数学推理

S1 具有（或不具有）性质 p S 2 具有（或不具有）性质 p
……
S n 具有（或不具有）性质 p S1 ∪ S 2 ∪ ∪ S n ⊂ S
S 类事物具有（或不具有）性质 p 不完全归纳推理仅列举了对象中的一小部分，前提和结论之间未必有必然的联系。因 此，由不完全归纳推理得到的结论不一定可靠,不能作为数学的证明方法。不过,它是强有 力的“发现”的方法,也就是说,它是发现新真理的方法。因此,不完全归纳法也应当在中学 数学教学、数学学习中广泛使用。 我们来看一个例子，对自然数列 1, 2, 3,4,……进行观察,你忽然发现: 10=3+7 12==5+7 20==3+17 并且看出它们的类似:等号左端都是偶数,而右端是两个奇素数。但是关于其余的偶数, 是否也可以得出同样的结论呢？2 和 4 都不行,而可以表为两奇素数和的第一个偶数是 6: 6=3+3 同样 8=3+5；14=3+11=7+7 等等,那么,是不是任何大于 4 的偶数都可以表为两奇素数和的形 式呢？ 这样,借助于归纳我们建立了一个猜想:这个猜想是对个别例子进行观察的结果；也许, 我们并不相信它,因为我们检验过的特例实在是太少了。但是数学家哥德巴赫在两百多年前
a>b AB∥CD b>C CD∥EF 所以，a>c 所以，AB∥EF 这里用的是传递关系推理。应当指出，有人把这种关系推理看作三段论是不对的。这 是因为表面看来，它似乎有三项：a、b、c，但三段论要求大前提中包含的项是大项（这里 应是 a） ；两个前提中所共有的、在结论中消失的项是中项（这里应是 b） ；小前提包含的项 是小项（这里应是 c） 。但是三段论还有一个重要的特性是结论中主项应是小项（即为 c） ， 而结论中的谓项应是大项（即为 a） ，而这里恰恰相反。 更为重要的是，三段论仅仅是对性质判断来说的，而这里涉及的是关系判断，且关系 判断无主、谓之分，硬用三段论来套是不恰当的。 2、归纳推理 通过观察和试验获得一定的实际材料,就可以进行归纳,从而作出初步的结论。古希腊 哲学家苏格拉底在他的著作中第一次提出归纳法是一种推理方法。人的认识是由低级到高 级的，这里包括两层意思，一是说认识由感性到理性，二是由个别到一般，有有限到无限。 归纳推理是由个别、特殊到一般的推理。根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围 是否相同，即归纳对象是否完备可分为不完全归纳推理和完全归纳推理。 （1）完全归纳推理 完全归纳推理（完全归纳法）是根据某类事物中每一个对象的情况，而作出关于该类 事物的一般性结论的推理。 如：
B 具有（或不具有）性质 P 类比法的形式比较简单，在数学发现中有着比如，数与式、平面与空间、相同与不等、 有限与无限之间等等，有不少定理、法则常常是先用类比法猜想，而后加以严格证明的。 例如，代数中的分式与算术中的分数具有很多相似的性质。由算术中分数的基本性质： “分数的分子和分母都乘以或除以不等于零的同一个数，分数的值不变。 ”用类比法可以猜 测分数的基本性质： “分式的分子和分母都乘以或除以不等于零的同一个代数式，分式的值 不变。 ” 类比法的前提和结论之间有着或然的联系。也就是说，当前提为真时，其结论可能为 真， 也可能为假。 例如， 在等式中， 有 a=b ⇒ ac=bc。 用类比猜测， 在不等式中 a>b ⇒ ac>bc。 显然，类比得到的结论是假的。因为，只有当 c>0 时，才能由 a>b 得到 ac>bc。在数学学习 中，学生还常把 sin（a+b）形式地与 a（b+c）相类比，错误地得出 sin（a+b）=sina+sinb。 类比结论的可靠度，依赖于两个或两类对象的共有属性。一般说来，共有属性愈多， 结论的可靠度也就愈大；共有属性愈是本质的，结论的可靠度也愈高。 用类比法得到的结论，虽然不一定都真实，但在人们认识活动中仍有它的积极意义， 科学上有不少重要的假说，是通过类比法提出来的；数学中有不少重要的发现是由类比法 先提供线索的；生产实践和科学实验中许多创造发明，也是受到类比法的启发。因此，类 比法仍不失为一种获得新知识的工具。
2
意自然数 n,其值都是质数的想法。但是这个结论当 n=16 时得到的是 16²+16+17=16×17+17=17² 为合数,因此结论是错误的。 在数学的历史上，就有过著名的数学家由于归纳的结论而得出错误的事实。例如,因为
2 2 + 1 形式的数,当 n=1, 2,3,4 时为质数,所以费尔马就假定了这种形式的数都是质数,可
完全归纳推理的形式为：
S1 具有（或不具有）性质 p S 2 具有（或不具有）性质 p
……
S n 具有（或不具有）性质 p S1 ∪ S 2 ∪ ∪ S n = S
S 类事物具有（或不具有）性质 p 完全归纳推理的前提判断中已对结论的判断范围全部作出判断，如果前提判断是真实 的则结论是完全可靠的，因此它可以作为数学的严格推理方法。例如，圆周角定理的证明, 就是分别证明了圆心在角的边上、在角的内部、在角的外部三种情况后，得到“定理得证” 的结论的。余弦定理的证明也用到了完全归纳法。 （2）不完全归纳推理（不完全归纳法）是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而 做出 关于该类事物的一般性结论的推理。 不完全归纳推理的推理形式为：
