联系小学统计知识,理解初中统计概念 ——《方差和标准差》衔接教学案例
《标准差与方差》数学教案设计
《标准差与方差》数学教案设计一、教学目标1.理解方差的定义和性质，掌握方差的意义和应用。
2.学会计算数据的方差和标准差。
3.培养学生运用统计方法解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1.重点：方差和标准差的定义及计算方法。
2.难点：方差的意义和在实际问题中的应用。
三、教学准备1.教学课件或黑板。
2.数据表格、计算器等教学工具。
四、教学过程一、导入新课（1）引导学生回顾平均数的定义和计算方法。
（2）提出问题：平均数能否完全反映一组数据的特征？为什么？（3）引导学生思考，为引入方差和标准差的概念做铺垫。
二、新课讲解1.讲解方差的定义和性质（1）通过实际例子，让学生感受数据波动的大小。
（2）引导学生理解方差是衡量数据波动程度的统计量。
（3）讲解方差的计算公式和性质。
2.讲解标准差的定义和性质（1）介绍标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
（2）讲解标准差的计算公式和性质。
3.讲解方差和标准差的意义（1）通过实际例子，让学生感受方差和标准差在数据分析中的作用。
（2）引导学生理解方差和标准差在描述数据分布特征方面的重要性。
三、案例分析1.分析案例一：某班学生的数学成绩（1）给出学绩的数据表格。
（2）引导学生计算平均数、方差和标准差。
（3）让学生讨论：哪个统计量更能反映这组数据的特征？2.分析案例二：某地区气温变化（1）给出某地区气温变化的数据表格。
（2）引导学生计算平均数、方差和标准差。
（3）让学生讨论：如何利用方差和标准差分析气温变化的规律？四、巩固练习1.学生独立完成课后练习题。
2.教师对学生的答案进行点评和讲解。
五、课堂小结2.强调方差和标准差在数据分析中的应用。
六、作业布置1.学生完成课后作业。
2.教师批改作业，了解学生的学习情况。
七、教学反思1.本节课教学效果如何？哪些地方需要改进？2.学生对方差和标准差的理解是否到位？如何提高学生的理解能力？3.在今后的教学中，如何更好地运用案例教学，提高学生的学习兴趣和积极性？八、教学延伸1.引导学生了解其他统计量（如偏度、峰度等）的定义和作用。
方差和标准差教案浙教版(教案)
《方差和标准差》教课设计〖教课目的〗◆、认识方差、标准差的观点.◆、会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的失散程度．◆、能用样本的方差来预计整体的方差．◆、经过实质情形，提出问题，并追求解决问题的方法，培育学生应用数学的意识和能力．〖教课要点与难点〗◆教课要点：本节教课的要点是方差的观点和计算。
.◆教课难点：方差如何表示数据的失散程度，学生不简单理解，是本节教课的难点.〖教课过程〗一、创建情形，提出问题甲、乙两名射击手的测试成绩统计以下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲命中环数乙命中环数①请分别算出甲、乙两名射击手的均匀成绩；②请依据这两名射击手的成绩在图中画出折线图；二、合作沟通，感知问题请依据统计图，思虑问题：①、甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的均匀成绩比较，哪一个偏离程度较低？②、射击成绩偏离均匀数的程度与数据的失散程度与折线的颠簸状况有如何的联系？③、用如何的特点数来表示数据的偏离程度？能否用各个数据与均匀的差的累计数来表示数据的偏离程度？④、能否可用各个数据与均匀数的差的平方和来表示数据的偏离程度？⑤、数据的偏离程度还与什么有关？要比较两组样本容量不同样的数据的偏离均匀数的程度，应如何比较？三、归纳总结，得出观点1、依据以上问题情形，在学生议论，教师增补的基础上得出方差的观点、计算方法、及用方差来判断数据的定性。
2、方差的位和数据的位不一，引出准差的观点。
（注意：在比两数据特点，取同样的本容量，算程可借助数器）3、要挑一名射手参加比，你挑哪一位比适合？什么？（个没有准答案，要依据比的详细状况来剖析，作出）四、用观点，稳固新知1、已知某本的方差是，个本的准差是。
2、已知一个本，，，，，其均匀数是，个本的准差是。
3、甲、乙两名士在射中，打靶的次数同样，且中的均匀数甲乙，假如甲的射成比定，那么方差的大小关系是甲乙14、已知一个本的方差是[ （—）（—）⋯（—）] ，个本的均匀数是，本的容量5是。
(完整版)方差和标准差教案
方差和标准差教材分析本节课选自浙教版八年级数学上册第四章第四节，主要内容是方差和标准差。
是在学习了如何抽样与抽样调查中所涉及到的概念，和用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。
节课是七年纪上册“数据与图表”内容的延续，用统计量来反映数据的特征和变化，在日常生活和实际生产中有着广泛的应用。
学情分析本节课的授课对象是八年级学生，他们正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，注意力水平不高，在教学中需要采用启发式教学。
在知识上，我们已经接触过统计方面的知识，有助于本节课的学习。
教学目标知识与技能：1、了解方差，标准差的公式的产生过程。
2、掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
3、能通过实例学会用样本方差分析总体方差，用方差公式来分析数据离散程度。
情感态度价值观：1、通过合作交流，以面对面的互动形式，培养良好的团队合作精神，感受集体的力量。
2、以具体的例子出发，体会数学来源于生活，生活离不开数学，从来增加学习数学的兴趣。
