2019-2020学年湖北省武汉市武昌区七校联考九年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年湖北省武汉市武昌区七校联考九年级（上）
期中数学试卷
副标题
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.方程2x2+1=3x的二次项系数和一次项系数分别为()
A. 2 和 3
B. 2 和−3
C. 2 和−1
D. 2 和 1
2.下列图形是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
3.二次函数y=(x−1)2−2的顶点坐标是()
A. (−1,−2)
B. (−1,2)
C. (1,−2)
D. (1,2)
4.已知方程2x2−x−1=0的两根分别是x1和x2，则x1+x2的值等于()
A. 2
B. −1
2C. 1
2
D. −1
5.在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，M是AB的中点，以点C为圆心，1为
半径作⊙C，则()
A. 点M在⊙C外
B. 点M在⊙C上
C. 点M在⊙C内
D. 不能确定
6.抛物线y=−1
2
x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是()
A. y=−1
2(x+1)2+1 B. y=−1
2
(x+1)2−1
C. y=−1
2(x−1)2+1 D. y=−1
2
(x−1)2−1
7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺
时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C
的对应点是点C′)，连接CC′.若∠CC′B′=32°，则∠B的大小
是()
A. 32°
B. 64°
C. 77°
D. 87°
8.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，
则拱桥的半径为()
A. 6.5米
B. 9米
C. 13米
D. 15米
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰
三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出
的不同的等腰三角形的个数最多为()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
10.已知二次函数y=x2−(m+2)x+5m−3(m为常数)，在−1≤x≤1的范围内至少
有一个x的值使y≥2，则m的取值范围是()
A. m≥1
3B. m≥3
2
C. m<3
2
D. m<1
3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.若x=1为方程x2−m=0的一个根，则m的值为______．
12.平面直角坐标系中，一点P(−2,3)关于原点的对称点P′的坐标是______．
13.如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，∠ADC=25°，则∠AOB的度
数为______．
14.设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全
部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是______．15.如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的
抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，
高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为____．
16.在△ABC中，AB=5，AC=8，BC=7，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC
于F，线段EF的最小值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17.解方程：x2+6x+4=0．
四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）
18.如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是弧A^B的中
点，求证四边形OACB是菱形．
19.已知关于x的方程x2−2(k−1)x+k2=0有两个实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1+x2=1−x1x2，求k的值．
20.如图，△ABC的顶点的坐标分别为A(2,2)，B(1,0)，C(3,1)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1BC1，写出点C1的坐标为______；
(2)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B1C2，写出点C2的坐标为______；
(3)在(1)，(2)的基础上，图中的△A1BC1、△A2B1C2关于点______中心对称；
(4)若以点D、A、C、B为顶点的四边形为菱形，直接写出点D的坐标为______．
21.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分
∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，∠E=30°，
AC=5．
(1)求CE的长；
(2)求S△ADC：S△ACE的比值．
22.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部
住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出80元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍)．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
23.正方形ABCD的边长为2，M、N分别为边BC、CD上的动点，且∠MAN=45°
(1)猜想线段BM、DN、MN的数量关系并证明；
(2)若BM=CM，P是MN的中点，求AP的长；
(3)M、N运动过程中，请直接写出△AMN面积的最大值______和最小值______．
24.如图，抛物线y=ax2−2ax+m的图象经过点P(4,5)，与x轴交于A、B两点(点A
在点B的左边)，与y轴交于点C，且S△PAB=10．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点Q使得△PAQ和△PBQ的面积相等？若存在，求出Q点
