2019-2020年高考数学二轮复习二倍角的三角函数教案

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2019-2020年高考数学复习第二轮解三角形专题复习教案

∴ a2+c 2-ac=1,
∴(a+c) 2 +3(a-c) 2=4,
∴ (a+c) 2 =4-3(a-c) 2 .
∵ 0≤ a-c<1 ∴ 0≤ 3(a-c) 2<3, ∴4-3(a-c) 2 ≤ 4,
2
即 (a+c) ≤ 4, a+c ≤ 2a+c>1,
1<a+c
≤ 2．
思维点拨：边角互化是解三角形问题常用的手段．
例４．已知⊙ O 的半径为 R，，在它的内接三角形 ABC 中，有
2R sin 2 A sin 2 C
2a b sin B 成立，求△ ABC 面积 S 的最大值．
解：由已知条件得
2
2R
sin 2 A
sin 2 B
2R sin B
2a b ．即有，
又
∴．
∴S
1 ab sin C
2
2 ab 4
由正弦定理 :,得 a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= [sinA+sin(120 °－ A)]=2sin(A+30 ° )，因为
0° <A<120 °，所以 30° <A+30 °<150 ° ,故 1<2sin(A+30 ° )≤ 2.
法二．∵ B=60° ,b=1 ，∴ a2+c2-b 2=2accos60 ° , ∴ a2+c2-1=ac,
S= pr = ( 其中 p=, r 为内切圆半径 ) 射影定理： a = bcosC + ccosB； b = acosC + ccosA； c = acosB + bcosA （二）例题分析：例 1．在Δ ABC 中，已知 a=,b=,B=45 °，求 A,C 及边 c．

高中高二数学二倍角的三角函数教案设计

高中高二数学二倍角的三角函数教案设计教案设计：高中高二数学二倍角的三角函数一、教学目标：1. 理解二倍角的概念，并掌握二倍角的性质。

2. 掌握二倍角的三角函数公式。

3. 能够运用二倍角的三角函数公式解决实际问题。

二、教学内容：1. 二倍角的概念和性质。

2. 二倍角的三角函数公式。

三、教学过程：步骤一：导入新知识1. 谈论平时的学习和应用中是否有用到过二倍角的概念和公式。

2. 引出本节课的学习内容：二倍角的三角函数。

步骤二：概念讲解和性质说明1. 给出二倍角的定义：在原角的基础上，角度扩大一倍后得到的角即为二倍角。

2. 分析二倍角的正弦、余弦、正切的性质，带入图像和具体数值进行说明。

步骤三：三角函数公式的推导与运用1. 讲解二倍角的三角函数公式的推导过程，并给出公式的表达形式。

2. 讲解公式中的特殊情况，如角度为0°、90°、180°等情况下的三角函数值。

3. 运用二倍角的三角函数公式解决一些实际问题，如角度为30°、45°、60°等情况下的三角函数值的计算。

步骤四：练习与巩固1. 设计一些针对二倍角的三角函数公式的练习题，让学生进行练习并互相交流解题方法。

2. 布置相关的课后习题，供学生进行巩固和拓展。

四、教学手段：1. 板书：绘制二倍角的三角函数公式推导过程和相关例题。

2. 多媒体：播放相关的视频和动画，引导学生更好地理解和掌握知识。

五、教学评价：1. 教师针对学生在课堂上的表现进行口头评价，并及时纠正和解答学生的问题。

2. 布置课后作业，检验学生对二倍角和三角函数公式的掌握情况。

六、教学延伸：可以设计更多的实际问题和练习题，帮助学生进一步巩固和应用二倍角的三角函数知识。

也可以引导学生研究更多二倍角的性质和相关公式。

高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计

高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计教学目标：1. 理解二倍角的概念和性质；2. 掌握二倍角的正弦、余弦和正切的性质；3. 能够运用二倍角的性质解决相关的数学问题。

教学重点：1. 二倍角的概念和性质；2. 二倍角的三角函数；教学难点：1. 运用二倍角的性质解决数学问题；2. 综合运用二倍角的三角函数。

教学过程：Step 1: 引入问题教师出示一个直角三角形ABC，其中∠B是直角，让学生找出有关B的正弦、余弦和正切的等式。

通过观察和推理，学生将发现sinB = BC/AB, cosB = AC/AB, tanB = BC/AC 等等。

Step 2: 介绍二倍角的概念教师向学生介绍二倍角的概念，即将角度倍增后的角，如2B。

Step 3: 二倍角的性质教师讲解二倍角的性质，包括：1. sin(2B) = 2·sinB·cosB；2. cos(2B) = cos^2B - sin^2B = 2·cos^2B - 1 = 1 - 2·sin^2B；3. tan(2B) = (2·tanB)/(1 - tan^2B)。

Step 4: 二倍角的正弦、余弦和正切教师向学生介绍二倍角的正弦、余弦和正切的公式，即1. sin(2B) = 2·sin(B)·cos(B)；2. cos(2B) = cos^2(B) - sin^2(B)；3. tan(2B) = (2·tan(B))/(1 - tan^2(B))。

Step 5: 示例演练教师通过示例演练，让学生掌握运用二倍角的三角函数进行计算的方法。

Step 6: 练习巩固教师布置一些习题，让学生运用二倍角的三角函数解决相关的数学问题。

Step 7: 拓展延伸教师拓展延伸二倍角的应用，例如在解三角方程、证明恒等式以及应用于几何问题等。

Step 8: 总结归纳教师与学生一起总结归纳二倍角的概念、性质和应用。

(完整版)《二倍角的三角函数》教案完美版

《二倍角的三角函数》教案教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律,让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用,培养学生的创新意识。

教学重点:二倍角公式的推导及简单应用。

教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间,我们共同探讨了和角公式、差角公式,今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的。