教学重难点重点：方差和标准差的概念、计算及其运用。
难点：方差和标准差的计算及运用。
方差是各变量值相对于平均数的离差平方的平均数。
教学方法采用情景探究、小组合作，实施启发式教学。
教学手段以“教师为主导，学生为主体，探索为主线，思维为核心”的教学思路，采用矛盾冲突教学方法，加以多媒体的使用，充实了教学内容，通过师生合作，生生合作以及学生自身的独立思考，探索获得方差的公式和标准差的合理出现。
教学过程一、创设情景引出课题师：同学们，谁看过射击实况转播？相信绝大多数同学都看过，今天老师要让你们自己想办法解决有关射击的问题。
问题一、为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，学校决定对选拔方案进行招标。
如果你参与竞标，那么你将设计什么方案？生：让甲、乙二人在相同的条件下各射靶10次，选拔平均环数较多的学生。
师：这个方案不错。
可是如果两人的平均环数一样，怎么办？生：再比一次。
方差与标准差教案
方差与标准差教案一、教学目标知识与技能：1. 理解方差的概念，掌握计算一组数据方差的方法。
2. 理解标准差的概念，掌握计算一组数据标准差的方法。
过程与方法：1. 通过实例分析，引导学生探究方差和标准差的计算方法。
2. 利用数学软件或calculator 计算一组数据的方差和标准差。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数据的敏感性，提高学生分析数据、处理数据的能力。
2. 培养学生团队协作精神，提高学生沟通交流能力。
二、教学重点与难点重点：1. 方差的概念及其计算方法。
2. 标准差的概念及其计算方法。
难点：1. 方差、标准差的计算公式的推导。
2. 利用数学软件或calculator 计算一组数据的方差和标准差。
三、教学过程1. 导入：通过一组数据的波动情况，引发学生对数据波动性的思考，进而引入方差和标准差的概念。
2. 新课讲解：讲解方差和标准差的定义、计算方法，并通过实例进行分析。
3. 课堂互动：学生分组讨论，每组选取一组数据，计算其方差和标准差，并交流计算过程中的心得体会。
4. 练习巩固：布置适量练习题，让学生独立完成，检验对方差和标准差的理解和掌握程度。
四、课后作业2. 选择一组数据，计算其方差和标准差，并与同学进行交流。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对方差和标准差的理解和应用能力。
关注学生在课堂上的参与程度，激发学生的学习兴趣，提高教学质量。
六、教学策略与方法1. 采用案例分析法，通过具体实例让学生深入了解方差和标准差的概念及计算方法。
2. 利用数学软件或计算器，让学生亲自动手计算方差和标准差，提高实践操作能力。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
4. 运用对比分析法，引导学生对方差和标准差进行深入理解，并掌握它们之间的关系。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论中的表现。
标准差与方差的实际背景教案：探索其来源与发展
【导言】在统计学中，方差和标准差是重要的概念。
作为常用的两种统计量，它们在众多领域中都有广泛的应用。
然而，它们的发展不是一蹴而就的。
本篇文章将带大家探索方差和标准差的来源与发展，具体内容如下。
【正文】一、方差的来源与发展1.1、方差的定义方差是衡量数据分散程度的一种统计量。
它是对每个数据值与其平均数之差的平方进行求和后再除以总数的一种计算方法。
用数学公式来表达，可表示为：s² = [∑(Xi - X)²] / N其中，s²表示样本方差，Xi表示第i个数据值，X表示样本平均数，N表示样本总个数。
1.2、方差的历史方差的概念最早出现于18世纪的数学家勒让德的研究中。
他是法国数学家，同时也是牛顿之后最著名的科学家之一。
他在研究天体物理学时，提出了一种新的概念——“误差”，并用方差来度量这种误差的大小。
在19世纪，另一位著名的数学家高斯对方差进行了深入研究。
他进一步阐明了方差的重要性，并引入了正态分布曲线，使得方差得以在统计学中得到广泛应用。
1.3、方差的应用方差是衡量数据分散程度的重要参数，它在实际应用中有广泛的应用。
以下是方差的几个主要应用场景：（1）地震学在地震学中，方差被用于研究地震波的强度和频率。
它可以帮助科学家预测地震的危险等级，并指导人们制定相应的救援措施。
（2）金融学在金融学领域，方差被用于评估投资组合的风险。
基于方差，投资者可以更准确地控制风险，并推出更适合的投资策略。
（3）生物学在生物学领域，方差被用于研究生物种群的多样性和生存能力。
它可以帮助科学家评估生物种群的健康状况，并揭示其在环境变化下的适应能力。
二、标准差的来源与发展2.1、标准差的定义标准差是衡量数据分散程度的另一种统计量。
它是方差的平方根。
数学公式如下：s = √s²其中s表示样本标准差。
3.2、标准差的历史标准差最早由英国统计学家Karl Pearson提出，目的是帮助研究人员比较均值的差异。
2、2、2、2标准差、方差学案
