7.3图的矩阵表示

数。
a
k 1 i 1
n
m
(k ) ii
可达矩阵:
设有向图D＝<V,E>,V＝{v1,v2,…,vn},
Pij= 1，vi可达vj
0，vi不可达vj
规定Vi到vi可达，即是P ii=1 记, 称P(D)为D的可达矩阵。
P( D) ( Pij ) nn
例如
其可达矩阵是： v1 e2 e1 e5 e6 e3 v4 e4
1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 1 2 3 3 3 2 2 3 4 4 5
0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0
为零，就形成了D的可达矩阵。
最短路径和关键路径问题
无向图G＝<V,E>中,对于G的任意一条 边,都给以一个实数与之对应，——ω ij ， 称为边的权,每边均带有权的图称为带权图, 记为G=<V,E,ω >,其中ω 是权的集合。 在实际应用中,权的含义可以是:距离、 费用、容量、流量、工时等。
一、最短路问题:
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
v4 e7
e4
e3
v1 1 v3 0 v2 M (G ) v3 0 v 4 1
1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 47
无向图的关联矩阵的特点(续上例)
e1 e 2 e3 e4 e5 e6 e7
v1 1 v2 0 M (G ) v3 0 v 4 1
1 0 0 0 0 0 1、每一行的和是该结点 1 1 0 0 1 1 度数； 0 1 1 0 0 0 2、所有的行的和=2m， 0 0 1 2 0 0 47 即是结点的度数之和为2m；
3、如果其中一行之和为 0，则该结点是孤立点； 4、若有两列完全相同， 则该两结点是平行边。
第7章
7.3 图的矩阵表示
无向图的关联矩阵
给定无环无向图 D=<V,E>，V={ v1,…,vn },E={ e1,…,em }, 定义一个n×m阶矩阵。 M(D)=（mij）n×m,其中mij=结点vi与边ej关 联的次数。 则称M(D)为D的关联矩阵
e5
v1
e2 v2
e1
Байду номын сангаасe6
无向图关联 矩阵举例
1)有向图的邻接矩阵未必
是对称的。
2)每行和等于对应点的出
0 0 1 度,每列和等于对应点的入 0 0 1 度。 1 1 0 1 1 1 3) 所有元素和等于图的边
数,即长度为1的通路条数。
对有向图的邻接矩阵求乘积
v1 0 v 2 1 A( D ) v3 0 v4 0 0 1 A( D ) 2 0 0
e1 e 2 e3 e4 e5 e6
v1 1 0 v2 M (G ) v3 0 v4 1
终点,元素和为零。
1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1
1)每列元素中有一个1和一个-1,对应一个始点, 一个
可以看出，无向图的关 联矩阵的特点是：
有向图的关联矩阵
定义:给定无环有向图
D=<V,E>，V={ v1,…,vn },E{ e1,…,em },
定义一个n×m阶矩阵。 M(D)=（mij）n×m,其中
1,结点v是边e的始点。
Mij=
0,结点v与边e不关联。
-1，结点v是边e的终点。
则称M(D)为D的关联矩阵。
在带权图中给定结vi和vj,在vi到vj所有 通路中,各边权和最小的通路称为vi从vj到 的最短路,该最短路的各边权和称为vi到vj 的距离,记为d(vi,vj)。 最短问题,在实际中可应用于铁路的铺设, 运输的 最小费用,线路的安排,工序统筹安排时间 的最小等。
在文件“有向图的矩阵中”
例如
v1 v4
该图的邻接矩阵是：
v1 v2 v3 v4
v2
v3
v1 0 v 2 1 A( D ) v3 0 v4 0
0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1
特点:
v1 0 1 v2 A( D ) v3 0 v4 0
v1 v 2 v3 v4
有向图关联矩阵举例
v1 e2 v2 e1 e5 e6 e3 v4 e4
v1 1 0 v2 M (G ) v3 0 v4 1
v3
e1 e2
e3
e4 e5
e6
1 0
0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0
有向图的关联矩阵的特点(续上例)
v1 v2 v3
0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 1 0 2 2 2 0
v4
v1
v4 v3
v2
2) 每行元素的绝对值之和为对应点的度数。 -1的个数等于入度,1的个数等于出度。 3)在M(D)中所有元素的和等于零。
有向图的邻接矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,…,vn}。 令aij是vi邻接vj的边的数目,(即从vi到vj的
有向边的条数,是指从vi指向vj的边)则称为
D的邻接矩阵,记为A(D)。
aij
m
(n)
aij(n)中的i和j，以及n求和，得到G中所有长度≤n的路径的 条数；
k 1 i 1, j 1 对角线上的aii(n)是vi到自身的回路数；
a
n
m
(k )
ij
对aii(n)中的i求和，得到G中所有长度为n的回路条数；
a
i 1
m
(n) ii
对aii(n)中的i，以及n求和，得到G中所有长度≤n的回路条
v2
v3
1 1 P( D) 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 44
求可达矩阵的方法:
设D有n个结点,令 B ( D) A( D) A( D) 2 A( D) n n 将中所有不为零的元素改为1,对角元素也
改为1,(因vi到自身也是可达的),Bn的零元仍然
0 0 A( D) 3 A( D) 2 A( D) 1 1
结论：A(D)n中的数值表示长度为n的路径的条数。
关于A(D)n
A(D)n（n>0）中的数值aij(n)表示从vi到vj的长度为n的路径 的条数；
i 1, j 1 (n)中的i和j求和，得到G中所有长度为n的路径的条数； 对aij