当两角相等时，两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα即：sin2α＝2sinαcosα（S2α)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ当α＝β时cos（α＋β）＝cos2α＝cos2α－sin2α即：cos2α＝cos2α－sin2α（C2α)tan（α＋β)＝错误!当α＝β时，tan2α＝错误!Ⅱ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可以变形为：cos2α＝2cos 2α－1或:cos2α＝1－2sin 2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠错误!＋kπ及α≠错误!＋错误! (k ∈Z )时才成立，否则不成立（因为当α＝错误!＋kπ，k ∈Z 时，tan α的值不存在;当α＝错误!＋错误!，k ∈Z 时tan2α的值不存在）.当α＝错误!＋kπ（k ∈Z ）时,虽然tan α的值不存在,但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式:即：tan2α＝tan2（错误!＋kπ）＝tan(π＋2kπ）＝tan π＝0 (2）在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：sin 错误!＝错误!≠2sin 错误!＝1；只有在一些特殊的情况下,才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k ∈Z )时，sin2α＝2sin α＝0成立］。

二倍角的三角函数教学设计

二倍角的三角函数教学设计教学目标：-了解二倍角的概念和性质-掌握二倍角的三角函数公式-能够应用二倍角的概念和公式解决相关问题教学内容：1.引入二倍角的概念：-引导学生回忆正弦、余弦、正切的定义与性质。

-引导学生思考，如何利用已知的正弦、余弦、正切求解二倍角的值。

-引入二倍角的定义：“将已知的角度再乘以2，所得到的角度就是二倍角”。

2.探索二倍角的性质：-提供一些具体角度的例子，引导学生尝试计算它们的二倍角。

-通过比较原角和二倍角的正弦、余弦、正切值，引导学生发现二倍角公式的规律。

- 总结得出二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ =cos^2(θ) - sin^2(θ)，tan2θ = 2tanθ / (1 - tan^2(θ))。

3.关联已学知识与二倍角的解题方法：-提供一些需要利用二倍角概念解决的实际问题，引导学生应用二倍角的公式进行求解。

-鼓励学生自己思考解题思路，并与同学讨论分享。

-指导学生如何将实际问题转化为数学问题，并运用二倍角的公式求解。

4.练习与巩固：-提供一系列练习题和应用题，让学生灵活掌握二倍角的应用方法。

-引导学生自行查找二倍角的公式，更加深入理解和掌握。

5.拓展与应用：-引导学生思考，如果已知二倍角的值，如何反推出原角的值。

-带领学生发现反二倍角公式的存在，并进行解释和证明。

-提供一些拓展题，让学生运用二倍角和反二倍角的公式解决更复杂的问题。

教学方法与策略：-情境导入法：通过引入实际问题，激发学生思考和探索的兴趣。

-合作学习法：鼓励学生进行小组讨论、合作解题，促进彼此思维碰撞和交流。

-探究式学习：通过引导学生发现规律，培养他们的发散思维和自主学习能力。

-提问引导法：引导学生通过思考和提问，主动参与到教学活动中。

教学过程安排：1.情境导入（10分钟）：- 提出一个实际问题，例如：“如果知道一个直角三角形的斜边长度为5cm，邻边长度为3cm，你能计算出这个直角三角形的角度吗？”-引导学生思考如何利用正弦、余弦、正切求解角度。

2019—2020年最新北师大版高中数学必修四二倍角的三角函数教案(精品教学设计)

二倍角的三角函数本节教材分析（1）三维目标①知识与技能：（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.②过程与方法：让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.③情感、态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.（2）教学重点公式的推导.倍角公式的应用.（3）教学难点二倍角公式与同角三角函数的综合应用。

（4）教学建议通过本节学习让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.①通过两角和的三角公式引导学生推导二倍角的公式并注意适用范围；②通过对公式结构特点观察记忆公式；③通过范例的应用，掌握公式中解题方法的应用；④结合同角关系灵活运用二倍角公式，并能推导半角公式。

2222222sin 22sin cos 1sin 2(sin cos )cos 2cos sin 1cos 22cos 1cos 21cos 212sin sin 2ααααααααααααααα=±=±=-+=-=-=-= 巩固训练新课导入设计导入一以复习与提出问题的方式引入新课，特别结合范例对二倍角要公式变形要熟练，体会二倍角公式在解题中的应用，同时注意三角函数化简求值过程对角、函数名变形基本原则化异为同的理解与应用。

