1.1因式分解
《1.1因式分解》同步优生辅导训练(附答案)2021-2022学年八年级数学鲁教版(五四制)上册
2021年鲁教版八年级数学上册《1.1因式分解》同步优生辅导训练（附答案）1．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣12．在下列从左到右的变形中，不是因式分解的是（）A．x2﹣x＝x（x﹣1）B．x2+3x﹣1＝x（x+3）﹣1C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）D．x2+2x+1＝（x+1）23．．把多项式x2+x﹣2分解因式，下列结果正确的是（）A．（x+2）（x﹣1）B．（x﹣2）（x+1）C．（x﹣1）2D．（2x﹣1）（x+2）4．下面的多项式中，能因式分解的是（）A．m2+1B．m2﹣m+1C．mx+n D．m2﹣2m+15．下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x﹣1＝x（1﹣）C．x2+3x+1＝x（x+3）+1D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）6．多项式x3﹣5x2﹣3x﹣y中，有一个因式为（x﹣5），则y的值为（）A．﹣15B．15C．﹣3D．37．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底的是（）A．a3+2a2+a＝a（a+1）2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）D．ax2﹣abx+a＝a（x2﹣bx）+a8．在x3+5x2+7x+k中，若有一个因式为（x+2），则k的值为（）A．2B．﹣2C．6D．﹣69．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥010．若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是．11．如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，则m的值是．12．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是．13．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为．14．若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为．15．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．解：设另一个因式是（2x+b），根据题意，得2x2+x+a＝（x+2）（2x+b）．展开，得2x2+x+a＝2x2+（b+4）x+2b．所以，，解得所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．16．阅读例题，回答问题：例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n．∴∴．∴另一个因式为x﹣7，m＝21．仿照以上方法解答下面的问题：已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值．17．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴利用方程组可以解决．请回答：另一个因式为，m的值为；参考小明的方法，解决下面的问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．18．关于x的多项式2x2﹣11x+m分解因式后有一个因式是2（x﹣3）（x﹣n），试求m、n的值．19．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n＝17，试求m、n的值．20．阅读：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．解“设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴解得∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21问题：仿照上述方法解答下列问题：（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3，求P的值．参考答案1．解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，∴b＝0.5，a＝1.5，∴a+b＝2．故选：A．2．解：A，C，D选项都是因式分解，不符合题意；B选项，等号右边不是积的形式，不是因式分解，符合题意；故选：B．3．解：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）故选：A．4．解：A．m2+1，不能因式分解，故本选项不合题意；B．m2﹣m+1，不能因式分解，故本选项不合题意；C．mx+n，不能因式分解，故本选项不合题意；D．m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，能因式分解，故本选项符合题意；故选：D．5．解：A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B．x﹣1＝x（1﹣），没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；C．x2+3x+1＝x（x+3）+1，不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；故选：D．6．解：方法一、∵多项式x3﹣5x2﹣3x﹣y中，有一个因式为（x﹣5），∴把x＝5代入x3﹣5x2﹣3x﹣y＝0得：125﹣125﹣15﹣y＝0，解得：y＝﹣15；方法二、设另一个因式是x2+bx+c，（x﹣5）（x2+bx+c）＝x3﹣5x2+bx2﹣5bx+cx﹣5c＝x3+（﹣5+b）x2+（﹣5b+c）x﹣5c，∵多项式x3﹣5x2﹣3x﹣y中，有一个因式为（x﹣5），另一个因式是x2+bx+c，∴﹣5+b＝﹣5，﹣5b+c＝﹣3，﹣y＝﹣5c，解得：b＝0，c＝﹣3，y＝﹣15，故选：A．7．解：A．从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意；B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从左到右的变形属于因式分解但分解不彻底，故本选项不符合题意；D．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．8．解：∵在x3+5x2+7x+k中，有一个因式为（x+2），∴把x＝﹣2代入x3+5x2+7x+k＝0得：﹣8+20﹣14+k＝0，解得：k＝2，故选：A．9．解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，∴a+c＝2b，b＝，∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，∴b＜0，∴b2﹣ac＝＝﹣ac＝＝≥0，即b＜0，b2﹣ac≥0，故选：D．10．