2、2、2、2标准差、方差教案讲义编写者：数学教师孟凡洲平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.一、【学习目标】1、理解标准差、方差的真正含义；2、会用标准差、方差解决简单的题目.二、【自学内容和要求及自学过程】 阅读教材内容，回答问题（标准差、方差） <1>什么是样本平均值？<2>什么是样本标准差和方差？ 结论：<1>样本平均值：nx x x x n+++=21<2>样本标准差：nx x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-==小知识帮您解决大问题1o 用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差.在随机抽样中，这种偏差是不可避免的.虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息.2o ①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变.②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍.③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(s x s x +-的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理.三、【综合练习与思考探索】例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.结论：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.3625.34 25.42 25.45 25.38 25.4225.39 25.43 25.39 25.40 25.4425.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.4725.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?结论：每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值.用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性.例3、甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单2结论：甲品种的样本平均数为10,样本方差为［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02.乙品种的样本平均数也为10,样本方差为［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24.因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.练习题：①在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.②若给定一组数据x1,x2,…,x n,方差为s2,则ax1,ax2,…,ax n的方差是____________.③在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：试判断选谁参加某项重大比赛更合适？④某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.⑤某课外活动小组对该市空气含尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位3M G )（1）求出这组数据的众数和中位数？（2）若国标（国家环保局的标准）是平均值不得超过0.0253M G ；问这一天城市空气是否符合标准？⑥从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？结论：①9.5,0.016 ②a 2s 2③甲x ＝33，乙x ＝33，33734722=>=乙甲s s ,乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.④这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x 条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a 条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则鱼塘中鱼的总条数鱼的条数鱼塘中所有带有标记的条鱼中带有标记的条数)(x a a =这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入.⑤（1）由题知众数是0.03，中位数为0.03；（2）这一天数据平均数是∵ 0.03>0.025∴ 这一天该城市空气不符合国标.⑥分析：看哪种玉米的苗长得高，只要比较 甲、乙两种玉米的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数.（1）-甲X =101（25+41+40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42）＝30；－乙X =101（27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40）＝31，-甲X <－乙X （2）可运算 2S 甲＝104.2，2S 乙＝128.8∴ 2S 甲<2S 乙所以乙种玉米苗长得高，甲种玉米的苗长得齐. 四、【作业】1、必做题：习题2.2A 组4、5、6、7,B 组1、22、选做题：某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）. 五、【课后练习】 一、选择题1. 下列说法正确的是：(A)甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样(B)期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好(C)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好(D)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好 2. 