2019-2020年高中数学 3.2 二倍角的三角函数教案2 苏教版必修4

2019-2020年高中数学 3.2 二倍角的三角函数教案2 苏教版必修4●三维目标 1．知识与技能(1)能用倍角公式推导出半角公式．(2)能运用三角函数的公式进行简单的恒等变换． (3)会用三角函数解决一些简单的实际问题． 2．过程与方法让学生由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法，通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用思维的能力．●重点难点重点：角的和、差、倍公式的综合应用．难点：运用所学公式解决简单的实际问题．(教师用书独具)●教学建议关于半角公式的教学教学时，建议教师从让学生回忆二倍角的三个余弦公式出发，提出问题“如何用角θ的三角函数值，表示角θ2的三角函数值”．在此基础上，让学生自主归纳探究，并总结出半角公式，然后结合半角公式的特点，师生共同总结出公式记忆方法，最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式．整个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出降幂公式与半角公式，并总结公式的特点及作用.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用降幂公式进行三角函数式的化简与证明的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用和、差、倍角公式研究函数的性质的解题方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握解决三角函数实际应用问题的思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.已知cos α的值，如何求sin α2的值？【提示】由cos α＝1－2sin 2α2得sin 2α2＝1－cos α2，∴sin α2＝± 1－cos α2.(1)降幂公式①sin 2α2＝1－cos α2；②cos 2α2＝1＋cos α2；③tan 2α2＝sin2α2cos2α2＝1－cos α1＋cos α.(2)半角公式①sin α2＝± 1－cos α2；②cos α2＝±1＋cos α2； ③tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsinα.【思路探究】此式中出现了θ＋15°，θ－15°与2θ，要达到角的统一，需将角θ＋15°，θ－15°向角2θ进行转化，因此，可考虑降幂公式．【自主解答】 cos 2(θ＋15°)＋cos 2(θ－15°)－32cos 2θ＝1＋cosθ＋2＋1＋θ－2－32cos 2θ ＝1＋12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－32cos 2θ＝1＋12(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°＋cos 2θcos 30°＋sin 2θsin 30°)－32cos 2θ ＝1＋12×2cos 2θcos 30°－32cos 2θ＝1＋32cos 2θ－32cos 2θ＝1.1．应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”．2．三角函数式的化简，一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手，常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法，达到化简的目的．如将本例改为“sin 2(θ＋15°)＋sin 2(θ－15°)＋32cos 2θ”，如何化简？【解】原式＝1－θ＋2＋1－θ－2＋32cos 2θ ＝1－12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋32cos 2θ＝1－12()2cos 2θ·cos 30°＋32cos 2θ＝1－3cos 2θ＋3cos 2θ＝1.求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈[π4，7π24]的最小值，并求其单调减区间．【思路探究】化简f x 的解析式→fx ＝A ωx ＋φ＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x＝33＋4(32cos 2x －12sin 2x )＝33＋4(sin π3cos 2x －cos π3sin 2x )＝33＋4sin(π3－2x )＝33－4sin(2x －π3)，∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4. ∴sin(2x －π3)∈[12，22]．∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin(2x －π3)在[π4，7π24]上单调递增，∴f (x )在[π4，7π24]上单调递减．1．研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质． 2．对三角函数式化简的常用方法： (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝b a)，化同名函数．(xx·济宁高一检测)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在(0，π3]上的最小值与最大值．【解】 (1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3＝cos 2x ＋3sin 2x ＋4＝2sin(2x ＋π6)＋4.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵0＜x ≤π3，∴π6＜2x ＋π6≤5π6，当x ＝π3时，2x ＋π6＝5π6，函数f (x )取得最小值为5.当x ＝π时，2x ＋π＝π，函数f (x )取得最大值为6.点P α，问α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？【思路探究】首先根据题意画出图形，然后根据圆的几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角函数的形式，最后利用三角函数的性质解决．【自主解答】如图，∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°， PA ＝cos α，PB ＝sin α. 又PT 切圆于P 点，∴∠TPB ＝∠PAB ＝α，∴S四边形ABTP＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin2α＋1－cos 2α4＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14. ∵0＜α＜π2，∴－π4＜2α－π4＜3π4.∴当2α－π4＝π2，即当α＝3π8时，四边形ABTP 的面积最大，最大为1＋24.解决实际问题时，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数的关系式，再利用三角变换、三角函数的性质等进行求解．一般地，求最值的问题需利用三角函数的有界性来解决．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积为________．【解析】如图，连结OC ，设∠COB ＝θ，则0°＜θ＜45°，OC ＝1， ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－BC ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos(2θ－π4)－12，当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)， ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2. 【答案】2－12m 2三角函数式化简时忽视角的范围致误已知3π2＜α＜2π，化简12＋12 12＋12cos α. 【错解】 12＋1212＋12cos α ＝12＋121＋cos α2＝12＋12cos2α2＝ 12＋12cos α2＝ 1＋cosα22＝cos2α4＝cos α4. 【错因分析】上述错解在于运用倍角公式从里到外去根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．【防范措施】应根据三角函数式的值的符号去掉绝对值，因此在去掉三角函数式的绝对值符号时，要注意角的范围问题．【正解】 12＋1212＋12cos α ＝12＋12 1＋cos α2 ＝ 12＋12cos2α2＝12＋12|cos α2|. 因为3π2＜α＜2π，所以3π4＜α2＜π，所以cos α2＜0，所以原式＝12－12cos α2＝1－cosα22＝sin2α4＝|sin α4|. 因为3π2＜α＜2π，所以3π8＜α4＜π2，所以sin α4＞0，所以原式＝sin α4.(1)二倍角余弦公式变形用来升幂降幂，应灵活掌握：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2. (2)解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用．(3)对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理．由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入．1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为________．【解析】 ∵α∈(0，π)，∴α2∈(0，π2)，∴sin α2＝1－cos α2＝13＝33. 【答案】332．已知cos α＝－35，且π＜α＜3π2，则cos α2＝________.【解析】 ∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－1－352＝－55. 【答案】－553．已知tan α2＝3，则cos α＝________.【解析】由tan α2＝ 1－cos α1＋cos α＝3可得：1－cos α1＋cos α＝9，则cos α＝－45.【答案】－454．化简：＋sin θ＋cos θθ2－cosθ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．【解】原式＝θ2cos θ2＋2cos 2θ2θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ22θ2－cos 2θ2|cos θ2|＝－cos θ2cos θ|cos θ2|.∵0＜θ＜π，∴0＜θ2＜π2.∴cos θ2＞0.∴原式＝－cos θ.一、填空题1．sin π8＝________.【解析】 sin π8＝1－cosπ42＝ 1－222＝2－22. 【答案】2－222.－23＋43cos 215°＝________.【解析】原式＝－23＋43×1＋cos 30°2＝－23＋23＋23cos 30°＝33.【答案】333．5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝________.【解析】 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0.sin θ4＝－1－cosθ22＝－ 1－a2. 【答案】－1－a24．函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )的最小正周期为________．【解析】 f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1.故最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π5.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．【解析】原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. ∵54π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4. ∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4. 【答案】－2sin 46．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 2A ＋C 2－cos 2B ＝72，则角B 的度数为________．【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋C 2－cos 2B ＝72，得4·1－A ＋C 2－2cos 2B ＋1＝72，∴4cos 2B －4cos B ＋1＝0.∴cos B ＝12，B ＝60°.【答案】 60°7．(xx·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α的值是________．【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈(π2，π)，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈(π2，π)，∴α＝23π，∴tan 2α＝tan 43π＝tan(π＋π3)＝tan π3＝ 3.【答案】38．设f (x )＝1＋cos 2xπ2－x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________.【解析】 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4)＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝± 3. 【答案】 ± 3 二、解答题9．设π＜θ＜2π，cos θ2＝a ，求(1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin2θ4的值．