解：∵多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，∴设另一个因式是x+a，则（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，∵（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a，∴a﹣1＝0，2a＝m，解得：a＝1，m＝2，故答案为：2．11．解：∵a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，∴a2+ma﹣6＝（a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6，∴m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．解：由题意得：﹣p＝1﹣2，q＝1×（﹣2），∴p＝1，q＝﹣2，∴p2﹣4q＝1﹣4×（﹣2）＝1+8＝9．故答案为：9．13．解：∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），∴x2+mx+n＝x2+x﹣2，∴m＝1，n＝﹣2，∴m+n＝1﹣2＝﹣1，故答案为﹣1．14．解：把x＝2代入方程x2﹣3x+k＝0中得4﹣6+k＝0，解得：k＝2．故答案为：2．15．解：设另一个因式是（3x+b），根据题意，得3x2+10x+m＝（x+4）（3x+b）．展开，得3x2+10x+m＝3x2+（b+12）x+4b．所以，，解得：，所以，另一个因式是（3x﹣2），m的值是﹣8．16．解：设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+n）＝2x2+（2n﹣5）x﹣5n，则解得：n＝4，k＝20，故另一个因式为（x+4），k的值为20．17．解：解方程组得：，即另一个因式为x﹣7，m＝﹣21；设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，则2x2+3x﹣k＝（x﹣4）（2x+a），2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣8）x﹣4a，所以，解得：a＝11，k＝44，即另一个因式是2x+11，k＝44，故答案为：x﹣7，﹣21．18．解：2x2﹣11x+m＝2（x﹣3）（x﹣n）＝2x2﹣2（n+3）x+6n，∴解得，∴m的值是15，n的值是2.5．19．解法一：设另一个因式是x+a，则有（x+5）•（x+a），＝x2+（5+a）x+5a，＝x2+mx+n，∴5+a＝m，5a＝n，这样就得到一个方程组，解得．∴m、n的值分别是7、10．解法二：依题意知，x＝﹣5是方程x2+mx+n＝0的解，则25﹣5m+n＝0，①又m+n＝17，②由①②得到：m＝7，n＝10．20．解：（1）设另外一个因式为：x+n∴（2x2+3x﹣k）＝（2x﹣5）（x+n）∴∴n＝4，k＝20（2）设另一个因式为：2x+n∴2x2﹣13x+p＝（2x+n）（x﹣3）∴∴解得：故答案为：（2）21。
鲁教版数学八年级上册1.1《因式分解》教学设计
鲁教版数学八年级上册1.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是初中数学八年级上册的重要内容，也是整个初中数学的中坚部分。
它不仅关系到学生对后面知识的学习，而且对培养学生的逻辑思维能力、数学素养都具有重要意义。
鲁教版教材在这一章节中，通过引入实例，引导学生掌握因式分解的方法，从而解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了整式的运算，对基本的数学概念有了一定的理解。
但他们在面对复杂的因式分解问题时，可能会感到困惑，不知道从何下手。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，循序渐进地引导他们掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和数学素养。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法和应用。
2.难点：如何引导学生发现和运用因式分解的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，让学生在解决实际问题的过程中，发现和理解因式分解的方法。
2.运用案例分析法，分析不同类型的因式分解问题，帮助学生掌握因式分解的技巧。
3.通过小组合作学习，培养学生团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题，以便在课堂上进行分析和操练。
2.准备教学课件，帮助学生直观地理解因式分解的方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何将一个多项式分解成几个整式的乘积。
例如，已知多项式 f(x) = x^2 + 4x + 4，问如何将其分解？2.呈现（10分钟）呈现教材中关于因式分解的定义和方法，引导学生理解因式分解的概念。
通过分析实例，讲解因式分解的方法，如十字相乘法、提取公因式法等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试运用所学的因式分解方法解决实际问题。
每组选择一个练习题，如：分解多项式 x^2 - 5x + 6。
讨论结束后，各组分享解题过程和答案。
因式分解和提公因式法
因式分解和提公因式法因式分解是代数中的一种重要的运算方法，在解题过程中往往可以起到简化问题、求解方程、找出公因数等作用。
而提公因式法是因式分解的一种特殊形式，通过提取公因式来简化多项式的表达式。
本文将详细介绍因式分解和提公因式法的概念、原理以及应用。
一、因式分解的概念和原理1.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式拆解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是多项式的一个因子。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式化简为简单的因子形式，便于进一步求解方程、计算和进行其他代数运算。
1.2 因式分解的原理因式分解的原理是根据多项式的特点和运算规律，将其拆解为不可再分解的因子相乘的形式。
常用的分解方法有提取公因式法、配方法、根据特殊公式和因式定理等。
二、提公因式法的概念和步骤2.1 提公因式法的概念提公因式法是一种较为常见且简便的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式拆解为公因式和剩余部分的乘积。
这样可以达到简化表达式的效果，从而便于求解方程或进行其他计算。
2.2 提公因式法的步骤步骤一：观察多项式中是否存在公因式；步骤二：提取出公因式，并在多项式外面加上括号，表示公因式；步骤三：将多项式中去掉公因式后的部分作为括号内的剩余部分；步骤四：将公因式和剩余部分用乘号连接起来，得到最终的因式分解式。
三、因式分解和提公因式法的应用3.1 解方程因式分解和提公因式法在解方程中经常被使用。
通过因式分解，可以将原方程化简为简单的因子形式，从而更容易求解。
例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以进行因式分解成(a'x + b')(c'x + d') = 0，那么可以根据方程因式乘积为零的性质，得到x的取值。
3.2 简化计算在进行复杂的数学计算时，因式分解和提公因式法可以起到简化计算的作用。
通过将多项式化简为因子形式，可以减少计算的复杂性。
特别是在涉及多次相同运算的情况下，将公因式提取出来可以减少重复计算。
1.1多项式的因式分解课件1
湖南教育出版社
你会解方程 x2 −1 = 0 吗?