一组数据的方差是2s ，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是（ ）Ａ. 22s ； Ｂ. 22s ； Ｃ．24s ； Ｄ．2s二填空题3. 如果14：有6个数4，x , －1 ,y , z 6,它们的平均数为5，则x,y,z 三个数的平均数为___________________4、数据12n x x x ⋅⋅⋅，，的平均数为x ，方差为2s 中位数为a ，则数据1233n x x x ⋅⋅⋅+5，3+5，+5的平均数、标准差、方差、中位数分别为____________________三、解答题5．下面是两个学生的五次英语测试成绩：试用平均数与方差分析两位同学的英语成绩，并说明那一位同学的英语成绩比较稳定？。
初中数学知识归纳方差与标准差的概念和计算
初中数学知识归纳方差与标准差的概念和计算方差与标准差是初中数学中重要的统计学概念。
它们代表了一组数据的离散程度，对于分析和比较数据的差异非常有用。
本文将详细介绍方差与标准差的概念，并给出计算方法和实际应用示例。
一、方差的概念和计算方法方差是一组数据平均值与各个数据之间差异的平方的平均值。
它可以衡量数据的离散程度。
方差的计算公式如下：方差= (∑(xi-平均值)²)/n其中，xi代表数据中的每一个数值，平均值是数据的平均值，n是数据的个数。
用具体的例子来说明方差的计算过程。
假设我们有一组数列：2, 4, 6, 8, 10。
首先计算平均值，(2+4+6+8+10)/5 = 6。
然后依次计算每个数据与平均值之差的平方，并求和：((2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²)/5 = 8。
所以这组数列的方差为8。
方差的计算过程可能比较繁琐，为了简化计算，我们引入了标准差的概念。
二、标准差的概念和计算方法标准差是方差的平方根，它与方差一样，用来衡量数据的离散程度。
标准差的计算公式如下：标准差= √方差标准差的计算方法更加简单直观，它可以直接反映出数据集合的波动情况。
在前面的例子中，这组数据的标准差为√8，约等于2.83。
三、方差和标准差的应用举例方差和标准差在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些具体的应用示例：1. 统计学研究：方差和标准差常用于统计学的研究中，可以帮助研究人员了解数据的分布情况、比较不同数据集的离散程度等。
2. 财务分析：方差和标准差可以用于财务分析中，帮助分析师评估不同投资组合的风险程度。
标准差越大，数据集合的波动性越高，风险也就越大。
3. 质量控制：在生产过程中，方差和标准差可以用来衡量产品质量的稳定性。
如果方差或标准差较大，说明产品质量波动较大，需进一步调整生产过程。
4. 教育评估：方差和标准差可以用于教育评估中，帮助评估学生的成绩分布情况、班级或学校的教学水平等。
极差、方差与标准差教案
极差、方差与标准差教案教学目标1.理解极差、方差与标准差的概念及作用。
2.灵活运用极差、方差与标准差来处理数据。
3.培养学生的探索知识的能力，体验用极差、方差与标准差来分析数据，然后作出决策。
教学过程一、复习1．某学校初三一班甲、乙两名同学参加最近5次数学测试的成绩(单位：分)!统计如下：甲：65 94 95 98 98乙：62 71 98 99 100(1)分别写出甲、乙成绩的平均分和中位数。
(2)写出甲、乙两名同学所有测试成绩的众数。
2．用平均数、中位数或众数代表数有什么不同？(平均数、中位数、众数是不同角度描述了一组数据的集中趋势；平均数代表这组数据的平均水平；一组数据中，个别数据差异较大，用中位数代表这组数据的集中趋势；当一组数据中不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势。
)3．问题1：如图，显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气(1)从表可以看出，2002年和2001年2月下旬的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同。
我们是否可以由此认为2002年2月下旬的气温比2001年高呢?小组交流后，发表看法。
(2)比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种常用的方法。
请计算其平均数。
(3)经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是12℃。
这是不是说，两个时段的气温情况没有什么差异呢?那如何对这两段时间的气温进行比较呢?学习了本节的极差、方差与标准差，它们是表示一组数据离散程度的指标，这个问题迎刃而解。
二、新课1．极差根据两段时间的气温情况绘成折线图。
观察它们有差别吗?小组讨论、交流看法。
(通过观察，可以发现：图(a)中折线波动的范围比较大)从6℃到22℃，图(b)中折线波动的范围则比较小——从9℃到16℃。
)思考：什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小?引导学生得出极差：我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围。
小学数学教学备课教案方差与标准差的计算
小学数学教学备课教案方差与标准差的计算教案一：方差与标准差的计算一、教学目标：1. 理解方差和标准差的概念。