【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴π2＜θ2＜π，又cos θ2＝a ，∴sin θ2＝1－cos2θ2＝1－a 2， ∴sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2a 1－a 2.(2)cos θ＝2cos 2θ2－1＝2a 2－1.(3)sin 2θ4＝1－cosθ22＝1－a 2.10．若π＜α＜3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.【解】 ∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0.∴原式＝sin α2＋cos α222|cos α2|－2|sin α2|＋sin α2－cosα222|cos α2|＋2|sin α2|＝sin α2＋cosα22－2sin α2＋cos α2＋sin α2－cosα222sin α2－cosα2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.11．(xx·山东高考)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin(2ωx －π3)．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin(2x －π3)．当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin(2x －π3)≤1. 因此－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.(教师用书独具)已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2β＝sin θcos θ，求证：2cos 2α＝cos 2β. 【思路探究】观察问题的条件和结论，发现被证的等式中不含角θ，因此从已知条件中消去角θ，问题即得证．【自主解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin α＝sin θ＋cos θ， ①sin 2β＝sin θcos θ. ② ①2－②×2，得4sin 2α－2sin 2β＝1.变形为1－2sin 2β＝2－4sin 2α，则有cos 2β＝2cos 2α.对于给定条件的三角恒等式的证明，常用的方法有直推法和代入法．将条件角转化为结论角后，由条件等式直接推到结论等式，就是直推法；有时从条件等式中解出关于某个角的某个三角函数值，代入结论等式便消去某个角，从而将问题转化为三角恒等式的证明问题，这就是代入法的基本思想方法．已知cos θ＝cos α＋cos β1＋cos αcos β，求证：tan 2θ2＝tan 2α2tan 2β2.【证明】 ∵1－cos θ1＋cos θ＝2sin2θ22cos2θ2＝tan 2θ2，同理有1－cos α1＋cos α＝tan 2α2，1－cos β1＋cos β＝tan 2β2，∴tan 2θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－cos α＋cos β1＋cos αcos β1＋cos α＋cos β1＋cos αcos β＝1＋cos αcos β－cos α－cos β1＋cos αcos β＋cos α＋cos β＝－cos α－cosβ＋cos α＋cosβ＝tan 2α2tan 2β2.2019-2020年高中数学 3.2 倍角公式和半角公式同步训练新人教B 版必修4知识点一：倍角公式 1.2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于 A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.122．log 2(sin15°cos15°)的值为A ．－1B .12 C ．2 D ．－23．(xx 全国高考Ⅱ，文3)已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于A ．－53 B ．－19C.19D.53 4．若cos2αα－π4＝－22，则cos α＋sin α＝__________. 5.tan π121－tan2π12＝__________.6．(xx 全国高考Ⅰ，文14)已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan2α＝__________.7．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．知识点二：半角公式8．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2等于A.105 B ．－105 C.155 D ．－1559．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为A.335 B.45C ．±35D ．±4710．已知sin θ＝35，5π2<θ<3π，那么tan θ2＋cos θ2的值为__________．11．(xx 全国高考Ⅱ，理13)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.12．已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α，β均为锐角，求cos β2的值．能力点一：利用倍角、半角公式求值、化简 13．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为A.103 B.53 C.23D ．－2 14.1＋cos100°－1－cos100°等于 A ．－2cos5° B ．2cos5° C ．－2sin5° D ．2sin5°15．函数y ＝2cos 2x 的一个单调递增区间是 A ．(－π4，π4) B ．(0，π2)C ．(π4，3π4)D ．(π2，π)16．化简1＋sin8θ－cos8θ1＋sin8θ＋cos8θ等于A ．tan2θB ．cot4θC ．tan4θD ．cot2θ17．已知α为锐角，且sin αcos α＝12，则11＋sin α＋11＋cos α＝__________.18．已知tan2α＝－22，且满足π4<α<π2，求2cos 2α2－sin α－12π4＋α的值．能力点二：倍角公式及半角公式的综合应用 19.已知x∈(－π2，0)，cosx ＝45，则tan2x 等于A.724 B ．－724 C.427 D ．－24720．cos π17·cos 2π17·cos 4π17·cos 8π17的值为__________．21．已知函数f(x)＝2cosx(sinx －cosx)＋1，x∈R .(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．22．(xx 天津高考，理17)已知函数f(x)＝23sinxcosx ＋2cos 2x －1(x∈R )．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos2x 0的值．23.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 前进30 m 至C 点，测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进10 3 m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．答案与解析1．B2．D 原式＝log 2(12sin30°)＝log 214＝－2.3．B cos(π－2α)＝－cos2α ＝－(1－2sin 2α) ＝－(1－2×49)＝－19.4.12 ∵cos2α＝cos 2α－sin 2α，sin(α－π4)＝22(sin α－cos α)， ∴cos2αα－π4＝cos 2α－sin 2α－22α－sin α＝cos α＋sin α－22＝－22. ∴cos α＋sin α＝12.5.36 原式＝12×2tanπ121－tan2π12＝12tan π6＝36. 6．－247 ∵α为第二象限角，sin α＝35，∴cos α＝－45.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－341－－342＝－247.7．解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cosx ＝2sinxcosx＝sin2x ，∴函数f(x)的最小正周期为π. (2)由－π6≤x≤π2，得－π3≤2x≤π.∴－32≤sin2x≤1，即f(x)的最大值为1，最小值为－32. 8．D ∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2，∴sin θ＝－1－cos θ2＝－155. 9．C ∵sin(π－θ)＝2425，∴sin θ＝2425，θ为第二象限角．∴cos θ＝－725.θ2为第一、三象限的角，∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝±35. 10．3－1010 cos θ＝－45，sin θ2＝－1－cos θ2＝－31010，cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1010，∴tan θ2＝3. ∴tan θ2＋cos θ2＝3－1010.11．－12 tan(π＋2α)＝－43，tan2α＝－43，∴2tan α1－tan 2α＝－43. ∵α是第二象限的角， ∴tan α<0.∴tan α＝－12.12．解：∵0<α<π2，∴cos α＝1－sin 2α＝513.∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π.∵sin(α＋β)<sin α，α＋β<α不可能， ∴π2<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－35.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－35×513＋45×1213＝3365.∴0<β<π2，即0<β2<π4.故cos β2＝1＋cos β2＝76565. 能力提升13．A 由3sin α＋cos α＝0，有tan α＝－13.∴1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝103. 14．C 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2s in(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin5°.15．D 16．C17．4－2 2 ∵sin2α＝2sin αcos α＝1，∴α＝π4.∴原式＝11＋22＋11＋22＝4－22，18．解：2cos 2α2－sin α－12π4＋α＝cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan αtan α＋1.又tan2α＝－22＝2tan α1－tan 2α2tan 2α－2tan α－22＝0.解得tan α＝－22或 2. 又π4<α<π2， ∴tan α＝ 2.原式＝1－22＋1＝22－3.19．D ∵x∈(－π2，0)，cosx ＝45，∴sinx＝－35.∴tanx＝－34.∴tan2x＝2tanx 1－tan 2x ＝－247. 20.116原式＝ π17sin π172π17·cos 4π17·cos 8π17sin π17＝sin16π1724sinπ17＝116.21．解：(1)f(x)＝2cosx(sinx －cosx)＋1＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)．因此，函数f(x)的最小正周期为π.(2)根据对f(x)在[π8，3π4]上的单调性进行研究，易知f(x)在[π8，3π8]上递增，在[3π8，3π4]上递减．又f(π8)＝0，f(3π8)＝2，f(3π4)＝2sin(3π2－π4)＝－2cos π4＝－1，故函数f(x)在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.22．解：(1)由f(x)＝23sinxcosx ＋2cos 2x －1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos 2x －1)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin(2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f(0)＝1，f(π6)＝2，f(π2)＝－1，所以函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x 0)＝2sin(2x 0＋π6)．又因为f(x 0)＝65，所以sin(2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]．从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin2＋π6＝－45.所以cos2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin(2x 0＋π6)sin π6＝3－4310. 拓展探究23．解：由已知得BC ＝30 m ，CD ＝10 3 m ，∠ABE＝θ，∠ACE＝2θ，∠ADE＝4θ，在△ABE 中，BE ＝AE·cot θ，在Rt△ACE 中，CE ＝AE·cot2θ，∴BC＝BE －CE ＝AE(cot θ－cot2θ)，同理可得CD ＝AE(cot2θ－cot4θ)．∴BC CD ＝θ－cot2θθ－cot4θ，即cot θ－cot2θcot2θ－cot4θ＝30103＝ 3.而cot θ－cot2θcot2θ－cot4θ＝cos θsin θ－cos2θsin2θcos2θsin2θ－cos4θsin4θ＝sin θsin θ·sin2θsin2θsin2θ·sin4θ＝sin4θsin2θ＝2cos2θ. ∴2cos2θ＝3θ＝32θ＝θ＝15°.∴AE＝12AC ＝12BC ＝15 m.答：θ的大小为15°，建筑物的高为15 m.。