利用平方差公式， 写成(x+1)(x－1)， 就得到方程 利用平方差公式，把方程的左边 x2 −1写成 － ， (x+1)(x－1)＝0 － ＝ 这样就可以求出解了． 这样就可以求出解了．
x2 −1 写成 (x+1)(x－1)，叫作把 x2 −1因式分解． 因式分解． 把 － ，
多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁． 多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁．
乘哪个整数？ （1）6 等于 2 乘哪个整数？ ）
6＝2×3 ＝ ×
等于x+1乘哪个多项式？ 乘哪个多项式？ （2）x2－1等于 ） 等于 乘哪个多项式
x2 −1 = ( x +1)( x −1)
叫作6的一个因数． 对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3，我们把 叫作 的一个因数．同 ， ＝ × ，我们把2叫作 的一个因数 也是6的一个因数 理，3也是 的一个因数． 也是 的一个因数． 对于多项式
12 = 2×2×3
30 = 2×3×5
① ②
有了①式和② 有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为 就容易求出 和 的最大公因数为
2×3 = 6
进而很容易把分数
12 约分：分子与分母同除以6，得 约分：分子与分母同除以 ， 30 12 2 = 30 5
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中， 同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中， 也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用： 也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成 若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁． 若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
鲁教版 五四学制 八年级上册 数学导学案设计 第一章 1.1因式分解 (无答案)
第一章因式分解1、因式分解学习目标;1.体会因式分解与政府很是乘法的区别与联系。
2.初步噶手因式分解在解决相关问题中的作用。
自主预习：一、因式分解的定义1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做。
它与为互逆变形，整式乘法是“积化和差”，而因式分解师“和差化积”，但都是代数式恒等变形。
如：2x2-10x=2x(x-5)属于；而2（x+3）=2x+6属于。
二、判断因式分解的方法2．判断是否是因式分解要抓如下四点：（1）必须是几个因式的形式；（2）每个因式都必须是；（3）必须分解到每个因式都不能在为止；（4）运算过程必须是。
二、尝试练习1、下列从左边到右边的变形中，哪些是一你是分解，哪些不是因式分解？如果不是，请说明理由。
)；（2）a2-26=(a+5)(a-5)-1；（1）x2+x=x2(1+1x（3）（m+n）(m-n)=m2-n2（4）-x2+(-2)2=(2-x)(2+x)(5)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2、若多项式x2-8x+a可因式分解为（x+3）（x+b），则a= ,b= 。
三、我的困惑。
课中导学典型例题例1、例已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因式分解的结果为（2x-1）(x+1)，2求n m的值。
变式训练1、把多项式x2+mx+5因式分解的（x+5）(x+n)则m= ,b= 。
2、若42x2-31x+2能分解成两个因式从乘积且有一个因式为6x-4,设另一个因式为mx-n，其中m,n 为常数，请你求m，n的值。
3、两位同学将一个二次三项式分解一时，一位同学因看错一次项系数而分解成2（x-1）(x-9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4)，求原多项式。
课后巩固基础巩固1、20993-2099能被2098整除吗？能被2100整除吗？试说明理由。
2、已知多项式x2-mx-36因式分解的结果是(x-4)(x+9),求m的值。
3、利用因式分解计算20.16×52+20.16×74-20.16×26能力提升1、数学课上，王老师用如图（1）的正方形纸片2张，如图（2）的正方形纸片2张，如图（3）的长方形纸片5张，拼成如图（4）的一个大的长方形图案，并请同学们回答下面的三个问题：（1）用一个多项式表示图（4）的面积（2）先用两个整式分别表示图（4）的长和宽，再用它们的乘积表示该图形的面积；（3）根据（1）（2）所得的结果，写出一个因式分解的等式。
高中数学公式归纳大全
高中数学公式归纳大全下面是一份高中数学公式归纳大全，包括代数、几何和三角等方面的常用公式。
这份列表将帮助您更好地复习和应用高中数学知识。
1.代数1.1一元二次方程的求根公式：对于方程ax^2+bx+c=0，其解可以通过以下公式得到：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)1.2因式分解公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^21.3二项式定理：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+C(n,n)b^n1.4平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)11.5对数公式：log(ab)=log(a)+log(b)log(a/b)=log(a)-log(b)log(a^n)=nlog(a)log(1/a)=-log(a)2.几何2.1三角形的面积公式：S=(1/2)bh，其中S是三角形的面积，b是底边的长度，h是高的长度。