的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过A、P、C三点的圆与抛物线交于另一点D，求出D点坐标及四边形PACD的
周长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2x2+1=3x可以化为2x2−3x+1=0，
∴二次项系数为2，一次项系数为−3，
故选：B．
将所给方程化为2x2−3x+1=0的形式即可求解．
本题考查一元二次方程的一般形式；能够将所给一元二次方程化为一般形式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3.【答案】C
【解析】解：因为y=(x−1)2−2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为(1,−2)．
故选：C．
已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
本题考查通过抛物线的顶点坐标式写出抛物线的顶点坐标，比较容易．
4.【答案】C
【解析】解：∵方程2x2−x−1=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−b
a =1
2
，
故选C．
利用根与系数的关系x1+x2=−b
a
，直接代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解答该题需要熟记公式：x1+x2=−b
a
．5.【答案】A
【解析】解：如图，
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=√AC2+BC2=√12+22=√5．
∵M是AB的中点，
∴CM=1
2AB=√5
2
>1，
∴点M在⊙C外．
故选A．
根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再由直角三角形的性质得出CM的长，
再与⊙C的半径相比较即可．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
x2向左平移1个单位，解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=−1
2
(x+1)2−1．
再向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=−1
2
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，
∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′=32°，
∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，
∵∠B=∠C′B′A，
∴∠B=77°，
故选：C．
旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
8.【答案】A
【解析】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD
所在的直线上，设圆心是O
连接OA.根据垂径定理，得AD=6
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+(r−4)2，
解得r=6.5
故选：A．
根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．
连接OA.根据垂径定理和勾股定理求解．
此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
9.【答案】D
【解析】解：如图：
故选：D．
①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
⑦作AC的垂直平分线交AB于M，则△BCM和△ACM是等腰三角形．
故选D．
本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．10.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=x2−(m+2)x+5m−3(m为常数).在−1≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥2，
∴{1+m+2+5m−3<2
1−m−2+5m−3<2，
．
解得：m<1
3
根据题意，可得m的取值范围是m≥1
．
3
故选：A．
在自变量的取值范围内取两个值，代入函数确定不等式组求解即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程的根的分布与系数的关系，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式组．
11.【答案】1
【解析】解：将x=1代入x2−m=0，
m=1，
故答案为：1．
将x=1代入原方程即可求出m的值．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基
础题型．
12.【答案】(2,−3)
【解析】解：根据中心对称的性质，得点P(−2,−3)关于原点对称点P′的坐标是(2,−3)．故答案为：(2,−3)．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，从而可得出答案．本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
13.【答案】50°
【解析】解：∵∠ADC=25°，
∴AC⏜的度数是2×25°=50°，
∵在⊙O中，半径OA⊥弦BC，
∴AC⏜=AB⏜，
即AB⏜的度数是50°，
∴∠AOB=50°，
故答案为：50°．
根据垂径定理得出AC⏜=AB⏜，根据∠ADC=25°求出AC⏜的度数是50°，即可得出答案．本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，垂径定理等知识点，能求出AB⏜=AC⏜是解此题的关键．
14.【答案】x2−6x+4=0
【解析】解：设雕像的上部高x m，则题意得：
x 2−x =2−x
2
，
整理得：x2−6x+4=0，
故答案为：x2−6x+4=0
设雕像的上部高x m，则下部长为(2−x)m，然后根据题意列出方程即可．
本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．15.【答案】2.25m
【解析】解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y=a(x−1)2+3(0≤x≤3)，
代入(3,0)求得：a=−3
4
．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y=−3
4
(x−1)2+3(0≤x≤3)，
令x=0，则y=9
4
=2.25．
则水管长为2.25m．
故答案为：2.25m．