数学《二倍角的三角函数》教案

数学《二倍角的三角函数》教案【教学目标】1. 了解二倍角的定义及常用公式；2. 能够用二倍角公式化简三角函数表达式；3. 掌握二倍角公式的应用及解题方法。

【教学重点】1. 二倍角公式的掌握；2. 用二倍角公式化简三角函数表达式。

【教学难点】1. 二倍角公式的应用；2. 解题方法的掌握。

【教学过程】一、导入新知识教师出示一个直角三角形，以及较短的直角边a和斜边c，问同学们能否利用已知数据求出三角函数的值。

引导同学们思考，指导同学们简化计算公式，然后利用正弦函数和余弦函数进行计算。

让同学们探究计算公式的规律，引出二倍角的定义及常用公式。

二、讲解二倍角公式1. 二倍角的定义：正弦函数和余弦函数的二倍角定义如下：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos2θ - sin2θ2. 二倍角的常用公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos2θ - sin2θtan2θ =2tanθ / (1 - tan2θ)三、练习1. 让同学们观察黑板上的三角函数式子，然后使用二倍角公式化简，答案给出后再验证是否正确；2. 让同学们根据已知三角函数值，计算出未知的三角函数值，使用二倍角公式化简和三角函数表达式的正负性基本思路进行计算；3. 介绍一些常见的二倍角法则练习。

四、解题方法1. 让同学们提高使用二倍角公式化简三角函数表达式的能力；2. 强化运用三角函数表达式的正负性，通过根据三角函数所在的象限，对三角函数进行分类，从而使化简后的结果更加准确；3. 展示一些实例，教导同学们如何利用二倍角公式进行解题。

