明HE=GF ，HF=GE ，从而得出四边形HFGE 是平行四边形，进而得证． 证明;连接HE 、HF 、FG 、GE ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB=CD ，AD=BC ，∠A=∠C ，∠B=∠D ． 因为BH=DG ，所以AB-BH=CD-DG ，即AH=GC ，因为AE=CF ，∠A=∠C ，所以△AHE ≌△CGF （SAS ），所以HE=GF ． 同理可证△HDF ≌△GBE ，得HF=GE ，所以四边形EHFG 是平行四边形，所以EF 与GH 互相平分． 【例2】（2010宿迁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．=∠FDE ，可用三角形全等来证明，但过程比较麻烦．若能证明四边形BFDE 是平行四边形，则根据平行四边形对角相等即可得出证明．此题用对角线EF ，BD 互相平分来证明就十分简便． 证明：连接BD 交AC 于O 点因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA=OC ，OB=OD 又因为AE=CF ，所以OE=OFB A CE D H GF基础夯实篇1．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ D ）． A ．对角线互相垂直 B ．对角线相等 C ．对角线互相垂直且相等 D ．对角线互相平分2．下列条件中，不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ C ）． A ．AB 平行且等于CD B ．∠A=∠C ，∠B=∠D C ．AB=AD ，BC=CD D ．AB=CD ，AD=BC3．（2010成都）已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②A B C D =；③//BC AD ；④BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ C ）A ．6种B ．5种C ．4种D ．3种 4．（2009威海）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，AB=BF ．添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ D ） A ．AD=BC B ．CD=BF C ．∠A=∠C D ．∠F=∠CDE5．（2010宁夏）点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有 （ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．（2009白银）如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝（ C ） A ．2 B ．3 C．D．7．(2010衡阳）在如图4所示的四边形ABCD 中，已知AB//CD ，要使它为平行四边形，在不添加任何辅助线的前提下，还需添加一个条件，这个条件是 AD//BC 或AB=CD ．图4E BA FC D决胜中考篇8．(2010东滨州)如图,□ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为2．9．（2010怀化） 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O,分别与AB,CD 的延长线交于点E,F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OD=OB,OA=OCCD AB //所以∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO 所以△FDO ≌△EBO 所以OF=OE所以四边形AECF 是平行四边形10．(2010东营)如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点． 求证：（1）△ABE ≌△CDF ；（2）四边形BFDE 是平行四边形．证明:（1）在平行四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ．又因为点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．所以AE =CF , 因为∠BAE=∠DCF , 所以△ABE ≌△DCF (边角边) （2）在平行四边形BFDE 中，因为△ABE ≌△DCF ,所以 BE =DF ． 又因为点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．所以DE =BF ,所以四边形BFDE 是平行四边形． F ED C B A AE D C F11．（2010晋江）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD ∥BC ，②AB=CD ，③∠A=∠C ，④∠B+∠C=180°已知：在四边形ABCD 中， ， ； 求证：四边形ABCD 是平行四边形．已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以． 已知：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，③∠A=∠C ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：因为AD ∥BC所以∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180° 因为∠A=∠C ，所以∠B=∠D 所以四边形ABCD 是平行四边形 12．（2010中山）如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC =30º，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ． （1）试说明AC =EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．解：（1）提示：AC AB EF AB AC AE ===，， （2）提示：000603090DAF EFA ∠=+==∠，AD∥EF 且AD=EF A B C D A B C DE F 第18题图第2课时（共3课时）课前预习篇1．一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形”．例如：如图，AD ∥BC ，AB ＝DC ，但四边形ABCD 不是平行四边形．2．平行四边形的判定方法：从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．典例剖析篇【例1】如图，在□ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．【解析】由AE ⊥BD ，CF ⊥BD 可知：AE ∥CF ，因此要证明四边形AECF 是平行四边形，只需证AE=CF 或AF ∥CE 即可．显然，通过证△AB E ≌△CBF 来证得AE=CF 比较容易实现． 证明：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB ∥CD ，AB=CD ．所以∠ABD=∠CDB ．因为AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，所以AE ∥CF ，所以∠AEB=∠CFD=90°． 所以△AB E ≌△CBF （AAS ），所以AE=CF ，因为AE ∥CF ，所以四边形AECF 是平行四边形． 【例2】（2010嘉兴）如图，在□ABCD 中，已知点E 在AB 上，点F 在CD 上且AE ＝CF ． （1）求证：DE ＝BF ；（2）连接BD ，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）证明：（1）在□ABCD 中，AB //CD ，AB =CD． （第3所以四边形BFDE 是平行四边形． 所以BF DE ．（2）连接BD ，如图，图中有三对全等三角形：△ADE ≌△CBF ，△BDE ≌△DBF ，△ABD ≌△CDB ．基础夯实篇1．下面命题中，正确的是（ C ） A ． 一组对角相等的四边形是平行四边形 B ． 一组对角互补的四边是平行四边形C ． 两组边分别相等的四边形是平行四边形D ． 两组对角分别相等的四边形是平行四形．2．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ C ）． A ．AB ∥CD ，AD=BC B ．∠A=∠B ，∠C=∠D C ．AB=CD ，AD=BC D ．AB=AD ，CB=CD3．已知四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，如果只给出条件“AB ∥CD ”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法： ①如果再加上条件“BC ＝AD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形． ②如果再加上条件“∠BAD ＝∠BCD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形． ③如果再加上条件“AO ＝OC ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形． ④如果再加上条件“∠DBA ＝∠CAB ”，那么□ABCD 一定是平行四边形． 其中正确的说法是（ C ） A ． ①和② B ． ①、③和④ C ． ②③ D ． ②、③和④4．如图，AB ∥ DC ，ED ∥ BC ，AE ∥ BD ， 那么图中和△ABD 面积相等的三角形有（ B ）个．A ． 1 B3 D ． 45．如图，四边形ABCD 与四边形BEFC 都是平行四边形，则四边形AEFD•是__平行____四边形，理由是__一组对边于行且相等的四边形是平行四边形___________．6．（2009郴州）如图，在四边形ABCD 中，已知AB=CD ，再添加一个条件___AB ∥CD 或AD=BC （答案不唯一）____（写出一个即可），则四边形ABCD 是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)D CBA B ACE D F7．（2009牡丹江）如图，□ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 边上的点，要使BF=DE 需添加一个条件： BE=DF （答案不唯一） ．决胜中考篇8．已知：如图， D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于，若MA=MC ， 求证：CD=AN ．证明：如图，因为 AB ∥CN所以∠1=∠2． 在△AMD 和△CMN 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CMN AMD CMAM 21 △AMD ≌△CMN所以AD=CN ，又AD ∥CN ，所以四边形ADCN 是平行四边形9．在□ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点F ． （1）求证：△ABE ≌△DFE ．;(2)连接BD 、AF ，判断四边形ABDF 的形状， 并证明你的结论答案：（1）略，（2）平行四边形．10． （2010恩施）如图7，已知，在ABCD 中，AE=CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点．求证：四边形MFNE 是平行四边形 ．AB CEDF证明：由平行四边形可知，AB=CD，∠BAE=∠DFC，又因为AF=CF．所以△BAE≌△DCF所以BE=DF，∠AEB=∠CDF又因为M、N分别是BE、DF的中点，所以ME=NF又由AD∥BC，得∠ADF=∠DFC所以∠ADF=∠BEA，所以ME∥NF所以四边形MFNE为平行四边形．11．如图所示，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等（只须说明一组线段相等即可）．（1）连接____________；（2）猜想：____________＝____________；（3）说明所猜想的结论的正确性．解：（1）连接BF；（2）猜想：BF＝DE（3）如图12-1-14所示，连接DB、DF、BF、DB、AC交于点O因为四边形ABCD为平行四边形，则AO＝OC，DO＝OB（平行四边形的对角线互相平分）又AE＝FC（已知）AO－AE＝OC－FC即EO＝FO则四边形EBFD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）所以BF＝DE（平行四边形的对边相等）第3课时（共3课时）课前预习篇1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．2．三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 3．