设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3(0≤x≤3)，将(3,0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长．
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
16.【答案】30
7
【解析】解：如图，作CM ⊥AB 于M ，AN ⊥BC 于N.连接AD ，OE ，OF.设AM =x ，则BM =5−x ．
∵CM 2=AC 2−AM 2=BC 2−BM 2， ∴82−x 2=72−(5−x)2， 解得x =4，
∴AM =4，AC =2AM ，
∴∠ACM =30°，∠CAM =60°，CM =√3AM =4√3， ∵S △ABC =1
2⋅BC ⋅AN =1
2⋅AB ⋅CM ， ∴AN =
AB⋅CM BC =
20√3
7
， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠AED =∠AFD =90°， ∴A ，E ，D ，F 四点共圆，
∴当⊙O 的直径最小时，EF 的长最小，
根据垂线段最短可知：当AD 与AN 重合时，AD 的值最小，AD 的最小值为20√3
7
， 此时OE =OF =
10√37，EF =2⋅OE ⋅cos30°=
307
，
∴EF 的最小值为30
7， 故答案为30
7．
如图，作CM ⊥AB 于M ，AN ⊥BC 于N.连接AD ，OE ，OF.设AM =x ，则BM =5−x.根据CM 2=AC 2−AM 2=BC 2−BM 2，可得82−x 2=72−(5−x)2，解得x =4，推出∠EAF =60°，由A ，E ，D ，F 四点共圆，推出当⊙O 的直径最小时，EF 的长最小，根据垂线段最短可知：当AD 与AN 重合时，AD 的值最小，由此即可解决问题．
本题考查圆周角定理，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】解：这里a =1，b =6，c =4， ∵△=b 2−4ac =36−16=20>0， ∴x =
−6±2√5
2
=−3±√5，
则x 1=√5−3，x 2=−√5−3．
【解析】找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．此题考查了解一元二次方程−公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，
代入求根公式即可求出解．
18.【答案】证明：连OC，如图，
∵C是A^B的中点，∠AOB=l20°
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC=OA=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形．
【解析】连OC，由C是A^B的中点，∠AOB=l20°，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，则AC=OA=OB=BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．
19.【答案】解：(1)∵方程x2−2(k−1)x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴Δ≥0，即4(k−1)2−4×1×k2≥0，解得k≤1
2
，
∴k的取值范围为k≤1
2
；
(2)∵方程x2−2(k−1)x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=2(k−1)，x1x2=k2，
∴2(k−1)+k2=1，即k2+2k−3=0，
∴k1=−3，k2=1，
∵k≤1
2
，
∴k=−3．
【解析】(1)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac的意义得到Δ≥0，即4(k−1)2−4×1×k2≥0，解不等式即可得到k的范围；
(2)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系得到x1+x2=2(k−1)，x1x2=k2，则2(k−1)+k2=1，即k2+2k−3=0，利用因式分解法解得k1=−3，k2=1，然后由(1)中的k的取值范围即可得到k的值．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系．
20.【答案】(3,−1)(−1,3)(1
2,1
2
)(4,4)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为(3,−1)；
(2)如图，△A2B2C为所作，点C2的坐标为(−1,3)；
(3)△A1BC1、△A2B1C2关于点(1
2,1
2
)中心对称；
(4)点D的坐标为(4,4)．
故答案为(3,−1)，−1，3)，(1
2,1
2
)，(4,4)．
(1)利用关于x轴的坐标特征写出A1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质，写出点A、B、C的对应点A2、B1、C2，从而得到△A2B1C2，然后写出点C2的坐标；
(3)写出BB1和A2C1的交点坐标即可；
(4)先画出菱形ABCD，然后写出D点坐标．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21.【答案】解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠AEB=90°
又∠E=30°
∴∠ABC=30°
∵AC=5
∴AB=10，BC=5√3
∵CE平分∠ACB
∴∠ACE=∠BCE=45°，AE=BE=5√2
如图，过点A作AF⊥CE于点F
则△ACF为等腰直角三角形
∴AF2+CF2=AC2
∴2CF2=25
∴AF=CF=5√2 2
∴EF=√AE2−AF2=√50−25
2
=
5√6
2
∴CE=CF+EF=5√2+5√6
2
∴CE的长为5√2+5√6
2
．
(2)过C作CM⊥AB于点M，连接OE
∵AE=BE，O为AB中点
∴OE⊥AB
∴S△ADC：S△ADE=CM：OE=CM：5
∵AC⋅BC=AB⋅CM
∴CM=5×5√3
10
=
5√3
2
∴S△ADC：S△ADE=√3
2
∴S△ADC：S△ACE=
√3
2
√3
2
+1
=2√3−3．
【解析】(1)过点A作AF⊥CE于点F，分别求出AF和EF，两者相加即可；
(2)过C作CM⊥AB于点M，连接OE，利用等底三角形的面积比等于高之比，得出S△ADC：S△ADE=√3
2
，再通过比值计算即可得S△ADC：S△ACE的比值．
本题考查了圆中的相关计算，熟练掌握圆中的相关性质及定理，以及等底三角形的面积之间的关系，是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意，得
y=50−x
10
．
∴y=−0.1x+50．
∵{x≥0
x≤340−180，
∴0≤x≤160(x为10的正整数倍)．
答：y与x的关系式为y=−0.1x+50，自变量x的取值范围是：0≤x≤160(x为10