【课堂总结】1. 总结二倍角公式的应用；2. 确认同学们是否掌握了二倍角公式的应用及解题方法；3. 布置作业并提醒同学认真完成。

2019-2020年高中数学 3.2 二倍角的三角函数教案1 苏教版必修4

2019-2020年高中数学 3.2 二倍角的三角函数教案1 苏教版必修4●三维目标1．知识与技能能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换．2．过程与方法通过公式的推导过程，使学生认识整个公式体系的形成过程，领会体现出的数学基本思想和方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观通过公式推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养学生辩证唯物主义观点．●重点难点重点：二倍角公式的推导及运用．难点：二倍角公式的灵活运用．(教师用书独具)●教学建议1．关于二倍角公式推导的教学教学时，建议教师先复习和角公式T(α＋β)，S(α＋β)，C(α＋β)，然后令α＝β，利用特殊化的推理方式，让学生自主推导出二倍角公式；在此基础上借助同角三角函数关系，引导学生得出C2α的其他两种形式．通过公式推导，让学生进一步体会公式间的密切联系，提高学生熟练应用公式解题的能力．2．关于二倍角公式应用的教学教学时，建议教师处理好以下两点：(1)强调“倍角”的相对性，打破学生习惯认为只有α与2α才具有二倍角关系．(2)通过例题教学让学生熟悉公式的正向、逆向和变形运用，特别是余弦公式的变式较多，教学中应适当通过题目强化训练．●教学流程创设问题情境，引出问题，如何用α的三角函数表示出sin 2α，cos 2α与tan 2α？⇒引导学生结合公式Sα＋β、Cα＋β及Tα＋β推导出倍角公式，并探究二倍角余弦公式的变形.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握灵活运用倍角公式进行求值的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用倍角公式解决给值求值问题的求解策略及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握三角函数式的化简方法及要求.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2.会借助同角三角函数的关系导出C 2α的另两种表示形式．(难点)3.能利用二倍角公式进行简单的化简、求值和证明．(重点)倍角公式【问题导思】1．如何利用两角和的正弦和余弦公式推导出sin 2α，cos 2α？【提示】 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α，即sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos(α＋α)＝cos 2α－sin 2α，即cos 2α＝cos 2α－sin 2α.2．如何利用两角和的正切公式推导出tan 2α？【提示】 tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α，即tan 2α＝2tan α1－tan 2α. (1)sin 2α＝2sin_αcos_α(S 2α)； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α).二倍角的余弦公式的变形【问题导思】你还能得到二倍角的余弦公式其他变形吗？【提示】利用sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α可变形为cos 2α＝2cos 2α－1或cos 2α＝1－2sin 2α.cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝1－2sin 2α.利用倍角公式求值(1)cos π8cos 3π8；(2)12－cos 2 π8； (3)tan π12－1tan π12；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.【思路探究】 (1)中两角互余，故可以转化为同角正余弦的积的形式．(2)中的角的倍角为特殊角，故可以用降幂公式解决．(3)式可化为正切倍角公式的形式．(4)中可用公式的变形：cos α＝sin 2α2sin α来解决．【自主解答】 (1)cos π8cos 3π8＝cos π8sin π8＝12sin π4＝24. (2)12－cos 2 π8＝12(1－2cos 2π8)＝－12cos π4＝－24.(3)tan π12－1tan π12＝tan 2π12－1tan π12＝－2·1－tan 2π122tan π12＝－2×1tan π6＝－233＝－2 3.(4)cos 20°cos 40°cos 80°＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·sin 160°2sin 80°＝18.1．解答本类题关键是抓住公式及其变形式的特征，观察分析题目中具有的与公式相似的结构特征，从而找到解题的切入点．2．对于倍角公式应做到灵活运用，即根据所给式子的特点构造出倍角形式，正用、逆用或变形用倍角公式进行化简和求值．求下列各式的值：(1)2tan 15°1－tan 215°； (2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.【解】 (1)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. (2)∵sin 10°sin 50°sin 70° ＝sin 20°sin 50°sin 70°2cos 10°＝sin 20°cos 20°sin 50°2cos 10°＝sin 40°sin 50°4cos 10°＝sin 40°cos 40°4cos 10°＝sin 80°8cos 10°＝18， ∴sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116.给值求值 (1)已知sin α＋cos α＝13，0＜α＜π，求sin 2α的值；(2)已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，tan(π－β)＝12，求tan(α－2β)的值．【思路探究】 (1)将已知等式两边平方，利用同角三角函数的基本关系求解；(2)已知α的余弦值和范围可求出tan α的值，利用诱导公式可求出tan β的值，然后利用倍角公式求出tan 2β的值，结合两角差的正切公式求解．【自主解答】 (1)sin α＋cos α＝13两边同时平方，得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，因为sin 2α＋cos 2＝1，所以2sin αcos α＝sin 2α＝－89.(2)由已知条件得sin α＝1－cos 2α＝1－－452＝35，tan α＝sin αcos α＝－34，由tan β＝－t an(π－β)＝－12得tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝－11－14＝－43，所以tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β＝－34－－431＋－34×－43＝724.对于给值求值问题，注意寻找已知式与未知式的联系，有以下两种解题方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．已知sin(π4－x )＝513，0＜x ＜π4，求cos 2xcos π4＋x的值．【解】原式＝sin π2＋2xcos π4＋x＝2sin π4＋x ·cos π4＋xcos π4＋x＝2sin(π4＋x )．∵sin(π4－x )＝cos(π4＋x )＝513，且0＜x ＜π4，∴π4＋x ∈(π4，π2)， ∴sin(π4＋x )＝1－cos 2π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.三角函数式的化简化简：1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α.【思路探究】本题主要考查二倍角公式的应用．基本思路是能化简成使该分式的分子与分母有公因式进行约分，解法有两种：一是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，cos 4α＝2cos 22α－1，cos 4α＝1－2sin 22α代入进行化简；二是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，1＋cos 4α＝2cos 22α，1－cos 4α＝2sin 22α代入进行化简．【自主解答】法一原式＝1＋2sin 2αcos 2α－1＋2sin 22α1＋2sin 2αcos 2α＋2cos 22α－1 ＝2sin 2αcos 2α＋sin 2α2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α.法二原式＝1－cos 4α＋sin 4α1＋cos 4α＋sin 4α＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α ＝2sin 2αcos 2α＋sin 2α2cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan 2α.1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 2．对三角函数式化简结果的一般要求： (1)函数种类最少； (2)项数最少； (3)函数次数最低； (4)能求值的求出值；(5)尽量使分母不含三角函数； (6)尽量使分母不含根式．化简：(1)11＋tan θ－11－tan θ； (2)2cos 2α－12tan π4－αsin 2π4＋α.【解】 (1)原式＝1－tan θ－1＋tan θ1＋tan θ1－tan θ＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ.(2)原式＝cos 2α2tan π4－αcos 2π2－π4－α＝cos 2α2tan π4－αcos 2π4－α＝cos 2α2sin π4－αcos π4－α＝cos 2αsin 2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.选择公式不恰当致误已知cos α＋sin α＝33(0＜α＜π)，求cos 2α的值．【错解】 ∵(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝13，∴sin 2α＝－23，∴cos 2α＝±1－sin 22α＝±53.【错因分析】利用二倍角公式的变形形式cos 2α＝±1－sin 22α时，忽略了α角的取值范围，导致错解．【防范措施】在三角恒等变换中，运用不同的公式有不同的解题过程，若在解题过程中选择恰当的公式，则能使解题过程更严密，不容易出错．【正解】 ∵(cos α＋sin α)2＋(sin α－cos α)2＝2，∴(cos α－sin α)2＝2－13＝53，∴cos α－sin α＝±153.∵cos α＋sin α＝33， ∴(cos α＋sin α)2＝13，sin αcos α＝－13.∵0＜α＜π且sin αcos α＝－13＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，∴cos α－sin α＝－153.∴cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－153×33＝－53.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；……又如α＝2·α2，α2＝2·α4，….(2)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(3)公式逆用异向转移，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α.1．计算1－2sin 2 22.5°的结果等于________．【解析】 1－2sin 2 22.5°＝cos 45°＝22.【答案】 222．(xx·济宁高一检测)已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x ＝________.【解析】 ∵x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－247.【答案】－2473．计算：(1)2sin 37.5°·cos 37.5°＝________； (2)sin 267.5°－cos 267.5°＝________；(3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝________. 【解析】 (1)2sin 37.5°cos 37.5°＝sin 75°＝6＋24.(2)sin 267.5°－cos 267.5°＝－cos 135°＝22.(3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15° ＝2－32.【答案】 (1)6＋24 (2)22 (3)2－324．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos π4＋x ·sin x的值．【解】 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx 21－tan2x 2＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos 2x －sin 2x222cos x －22sin x sin x＝cos x －sin x cos x ＋sin x cos x －sin x sin x ＝cos x ＋sin x sin x＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14.一、填空题1．cos 2π12－sin 2π12＝________.【解析】原式＝cos(2×π12)＝cos π6＝32.【答案】 322．计算sin 105°cos 75°的值为________．【解析】 sin 105°cos 75°＝sin(180°－75°)cos 75°＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝12sin 30°＝14. 【答案】 143．若sin α＝13，则cos 2α＝________.【解析】 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(13)2＝79.【答案】 794．若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________.【解析】由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22.【答案】 225．已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，则tan θ的值为________．【解析】由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2.又π＜2θ＜2π，则π2＜θ＜π，所以有tan θ＝－22.【答案】－226．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝________.【解析】 ∵tan θ2＝3，∴原式＝2sin 2θ2＋sin θ2cos 2θ2＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝tan 2θ2＋tanθ21＋tanθ2＝tanθ2＝3.【答案】 37．θ是第三象限角，sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ＝________. 【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59， ∴sin 22θ＝89，又θ为第三象限角， ∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ＝2sin θcos θ>0，∴sin 2θ＝223. 【答案】 2238．若sin 2α＝45，则tan 2α＋1tan 2α＝________. 【解析】 tan 2α＋1tan 2α＝sin 2αcos 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 4α＋cos 4αsin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α2－2sin 2αcos 2α14sin 22α＝1－12sin 22α14sin 22α ＝1－12×45214×452＝174. 【答案】 174二、解答题9．(xx·巢湖市质检)已知cos x ＝－255，x ∈(－π，0)． (1)求sin 2x 的值；(2)求tan(2x ＋π4)的值．【解】 (1)∵cos x ＝－255，x ∈(－π，0)，∴sin x ＝－55， ∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝45. (2)由(1)得，tan x ＝sin x cos x ＝12，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43， ∴tan(2x ＋π4)＝tan 2x ＋tan π41－tan 2x tan π4＝－7. 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α及tan α的值．【解】由题意得sin 22α＋sin 2αcos α＝1＋cos 2α＝2cos 2α，∴2sin 2αcos 2α＋sin αcos 2α－cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)， ∴cos α≠0，∴2sin 2α＋sin α－1＝0，即(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.∵sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12. ∵0＜α＜π2，∴α＝π6，∴tan α＝33. 11．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x＝2sin x cos x ＝sin 2x ，∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π， ∴－32≤sin 2x ≤1， ∴f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.(教师用书独具)求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A . 【思路探究】从左边入手，从角的构成看，化4A 为2A ，再化为A ，从函数名称构成看，化弦为切．从左、右两边的结构看，将左边分式化简为右边的整式形式．【自主解答】 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝(1－cos 2A 1＋cos 2A)2＝(2sin 2A 2cos 2A )2＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A .证明恒等式问题的两个原则：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、变换式子结构‘变量集中’”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 【证明】要证1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ，只需证1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. 上式：左边＝1－cos 4θ＋sin 4θ1＋cos 4θ＋sin 4θ＝2sin 22θ＋2sin 2θcos 2θ2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ＝2sin 2θsin 2θ＋cos 2θ2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝右边． ∴原等式成立．.。