2.2直角三角形的勾股定理：a^2+b^2=c^2，其中a、b是直角边的长度，c是斜边的长度。
2.3圆的面积和周长公式：圆的面积A=πr^2，其中r是半径的长度。
圆的周长C=2πr，其中r是半径的长度。
2.4正多边形的内角和外角公式：内角和为(n-2)×180°，其中n是正多边形的边数。
外角和为360°，其中n是正多边形的边数。
2.5平行线与平行线之间的关系：同位角互等：对于两条平行线和一条横截线，同位角相等。
内错角互补：对于两条平行线和一条横截线，内错角互补，即和为180°。
23.三角3.1正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)，其中a、b、c是三角形的边长，A、B、C是对应的角度。
1.1因式分解课件华东师大版八年级数学上册
定义： 多项式中的每一项都含有的相同因式， 叫做这个多项式各项的公因式。
多项式
4x+4y 8x+12y 8ax+12ay
8a3bx 12a2b2y
公因式
多项式
4x+4y 8x+12y 8ax+12ay
8a3bx 12a2b2y
公因式
4 4 4a 4a2b
思考：
多项式中的公因式是如何确定的？
华东师范大学出版社 《义务教育教科书》
八年级数学(上册)
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1)a(b c) ________ (2)m(a b c) __________
猜想：ab ac ( )( )
ma mb mc ( )(
)
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1)a(b c) _a_b_+_a_c___ (2)m(a b c) _m_a_+_m_b_+_m_c__ 猜想：ab ac ( a )(b+c )
解：(1)原式=x(x-25) (2)原式=2x(2x2-1) (3)原式=2ab(a-2b+3) (4)原式=-3x(1-2x)
三、课堂小结：
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法？ 3、提公因式法因式分解步骤(分两步)？
达标检测，当堂反馈（7分钟）
检测指点： 1、闭卷检测，独立完成（5分钟） 2、对子互批，自主纠错（1分钟） 3、小组汇报，师生点拨（1分钟）
例1、把下列多项式因式分解：
（1）3a2 9ab;(2) 5a2 25a
例1、把下列多项式因式分解：
（1）3a2 9ab;(2) 5a2 25a
解：(1)原式=3a(a-3b) (2)原式=-5a(a-5)
因式分解知识点
因式分解知识点因式分解是数学中重要的基础知识之一。
它是指将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式。
因式分解在数学中有广泛的应用，例如解方程、计算极限、构建数据模型等等。
本文旨在深入探讨因式分解的相关知识点。
一、基本概念1.1 多项式与因式：多项式是由常数、变量和幂次依次相乘所得的代数式，如$x^2+2x+1$。
因式是一种可以被一个数或一个代数式整除的代数式，如$x+1$是$x^2+2x+1$的因式。
1.2 因数与因式分解：在数学中，一个数$a$能够被另一个数$b$整除，即$a=bn$，则称$b$是$a$的因数。
因式分解是指将一个代数式写成各个因数的乘积的形式。
二、因式分解方法2.1 提公因式法：提公因式法是指先提取出多项式中的公因式，然后将公因式与剩余项相乘得到原多项式。
例如，$3x^3+6x^2=3x^2(x+2)$。
2.2 分组分解法：分组分解法是指将多项式中的项分成两组，使得每组之间可以找到一个公因式，然后将两组分别提取出公因式后合并得到原多项式。
例如，$x^2+2xy+y^2= (x+y)^2$。
2.3 短除法：短除法是将多项式中的项按某个因式进行除法运算后得到商式，将商式再按另一因式进行除法运算，直到多项式无法再做除法为止。
例如，$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$。
2.4 公式法：公式法是指利用一些基本公式对多项式进行因式分解。
例如，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
三、应用3.1 解高次方程：因式分解可以方便地解决高次方程，如 $x^2-5x+6=0$可以因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，从而得到解$x=2$和$x=3$。
3.2 计算极限：因式分解可以化简复杂的代数式，从而方便计算极限，如$\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^3-27}{x^2-9}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x+3)(x-3)}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^2+3x+9}{x+3}=12$。
鲁教版(五四学制)八年级数学上册课件：1.1因式分解 (共15张PPT)
教学目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系
预习诊断
1.下列各式中，是因式分解的是（
A、a(m-6)+b(m-6)=(m-6)(a+b) B、(a-b)(3-a)=3a-a2-3b+ab C、(x+y)(x-y)=x2-y2 D、(a+b)2=a2+2ab+b2
） （2）ma+mb-m=( ) (4)y2-6y+9=(
)( )( )
)
因式分解
两 者 关 系
1.因式分解与整式乘法互为逆运算 2.因式分解的结果必定是乘积的形式.