三角形中位线与三角形中线的区别：中位线：中点与中点的连线，如图，DE 是中位线；中线：顶点与对边中点的连线，如图，BD 是中线．典例剖析篇【例1】如图，已知E 为□ABCD 中DC 边的延长线的一点，且CE ＝DC ，连接AE ，分别交BC 、BD 于点F 、G ，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ．求证：DE ＝4OF ．【解析】由于O 为□ABCD 对角线的交点，故O 为AC 的中点．要证明DE ＝4OF ，根据已知条件，CE=DC ，故DE=2DC ，即证明2DC=4OF ，即DC=2OF ，根据平行四边形的性质知AB=DC ，所以只要证明点F 为BC 的中点即可． 证明：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB=CD 且AB ∥CD ， AO=OC ． 因为CE=DC ，所以AB=CE 且AB ∥CE ， 所以△ABF ≌△ECF （AAS ），所以AF=FE ．因为AO=OC ， 所以FO 是三角形AEC 的中位线， 所以AB=2OF ，因为AB=CD ，CE=DC ，DE=CD+CE ，所以DE=4OF ．【例2】求证：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．【解析】对于这样的证明题，需要分析题目中的已知条件，再结合相应的图形做出解答． 已知：如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．证明：证明：连接AC ，△DAG 中， 因为 AH=HD ，CG=GD ， 所以 HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）． 同理EF ∥AC ，EF=1AC ．GFEO C BD所以 HG ∥EF ，且HG=EF ．所以 四边形EFGH 是平行四边形．基础夯实篇1．已知△ABC 的周长为30，中位线DE=4，中位线EF=8，则另一条中位线DF 的长为（ C ）A ．6B ．7C ．3D ．92．周长为m 的三角形ABC 中，顺次连接各边中点，得到一个三角形A1，再顺次连接所得三角形各边的中点，又得一个小三角形A2，再顺次连接各边中点，得到一个三角形A3，则A3的周长是（ C ）A ．38mB ．58mC ．18m D ．35m3．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是（ B ）． A ．12cm B ．24m C ．48cm D ．60cm4．（2009茂名）杨伯家小院子的四棵小树E 、F ．G ．H 刚好在其梯形院子ABCD 各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（ A）A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形5．如图所示，ABC ∆中，中线BD 、CE 相交于点O ，F 、G 分别为OB 、OC 的中点．若BC=12， EF=5，则四边形EFGD 的周长为（ C ） A ．17 B ．34 C ．22 D ．无法确定6． (2010潍坊)如图，在ABC △中，AB BC =，12cm AB =，点F 是AB 边上一点，过点F 作FE BC ∥交AC 于点.E 过点E作ED ∥AB 交BC 于点.D 则四边形BDEF 的周长是_24cm _． Ａ ＤＨ ＧＣＦＢＥ 537．（2010宁德）如图，在△ABC 中，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，若EF 的长为2，则BC 的长为 4 ．8．（2009山西）如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，ABD △的周长为16cm ，则DOE △的周长是 8 cm ．9．（2009哈尔滨）如图，在□ABCD 中，BD 为对角线，E 、F 分别是AD ．BD 的中点，连接EF ．若EF ＝3，则CD 的长为 6 ．决胜中考篇10． 如图，DE 是⊿ABC 的中位线，DE=2cm,AB+AC=12cm, 则梯形DBCE 的周长为 10 cm ．11如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD=BC ，∠PEF=18°，则∠PFE 的度数是 18°．12．已知三角形3条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm ，求三条中位线长． 解：根据题意，设三角形三条中位线长分别为3x ，5x ，6x ，则三角形的三边长分别为：6x ，10x ，12x ，所以三角形周长为：：6x+10x+12x=112，解得x=4．所以三角形三条中位线长分别为：12 cm ，20 cm ，24 cm ．A CD BE O CF D B E A P13．如图，四形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD ，BD ， BC ，AC 的中点． 求证：（1）四边形EFGH 是平行四边形；（2）当四边形ABCD 满足一个什么条件时，四边形EFGH 中，EF=EH ？并证明你的结论．证明：（1）在△ABD 中，因为点E ，F 是AD ，BD 的中点，所以EF ∥AB ，EF=12AB ． 同理：GH ∥AB ，GH=12AB ；EH ∥DC ，EH=12DC ． 所以EF ∥GH ，EF=GH ，所以四边形EFGH 是平行四边形．（2）由（1）知，EF=12AB ，EH=12DC ， 要使EF=EH ，只要满足AB=DC 就可以了．14．如图，李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状．请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由．解：如图所示,连接对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些平行线两两相交于E 、F 、G 、H ,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形．A B C DE F G H O A B C D 图19-25 A B C D E FG H。
数学八年级下人教新课标19.2特殊的平行四边形同步测试题测试题
数学：19.2特殊的平行四边形同步测试题（人教新课标八年级下）一、填空题（每题3分，共30分）1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是.2．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm．3．（08贵阳市）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形．5若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件(写一个即可)，使四边形ABCD是菱形．6．，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB＝6，那么对角线AC＋BD＝⒎以正方形ABCD的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED的度数为.8．延长正方形ABCD的边AB到E，使BE＝AC，则∠E＝°9．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD ＝2那么AP的长为．10．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是．二、选择题（每题3分，共30分）11．如图4在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则∠E＋∠F＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°12．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A ．对角相等 B ．四边相等 C ．对角线互相平分 D ．四角相等13．平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( ) A ．3 cm B ．6 cm C ．9 cm D ．12 cm14．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4， 则图中阴影部分的面积为 ( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．315．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( ) A ．①③⑤ B ．②③⑤ C ．①②③ D ．①③④⑤16．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是 直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长 是 ( )A ．88 mmB ．96 mmC ．80 mmD ．84 mm（6）E A DC B H G17、（08甘肃省白银市）如图，把矩形ABCD 沿EF对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°18、（08哈尔滨市）某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形。
人教版八年级数学下册特殊的平行四边形同步练习(解析版)
人教版八年级数学下册特殊的平行四边形同步练习（解析版）同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直选D2．如图，矩形ABCD的对角线AC﹨BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．12解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选B3．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD ﹣DF解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选B．6．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．7．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴选项A错误；∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，∴选项B错误；∵矩形的对角线相等，∴选项C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，∴选项D错误；故选：C．8．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1 D．2+1解：∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E﹨F分别是BC﹨CD的中点，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．10．如图是由三个边长分别为6﹨9﹨x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6解：如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（62+92+x2）﹣6×3，解得x=3，或x=6，故选D．二．填空题（共5小题）11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为30．解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=30．故答案为：30．12．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2．解：①如图，当AB=AD时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，∵P2是AD的中点，∴BP2==，易证得BP1=BP2，又∵BP1=BC，∴=4∴AB=2．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．故答案为：4或2．13．有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20．解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．14．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC 的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为6．解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，∴EF=CF+CE=3=6，故答案为：6．