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2019-2020年高考数学二轮复习二倍角的三角函数教案【考点概述】能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系示．【重点难点】：理解二倍角公式的推导，并能运用二倍角公式灵活地进行化简、求值、证明．知识扫描： 1．二倍角公式（1）二倍角的正弦：sin2＝．（2）二倍角的余弦：cos2＝ = = ．（3）二倍角的正切：tan2＝．注意：① 在二倍角的正切公式中，角是有限制条件的，即≠__ __，且≠__ __（k ∈Z）．② “倍角”的意义是相对的，如4是__ __的二倍角． 2．二倍角的余弦公式的灵活运用（1）升幂公式：1+cos2= ；1-cos2= . （2）降幂公式：cos 2= ；sin 2=3．二倍角公式是两角和公式的特例，其推导过程体现了特殊值的数学思想方法．【热身练习】1． = 。

2．函数f(x)=sin 2x 的最小正周期为。

3．已知，则= ． 4. 已知),2,2(,54sin ππαα-∈-=则的值为 . 5 .，则=________．【范例透析】【例1】已知,求的值。

【例2】求sin10sin30sin50sin70︒︒︒︒的值。

【变式拓展】求sin6°sin42°sin66°sin78°的值．【例3】已知函数2()2sin ()2.4f x x x π=- （1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围。

【例4】已知函数2()2cos cos f x x x x =+.(1) 求函数在上的值域；(2) 在△ABC 中，若()2,sin cos()cos()f C B A C A C ==--+，求的值．【变式拓展】已知点(sin ,cos 2sin ),(1,2),A B O θθθ-为坐标原点(1) 若O ，A ，B 三点共线，求的值； (2) 若OA =OB 且0＜＜π,求的值．巩固练习：1．函数的最小正周期是． 2．若sin+cos=，则sin2=____． 3．若，则cos2＝。