2. 掌握方差和标准差的计算方法。
3. 能够应用方差和标准差进行数据分析和比较。
二、教学准备：1. 教师：教学课件、黑板、粉笔、电脑等。
2. 学生：学习用书、练习册、计算器等。
三、教学过程：1. 概念讲解方差和标准差是用来描述数据分散程度的指标。
方差是指各个数据与其均值之差的平方的平均值，标准差是方差的算术平方根。
2. 方差的计算方法方差的计算步骤如下：（1）求出数据的平均值；（2）将每个数据与平均值的差求平方；（3）将所有差的平方求和；（4）将差的平方和除以数据个数，即可得到方差。
3. 标准差的计算方法标准差的计算步骤如下：（1）先计算方差；（2）将方差的值开方即可得到标准差。
4. 例题演示（教师可以选择一到两个具体的实例进行演示和讲解，帮助学生理解方差和标准差的计算过程。
）5. 练习（教师可以出几道相关的题目，让学生动手计算方差和标准差，巩固所学内容。
）6. 拓展应用（教师可以引导学生应用所学知识进行数据的分析和比较，例如，给出一些数据集合，让学生计算其方差和标准差，并分析其分散程度和差异性。
）四、教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解并掌握方差和标准差的计算方法，能够灵活运用这些知识进行数据的分析和比较。
针对不同的学生情况，可以适当调整教学内容和难度，提供更多的练习机会和拓展应用的题目，以巩固和拓展学生的知识。
九年级上册《方差与标准差》导学案数学教案
九年级上册《方差与标准差》导学案数学教案
标题：九年级上册《方差与标准差》导学案
一、教学目标：
1. 学生能够理解并掌握方差和标准差的概念。
2. 学生能够熟练地计算一组数据的方差和标准差。
3. 学生能够运用方差和标准差来描述数据的离散程度，并能对不同数据集的离散程度进行比较。
二、教学重点难点：
1. 教学重点：方差和标准差的概念及其计算方法。
2. 教学难点：理解和运用方差和标准差描述数据的离散程度。
三、教学过程：
1. 导入新课：
通过实际生活中的例子引入课题，比如学生的考试成绩分布，引出描述数据集中趋势和离散程度的需求。
2. 新课讲解：
（1）介绍平均数作为描述数据集中趋势的一个指标，然后引出描述数据离散程度的需要。
（2）讲解方差的概念和计算方法，引导学生理解方差反映的是数据相对于平均数的偏离程度。
（3）讲解标准差的概念和计算方法，说明它是方差的平方根，更直观地反映了数据的离散程度。
3. 练习巩固：
设计一些练习题，让学生通过计算实例数据的方差和标准差，加深对方差和标准差的理解。
4. 小结：
总结本节课学习的主要内容，强调方差和标准差在描述数据离散程度中的作用。
5. 作业布置：
布置一些包含计算方差和标准差的题目，让学生在实践中进一步熟悉这两个概念。
四、教学反思：
在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。
初中数学精品教案：方差和标准差：教学设计
微课《方差和标准差》教学设计【学习目标】1.经历方程概念的形成过程，了解方差和标准差的概念.2.会求一组数据的方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度.3.能用样本的方差来估计总体的方差.【学习重点】方差的概念和计算.【学习难点】方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解.【学习过程】一、知识引领（一）前面已经学习了平均数、中位数和众数的概念和计算方法，它们都是用来表示一组数据的集中程度.1.平均数：2.中位数：一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数.3.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.（二）如果从以上现有知识，从两位射击手中选择一位参加射击比赛，应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手呢？甲、乙两人的测试成绩统计如下：表3-3【思考1】分别算出甲、乙两人的平均成绩.().x 环甲89888751=++++= ().x 环乙8861061051=++++= 我们发现，甲、乙两人的平均成绩一样，那么怎样比较他们的射击水平呢？)(1321n x x x x nx +⋅⋅⋅⋅⋅+++=【思考2】根据这两人的成绩，尝试在图3-1中画出折线统计图（甲画成实线、乙画成虚线）.甲、乙两人射击成绩的折线统计图【思考3】现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？ 分析：从统计图上看，甲射手的成绩比较稳定，乙射手的成绩波动较大.两者平均成绩相同.至于挑选哪一位射手参赛比较适宜，没有标准答案，要根据比赛情况分析而定.如果在需要成绩发挥稳定，而其他选手水平不很高的情况下，选甲较适宜；如果其他选手水平都较高，乙射手有希望得高分，尽管成绩不稳定，但仍有可能获胜，则选乙较适宜.【思考4】用什么特征值来衡量一组数据的稳定性？甲、乙两位射击成绩的平均数相同，而乙每次的射击成绩偏离平均数较大.在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标.【思考5】甲、乙两名射击手每次射击成绩与他们的平均成绩比较，哪一个偏离程度较低？ 请直接计算射击成绩与平均成绩偏差的和.我们发现他们的成绩偏差和也是相等的，都为零.显然，这样计算求得的数据并不能判断出哪一个偏离程度较低，不妨再计算其偏差的平方和.甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2 =2. 乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2 =16. 