15．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…﹨则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是（21008，0）．解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2016÷8=252∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2016的坐标为（21008，0）．故答案为：（21008，0）．三．解答题（共5小题）16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．17．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC﹨AD分别相交于P﹨Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP﹨△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．18．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE﹨CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∠A=∠D，∴∠A=∠D=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，若CE=4，CF=5，设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，即DF=．20．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE﹨EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：成立．（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA=60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，∵CF=AE，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，∴∠CBE=∠F=30°，∴BE=EF；（2）解：结论成立；理由如下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴∠ECF=120°，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．。
2021年人教版八年级下册《特殊的平行四边形》同步练习 学生版
2021年人教版八年级下册《特殊的平行四边形》知识点清单矩形的性质与判定菱形的性质与判定正方形的性质与判定中点四边形问题：同步练习一、选择题1.下列关于矩形的说法，正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分2.有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形；⑥一组对边平行，另一组对边相等且有一角为直角的四边形是矩形．其中，正确的个数是（）A．2个 B．3个C．4个 D．5个3.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A.对角线互相平分且相等B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相垂直且对角相等D.对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角4.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形5.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④6.下列说法中，错误的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．四个角都相等的四边形是矩形D．邻边相等的菱形是正方形7.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A.6米B.6米C.3米D.3米8.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )A.4B.2.4C.4.8D.59.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）A.60°B.50°C.75°D.55°10.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE长是（）A.1.6B.2.5C.3D.3.411.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有（）A.2对B.3对C.4对D.5对12.将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是( )A． B．﹣1 C． D．二、填空题13.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________.14.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为____.15.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若OM=3，AD=8，则BO= ．16.若正方形的面积是9，则它的对角线长是 .17.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长．18.如图，四边形ABCD和CEFG都是菱形，连接AG，GE,AE，若∠F=60°，EF=4，则△AEG面积为________.三、解答题19.如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了),连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．20.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB=4，AD=8，求MD的长.21.如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.当BD、AC满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形.22.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD的延长线上，且BE=DF．（1）求∠AEF的度数；（2）如果∠AEB=75°，AB=2，求△FEC的面积．23. (1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1 图224.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE=OF；(2)若CE=12，CF=5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．25.如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=150. （1）求证：DF＋BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积.。
【数学八年级下册】人教版 数学八年级下册《特殊的平行四边形》 同步练习
∵AC＝BC， ∴DF＝CF＝CE＝DE， ∴四边形 DECF 是菱形． 14．
s或 s或
s或
s．
15． ．
16． ．
三．解答题（共 6 小题） 17．解：（1）∵∠ACB＝90°，D 是 AB 中点，
∴CD＝ AB， 同理：ED＝ AB， ∴CD＝ED；
（2）∵CD＝ED，F 是 CE 中点， ∴DF⊥CE， ∵CD＝ AB，AB＝10， ∴CD＝5，
动点，过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，点 G 为四边形 DEAF 对角线交
点，则线段 GF 的最小值为
．
16．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝6，点 P 为边 AB 上任意一点，过点 P 作 PE⊥
AC，PF⊥BD，垂足分别为 E、F，则 PE+PF＝
．
三．题（共 6 小题） 17．已知：如图，在△ABC 和△ABE 中，∠ACB＝∠AEB＝90°，D 是 AB 中点，联结 DC、
A．
B．
C．
D．
10．如图，正方形 ABCD 中，DE＝2AE＝4，F 是 BE 的中点，点 H 在 CD 上，∠EFH＝45 °，则 FH 的长度为（ ）
A．
B．5
C．
D．2
二．填空题（共 6 小题） 11．如图，已知直角三角形 ABC 中，∠ABC 为直角，AB＝12，BC＝16，三角形 ACD 为等
特殊的平行四边形
一．选择题（共 10 小题）
1．下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线垂直且互相平分；③对
角线相等的四边形是矩形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤邻边相等的矩形是正方
形．其中正确的是（ ）
新人教版八年级下19.2特殊的平行四边形练习
19.2特殊的平行四边形1．已知：AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加条件是___________________． 2.若四边形ABCD 为平行四边形，请补充条件 使得四边形ABCD 为菱形． 3.如图1，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB =2∠BOC ， 若对角线 AC =6cm ，则周长= ，面积= 。
4.如图2，菱形ABCD 的边长为8cm ，∠BAD =120°，则AC= ,BD= , 面积= 。
5.如图3，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C重合）且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是图1 图2 图36. 已知：如图3，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，∠AEO ．7. 如图4，四边形ABCD 是菱形. 对角线AC=8㎝，DB=6㎝，DH ⊥AB 与H. DH= 。
8．如图5，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE DC ∥交BC 于点E ，若8AD cm ，则OE 的长为 cm ．图3 图49．已知如图，菱形ABCD 中，∠ADC =120°，AC =123㎝，（1）求BD 的长；（2）求菱形ABCD 的面积，（3）写出A 、B 、C 、D 的坐标.10.如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作DP ∥OC ，且 DP =OC CP ，试判断四边形CODP 的形状．并证明。
如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？B A DCOA B CDA BDC OPA BDC O H 图510.以△ABC 的边AB 、AC 为边作等边△ABD 和 等边△ ACE ，四边形ADFE 是平行四边形．① 当∠BAC 等于 时， 四边形ADFE 是矩形；② 当∠BAC 等于 时， 平行四边形ADFE 不存在；③ 当△ABC 分别满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形、正方形．11.如图1：正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，连接EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足M ，AM 交BD 于点F ． ①求证OE =OF ；②如图2所示，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥EB 的延长线于点M ，交DB 的延长线于点F ，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由AODPB CPCDOBA图二B CAEF D图一ABC D O F EM图1ABC DFEM O图2。
八年级数学下册18.2特殊的平行四边形同步练习(一)(含解析)(新版)新人教版