随堂练习
连 一 连
x2 + 4x + 4 x2 - 2x + 1 4x2 - 1 x2 - 1 x2 - 4
（x + 2）（x - 2） （x - 1）（x + 1） （x - 1）2 （x + 2）2 （2x - 1）（2x + 1）
延伸探究
整式的乘法
计算下列各式： （1）3x(x-1)=________________ (3)(m+4)(m-4)=______________ 完成下面算式的填空： （1）3x2-3x=（ ）（ (3) m2-16=( )(
(2)m(a+b+c)=_______________ (4)(y-3)2 =________________
乘法的关系Leabharlann 当堂达标见导学案。
布置作业
课本Ｐ4: 习题1.1
合作探究
探究一：因式分解的概念
观察得知：a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2,都是把一个多项式化成几个整式的积的形
1.1 多项式的因式分解
( x +1)( x −1) = 0
从而得 x +1 = 0 或 x −1 = 0 即 x = −1 或 x =1 因此方程的解是 x = −1 x = 1 或
1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? 1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? 判断下列各式哪些是整式乘法 =(x+2y)(x(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2)2x(x-3y)=2x2-6xy (2)2x(x(3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (3)(5a(4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a(5)(a-3)(a+3)=a2-9 =(m+4)(m(6)m2-42=(m+4)(m-4) (7)2πR+ 2πr= 2π(R+r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解
2.乘法公式有哪些? 2.乘法公式有哪些? 乘法公式有哪些 (1)平方差公式:(a+b)(a(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式:(a+b)(a (2)完全平方公式:(a± (2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2 完全平方公式:(a
3.试计算: 3.试计算: 试计算 (1)3a(a(1)3a(a-2b+c) (3)(a+2b)2 (2)(a+3)(a(2)(a+3)(a-3) (4)(a-3b)2 (4)(a-
根据左面的算式填空: 根据左面的算式填空: 3x(x3x(x-1) (1) 3x2-3x=__________ m(a+b+c) (2) ma+mb+mc=_________ (m+4)(m(m+4)(m-4) (3) m2-16=____________ (x(x-3)2 (4) x2-6x+9=___________ a(a+1)(aa(a+1)(a-1) (5) a3-a=____________
因式分解ppt(共22张PPT)
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
高中分解因式的方法和技巧
高中分解因式的方法和技巧高中数学中的因式分解，简直就是一道难题的解锁秘籍。
如果你能搞定这块难关，整个数学世界都会变得轻松不少。
接下来，我们就聊聊那些帮你搞定因式分解的小技巧，让你从此不再对它感到头疼。
1. 因式分解的基础知识1.1 因式分解是什么？首先，因式分解，顾名思义，就是把一个数学式子拆分成几个因式的过程。
就像是把一个拼图拆成小块，然后再慢慢组装起来。
举个例子，假设我们有一个多项式，比如( x^2 + 5x + 6 )。
我们需要把它拆成两个因式的乘积，变成 ((x+2)(x+3))。
这就是因式分解的基本操作。
1.2 为啥要因式分解？因式分解不仅仅是为了漂亮地写出答案，更重要的是它能让我们在解方程、简化复杂的代数表达式时得心应手。
如果你对因式分解很熟练，那么处理其他数学问题时就像有了超能力一样顺利。
2. 常见的因式分解方法2.1 提取公因式这是一种非常直接的因式分解方法。
想象一下，你有一个多项式，里面有几个项都是相同的，比如 ( 2x^2 + 4x )。
这个时候，你可以先把公共的因式提取出来。
具体来说，就是提取出 (2x) 作为公因式，将它提到外面，就得到 (2x(x + 2))。
这样，原本复杂的式子瞬间就变得简单多了。
2.2 分组分解分组分解是另一种比较实用的方法，特别是在遇到四项或更多项的多项式时。
比如我们有 ( x^3 + 3x^2 + 2x + 6 )。
你可以先把它分成两组：( (x^3 + 3x^2) + (2x + 6) )。
接着，你对每一组分别进行因式分解。
第一组提取出 ( x^2 )，得到 ( x^2(x + 3) )；第二组提取出 ( 2 )，得到 ( 2(x + 3) )。
最后，把这些结果合并，得到 ( (x^2 + 2)(x + 3) )。
2.3 二次三项式的分解对于二次三项式，比如( ax^2 + bx + c )，我们通常用一种叫做“十字相乘”的方法。
首先找两个数，它们的乘积是 ( ac )，而它们的和是 ( b )。
1.1 多项式的因式分解
一般地，对于两个多项式 与 ， 一般地，对于两个多项式f与g，如果有 多项式h使得 使得f=gh，那么我们把 叫做 的一 叫做f的一 多项式 使得 ，那么我们把g叫做 因式. 个因式 此时， 也是 的一个因式. 也是f的一个因式 此时，h也是 的一个因式
小提示
在现代数学文献中，把单项式看成是只有 在现代数学文献中， 一项的多项式. 一项的多项式
类似地，在数学中也经常要寻找那些“ 类似地，在数学中也经常要寻找那些“基 本建筑块” 本建筑块”. 例如，在正整数集中， 例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11， ， ， ， ， ， 13，17，…这些大于 的数，它的因数只有 和它 这些大于1的数 ， ， 这些大于 的数，它的因数只有1和它 自身，称这样的正整数为质数 素数. 质数或 自身，称这样的正整数为质数或素数
例如，以后我们要学习的分式的约分， 例如，以后我们要学习的分式的约分， 解一元二次方程，解一元二次不等式等， 解一元二次方程，解一元二次不等式等， 都需要把多项式因式分解. 都需要把多项式因式分解 因式分解还可以在许多实际问题中简 化计算. 化计算.