所以，数据的离散程度越小，数据越稳定.即甲射击手偏离程度较低，要稳定.【思考6】上述偏差的平方和的大小还与什么有关？还与射击的次数有关，为了在比较两组样本容量不同的数据的偏离平均数的程度时，也能准确应对，还需要求出各偏差的平方和的平均数.【总结1】用各偏差平方和的平均数来衡量数据的稳定性.1.方差的概念：一般地，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差.2.方差的意义：方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.方差反映的是一组数据的离散程度.3.方差计算的数学公式为：4.方差的求法：求平均数→求各数与平均数的差→再平方→最后再求和的平均数. 注意强调方差的单位为原单位的平方（环2）.].)(...)()[(12122212x x x x x x nS -++-+-=二、知识巩固例 为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm ）： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；乙：11，16，17，14，13，19， 6， 8，10，16.哪块地小麦长得比较整齐？解∵ < ∴甲地的小麦长的比较整齐.【总结2】一般地，一组数据的方差的算术平方根，称为这组数据的标准差.即： 注意：标准差用“S ”表示，其单位为原单位. 如上例中，两个标准差分别是： 三、知识梳理1.本节课我们学习了哪些知识？2.本节课所学的知识与我们已经学习过的知识有哪些关联？3.你认为本节课最核心的知识点是什么？）（甲cm 13)11151113161015141312(101=+++++++++=x ）（乙cm 13)161086191314171611(101=+++++++++=x ）（甲22222cm 6.3])1311(...)1313()1312[(101=-++-+-=S ）（乙22222cm 8.15])1316(...)1316()1311[(101=-++-+-=S 2甲S 2乙S .])(...)()[(1212221x x x x x x nS -++-+-=.cm 97.38.15cm 90.16.3）（）；（乙甲≈=≈=S S。
初中数学 导学案：方差和标准差
《方差和标准差》导学案学习目标1、了解方差，标准差的公式的产生过程。
2、熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
3、能通过实例学会用样本方差分析数据的离散程度。
导学过程预习课本P62-64思考：选拔射击手参加比赛时，我们应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？合作学习甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下：(1)甲、乙两名射击手的极差分别是多少？(2)请分别计算两名射击手的平均成绩；(3)请分别计算两名射击手的成绩与平均数的差（即偏差）。
(4)甲、乙两人成绩的偏差的平均数是多少？(5)现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你能根据偏差的平均数挑选射击手参加比赛吗？为什么？归纳总结方差的概念：例：为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm):甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16哪种小麦长得比较整齐?归纳总结标准差的概念：自我检测已知数据a1，a2，a3，…，a n的平均数为X，方差为Y标准差为Z。
则①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，a n +3的平均数为____，方差为______，标准差为______。
②数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3a n的平均数为______，方差为______，标准差为______。
③数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2a n -3的平均数为______，方差为______，标准差为______。
自我反思你有什么收获？你还有什么疑问？。
2.2《方差与标准差》教 案 设 计
§2.2《方差与标准差》教 案 设 计探索课题方差与标准差探索课时 1 主备人 罗志凯探索目标知识与技能目标：1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性。
2．知道方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差． 过程与方法目标：1．培养学生的计算能力.2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力. 情感与态度目标：1．渗透数学知识抽象美及图像上的形象美，提高数学美的鉴赏力2．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.重点难点 方差概念. 师 生 合 作 交 流 教学环节教师活动学生活动设计 意图时间 安排 创设情境质检部门从A 、B 两厂抽出生产的乒乓球各10只……（详见P45） （1） 请你算一算它们的平均数和极差。
（2） 是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？ 今天我们一起来探索这个问题。
