分数阶PIλDμ控制器的仿真研究

研究如图 2 所示的分数阶反馈控制系统
k=0
由此可得分数阶 PI λ D µ 控制器的传递函数为
G fc ( s ) = K p + K i s − λ + K d s µ
(7)
1.3 分数阶控制系统
如果用分数阶的微积分方程能更好地描述系统特性 这 样的系统称为分数阶系统 如果被控系统是用分数阶数学模 型去描述的
言
数阶控制器的数学描述 然后根据闭环系统的极点从 S 平面 映射到 W
PID 控制是控制系统中应用最广泛 技术最成熟的控制 方法 实际运行经验及理论分析都充分证明 PID 控制对许 易于操作等特点 多工业对象进行控制时 都能在现场获得直观满意的结果 PID 控制器由于其结构简单 鲁棒性强 中 具有很强的生命力 都是整数阶的 被广泛地应用于冶金 化工 电力 轻工和机械等工业过程 常规的 PID 控制器的微分和积分 对其的研究也比较深入[1]
a
D f ( t ) = lim h
h→0
α t
−α
∑ ( −1)
j=0
t −a ] h
j
α j f ( t − jh )
(2)
其中 [ x ] 表示 x 的整数部分
α j
为二项式系数
万方数据
• 466 • (2) Riemann-PI λ D µ 控制
2.1 分数阶 PI λ D µ 控制
由 式 (5) 和 (7) 可 知 G 时
fc
闭环系统的特征多项式为
当 λ =0 和 µ =0 时
P(s) = an sαn + an−1sαn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1sα1 + a0 sα0 = ∑ai sαi
i =0
n
PI λ D µ 控制器具有更灵活的结构和更强的鲁棒
Simulation Research on Fractional-order PI λ D µ Controller
ZENG Qing-shan CAO Guang-yi WANg Zhen-bin
(Department of Automation, Shanghai 200030, China)
Φ( s ) =
K d s λ +µ + K p s λ + Ki
a i (i = 0,1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ) 和 b j ( j = 0,1,⋅ ⋅ ⋅, m ) 为任意常数
∑a s
i =0
k
=
λ
' βi + λ i
+ Kd s
λ+µ
+ K p s + Ki
Q( s ) P( s )
(10)
域内任意取值 灵活 这就使得分数阶 PI λ D µ 控制器的结构更加 更适合于分数阶系统的动态特性
u ( t ) = K p e ( t ) + K i D t− λ e ( t ) + K d D tµ e ( t )
α 为 Caputo 定义 其中 D tα ≡ C λ>0 a D t
(5)
µ > 0 为任意实
将 S 复平面的左半平面映射到 W 复平面上 可得到关 于分数阶系统的稳定性结论如下: 特征多项式(11)所决定的系统稳定的充要条件是 方程 12 特征
P( w) = 0 的根 wi 满足下列条件
π 2m
(13)
arg( w i ) >
2.3 控制参数对系统的影响
由(10)式可知 加入控制器后 通过选择控制器的参数
1
(9)
βi
∑a s
i =0 ' i
k
bm Dtβ m u ( t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 Dtβ 1 u ( t ) + b0 Dtβ 0 u ( t )
其中 实数
αn >αn−1 >⋅ ⋅⋅ >α1 >α0 ≥ 0
βm > βm−1 > ⋅ ⋅ ⋅ > β1 > β0 ≥ 0
(8)
为任意
加入分数阶控制器后闭环系统的传递函数为:
选择不同的 λ 和 µ 值 以得到最佳控制效果 由于 λ 和 µ 可 以连续地变化 因此 分数阶 PI λ D µ 控制器较整数阶 PID 而分数阶 控制器更具有灵活性 如图 1 所示 整数阶 PID 控制只能在 OABC 四 个 点 之 间 变 换 P − PI − PD − PID
PI D 可 以 取 平 面 上 的 任 何 点
(a)
可以改变闭环系统极点的位置 从而达到控制系统为期望的 状态的目的 另外改变控制器的阶次 同样也可以改变闭环 特征多项式 这是分数阶 PI λ D µ 控制器所特有的 我们选择一个典型的分数阶系统 将闭环系统在 S 平面 的根轨迹映射到 W 复平面 根据闭环极点在 W 复平面上分 布情况 进行控制参数对系统的影响研究 其传递函数为 (14)