例 解
解方程： 解方程：x2-1=0. 把方程左端的多项式因式分解， 把方程左端的多项式因式分解，得 )(x- ) (x+1)( -1)=0 )( 从而得 x+1=0或x-1=0， 或 ， 即 x=-1 或 x=1 因此方程的解是x=- 或 因此方程的解是 -1或x=1
同样地，在系数为有理数(或系数为实数) 同样地，在系数为有理数(或系数为实数) 的多项式组成的集合中， 的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着 基本建筑块”的作用： “基本建筑块”的作用： 每一个多项式可以表示成若干个这种多项 式的乘积的形式， 式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起 了桥梁. 了桥梁
1.1因式分解说课稿2022-2023学年山东省东营市广饶县陈官镇中心初中鲁教版(五四制)八年级数学
1.1因式分解说课稿一、教材分析1. 教材名称•课本名称：鲁教版（五四制）八年级数学上册•学校名称：山东省东营市广饶县陈官镇中心初中2. 教学目标•知识目标：掌握因式分解的基本概念和方法，能够正确进行因式分解的运算。
•能力目标：培养学生的分析、推理和解决问题的能力，提高学生的运算能力和综合素质。
•情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的动力。
3. 教学重点与难点•重点：掌握因式分解的基本概念和方法。
•难点：能够正确进行因式分解的运算。
二、教学过程1. 导入与热身通过向学生提出一个数学问题，引发学生的思考和兴趣，如：一个长方形的周长为24cm，面积为36cm²，长和宽分别是多少？2. 概念讲解•介绍因式分解的概念：因式分解是指将一个多项式以恰当的方式拆分成乘积的形式。
•解释因式分解的意义：因式分解可以帮助我们简化运算、求解方程和解决实际问题。
•引导学生观察特定的例子，如2x + 6y，通过观察并发现其中的共同因子，引导学生理解因式分解的基本思想。
3. 方法讲解•提供常见的因式分解方法，并结合具体例子进行讲解，如公式法、分组法、公因式法等。
•介绍常见的因式分解公式，如两个平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)。
4. 示例演练•提供一些简单的因式分解题目，让学生通过运算得出答案。
•鼓励学生积极参与，主动思考和提问，解决问题过程中发现问题，及时进行纠正。
5. 拓展训练•提供一些更复杂的因式分解题目，让学生思考和解决。
•给予学生一定的自主学习和合作学习的机会，培养学生的团队协作和解决问题的能力。
6. 总结与小结•对本节课的重点内容进行总结，并强调因式分解的重要性。
•小结本节课的学习内容，让学生对所学知识进行回顾和巩固。
三、教学反思通过本节课的讲解和示范实例，学生对因式分解的概念和方法有了初步的了解，并能够进行简单的因式分解运算。
但是，由于时间的限制，课堂训练和扩展训练的环节较少，希望在之后的教学中能更加注重学生的实践和巩固训练，加深学生对因式分解的理解和运用能力。
高一必修1知识点大全
高一必修1知识点大全高一必修1是指高中一年级学生必须学习的科目之一，本文将详细介绍高一必修1的相关知识点，以帮助学生更好地理解和应用这些知识。
1. 数学1.1 代数1.1.1 因式分解1.1.2 整式的加减乘除1.1.3 分式与分式方程1.1.4 二次根式1.1.5 平方根与立方根1.1.6 一元二次方程1.2 几何1.2.1 直线与角1.2.2 三角形与四边形1.2.3 平行线与比例1.2.4 相似与全等三角形1.2.5 三角形的面积和周长1.2.6 圆及其应用1.3 概率与统计1.3.1 数据的收集与整理1.3.2 平均数与中位数1.3.3 概率的计算及应用1.3.4 抽样与误差分析2. 物理2.1 运动与力学2.1.1 运动的描述与运动图象2.1.2 一维运动与二维运动2.1.3 牛顿运动定律2.1.4 动量定理与冲量定理2.1.5 弹性碰撞与完全非弹性碰撞2.2 力与压力2.2.1 力的合成与分解2.2.2 压强与压力2.2.3 浮力与密度2.3 能量与功2.3.1 功与功率2.3.2 动能与势能2.3.3 机械能守恒定律2.3.4 动能定理与势能转换3. 化学3.1 物质的组成与结构3.1.1 原子结构与元素周期表3.1.2 分子结构与化学键3.1.3 元素与化合物3.2 化学反应3.2.1 化学方程式及其平衡3.2.2 氧化还原反应3.2.3 酸碱中和反应3.3 化学物质的转化3.3.1 高一常用化学实验3.3.2 气体的性质与特点3.3.3 溶液的浓度计算3.3.4 电化学与电解质4. 英语4.1 语法与词汇4.1.1 时态与语态4.1.2 从句与短语4.1.3 名词性从句与定语从句4.1.4 词义辨析与词汇积累4.2 阅读与写作4.2.1 阅读技巧与理解题型4.2.2 写作表达与文章结构4.2.3 英语写作常见错误及纠正方法4.3 听力与口语4.3.1 听力技巧及常见题型4.3.2 口语表达与交际用语4.3.3 日常对话与实用句型5. 生物5.1 细胞与遗传5.1.1 细胞的结构与功能5.1.2 遗传物质与遗传信息5.1.3 基因与DNA复制5.2 生物多样性与进化5.2.1 生物分类与进化5.2.2 动植物的结构特征5.2.3 生态系统与物种保护5.3 生命活动与调节5.3.1 呼吸与循环系统5.3.2 消化与排泄系统5.3.3 神经与内分泌系统以上是高一必修1的全部知识点内容，希望能对你的学习有所帮助。
1.1 因式分解课件(五四制)数学八年级上册
基础 主干落实
3
连一连:
4
【小题快练】
1.若x2+k=(x+5)(x-5),那么
(B)
A.k=25,从左到右是因式分解
B.k=-25,从左到右是因式分解
C.k=25,从左到右是乘法运算
D.k=-25,从左到右是乘法运算
A.-5
B.5
C.-1
D.1
16
3.(6分·运算能力、推理能力)如图,把R1,R2,R3三个电阻串联起来,线路AB上的电 流为I,电压为U,则U=IR1+IR2+IR3,当R1=19.7,R2=32.4,R3=35.9,I=2.5时,求U的值.