18.2特殊的平行四边形同步练习(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、下列性质中，菱形具有矩形不一定具有的是（）A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 邻边互相垂直D. 对角线互相垂直2、下列命题中，真命题是（）A. 两条对角线相等的四边形是矩形B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形3、下列四个命题中，真命题是（）．A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形B. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形D. 四边都相等的四边形是正方形4、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）.A. 对角线互相垂直B. 对角线平分每一组对角C. 对角线互相平分D. 对角线相等5、菱形是轴对称图形，它的对称轴有（）条.A.B.C.D.6、在中，，是边上一点，交于点，交于点，若要使四边形是菱形，只需添加条件( ).A.B.C.D.7、如图，已知，，垂足为，使四边形为矩形，可添加的一个条件是（）A.B.C.D.8、下面给出的条件中，能判定四边形是菱形的是（）A. 一组对边相等，对角线垂直B. 两组对角分别相等，一条对角线平分一组对角C. 两组邻边相等，一条对角线平分一组对角D. 四个角都相等，一组对边相等9、设、表示两个集合，我们规定“”表示与的公共部分，并称之为与的交集．例如：若正数，整数，则正整数．若矩形，菱形，则所对应的集合是（）A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 平行四边形10、下列命题中，真命题是（）A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线相等的四边形是矩形11、某一实验装置的截面图如图所示，上方装置可看做一长方形，其侧面与水平线的夹角为，下方是一个直径为，高为的圆柱形容器，若使容器中的液面与上方装置相接触，则容器中液体的高度至少应为（）A.B.C.D.12、如图所示，已知四边形的对角线、相交于点，则下列能判断它是正方形的条件是（）A. ，B.C. ，，D. ，13、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. D．对角相等14、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（）A.B.C.D.15、将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图，测得，当时，如图，（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、对角线的平行四边形是菱形.17、1.正方形的定义有一组邻边且一个角是的平行四边形叫做正方形。
人教版八年级数学下册特殊平行四边形课后练习及详解
第十九章特殊平行四边形练习题题一：下列说法中，正确的是()A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直题二：如图，四边形ABCD中，AB∥CD．则下列说法中，不正确的是()A．当AB=CD，AO=DO时，四边形ABCD为矩形B．当AB=AD，AO=CO时，四边形ABCD为菱形C．当AD∥BC，AC=BD时，四边形ABCD为正方形D．当AB≠CD，AC=BD时，四边形ABCD为等腰梯形题三：如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，①求证：四边形EFGH是平行四边形．②探索下列问题，并选择一个进行证明．a．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形E FGH是矩形．b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是菱形．c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是正方形．题四：如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)①当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．题五：如图所示，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．(1)若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？为什么？(3)若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．题六：如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH 的形状会有哪些变化？完成以下题目：(1)①当ABCD为任意四边形时，EFGH为___________；②当ABCD为矩形时，EFGH为___________；③当ABCD为菱形时，EFGH为___________；④当ABCD为正方形时，EFGH为___________；(2)请对(1)中①②你所写的结论进行证明．(3)反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？题七：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．(1)求证：△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．题八：在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．(1)猜想四边形ABCD是什么四边形；(2)请证明你所得到的数学猜想．题九：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q．(1)试说明△PCM≌△QDM；(2)当P在B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．题十：如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D出发，按折线D-C-B方向以2cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动．动点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．(1)若点E在线段BC上，且BE=4cm，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？(2)动点M、N在运动的过程中，线段MN是否经过矩形ABCD的两条对角线的交点？如果线段MN 过此交点，请求出运动的时间；如果线段MN不过此交点，请说明理由．题十一：如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD= 4，∠ABC=∠DCB，求BC的长．题十二：已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB= 4，BC=6，CD=5，AD=3．求：四边形ABCD 的面积．特殊平行四边形课后练习参考答案题一：C．详解：A．对角线互相垂直且相等的四边形不能判定正方形，故本选项错误；B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；C．四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选C．题二：C．详解：选项A的结论正确，AB=CD可判定为平行四边形，AO=DO可判定对角线相等，故是矩形；选项B的结论正确，AB=AD可判定△ABD为等边三角形，AO=CO可判定△CDB也为等边三角形，故是菱形；选项C的结论错误，判定结果为矩形，不一定是正方形；选项D的结论正确，对角线相等的梯形是等腰梯形；故选C．题三：见详解．详解：①连接AC，BD，∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．②a．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．∵由①得：四边形MONH是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，∴∠EH G=90°，∴四边形EFGH是矩形．b．当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．∵HG=12AC，EH=12BD，∴EH=GH，∴四边形EFGH是菱形；c．由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．故答案为：a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD．题四：见详解．详解：(1)∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，∴∠DBF=∠ABC．在△ABC和△DBF中，BA=BD，∠ABC=∠DBF，BC=BF，∴△ABC≌△DBF．∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD．∴四边形ADFE是平行四边形．(2)当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，∴平行四边形DAEF是矩形．当AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四边形DAEF是菱形．当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．题五：见详解．详解：连AC，设AC、BD相交于点O，(1)∵四边形AECF是平行四边形，∴OE=OF，OA=OC，∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形；(2)∵四边形AECF是菱形，∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是菱形；(3)四边形ABCD不是矩形．题六：见详解．详解：(1)平行四边形；菱形；矩形；正方形；(2)结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为AC、BD．①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形．∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形．②若ABCD为矩形，则EFGH为菱形．∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH．∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形．∴EH=AC=FG，EF=BD=GH．∵四边形ABCD为矩形．∴AC=BD．∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．∴四边形EFGH为菱形．(3)当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：对角线互相垂直．当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：对角线相等．题七：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=12AD，CN=12BC，∴AM=CN，在△MAB和△NDC中，∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN，∴△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是菱形．理由如下：连接AP，MN，则四边形ABNM是矩形，∴AN和BM互相平分，则A，P，N在同一条直线上，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB，∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=12AN，∴MQ=12BM，∵MP=12BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．题八：见详解．详解：(1)四边形ABCD是菱形；(2)∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，∴∠MAD=∠DAC=12∠MAC，同理可得∠CAB=∠NAB=12∠CAN，∠DCA=∠MCD=12∠ACM，∠ACB=∠NCB=12∠ACN，∵四边形AMCN是正方形，∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，∴AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD为菱形．题九：见详解．