a
系
统
仿
真
学
报 µ =1 当λ =1 和 时
Vol. 16 No. 3 March. 2004
D tα f ( t ) =
1 d Γ ( n − α ) dt n
n
∫ (t − τ )
a
t
f (τ )
α − n +1
dτ
(3)
器
G
fc
(s) = K
p
+
Ki + Kds s
即为常规的 PID 控制器 由于 λ 和 µ 为任意实数 阶 PI D 控制的特例
数 是分数阶控制器的阶次 参数
Kp
Ki
K d 为控制器的控制
图 1 P-I-D 阶次取值平面
对 Caputo 定义的分数阶微分求 Laplace 变换有
α α L{C 0 D t f ( t )} = s F ( s ) −
∑
n −1
sα − k −1 f
(k )
(0)
(6)
2.2 分数阶控制系统的稳定性
w = sα
复平面上的根轨迹
对分数阶控制器
的特性 参数整定 控制性能等进行了详细的分析研究 并 进行了实例的仿真研究 了相应的结论 最后对分数阶控制器 PI λ D µ 给出
1
数学描述
分数阶微积分是任意阶微分和积分的理论 它与整数阶
1.1 分数阶微积分
微积分是统一的 是整数阶微积分的推广[4]
分数阶微积分的概念早就提出来了 但是由于对分数阶 微分方程的求解缺乏相应的数学工具 所以它在工程中的应 用一直到上世纪后期才有研究 实际系统中有许多是分数阶 的而不是整数阶的 之所以将它们作为整数阶系统来考虑是 由于其复杂性 然而随着分数阶微积分理论的发展 对于分 数阶微积分在实际系统中的应用开始了研究 对于分数阶系 统 Oustaloup[2]提出了 CRONE 控制器,Dorcak[3]提出了 PD δ 控制器 Podlubony[4]提出了 PI λ D µ 分数阶控制器 由于分 数阶控制器的阶次为任意实数 因此分数阶控制器与整数阶 控制器有所不同 整数阶 PID 控制器只是分数阶 PI λ D µ 控 制器的特例 对于分数阶控制器的特性有必要进行深入的研
Vol. 16 No. 3 March. 2004
系 统 仿 真 学 报 JOURNAL OF SYSTEM SIMULATION
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分数阶 PI λ D µ 控制器的仿真研究
曾庆山, 曹广益
上海交通大学自动化系
王振滨
上海市 200030
摘
要 PID 控制是过程控制中应用最为广泛的一种控制方法 分数阶 PI λ D µ 控制是常规的整数阶 本文对通过在复平面映射后的根轨迹对分数阶 PI λ D µ 控制器的控制特性
定义连续的分数阶微积分算子如下
a
D
α t
dα α dt = 1 t −α ∫ (dτ ) a
Re( α ) > 0 Re( α ) = 0 Re( α ) < 0
(1)
其中
a 和 t 为微分或积分的上下限
(1) Grunwald-Letnikov 定义
[
α 为任意复数
常用的分数阶微积分的定义有下列三种
引
Abstract PID control is the most common control method used in process control. Fractional-order PI λ D µ control is the generalization and development of the integer-order PID control. In this paper, the control properties and parameters tuning of the fractional-order PI λ D µ controller are investigated by using the mapping root locus. The simulation results show that fractional-order controller is not sensitive to the changes of control parameters and system parameters. It has flexible structure and stronger robustness. Keywords fractional calculus; fractional-order system; fractional-order controller; PID control 究 本文首先简要介绍了分数阶微积分 分数阶系统以及分 1