17
【解析】U=IR1+IR2+IR3 =I(R1+R2+R3) =2.5×(19.7+32.4+35.9) =2.5×88 =220.
C.-9 D.-12
4.因为(a-2)2=a2-4a+4,所以a2-4a+4可因式分解为____(_a_-2_)_2__.
重点 典例研析
6
重点1 因式分解的识别 【典例1】下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为
(D)
A.a(x+y)=ax+ay B.6x3y2=2x2y·3xy C.t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t D.y2-6y+9=(y-3)2
7
【举一反三】 1.对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是 ( D ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是乘法运算,②是因式分解 D.①是因式分解,②是乘法运算
鲁教版数学(五四制)八年级数学上册1.1因式分解课件
感悟新知
做一做 视察下面拼图过程，写出相应的关系式.
知1－讲
感悟新知
归纳
知1－讲
把一个多项式化成几个整式的积的情势，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都 是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
感悟新知
小明是这样做的: 993－99 ＝99×992－99×1 ＝99(992－1) ＝99×9 800
知1－讲
993－99还能 被哪些正整 数整除？
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的情势.
பைடு நூலகம்
感悟新知
知1－讲
议一议 你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的情势
感悟新知
知1－讲
特别提醒： 1. 因式分解的对象是多项式，结果是整式的积. 2. 因式分解是恒等变形，情势改变但值不改变. 3. 因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分
解为止.
感悟新知
例 1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(
知1－练
D)
A．a2＋1＝a(a＋
1 a
)
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
因此不是因式分解，C错误；x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合
因式分解的概念，因此是因式分解，D正确．
感悟新知
1. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 知1－练 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
掌握简单的代数式的化简
掌握简单的代数式的化简代数式的化简是数学中的基本技能之一，对于学习代数和解决实际问题都具有重要意义。
通过掌握简单的代数式的化简，我们可以更好地理解代数式的结构和性质，并能够简化计算过程，提高计算效率。
本文将介绍一些常见的代数式化简方法和技巧，帮助读者更好地掌握代数式的化简。
一、因式分解化简因式分解是代数式化简的一种常用方法，其基本思想是将代数式分解为两个或多个因子的乘积。
在进行因式分解时，我们需要运用一些常见的代数公式和运算规则。
1.1 二次根式的因式分解当代数式中含有二次根式时，我们可以尝试对其进行因式分解化简。
例如，对于形如√(a^2 - b^2)的二次根式，可以使用差平方公式进行因式分解：√(a^2 - b^2) = √[(a + b)(a - b)]1.2 平方差的因式分解当代数式是两个数的平方之差时，可以通过平方差公式进行因式分解。
例如，对于形如a^2 - b^2的代数式，可以进行因式分解为(a + b)(a - b)。
1.3 完全平方的因式分解当代数式是完全平方时，可以进行完全平方的因式分解。
例如，对于形如a^2 + 2ab + b^2的代数式，可以进行因式分解为(a + b)^2。
二、分配律的运用分配律是代数运算中常用的规则，可以帮助我们在进行代数式化简时，将代数式中的因子分别与其他的因子相乘或相加。
下面列举了一些常见的分配律的应用示例。
2.1 二项式与单项式的分配当一个二项式与一个单项式相乘时，可以使用分配律进行展开和化简。
例如，对于形如a(b + c)的代数式，可以将其展开为ab + ac。
2.2 两个二项式的分配当两个二项式相乘时，我们可以使用分配律进行展开和化简。
例如，对于形如(a + b)(c + d)的代数式，可以通过分配律将其展开为ac + ad + bc + bd。
三、合并同类项合并同类项是代数式化简的常用方法之一，可以将具有相同字母指数的项合并为一个项。
通过合并同类项，我们可以简化代数式，使其更加简洁。
1.1因式分解 教案
1.1因式分解 八年级数学组主备人：晁兴杰 复备人：教学目标：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．（3）让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度． 教学重点：理解因式分解的概念.教学难点：因式分解与整式乘法的相互关系一、导入新课1看谁算得快：（抢答，并写出简便运算的过程）（1）2976971397⨯+⨯-⨯= （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=（3）992–1= ．二、.自主探究与合作交流1.提问：993–99能被100整除吗？你是怎么得出来的？2.比较以下两种运算的联系与区别：（1） a (a +1)(a -1)= a 3-a（2） a 3-a = a (a +1)(a -1)还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；（2）分解因式的结果要以积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．三、精讲精练例1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)1)3(132+-=+-x x x x(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；(3)mn m n m m 22)(22-=-； (4)22)12(144+=++x x x ；(5))3(3632+=+a a a a ； (6)x x x x x 3)2)(2(342+-+=+-；(7)ac b a bc a 361823⋅=.例2 检验下列因式分解是否正确：(1))(22y x xy xy y x -=-；(2))12)(12(122-+=-x x x ；(3))2)(1(232++=++x x x x分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与右边的多项式是否相等!例3.若n mx x -+2能分解成)5)(2(--x x ,则m= ,n=四、课堂小结1.因式分解的概念2.因式分解与整式乘法的关系。