详解：(1)∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，∴△PCM≌△QDM；(2)当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC-CP=AD+QD，∴8-CP=5+CP，∴CP=(8-5)÷2=1.5，∴当PC=1.5时，四边形ABPQ是平行四边形．题十：见详解．详解：(1)∵点N只在AD上运动，∴当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，即2.5＜t＜7.5，设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：①当M点在E点右侧，如图：此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形，∵DN= t，CM=2t -5，∴AN=10- t，EM=10- 4-(2t -5)，∴10- t =10- 4-(2t -5)，解得：t =1，∵2.5＜t＜7.5，∴t =1舍去；②当M点在B点与E点之间，如图，则MC=2t -5，BM=10-(2t -5)=15-2t，∴ME= 4-(15-2t)=2t -11，2t-11=10-t，解得t =7，此时符合，∴当t =7秒时，点A、E、M、N组成平行四边形；(2)动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时M在BC上，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠NAO=∠MCO，在△ANO和△CMO中，∠NAO=∠MCO，AO=OC，∠AON=∠COM，∴△ANO≌△CMO(ASA)，∴AN=CM，设N运动的时间是t秒，则10-t=2t -5，解得：t =5，即动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时运动的时间是5秒．题十一：8．详解：∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=180°-120°=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=12×60°=30°，又∵∠ABC=∠DCB=60°，∴∠BDC=180°-30°-60°=90°，∴BC=2CD=2×4=8．题十二：18．详解：过D作DE∥AB，交CB于E点，又∵AD∥CB，∴四边形ABED是平行四边形，∴EB=AD=3，DE=AB=4，∵CB=6，∴EC=BC-BE=6-3=3，∵CD=5，∴CD2=DE2+CE2，∴△DEC是直角三角形，∴∠DEC=90°，∴四边形ABCD的面积是：12(AD+CB)•DE=12(3+6)×4=18．。
八年级数学下册19.2特殊的平行四边形课时练
特殊的平行四边形课时练（人教新课标八年级下）课时一矩形1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）2.直角三角形中：两直角边长分别为12和5：则斜边中线长是（ ） A.26 B.13 C.8.5 D.6.53.矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ：AB=5,12,cm BC cm =则△ABO 的周长为等于 .4. 如图所示：四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠： 使点B 恰好落在CD 边的中点E 处：折痕为AF ．若CD ＝6： 则AF 等于 （ ）A.34B.33C.24D.８5. 如图所示：矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ： 过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ：23AB BC ==，： 则图中阴影部分的面积为 ．cm ：被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长 的差为8cm ：则较大的边长为 .7. 如图：矩形ABCD 中：AC 与BD 交于O 点：BE AC ⊥于E ：CF BD ⊥于F 。
求证BE=CF 。
8. 如图所示：E 为□ABCD 外：AE ⊥CE ：BE ⊥DE ： 求证：□ABCD 为矩形ABCD 和点P ：当点P 在图1中的位置时：则有结论：S △PBC =S △PAC +S △PCD 理由：过点P 作EF 垂直BC ：分别交AD 、BC 于E 、F 两点．ABC D EF 第4题图 ABCD EFO第5题图第7题图 第8题图图l∵ S △PBC +S △PAD =错误!BC ·PF+错误!AD ·PE=错误!BC （PF+PE ）=错误!BC ·EF=错误!S 矩形ABCD 又∵ S △PAC +S △PCD +S △PAD =错误!S 矩形ABCD ∴ S △PBC +S △PAD = S △PAC +S △PCD +S △PAD ． ∴ S △PB C =S △PA C +S △P CD ．请你参考上述信息：当点P 分别在图2、图3中的位置时：S △PB C 、S △PAC 、S PCD 又有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想：并选择其中一种情况的猜想给予证明．图2 图310. 如图所示：△ABC 中：点O 是AC 边上一个动点：过点O 作直线MN ∥BC ：设MN 交∠BCA 的平分线于E ：交∠BCA 的外角平分线于点F .(1)求证：EO =FO(2)当点O 运动到何处时：四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.课时一答案：1.C ：2.D ：提示：由勾股定理求得斜边为：1351222=+：斜边的中线长为5.6213=：3.18：提示：AB=5：BC=12：AC=13：cm AC AB OB OA AB L ABO 18513=+=+=++=∆：4. A ：提示：DE=3：AB=AE=6：在直角三角形ADE 中：∠DAE=30 ：由折叠的性质得∠BAF=∠EAF=30：设BF=x ：则AF=2x ：342,32,36422====-x AF x x x ：5.3：6.14：7证明：∵四边形ABCD 为矩形：∴AC=BD ：BO=CO ：∵BE AC ⊥：CF BD ⊥：∴∠BEO=∠CFO=90：又∵∠BOE=∠COF则∆∆BOE COF ≅ ∴BE=CF8.连接AC 、BD ：AC 与BD 相交于点O ：连接OE 在□ABCD 中：AO=OC ：BO=DO. 在DEB Rt ∆中：OE=BD 21： 第10题图在AEC Rt ∆中：OE=AC 21：∴BD=AC ： ∴□ABCD 为矩形. 9. 猜想结果：图2结论S △PBC =S △PAC +S △PCD ： 图3结论S △PBC =S △PAC -S △PCD 证明：如图2：过点P 作EF 垂直AD ：分别交AD 、BC 于E 、F 两点． ∵ S △PBC =错误!BC·PF=错误!BC·PE+错误!BC·EF=错误!AD·PE+错误!BC·EF=S △PAD +错误!S 矩形ABCD S △PAC +S △PCD =S △PAD +S △ADC =S △PAD +错误!S 矩形ABCD ∴ S △PBC =S △PAC +S △P CD10. (1)证明：∵MN ∥BC ：∴∠BCE =∠CEO 又∵∠BCE =∠ECO∴∠OEC =∠OCE ：∴OE =OC ：同理OC =OF ：∴OE =OF(2)当O 为AC 中点时：AECF 为矩形：∵EO =OF (已证)：OA =OC ∴AECF 为平行四边形：又∵CE 、CF 为△ABC 内外角的平分线 ∴∠EOF =90°：∴四边形AECF 为矩形 课时二菱形1. 如图：在菱形ABCD 中：对角线AC 、BD 相交于点O ：E 为BC 的 中点：则下列式子中一定成立的是（ ） A ．AC=2OE B ．BC=2OE C ．AD=OE D ．OB=OE2. 如图：在菱形ABCD 中：不一定成立的（ ） A.四边形ABCD 是平行四边形B.AC ⊥BDC.△ABD 是等边三角形D.∠CAB ＝∠CAD3. 如图：如果要使ABCD 成为一个菱形：需要添加一个条件：那么你添加的条件是 ．4. 菱形的两条对角线长分别是6和8：则菱形的边长为 。
人教版数学八年级下册第19章19．2 特殊的平行四边形 课时同步训练
第十九章四边形19．2 特殊的平行四边形19．2．3正方形第1课时（共2课时）课前预习篇1．正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：（1）边：四边相等，对边平行；（2）角：四个角都是直角；（3）对角线：互相垂直平分且相等，对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．（4）对称性：既是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，又是轴对称图形，有四条对称轴典例剖析篇【例1】（2010苏州）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE 的度数是°．【解析】此题考查了正方形的性质：对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，即此题中∠CAE=45°，∠ABC=90°，而由已知条件知：AE=AC，所以易求得∠E=67．5°，所以∠BCE=90°-∠E =22．5°．【答案】22．5【例2】（2010红河自治州）如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论．【解析】此题考查了正方形四边相等，四个角都是直角的性质，遇到同类的题，可考虑先证三角形全等，再证明角相等最后得出结论．解：根据题目条件可判断DE//BF．证明如下：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠BAF+∠2=90°．因为AF=AE+EF，又AF=BF+EF，所以AE=BF因为∠1=∠2，所以△ABF≌△DAE（SAS）．所以∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE．所以∠ADE+∠2=90°，所以∠AED=∠BFA=90°．所以DE//BF．基础夯实篇1．下列性质中，正方形具有而菱形不具有的是 ( C ) A ．对角线平分内角 B ．对角线互相垂直平分C ．对角线相等D ．对称中心到各边的距离相等 2．下列性质中，正方形具有而矩形不具有的是 ( C )A ．四个角都是直角B ．对角线相等C ．四条边相等D ． 对角线互相平分 3．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则( C ) A ．S=2B ．S=2．4C ．S=4D ．S 与BE 长度有关[来 4．如图，正方形ABCD 的面积为1， M 是AB 的中点，连接AC 、DM ，则图中阴影部分的面积是13．5．如图在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点， E ，F 分别为AD 、BC 边上的点，若AG =1，BF =2，∠GEF =90°，则GF 的长为____3____． 6．（2010宜宾）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的番号是 ①②④⑤ ． 7．（2010宿迁）如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为 32 ．决胜中考篇 8．（2010长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；MA D CB（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数． （1）证明：因为四边形ABCD 是正方形 所以BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45° 又EC ＝EC所以△ABE ≌△ADE（2）因为△ABE ≌△ADE所以∠BEC ＝∠DEC ＝12∠BED 因为∠BED ＝120°所以∠BEC ＝60°＝∠AEF 所以∠EFD ＝60°+45°＝105°9． (苏州2010)如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数ky x=(x ＞0)的图像经过点B ．(1)求k 的值；(2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC′、MA′BC ．设线段MC′、NA′分别与函数ky x=(x ＞0)的图像交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式． 解：（1）因为四边形OABC 是面积为4的正方形， 所以OA=OC=2．所以点B 的坐标为（2，2）． 所以k=xy=2×2=4．(2)因为正方形MABC ′，NA ′BC 由正方形OABC 翻折所得，所以ON=OM=2OA=4， 所以点E 的横坐标为4，点F 的纵坐标为4． 因为点E ，F 在函数4y x=的图像上，所以当x=4时，y=1，即E （4，1）． 当y=4时，x=1，即F （1，4）．