高中数学精品讲义第四章第八节解三角形的实际应用Word版含答案

第八节解三角形的实际应用

1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

2．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 3．方向角：相对于某一正方向的水平角．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似．

区分两种角

(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角． (2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角． 4．坡角与坡度

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．( )

(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦

⎤0，π

2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、选填题

1.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°的方向上，灯塔B 在观察站C 的

南偏东40°的方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )

A ．a km B.3a km C.2a km

D ．2a km

解析：选B 在△ABC 中，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°，∵AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2×⎝⎛⎭

⎫－1

2＝3a 2，∴AB ＝3a (km)，故选B. 2.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的________方向上．

解析：如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ，

∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案：北偏西15°

3.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.

解析：因为∠D ＝30°，∠ACB ＝60°， 所以∠CAD ＝30°， 故CA ＝CD ＝a ， 所以AB ＝a sin 60°＝3a 2

. 答案：

3a

2

考点一测量距离问题[师生共研过关]

[典例精析]

如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一

段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端

点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，

则P，Q两点间的距离为________ m.

[解析]由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.

又∠PBA＝∠PBQ＝60°，

∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.

又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，

∴PQ＝PA.

在Rt△PAB中，PA＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，

∴P，Q两点间的距离为900 m.

[答案]900

[解题技法]

1．测量距离问题的实质和解题关键

测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．2．求距离问题的类型及方法

求AB 图形需要测量的元素解法

求水平距离山两侧

∠ACB＝α

AC＝b

BC＝a

用余弦定理AB＝

a2＋b2－2ab cos α河两岸

∠ACB＝α

∠ABC＝β

CB＝a

用正弦定理

AB＝

a sin α

sin(α＋β)河对岸

∠ADC＝α

∠BDC＝β

∠BCD＝δ

∠ACD＝γ

CD＝a

在△ADC中，

AC＝

a sin α

sin(α＋γ)

在△BDC中，

BC ＝

a sin β

sin (β＋δ)

在△ABC 中， 应用余弦定理求AB

如图，隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边选取相距 3 km 的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 之间的距离为________km.

解析：在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， 所以AC ＝CD ＝ 3.

在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，由正弦定理知BC ＝3sin 75°

sin 60°

＝

6＋2

2

. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭

⎪

⎫6＋222

－2×3×

6＋22×6－2

4

＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝ 5 ， 所以两目标A ，B 之间的距离为 5 km. 答案： 5

考点二测量高度问题[师生共研过关]

[典例精析]

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.

[解析] 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，

∠ACB ＝75°－30°＝45°，根据正弦定理知，BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC ＝AB sin ∠ACB ×sin

∠BAC ＝60022×1

2

＝300 2.在Rt △BCD 中，tan ∠DBC ＝CD BC ，所以CD ＝BC ×tan ∠DBC ＝3002

×

3

3

＝100 6(m)． [答案] 100 6