的正整数倍)；
(2)由题意，得
W=(x+180)(−0.1x+50)−80(−0.1x+50)，
W=−0.1x2+40x+5000，
答：W与x的关系式为W=−0.1x2+40x+5000；
(3)∵W=−0.1x2+40x+5000；
∴W=−0.1(x−200)2+9000．
∴a=−0.1<0，
∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧W随x的增大而增大．
∵0≤x≤160，
∴当x=160时，
W
最大
=8840．
∴订住的房间为：y=50−160
10
=34个．
答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是8840元．
【解析】(1)定住的房间数=总房间数−未住的房间数就可以得出y与x的关系式，根据条件中的不相等关系建立不等式组就可以求出x的取值范围；
(2)根据宾馆每天总利润=客房每天总收入−每天的支出就可以得出W与x的关系式；
(3)由(2)的解析式转化为顶点式由抛物线的性质就可以得出结论．
本题考查了一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，运用函数解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
23.【答案】(1)解：BM+DN=MN．
理由：如图，延长CB至E使得BE=DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，
在△ADN和△ABE中
{AD=AB
∠D=∠ABE=90°DN=BE
，
△ABE≌△ADN(SAS)，
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，∵∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中，
{AE=AN
∠EAM=∠NAM AM=AM
，
∴△EAM≌△NAM(SAS)，
∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，∴BM+DN=MN．
(2)如图2，过点A作AF⊥MN，
∵点M是BC的中点，
∴BM=MC=1
2
BC=1，
由(1)可知：∠AMB=∠AMF，∠ABM=∠AFM=90°，AM=AM，∴△ABM≌△AFM(AAS)
∴AB=AF=2，MB=MF=1，
∵BM+DN=MN，
∴DN=NF，
∵MC2+NC2=MN2，
∴1+(2−DN)2=(1+DN)2，
∴DN=2
3
，
∴MN=1+DN=5
3
，
∵P是MN的中点，
∴MP=5
6
，
∴PF=MF−MP=1 6
∴AP=√AF2+PF2=√4+1
36
=
√145
6
(3)2；4√2−4
【解析】
【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，完全平方公式等知识，求出MN的最大值和最小值是本题的关键．(1)延长CB到E，使BE=DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出AE=AN，∠DAN=∠BAE，求出∠NAM=∠MAE，根据SAS证出△NAM≌△EAM，从而得到BM+ DN=MN；
(2)如图2，过点A作AF⊥MN，由AAS可证△ABM≌△AFM，可得AB=AF=2，MB= MF=1，由勾股定理可求DN=2
3
，即可求PF的长，由勾股定理可求AP的长；(3)由三角形的面积公式可求△AMN面积=MN，由三角形的三边关系和完全平方公式可求MN的最大值和最小值，即可求解．
【解析】
解(1)见答案
(2)见答案
(3)∵△AMN面积=1
2
MN×AF，由(2)可知FA=2
∴△AMN面积得值就是MN的值．
∵MN=BM+DN，BM+CM=BC=2，DN+CN=CD=2，
∴MN+CM+CN=BC+CD=4，
∴CM+CN=4−MN，
∴2CM⋅CN+CM2+CN2=(4−MN)2=16+MN2−8MN，且CM2+CN2=MN2，∴CM⋅CN=8−4MN，
∵(CM−CN)2≥0，
∴CM2+CN2≥2CM⋅CN，
∴MN2≥16−8MN
∴(MN+4)2≥32，
∴MN≥4√2−4，或MN≤−4√2−4(舍去)，
∴MN的最小值为4√2−4，
∴△AMN面积的最小值为4√2−4，
∵MN+CM+CN=4，且CM+CN≤MN，
∴MN≤4−MN
∴MN≤2，
∴MN的最大值为2，
∴△AMN面积的最大值为2，
故答案为2，4√2−4．
24.【答案】解：(1)y=ax2−2ax+m，函数的对称轴为：x=1，
S△PAB=10=1
2×AB×y P=1
2
×AB×5，解得：AB=4，
故点A、B的坐标分别为：(−1,0)、(3,0)，
抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)，
将点P的坐标代入上式并解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2−2x−3…①；
(2)①当A、B在点Q(Q′)的同侧时，如图1，
△PAQ′和△PBQ′的面积相等，则点P、Q′关于对称轴对称，
故点Q′(−2,5)；
②当A、B在点Q的两侧时，如图1，
设PQ交x轴于点E，分别过点A、B作PQ的垂线交于点M、N，△PAQ和△PBQ的面积相等，则AM=BN，
而∠BEN=∠AEM，∠AME=∠BNE=90°，
∴△AME≌△BNE(AAS)，
∴AE=BE，
即点E是AB的中点，则点E(1,0)，
将点P、E的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线PQ的表达式为：y=5
3x−5
3
…②，
联立①②并解得：x=−1
3
或4(舍去4)，
故点Q(−1
3,−20
9
)，
综上，点Q的坐标为：(−2,5)或(−1
3,−20
9
)；
(3)过点P作PO′⊥x轴于点O′，则点O′(4,0)，则AO′=PO′=5，而CO′=5，
故圆O′是过A、P、C三点的圆，
设点D(m,m2−2m−3)，点O′(4,0)，则DO′=5，
即(m−4)2+(m2−2m−3)2=25，
化简得：m(m+1)(m−1)(m−4)=0，
解得：m=0或−1或1或4(舍去0，−1，4)，
故：m=1，
故点D(1,−4)；
四边形PACD的周长=PA+AC+CD+PD=5√2+√10+√2+3√10=6√2+4√10．
×AB×y P=【解析】(1)y=ax2−2ax+m，函数的对称轴为：x=1，S△PAB=10=1
2
1
×AB×5，解得：AB=4，即可求解；
2
(2)分A、B在点Q(Q′)的同侧；点A、B在点Q的两侧两种情况，分别求解即可；
(3)过点P作PO′⊥x轴于点O′，则点O′(4,0)，则AO′=PO′=5，而CO′=5，故圆O′是过A、P、C三点的圆，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、圆的基本知识等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．。