设直线EF 的解析式为y=mx+n ，将E ，F 两点坐标代入，得：414m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：m=-1,n=5． 所以直线EF 的解析式为5y x =-+EB DACFA F D E BC10．(2010中山）如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去···，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为_____625_____．11．（2009北京）阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG ．请你参考小明的做法解决下列问题：(1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；(2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连接AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）． 解：（1）拼接成的平行四边形是□ABCD （如图3）（2）正确画出的图形如图4，平行四边形MNPQ 的面积为25．第2课时（共2课时）课前预习篇1．定义：有一组邻边 相等 且有一个角是 直角 的平行四边形叫做正方形 3．正方形的判定（1）有一组邻边 相等 的矩形是正方形，对角线 互相垂直 的矩形是正方形． （2）有一个角是 直角 的菱形是正方形，对角线 相等 的菱形是正方形． （3）有一组邻边 相等且有一个角是 直角 的平行四边形叫做正方形． （4）对角线______互相垂直且相等______的平行四边形是正方形．第10题图（1） A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D D 2 A 2 B 2 C 2 D 1 C 1 B 1A 1 ABCD 第10题图（2）（5）对角线______垂直平分且相等 ___的四边形是正方形．3．特殊的平行四边形的性质与判定：平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等;两组对角分别相等；两条对角线互相平分．有三个角是直是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等．四边相等的四边形是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直．是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角．对称性只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形典例剖析篇【例1】已知：如图(4)，矩形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的平分线组成四边形A'B'C'D'，求证：四边形A'B'C'D'是正方形．【解析】要判定一个四边形是正方形，分两个步骤：第一步先判定四边形是矩形，再判定这个矫形又是菱形；或者：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形又是矩形，即可判定它是正方形．证明：因为AB'、BD'、CD'、DB'分别平分∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA，所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，所以∠B'＝∠D'＝90°，AD＝BC所以△AB'D≌△BD'C(ASA) 。
人教版数学八年级下册第19章19.1平行四边形课时同步训练-1.doc
第十九章 四边形 19．1平行四边形19．1．1平行四边形的性质 第1课时（共2课时）课前预习篇1．两组对边分别 平行 的四边形叫平行四边行．平行四边形ABCD 记作 □ABCD ．2．平行四边形的 对边 相等，平行四边形的 对角 相等．如图，在□ABCD 中，相等的边有 AD=BC,AB=DC ，相等的角有 ∠B=∠D ，∠A=∠C ．典例剖析篇【例1】如图，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的点，CE=AF ，请你猜想：BE 与DF 有怎样的位置关系和数量关系？对你的猜想加以证明．【解析】根据平行四边形的性质可得BC=AD ，B C ∥AD ．进而推理得到∠1=∠2，从而得到△BCE ≌△DAF ，得证．解：猜想BE ∥DF ，BE=DF ．证明：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以BC=AD ，∠1=∠2．又CE=AF ，所以△BCE ≌△DAF ，所以BE=DF ，∠3=∠4，所以BE ∥DF ．【例2】(2010衢州)已知：如图，E ，F 分别是□ABCD 的边AD ，BC 的中点． 求证：AF =CE ．【解析】根据平行四边形的性质对边相等、对角相等，再通过证三角形全等来得出结论．证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，且E ，F 分别是AD ，BC 的中点， 所以 BF =DE ． 又 因为 四边形ABCD 是平行四边形， 所以∠B =∠D ，AB =CD ． 所以△ABF ≌△CDE ． 所以AF =CE ．B ADCA DE B C基础夯实篇1． 在□ABCD 中,∠A=80°,则∠D 的度数是 ( B ) A ． 105° B ． 100° C ． 110° D ． 80° 2． 在□ABCD 中,∠B-∠A=20°,则∠D 的度数是 ( C ) A ． 80° B ． 90° C ． 100° D ． 110°3．在□ABCD 中，∠B= 60°，那么下列各式中，不能成立的是（ B ） A ．∠D= 60° B ．∠A=120°C ．∠C+∠D= 180°D ．∠C+∠A= 180° 4．（2010泰安）如图，E 是□ABCD 的边AD 的中点，CE 与BA 的延长线交于点F ，若∠FCD=∠D ，则下列结论不成立的是（ B ）A ．AD=CFB ．BF=CFC ．AF=CD D ．DE=EF 5．（2010湖州）如图，已知在□ABCD 中，AD ＝3cm ，AB ＝2 cm ，则□ABCD 的周长等于（A ）A ．10cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm 6．（2009桂林）如图，□ABCD 中，AC ．BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ C ）．A ．3B ．6C ．12D ．247．如图,点 D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_____3_____个平行四边形,分别是__□AFDE ，□CEFD, □BDEF _____________．8．（2010荆州）如图，在□ABCD 中，∠A=130°，在AD 上取DE=DC ， 则∠ECB 的度数是 65° ．B ADCF E D C BA9． (2010深圳)如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，DE 平分∠ADC ，则B E ＝___3_______．10．已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是____40 cm____________． 11．在□ABCD 中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=___108____°,∠D=___72__________°． 12．（2010恩施）如图1，在□ABCD 中，已知AB =9㎝，AD =6㎝，BE 平分∠ABC 交DC 边于点E ，则DE 等于 3 ㎝．决胜中考篇13． （2010郴州）如图，已知□ABCD ，E 是AB 延长线上一点，连接DE 交BC 于点F ，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使CDF BEF △≌△，这个条件是 DC EB =或CF BF =或DF EF = 或F 为DE 的中点或F 为BC 的中点或AB BE =或B 为AE 的中点 ．（只要填一个）14．（2010株洲）如图，已知□ABCD ，DE 是∠ADC 的角平分线，交BC 于点E ． （1）求证：CD=EC ；（2）若BE=CE ，∠B=80°，求∠DAE 的度数．EDCBA证明：（1）如图，在□ABCD 中， A D ∥BC 得，∠1=∠3，又∠1=∠2， 所以∠2=∠3，，所以CD=CE （2）由□ABCD 得，AB=CD ， 又CD=CE ，BE=CE ，所以AB=BE ， 所以∠BAE=∠BEA ， 因为∠B=80°，所以∠BAE =50°， 所以∠DAE =180°-50°-80°=50°．1 23EDCBAABEFDC15．（2010毕节）如图，已知：□ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．证明：因为 四边形ABCD 是平行四边形（已知），所以A D ∥BC ，AB=CD （平行四边形的对边平行，对边相等）所以∠GBC=∠BGA ，∠BCE=∠CED （两直线平行，内错角相等） 又因为 BG 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD （已知）所以∠ABG=∠GBC ，∠BCE=∠ECD （角平分线定义） 所以∠ABG=∠GBA ，∠ECD=∠CED ．所以AB=AG ，CE=DE （在同一个三角形中，等角对等边） 所以AG=DE所以AG-EG=DE-EG ，即AE=DG ． 16．如图，在□ABCD 中，EF ∥BD ，分别交BC ，CD 于点P ，Q ，交AB ，AD 的延长线于点E ．F ．已知BE=BP ． 求证：(1)∠E=∠F (2)AB=AD ． 证明：（1）在□ABCD 中，BC ∥AD ，所以∠1=∠F ．因为BE=BF ， 所以∠E=∠1，所以∠E=∠F ． （2）因为EF ∥BD ，所以∠2=∠E ，∠3=∠F ． 因为∠E=∠F ， 所以∠2=∠3， 所以AD=AB 17．（玉溪2010）如图，在ABCD 中，E 是AD 的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．解：添加的条件是连接B 、E,过D 作DF ∥BE 交BC 于点F,构造的全等三角形是△ABE 与△CDF ． 理由： 因为□ABCD ，AE=ED, 所以在△ABE 与△CDF 中，AB=CD, ∠EAB=∠FCD, AE=CF ， 所以△ABE ≌△CDF ． A BC EFG第2课时（共2课时）知识导航篇1．平行四边形的对角线 互相平分 ，平行四边形是 中心 对称图形． 2．平行四边形的面积= 底×高 ．典例剖析篇【例1】如图，在□ABCD 中，且AB=5，AC=3，A C ⊥BC ，求BC ，CD ，AD ，OA 的长以及□ABCD 的面积．【解析】根据平行四边形的性质：对边相等、对角线互相平分，可得AD=BC ，AB=CD ，OA=OC=12AC ．再利用勾股定理求出AD 的值，进而求出□ABCD 的面积． 解：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB=CD ，AD=BC ，OA=12AC ． 因为AB=5，AC=3，所以CD=5．因为A C ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形． 由勾股定理得：2222253BC AB AC =-=- 所以BC= 4，AD=BC=4， 所以OA=12AC=32， 所以S □ABCD=A C ·BC=3×4=12【例2】（1）已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________． （2）在□ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+4），（x-5）和16，则这个四边形的周长是 ．【解析】（1）由平行四边形的面积=底×高得该平行四边形的相邻两边长为：14414418,1689==，所以平行四边形的周长为：2×（16+18）=64．（2）对于□ABCD ，根据其性质知：两组对边分别相等，所以四边形的三边长（x+4），（x-5）和16中，（x+4）=16或（x-5）=16，所以x=12或x=21．当x=12时，x-5=7,此时四边形的周长为2×（16+7）=46；当x=21时，x+4=25,此时四边形的周长为：2×（16+25）=82． 【答案】（1） 64 （2）46或82基础夯实篇1． 在以下平行四边形的性质中,错误的是 ( D ) A ． 对边平行 B ． 对角相等 C ． 对边相等 D ． 对角线互相垂直2．(2010河北)如图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为( C ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．153．如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，如果AC=12，BD=10，AB=m ，那么m 的取值范围是（ A ） A ．