4．已知,则的值等于。

5．已知，则的值等于________． 6．函数22f x sin x sin x 44ππ=+--（）（）（）的周期和奇偶性分别是，。

7. 已知,,,.(Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 求的值.8. 已知点A （sin θ，-2）与B （1，cos θ）且OA ⊥OB ，其中θ∈ （1）求sin θ和cos θ的值；（2）若sin （θ-φ）=0＜φ＜求cos φ的值． 9. 已知cos 2,4sin 4k αππα=⎛⎫- ⎪⎝⎭<<,用k 表示sin-cos.10.若4sin 2x +6sin x -cos 2x -3cos x =0,则的值为.二倍角的三角函数参考答案【热身练习】1.答案：2. 答案：π3. 答案：4. 答案：5. 答案：【范例透析】例1解：.2571)53(21)4(cos 2)]4(2cos[22-=-=--=-αππα ,0)4cos(43447>--<-<-απππαπ且从而24sin[2()]2sin()cos(),44425πππααα-=--= .25031)]4(2sin[)]4(2cos[224)4(2cos )42cos(-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-∴παπαππαπα例2解：方法一原式=cos80cos60cos40cos20︒︒︒︒=1cos80cos 40cos 20sin 202sin 20︒︒︒︒⋅︒=。

方法二原式=sin 201sin100sin1402cos1022cos502cos70︒︒︒⋅⋅⋅︒︒︒=1cos70cos10cos50128cos10cos50cos7016︒⋅︒⋅︒⋅=︒⋅︒⋅︒。

【变式拓展】［解答］sin6sin42°sin66°sin78°=sin6°sin42°cos24°cos12°=°°°°sin12cos12cos24cos482cos 6==sin 48cos 48sin 96cos 61.8cos 616cos 616cos 616===例4【解】（1）()1cos(2)2sin 2212f x x x x x π=---=-+，最小正周期，递减区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈。

【巩固练习】1．答案：1 解析：由，∴． 2．答案：-解析：由可知 cos=。

而cos2=2 cos 2-1==-。

3．答案：解析：由得，，，。

4．答案：。

解析：本题是三角函数的化简求值问题，由题意知1sin cos 633ππαα⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22cos 2cos 22cos 1333πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=。

5．答案：周期为π的奇函数解析：()22-x 2cos 1222x cos 1x f ）（）（ππ--+-=）（）（22x cos 212-2x cos 21ππ+-= sin2x sin2x 21sin2x 21=+=。

例3. 解：（Ⅰ）因为,，又27cos 22cos 19ββ=-=-,所以。

（Ⅱ）根据（Ⅰ），得sin 3β== 而,且,所以cos()9αβ+==-故sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+=711()(933⨯--=。

［解答］（1） sin θ= （2） cos φ=［解答］∵22cos 2sin 42απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭= ∴sin α+cos α=-∴1+2sin αcos α=即2sin αcos α=.∴（sin α-cos α）2=1-2sin αcos α= 又＜α＜,∴sin α＞cos α. ∴sin α-cos α= ［答案］ .2019-2020年高考数学二轮复习二十平面解析几何作业专练2 文A. B.C. D. 1.与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是（）A. B. C.D.2.已知点在直线上移动，当取最小值时，过点引圆22111:242C x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的切线长等于（）A. B. C. D.3.圆关于直线对称,则的取值范围是( )A. B. C. D.4.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为( )A. B. C. D. 5.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（A ）（B ）（C ）（D ）6.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为和，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为( )A. B. C. D. 7.已知等差数列的前项和为，且，则过点和N *）的直线的斜率是（）A.4B.3C.2D.1一、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）8.已知圆221:(2)(1)10C x y -+-=与圆222:(6)(3)50C x y -+-=交于两点，则所在直线的方程为9.如图，在中，,,过作的外接圆的切线，,与外接圆交于点，则的长为__________10.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.11.平面上一机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是___________.二、解答题（本大题共2小题，共24分）12.知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.13.本小题满分14分。

如图，在平面直角坐标系中，点，直线,设圆的半径为，圆心在上。

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。

衡水万卷作业卷二十文数答案解析一、选择题15.A16.B17. A【解析】将直线绕原点逆时针旋转，得到直线，再向左平移1个单位，所得到的直线，即，选A.18.B19.A20.B21.C22.A 【解析】由题可知直线过圆心，故可得，又因，当且仅当时取等号。

故选A23.B 【解析】由题意可知，圆的圆心坐标是.半径是，且点位于该圆内，故过点的最短弦长（注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中心的弦），过点的最长弦等于该圆的直径，即，且，因此四边形ABCD的面积等于1122⨯=⨯=AC BD B.24.A25.A 【解析】设底边所在直线的斜率为k，依题意有，直线到底边所在直线的角等于底边所在直线到直线的角，因此有1(1)711(1)17---=+⋅-+kk k k，由此解得k=或k=3,结合图形分析可知,k>0,因此有k=3,选A.26.A二、填空题27.【知识点】圆与圆的位置关系.【答案】2x+y=0解析：两圆方程相减得：2x+y=0，所以AB 所在直线的方程为2x+y=0. 【思路点拨】当两圆相交时，两圆方程相减得公共弦所在直线方程.28.29.0或630.三、解答题31.解：由已知得圆M 的圆心为M （-1,0），半径;圆N 的圆心为N （1,0），半径.设知P 的圆心为P （x,y ）,半径为R.（I ）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以1212()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=.有椭圆的定义可知，曲线C 是以M,N 为左.右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左定点除外），其方程为221(2)43x y x +=≠-。

（II ）对于曲线C 上任意一点，由于，所以R2，当且仅当圆P 的圆心为（2,0）时，R=2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为；若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得.若l 的倾斜角不为90°，则知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则，可求得Q （-4,0），所以可设l:y=k(x+4).由l 于圆M 相切得，解得k=±。

当k=时，将y=x+代入，并整理得，解得1,22141877x AB x -±=-=所以. 当k=18=7AB . 综上，.32.解：（1）由得圆心C 为（3,2），∵圆的半径为∴圆的方程为：显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为，即 ∴∴∴∴或者∴所求圆C 的切线方程为：或者即或者（2）解：∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C 为（a,2a-4）则圆的方程为：[]1)42()(22=--+-a y a x又∵∴设M 为（x,y ）则22222)3(y x y x +=-+整理得：设为圆D ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上即：圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a由得由得终上所述，的取值范围为：。