学生思考计算 2 分 钟 数学活动通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。
让我们一起来做下列的数学活动：1画一画2填一填 A 厂X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7X 8X 9X 10数据 与平均值差B 厂X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7X 8X 9X 10数据 与平均值差3算一算把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。
4想一想你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？学生动笔学生每两组展开活动。
从学生熟悉的生活入手，提出问题，引导学生进入新知识的学习，创造一种探索的情境。
通过动手操作观察能更好地促进学生对数学知识的进一步理解。
10 分 钟（一） 方差1． 描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的平均数，再求这组数据与平均数的差的平方和的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小：感知师生交流 揭示新知设在一组数据 中 的差的平方分别是 ， 2． 请你归纳一下方差概念，并说说公式中每一个元素的意义。
标准差与方差概念教案：全面解读两个统计学基础知识
标准差与方差概念教学教案：全面解读两个统计学基础知识引言：标准差与方差是统计学的两个基础概念。
它们在统计学的应用中具有重要的作用。
在许多学科中，如自然科学、社会科学和医学等，都需要用到这两个概念。
因此，对于学生而言，了解它们的意义和应用十分必要。
本教案将全面解读标准差和方差的概念以及运用。
目标：1.理解并掌握标准差与方差的定义及表达方式2.理解标准差与方差的意义及其应用3.能够通过实践练习应用标准差与方差1.标准差的概念标准差是对一组数据中变量的分散程度的度量。
它告诉我们有多少数据落在平均值附近。
标准差的单位与原始数据相同。
标准差(SD)的公式如下：SD = √(Σ( xi - μ )² / ( n - 1 ) )其中，xi表示第i个数据，μ表示总体的平均值，n表示数据的数量。
在样本中，除以n-1而不是n，称为样本标准差。
例如，在假设有一个数列：3, 6, 9, 12，在计算标准差时，首先求出平均值为(3+6+9+12)/4 = 7.5。
然后计算方差：（3-7.5）^2 +（6-7.5）^2 + （9-7.5）^2 +（12-7.5）^2 = 90，最后标准差= √（90/3）= 5。
2.方差的概念方差是指一组随机变量在其均值附近分布的平方偏差，它代表一个数据集合中数据偏离其平均值的程度。
中心定理指出，当数据的样本数量越多时，样本均值越趋近于总体均值。
公式：方差的公式如下：σ^2 = Σ( xi - μ )² / n其中，xi表示第i个数据，μ表示总体或样本的平均值，n表示数据的数量。
3.差异与应用标准差与方差是对一组数据中变量的分散程度的度量。
当相对变化量较小时，它们可以用来比较两组数据之间的差异程度。
例如：在一个班级中，对全班学生的某一次考试成绩进行统计，结果如下：75，80，85，90，95。
则平均值为85，如果只从均值考虑，则无法判断这些分数分布的广度。
此时，我们可以通过计算方差和标准差来确定这些数据的分布情况。
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联系小学统计知识，理解初中统计概念
——《方差和标准差》衔接教学案例
一、背景分析
浙教版初中数学八年级下册第三章《数据分析初步》的第三节为《方差和标准差》。
本节教学内容主要介绍了两个非常重要的统计学概念——方差和标准差。
方差和标准差都反映了数据的离散程度。
学生在小学阶段已经学习过一些统计学知识，学生在小学数学中所学的统计学知识相对比较简单，其包括了收集数据（调查、实验、查找资料等）、整理并描述数据（统计表、统计图等）、分析数据（比较数据、趋势分析等）。
小学所学的统计学知识在浙教版初中数学七年级下册的第6章《数据与统计图表》一章已经进行了复习并强化。
在《方差和标准差》一节的教学中，可以默认学生具备了简单的统计学基础知识，但是他们对统计学中抽象的概念还知之甚少。
本节所学的方差和标准差就比较抽象，学生学习起来有一定难度。
为了帮助学生建构对方差和标准差的理解，教师不能忽视学生已有的统计学基础知识，必须进行衔接教学。
本次衔接教学，不仅仅是和初一所学的内容进行衔接，更为重要的是和小学所学过的统计学知识进行衔接。
二、衔接分析
1.教学目标
本节课主要实现五个教学目标，分别为：（1）体验方差概念的产生过程；（2）理解方差的定义和计算公式；（3）会使用方差公式比较两组数据的离散程度；（4）理解标准差的概念和计算公式；（5）会使用标准差公式来比较两组数据的离散程度。
在这五个教学目标中，（1）和（4）是核心。
只有学生在理解方差和标准差概念的产生过程的基础上，才可能利用方差和标准差的计算公式来分析数据的离散程度。
因而，本节课在教学目标上的衔接主要集中在实现教学目标（1）和（4）上。
2.教学内容
本节课的主要教学内容有两点，分别为方差的概念和计算公式、标准差的概念和计算公式。
方差和标准差来源于人们对离散数据的离散程度的分析需要，在统计学中具有重要的意义。
由于这两个概念的形成过程相对比较抽象，学生难以理解。
如果教师不能积极地引导学生从理解方差和标准差概念的形成过程来学习本节内容，他们肯定难以真正掌握这两个概念。