1＜m ＜11 B ．2＜m ＜22C ．0＜m ＜12D ．5＜m ＜64．将一张平行四边形的纸片对折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这种折法共有（ D ）A ．1种B ． 2种C ． 4种D ． 无数种 5．（2010包头）已知下列命题： ①若0,0 b a ，则0 b a +； ②若b a ≠，则22b a ≠；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等； ④平行四边形的对角线互相平分．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．（2009钦州）如图，在□ABCD 中，∠A ＝120°，则∠D ＝_ 60 _°．7． (苏州2010)如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2， 则□ABCD 的周长是12 ．8．□ABCD 的周长为60cm ，△AOB 的周长比△COB 的周长大8cm ，则AB= 19 cm ，BC= 11 cm ．B DBC 于点M 、N ，若△CON 的面积为2，△DOM 的面积为4，则△AOB 的面积为 6 ． 10．（2010福州）如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为 21 ．决胜中考篇11．□ABCD 的两条对角线AC,BD 相交于O ．DC(1) 图中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?(2) 若□ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm ．求AB,AD 的长． 解：（1）图中全等的三角形有：△AO B ≌△COD ，△AO D ≌△COB ，△ABC ≌△CDA ，△ABD ≌△CDB ．图中相等的线段有：AB=CD ，AD=BC ，OA=OC ，OB=OD ． （2）因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AD=BC ，OA=OC ，OB=OC ． 因为□ABCD 的周长是20cm, 所以AB+AD=10 cm因为△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm ． 所以（OA+OD+AD ）-（AB+AO+BO ）=6 cm 所以AD-AB=6 cm联解方程组得⎩⎨⎧=-=+610AB AD AD AB ，解得：82AD AB =⎧⎨=⎩所以AD=8 cm ，AB=2 cm12．（2010河南）如图，四边形ABCD 是平行四边形，△AB ’C 和△ABC 关于AC 所在的直线对称，AD 和B ’C 相交于点O ，连接BB ’．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求证：△AB ’O ≌△CDO ．解：（1）等腰三角形有：△ABB ’、 △AO C 和△BB ’C（2）证明：在□ABCD 中，AB=DC ，∠ABC=∠DAB=AB ’，∠ABC=∠AB ’C A又∠A O B’ =∠COD所以△AB’O≌△CDO．13．如图，有一张梯形纸片ABCD，其中AD//BC，AD>CD．将纸片沿过点D的直线折叠，使点C 落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．（1）求证：CE=CD=C′E= C′D．（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明．解：（1）根据题意可知：CD= C′D，∠C′DE=∠CDE，∠C′ED=∠CED．因为AD//BC，所以∠=∠CED，所以∠CDE=∠CED, 所以CD=CE ．同理=，所以CD=CE==，（2）当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形．证明：由（1）知CE=CD，而BC=CD+AD，则BE=AD，又因为AD//BE，所以四边形ABED为平行四边形．。
(人教版)八年级数学下册19.2特殊的平行四边形同步测试题含答案
19.2特殊的平行四边形同步测试题一、填空题（每题3分，共30分）1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法. 2．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm．3．（08贵阳市）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形．5若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件(写一个即可)，使四边形ABCD是菱形．6．，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB＝6，那么对角线AC＋BD＝⒎以正方形ABCD的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED的度数为.8．延长正方形ABCD的边AB到E，使BE＝AC，则∠E＝°9．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝2那么AP的长为．10．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是．二、选择题（每题3分，共30分）11．如图4在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则∠E＋∠F＝( )A．110°B．30°C．50°D．70°12．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等13．平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm14．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．315．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A ．①③⑤B ．②③⑤C ．①②③D ．①③④⑤16．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是 ( )A ．88 mmB ．96 mmC ．80 mmD ．84 mm（6） E A F D C B H G17、（08甘肃省白银市）如图，把矩形ABCD 沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o ，则AEF ∠=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°18、（08哈尔滨市）某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形。
人教版-数学-八年级下册--19.2特殊的平行四边形 课后拓展训练
人教八下19.2特殊的平行四边形 课后拓展训练1．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含矩形、菱形、正方形）；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形.一定可以拼成的图形有 （ ）A ．①②⑤B ．②③⑤C ．①④⑤D ．①②③2．（09·山东）如图19-74所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点,D C 分别落在,D C ''的位置，若65EFB ∠=o，则AED '∠等 于 （ ）A ．70°B ．65°C ．50°D ．25°3．矩形的四条内角平分线能围成一个 （ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．如图19-75所示，将标号为,,,a b c d 的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为①，②，③，④的四组图形（如图19-76所示），试按照正方形剪开后重组图形的对应关系，选择与,,,a b c d 对应的图形 （ ）A ．③②①④B ．④①②③C ．③①②④D ．④②①③5．已知菱形的周长为40㎝，两条对角线长度之比为3：4，那么对角线的长分别为了（ ）A ．3㎝，8㎝B ．3㎝，4㎝C ．12㎝，16㎝D ．24㎝，32㎝6．将矩形纸片ABCD 按如图19-77所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC 的长为 （ ）A ．1B ．2C ．2D ．37．（09·江西）如图19-78所示，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16㎝，若墙上钉子间的距离AB=BC=16㎝，则1∠= 度.8．在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥BD 于点G ，如果AC=10㎝，那么EF+EG= .9．（08·十堰）如图19-79所示，已知矩形ABCD ，P ，R 分别是BC和DC 上的点，点E ，F 分别是PA ，PR 的中点，如果DR=3，AD=4，则EF 的长为 .10．菱形的周长为10㎝，一条对角线长为2.5㎝，菱形各内角分别是 .11．（08·咸宁）如图19-80所示，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F.（1）求证EO=FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.12．如图19-81所示，在△ABC 中，B C ∠=∠，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.（1）求证△BDE ≌△CDF ；、（2）当△ABC 是直角三角形时，求证四边形AEDF 是正方形.13．如图19-82所示，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于点E ，2,23,CD AD ==求BE 的长.14．小刚制作了一个菱形的大风筝如图19-83所示，上面还贴了一张彩色的三角形硬纸片，小刚拿给金老师看，问：“我的风筝符合要求吗？”金老师说：“如果彩色三角形硬纸的两边CE 与EF 相等，就符合要求.”可是小刚手中只有一把短尺，无法直接测出CE 和CF 的长，试帮小刚想一个办法，并说明理由.15．（09·深圳）如图19-84所示，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC交于点G.（1）求证△ABE ≌△CBF ；（2）若50ABE ∠=o，求EGC ∠的度数.参考答案1．A2．C 3．D4．C5．C6．D7．1208．5㎝9．5210．60°，120°，60°，120°11．（1）证明：∵MN ∥BC ，∴OEF ECB ∠=∠.∵CE 平分BCA ∠，∴,ECB ECO ∠=∠∴,OEC ECO ∠=∠∴OE OC =.同理可证,OF OC =∴OE OF =. （2）当点O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形.证明如下：∵,,OE OF OA OC ==∴四边形AECF 是平行四边形.∵CE 平分,ACB ∠CF 平分,OCD ∠∴ECF =90°，∴AECF Y 是矩形.12．证明：（1）因为D 是BC 的中点，所以BD =CD .因为,,DE AB DF AC ⊥⊥所以90BED CFD ∠=∠=o .又因为,B C ∠=∠所以△BDE ≌△CDF （AAS ）. （2）由（1）得Rt △BDE ≌Rt △CDF ，所以,DE DF =又因为90,90,AED AFD A ∠=∠=∠=o o 所以四边形AEDF 是正方形.13．解：作BF AC ⊥于点F ，则Rt △ABF ≌Rt △CDE ，所以,BF DE AF CE ==.因为22216,AC CD AD =+=所以4AC =，因为S △ADC =11,22AB BC AC BF •=•所以AB BC BF AC •===.所以1CE AF ====.所以EF =4-1-1=2.所以222347BE BF EF =+=+=.所以BE =14．解：连接AC ，交EF 于点G .先用短尺量出,,,AE AF EG FG 的长，如果,,AE AF EG FG ==那么,CE CF =则符合要求，否则不符合要求.理由如下：因为,AE AF =所以△AEF 为等腰三角形.又,EG FG =所以EAG FAG ∠=∠.又,,AE AF AC AC ==所以△EAC ≌△FAC .所以CE CF =.15．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，,BE BF ⊥∴,AB CB ABC EBF =∠=∠=90°，∴,ABC EBC EBF EBC ∠-∠=∠-∠即,ABE CBF ∠=∠又∵,BE BF =∴△ABE ≌△CBF . （2）解：∵,90,BE BF EBF =∠=o∴45BEF ∠=o .又∵EBG ABC ABE ∠=∠-∠ =40°，∴85EGC EBG BEF ∠=∠+∠=o.。