二、数学推理 1、演绎推理 演绎推理（演绎法）是从一般性较大的前提，推出一般性较小的结论的推理。简单地 说演绎推理是由一般到个别、特殊的推理。 演绎推理的前提和结论之间有着必然的关系。只要前提是真的，推理是合乎逻辑的， 就一定能得到正确的结论。因此，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。 演绎推理有多种形式，三段论、关系推理、联言推理、选言推理和假言推理等。我们 着重介绍一下数学中常用的一种演绎推理——三段论和关系推理。 （1） 三段论 三段论是由两个包含着一个共同项的性质判断而推出一个新的性质判断的推理。 如： 菱形是平行四边形 四边形 ABCD 是菱形 所以，四边形 ABCD 是平行四边形 任何一个三段论都是由三个性质判断所组成，两个是前提，一个是结论。 任何一个三段论都包含着三个项：小项、大项和中项。结论中的主项叫做小项，以“S” （四边形 ABCD） ； 结论中的谓项叫做大项， 以 “P” 表示 （平行四边形） ； 两个前提所共有的、 而在结论中消失的项叫做中项，以“M”表示（菱形） 。在两个前提中，含有大项的前提叫 大前提；含有小项的前提叫小前提。 在一个三段论中，只能有三个项，这是判断三段论推理是否正确的一个标准。因为， 在三段论中，大项与小项的关系是通过与中项的关系来确定。 三段论是基于下述公理的：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部 分也是什么或不是什么。换句话说，如果对一类事物的全部有所判定，那么对它的部分也 有所判定。 三段论公理可用图 5—8 表示：
是尤拉发现,当 n=5 时, 2
32
n
+ 1 就已经不是质数,它能被 641 整除。
不过,尽管使用归纳可能会得出错误的结论,但这不能成为否定归纳在数学教学中作用 的充分根据。理由是:第一,教学中,归纳的应用,其主要目的是在教师指导下引导学生学会 发现真理；第二,有必要使学生理解关于归纳的结论的似真特点。所以,应用归纳法时,其结 论只能是假定、假想,它如果为真,那就必须给予证明,如果为假,那就必须给予反驳。 3.类比推理 类比推理又称类比法，它是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其 它属性也相同的推理。简单地说，类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理的推理形式为： A 具有（或不具有）性质 F1 , F2 , F3 , Fn ，P； B 具有（或不具有）性质 F1 , F2 , F3 , Fn ；
就提出了这个猜想,即著名的哥德巴赫猜想。两百多年来,多少大数学家致力于研究它,然而 正如尤拉所说,仍然是 “已经知道的许多数的性质,但还不能证明” 也不能推翻的例子之一。 这个简单的例子说明了一个典型的归纳过程:首先我们发现了某些相似之处:10,12,20 都是偶数； 3,5,7,17 都是奇素数； 而且三个关系 10=3+7,12=5+7,20=3+17 也是类似的,左端 为右端的两项之和；其次是通过类比进行推测:从 10,12,20 推想到全部偶数，从 3，5，7， 17 推想到其它奇素数而得到一个共同关系： 偶数=素数+素数 尽管不能肯定这是真理,而只是一个猜想,但作为事实、经验的“交接点”,已经有了导 致真理的希望。作出猜想后,我们就要进一步检验它,若屡次检验,都没有推翻它,就会使我 们更加相信它。例如,我们用 60 来检验,60 是偶数,从最小的奇素数 3 开始: 60=3+素数 对吗？不对，60-3=57=3×19 不是素数,那么，再看奇素数 5 60=5+素数 对吗？同样不对,如果这样持续到最后,则猜想被推翻,但是 60=7+53 而 7 和 53 都是素数,可见,猜想对 60 是成立的。 如果是相反的结果,一下就可以推翻哥德巴赫猜想,但对于 60 证实了猜想,却不能就此 得出正面的结论,而只是可能成立的标志。系统地研究 6,8,10,……例如 100 就知道猜想对 它们都成立。这样我们可以把研究过的特殊情况分为两组,一组在猜想产生之前,另一组则 在产生之后,第一组起“引出”猜想的作用,第二组则“增强”这个猜想,它们都是猜想同事 实的“交接点”,但作用是不同的。 由于前提没有把一切可能的特殊情形都包括进来,所以归纳有可能产生错误的结论。例 如取 n=1, 2, 3…,15,计算 n + n + 17 的值,得到的都是质数,所以容易产生这个式子对任
M 1 —— P
平行四边形是多边形 （M2） （ M1 ）
M 2 —— M 1
菱形是平行四边形 所以，菱形是多边形
M 2 —— P
（S ） 四边形 ABCD 是菱形
S —— M 2
P 所以，ABCD 是多边形 S 当然还有更多的三段论连接在一起。 三段论有简略形式，有的是略去大前提，有的是略去小前提；有的是略去结论。这里 限于篇幅不再详细介绍了。 （2） 关系推理 在数学中还有一种用得较多的推理就是关系推理。 关系推理是根据对象间关系的逻辑性质（对称性、传递性等）进行推演的推理。关系 推理的前提与结论必须是关系命题。但前提与结论中包含有关系命题的却不一定是关系推 理， 只有前提和结论都是关系命题， 并且是根据关系的逻辑性质进行推演的才是关系推理。 关系推理分为直接关系推理和间接关系推理。 直接关系推理是从一个关系判断推出另一个关系判断的关系推理(它属于直接推理)。 常见约有:根据对称关系进行推演的对称关系推理，即 aRb 所以，bRa 如：A=B，所以 B=A；AB∥CD，所以 CD∥AB 等。这里“相等” 、 “平行”等关系都有对称 性质，据此可进行推理。 间接关系推理。从两个关系命题推出一个新的关系命题的关系推理称为间接关系推理。 常见的有:传递关系推理。指根据传递关系的性质进行推演的关系推理，即 aRb bRc 所以，aRc