在实施教学内容的教学时，教师在注意衔接的基础上，要对这两个概念进行适当的应用，以强化学生对这两个概念的认知。
3.教学方法
在《方程和标准差》的教学中，将采用体验、讨论等教学方法。
将提供一些数据让学生进行分析。
在分析过程中，学生会遇到一定困难，为了解决困难，必须引入方差和标准差的概念。
由于方差和标准差概念比较抽象，将提供一些统计学的图形工具，让学生借助直观形象的图形工具来感受引入方差和标准差的必要性。
在得到方差和标准差的概念过程中，将引导学生进行讨论，以借助学生间的思维激荡，来促进学生思考，更好地帮助学生建构对方差和标准差的理解。
三、教学片断
这节课的教学内容是《方差和标准差》，我按部就班地使用课件展示情境问题：“学校将要选拔一名学生去参加市里面举行的中学生射击比赛。
学校将从小
明和小兵两人中选取一人参加比赛，因而对他们进行了一次射击测试。
两人一共射击10次，射击的成绩如下表所示。
你们能不能根据以前所学的数学知识，选
我让一名学生说一说他的看法。
学生说：“我们在小学中就学过平均值，我们可以算出平均成绩，选择平均成绩比较好的选手去参加市里面的比赛。
”我让学生们计算，很快学生计算出结果，结果为：小明的平均成绩为7（环），小兵的平均成绩为7（环）。
我说：“你们能不能从平均成绩中看出谁的水平比较好？”学生纷纷回答：“不能。
”
我乘机提出引导问题：“你们觉得射击运动员在比赛中追求的是哪些素质？”学生们都认为射击运动员需要准和稳。
我说：“对于准，这两名运动员的平均成绩都是7环，准度基本一样。
那么我们怎么才能判断哪位运动员发挥比较稳定呢？”学生乙说：“如果射击运动员的成绩相对于平均成绩没有较大的起落，可以认为该名射击运动员的成绩比较稳定。
”我说：“我们仅仅从数据中难以判断哪一位运动员比较稳定，怎么办呢？”
这个问题比较难，本来我准备直接说出采用折线图。
但是有学生在下面说：“我们可以使用图形，图形比较直观。
”学生在小学的统计图学习中就已经知道图形的直观性了。
我灵机一动：“对的，你们从小学开始就学习各种统计图形了，那么你们认为哪一种图形可以胜任解决这个问题呢？”有的学生对直方图印象比较深刻，认为可以采用直方图；有的学生对折线图印象比较深刻，认为可以采用折线图。
我没有作评论，而是使用电脑中的Excel绘制两名运动员射击成绩的直方图和折线图。
我问学生：“你们觉得哪一个统计图更能够直观地反映两种数据的变化趋势。
”学生一起回答：“折线图。
”显然，学生从两个图的对比中发现了折线图在解决这
个问题中的优势。
我进一步提问：“从折线图中可以看出小兵的射击成绩比较稳定。
那么我们能不能使用数据来精确地表示两名射击运动员的射击成绩的稳定程度呢？”学生又一次议论起来。
有学生说：“我们可以算出每一个数据与平均数的差，然后对这些差进行累加。
根据累加的结果判断两名运动员成绩的稳定程度。
”我带领学生求出每一个数据与平均数的差，并填在表格里面，得到了一个小学时所学的比较复杂的复式统计表。
学生通过观察数据发现每次成绩与平均数之差的和为0
回答：“因为每一个数据和平均数的差值有正有负，正负刚好抵消了，所得结果为0。
”我追问：“有没有办法避免这种状况？”学生回答：“可以将所有的与平均数差值取绝对值，再去求和。
”我将表格中的每一个数据与平均数的差值取绝对值，使其都变为正数。
将与平均数的差值求和得：小明为12，小兵为8。
显然
将每一个数据与平均数的差值求和为：小明是7，小兵是8。
这样显然不能对两人的稳定性进行比较。
有没有解决的方法？”学生回答：“可以取平均值。
”显然学生对小学时所学的平均值比较熟悉。
我接着引导：“取平均值可以解决这个问题，但是这样做其中存在绝对值，非常不利于代数运算，有没有其他方法避免取绝对值呢？”
我给学生五分钟的讨论时间，最终学生都认为可以使用平方之和。
我表扬学生：“真棒！这样就可以避免上述所有问题了。
”我在黑板上写上“方差”两个大
字，并写出方差的计算公式])()()[(n
1222212x x x x x x S n -+⋯+-+-=。
到这里，学生已经明白了方差的来源。
我指出方差的数学意义：“方差越大，说明数据的波动性越大大，越不稳定。
”我接着引导：“我们可以看到，如果使用方差进行计算，方差的单位是数据单位的平方，两者的单位不一样，怎么才能使两者的单位一致呢？”学生回答：“方差是将每一个数据与平均值之差平方得到的，如果计算方差的算术平方根，可以使其单位和数据的单位一致。
”我在黑板上板书“标准差”三个大字，并写出标
准差的计算公式])()()[(n
122221x x x x x x S n -+⋯+-+-=。
显然，经历过体验方差概念的形成过程，学生对标准差的来源也手到擒来了。
最后，我展示一道问题：“请计算数据-2、-1、0、3、5的方差和标准差。
” 给予学生五分钟时间进行计算。
四、教学反思
《方差和标准差》一节介绍了方差和标准差这两个概念，这两个概念反映了数据的离散程度（即波动程度）。
由于教材上对这两个概念的来源介绍得并不十分详细。
如果仅仅按照教材上讲解，学生只能初步了解方差和标准差的统计意义，但是对这方差和标准差的计算公式的形成过程并不理解，无法让学生理解数学概念中数学思想和数学方法。
在本次教学中，我采用了体验与讨论的方式，逐步将方差和标准差的计算方法总结出来。
在得到方差和标准差计算公式的过程中，学生也理解了方差和标准差的数学意义。
在本次教学中，在学生的自我发现过程中，使用了前面所学过的复式统计表、折线图等工具。
有些内容是小学所学的，有些内容是七年级所学的。
通过与前面内容的衔接教学，不仅仅让学生强化了对以前所学知识的理解，还让学生对以前所学知识的适用范围进行了确定。
在本次教学中，还存在着一些不足，比如需要应用到以前所学统计学知识时，学生明显需要一定回忆时间。
如果能够主动地进行复习，可以减少学生的回忆时间，使课堂教学更加流畅。