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第十九章 四边形 19．2 特殊的平行四边形19．2．1矩形 第1课时（共2课时）课前预习篇1．矩形的定义：有一个角是__直角__的平行四边形叫矩形． 2．矩形的性质：（1）矩形的角的性质： 矩形的四个角都是直角 ． （2）矩形的边的性质： 矩形的对边平行且相等 ．（3）矩形的对角线的性质： 矩形的对角线互相平分且相等 ． 3．直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 ．典例剖析篇【例1】（2010辽宁丹东）如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF =EC ，DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．【解析】由矩形的性质四个角都是直角和题中的已知条件可得△AEF ≌△DCE ，所以AE=DC ．再通过矩形的周长可求出AE ．解：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中， 因为EF ⊥CE ， 所以∠FEC =90°， 所以∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°， 所以∠AEF =∠ECD ． 又∠F AE =∠EDC =90°．EF =EC所以Rt △AEF ≌Rt △DCE ． AE =CD ． AD =AE +4．因为矩形ABCD 的周长为32 cm ， 所以2（AE +AE +4）=32． 解得， AE =6 （cm ）． 【例2】（2009长沙）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝2，则矩形的对角线AC 的长是（ B ）A ．2B ．4C．D．B CA EDFOD CA B△DCE 是等边三角形，AB=OB ，O 是BD 的中点，所以BD=2OB=4． 【答案】 B基础夯实篇1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ C ） A ．对角相等 B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分 2．将四个相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积的和，则大矩形周长的值只能有（ C ） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种3．如图7是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是 ( B )A ．88 mmB ．96 mmC ．80 mmD ．84 mm 4．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是___先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等______． 5．（2010湘潭）长方形的周长为12cm ，长是宽的2倍，则长为 4 cm ． 6．（2009长春）如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 25 °．7．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知，AB=2．5，则AC 的长为__5_____．8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于E ，则： （1）图中与∠BAE 相等的角有____∠ADB ，∠DBC ，∠ACB ，∠DAC ______；（2）若∠AOB=60°，则AB ：BD ＝___1：2 ______．图中△DOC 是____等边_______三角形（按边分）．DA BCmlα 65°决胜中考篇9（2010哈尔滨）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 125 度．10（2010河池）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝4cm ，E 是DC 的中点，BF ＝14BC ，则四边形DBFE 的面积为 10 2cm ．11．（2010泰州）如图，四边形ABCD 是矩形，∠EDC =∠CAB ，∠DEC =90°． (1)求证：AC ∥DE ；(2)过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连接EF ，试判断四边形BCEF 的形状，并说明理由．证明：⑴在矩形ABCD 中，AC ∥DE ，所以∠DCA =∠CAB ，因为∠EDC =∠CAB ， 所以∠DCA =∠EDC ，所以AC ∥DE ； ⑵四边形BCEF 是平行四边形．理由：由∠DEC =90°，BF ⊥AC ，可得∠AFB =∠DEC =90°， 又∠EDC =∠CAB ，AB=CD ，所以△DEC ≌△AFB ，所以DE =AF ，由⑴得AC ∥DE ，所以四边形AFED 是平行四边形，所以AD ∥EF 且AD =EF ， 因为在矩形ABCD 中，AD ∥BC 且AD =BC ， 所以EF ∥BC 且EF =BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形．12．（2010中山）如图所示，在矩形ABCD 中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ，再以11A B 、1AC 为邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……依次类推． （1）求矩形ABCD 的面积；(2）求第1个平行四边形1OBB C 、第2个平行四边形111A B C C 和第6个平行四边形的面积． 解：（1）在Rt ABC △中，16BC ==， 1216192ABCD S AB BC ==⨯=矩形．(2）矩形ABCD ，对角线相交于点O ，4ABCD OBC S S ∴=△．四边形1OBB C 是平行四边形，11OB CB OC BB ∴∥，∥，11OBC BCB OCB B BC ∴∠=∠∠=∠，． 又BC CB =，1OBC B CB ∴△≌△，112962OBB C OBC ABCD S S S ∴===△，同理，111111148222A B C C OBB C ABCD S S S ==⨯⨯=，第6个平行四边形的面积为6132ABCD S =．第2课时（共2课时）课前预习篇1．矩形的判定方法：（1）利用定义进行判定：即有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）矩形判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．典例剖析篇【例1】（2010常州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．【解析】此题出现了平行四边形，且又有相等线段，可考虑先证明四边形ADCE是平行四边形，再证明对角线AC与DE相等，即可得出结论．证明：因为四边形ABDE是平行四边形，所以A E∥BC，AB=DE，AE=BD．因为D为BC的中点，所以CD=BD．所以CD∥AE，CD=AE．所以四边形ADCE是平行四边形．因为AB=AC，所以AC=DE．所以平行四边形ADCE是矩形．【例2】已知：如图所示，在□ABCD中，BE，CF，DG，AH分别为四个角的平分线，求证：四边形MNPQ为矩形．【解析】由于平行四边形邻角互补，由平分线可得角平分线的夹角为直角，所以可考虑用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以A D∥BC．所以∠DAB+∠ABC=180°．因为AH平分∠DAB，BE平分∠ABC，所以∠HAB=12∠DAB，∠ABE=12∠ABC，所以∠HAB+∠ABE=90°，所以∠AMB=90°，∠EMH=90°．基础夯实篇1．下列说法错误的是（ C ）A ．两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形B ．一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形C ．有一个角是直角的四边形是矩形D ．四个角都相等的四边形是矩形2．下列条件，能断定四边形是矩形的是（ D ） A ．对角相等 B ．对角线互相垂直C ．对角线互相垂直且相等D ．对角线互相平分且相等3．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ D ） A ． AB=CD B ． AD=BC C ． AB=BC D ．AC=BD4．(2009上海)在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，交点为O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 答案不唯一，如AC =BD ．5．矩形内有一点P 到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为 64 平方单位．6．(2010巴中)如图所示，已知□ABCD ，下列条件：①AC=BD ，②AB=AD ，③∠1=∠2，④AB ⊥BC 中，能说明□ABCD 是矩形的有 ①④ （填写番号）．7．如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AF 平分∠DAB ，过C 点作C E ⊥BD 于点E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF=FH ；②BO=BF ；③CA=CH ；④BE=3ED ，其中正确的（ D ）A ．②③B ．③④C ．①②④D ．②③④２１ＤＣＢAA B CD决胜中考篇8． (2009安顺)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连接BF ． (1） 求证：BD =CD ；(2） 如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论． 解：（1）因为A F ∥BC ，所以∠AFE =∠DCE ， 因为点E 是AD 的中点，所以AE=DE ．(3')AFE DCE AE DEAEF DEC AEF DEC ∠=∠⎧⎪=∴∆≅∆⎨⎪∠=∠⎩AF DC ∴=，AF BD = BD CD ∴=(2）四边形AFBD 是矩形AB AC =，D 是BC 的中点AD BC ∴⊥ ，90ADB ∴=∠AF BD =，AF BC ∥∴四边形AFBD 是平行四边形又90ADB =∠ ∴四边形AFBD 是矩形．9．如图，在□ABCD 中，E 、F 为BC 两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ．求证： （1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD 是矩形．证明：（1）因为BE＝CF ＋EF 所以BF ＝CE 又因为在平行四边形ABCD 中，AB ＝CD 所以△ABF ≌ △DEC （sss ）（2）由（1）知△ABF ≌ △DEC 所以 ∠B=∠C 又因为在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD 所以∠B+∠C=180° 所以∠C=90° 所以四边形ABCD 是矩形．10．(2010聊城)如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE （1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．解：（1）因为AD是等边△ABC的中线，所以∠CAD=∠BAD=300又△ADE为等边三角形，所以∠DAE =600所以∠CAE=∠DAE-∠CAD=600-300=300．（2）因为CF为等边△ABC的中线，所以CF⊥AB，又∠BAE=∠BAC+∠CAE=600+300=900．所以AE∥FC，因为AD、CF都是等边△ABC的中线，所以AD=CF，因为△ADE为等边三角形，所以AE=AD=FC，所以四边形AFCE是平行四边形．又∠AFC为直角，所以四边形AFCE是矩形11．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．①求证：EO=FO；②当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（1)证明：因为CE是∠BCA的平分线，所以∠BCE=∠ACE ．因为MN∥BC所以∠BCE=∠ACE=∠CEN得出EO=CO同理可得CO=FO所以EO=FO(2)当O是AC中点时,四边形AECF是矩形．证明如下：因为EO=FO=CO，根据矩形对角线相互平分，只有AO=FO=EO=CO，即AO=CO时，四边形AECF是矩形．所以O为AC的中点时，四边形AECF是矩形．。