因式分解的高级方法(解析版)
因式分解的高级方法（解析版）因式分解的高级方法一．双十字相乘法1．双十字相乘法原理计算()()22x y x y x xy y x y-++-=--++-．235316731385从计算过程可以发现，乘积中的二次项22--x xy y673只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项138x y+，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。
2．所以运用双十字乘法对22+++++型的Ax Bxy Cy Dx Ey F多项式分解因式的步骤：（1）用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y的一次项的系数E，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x的一次项的系数D．二．对称式与轮换对称式意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。
例如，()()()x y x y x y y z z x x y-----+，，均是交代式。
【定义4】如果一个n 交代数式12()nf x x x ，，，，如果将字母12n x x x ，，，以2x 代1x ，3x 代2nx x ，，代11n x x -，代n x 后代数式不变，即12231()()n n f x x x f x x x x ≡，，，，，，，那么称这个代数式为n 元轮换对称式，简称轮换式。
显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。
例如，222()a x y z ++是对称式也是轮换式；222()b x y y z z x ++是轮换式，但不是对称式。
对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式；（3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；（4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；（5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。
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第一课时 因式分解
学习要求:
1.学会用提取公因式法进行因式分解．
2.学会用公式法进行因式分解．
3.学会用分组分解法近进行因式分解．
4.学会用十字相乘法进行因式分解． 基础整合:
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；
（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；
（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；
（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；
（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；
（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
热身训练
（1）22()3()y x x y -+- （4）2222a ab b c -+-
（2）3324x y y - （5）22
92x y xy --+
（3）2412x x +- （6）224424a ab b a b ++-- 典例分析:
1．十字相乘法：（1）2()x p q x pq +++型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
∵2()x p q x pq +++2()()()()x px qx pq x x p q x p x p x q =+++=+++=++， ∴2
()()()x p q x pq x p x q +++=++
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例1 分解因式
（1）2712x x ++ （2）223x x --
（3）21024x x -+ (4)2718x x +-
（2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解
由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相
加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
例2 分解因式：
（1）2568x x +-； （2）21252x x --；
（3）226x xy y +-； （4）()()222812x x
x x +-++
*例3 因式分解：（双十字相乘法） 222222(1)282143
(2)31092(3)422473
x xy y x y x xy y x y x xy y x y +-++---++-+-++-
22(1)282143(23)(41)x xy y x y x y x y +-++-=-++- 1124-31- 22(2)31092(52)(21)
x xy y x y x y x y --++-=-++- 1152-21- 22(3)422473(23)(221)x xy y x y x y x y +-++-=-++- 2212-31
-
解：
巩固练习:
A 组
1．选择题：
（1）若212
x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116
m （2）多项式22215x xy y --的一个因式为 （
） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -
2．填空：
（1）221
1
1
1
()9423a b b a -=+（ ）；
（2）(4m + 22)164(m m =++ )；
(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．
3．分解因式：
33(1)8a b - 2(2)68x x ++
（3）2215x x -++ （4）421336x x -+；
（5）2262x xy y +-； （6）()()2222728x x x x +-+-
*22(7)()x x a a +-- *(8)4(1)(2)x y y y x -++-
B 组
1．对以下各式分解因式： 4224
42120337(2)4139（）a a b b x x -+-+
2．用双十字交叉法分解因式：
*22(1)35294x xy y x y +-++-． *22(2)2456x xy y x y +--+-．。